Luku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
|
|
- Aimo Laine
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1
2 Elektronien liike on hyvin paljon nopeampaa kuin ytimien ytimien voidaan olettaa olevan paikallaan, ja elektronit liikkuvat ytimien potentiaalikentässä B-O:n mukaan elektronisen energian laskemisessa ydinten etäisyyttä voidaan pitää parametrina potentiaalienergia käyrä (tai pinta) Molekyylien elektronirakennetta kuvaavat teoriat lähtevät liikkeelle Bornin ja Oppenheimerin approksimaatiosta: Tasapainosidospituus dissosiaatioenergia2
3 Valenssisidosteoriassa sidos muodostuu kahden elektronin (vastakkaiset spinnit) pariutuessa ydisten välisellä alueella. Tarkastellaan sitoutumista vetymolekyylissä: -lähtökohtana kaksi vetyatomia, kullakin 1s elektroni -annetaan elektroneille leimat 1 ja 2 ja atomiorbitaaleille A ja B aaltofunktio: " = A(1)B(2) atomien ollessa lähekkäin emme pysty erottamaan kumpi el. on 1 ja 2 " = A(2)B(1) myös hyvä aaltofunktio Kumpi valitaan? 3
4 Kvanttimekaniikan mukaan systeemi voi olla samanaikaisesti useammassa tilassa, joten muodostamme kaksi superpositiota kahdesta aaltofunktiosta: " = A(1)B(2) ± A(2)B(1) Kombinaatio " = A(1)B(2) + A(2)B(1) johtaa elektronitiheyden kasvamiseen ydinten välillä sidos 4
5 N: He2s22px12py12pz1 2pz orbitaalit muodostavat σ sidoksen: σ sidoksella on sylinterisymmetria sidosakselin suhteen 2py ja 2px orbitaalit muodostavat 2 kpl π sidoksia N"N! ei sylinterisymmetriaa 5
6 Havaitsimme, että alinta energiaa vastaavan konfiguraation atomiorbitaalit toimivat hyvänä kantana kaksi-atomisten molekyylien sidosorbitaaleille Moniatomisille molekyyleille sidosten muodostuminen on paljon monimutkaisempi prosessi eikä oikeaa sidosten lukumäärää ja/tai geometriaa saada, jos kantana käytetään perustilaisten atomien konfiguraatiota vastaavia atomiorbitaaleja esim. ennustettu veden rakenne, jos kantana vedyn 1s ja hapen 2p atomiorbitaalit Oikea geometria on 104,5 happiatomin konfiguraatio: 1s 2 2s 2 2p x2 2p y1 2p z 1 6
7 Vastaavasti, hiiliatomin konfiguraatio 1s 2 2s 2 2p x1 2p y1 2p z 0 viitaisi siihen, että hiili muodostaa vain kaksi sidosta? Ongelma liittyy 2p x1 2p y 1 kantaan Viritystilainen C atomi olisi: 1s 2 2s 1 2p x1 2p y1 2p z 1 jolloin sen AO kanta sitoutumiselle olisi paljon laajempi: 2s 1 2p x1 2p y1 2p z 1 4 ortogonaalisesta (toisistaan riippumattomasta) AO:sta voidaan muodostaa 4 ortogonaalista lineaarikombinaatiota h 1 = s + p x + p y + p z h 2 = s " p x " p y + p z h 3 = s " p x + p y " p z sp 3 hybridiorbitaalit h 4 = s + p x " p y " p z hybridiorbitaalit ennustavat 4 σ-sidosta ja 109,47 valenssikulman 7
8 kolme σ sidosta tasossa Vastaavasti voidaan muodostaa 3 sp 2 hybridiorbitaalia kuvaamaan σ sitoutumista C=C sidoksissa h 1 = s + 2p y h 2 = s + 3/2p x " 1/2p y hybridisaatioon h 3 = s " 3/2p x " 1/2 p y osallistumaton p z orbitaali muodostaa π sidoksen 8
9 sp2 hybridiorbitaalien aiheuttama σ sidos ei-hybridisoituneiden pz orb aiheuttama π sidos σ sidos muihin atomeihin sp hybridiorbitaalit kuvaavat σ sidoksen muodostumista C C sidoksissa: h1 = s + pz sp -hybridiorbitaalit σ-sidos h2 = s " pz π! π sidokset muodostuvat px ja py orbitaaleista π 9
10 Hybridisaatio on matemaattinen temppu joka joudutaan tekemään siitä syystä, että perustilaisten atomien ao:t eivät ole riittävä kanta sellaisenaan kuvaamaan kemiallisten sidosten muodostumista molekyyleissä Molekyyliorbitaali (MO) teoriassa ei tarkastella elektronien lokalisoitumista sidoksiin. Elektronipilvi jakautuu koko molekyylin alueelle. Teoria on huomattavasti tarkempi kuin valenssisidos teoria, mutta se ei ole yhtä havainnollinen kemiallisen sidoksen tapauksessa. e- H 2 + on ainoa molekyyli, jonka Schrödingerin yhtälö ratkeaa analyyttisesti H ˆ = " h2 # V 2m e & V = " e " 1 ) ( + 4$% 0 ' r A1 r B1 R* 10
11 Ominaisarvoyhtälön: ˆ H " = E" ratkaisuja kutsutaan molekyyliorbitaaleiksi = MO Tarkat ratkaisut eivät juurikaan ole sovellettavissa muille molekyyleille, joten yleispätevämpää likimääräistä ratkaisutapaa: LCAO Linear combination of atomic orbitals Clemens Roothaan ratkaisuna likimääräiset molekyyliorbitaalit LCAO-MO H 2 + molekyylille " ± = N(A ± B) kantana vetyatomien 1s atomiorbitaalit A ja B; N=normitusvakio Sitova MO: " + = N(A + B) on ns. σ-mo (1σ) sylinterisymmetria ei pyörimismäärää sidosakselin suunnassa 11
12 Bornin todennäköisyystulkinnan mukaan aaltofunktion itseisarvon neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä " + 2 = N 2 (A 2 + B 2 + 2AB) A 2 on todennäköisyystiheys sille, että elektroni sijaitsee atomin A atomiorbitaalilla B 2 on todennäköisyystiheys sille, että elektroni sijaitsee atomin B atomiorbitaalilla AB on todennäköisyys sille, että elektroni sijaitsee aluessa, jossa atomiorbitaalit peittävät toisiaan (ydinten välinen alue) 12
13 1σ orbitaalin energia saadaan: E 1" = E H1s + e 2 4#$ 0 R % j + k 1+ S ) S = ABd" = 1+ r 2 + # R & * % (. e 1R / a 0, + a 0 $ a 0 ' / + peittointegraali A = e"r A / a 0 3 (#a 0 ) 1/ 2 B = e"r B / a 0 3 (#a 0 ) 1/ 2 { } 1/ 2 r B = r A 2 + R 2 " 2r A Rcos# j = e2 A 2 4"# 0 e 2, d$ = r B 4"# 0 R 1% & 1+ R ) / ( + e %2r / a 0-0 vuorovaikutus ytimen ja 2. ' a 0 * 1 siihen liittyvän elektronitiheyden välillä k = % d$ = r B e2 AB 4"# 0 e 2 & 1+ R ) ( + e,r / a 0 vuorovaikutus ytimen ja ydinten 4"# 0 a 0 ' a 0 * välisen elektronitiheyden välillä e 2 4"# 0 R ydinten välinen hylkivä vuorovaikutus 13
14 Lineaarikombinaatio " # = N(A # B) on hajottava eli antibonding 2σ MO " 2 # = N 2 ( A 2 + B 2 # 2AB) pienentää todennäköisyystiheyttä ydinten välisellä alueella 2σ MO solmutaso 2σ MO:n todennäkäisyystiheys 14
15 E 2" = E H1s + e 2 4#$ 0 R % j % k 1% S 2σ MO:n hajottava vaikutus on suurempi kuin 1 2σ MO:n sitova vaikutus Samaytimisten kaksiatomisten molekyylien tapauksessa käytetään yleensä pariteettiin liittyviä leimoja g (gerade, parillinen) ja u (ungerade, pariton) 15
16 u ja g leimat saadaan tarkastelemalla MO:n inversiosymmetriaa atomien välisen etäisyyden keskipisteen suhteen 1σ = 1σ g 2σ = 1σ u Huom! Eriytimisillä 2 atomisilla molekyyleillä ei ole inversiopistettä Seuraavassa tarkastelemme samaytimisten 2 atomisten molekyylien MO:n muodostumista AO:sta diagrammien avulla hajottava MO AO AO vetymolekyyli sitova MO 16
17 elektroneja yhtä paljon hajottavalla ja sitovalla MO:lla, ei sidosta MO muodostettaessa pitää huomioida kaikki valenssi AO:t joilla on MO:ta vastaava symmetria tarkastellaan MO:n muodostamista 2. jakson alkuaineiden muodostamissa samaytimisissä 2 atomisissa molekyyleissä Kantana 2s ja 2p AO:t σ MO:t: " = c A 2s # A 2s + c B 2s # B 2s + c A 2 pz # A 2 pz + c B 2 pz # B 2 pz 17
18 Saadaan 4 kpl σ orbitaaleja: " = c A 2s# A 2s ± c B 2s# B 2s 1σg ja 1σu " = c A 2 pz # A 2 pz ± c B 2 pz # 2 pz!! 2σg ja 2σu Sidosakselia kohtisuoraan sijaitsevat px ja py AO:t muodostavat 4 kpl π MO:ta (sitova u ja hajottava g): MO:n miehittyminen O2 molekyylissä molempien degeneraatio = 2 (voivat muodostua px tai py orbitaaleista) 18
19 Jos huomioidaan se, että kaikki neljä AO:ta muodostaa MO:n, havaitaan että orbitaalien energiajärjestys ei ole vakio N 2 19
20 Sidoksen lujuutta kuvaa ns. sidoskertaluku (bond order): b = 1 2 n " n * ( ) n = el. lukumäärä sidotuilla MO:eilla n* = el. lukumäärä hajoittavilla MO:eilla 20
21 Orbitaalienergioita voidaan mitata fotoelektronispektroskopialla Koopmannin teoreema: orbitaalienergia on se energia, mikä tarvitaan elektronin poistamiseksi orbitaalilta Kokeessa ionisoidaan molekyyli fotonilla E = hν ja mitataan syntyvien elektronien kineettinen energia E K Ionisaatioenergia: I i = h" # E K = #$ i 21
22 Eriytimisten kaksiatomisten molekyylien sidokset ovat polaarisia " + " # H F " ± osittaisvarauksia σ-sidos muodostuu vedyn 1s ja fluorin 2p z atomiorbitaaleista: lähes puhdas 1s lähes puhdas 2p z 22
23 Polaarisen sidoksen tarkastelussa käytetään hyödyksi atomien elektronegatiivisuutta (kyky vetää elektroneja puoleensa) Atomien A ja B elektronegatiivisuusero määritellään: " A # " B = 0,102 D(A # B) # 1 2 χ A ja χ B ovat ns. Paulingin elektronegatiivisuuksia { [ D(A # A) + D(B # B) ]} 1/ 2 D = dissosiaatioenergia Linus Pauling ( ) 23
24 Ongelmana on löytää atomiorbitaalien (=kanta) kertoimet aaltofunktiossa " = c A A + c B B Koska emme voi ratkaista molekyylin Schrödingerin yhtälöä tarkasti, kutsumme aaltofunktiota ψ yriteaaltofunktioksi (trial wavefunction) Yriteaaltofunktiolle pätee ns. variaatioperiaate: E = $ " * H ˆ "d# E 0 = tarkkaa ratkaisua vastaava % E $ 0 " *"d# energia (jota emme tiedä) atomiorbitaalien kertoimet ovat parhaat silloin kun energia saavuttaa alimman arvon. Tämä on paras mahdollinen ratkaisu joka saadaan valitulla kantajoukolla (tässä A ja B) matemaattisesti kriteerit parhaalle ratkaisulle: "# "c A = 0 "# "c B = 0 24
25 # " 2 d$ = c A A + c B B # ( ) 2 2 d$ = c A # A 2 2 d$ + c B # B 2 d$ + 2c A c B # ABd$ = c 2 A + c 2 B + 2c A c B S 1 1 S $ " H ˆ "d# = $ ( c A A + c B B) H ˆ 2 ( c A A + c B B)d# = c A $ A H ˆ Ad# + c 2 $ B H ˆ Bd# + c c $ A H ˆ Bd# + c B A B A c B $ BH ˆ Ad# merkitään: " A = # AH ˆ Ad$ " B = # BH ˆ Bd$ Coulombin integraalit " = $ AH ˆ Bd# = $ B H ˆ Ad# resonanssi integraali " H ˆ 2 $ "d# = c A % A + c 2 B % B + 2c A c B & E = c 2 A " A + c 2 B " B + 2c A c B # c 2 A + c 2 B + 2c A c B S paras ratkaisu löydetään derivoimalla E kertoimien suhteen: ( ) "E = 2 c A# A $ c A E + c B % $ c B SE "c A c 2 A + c 2 B + 2c A c B S ( ) "E = 2 c B# B $ c B E + c A % $ c A SE "c B c 2 A + c 2 B + 2c A c B S = 0 = 0 25
26 Derivaatat = 0 kun: c A " A # c A E + c B $ # c B SE = (" A # E)c A + ( $ # ES)c B = 0 c A " # c A SE + c B $ B # c B E = (" # ES)c A + ( $ B # E)c B = 0 sekulaariyhtälöt Yhtälöryhmän ratkaisu liittyy sekulaarideterminantin nollakohtiin: " A # E $ # ES $ # ES " B # E = 0 Samaytimiselle 2-atomiselle molekyylille " A = " B = " Ratkaistaan determinantti kertomalla ristiin : E± = " ± # 1± S + = sitova MO - = hajottava MO (" # E) 2 # $ # ES ( ) 2 = 0 Kertoimet saadaan sijoittamalla E:n arvot takaisin sekulaariyhtälöihin: E + = " + # 1+ S = c 2 A " + c 2 B " + 2c A c B # c 2 A + c 2 B + 2c A c B S = c 2 A " + c 2 B " + 2c A c B # = (c 2 A + c 2 B )" + 2c A c B # 1 c A 2 + c B 2 = 2c A c B = 1 1+ S 1 c A = c { 2(1+ S} 1/ 2 A = c B 26
27 Vastaavalla tavalla voidaan ratkaista hajottavan MO:n kertoimet: E " = # " $ 1" S = c 2 2 ( A + c B )# + 2c A c B $ c A 2 + c B 2 = "2c A c B = 1 1" S 1 c A = c { 2(1+ S} 1/ 2 B = "c A MO:t ovat siis: " + = A + B " { 2(1+ S} 1/ 2 # = A # B Huom! atomit A { 2(1# S} 1/ 2 ja B identtisiä 27
28 Molekyylien elektronirakenteen selvittäminen kuuluu laskennallisen kemian alaan, jossa molekyyliorbitaalit ratkaistaan tietokoneohjelmistojen avulla numeerisesti. Yleisimmin käytetyt menetelmät: 1. Ab initio ja semiempiiriset menetelmät 2. Tiheysfunktionaalimenetelmät Tyydyttämättömien hiilivetyjen π-elektronirakennetta voidaan tarkastella kvalitatiivisesti Hückelin menetelmän avulla. Ns. π-elektroniapproksimaation mukaan π elektronit liikkuvat σ elektronien muodostamassa kentässä ja ovat konjugoituneissa molekyyleissä delokalisoituneet koko molekyylin alueelle (esim. bentseeni) eteenillä on 2 π elektronia 28
29 Eteenin π MO muodostetaan 2p z atomiorbitaaleista: " = c A A + c B B variaatioperiaatteen mukaisesti saamme sekulaarideterminaatin " # E $ # ES $ # ES " # E = 0 " = " A = " H determinantin juuret ratkaistiin variaatioperiaatteen yhteydessä. Hückelin approksimaatiot: 1. Kaikki peittointegraalit S = 0 2. Resonanssi-integraalit muiden kuin lähinaapureiden kesken = 0 3. Kaikkien lähinaapureiden (vierekkäisten) atomien väliset resonanssiintegraalit ovat saman suuruisia (=β). sekulaarideterminantti yksinkertaistuu: 1. Kaikki diagonaalielementit = α-e 2. off-diagonaalielementit vierekkäisten atomien välillä = β 3. muut elementit determinantissa = 0 29
30 Eteenin tapauksessa " # E $ $ " # E = 0 E ± = " ± # hajottava MO ns LUMO (lowest unfilled molecular orbital) sitova MO ns. HOMO (highest occupied molecular orbital) HOMO ja LUMO ovat molekyylin ns. rajaorbitaalit (frontier orbitals) spektroskooppisesti voidaan mitata π*(=2π) π absorption energia β:n arvo voidaan määrittää = (" # $) # (" + $) = #2$ 30
31 Tarkastellaan π-elektronirakennetta butadieenissa (4 π elektronia) Hückelin approksimaation mukainen sekulaarideterminantti: " # E $ 0 0 $ " # E $ 0 0 $ " # E $ 0 0 $ " # E = 0 merkitään x = " # E $ x x 1 0 " = x x kehitetään 3x3 determinanteiksi 1. sarakkeen mukaan: 31
32 A 1,1 = ("1) 1+1 x x x A 1,3 = ("1) x x A 1,2 = ("1) x x A 1,4 = ("1) x x 1 x x 1 0 " 0 1 x x = xa 11 +1A A A 14 = xa 11 + A 12 = 0 ratkaisemalla 3x3 determinantit A 11 ja A 12 saadaan polynomiyhtälö: x 4 " 3x 2 +1= 0 x = 3± 5 2 x = ±1.618, x = ±
33 E = " # x$ ja $ < 0 4 π-mo: LUMO α HOMO " 1 = # 2p z # 2p z # 2 p z # 2p z4 Atomiorbitaalien kertoimet MO:ssa " 1 #" 4 saadaan sijoittamalla energia-arvot takaisin sekulaariyhtälöihin...työlästä 33
34 Butadieenin π-elektronienergia on E " = 2 (# $ ) + 2 (# $ ) = 4# $ Konjugaatioon liityvän elektronien delokalisoitumisen vaikutusta voidaan arvioida vertaamalla tätä energiaa kahden eteeni molekyylin π-elektronienergiaan: E deloc = E " (butadieeni) # 2E " (eteeni) = 4$ % # 4$ # 4% = 0.472% < 0 π elektronien delokalisoituminen stabiloi molekyyliä 34
35 Käsin laskemisen asemasta Hückel MO:t voidaan ratkaista tietokoneella jos määrittelemme ongelman matriisien ja vektoreiden avulla Tarkastellaan eteenin tapausta, jossa siis kaksi π elektronia (kantana 2 kpl 2p z AO:ta (A ja B)) " H = H AA $ # H BA H AB H BB % ' hamiltonin matriisi, matriisielementit H ij = " i * H ˆ " j d# & $ Hückel approksimaation mukainen hamiltonin matriisi H = " # ' & ) % # "( " S = S AA $ # S BA S AB S BB % ' & peittomatriisi S ij = $ " i " j d# $ " Hückel approksimaation mukainen peittomatriisi S = 1 0 % $ ' # 0 1& (yksikkömatriisi) Atomiorbitaalien kertoimien muodostama vektori MO:ssa i (i = 1 tai 2) " c i = c % i,a $ ' ja matriisi, joka sisältää kaikki MO:t: C = c # c i,b & 1 c 2 " % ' # c 1,B c 2,B & ( ) = c 1,A c 2,A $ 35
36 Määritellään diagonaalinen matriisi E siten, että sen alkiot ovat orbitaalienergiat: " E = E 1 0 % $ ' # 0 E 2 & Sekulaariyhtälöpari (eteenin tapauksessa) voidaan nyt kirjoittaa muodossa: ( H " E i S)c i = 0 tai Hc i = Sc i E i Koko yhtälöryhmän ratkaisu voidaan muotoilla matriisien avulla: HC = SCE = CE (Hückelissä S = yksikkömatriisi) matriisioperaatio C "1 HC = E diagonalisoi hamiltonin matriisin, siten että diagonaalielementeiksi saadaan orbitaalienergiat C "1 C = 1 Jos siis voidaan löytää matriisi C, saadaan sekä orbitaalienergiat, että AO:en kertoimet MO:ssa ratkaistua 36
37 Diagonalisointiin on olemassa tehokkaita tietokonemenetelmiä (esim. Matlab paketissa). Esim. butadieeni: H = " # 0 0 " +1.62# " # 0 0 E = 0 0 " $ 0,62# " $1.62# "0.372 # " # "0, C = 0 # " # "0.372 "0.372 " # " " Bentseenillä on 6 π-elektronia: " # # # " # # " # 0 0 H = 0 0 # " # # " # # # " E = " ± 2#;" ± #;" ± # 37
Luku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 10: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Molekyylien elektronirakennetta
LisätiedotLaskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka
Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset
LisätiedotMolekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen
Molekyylit. Johdanto. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit 6. Orgaaniset
LisätiedotKEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt
KEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt Hückelin molekyyliorbitaalimenetelmä 1 Johdanto Kvanttikemisti turvautuu usein raskaisiin tietokonelaskuihin ratkaistaakseen haluamansa molekyylin Schrödingerin
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotAtomin elektronikonfiguraatiot (1)
Atomin elektronikonfiguraatiot (1) Atomiin sidotun elektronin tilaa kuvataan neljällä kvanttiluvulla: n pääkvattiluku - aaltofunktion eli orbitaalin energia, keskimääräinen etäisyys ytimestä, saa arvot
LisätiedotKvanttimekaaninen atomimalli. "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman
Kvanttimekaaninen atomimalli "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman Tunnin sisältö 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kvanttimekaaninen atomimalli Orbitaalit Kvanttiluvut Täyttymisjärjestys
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotMOLEKYYLIT Johdanto Vetymolekyyli-ioni Kaksiatomiset molekyylit...239
MOLEKYYLIT... 8 6.1 Johdanto...8 6. Vetymolekyyli-ioni...9 6.3 Kaksiatomiset molekyylit...39 6.4 Kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatioita...43 6.5 Moniatomiset molekyylit...5 6.6 Orgaaniset
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotCHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen
CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen Orgaaninen reaktio Opettava tutkija Pekka M Joensuu Orgaaniset reaktiot Syyt Pelkkä törmäys ei riitä Varaukset (myös osittaisvaraukset) houkuttelevat molekyylejä
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotLuento 1: Sisältö. Vyörakenteen muodostuminen Molekyyliorbitaalien muodostuminen Atomiketju Energia-aukko
Luento 1: Sisältö Kemialliset sidokset Ionisidos (suolat, NaCl) Kovalenttinen sidos (timantti, pii) Metallisidos (metallit) Van der Waals sidos (jalokaasukiteet) Vetysidos (orgaaniset aineet, jää) Vyörakenteen
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedot6.2 Vetymolekyyli-ioni Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 238
MOLEKYYLIT 6.1 Johdanto 7 6. Vetymolekyyli-ioni 8 6.3 Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 38 6.4 Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 4 6.5 Moniatomiset molekyylit
LisätiedotLämpö- eli termokemiaa
Lämpö- eli termokemiaa Endoterminen reaktio sitoo ympäristöstä lämpöenergiaa. Eksoterminen reaktio vapauttaa lämpöenergiaa ympäristöön. Entalpia H kuvaa systeemin sisäenergiaa vakiopaineessa. Entalpiamuutos
LisätiedotKäytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.
1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana
LisätiedotULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE
ULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE Palautetaan mieleen jaksollinen järjestelmä ja mitä siitä saa- Kertausta daan irti. H RYHMÄT OVAT SARAKKEITA Mitä sarakkeen numero kertoo? JAKSOT OVAT RIVEJÄ Mitä
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Lisätiedot11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen.
11. MOLEKYYLIT Vain harvat alkuaineet esiintyvät luonnossa atomeina (jalokaasut). Useimmiten alkuaineet esiintyvät yhdisteinä: pieninä tai isoina molekyyleinä, klustereina, nesteinä, kiinteänä aineena.
LisätiedotLuku 2: Atomisidokset ja ominaisuudet
Luku 2: Atomisidokset ja ominaisuudet Käsiteltävät aiheet: Mikä aikaansaa sidokset? Mitä eri sidostyyppejä on? Mitkä ominaisuudet määräytyvät sidosten kautta? Chapter 2-1 Atomirakenne Atomi elektroneja
LisätiedotKiteinen aine. Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan nähden erittäin suuri, rakenne.
Kiteinen aine Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan nähden erittäin suuri, rakenne. Kiteinen aine on hyvä erottaa kiinteästä aineesta, johon kuuluu myös
Lisätiedotd) Klooria valmistetaan hapettamalla vetykloridia kaliumpermanganaatilla. (Syntyy Mn 2+ -ioneja)
Helsingin yliopiston kemian valintakoe: Mallivastaukset. Maanantaina 29.5.2017 klo 14-17 1 Avogadron vakio NA = 6,022 10 23 mol -1 Yleinen kaasuvakio R = 8,314 J mol -1 K -1 = 0,08314 bar dm 3 mol -1 K
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotHiilen ja vedyn reaktioita (1)
Hiilen ja vedyn reaktioita (1) Hiilivetyjen tuotanto alkaa joko säteilevällä yhdistymisellä tai protoninvaihtoreaktiolla C + + H 2 CH + 2 + hν C + H + 3 CH+ + H 2 Huom. Reaktio C + + H 2 CH + + H on endoterminen,
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotOrgaanisten yhdisteiden rakenne ja ominaisuudet
Orgaanisten yhdisteiden rakenne ja ominaisuudet 1 2 KOVALENTTISET SIDOKSET ORGAANISISSA YHDISTEISSÄ 3 4 5 6 7 Orgaanisissa molekyyleissä hiiliatomit muodostavat aina neljä kovalenttista sidosta Hiiliketju
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedot7. Atomien rakenne ja spektrit
7. Atomien rakenne ja spektrit Atomien rakenteella tarkoitetaan niiden elektroniverhojen rakennetta, erilaisia jakautumia ja erityisesti elektronien energiatiloja. Atomien spektreillä taas tarkoitetaan
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotS-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) Viikko 11
S-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) LUENTOSUUNNITELMA KEVÄT 2007, 2. PUOLILUKUKAUSI Toisen puolilukukauden aikana käydään läpi keskeiset kohdat Kvanttifysiikan opetusmonisteen luvuista 3-7. Laskuharjoituksia
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2013 159 MNQT, sl 2013 160 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
LisätiedotMUUTOKSET ELEKTRONI- RAKENTEESSA
MUUTOKSET ELEKTRONI- RAKENTEESSA KEMIAA KAIK- KIALLA, KE1 Ulkoelektronit ja oktettisääntö Alkuaineen korkeimmalla energiatasolla olevia elektroneja sanotaan ulkoelektroneiksi eli valenssielektroneiksi.
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotIonisidos syntyy, kun elektronegatiivisuusero on tarpeeksi suuri (yli 1,7). Yleensä epämetallin (suuri el.neg.) ja metallin (pieni el.neg.) välille.
2.1 Vahvat sidokset 1. Ionisidokset 2. 3. Kovalenttiset sidokset Metallisidokset Ionisidos syntyy, kun elektronegatiivisuusero on tarpeeksi suuri (yli 1,7). Yleensä epämetallin (suuri el.neg.) ja metallin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotOMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA
1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1
LisätiedotMITÄ SIDOKSILLE TAPAHTUU KEMIALLISESSA REAKTIOSSA
MITÄ SIDOKSILLE TAPAHTUU KEMIALLISESSA REAKTIOSSA REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaikissa kemiallisissa reaktioissa atomit törmäilevät toisiinsa siten, että sekä atomit että sidoselektronit järjestyvät uudelleen.
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedotpääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"
Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotKEMA211 EPÄORGAANINEN KEMIA 1 (4 op)
KEMA211 EPÄORGAANINEN KEMIA 1 (4 op) Luennot 16.3. - 5.5., ti 1215 ja ke 1015, salissa YlistöKem 1 Loppukoe 6.5., klo 1200-1500, salissa MaA 103 Kirjallisuus C.E. Housecroft, A.G. Sharpe Inorganic Chemistry,
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotKertaus. Tehtävä: Kumpi reagoi kiivaammin kaliumin kanssa, fluori vai kloori? Perustele.
Kertaus 1. Atomin elektronirakenteet ja jaksollinen järjestelmä kvanttimekaaninen atomimalli, atomiorbitaalit virittyminen, ionisoituminen, liekkikokeet jaksollisen järjestelmän rakentuminen alkuaineiden
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot