6 Numeerisesta integroinnista
|
|
- Timo Kähkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MAA 6 Numeeriet integroinnit Numeerien integroimien (numericl integrtion) intuitiivien kulmkivenä on pint-l. Kikki menetelmät lähtevät tätä jtuket, jok on määrätyn integrlin enimmäinen pprokimtio. On kuitenkin huomttv, että vikk oiken geometrien lueen pint-l on in noll ti uurempi, määrätty integrli voi oll myö negtiivinen. Silti pint-ln jtteleminen utt hhmottmn tilnnett. On vin pidettävä vrn. Eimerkki 44 Lke määrätty integrli 3 x dx. 3 x dx= 3 x x= A. Vtu: Integrlin rvo on. Eimerkki 45 Lke määrätty integrli 3 xdx. A 3 xdx= 3 x x= I Vtu: Integrlin rvo on. Eimerkki 46 Lke määrätty integrli 5 x 3dx. I ()
2 MAA 5 x 3dx= 5 x 3x=0 I Vtu: Integrlin rvo on 0. Muit: b f xdx= b f xdx. Kert muutkin määrätyn integrlin lkuäännöt. Suorkideääntö Oletetn, että funktio f(x):n määrätty integrli on olem välillä [;b] j rvoltn A. Silloin yki krke A:n rvio on f b. Toinen, yhtä krke rvio, on f bb. Nämä ovt uorkideäännön (rectngle rule) kki eri eitytä. Käytännöä tämä onkin tällien liin krke rvio. Prempi tulo dn, kun väli [;b] jetn pieniin oväleihin j käytetään kunkin välin päätepiteen ijt ovälin kekipitettä rvion lkemieen. Tätä notn kekipiteäännöki. ()
3 MAA Olkoon A kuten edellä. Jo ii väli jetn n kppleeeen välejä [ x i - ; x i ],i...n ; x 0 =, x n =b j h= b n 0 niin määrätyn integrlin rvolle dn rvio A h x x 0 h x x...h x n x n =h[ f x 0 f x... f x n] n =h f x i i=0 Lyhyeti nottun: Kekipiteääntö (uorkideäännön ovellu) n A h f x i () i=0 Kekipiteääntö on monetkin yytä uoiteltvmpi menetelmä kuin mikään muu yllä eitelty ykinkertiempi keino, mutt jtko eittelen vielä prempi. Se opii hyvin myö tietokoneell ti lkimell ohjelmoitvki. Lken kikki tähän kppleeeen liittyvät eimerkit kekipiteäännön vull j ivuutn uorkideäännön ykinkertiimmn verion kokonn. Jo hlut, voit ite kokeill niitten lkemieen jotin yllä minituit muit keinoit. Eimerkki 47 Lke normlijkumn tiheyfunktion integrli rjoin j f x= x e, kun tiheyfunktion prmetrein ovt noll j yki. Piirtäköön kone kuvn t! Aik tutun näköinen iitä tuli. 3()
4 MAA Symmetriyitä nyt on voim yhtälö f xdx= 0 f xdx. Lken tämän koneell käyttämällä kekipiteääntöä n:n rvoill 0 j 00. Merkiten kummkin tpuke tvoiteltv, m integrlin trkk rvo I:llä. Aloitn n:n rvot 0. Kunkin uorkiteen levey on nyt 0, j korkeu tiheyfunktion rvo kunkin välin päätepiteen kekipiteeä. Edellä olevn yhtälön () mukn on I n h f x i i=0 4()
5 MAA = 0, 9 i=0 0,6889. e 0,05i 0, Tämä ei ole kovin lähellä koneen trkn kvn peruteell ntm 9 - deimlit rvo I = 0, Kokeilen itten n:n rvo 00. I = 0,0 99 i=0 0, e 0,005i 0,0 Tämä on jo prempi! Toin käytännön tilnteit jtellen enimmäinenkin rvio on trkk. Vtu: Integrlin rvo on noin 0, Puoliuunnikääntö (;f()) A (b;f(b)) b Kun uorkideääntöä kehitetään eteenpäin, niin enimmäinen mieleen tulev mhdolliuu on tehdä juuri niin kuin puoliuunnikääntöä (trpezoidl rule) käytettäeä tehdään: edetään uorkiteet puoliuunnikkeen j pprokimoidn integrli illä. Teen ii niin. Puoliuunnikkn ln kvt dn, kun käytetään kuvion merkintöjä: A= b [ f f b] b f xdx 5()
6 MAA Tämä on puoliuunnikäännön perumuoto. Eimerkki 48 Lke määrätyn integrlin puoliuunnikäännön perumuoto.,5 e x dx rvo vähintään kolmen deimlin trkkuudell. Käytä 0,5 Arvio on,833. e0,5 e,5,5 0,5 3,065. Trkn kvn vull lkettu integrli rvo on Vtu: Arvo on noin 3,065. 6()
7 MAA Trkennetn puoliuunnikmenetelmää. Ajtelln rvioitv l jetuki ueiiin puoliuunnikkiiin kuten yllä olev kuv. Siinä ininen viiv eittää trkteltv funktiot eli on käyrän y = f(x) kuvj. Puniet pytyviivt ovt eri x:n rvojen kutt kulkevi uori. Kun näiden leikkupiteet inien kuvjn kn yhditetään, yntyy murtoviiv, jonk ojnoit etittävät puoliuunnikkt dn. b Olkoon rvioitv integrli I = f x dx, miä f(x) on yllä minittu funktio. Jo yllä olevn kuvn tpn kht peräkkäitä x:n rvo merkitään x i :llä j x i :llä, niin oveltmll puoliuunnikäännön perumuoto kuhunkin o-ln, dn I h [ f x 0 f x ] h [ f x f x ] h [ f x f x 3 ] h [ f x n f x n ] h [ f x n f x n ] 7()
8 MAA Tää x 0 = j x n = b j h= b n. Otetn tää vielä h tekijäki, niin dn Puoliuunnikääntö I h [ f x 0 f x f x... f x n- f x n- f x n ] Eimerkki 49 Arvioi määrätyn integrlin eitemään oväliin. Arvioi tuloken trkkuutt. in xdx rvo puoliuunnikäännön vull. J väli 0 Kok nyt h= 7 in x dx 0, niin puoliuunnikäännön vull dn 7 [ 6 in 0 in i 7 in ]=,84. i= Tulo on trkempi kuin minä oliin intuitiivieti, menetelmän tekniikk jtellen odottnut. Trkk rvo on nimittäin promille. in co,89, jolloin uhteellinen virhe on noin neljä Vtu: Integrlin rvo on noin,89. Eimerkki 50 Tutkij mitti veden virtunopeutt putke in yhtä pitkin ikvälein. Se vihteli oheien tulukon mukieti. Lke mittupiteen ohi virrnneen veden määrä koko mittuikn. 0 h h h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 0,5 m3 0,6 m3 0,35 m3 0,36 m3 0,30 m3 0,5 m3 0,8 m3 0,0 m3 Jo mittupiteitä piirretään murtoviiv, tämän murtoviivn j ik-kelin väliin jäävä pint-l rvioi virrnneen veden määrää, kok veden määrä on virtunopeu kert ik. Arvioidn tätä 8()
9 MAA l puoliuunnikäännöllä. Edellä käytettyjen merkintöjen mukieti dn (eimerkiki [;b] = [0;7], h = ) I h [ f x 0 f x f x... f x n f x n f x n] = [ 0,50,60,350,360,300,50,8 0,0 ] =,85 Toki vei virti ennen mittuten loittmit j myö niitten jälkeen, mutt itä ei kyytty. Vtu: Vettä virti noin,8 m 3. Simponin ääntö Kehitän nyt hyväki lopuki vielä puoliuunnikääntöä eteenpäin. Approkimoin funktiot äärelliellä välillä elliell toien teen polynomill, jok mt rvot välin päätepiteiä j kekipiteeä kuin pprokimoitv funktio. Tätä n itten pprokimointikvt määrätylle integrlille. Menetelmää notn Simponin äännöki (Simpon' rule) ti Simponin menetelmäki. En uorit yhtälöitten johtmit tää, vn nnn ne vlmiin. Ooittutuu, että tällä tvll tv pprokimtio riippuu inotn funktion tunnetuit kolmet rvot ekä välin pituudet. Trktelen enin Simponin äännön perumuoto eli minittu tekniikk kerrll koko integrointiväliin. Vrininen Simponin ääntö ovelt tätä peritett integrointivälin oväleihin vtvll tvll kuin puoliuunnikäännön tpuke. Aloitn eimerkit lkemll yhden integrlin pelkän perumuodon vull. Jo pprokimoitv funktio on y = f(x) j integroitv väli on [;b], niin Simponin äännön perumuodon mukn on Eimerkki 5 b f xdx b b [ f 4 f 6 f b]. Arvioi määrätyn integrlin väli eitemään oväliin. Arvioi tuloken trkkuutt. 0,5 in xdx rvo Simponin äännön perumuodon vull. J 0,5 9()
10 MAA Kvn ijoittmll. kun = 0,5, b = 0,5 j f(x) = in (x): 0,5 in xdx 0,5 [ 0,5 0,5] [ f 0,54 f 0,50,5 f 0,5]=7, Lketn virheen rvioimieki tämä vielä lkukoneen integroimitoiminnoll trjomll koneelle trkk kv. Sdn tulo kvn ntm boluuttinen virhe on 0,7 0 - verrttun iempiin eimerkkeihin! 0,5 in xdx=7,93 0-0,5. Tällä peruteell Simponin. Tämä on kolme proentti. Ei kovin pljon Jetn integroimiväli nyt n kppleeeen ovälejä. Kun Simponin ääntöä ovelletn niin, että integroimiväli jetn oväleihin, e jetn prillieen määrään ovälejä. Nytkin ii n on prillinen. Oheie kuv ovälejä on khdekn eli n = 8. =x 0 x... b=x n Merkitään tvllieen tpn = x 0, b = x n, h= b j n on jkovälien lukumäärä. Seurv n yhtälöä Simponin äännöä knntt huomt, että termien kertoimin ovt vuorotellen j 4 muuten piti enimmäien j viimeien termin kertoimin ovt ykköet. 0()
11 MAA Simponin ääntö b f xdx h 3 [ f x 04f x f x 4f x 3 f x 4...4f x n - f x n ] Eimerkki 5 Lke integrlin kymmeneen oväliin.,0 e in x dx likirvo Simponin äännön vull. J integroimiväli 0,5 Nyt h =,5, f x=e in x, f x 0 = f 0,5=e in0,5, f x = f 0,500,5=e in 0,65 j niin edelleen, joten,0 e inx dx 0,5,0 0,5 3 0 [ e in0,5 4e,0-0,5,0-0,5 in0,5+ in0,5+ 0 e 0 4e 4e in0,5 +3,0-0,5 0 = 3, Vtu: Integrlin rvo on 3,59. [in 0,5+ 4,0-0,5 ] [ in0,5+5 e 0 4e,0-0,5,0-0,5 [ in0,5 +7,0-0,5] [in 0,5 +8 ] [in 0, e 0 4e 0,0-0,5,0-0,5 ] [in 0,5+ 6 ] 0 e 0 ] [in0,5+ 0,0-0,5 ] e 0 ] Jo vertt tätä huiken trkn lkimen ntmn rvoon 3,59 650, huomt, että kukn ei oll. Jo inull ei ii ole ohjelmito, jok integroi, käytä Simponin kv. Tulukkolkentohjelmi on Simponin kv trvittvt funktiot. Jo inull on ohjelmoitv lkin, lkimei on luultvti myö numeerien integroinnin toiminto. Se käyttää jotin numeerien integroimien pprokimointikv. Eimerkki 53 Lke integrlin 3,0 in x dx likirvo Simponin äännön vull. Käytä kymmentä oväliä.,5 Tällä kert h =,5, f x=e in x, f x 0 = f 0,5=e in0,5, f x = f 0,500,5= ()
12 MAA e in0,65 3,0 in x dx,5 j niin edelleen, joten,0 0,5 3 0 [ in 0,5 4,0-0,5 in 0,5+ in 0,5+,0-0, ,0-0,5,0-0,5 in 0,5+3 in 0,5 + 4 in 0,5+5,0-0, in0,5+ 6,0-0, in 0,5+7,0-0,5 in 0,5 +8,0-0,5 in0,5+ 9,0-0,5,0-0,5 in 0, ], Erään lkimen numeerien integroinnin toiminto ntoi tuloken,77 3 pyöritettynä eitemään merkitevään numeroon. Vtu: Kyytyn integrlin rvo on noin,73. ()
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Lisätiedot1.a) f(x) = 2x(x 2 3) = 0 2x = 0 tai x 2 3 = 0 x = 0 tai x 2 = 3. Anne: Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla
. f( = ( = 0 = 0 ti = 0 = 0 ti = Anne: Tulo on noll, jo jokin tulon tekijöitä on noll b f( = ( = 6 f ( = 6-6 f '( 6( 6 Anne: Peruderivointi ottv moin ijoitu luekkeeeen c ( 6 d / ( 4 (8 (8 0 Anne: Käytä
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotSiirtojohdot. Siirtojohdot
iirtoohot uku iirtoohot iirtoohtoteori kytkee toiiin kenttäteorin tutun piiriteorin. iirtoohtoteori trktelee vin kenttien etenemitä niien käyttäytymitä eriliten ineien rpinnoill. Mutkikkt kenttätehtävät
LisätiedotSosiaali- ja terveysministeriön vahvistamissa vastuunjakoperusteissa esiintyvien tasauskertoimien arvot vuodelle 2011 = 0, = 0,036947
Soili- j terveyminiteriön 25.11.2010 vhvitmi vtuunjkoperutei eiintyvien tukertoimien rvot vuodelle = 0,403097 = 0,036947 = 0,000569 TVR(j) = 0,008056 TVR(m) = 0,008051 TVR(y) = 0,008046 ELÄKETURVAKESKUS
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen
S55. SÄHKÖTKNKK 9.5.998 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,7,9. välikoe: tehtävät,2,,4,5 2. välikoe: tehtävät 6,7,8,9, Oletko muitnut täyttää plutekyelyn Teeenytj huku mll välikokeet.. Lke virt. =4Ω, =2Ω,
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedotjärjestelmät Jatkuva-aikaiset järjestelmät muunnostason ratkaisu Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineiet jäjetelmät Jtkuv-ikiet jäjetelmät muunnoton tkiu Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen Lplce-muunno Aikton DY Aikton tkiu Lplcemuunno Käänteimuunno Rtkiu -to 2 Lineiet jäjetelmät Rito Mikkonen
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotVastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) 182 :N MUKAISEN TYÖTTÖMYYSVAKUUTUSRAHASTON MAKSUN KORJAUS VUODELTA 2007
Suunnitteluoto.8.009 / TYÖTEKIJÄ ELÄKELAI (TYEL) 8 : MUKAISE TYÖTTÖMYYSVAKUUTUSRAHASTO MAKSU KORJAUS VUODELTA Vuoden mkun korjuken yy O uoden mkun lkenn huomioitit etuupäiitä oli rioitu, kok mkun lkenthetkellä
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
LisätiedotSYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE
HYKS-SAIRAANHOITOALUEEN LAUTAKUNTA 33 09.06.2015 SYDÄNKATETRISAATIOLABORATORION RÖNTGENLAITTEISTON JA SYDÄNKATETRISAATION MITTAUSLAITTEISTON HANKINTA MEILAHDEN TORNISAIRAALAN SYDÄNTUTKIMUSOSASTOLLE HYKS
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotAnalyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 6, Kevät 2016
OY/PJKOMP R6 016 Puolijohekoponenttien peruteet 51071A Rtkiut 6, Kevät 016 1. MOS-konenttori (Metl-Oxie-Seiconuctor) kootuu nienä ukieti etlliet hilt, okii-eriteetä j ouptut puolijohteet (Kuv 1). Ielieti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedot2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
LisätiedotTYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN (TYEL) 182 :N MUKAINEN TYÖTTÖMYYSVAKUUTUSRAHASTON MAKSU VUODELTA 2008
uunnitteluoto.8.009 / TYÖTEKIJÄ ELÄKELAI (TYEL) 8 : MUKAIE TYÖTTÖMYYVAKUUTURAHATO MAKU VUODELTA Yleitä TyEL 8 :n mukn Työttömyykuuturhton on uoritett Eläketurkekukelle mku jok hitetn oili- j tereyminiteriön
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotAHX640W AHX640W VOX400 VOX400 [UUSIA RATKAISUJA VALURAUTOJEN JYRSINTÄÄN] ] [UUSIA RATKAISUJA PROMOTION JYRSIMET VALURAUDOILLE
PROMOTION JYRSIMET VALURAUDOILLE NEW CAST IRON FACE MILLING CUTTERS FI-00 AHX0W AHX l Uui tehok -ärmäinen kääntöterä. AHX0W [UUSIA RATKAISUJA [UUSIA RATKAISUJA VALURAUTOJEN JYRSINTÄÄN] ] JYRSINTÄÄN VALURAUTOJEN
LisätiedotRATKAISUT: 9. Pyörimisen peruslaki ja pyörimismäärä
Phyic 9. pino (9) 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää : 9. Pyöiien peulki j pyöiiäää 9. ) Hituoentti on uue, jok kuv kppleen pyöiihitutt, toiin noen itä, iten vike kppleen pyöiitä on uutt. b) Syteein pyöiiäää
Lisätiedotolevat ansiot vuonna v ja
uunnitteluoto.8.00 / TYÖTEKIJÄ ELÄKELAI (TYEL) 8 : MUKAIE TYÖTTÖMYYVAKUUTURAHATO MAKU VUODELTA Yleitä TyEL 8 :n mukn Työttömyykuuturhton on uoritett Eläketurkekukelle mku jok hitetn oili- j tereyminiteriön
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotELEC- E8419 välikoe b) Yhtiö A ilmoittaa että sillä on liian korkea jännite solmussa 1.
ELE- E89 väliko 8..5 rkiu. ll olvn kuvn muki vrko on onglmi. Tiln ov kuvillii ikä kiki vihohdoi ol kyä mnlinn vrkko. Vli opivi oimnpiiä, oill onglm dn poiu miä hdään minn nn rkiulli prulu. Vikk ohonkin
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotCA Clarity PPM. Projektinhallinnan käyttöopas. Julkaisu 13.3.00
CA Clrity PPM Projektinhllinnn käyttöop Julkiu 13.3.00 Tämä dokumenttio, jok iältää ulutettuj ohjejärjetelmiä j ähköieti jettuj ineitoj (jäljempänä Dokumenttio ), on vin informointitrkoitukiin, j CA voi
LisätiedotLASKENTA laskentakaavat
LASKENA lketkvt Kvkokoelm älle ivulle o koottu yleiiät j ueiite trvitut lketkvt. Näitä käytetää hihleveyde j keliväli lket. Liäki o koottu muutmi muuokvoj. Hhih mitoittmie käy helpoti Heomitoituohjelmll.
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
Lisätiedot(0 1) 0 (0 1) 01 = (0 1) (0 01) = (0 1 ) (0 01)
M M ( ) ( ) M, Tehtävä 24. Muodot äännöllitä luekett (0 ) 0 (0 ) 0 = (0 ) (0 0) = (0 ) (0 0) vtv äärellinen utomtti. Tehtävä 25. Muodot C-kielen liukuluvut tunnitv utomtti äännöllietä luekkeet (d +.d.d
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Lisätiedotmissä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotKUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto
KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
Lisätiedot2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
LisätiedotKieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.
Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista
Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I
HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
Lisätiedot