9. Elektronirakenteen laskeminen
|
|
- Jarkko Manninen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl MNQT, sl Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan systeemin elektronien ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön ratkaisemista eli stationäärisen tilan aaltofunktioiden ja (energian) ominaisarvojen määrittämistä. Lisäksi voidaan vielä ottaa huomioon myös lämpötila tai tehdä relativistinen tarkastelu.
2 Tarkastellaan epärelativistisen ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön H ψ(r, R) = E(R) ψ(r, R) ratkaisemista Born Oppenheimer-approksimaatiossa, missä r = {r i } ja R = {R I } ovat elektronien ja ytimien koordinaatit. Tällöin elektronien kokonaisenergia E(R) riippuu ydinkonfiguraatiosta ja on osa ytimien välistä potentiaalifunktiota eli potentiaalienergiapintaa (PES, engl. potential energy hypersurface). Kun ytimien välinen Coulombin repulsioenergia erotetaan pois jää elektroniseksi hamiltonin operaattoriksi H =!2 2m n 2 i i n i N Z I e 2 I 4πε0 r Ii missä r Ii = r i R I, r ij = r i r j ja {Z I } ovat ytimien varaukset, kun molekyylissä on elektroneja n ja ytimiä N kappaletta. Ratkaisumenetelmiä, joissa käytetään vain ytimien varauksia, luonnonvakioita ja edellä esitettyä elektronien kvanttiteoriaa (sekä tavallisesti jotakin ydinkonfiguraatiota) sanotaan ab initio- tai "first-principles"-menetelmiksi. Ns. semiempiirisissä menetelmissä on parametrisoitu joitakin osia hamiltonin operaattorista ja/tai aaltofunktioista sovittamalla (joillekin tunnetuille systeemeille) saatavia tuloksia joihinkin kokeellisiin arvoihin. Ab initio-menetelmät voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: ns. aaltofunktiomenetelmään, jotka perustuvat Hartree Fockteoriaan, ja tiheysfunktionaaliformalismiin (engl. densityfunctional formalism), jossa lähtökohtana on tarkasteltavan systeemin elektronitiheys. Ydinkonfiguraatiosta riippuva elektroninen energia tulisi voida ratkaista ns. kemiallisella tarkkuudella, 0.01 ev (~ 1 kjmol 1 ). Tällöin molekyylien sidospituudet ja sidoskulmat sekä eri konformaatioiden väliset ja reaktioiden aktivaatioenergiat voitaisiin määrittää riittävällä tarkkuudella. n MNQT, sl e 2 4πε0 r ij i j, (9.1) (9.2) METHODS IN COMPUTATIONAL CHEMISTRY MOLECULAR MECHANICS, DYNAMICS (& MONTE CARLO) give geometries conformations dynamics but not electronic structure SEMI-EMPIRICAL METHODS give electronic structure (bonding, molec. orb.) but not "independent" results AB INITIO METHODS give "everything" static independently but not dynamics large systems inexpensive AB INITIO MOLECULAR DYNAMICS ab initio with dynamics Solving N i MS Isabella 5 May Newtonian mechanics M d2 R µ µ dt = 2 µ E or optimization or Metropolis Monte Carlo α E β 0 β α E β 0 β α E c 1 c 2 c 3 = 0 with empirical α and β N,M 1 2 i2 + Z µ +... Ψ(X) = E Ψ(X) r iµ i, µ numerically µ ψ n = δe δψ n * + M µ R µ = µ E m Λ nm ψ m
3 MNQT, sl MNQT, sl Hartree Fock SCF-menetelmä 9.1. Yksi-elektronikuva Jos ei oteta huomioon elektroni elektronivuorovaikutuksia kovin yksityiskohtaisesti tai ollenkaan, niin tietyllä ydinkonfiguraatiolla R koko n elektronin aaltofunktio voidaan separoida yksi-elektroniaaltofunktioiksi ψ u o ja missä ja kun H o ψ o = E o ψ o, H o = Σ i n h i h i ψ u o(r i ) = E u o ψ u o(r i ), ψ o (r 1, r 2,..., r n ) = ψ a o(r 1 ) ψ b o(r 2 )... ψ z o(r n ). Kun yksi-elektronifunktioihin liitetään spin-funktio, saadaan spin-orbitaalit φ u (x i ) = ψ u o(r i ) σ u (i) ja kun sitä vastaava ψ o tehdään antisymmetriseksi, ks. kappale 7.11, saadaan ψ o (x 1, x 2,..., x n ; R) = (n!) 1/2 det φ a (x 1 ) φ b (x 2 )... φ z (x n ) 9.2. Hartree Fock-menetelmä = (n!) 1/2 det φ a (1) φ b (2)... φ z (n). (9.3a) (9.3b) (9.4) (9.5) (9.6) Yksi-elektronikuva voidaan vielä säilyttää, kun jokaisen elektronin kokemaan ytimen potentiaaliin lisätään muiden elektronien keskimääräinen (molekyylin symmetrian mukainen) Coulombin potentiaali, ns. Hartree-potentiaali. Atomien tapauksessa tämä on ns. keskeiskenttä-approksimaatio. Hartree Fock-menetelmässä siis jokainen n elektronia kokee (n 1):n muun elektronin Hartree-potentiaalin, jolloin merkitään ψ o ψ. Etsitään nyt parhaat spin-orbitaalit variaatioperiaatteella minimoimalla Rayleighin suhde mistä seuraavat ns. Hartree Fock-yhtälöt, ks. kirjan liite 11, ts. yksi-elektroniyhtälö f i φ u (x i ) = ε u φ u (x i ) jokaiselle spin-orbitaalille φ u ; u = a, b,..., z. Fock-operaattori f i voidaan kirjoittaa muotoon (ks. kappale 7.15 ja yht ) f i = h i + Σ u [d J u (i) K u (i)], missä d = 1 on spin-degeneraatio sekä Coulombin operaattori J u ja vaihto-operaattori K u ovat ja Huomaa, että E = ψ H ψ ψ ψ J r ψ s (1) = ψ r * (2) e 2 4πε 0 r 12 ψ r (2) d2 ψ s (1) K r ψ s (1) = ψ r * (2) e 2 4πε 0 r 12 ψ s (2) d2 ψ r (1) J u (i) φ u (i) = K u (i) φ u (i). (9.7) (9.8) (9.9) Spin-orbitaalit ratkaistaan itseytyvästi (engl. self consistent field, SCF), kuten kappaleessa 7.15 esitettiin, ja siten, että perustilassa ψ = Φ 0 on n alimman energian spin-orbitaalia miehitetty. Nämä antavat kontribuution Fock-operaattoriin. Fockoperaattorilla on ääretön määrä ominaisfunktioita ja -arvoja, joiden erilaisilla miehityksillä saadaan erilaisia viritettyjä tiloja. Hermiittisen Fock-operaattorin ominaisfunktiot muodostavat ortogonaalisen ja täydellisen funktiojoukon., (9.10a) (9.10b)
4 MNQT, sl MNQT, sl "Restricted" ja "unrestricted" Hartree Fock Jos atomin tai molekyylin orbitaalit ovat "suljetut" (engl. closed) eli täydet, on spin-tila singletti, S = 0, koska jokaisella orbitaalilla on tällöin yhtä monta α- ja β-elektronia. Hartree - Fock (HF) -kokonaisaaltofuntktio on tällöin Φ 0 = (n!) 1/2 det ψ a α ψ a β ψ b α ψ b β... ψ z α ψ z β. Avointen eli vajaasti täytettyjen orbitaalien tapauksessa tätä sanotaan restricted HF (RHF) aaltofunktioksi, kun taas saman tilan kuvaaminen ns. unrestricted HF (UHF) aaltofunktiolla Φ 0 = (n!) 1/2 det ψ a1 α ψ a2 β ψ b1 α ψ b2 β... ψ z1 α ψ z2 β johtaa siihen, että orbitaalit voivat riippua spinistä, esim. ψ a1 (r) ψ a2 (r). Atomien RHF-aaltofunktio on operaattorin S 2 ominaisfunktio ominaisarvolla S(S+1)h 2, mutta UHF-aaltofunktio ei sitä yleisesti ole, ks. kirjan esim Roothaanin yhtälöt Pallosymmetriaa (atomit) alemmissa symmetrioissa (molekyylit) HF-aaltofunktio ratkaistaan yleensä sarjakehitelmänä kantafunktiojoukon {θ j } avulla. Orbitaalin ψ u (r) HF-yhtälö (7.47) on muotoa f k ψ u (r k ) = ε u ψ u (r k ), jonka ratkaisu voidaan esittää sarjakehitelmän avulla. ψ u (r k ) = Σ j M c ju θ j (r) (9.11) (9.12) (9.14) Sijoittamalla (9.14) yhtälöön (9.12), kertomalla vasemmalta θ i *:llä, "integroimalla" ja käyttämällä merkintöjä peittointegraali S ij = θ i *(r) θ j (r) dr, joka on peittomatriisin elementti, sekä vastaava Fock-matriisin elementti F ij = θ i *(r k ) f k θ j (r k ) dr k, saadaan yhtälö jokaiselle i = 1, 2,..., M; ns. Roothaanin yhtälöt. Ne voidaan esittää myös matriisiyhtälönä F c u = ε u S c u, missä F ={F ij }, S ={S ij }, c u = {c ju } jokaisella u = a, b,..., z (M kappaletta). Nämä M kappaletta yhtälöitä voidaan esittää myös muodossa F c = S c ε, missä c = {c u } = {c ju } ja ε = {ε ju }, kun ε ju = ε u. Ratkaisu, ominaisarvot ε u ja niitä vastaavat ominaisvektorit c u, on määritettävä itseytyvästi (SCF), koska osa Fock-operaattorista, ks. yht. ( ), riippuu ratkaisuista F ij = h ij + Σ l,m P l m { il 1/r 12 jm il 1/r 12 mj }(9.26) missä ns. tiheysmatriisin elementit ovat P l m = d Σ u c l u * c mu. Tässä d on orbitaalin ψ u miehitys, tavallisesti 2. (9.17) (9.18) (9.19) (9.20) (9.27) Ns. kaksi-elektroni-integraalien (ij l m) = il 1/r 12 jm lukumäärä on suuri, luokkaa M 4, joten se on merkittävä osa sekä laskennallista työtä ja/tai laskun ajaksi talletettavaa dataa.
5 MNQT, sl MNQT, sl STO- ja GTO-kantajoukot Jotta atomin tai molekyylin spin-orbitaalit voitaisiin esittää tarkasti variaatioperiaatteen sallimalla tavalla, tarvitaan siihen erittäin hyvä kantajoukko, esim. täydellinen jolloin M =. Ratkaisua tällaisen kantajoukon avulla sanotaan Hartree Fockrajaksi (engl. HF limit) ja poikkeamaa siitä kantajoukon katkaisuvirheeksi (engl. basis-set truncation error). Slaterin tyypin kantafunktioissa (engl. Slater type orbitals, STO) on radiaaliosassa funktio e ζr, missä ζ on orbitaalieksponentti, ks. kappale Funktiojoukko {e ζr } ζ on täydellinen, kun ζ R, mutta käytännössä valitaan muutama ζ l sovittamalla STO-atomiorbitaaleihin. STO-kantaa käytetään vain vähän sen vuoksi, että kaksi-elektroni-integraalien laskeminen STO-kannassa ei ole käytännöllistä. Gaussin tyypin kantajoukossa (engl. Gaussian type orbitals, GTO) on radiaaliosassa funktio e αr 2. Ns. karteesiset GTOfunktiot ovat muotoa θ ijk (r) = x i y j z k e αr2, (9.28) missä r q r c = r = x ^i + y ^j + z ^k, i, j ja k ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja, r c on "keskipisteen" (tavallisesti ytimen) paikka ja r q on elektronin q paikka. Kun l = i + j + k, niin l = 0 on s-tyypin, l = 1 on p- tyypin, l = 2 on d-tyypin, jne. GTO. Jos x i y j z k korvataan palloharmonisilla funktioilla Y l ml, niin siitä muodostuu ns. "spherical gaussians"-kanta. Diagonalisoitavan Fock-matriisin kokoa voidaan rajoittaa, kun GTO-kannan funktioita yhdistellään ns. "kontraktiolla". "Contracted GTO" χ j = Σ i d ji g i (9.29) on koottu useasta ns. primitiivi GTO-funktiosta g i sopivalla tavalla määrätyillä kertoimilla d ji (esim. sovittamalla χ j atomaarisiin orbitaaleihin). Molekyyliorbitaalit muodostetaan sitten kehitelminä (9.30) ψ i = Σ j c ji χ j.
6 MNQT, sl MNQT, sl GTO-kantajoukkojen kontraktiomenetelmiä on useita, esim.: minimal basis set DZ, double zeta basis set TZ, triple zeta basis set SV, split valence basis set DZP, double zeta basis set plus polarization STO NG, esim. STO 3G (4s)/[2s], (9s5p)/[3s2p] 3 21G, 6 31G*, 6 31G** Eräs kantajoukon puutteellisuudesta aiheutuva virhe on ns. "basis-set superposition error", jota korjataan ns. "counterpoise correction"-korjauksella Kantajoukon koko riippuvuus ja suppeneminen Elektroni elektronikorrelaatio HF-teoria ottaa elektronien välisen Coulombin repulsion huomioon vain keskimääräisenä. Se on tapana ilmaista siten, että HF-teoria ei ota huomioon ns. korrelaatiovuorovaikutuksia. Tätä käytetäänkin korrelaatioilmiöiden määritelmänä "Configuration state function" (CSF) Kun kantafunktioiden lukumäärä on M, saadaan 2M spin-orbitaalia, joista voidaan miehittää n kappaletta eri tavalla. Merkitään perustilan miehitystä vastaavaa Slaterin determinanttia Φ o ja yhdesti viritettyä Φ p a ja kahdesti viritettyä Φ pq ab, jne. CSF on mikä tahansa tällainen determinantti tai niiden lineaarikombinaatio, joka on kaikkien hamiltonin operaattorin kanssa kommutoivien operaattorien ominaisfunktio, esim. operaattori S 2. Taulukko 9.1. HF SCF-energioita (yksikkönä Hartree = ev = aj Taulukko 9.2. HF SCF-sidospituuksia (yksikkönä Bohr = Å)
7 MNQT, sl MNQT, sl Konfiguraatiovuorovaikutus (CI) Tarkka n elektronin muodostaman systeemin aaltofunktio voidaan kirjoittaa muotoon Ψ = C 0 Φ 0 + Σ a,p C ap Φ a p + Σ a<b,p<q C ab pq Φ ab pq + + Σ a<b<c,p<q<r C abc pqr Φ abc pqr +... sarjakehitelmänä kaikista mahdollisista edellä määritellyistä CSF:stä, kunhan niiden spin-orbitaalit on esitetty täydellisessä yksi-elektronikannassa. Siten siis CSF:t tai n-elektronideterminantit muodostavat täydellisen CSF-kannan n-elektroniaaltofunktioille. Tarkka aaltofunktio Ψ ei edusta enää Hartree Fock-teorian yksi-elektronikuvan mukaista yhtä miehityskonfiguraatiota, vaan useita sellaisia. Sen vuoksi ilmiötä kutsutaan konfiguraatioiden sekoittumiseksi tai konfiguraatiovuorovaikutukseksi (engl. mixing, configuration interaction, CI). Käsitteet "full CI" ja "basis set correlation energy" on määritelty kuvassa 9.7. Korrelaatioilmiöitä voidaan luonnehtia myös rakenteelliseksi tai dynaamiseksi tavallaan elektronien liiketilojen mukaan. (9.31) 9.9. CI-kehitelmän katkaiseminen Kertoimet C tilan Ψ CSF-sarjakehitelmään (9.31) saadaan samoin kuin edellä kertoimet c spin-orbitaalin ψ i sarjakehitelmään (9.14) diagonalisoimalla hamiltonin matriisi. Matriisielementeistä useat häviävät ja tärkeimmät CSF-kantafunktiot ovat Φ 0 ja kahdesti viritetyt Φ ab pq. Brillouinin teoreeman mukaan esim. Φ 0 H Φ a p = 0. Sen mukaan kuinka kehitelmä (9.31) katkaistaan (engl. limited CI) voidaan nimetä mm. seuraavia CI-tasoja: DCI SDCI SDTQCI Katkaistulta CI-menetelmältä puuttuu ns. "size-consistency" MCSCF ja MRCI CI-menetelmässä kaikki CSF-funktiot on "rakennettu" samoilla Φ 0 -konfiguraatiolle HF-menetelmällä optimoiduilla spin-orbitaaleilla. Jos myös kertoimet c kehitelmässä (9.14) ψ = Σ jm c ji θ j optimoidaan samalla kun kertoimet C kehitelmässä (9.31), on kyseessä "multiconfiguration SCF" (MCSCF) -menetelmä. MCSCF-aaltofunktiossa ei välttämättä ole yhtä ainoaa peruskonfiguraatiota Φ 0, jota "parannetaan" viritetyillä tiloilla. "Complete active-space SCF" (CASSCF) on MCSCF-menetelmä, jossa yksi-elektroniorbitaalit jaetaan kolmeen ryhmään (inactive, active, virtual) sen mukaan kuinka niiden virityksiä otetaan mukaan CSF-tiloissa. "Multireference CI" (MRCI) on CI- ja MCSCF-menetelmien välimuoto, joka kuvaa hyvin korrelaatioilmiöitä pienellä määrällä CSF-funktioita. Esim. MRCI-menetelmän "size-consistency" virhe on pieni.
8 MNQT, sl MNQT, sl Møller Plesset-häiriöteoria Monihiukkashäiriöteoria (engl. many-body perturbation theory, MBPT) on toinen vaihtoehto HF-teorian parantamiseksi systemaattisella tavalla. Häiriöteoria ei nojaudu variaatioteoreemaan, mutta sen etuna on "size consistency". Møller Plesset-häiriöteoriassa valitaan vertailutilan operaattoriksi yksi elektroni-fock-operaattoreiden summa H (0) = Σ i f i. HF-aaltofunktio Φ 0 on myös tämän operaattorin ominaisfunktio, ks. kirjan esim Valitaan 1. kertaluvun häiriöksi operaattori H (1) = H H (0), joka "korjaa" vertailutilan H (0) energian Hartree Fockenergiaksi, kun H on molekyylin hamiltonin operaattori (9.1b). Hartree Fock-energia on siis E HF = E (0) + E (1), missä ja E (0) = Φ 0 H (0) Φ 0 E (1) = Φ 0 H (1) Φ 0. Toisen kertaluvun korjaus on E (2) = J 0 ψ J H (1) ψ 0 ψ 0 H (1) ψ J (9.39) (9.40) (9.43) (9.44), (9.45) E (0) E J missä Φ J ovat "viritettyjä" CSF-funktioita. Osoittajassa olevista matriisielementeistä häviävät kaikki muut paitsi ne, joissa Φ J on kahdesti virittynyt CSF. Tätä toisen kertaluvun MP-teoriaa merkitään MP2. Kolmannen ja neljännen kertaluvun MP-teorioita merkitään MP3 ja MP4. Tiheysfunktionaaliteoria (DFT) DFT on vaihtoehtoinen menetelmä ratkaistaessa elektronisysteemin Schrödingerin aaltoyhtälöä (9.1). DFT on luonnollinen lähestymistapa suurille systeemeille (kiinteä aine, klusterit, suuret molekyyli), kun taas Hartree Fock- ja siihen nojautuvat aaltofunktioteoriat ovat sitä pienille (atomit, pienet molekyylit). Peruslähtökohtana DFT:ssä on se, että elektronisysteemin perustilan energia ja kaikki ominaisuudet tietyssä ulkoisessa (esim. ytimien muodostamassa) potentiaalissa riippuvat yksikäsitteisesti elektronisysteemin elektronitiheydestä ρ(r). Kun otetaan käyttöön yksi-elektroniaaltofunktiot eli ns. Kohn Sham-orbitaalit ψ i (yksi-elektronikuva), voidaan perustilan kokonaisenergia kirjoittaa muotoon E[ρ] =!2 2m missä n i ψ i * (r) i 2 ψ i * (r) dr ρ(r) = Σ i ψ i (r) 2. (9.48) Tämän energialausekkeen 1. termi on kineettinen energia, 2. on elektronien energia ytimien potentiaalissa (ja/tai jossakin ulkoisessa potentiaalissa), 3. on Hartree-energia ja viimeinen ns. vaihto- ja korrelaatioenergia. Energia riippuu siis elektronitiheysfunktiosta ja on siten ns. funktionaali E[ρ]. Yo. energiafunktionaali on tarkka energian lauseke sisältäen myös kaikki korrelaatioeffektit, mutta ongelma on siinä, ettei viimeisen termin E xc [ρ] funktionaalista muotoa tunneta. Toinen probleema on tietysti Kohn Sham-orbitaalien löytäminen. N I e 2 ρ(r i ) ρ(r j ) 4πε 0 r ij dr i dr j + E xc [ρ], Z I e 2 4πε 0 r I ρ(r) dr (9.49)
9 MNQT, sl MNQT, sl Kun sovelletaan tavalliseen tapaan variaatioperiaatetta energialausekkeeseen (9.48), saadaan Kohn Sham-yksi-elektroniorbitaaleille samoin kuin HF-teoriassakin yksi-elektroniyhtälöt missä f = 2m!2 i 2 f ψ i = ε i ψ i, N Z I e 2 I 4πε0 r I e 2 ρ(r j ) 4πε 0 r ij dr j + V xc [ρ] (9.50a) (9.50b) ja V xc [ρ] = δe xc[ρ]. (9.51) δρ Jos E xc [ρ] olisi tunnettu, voitaisiin vaihto- ja korrelaatiopotentiaali V xc [ρ] laskea sen funktionaaliderivaattana. Eräs DFT:n eduista on se, että formalismissa säilytetään yksielektronikuva vaikka myös korrelaatioilmiöt on otettu täysin huomioon. Siitä johtuu, että Kohn Sham-orbitaalien fysikaalinen tulkinta eräänlaisina kvasi-elektronitiloina on erilainen kuin aaltofunktioteoriassa. Voidaan esim. osoittaa, että ylimmän miehitetyn Kohn Sham-orbitaalin orbitaalienergia on täsmälleen ko. systeemin 1. ionisaatioenergia! Historiallisesti tiheysfunktionaaliteoriaa edelsi Thomas Fermimenetelmä atomien energioiden laskemiseksi niiden varaustiheyksistä. Elektronien kineettisen energian laskeminen (tai arvioiminen) varaustiheydestä oli menetelmän "uusi asia". Slaterin HF-teoriasta johtama (vaihtovuorovaikutusta approksimoimalla) ns. X α -menetelmä oli myös tavallaan seuraavaksi esiteltävän LDA:n kaltainen ja sen edeltäjä. Unkarilainen Gáspár oli esittänyt niinikään samanlaisia ajatuksia jo ennen Slateria. "Local-density approximation" (LDA) Jotta DFT:tä voitaisiin soveltaa käytäntöön, on vaihto- ja korrelaatioenergiafunktionaali E xc [ρ] approksimoitava tarkasteltavalle elektronitiheysfunktiolle ρ(r). Tämä funktionaali tunnetaan tarkasti homogeeniselle elektronikaasulle, jota voidaan kuvata yhdellä parametrillä ρ 0 tai r s = (3 / 4πρ 0 ) 1/3. Koska siis homogeenisen elektronikaasun vaihto- ja korrelaatioenergia elektronia kohti ε xc [ρ 0 ] = ε x [ρ 0 ] + ε c [ρ 0 ] tunnetaan, voidaan sitä käyttää arvioitaessa epähomogeenisen elektronitiheyden vaihto- ja korrelaatioenergiaa seuraavasti: E xc [ρ] = ρ(r) ε xc LDA (ρ(r)) dr, (9.52) missä ε xc LDA (ρ(r)) = ε xc [ρ 0 ], kun ρ 0 = ρ(r). Siis kussakin paikassa r approksimoidaan suuretta ε xc homogeenisen elektronikaasun vastaavalla suureella, kun ρ 0 = ρ(r). Tämä on LDA. LDA:n voi odottaa olevan hyvän esim. metallien johde-elektronien tapauksessa, mutta se on osoittautunut yllättävän hyväksi approksimaatioksi myös molekyylien ja atomienkin tapauksessa. Yleisesti LDA:n voidaan odottaa olevan käyttökelpoinen silloin, kun elektronijakautuman vaihto- ja korrelaatioaukko on lokalisoitunut elektronin ympärille. Kun HF-teorian avulla voidaan ratkaista tarkasti yhden elektronin systeemi, esim. vetyatomi, niin LDA on tarkka taas äärettömän suurelle homogeeniselle elektronisysteemille. Näiden ääripäiden välissä rakenteesta riippuvat korrelaatioilmiöt on otettava huomioon ja HF-teoriaan ne lisätään CI-muodossa. Toistaiseksi parhaat LDA:n korjaukset perustuvat "non-lokaaleihin" funktioihin ε xc NL (ρ(r); ρ(r)). Myös eräänlaiset interpolaatiot tai sekoitukset aaltofunktioteorian ja DFT:n välillä ovat osoittautuneet käyttökelpoisiksi. Leikillisesti voidaan sanoa, että aaltofunktioteorian hamiltonin operaattori on tarkka, mutta aaltofunktio ei (CI-kehitelmä), kun taas DFT:n tapauksessa asia on päin vastoin (V xc [ρ] on approksimaatio).
10 MNQT, sl MNQT, sl Kiinteiden aineiden elektronirakenne
9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
LisätiedotLaskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka
Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset
LisätiedotGaussian type orbitals (GTO) basis functions assume the radial part e αr2. Sc. cartesian GTO functions take the form
QTMN, 2016 173 9.4. STO and GTO basis sets For an accurate, but easy presentation of molecular orbitals a good basis set is needed. In general, a complete basis consists of an infinite numer of basis functions,
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
LisätiedotFYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA VIIKKO. Luento. Laskuharjoituksia ja
Laajuus: Luentoja: Laskuharjoituksia ja demonstraatioita: Luennoija: Laskuharjoitukset: Aika ja paikka: Oppikirja: 6 op 48 h 12 x 2 h Tapio Rantala, prof. SG219, puh. +358-40-543-3506 Etunimi.Sukunimi@tut.fi
Lisätiedot6. Vapaaelektronikaasu
6. Vapaaelektronikaasu KOF, sl 2012 1 Vapaaelektronikaasu on yksinkertaisin malli metallien elektronirakenteelle (engl. electronic structure). Se selittää kuitenkin jo monia metallien ominaisuuksia. Kaaviokuva:
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
Lisätiedot7. Atomien rakenne ja spektrit
7. Atomien rakenne ja spektrit Atomien rakenteella tarkoitetaan niiden elektroniverhojen rakennetta, erilaisia jakautumia ja erityisesti elektronien energiatiloja. Atomien spektreillä taas tarkoitetaan
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotMonen elektronin atomit
Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Heliumin emissiospektri Vety
LisätiedotFYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA
MNQT, kl 2010 i FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA Laajuus: Luenja: Laskuharjoituksia ja demonstraatioita: Luennoija: Laskuharjoitukset: Aika ja paikka: Oppikirja: 6 op 48 h 12 x 2
LisätiedotTONI YLENIUS VAN DER WAALS -VUOROVAIKUTUS ELEKTRONIRAKEN- NETEORIASSA: LASKUMENETELMIEN VERTAILU. Diplomityö
TONI YLENIUS VAN DER WAALS -VUOROVAIKUTUS ELEKTRONIRAKEN- NETEORIASSA: LASKUMENETELMIEN VERTAILU Diplomityö Tarkastaja: professori Tapio Rantala Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden ja ympäristötekniikan
LisätiedotTeknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut
Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan
LisätiedotVedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä
Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä Pro Gradu -tutkielma Henrik Kurkela henrik.kurkela@gmail.com Oulun Yliopisto Luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
Lisätiedot110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3
4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä fysiikassa. Sähkö- ja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotLuku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Elektronien liike on hyvin
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
LisätiedotSähköstaattinen energia
Luku 4 Sähköstaattinen energia oiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Sähköja magneettikenttiä mitataan voimavaikutuksen kautta. Kun voima vaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen,
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
Lisätiedot13 Atomien sidokset. H 2 molekyylistä.
13 Atomien sidokset Tähän asti kurssilla on ainoastaan keskusteltu atomien elektronitiloista ja niiden ominaisuuksista. Kun atomit muodostavat yhdisteitä muuttuvat prosessissa elektronien ominaistilat.
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotLuku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 10: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Molekyylien elektronirakennetta
LisätiedotLuento 1: Sisältö. Vyörakenteen muodostuminen Molekyyliorbitaalien muodostuminen Atomiketju Energia-aukko
Luento 1: Sisältö Kemialliset sidokset Ionisidos (suolat, NaCl) Kovalenttinen sidos (timantti, pii) Metallisidos (metallit) Van der Waals sidos (jalokaasukiteet) Vetysidos (orgaaniset aineet, jää) Vyörakenteen
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotYHTEYDEN OTTAMINEN CSC:N KONEELLE HIPPU
Johdatus laskennalliseen kemiaan, Harjoitus 1 Harjoituksen tavoitteet ovat - Tutustua ab initio -laskuissa käytettävään laskentaympäristöön - Oppia ottamaan tietokoneluokan koneelta yhteys laskentakoneelle
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot5.1 Johdanto 185. 5.2 Helium-atomi 186. 5.3 Keskeiskenttämalli 201. 5.4 Paulin kieltosääntö 206. 5.5 Atomien elektronirakenne 208
MONIELEKTRONIATOMIT 5. Johdanto 85 5. Helium-atomi 86 5.3 Keskeiskenttämalli 0 5.4 Paulin kieltosääntö 06 5.5 Atomien elektronirakenne 08 5.6 L--kytkentä monen elektronin atomeissa 3 5.7 Röntgenspektrien
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotSähköstatiikan laskuissa useat kaavat yksinkertaistuvat hieman, jos vakio C kirjoitetaan muotoon
30 SÄHKÖVAKIO 30 Sähkövakio ja Coulombin laki Coulombin lain mukaan kahden tyhjiössä olevan pistevarauksen q ja q 2 välinen voima F on suoraan verrannollinen varauksiin ja kääntäen verrannollinen varausten
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotLyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY
Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä
LisätiedotVyöteoria. Orbitaalivyöt
Vyöteoria Elektronirakenne ja sähkönjohtokyky: Metallit σ = 10 4-10 6 ohm -1 cm -1 (sähkönjohteet) Epämetallit σ < 10-15 ohm -1 cm -1 (eristeet) Puolimetallit σ = 10-5 -10 3 ohm -1 cm -1 σ = neµ elektronien
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotGalliumarsenidipintojen pistevirheiden tunnelointimikroskooppikuvien mallintaminen
Teknis-luonnontieteellinen osasto Matti Viitala Galliumarsenidipintojen pistevirheiden tunnelointimikroskooppikuvien mallintaminen Diplomityö Aihe hyväksytty teknis-luonnontieteellisen osastoneuvoston
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotMustan kappaleen säteily
Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi
LisätiedotMolekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen
Molekyylit. Johdanto. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit 6. Orgaaniset
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotAineen ja valon vuorovaikutukset
Aineen ja valon vuorovaikutukset Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tutkitaan aineen ja valon vuorovaikutuksia Ensiksi tutustutaan häiriöteoriaan, jonka
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut
A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotFYSA235, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.
FYSA5, Kvanttimekaniikka I, osa B, tentti..4 Tentin yhteispistemäärä on 48 pistettä. Kaavakokoelma ja CG-taulukko paperinipun lopussa.. Selitä lyhyesti (a) Larmorin prekessio [ pt] (b) Clebsch-Gordan kertoimet
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotSymmetriaryhmät ja niiden esitykset. Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26
Symmetriaryhmät ja niiden esitykset Symmetriaryhmät, 10.1.2013 1/26 Osa I: Symmetriaryhmät Symmetriaryhmät, 10.1.2013 2/26 Peilisymmetria Symmetriaryhmät, 10.1.2013 3/26 Kiertosymmetria Symmetriaryhmät,
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
Lisätiedot6.8. Elektronien välisistä vuorovaikutuksista 6.8.1. Vaihto- ja korrelaatiovuorovaikutus
6.8. Elektronien välisistä vuorovaikutuksista 6.8.1. Vaihto- ja korrelaatiovuorovaikutus Vapaaelektronimallin jokainen elektroni kokee taustavarauksen ja muiden elektronien Coulombin potentiaalin keskimääräistettynä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2
Talousmatematiikan perusteet, L2 orms.1030 EPKY / kevät 2011 Toisen Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juuri 3. kerto-
LisätiedotPHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016
PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
Lisätiedot4. Liikemäärämomentti
4. Liikemäärämomentti Jatkossa tarkastellaan toisaalta yleisiä (ja tarkkoja) menetelmiä, sellaisia kuin liikemäärämomenttialgebra ja ryhmäteoria, sekä toisaalta approksimointimenetelmiä, sellaisia kuin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:
LisätiedotLaskennallinen tutkimus TMA/H 2 O ALD-prosessista
Aalto-yliopisto Kemian tekniikan korkeakoulu Fysikaalisen kemian koulutusohjelma Timo Weckman Laskennallinen tutkimus TMA/H 2 O ALD-prosessista Pintareaktiot Al 2 O 3 -pinnalla Diplomityö Espoo, 23. tammikuuta
Lisätiedot23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen
3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotTyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5
MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää
LisätiedotKeskipisteen lisääminen 2 k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6)
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit kevät Keskipisteen lisääminen k -faktorikokeeseen (ks. Montgomery 9-6) Esim (Montg. ex. 9-, 6-): Tutkitaan kemiallisen prosessin saannon Y riippuvuutta faktoreista
Lisätiedot12. Eristeet Vapaa atomi
12. Eristeet Eristeiden tyypillisiä piirteitä ovat kovalenttiset sidokset (tai vahvat ionisidokset) ja siitä seuraavat mekaaniset ja sähköiset ominaisuudet. Makroskooppisen ulkoisen sähkökentän E läsnäollessa
LisätiedotMNQT, kl Ryhmäteoria
MNQT, kl 2010 59 5. Ryhmäteoria Ottamalla huomioon ratkaistavan systeemin symmetriaominaisuudet päästään yleensä tarkasteluissa ja ratkaisemisessa vähemmällä työllä. Erityisesti silloin, jos kvalitatiivinen
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotTEEMU SALMI PSEUDOPOTENTIAALIEN KÄYTTÖ POLKUINTEGRAALI- MONTE CARLO -SIMULOINNEISSA. Diplomityö
TEEMU SALMI PSEUDOPOTENTIAALIEN KÄYTTÖ POLKUINTEGRAALI- MONTE CARLO -SIMULOINNEISSA Diplomityö Tarkastaja: Prof. Tapio Rantala Tarkastaja ja aihe hyväksytty Teknis-luonnontieteellisen tiedekunnan tiedekuntaneuvoston
Lisätiedotpääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"
Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:
LisätiedotJohdantoa. 0.1 Mustan kappaleen säteily. Musta kappale (black body): Kvanttimekaniikka. Wienin siirtymälaki jakautuman maksimille on
MNQT, sl 2015 1 MNQT, sl 2015 2 Johdantoa Kvanttimekaniikka tarvittiin selittämään uusia kokeellisia havaintoja korvaa Newtonin yhtälön Schrödingerin yhtälöllä, joka on tavallaan pienten hiukkasten "liikeyhtälö"
Lisätiedot