Yleinen suhteellisuusteoria ja tapahtumien välinen yhteys siirtymäfunktioiden avulla. Hannu Nyrhinen
|
|
- Hilja Lehtonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Yleinen suhteellisuusteoria ja tapahtumien välinen yhteys siirtymäfunktioiden avulla Hannu Nyrhinen 28. lokakuuta 2009
2 ii
3 Tiivistelmä Työssä käsitellään siirtymäfunktioita toisaalta kvanttimekaniikassa ja toisaalta neliulotteisessa avaruusajassa. Yleinen suhteellisuusteoria muotoillaan nk. geodeettisen siirtymäfunktion avulla, minkä jälkeen sen avulla tarkastellaan kahden avaruusajan pisteen, tapahtuman, välistä siirtymää. Ensimmäisenä, Luvussa 2, käsitellään kvanttimekaanista siirtymäfunktiota Diego Meschinin vuonna 2008 julkaistun väitöskirjan [Meschini] mukaan. Tämä luku toimii vertailukohtana myöhemmin esiteltävälle geodeettiselle (geometriselle) siirtymäfunktiolle. Luvussa käsitellään lyhyesti kvanttimekaanisen siirtymäfunktion metageometrista perustaa ja todennäköisyyden mukaan tuloa teoriaan siirtymäfunktion kautta. Loput työstä perustuu FT Markku Lehdon muistiinpanoihin ja suhteellisuusteorian kurssin luentoihin (jotka löytyvät hieman muokattuna myös Diego Meschinin väitöskirjasta [Meschini] (Chapter 10)). Luvuissa 3 ja 4 esitellään myöhemmin käyttöön tulevaa matemaattista välineistöä. Luvussa 3 johdetaan yhtälö avaruusajan geodeettiselle maailmanviivalle (geodeesille) ja määritellään kaarevan avaruuden absoluuttinen ja kovariantti derivaatta. Luvussa 4 esitellään nk. tetradiformalismi, jossa hiukkasen liikettä kuvaillaan neljän (avaruusajan dimensio) vektorin ja kolmen käyrän kaarevuutta kuvailevan parametrin avulla. Luvussa 5 määritellään geodeettinen siirtymäolio (tai "yhteysolio") ja siirtymäfunktio, joka kuvaa siirtymää ("yhteyttä") avaruusajan pisteiden välillä. Siirtymäfunktion kovarianttien derivaattojen avulla muotoillaan Einsteinin kenttäyhtälöt ja kahden avaruusajan tapahtuman välinen yhteys. Lopputuloksena on siirtymäfunktion toisen kovariantin derivaatan ja Riemannin vuorovesitensorin välinen relaatio. Tuloksella on merkitystä, sillä molemmat liittyvät havaintoihin ja näin siis saadaan johdettua yhteys kahden havaintoihin liittyvän suureen välille (5.30). Liitteessä A vielä tarkastellaan Newtonin ja Einsteinin gravitaatioteorioita tetradiformalismin avulla. Molemmissa teorioissa merkittävään rooliin nousee jo mainittu Riemannin vuorovesitensori. Luettavuuden parantamiseksi osa välivaiheista on jätetty kirjoittamatta tekstiin ja siirretty omaan liitteeseensä, Liitteeksi B.
4
5 Sisältö Tiivistelmä iii 1 Johdanto 1 2 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Metageometrinen perusta Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio Siirtymäfunktion käyttö Maailmanviiva ja maailmanpinta Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö Geodeettinen yhtälö Absoluuttinen ja kovariantti derivaatta Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö Geodeettinen kaarevuus Liikkeen kuvailu Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa Lorentzin muunnos Vielä vektoreista Tetradiyhtälöt Tetradin yhdensuuntaissiirto pitkin käyrää x α = x α (u) 35 5 Siirtymä Siirtymäolio σ(b A) Siirtymäfunktio σ(x B x A ) ja sen kovariantit derivaatat Rajankäynti B A, Einsteinin kenttäyhtälöt Siirtymä pisteestä toiseen Propagaattori Geodeettinen poikkeama
6 vi SISÄLTÖ 5.4 Paluu siirtymäfunktioihin, σ ;αa β B Paluu tetradiformalismiin Loppusanat 57 A Gravitaatio 59 A.1 Newtonin gravitaatioteoria A.2 Einsteinin gravitaatioteoria A.2.1 Geodeettisen poikkeaman yhtälön tetradimuoto A.3 Teorioiden välinen yhteys B Laskujen yksityiskohtia 65 B.1 Lukuun 3 liittyvät laskut B.2 Lukuun 4 liittyvät laskut B.3 Lukuun 5 liittyvät laskut
7 Luku 1 Johdanto Fysikaalisen teorian muotoiluun vaikuttavat muotoilun lähtökohdat ja tavoitteet. Saman ilmiön voi hahmottaa eri tavoin ja silti päätyä samankaltaisiin lopputuloksiin. Gravitaatiota kuvaili ensimmäisenä Newton, myöhemmin Einstein ja siinä missä Newtonin teoriassa gravitaatio ajatellaan painovoimaksi, jolla kappaleet vetävät toisiaan puoleensa, Einsteinin yleisessä suhteellisuusteoriassa gravitaatio samastetaan avaruusajan muotoon. Molemmat teoriat kuitenkin tuottavat likimain samanlaiset liikeradat planeetoille. Toisaalta saman asian voi rakentaa erilaisista palikoista: Jos tarvitaan yöpöytä, mikä tahansa tasainen alusta jolla on riittävän kestävä rakenne, että sille voi laskea kohtuullisen määrän tavaraa riittää. Puinen pöytä voi päätyä takkaan taloa lämmittämään, kun taas väärinpäin käännetystä pahvilaatikosta saattaa olla hyötyä seuraavassa muutossa. Molemmat toimivat yhtä hyvin pöytänä, vaikka niiden muu käyttö eroaakin toisistaan. Myös yleisen suhteellisuusteorian voi rakentaa erilaisista palikoista: käyttäen tensorianalyysiä (kuten Einstein) tai dierentiaaligeometriaa. Liikkeelle on historian saatossa lähdetty eri lähtökohdista. Tässä tutkielmassa Einsteinin kenttäyhtälöt johdetaan lähtien geodeettisesta siirtymäfunktiosta. Kullakin tavalla on omat ominaispiirteensä ja motivaationsa, vaikka saman suhteellisuusteorian ne tuottavatkin. Kyse on saman asian rakentamisesta erilaisin rakennusainein ja erilaisin menetelmin. Nyt käytettävän siirtymäfunktion avulla voi muotoilla Einsteinin kenttäyhtälöt, minkä lisäksi sen avulla kuvataan kahden pisteen välistä yhteyttä. Siirtymäfunktio kuvaa, nimensä mukaisesti, siirtymää (tai yhteyttä) avaruusajan pisteiden välillä. Sen arvot riippuvat siten sekä siirtymän alku- että loppupisteestä. Kuitenkin esimerkiksi mainitut Einsteinin kenttäyhtälöt kuvaavat avaruusajan muotoa yhdessä pisteessä kerrallaan ja ne saadaan rajalla, jossa loppupiste lähestyy alkupistettä.
8 2 Johdanto Havainto, joka tehdään varsinaisesti vasta liitteessä A on, että Riemannin vuorovesitensori R αβ nousee merkittävään rooliin niin Newtonin gravitaatioteoriassa, Einsteinin lokaalissa teoriassa (Yleinen suhteellisuusteoria) kuin myös tässä tutkielmassa käsitellyssä (ei-lokaalissa) teoriassa. Riemannin vuorovesitensori on myös tekijä, joka erottaa suppean suhteellisuusteorian edellä mainituista gravitaatiota kuvaavista teorioista. Suppean suhteellisuusteorian laakeassa avaruusajassa R αβ on aina nolla.
9 Luku 2 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Tässä luvussa käsitellään kvanttimekaanisten systeemien välistä siirtymää (tai yhteyttä). Koko aiheen käsittely ja päätelmät ovat peräisin Diego Meschinin vuonna 2008 ilmestyneestä väitöskirjasta [Meschini] (Chapter 12). Kirjassa on myös käsitelty käytetyn lähestymistavan motivaatiota ja (mm. psykologisia) perusteita ja analogioita. Myöhemmin käsitellään kahden tapahtuman (avaruusajan pisteen) välistä yhteyttä suhteellisuusteorian kannalta ja tämä luku toimii ikään kuin johdantona tai vertailukohtana tulevalle. Käsitteet siirtymäolio ja siirtymäfunktio johdatellaan metageometrisistä 1 lähtökohdista. 2.1 Metageometrinen perusta Fysikaaliseksi perustaksi otetaan preparointi tai esimittaus. Tällä tarkoitetaan prosessia, josta jostakin raaka-aineistosta poimitaan ne systeemit, joilla on jokin haluttu ominaisuus. Siis jos observaabelin A mahdolliset mittaustulokset, eli spektri on {a i } (missä i = 1, 2,...), esimittauksen jälkeen vain tietyt, tulokset ovat mahdollisia. On tietenkin myös mahdollista, että A:n spektri on jatkuva. Esimerkiksi, jos halutaan tutkia vain tietyssä spin-tilassa olevia elektroneja, esimittaus poimii koko näytteen kaikista hiukkasista ne, joilla on haluttu spin. Liitetään observaabeliin A, kuvaamaan esimittausta, metageometrinen esimittausolio P (a). Se kuvaa prosessia, jossa raaka-aineistosta poimitaan 1 Metageometria geometrian tuolla puolen, vrt. metafysiikka, jolla tarkoitetaan fysikaalisen tieteen tavoittamattomissa olevaa [Meschini] s. 191.
10 4 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa fysikaaliset systeemit, jotka liittyvät ko. observaabeliin (ja suodattaa ne, joiden preparointi a-systeemeiksi ei onnistu). Samaan tapaan P (a i ) erittelee observaabelin A spektristä ne systeemit a i, joilla on jokin haluttu ominaisuus ja suodattaa ne a j ( j i), joilla tätä ei ole. Huomautetaan vielä, että P (a) on todella metageometrinen P (a):n P (a) P [ ] (b) P (a), P (b) ei- geometrinen muoto, P (a), vät kertakaikkiaan tarkoita mitään. tai dist Otetaan käyttöön merkintä P (a i )+P (a j ) tarkoittamaan observaabeliin A liittyvää esimittausta, jolla erotellaan sekä a i - että a j -systeemit muista. Symboli '+' ymmärretään tässä siis tarkoittamaan samaa kuin logiikan TAI (poimitaan ne systeemit, joilla on ominaisuus a i TAI a j ). Tuntuu selvältä, että mainittu esimittausten summa on kommutatiivinen; P (a i ) + P (a j ) = P (a j ) + P (a i ) (2.1) ja assosiatiivinen; [ [ ] P (ai ) + P (a j )] + P (a k ) = P (a i ) + P (aj ) + P (a k ). (2.2) Esimittauksen, joka päästää kaikki a i -systeemit läpi, kuvataan identtisyysoliolla I. Niinpä sen on vastattava kaikkien mahdollisten (kyseessä olevaan observaabeliin liittyvien) esimittausolioiden summaa. Symbolein tämä (metageometrinen) täydellisyysrelaatio on i P (a i ) = I, (2.3) missä summa i sisältää kaikki P (a i)-termit a i :t ovat niin tihein välein, kun on havaintojen kannalta tarpeellista. Tärkeintä on, että kaikki mahdolliset mittaustulokset otetaan mukaan. Samaan tapaan, kuin identtisyysolio yllä, otetaan mukaan myös sen vastakohta (esimittausten kannalta). Oliota O, joka vastaa esimittausta, josta yhtään systeemiä ei pääse läpi, kutsutaan nollaolioksi. Yhteen observaabeliin A liittyvää esimittausta, joka vaatii sekä tuloksen a i että tuloksen a j, merkitään tulolla P (a j )P (a i ) (vastaavasti P (a)p (b) vaatii ominaisuudet a ja b). Tulo siis vastaa loogiikan operaatiota JA (läpi pääsevät systeemit, joilla on ominaisuus a i JA a j ). 2 Näistä esimittauksista jälkimmäinen, P (a j ) päästää sisään tulevista a i -systeemeistä läpi a j - 2 Joukko-opin kannalta yhteen observaabeliin liittyvien esimittausten joukossa summa + vastaa yhdistettä ja tulo leikkausta. [Kirjoittajan huomautus]
11 2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio 5 systeemit. Toisin sanoen kaikki systeemit suodattuvat, ellei i = j. 3 Symbolein missä on otettu käyttöön deltaolio P (a j )P (a i ) = D ij P (a i ), (2.4) D ij = { O kun i j I kun i = j. Tuloksesta (2.4) käsin on selvää, että myös yhteen observaabeliin A liittyvien esimittausolioiden tulo on sekä kommutatiivinen että assosiatiivinen (useampaan observaabeliin liittyvien esimittausolioiden tulo on yleisesti ainoastaan assosiatiivinen): P (a j )P (a i ) = P (a i )P (a j ) (2.5) [ ] [ P (ak )P (a j ) P (ai ) = P (a k ) P (aj )P (a i )] (2.6) Todetaan vielä, ennen siirtymistä tutkimaan tilojen välistä vastaavuutta, että nollaoliolla O ja identtisyysoliolla I on tulon ja summan suhteen samanlaisia ominaisuuksia kuin luvuilla 1 ja 0: I + O = I, P (a) + O = P (a), I I = I, O O = O, I P (a) = P (a) = P (a)i, O P (a) = O = P (a)o, I O = O = O I Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio Kahteen eri observaabeliin A ja B liittyvien esimittausolioiden P (a) ja P (b) tulon tutkiminen antaa aihetta ottaa mukaan uuden, metageometrisen, 3 P (a j)p (a i) = O kun i j P (a j)p (a i) = P (a i) kun i = j 4 Toisaalta erojakin löytyy esim. tarkastelemalla toimituksia I + I ja P (a) + I. [Kirjoittajan huomautus]
12 6 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa olion. Yleisestihän P (b)p (a) P (a)p (b). Ensimmäinen tulo suodattaa raaka-aineistosta muut kuin a-systeemit, jonka jälkeen ne a-systeemit, jotka eivät muunnu b-systeemeiksi, suodatetaan pois jäljelle jää b-systeemejä. Jälkimmäisessä a:n ja b:n roolit vaihtuvat ja jäljelle jäävät ovet a-systeemejä. Vain täydellisesti yhteensopiville 5 observaabeleille A ja B yhtäsuuruus pätee (ja tietysti täydellisen yhteensopimattomille 6, jolloin molemmat tulot antavat O :n). Tulojen tarkastelu herättää kysymyksen, kuinka yhteensopivia observaabelit A ja B ovat. Tulo P (b)p (a) koostuu oikeastaan kolmesta osasta; i) a-systeemien esimittauksesta raaka-aineistosta, ii) a-systeemien muuntamisesta b-systeemeiksi, siltä osin kuin se onnistuu (riippuu yhteensopivuuden määrästä) ja iii) a- ja b-systeemien yhteensopivuuden mitasta. Yhteensopivuutta tarkastellaan myöhemmin, mutta siirtymää (muunnosta) varten otetaan käyttöön kvanttimekaaninen (metageometrinen) siirtymäolio P (b a). Se kuvaa a-systeemien muuntamista b-systeemeiksi ilman suodatusta kaikki sisään menevät a-systeemit tulevat ulos b-systeemeinä. Selvästi P (b a) P (a b), erityisesti tämä pätee siirtymille yhden observaabelin mittaustuloksissa P (a j a i ) P (a i a j ) (koska a i - ja a j systeemit ovat toisensa pois sulkevia). Ja koska yhteen observaabeliin liittyvät eri systeemit ovat täysin yhteensopimattomia, jotta tulo P (a l a k )P (a j a i ) olisi nollasta poikkeava, on jälkimmäisen siirtymän alkutilan ja ensimmäisen lopputilan oltava yhteensopivia. On siis oltava P (a l a k )P (a j a i ) = D jk P (a l a i ). (2.7) Tästä seuraa myös, etteivät siirtymäoliot yleisesti kommutoi. Itse asiassa ne kommutoivat täsmälleen silloin kun j k ja i l, ja kun i = j = k = l. Intuitiivisesti on myös selvää, etteivät eri observaabeleihin liittyvät siirtymäoliot P (b a) ja P (d c) kommutoi. Toisin kuin yhden observaabelin tilat, eri observaabeleihin liittyvät tilat eivät välttämättä ole täysin yhteensopimattomia tai täysin yhteensopivia. Tulolla P (d c)p (b a) ja siirtymällä P (d a) on varmaankin jotain yhteistä keskenään, vaikkei yhtäsuuruus pätisikään. Tulon lopputulos riippuu observaabelien b ja c yhteensopivuuden määrästä. Huomautetaan vielä, että lopputulos on sama, jos suoritetaan observaabeliin A liittyvä esimittaus kahteen kertaan tai jos suoritetaan ensin esimittaus, jonka jälkeen muunnetaan a-systeemit a-systeemeiksi. Kummassakaan tapauksessa mitään ei suodateta ensimmäisen esimittauksen jälkeen, vaan 5 engl. compatible 6 engl. incompatible
13 2.2 Kvanttimekaaniset siirtymäolio ja siirtymäfunktio 7 kaikki systeemit selviytyvät loppuun asti. Symbolein P (a)p (a) = P (a a)p (a). (2.8) Tässä tapauksessa siirtymäolioiden tulo siis jakautuu kahteen osaan, esimittaukseen ja siirtymään aiemmin mainittua systeemien yhteensopivuuden mittaa ei ole näkyvissä, kun siirtymän alku- ja lopputilat ovat samat. Ei ole vaikea arvata, että seuraavaksi otetaan mukaan yhteensopivuutta mitattaamaan luvut ja että täydellisesti yhteensopivien systeemien yhteensopivuus on 1. Luvut tulevat mukaan kuvaan yhtälön (2.7) ja deltaolion D jk kautta. Korvaamalla tämä Kroneckerin deltalla δ jk saadaan mukaan luonnollisimmat luvut 0 ja 1: P (a l a k )P (a j a i ) = δ jk P (a l a i ). (2.9) Aiemmin deltaolio esiintyi aina tulon osapuolena, jossa tuloksena oli olio. Luvun ja olion tulon on annettava myös olio, jotta esim. yhtäsuuruus (2.9) säilyy mielekkäänä. Asetetaan siis 0P (a l a i ) = O (2.10) 1P (a l a i ) = P (a l a i ). (2.11) Nyt tehdään merkittävä postulointi: Yleistetään idea yhtälön (2.9) takana koskemaan myös useampaan observaabeliin liittyvien siirtymäolioiden tuloon ja asetetaan nk. siirtymäpostulaatti: P (d c)p (b a) = c b P (d a), (2.12) missä merkintä c b saa nimen siirtymäfunktio 7 ja estaa lukua. Tämän luvun luonteesta (luonnollinen, rationaali-, reaali-, kompleksi- jne.) ei vielä sanota mitään. Sen paremmin ei (vielä) voi tulkita c b :a sisätuloksi tässä vaiheessa se on vain merkintä fysikaaliselle toimitukselle. Siirtymäfunktio on täysin erilainen objekti kuin tähänastiset oliot, joten se kommutoi sekä siirtymä- että esimittausolion kanssa. Fysikaalisesti siirtymäfunktio kuvaa sitä, mikä osa observaabeliin B liittyvistä b-systeemeistä onnistutaan muuntamaan observaabeliin C liittyviksi c-systeemeiksi. Se on osa, joka on yhteistä esimittausolioille P (b) ja P (c). Aiempi tulos a j a i = δ ij on nyt erikoistapaus, jossa yhteen observaabeliin liittyvät tilat ovat joko täysin yhteensopivat (samat) tai täysin yhteensopimattomat (eri tilat). 7 Funktio, lat. fungi suorittaa toiminto. Siirtymäfunktio on tässä ymmärrettävä funktioksi tässä mielessä, ei eksplisiittiseksi kahden reaaliluvun, b ja c funktioksi f(c, b) [Meschini] s. 213.
14 8 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Nyt on koossa kaikki tarvittava kahden esimittausolion tulon ilmaisemiseksi, kuten jo ennakoitiin, kolmen objektin i) a-systeemien esimittauksesta raaka-ainestosta, ii) a-systeemien muuntamisesta b-systeemeiksi ja iii) a- ja b-systeemien yhteensopivuuden mitasta: P (b)p (a) = b a P (b a)p (a). (2.13) Tästä yhdistämällä tuloksen (2.8) kanssa saadaan jo aiemmin arvattu tulos a a = 1. Ennen siirtymistä eteenpäin mainitaan vielä kaksi relaatiota, jotka päätellään fysikaalisiin syihin vedoten ([Meschini] s. 214): b a = i b c i c i a ja (2.14) P (b a) = i,j d j b a c i P (d j c i ). (2.15) Näistä ensimmäinen tarkoittaa, että se osuus a-systeemeistä, jotka muuntuvat b-systeemeiksi, voidaan ajatella muuntuvan kaikkien mahdollisten c i - systeemien kautta. Jälkimmäinen puolestaan voidaan tulkita niin, että siirtymä a-systeemeistä b-systeemeiksi voidaan kasata siirtymistä c i -systeemeistä d j -systeemeihin, kunhan tiedetään, mikä osa c i -systeemeillä ja a-systeemeillä ja toisaalta b-systeemeillä ja d j -systeemeillä on yhteensopivaa. Siirtymäfunktiolla on siten rooli, kun muodostetaan lineaarikombinaatioita siirtymäolioista; siirtymäfunktiot antavat painon kullekin termille, sen perusteella, kuinka yhteensopivia eri systeemit ovat. Mitä enemmän on yhteistä, sitä suuremman painon ko. siirtymään liittyvä siirtymäolio saa. 2.3 Siirtymäfunktion käyttö Aiemmin todettiin, että yhden observaabelin tapauksessa a j a i on joko 0 tai 1. Toisaalta on todettu, että siirtymäfunktio kuvaa alku- ja lopputilojen yhteensopivuutta. Niinpä on enää lyhyt matka siirtymätodennäköisyyksien mukaan tuloon. Meschini lähtee tutkimalla esimittauksen P (b) aiheuttamaa häiriötä a- systeemeihin ([Meschini] s. 215): P (a)p (b)p (a) = a b b a P (a). Seuraavaksi tutkitaan hieman tarkemmin siirtymäfunktion fysikaalista merkitystä ja todetaan, että sen kuvaamiksi luvuiksi luonnollisin (toimiva) valinta ovat kompleksiluvut. Ylläolevan siirtymäfunktioiden tulon alaraja on 0 (tiloilla ei ole mitään yhteistä).
15 2.3 Siirtymäfunktion käyttö 9 Asetetaan myös b a ja a b toistensa aalisiksi vastineiksi kompleksikonjugoinnin kautta 8, b a = a b. (2.16) Nyt voidaan tulkita tulo a b b a todennäköisyydeksi. On saatu Pr(b a) = a b b a = b a b a =: b a 2 0. Tässä kunkin siirtymän todennäköisyys on symmetrinen: Pr(b a) = Pr(a b). Toisaalta koska Pr(b i a) = i i b i a 2 = 1, niin 0 Pr(b a) 1. Siirtymäfunktion avulla saadaan suoritettua vielä seuraava mielenkiintoinen tarkastelu. Tutkitaan taas esimittausolioiden tuloja: 1. Ensimmäiseksi otetaan siirtymä a-systeemeistä c-systeemeihin jonkin tietyn b-systeemin kautta, P (c)p (b)p (a), (observaabeliin B liittyvä suodatin on päällä). Koska siirtymät a-systeemeistä b-systeemeihin ja b-systeemeistä c-systeemeihin ovat toisistaan riippumattomat, voi todennäköisyyden Pr(c b a) ilmoittaa tulona Pr(c b)pr(b a). Tällöin Pr(c b a) = b c c b a b b a = c b b a Seuraavaksi tuloa P (c)i P (a) tarkastelemalla (tässä B:hen liittyvä suodatin on pois päältä), koska tulokset b i ovat toisensa poissulkevia, saadaan Pr(c b i a) = b i c c b i a b i b i a = i i i c b i b i a Viimeisenä tulo P (c)p (a) (B:hen liittyvä suodatin on kokonaan poissa) kuvaa siirtymää, näennäisesti ilman kulkua yhdenkään b i -systeemin 8 Tämä on nk. siirtymäfunktiopostulaatti; Siirtymäfunktiot estavat kompleksilukuja ja a b :n ja b a :n välinen yhteys on nimenomaan b a = a b
16 10 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa kautta. Kuitenkin käyttäen hyväksi tulosta (2.14), todennäköisyys Pr(c a) = a c c a, saadaan kirjoitettua muodossa Pr(c a) = a b i b i c c b j b j a i j = a b i b i c c b i b i a + a b i b i c c b j b j a i i j i = Pr(c b i a) + interferenssitermit. i Viimeisessä kohdassa interferenssitermit estavat kaikkien mahdollisten tapojen (läpäistä b i systeemit) interferenssiä. Aivan kuin systeemeille olisi sen lisäksi, että ne kulkevat jonkin b i systeemin läpi mahdollista kulkea kaikkien b i -systeemien kautta samanaikaisesti. Tämä on tietenkin kiellettyä klassisessa fysiikassa. Näin identtisyysoliolla I on fysikaalisia seurauksia, se muuttaa c:n mittauksiin liittyvää ennustetta riippuen siitä, onko observaabeliin B liittyvää esimittausta läsnä vai ei. Tähän astinen kvanttimekaniikan käsittely on pysytellyt erossa geometrisista käsitteistä niin hyvin kuin mahdollista. Siirtymäfunktiota on merkitty, kuin tulevaa ennakoiden, a b :llä, vaikkei mistään tilavektoreista puhumattakaan niiden sisätuloista ole vielä sanottu mitään. Nyt ne kuitenkin otetaan mukaan tähänastinen meta- ja kvasigeometrinen 9 tarkastelu mielessä, analogian kautta. Aiemmin todettiin, että i b i a = 1. Samalla tavalla käyttäen Pythagoraan lausetta n-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa yksikkövektrorille a ja ortonormitetun kannan kantavektoreille b i (i = 1, 2,..., n ja ortonormitus bi b j = δ ij ) saadaan cos 2 (θ i ) = ( b i a) 2 = 1, i i missä θ i on a:n ja b i :n välinen kulma. Loppujen lopuksi mukaan otetaan vektorit siten, että ket-vektori a yhdistetään sisään tulevaan tilaan ja bra-vektori a ulosmenevään. Bra- ja ketvektoreiden sisätulo b a ajatellaan siirtymäfunktion b a geometriseksi vastineeksi. Näin tulkiten saadaan geometriset vastineet myös esimittaus ja siirtymäolioille. Siirtymäolio P (b a) muuntaa sisään tulevat a-systeemit b-systeemeiksi. Tilavektoreiden a ja b ulkotulo b a tekee juuri tämän ( b a ) a = b, 9 kvasigeometria ymmärretään tässä metageometrian ja geometrian väliseksi alueeksi. Kvasigeometrisellä oliolla on joitakin yhtymäkohtia geometriaan, vaikkei se varsinaisesti geometrinen olekaan ([Meschini] s. 190)
17 2.3 Siirtymäfunktion käyttö 11 siis Samalla tavalla P (b a) g = b a. (2.17) P (a) g = a a. (2.18) Mainitaan tässä, siirtymäfunktioihin liittyvässä luvussa, vielä yksi käsite. Yleisesti operaattorin ˆX jäljeksi (operaattorikannassa { a i a i }) kutsutaan sen diagonaalielementtien summaa, Tr( ˆX) = i a i ˆX a i. Jäljen avulla, relaatiota (2.14) ja kompleksilukujen kommutatiivisuutta hyväksi käyttäen saadaan kirjoitettua muutama yhteys metageometristen ja geometristen olioiden välille: 1. Metageometrisen siirtymäolion P (b a) jättämä geometrinen jälki on sisätulo (geometrisoitu siirtymäfunktio) b a : Tr[P (b a)] g = Tr( b a ) = i c i b a c i = a b. (2.19) 2. Erityisesti, Tr[P (a j a i )] g = Tr( a j a i ) = a i a j = δ ij. (2.20) 3. Metageometrisen esimittausolion P (a) jättämä geometrinen jälki on Tr[P (a)] g = Tr( a a ) = a b = 1. (2.21) 4. Metageometristen siirtymäolioiden P (d c) ja P (b a) tulon jättämä geometrinen jälki on Tr[P (b a)p (d c)] = Tr[P (d c)p (b a)] g = Tr[( d c )( b a )] = c b a d, (2.22) josta seuraa huomion arvoinen tulos: 5. Kahden metageometrisen esimittausolion P (a) ja P (b) tulon jättämä geometrinen jälki on a- ja b-systeemien välinen siirtymätodennäköisyys Tr[P (a)p (b)] = Tr[P (b)p (a)] g = b a a b = Pr(b a). (2.23) Toisin sanoen: metageometristen olioiden geometrinen sormenjälki on kvanttimekaaninen todennäköisyys ([Meschini] s.229).
18 12 Siirtymäfunktio kvanttimekaniikassa Kvanttimekaniikkaa käsitellään vielä perusteellisemmin ja laajemmin nyt lainatussa väitöskirjassa ([Meschini]), mutta tässä on lyhyesti esitetty pääkohdat liittyen kvanttimekaaniseen siirtymäfunktioon b a. Myöhemmin esitellään suhteellisuusteoreettiset siirtymäfunktio ja siirtymäolio. Tämä kappale on liitetty tutkielmaan vertailun vuoksi, vaikkei samoista objekteista sinänsä olekaan kyse.
19 Luku 3 Maailmanviiva ja maailmanpinta 3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö Tästä kappaleesta eteenpäin tutkitaan neliulotteisen avaruusajan ominaisuuksia. Toisin kuin edellisessä kappaleessa esitetty kvanttimekaniikka on tuleva teoria täysin geometrinen Geodeettinen yhtälö Kahden tapahtuman, A x α (u A ) ja B x α (u B ), tapahtumaväli on s = B A C ds = ub u A f ( x, dx ), missä C on sellainen maailmanviiva x α = x α (u), joka kulkee molempien tapahtumien kautta; u on parametri, joka kasvaa menneisyydestä tulevaisuuteen. Käytössä on viivaelementti ds = g αβ dx α dx β, joten f(x, x ) = f ) (x α, dxα dx = g α dx β αβ. Maailmanviivaa, jossa tapahtumaväli s saa ääriarvon, kutsutaan geodeesiksi. Toisin sanoen geodeesi on maailmanviiva, joka toteuttaa variaatioyhtälön B ub δ ds = 0, eli δ f ( u, x, x ) = 0, A u A
20 14 Maailmanviiva ja maailmanpinta missä δ on variaatiosymboli ja x = dx (tässä kappaleessa tarkoittaa derivointia u:n suhteen). Otetaan nyt (reaali)luku ε ja riittävän siisti funktio y α = y α (u), jolle y α (u A ) = y α (u B ) = 0 ja määritellään uusi maailmanviiva Tällöin df(u, z α, z α ) dε z α (u) = x α (u) + εy α (u). = f u u ε + f z α z α ε + f z α z α ε = f z α yα + f z α y α. Jos nyt z α (u) = x α (u) on etsitty ääriarvon antava maailmanviiva, niin d ub ub ( f f(u, z α, z α ) z dε α =x α = u A u A x α d ) f x α y α = 0. Joten koska y α (u) voi poiketa nollasta, pätevät geodeesin jokaisessa pisteessä (Eulerin-Lagrangen) yhtälöt, d f f = 0, (3.1) x α xα missä x α = dxα ja α = 1, 2, 3, 4. Kätevämmäksi osoittautuu kuitenkin hieman muokattu muoto, jossa f(x, x ):n sijasta esiintyy [f(x, x )] 2 : Kun d f = 0, niin myös (ks. liite) x f α x α d ( f 2 x α ) (f 2 ) x α 1 d(f 2 ) 2f 2 (f 2 ) = 0. x α Tähän mennessä parametri u on ollut mielivaltainen, mutta valitaan nyt u = s. Tällöin x α = dxα ds, f 2 = g αβ x α x β = g αβdx α dx β = +1 ja df 2 ds 2 = 0, jolloin saadaan nk. ajanluonteisen geodeettisen yhtälön 1. muoto ( ) d f 2 ds x α (f 2 ) = 0. (3.2) xα Hieman eksplisiittisempi, 2. muoto saadaan sijoittamalla yllä olevaan yhtälöön (3.2) f 2 = g αβ x α x β. Tällöin sievennysten jälkeen jäljelle jää ajanluonteisen geodeettisen yhtälön 2. muoto missä g γβ dx β ds + [αβ, γ]x α x β = 0, (3.3) [αβ, γ] = 1 2 ( gαγ x β + g βγ x α g ) αβ x γ
21 3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö 15 on nimeltään ensimmäisen lajin Christoelin symboli. Kolmas, vieläkin eksplisiittisempi muoto saadaan kertomalla 2. muotoa g γδ :lla: Koska g γδ g γβ = δ δ β, tulee tulokseksi missä d 2 x γ ds 2 { } + γ x α x β = 0 (3.4) α β { } γ = g γδ [αβ, δ] on nk. toisen lajin Christoelin symboli. α β Absoluuttinen ja kovariantti derivaatta Seuraavaa havaintoa varten tehdään parametrinvaihto u v = v(u). Geodeettinen yhtälö (3.4) muuttuu tällöin muotoon d 2 x γ dv 2 { } + γ dx α dx β α β dv dv = d2 v 2 ( ) dv 2 dx γ dv. Koska yhtälön oikea puoli on muotoa f(v)t γ, siis vektori, on vasemmalla puolella olevan summankin oltava sitä (vaikkeivät sen termit erikseen olekaan). Näin ollen koordinaattimuunnoksessa x x (tästä eteenpäin viittaa koordinaattimuunnokseen, ei derivointiin) vektorille U γ := d2 x γ 2 { } + γ dx α dx β α β pätee U γ = x γ x δ U δ. Siis U γ = d2 x γ 2 ts. = x γ x δ { } + γ dx α α β 2 x δ dx α x β x α ( { } γ { } δ x γ α β ε ζ x δ dx β dx β + d2 x γ 2 x ε x ζ x γ x α x β x δ { } + δ x γ x α x β dx ε dx ζ α β x δ x ε x ζ, 2 x δ ) dx α dx β x β x α = 0, josta muunnosrelaatioksi 2. lajin Christoelin symbolille saadaan { } γ { } δ x γ α β = ε ζ x δ x ε x ζ x γ x α + x β x δ 2 x δ x α x β (3.5) Viimeisen tulotermin mukana pysyminen osoittaa, ettei 2. lajin Christoelin symboli ole tensori.
22 16 Maailmanviiva ja maailmanpinta Otetaan nyt kontravariantti vektori T α ja muodostetaan siitä johdannainen dt α { } + α T β dxγ δt α =: β γ, T α :n absoluuttinen derivaatta (maailmanviivaa x α = x α (u) pitkin). Todetaan ensin, että δt α δt α on myös kontravariantti vektori, ts. = x α δt β x β : Tutkitaan erotusta δt α x α δt β dt α x β = x α dt β { } x β + α T β dx γ β γ x α { } β x β T γ dxδ γ δ. (3.6) Kaksi ensimmäistä termiä oikealla puolella sievenevät muotoon 2 x α x β x γ T β dxγ ( 0), eli pelkkä dt α ei ole kontravariantti vektori. Erotuksen (3.6) kaksi jälkimmäistä termiä puolestaan sievenevät muotoon Nyt huomataan, että koska (ks. liite) niin δt α 2 x δ x ε x ζ x α x δ x ε x β x ζ x γ T β dxγ, 2 x δ x ε x ζ x α x δ x ε x β x ζ x γ + 2 x α x β x γ = 0, x α δt β ( 2 x β = x δ x α x ε x ζ x ε x ζ x δ x β x γ + 2 x α ) x β x γ T β dxγ = 0. Täten kontravariantin vektorin absoluuttinen derivaatta on myös kontravariantti vektori. Jos δt α = 0 (jokaisessa maailmanviivan pisteessä), sanotaan, että on suoritettu vektorin T α yhdensuuntaissiirto (maailmanviivaa pitkin). Seuraavaksi herää kysymys, voiko absoluuttisen derivaatan ottaa käyttöön myös kovarianteille vektoreille T α tai korkeamman kertaluvun tensoreille. Ja jos voi, millaisen? Aloitetaan tarkastelemalla kovarianttia vektoria T α maailmanviivalla x α = x α (u). Otetaan avuksi kontravariantti U α, jota siirretään yhdensuuntaisesti pitkin em. maailmanviivaa, ts. δu α = 0 eli du α { } = β U β dxγ α γ.
23 3.1 Maailmanviiva x α = x α (u) ja geodeettinen yhtälö 17 Koska (sisätulo)invariantin T α U α derivaatta u:n suhteen on myös invariantti, saadaan d (T αu α ) = dt α U α du α ( + T α = dtα { } β dx γ ) T α γ β U α (missä U α on mielivaltainen jokaisessa maailmanviivan pisteessä). Sulkeissa olevaa nimitetään T α :n absoluuttiseksi derivaataksi ja merkitään dt { } α β dx γ T α γ β =: δt α Koska saan tulon δtα U α on edelleen oltava invariantti, on δtα :n oltava kovariantti vektori. T α :n yhdensuuntaissiirto on, kuten aiemmin kontravariantin vektorin tapauksessa, δt α = 0. Vastaavasti, käyttäen hyväksi sisätuloa, saadaan toisen kertaluvun tensorien absoluuttiset derivaatat δt αβ dt αβ { } { } = + α γβ dxδ T γ δ + β αγ dxδ T γ δ, δt αβ = dt { } αβ γ dx δ { } T α δ γβ γ dx δ T β δ αγ ja δt α β = dt α { } β + α T γ dx δ { } γ δ β γ T α dx δ β δ γ. Myös korkeamman kertaluvun tensoreiden absoluuttiset derivaatat muodostetaan samalla periaatteella jokaista kontravarianttia komponenttia kohti tulee lisää yksi termi positiivisella etumerkillä, jokaista kovarianttia komponenttia kohti tulee termi negatiivisella etumerkillä. Invariantille T sovitaan, että δt = dt. Absoluuttisen derivaatan ominaisuuksista mainittakoon seuraavat Lineaarikombinaatiosääntö ja Leibnizin sääntö ovat voimassa kuten tavallisellekin derivaatalle. Siis δ (at + bu) = aδt + bδu mittä T ja U ovat derivoituvia olioita. Osittaisintegrointi b a ja δu α b g αβ V β = / g αβ U α V β a δ δt (TU) = U + TδU, b a g αβ U α δv β.
24 18 Maailmanviiva ja maailmanpinta δg αβ = 0 = δgαβ ja δ(δα β) = 0 g αβ dt α dt β yleensä, mutta g αβ δt α = δt β. Palataan vielä hetkeksi geodeettiseen yhtälöön (3.4). Sen voi nyt, käyttäen absoluuttista derivaattaa ja merkintää dxα =: U α (tangenttivektori), kirjoittaa muodossa δu α = 0. (3.7) Toisin sanoen: Geodeesin tangenttivektori dxα siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin geodeesia (vrt. tason geodeesi: suora viiva). Erityisesti yksikkötangenttivektori dxα s =: V α (materiahiukkasen nelinopeus), siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin geodeesia; δv α δs = 0. Täten myös vapaan 1 m-massaisen materiahiukkasen neliliikemäärä P α = mv α siirtyy yhdensuuntaisesti pitkin ajanluonteista geodeesia. Tätä voi verrata klassisen fysiikan Newtonin I lakiin, jonka mukaan vapaalle 2 hiukkaselle pätee d p dt = 0. Newtonin I lain mukaan vapaa massallinen hiukkanen jatkaa suoraviivaista liikettä vakionopeudella (tai pysyy paikallaan). Suhteellisuusteoriassa tämä korvataan Einsteinin geodeettisella hypoteesilla, jonka mukaan vapaan massallisen hiukkasen maailmanviiva on Riemannin-Einsteinin avaruusajan ajanluonteinen geodeesi. Vapaan fotonin maailmanviiva on nollageodeesi, jolle ds = 0. Absoluuttinen derivaatta riippuu tarkasteltavana olevasta maailmanviivasta (u:sta) ja on siksi käytännöllinen apuväline niin kauan kun tarkastellaan esimerkiksi geodeettista yhtälöä tai siirtymiä maailmanviivalla. Ennemmin tai myöhemmin halutaan kuitenkin liittää tensorit koko avaruusaikaan (tai johonkin sen osaan) ja näin ollen pitää siirtyä maailmanviivaderivaatasta avaruusaikaderivaattaan ns. kovarianttiin derivaattaan. Siirtyminen tapahtuu ottamalla dxγ yhteiseksi tekijäksi, kontravariantille vektorille siis δt α = dt α { } + α T β dxγ β γ = ( T α { } ) x γ + α dx T β γ β γ, 1 Vapaan ulkoisista voimista. Suhteellisuusteoriassa gravitaatio halutaan määritellä avaruusajan absoluuttiseksi (geometriseksi) ominaisuudeksi, ei ulkoiseksi voimaksi. Näin se saattaa hyvinkin esiintyä, vaikka hiukkanen olisikin ns. vapaa. 2 Klassisessa fysiikassa myös gravitaatio ajatellaan ulkoiseksi voimaksi.
25 3.2 Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö 19 v = vakio. A v = vakio v = vakio. B x α = x α (u,v): v = vakio, u A u u B x α = x α (u A,v) x α = x α (u B,v) Kuva 3.1: Maailmanpinta missä suluissa oleva osa on tyyppiä (1,1) oleva 2. kertaluvun tensori (sillä sen ja kontravariantin vektorin dxγ δt α tulo on kovariantti vektori ). Tätä nimitetään T α :n kovariantiksi derivaataksi. Usein merkitään T α { } { } x γ + α T β = T α α β γ,γ + T β = T α β γ ;γ, missä T α,γ on T α tavallinen osittaisderivaatta x γ :n suhteen. Kovariantin vektorin kovariantti derivaatta on } T α;γ = T α,γ { β α γ 2. kertaluvun kovariantti tensori. Vastaavaalla tavalla absoluuttisesta derivaatasta saadaan myös korkeampien kertalukujen tensorien kovariantit derivaatat. T β 3.2 Maailmanpinta x α = x α (u, v) ja geodeettinen yhtälö Tarkastellaan seuraavaksi maailmanpintaa x α = x α (u, v), missä parametrit u ja v vastaavat maailmanviivan x α = x α (u) parametriä u (Kuva 3.2). Kiinnitetään ensin kaksi maailmanviivaa, joista toisella u = u A = vakio ja toisella u = u B = vakio (u A u B ). Valitaan sitten tapahtuma A ensin mainitulta
26 20 Maailmanviiva ja maailmanpinta ja tapahtuma B jälkimmäiseltä maailmanviivalta niin, että molemmat ovat käyrällä x α = x α (u, v), jolla v pysyy vakiona ja u A u u B. Edetään samaan tapaan kuin edellisessäkin kappaleessa muodostamalla variaatiointegraali (invariantti) A:sta B:hen I(v) = ub u A g αβ x α u x β ub u = g αβ U α U β, (3.8) u A missä on merkitty tangenttivektorikenttää xα u =: U α. 3 Tutkitaan ensin, kuinka parametrin v muuttaminen vaikuttaa integraalin arvoon, toisin sanoen mitä on di(v) dv. Koska I(v) on invariantti, tiedetään, että Siten saadaan (liite) di(v) dv = δi(v) δv. di(v) dv = 2 / u B u A g αβ U α V β 2 ub u A g αβ δu α V β. (3.9) Muodostetaan nyt variaatio-ongelma kiinnittämällä tapahtumat A ja B, ts. asetetaan V α (u A ) = V α (u B ) = 0. Tällöin di(v) dv = 2 ub u A g αβ δu α V β = 0, mistä geodeettiseksi yhtälöksi saadaan, kuten aiemminkin, (koska V α 0 yleisesti) δu α = 0. (3.10) Varsinainen tulos saadaan tästä ensin kertomalla (laskemalla sisätulo) puolittain U α :lla: δu α g αβ U β = 0. (3.11) Eli koska δu α g αβ U β = 1 δ ( g αβ U α U β) = 1 d ( g αβ U α U β), 2 2 niin myös d ( g αβ U α U β) = 0. Tästä integroimalla u:n yli saadaan (1. integraali) 3 Vastaavasti merkitään xα v = V α. g αβ U α U β =: εζ 2 (= vakio), (3.12)
27 3.3 Geodeettinen kaarevuus 21 missä indikaattori ε määrää merkin (ε = +1 tai ε = 1). Myös vakiosta ζ osataan sanoa hieman lisää. Kirjoittamalla yhtälöä 3.12 auki eli sijoittamalla U α = dxα huomataan, että vasemmalla puolella esiintyy siirtymäalkio ds 2 = εg αβ dx α dx β. Näin ollen saadaan relaatio ds:n ja :n välille: ds = ζ. (3.13) Tehdään vielä havainto liittyen U α :lla kerrottuun geodeettiseen yhtälöön (3.11). 3.3 Geodeettinen kaarevuus Yhtälön 3.11 mukaan ja se toteutuu, jos 1. W α := δu α g αβ δu α U β = 0 = 0, eli siirrytään pitkin geodeesia, tai 2. W α 0, jolloin sisätulo g αβ W α U β = 0, eli vektorit W α ja U α ovat ortogonaaliset. Tietenkään ei ole mitään syytä olettaa, että W α = 0 yleensä. U α = dxα on x α :n tangenttivektori(kenttä), joten jos W α on sen kanssa ortogonaalinen, on sen oltava verrannollinen yksikkönormaalivektoriin N α. Otetaan verrannollisuuskertoimeksi k(> 0) ja kutsutaan sitä käyrän geodeettiseksi kaarevuudeksi. Tällöin siis δu α = kn α. (3.14) (k siis kuvaa käyrän, ei itse avaruuden kaarevuutta.) Määritelmä myös tuntuu luonnolliselta, jos tulkitaan absoluuttinen derivaatta poikkeamana geodeesin suunnasta; mitä suurempi on kaarevuus k, sitä suurempi on W α :n suuruus eli U α :n poikkeama geodeesista. N α :n avulla saadaan lauseke k:lle. Koska N α on yksikkövektori, on ε N g αβ N α N β = 1, missä ε N = +1 tai ε N = 1 niin että sisätulo antaa tulokseksi +1. Sijoittamalla tähän yhtälöstä 3.14 ratkaistu N α saadaan k 2 δu α δu β = ε N g αβ. (3.15) Siis: Mitä suurempi kaarevuus, sitä enemmän tangenttivektori muuttuu liikuttaessa käyrällä x α = x α (u). Samanlaisilla kaarevuuksilla on merkitystä seuraavassa luvussa, kun käsitellään enemmän hiukkasten ratakäyriä ja liikettä.
28 22 Maailmanviiva ja maailmanpinta
29 Luku 4 Liikkeen kuvailu 4.1 Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa Tässä kappaleessa käsitellään liikettä klassisen mekaniikan mukaan. Ollaan siis kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Myöhemmin vastaava liikkeen kuvailu suoritetaan avaruusajassa, joten tämä kappale toimii johdantona tulevalle. Klassisessa mekaniikassahan (mitattavana) perussuureena on pituus. Geometrisena perusoperaationa, niin nyt kuin myöhemminkin, on sisätulo kolmiulotteisen euklidisen avaruuden tapauksessa pistetulo ( a b). Ajatellaan avaruuteen hiukkasen ratakäyrä. Olkoon l ratakäyrän kaaren pituus niin, että l 0 (ks. Kuva 4.1). Merkitään ratakäyrän yksikkötangenttivektoria (kullakin l:n arvolla) û T (l). Tälle siis û T (l) û T (l) = û T (l) 2 = 1 kaikilla l. Derivoimalla edellistä relaatiota (tai ominaisuutta) puolittain l:n suhteen saadaan 2û T (l) dû T(l) = 0. dl Toisin sanoen, koska dû T(l) dl ei välttämättä ole nollavektori, on se kohtisuorassa û T (l):ää vastaan. Niinpä koska û T (l) on ratakäyrän tangenttivektori, on sen derivaattavektori verrannollinen yksikkönormaalivektoriin, ns. päänormaalivektoriin û N (l). Otetaan verrannollisuuskertoimeksi ( ) k = k(l) = dû T (l) dl 0, siis dû T (l) = k(l)û N (l). (4.1) dl Myös päänormaalivektorille pätee û N (l) û N (l) = 1.
30 24 Liikkeen kuvailu l=l 2 l 1 u^ T u^ B u^ N l=l 1 hiukkasen rata Kuva 4.1: Ortonormitettu triadi hiukkasen ratakäyrällä Koska myös päänormaalivektorille pätee û N (l) û N (l) = 1, niin derivointi l:n suhteen antaa, kuten edellä û N (l) dû N(l) dl = 0 ja siten myös û N (l):n derivaattavektori on kohtisuorassa itse û N (l):ää vastaan. Asetetaan dû N (l) = a(l)û T (l) + b(l)û B (l), (4.2) dl missä û B = û T û N on ratakäyrän binormaalivektori. Se on siis kohtisuorassa sekä û T (l):a että û N (l):a vastaan. Lisäksi û B (l) û B (l) = 1 ja siten, vastaavin perustein kuin aiemminkin, û B (l):n derivaatta on kohtisuorassa itse vektoria vastaan. Asetetaan nyt dû B (l) dl = α(l)û T (l) + β(l)û N (l). (4.3) Tähän mennessä on siis liitetty hiukkasen ratakäyrään kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa vektoria. Käyttäen hyväksi vektoreiden kohtisuoruutta ja niiden derivaatoille asetettuja ehtoja (4.1),(4.2) ja (4.3) saadaan näille (ks. liite) dû T dl = kû N dû N dl = kû T + τû B dû B dl = τû N, (4.4) missä τ = τ(l) = b(l) = β(l) on ratakäyrän 2. kaarevuus, kiertyneisyys eli torsio (1. kaarevuus eli mutkaisuus on k(l)). 1. kaarevuus, eli k(l), kuvaa
31 4.1 Lämmittelyä: Ortonormitettu triadi kolmiulotteisessa euklidisessa avarudessa 25 käyrän poikkeamaa suorasta ja τ(l) poikkeamaa û T :n ja û N määräämästä tasosta. Siis jos τ(l) = 0 kaikilla l, pysyy liike (2-ulotteisessa) tasossa. Nyt hiukkasta kuvaa kullakin l:n arvolla triadi {û T (l), û N (l), û B (l)} ja sen ratakäyrää aali {k(l), τ(l)}. Täten triadiyhtälöissä (4.4) on kaikki tarvittava hiukkasen liikkeen kuvailuun. Esimerkki 1. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa k(l) = vakio 0 ja τ(l) 0. Tällöin yhtälöt (4.4) ovat dû T dl = kû N dû N dl = kû T dû B dl = 0 eli û B (l) = vakio. Ratkaisu saadaan sijoittamalla ylemmästä yhtälöstä û N keskimmäiseen ja ratkaisemalla näin syntyvä toisen asteen dierentiaaliyhtälö d dl ( ) dût = k 2 û T, dl Käyttämällä hyväksi vektoreiden û T (l) ja û N (l) ortonormaaliutta ja ottamalla käyttöön sopivat, keskenään ortogonaaliset, (vakio)yksikkövektorit ê 1, ê 2 ja ê 3, voidaan ratkaisu kirjoittaa muodossa 1 û T (l) = sin(kl)ê 1 + cos(kl)ê 2 û N (l) = cos(kl)ê 1 sin(kl)ê 2 û B (l) = û T (l) û N (l) = ê 3 Ratakäyrän x = x(l) yksikkötangenttivektori on joten näillä valinnoilla ratakäyrä on û T (l) = d x(l), dl x(l) = 1 k cos(kl)ê k sin(kl)ê 2 + x 0, (4.5) toisin sanoen 1 k -säteinen ympyrä. x 0 on vakiovektori, joka siirtää ympyrän haluttuun paikkaan, kun origo on kiinnitetty. 1 Kullekin komponentille (i = 1, 2 tai 3) û Ti(l) = (A i sin(kl) + B i cos(kl))ê i, missä A i ja B i ovat vakioita.
32 26 Liikkeen kuvailu Esimerkki 2. Otetaan nyt molemmat kaarevuudet nollastapoikkeaviksi vakioiksi. Toisin sanoen k(l) = vakio 0 ja τ(l) = vakio 0. Ratkaistavana on tällöin yhtälöryhmä dû T dl = kû N dû N dl = kû T + τû B dû B dl = τû N. Tämän kanssa yhtäpitävä (derivoidaan ensimmäistä yhtälöä kaksi kertaa ja toista kerran l:n suhteen) yhtälöryhmä on d 3 û T = k d2 û N dl 3 dl 2 d 2 û N = k dl dû 2 T dl + τ dû B (4.6) dl dû B dl = τû N. Nyt saadaan û T :lle yhtälö d 3 û T dl 3 + Ω dû T dl = 0, missä Ω 2 = k 2 +τ 2. Yhtälön ratkaisu (liitteessä) voidaan, sopivilla valinnoilla kirjoittaa muotoon û T = k Ω cos(ωl)ê 1 k Ω sin(ωl)ê 2 + τ Ωê3 û N = sin(ωl)ê 1 cos(ωl)ê 2 û B = τ Ω cos(ωl)ê 1 + τ Ω sin(ωl)ê 2 + k Ωê3, mistä ratakäyrän x(l) yhtälöksi yksikkötangenttivektoria û T integroimalla saadaan x(l) = k Ω 2 sin(ωl)ê 1 + k Ω 2 cos(ωl)ê 2 + τ Ω lê 3 + x 0, toisin sanoen ympyräruuviviiva, jonka paikan avaruudessa määrää vakiovektori x 0. Tämän kappaleen käsittely tapahtui siis kolmiulotteisessa avaruudessa. Kuitenkin, kuten tunnettua, fysikaalinen maailmankaikkeus on neliulotteinen, joten tarvitaan yksi yksikkövektori ja yksi käyrän kaarevuutta kuvaava muuttuja lisää, jotta saadaan vastaava muotoilu liikkeelle avaruusajassa. 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa Tarkastellaan nyt hiukkasen ratakäyrää (maailmanviivaa) neliulotteisessa avaruusajassa. Otetaan neljä keskenään ortogonaalista yksikkövektoria µ α (1), µα (2),
33 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 27 µ α (3) ja µα (4), missä α on kontravariantin vektorin indeksi (α = 1, 2, 3, 4) ja suluissa oleva numero on tetradin (nelikon) vektorin indeksi. Siis µ α (i) = (µ1 (i), µ2 (i), µ3 (i), µ4 (i) ), missä i = 1,2,3 tai 4. Tarkastellaan ensiksi hieman näihin liittyviä laskusääntöjä. Kuten tavallista, saadaan µ α (i) :n kovariantti vastine metristä tensoria (g αβ) hyväksi käyttäen; µ (i)α = g αβ µ β (i). Asetetaan vektoreille ortonormitusehto µ α (i) µ (j)α = g αβµ α (i) µβ (j) = η (ij), (4.7) missä η (ij) = diag(1, 1, 1, 1) on laakean avaruusajan metrinen tensori. Metrisen tensorin g αβ (tai g αβ ) avulla voidaan nostaa ja laskea vektoreiden (ja tensoreiden) indeksejä ja yhdistää näin toisiinsa kovariantit ja kontravariantit vektorit µ α (i) ja µ (i)α. Otetaan käyttöön vastaavanlaiset merkinnät tetradin indekseille µ (i)α := η (ij) µ α (j) ja µ (i) α := η (ij) µ (j)α, (4.8) missä η (ij) on laakean avaruusajan metrisen tensorin kontravariantti muoto (siis niin, että η (ij) η (jk) = δk i ). Tällöin vastaavasti2 µ α (i) = η (ij) µ (j)α ja µ (i)α = η (ij) µ (j) α. (4.9) Toisin sanoen laakean avaruusajan metrisellä tensorilla nostetaan ja lasketaan nelikon vektorin indeksiä, aivan kuten, kussakin pisteessä, avaruusajan yleisellä metrisellä tensorilla nostetaan ja lasketaan vektorien kovariantteja ja kontravariantteja indeksejä. Kertomalla ortonormitusehtoa (µ α (i) µ (k)α = η (ik) (4.7)) puolittain η (jk) :lla saadaan µ α (i) µ(j) α = δ j i. (4.10) 2 Ylläolevan kertominen puolittain µ (i) β :lla antaa puolestaan3 µ α (i) µ(i) β = δα β (4.11) η (ij) µ (j)α = η (ij) η (jk) µ α (k) = δ k i µ α (k) = µ α (i) ja η (ij) µ (j) α = η (ij) η (jk) µ (k)α = δ k i µ (k)α = µ (i)α 3 µ α (i)µ (i) β µ(j) α = δjµ i (i) β = µ(j) β = δα β µ (j) α
34 28 Liikkeen kuvailu Lorentzin muunnos Liitetään samaan avaruusaikapisteeseen kaksi ortonormitettua tetradia, µ α (i) ja ν α (i). Näiden vektoreiden sisätulo antaa (invariantin) nk. Lorentzin matriisin L (i) (j), siis L (i) (j) = µ (i) α ν α (j). (4.12) Lorentzin matriisin varsinainen hyöty tulee ilmi, kun tehdään seuraava havainto: Kerrotaan em. määritelmää puolittain ensin ν α (j) :lla ja sitten :llä. Saadaan kaksi relaatiota (liitteessä) µ α (i) µ (i) α = L (i) (j)ν α (j) ν(j) α = L(i) (j)µ α (i) (4.13) missä (i) ja (j) ovat Lorentz- eli tetradi-indeksit ja α on avaruusaika(tensori-) indeksi. Siis: kertominen Lorenzin matriisilla muuntaa toisen tetradin vektorit toisen tetradin vektoreiksi. Toisaalta voidaan ajatella L (i) (j):tä muunnosoperaattorina, jolla operoimalla saadaan ns. Lorentz-muunnos kahden tetradin välillä 4. Lisäksi (ks. liite) L (i) (j)η (il) L (l) (k) = η (jk), matriisiyhtälönä L T ηl = η Vielä vektoreista Tähän asti on tarkasteltu avaruusaikaan asetettuja yksikkövektoreita, mutta todetaan vielä, että mikä tahansa vektori tai tensori voidaan ilmaista µ α (i) :tä hyväksi käyttäen. Tämä perustuu tietoon, että neljä keskenään ortonormaalia vektoria asettavat kannan neliulotteiseen avaruuteen. V α = V (i) µ α (i) V α = V (i) µ (i) α T αβ = T (ij) µ α (i) µβ (j) T αβ = T (ij) µ (i) α µ (j) β T α β = T (i) (j)µ α (i) µ(j) β jne... (4.14) 4 Erityisesti, jos kaikilla i pätee µ α (i) = ν α (i), niin L(i) (j) = µ (i) α ν α (j) = δ i j = diag(1, 1, 1, 1); matriisiyhtälönä L = 1
35 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 29 Kertomalla näistä ylintä µ (i) α :lla saadaan 5 V (i) = V α µ (i) α. Vastaavasti saadaan muutkin käänteisrelaatiot ylläoleville: V (i) = V α µ α (i) T (ij) = T αβ µ (i) α µ (j) β T (ij) = T αβ µ α (i) µβ (j) T (i) (j) = T α βµ (i) α µ β (j). (4.15) Tähän asti on esitelty neljän yksikkövektorin muodostama nelikko, tetradi ja hieman siihen liittyviä ominaisuuksia. Seuraavaksi valitaan yksi vektori ajanluonteiseksi (loput paikanluonteisiksi) ja keskitytään näiden keskinäisiin suhteisiin Tetradiyhtälöt Aiemmassa kappaleessa kuvailtiin hiukkasen ratakäyrä kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa käyttämällä kolmea keskenään ortogonaalista yksikkövektoria ja kahta kaarevuutta. Nyt tehdään sama neliulotteisessa avaruusajassa. Suurin ero tulee siinä, että neliulotteisessa avaruudessa tarvitaan neljä keskenään ortogonaalista vektoria ja kolme eri käyrään liittyvää kaarevuutta. Liitetään avaruusajan käyrän (x α = x α (u)) kuhunkin pisteeseen ortonormitettu tetradi µ α (i). Valitaan yksikkövektorit niin, että i=1 µα (1), µα (2) ja { } 4 ovat paikanluonteisia, siis µ α (3) g αβ µ α (i) µβ (i) = 1 kaikille i = 1, 2, 3 ja yksikkövektori µ α (4) on ajanluonteinen, siis g αβ µ α (4) µβ (4) = 1. Aiemmin kolmelle keskenään ortogonaaliselle yksikkövektorille johdettiin kolmen yhtälön ryhmä. Nyt vastaava yhtälöryhmä johdetaan tetradin vektoreille. Juoni on sama; otetaan tulo, päätellään tulos, tehdään sopiva valinta ja pidetään huolta, että ortogonaalisuus toteutuu. Aloitetaan µ α (1):stä. Ko. vektori valittiin ajanluonteiseksi, joten ottamalla absoluuttinen derivaatta (viivaparametrin u suhteen) puolittain normitusehdosta g αβ µ α (1) µβ (1) = 1 saadaan 5 V α µ (i) α = V (j) µ α (j)µ (i) α g αβ µ α (1) = V (j) δ i j = V (i) δµ β (1) = 0,
36 30 Liikkeen kuvailu toisin sanoen µ α (1) ja δµα (1) ovat ortogonaaliset. Valitaan δµ α (1) = Aµα (2), (4.16) missä A on vakiokerroin, 1. kaarevuus (A 0 yleensä). Tällöin siis µ α (1) ja µ α (2) ovat ortogonaaliset. Otetaan seuraavaksi absoluuttinen derivaatta tästä ortogonaalisuusehdosta (g αβ µ α (1) µα (2) = 0). Saadaan6 g αβ µ α (1) δµ β (2) = A Valitsemalla nyt δµ α (2) = Aµα (1) + Bµα (3), (4.17) missä myös B on yleensä nollasta poikkeava vakio, 2. kaarevuus, sijoittamalla edelliseen saadaan A = Ag αβ µ α (1) µα (1) + Bg αβµ α (1) µα (3) = A + Bg αβµ α (1) µα (3) toisin sanoen g αβ µ α (1) µα (3) = 0 eli µα (1) :n ja µα (3):n ortogonaalisuus toteutuu. Myös µ α (2) ja µα (3) ovat ortogonaaliset: Kertomalla yhtälöä (4.17) puolittain µ α (2) :lla saadaan toiselle puolelle µα (2):n ja sen derivaatan tulo, joka on nolla (sillä g αβ µ α (2) µβ (2) = 1, mistä puolittain derivoimalla). Toiselle puolelle tulee A kertaa µ α (1) :n ja µα (2) :n tulo, joka antaa nollan ja B kertaa µα (2) :n ja µα (3) :n tulo jonka on siis myös oltava nolla myös g αβ µ α (2) µα (3) = 0 toteutuu. Jatketaan. g αβ µ α (2) µα (3) = 0 joten puolittain absoluuttisen derivaatan ottamalla nähdään 7, että Taas tehdään valinta: Olkoon g αβ µ α (2) δµ β (3) = B δµ α (3) = Bµα (2) + Cµα (4), (4.18) (3. kaarevuus C 0 yleensä), jolloin yhdistämällä kaksi edellistä tulosta nähdään, että ortogonaalisuus g αβ µ α (2) µα (4) = 0 toteutuu. Aiemmin kerrottiin µ α (2) :lla yhtälöä (4.17) ja nähtiin, että µα (2) ja µα (3) ovat ortogonaaliset. Nyt 6 0 = δ g αβ µ α (1)µ β δµ (2) = g α (1) αβ µβ (2) + g αβµ α δµ β (2) (1) = Ag αβµ α (2)µ β (2) + g αβµ α δµ β (2) (1) 7 δµ 0 = g α (2) αβ µβ (3) + g αβµ α δµ β (3) (2) = g αβ( Aµ β (1) + Bµβ (3) )µβ (3) + g αβµ α δµ β (3) (2) = 0 + B + g αβ µ α (2) δµ β (3)
37 4.2 Ortonormitettu tetradi neliulotteisessa avaruusajassa 31 kerrotaan µ α (3):lla yhtälöä (4.18) ja täysin vastaavalla päättelyllä nähdään, että ko. valinnalla ortogonaalisuus g αβ µ α (3) µβ (4) = 0 toteutuu. δµ α (4) On kasassa kolme dierentiaaliyhtälöä ja vielä tarvitaan yksi :lle. Lähdetään liikkeelle ottamalla absoluuttinen derivaatta ortogonaalisuusehdosta g αβ µ α (3) µβ (4) = 0. Saadaan8 g αβ µ α (3) Vakioita on jo tarpeeksi, joten valitaan δµ β (4) = C. δµ α (4) = Cµα (3) (4.19) joka sijoitettuna edelliseen yhtälöön antaa identtisyyden (C = C). Nyt on enää toteamatta µ α (4) :n ortogonaalisuus µα (1):n kanssa. Otetaan absoluuttinen derivaatta ortogonaalisuusehdosta g αβ µ α (2) µβ (4) = 0, jolloin nähdään 9 että myös g αβ µ α (1) µβ (4) = 0. Tehdyillä valinnoilla siis kaikki toimii niin kuin pitääkin, joten voidaan koota tulokset (4.16), (4.17), (4.18) ja (4.19) etsityksi yhtälöryhmäksi, tetradiyhtälöiksi: δµ α (1) = Aµ α (2) δµ α (2) = Aµ α (1) + Bµα (3) δµ α (3) = Bµ α (2) + Cµα (4) δµ α (4) = Cµ α (3) tai sama kirjoitettuna matriisimuotoon: δ µ α (1) µ α (2) µ α (3) µ α (4) = 0 A 0 0 A 0 B 0 0 B 0 C 0 0 C 0 µ α (1) µ α (2) µ α (3) µ α (4) (4.20) (4.21) Huomautus. Kaarevuusparametrit A, B ja C kuvaavat nimenomaan käyrän kaarevuutta, eli poikkeamaa geodeesista. Itse avaruusajan kaarevuutta kuvaa Riemannin kaarevuustensori R α βγδ. Geodeesilla A = B = C = 0. 8 δµ 0 = g α (3) αβ µβ (4) + g αβµ α δµ β (4) (3) = g αβ( Bµ α (2) + Cµ α (4))µ β (4) + g αβµ α δµ β (4) (3) = 0 C + g αβ µ α (3) δµ β (4) 9 0 = δ g αβ µ α (2)µ β δµ (4) = g α (2) αβ µβ (4) + g αβµ α δµ β (4) (2) Cg αβ µ α (2)µ β (3) = Ag αβµ α (1)µ β (4) α = g αβ ` Aµ (1) + Bµ α (3) µβ (4) +
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotMEI Kontinuumimekaniikka
MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotSuhteellisuusteoriaa
Antti Hämäläinen Ville Kivioja Joonas Korhonen Suhteellisuusteoriaa Laadittu Markku Lehdon keväällä 2011 Jyväskylän yliopistossa pitämää luentosarjaa mahdollisimman tarkasti noudatellen. Kaikki asia- ja
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotSisällysluettelo. Alkusanat 11. A lbert E insteinin kirjoituksia
Sisällysluettelo Alkusanat 11 A lbert E insteinin kirjoituksia Erityisestä ja yleisestä su hteellisuusteoriasta Alkusanat 21 I Erityisestä suhteellisuusteoriasta 23 1 Geometristen lauseiden fysikaalinen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotKäyrän kaarevuus ja kierevyys
Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero 2435589 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Derivointi polulla.........................
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Lisätiedot1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotMatemaattinen Analyysi, k2012, L1
Matemaattinen Analyysi, k22, L Vektorit Merkitsemme koulumatematiikasta tuttua vektoria v = 2 i + 3 j sarake matriisilla ( ) 2 v = v = = ( 2 3 ) T 3 Merkintätavan muutos helpottaa jatkossa siirtymistä
LisätiedotLikimääräisratkaisut ja regularisaatio
Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotEpäeuklidista geometriaa
Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotTasokäyrän kaarevuus LUKU 1
LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotJatkoa lineaarialgebrasta
Jatkoa lineaarialgebrasta 16. tammikuuta 2006 Sisältö 1 Singulaariarvohajotelma 1 2 Tensorit ja lineaarikuvausten komponentit 2 2.1 Karteesiset tensorit........................ 3 2.2 Determinantti, osa
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotMS-A0003/A Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6
MS-A3/A - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 Ratkaisuehdotelmia. Diagonalisointi on hajotelma A SΛS, jossa diagonaalimatriisi Λ sisältää matriisin A ominaisarvot ja matriisin S sarakkeet ovat näitä ominaisarvoja
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
Lisätiedot