Luku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
|
|
- Tapani Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 10: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1
2 Molekyylien elektronirakennetta kuvaavat teoriat lähtevät liikkeelle Bornin ja Oppenheimerin approksimaatiosta: Elektronien liike on hyvin paljon nopeampaa kuin ytimien ytimien voidaan olettaa olevan paikallaan, ja elektronit liikkuvat ytimien potentiaalikentässä B-O:n mukaan elektronisen energian laskemisessa ydinten etäisyyttä voidaan pitää parametrina potentiaalienergia käyrä (tai pinta) Tasapainosidospituus dissosiaatioenergia 2
3 Valenssisidosteoriassa sidos muodostuu kahden elektronin (vastakkaiset spinnit) pariutuessa ydisten välisellä alueella. Tarkastellaan sitoutumista vetymolekyylissä: - lähtökohtana kaksi vetyatomia, kullakin 1s elektroni - annetaan elektroneille leimat 1 ja 2 ja atomiorbitaaleille A ja B aaltofunktio: ψ = A(1)B(2) atomien ollessa lähekkäin emme pysty erottamaan kumpi el. on 1 ja 2 ψ = A(2)B(1) myös hyvä aaltofunktio Kumpi valitaan? 3
4 Kvanttimekaniikan mukaan systeemi voi olla samanaikaisesti useammassa tilassa, joten muodostamme kaksi superpositiota kahdesta aaltofunktiosta: ψ = A(1)B(2) ± A(2)B(1) Kombinaatio ψ = A(1)B(2) + A(2)B(1) johtaa elektronitiheyden kasvamiseen ydinten välillä sidos 4
5 N: He2s 2 2p x1 2p y1 2p z 1 2p z orbitaalit muodostavat σ sidoksen: σ sidoksella on sylinterisymmetria sidosakselin suhteen 2p y ja 2p x orbitaalit muodostavat 2 kpl π sidoksia N N ei sylinterisymmetriaa 5
6 Havaitsimme, että alinta energiaa vastaavan konfiguraation atomiorbitaalit toimivat hyvänä kantana kaksi-atomisten molekyylien sidosorbitaaleille Moniatomisille molekyyleille sidosten muodostuminen on paljon monimutkaisempi prosessi eikä oikeaa sidosten lukumäärää ja/tai geometriaa saada, jos kantana käytetään perustilaisten atomien konfiguraatiota vastaavia atomiorbitaaleja esim. ennustettu veden rakenne, jos kantana vedyn 1s ja hapen 2p atomiorbitaalit Oikea geometria on 104,5 happiatomin konfiguraatio: 1s 2 2s 2 2p x2 2p y1 2p z 1 6
7 Vastaavasti, hiiliatomin konfiguraatio 1s 2 2s 2 2p x1 2p y1 2p z 0 viitaisi siihen, että hiili muodostaa vain kaksi sidosta? Ongelma liittyy 2p x1 2p y 1 kantaan Viritystilainen C atomi olisi: 1s 2 2s 1 2p x1 2p y1 2p z 1 jolloin sen AO kanta sitoutumiselle olisi paljon laajempi: 2s 1 2p x1 2p y1 2p z 1 4 ortogonaalisesta (toisistaan riippumattomasta) AO:sta voidaan muodostaa 4 ortogonaalista lineaarikombinaatiota h 1 = s + p x + p y + p z h 2 = s p x p y + p z h 3 = s p x + p y p z sp 3 hybridiorbitaalit h 4 = s + p x p y p z hybridiorbitaalit ennustavat 4 σ-sidosta ja 109,47 valenssikulman 7
8 kolme σ sidosta tasossa Vastaavasti voidaan muodostaa 3 sp 2 hybridiorbitaalia kuvaamaan σ sitoutumista C=C sidoksissa h 1 = s + 2p y h 2 = s + 3/2p x 1/2 p y hybridisaatioon h 3 = s 3/2p x 1/2 p y osallistumaton p z orbitaali muodostaa π sidoksen 8
9 sp 2 hybridiorbitaalien aiheuttama σ sidos ei-hybridisoituneiden p z orb aiheuttama π sidos σ sidos muihin atomeihin sp hybridiorbitaalit kuvaavat σ sidoksen muodostumista C C sidoksissa: h 1 = s + p z sp -hybridiorbitaalit σ-sidos h 2 = s p z π π π sidokset muodostuvat p x ja p y orbitaaleista 9
10 Hybridisaatio on matemaattinen temppu joka joudutaan tekemään siitä syystä, että perustilaisten atomien ao:t eivät ole riittävä kanta sellaisenaan kuvaamaan kemiallisten sidosten muodostumista molekyyleissä Molekyyliorbitaali (MO) teoriassa ei tarkastella elektronien lokalisoitumista sidoksiin. Elektronipilvi jakautuu koko molekyylin alueelle. Teoria on huomattavasti tarkempi kuin valenssisidos teoria, mutta se ei ole yhtä havainnollinen kemiallisen sidoksen tapauksessa. e- H 2 + on ainoa molekyyli, jonka Schrödingerin yhtälö ratkeaa analyyttisesti H ˆ = V 2m e & V = e ) ( + 4πε 0 ' r A1 r B1 R* 10
11 Ominaisarvoyhtälön: ˆ H ψ = Eψ ratkaisuja kutsutaan molekyyliorbitaaleiksi = MO Tarkat ratkaisut eivät juurikaan ole sovellettavissa muille molekyyleille, joten yleispätevämpää likimääräistä ratkaisutapaa: LCAO Linear combination of atomic orbitals Clemens Roothaan ratkaisuna likimääräiset molekyyliorbitaalit LCAO-MO H 2 + molekyylille ψ ± = N(A ± B) kantana vetyatomien 1s atomiorbitaalit A ja B; N=normitusvakio Sitova MO: ψ + = N(A + B) on ns. σ-mo (1σ) sylinterisymmetria ei pyörimismäärää sidosakselin suunnassa 11
12 Bornin todennäköisyystulkinnan mukaan aaltofunktion itseisarvon neliö kuvaa todennäköisyystiheyttä ψ + 2 = N 2 (A 2 + B 2 + 2AB) A 2 on todennäköisyystiheys sille, että elektroni sijaitsee atomin A atomiorbitaalilla B 2 on todennäköisyystiheys sille, että elektroni sijaitsee atomin B atomiorbitaalilla AB on todennäköisyys sille, että elektroni sijaitsee aluessa, jossa atomiorbitaalit peittävät toisiaan (ydinten välinen alue) 12
13 1σ orbitaalin energia saadaan: E 1σ = E H1s + e 2 4πε 0 R j + k 1+ S ) S = ABdτ = 1+ r 2 + # R & - + * % (. e R / a 0, + a 0 $ a 0 ' / + peittointegraali A = e r A / a 0 3 ( πa 0 ) 1/ 2 B = e r B / a 0 3 ( πa 0 ) 1/ 2 { } 1/ 2 r B = r A 2 + R 2 2r A Rcosθ j = e2 A 2 4πε 0 r B dτ = e 2, 4πε 0 R 1 & 1+ R ) / ( + e 2r / a 0-0. ' a 0 * 1 vuorovaikutus ytimen ja siihen liittyvän elektronitiheyden välillä k = e2 4πε 0 AB dτ = r B e 2 & 1+ R ) ( + e R / a 0 vuorovaikutus ytimen ja ydinten 4πε 0 a 0 ' a 0 * välisen elektronitiheyden välillä e 2 4πε 0 R ydinten välinen hylkivä vuorovaikutus 13
14 Lineaarikombinaatio ψ = N(A B) ψ 2 = N 2 ( A 2 + B 2 2AB) on hajottava eli antibonding 2σ MO pienentää todennäköisyystiheyttä ydinten välisellä alueella 2σ MO solmutaso 2σ MO:n todennäkäisyystiheys 14
15 E 2σ = E H1s + e 2 4πε 0 R j k 1 S 2σ MO:n hajottava vaikutus on suurempi kuin 1 2σ MO:n sitova vaikutus Samaytimisten kaksiatomisten molekyylien tapauksessa käytetään yleensä pariteettiin liittyviä leimoja g (gerade, parillinen) ja u (ungerade, pariton) 15
16 u ja g leimat saadaan tarkastelemalla MO:n inversiosymmetriaa atomien välisen etäisyyden keskipisteen suhteen 1σ = 1σ g 2σ = 1σ u Huom! Eriytimisillä 2 atomisilla molekyyleillä ei ole inversiopistettä Seuraavassa tarkastelemme samaytimisten 2 atomisten molekyylien MO:n muodostumista AO:sta diagrammien avulla hajottava MO AO AO vetymolekyyli sitova MO 16
17 elektroneja yhtä paljon hajottavalla ja sitovalla MO:lla, ei sidosta MO muodostettaessa pitää huomioida kaikki valenssi AO:t joilla on MO:ta vastaava symmetria tarkastellaan MO:n muodostamista 2. jakson alkuaineiden muodostamissa samaytimisissä 2 atomisissa molekyyleissä Kantana 2s ja 2p AO:t σ MO:t: ψ = c A 2s χ A 2s + c B 2s χ B 2s + c A 2 pz χ A 2 pz + c B 2 pz χ B 2 pz 17
18 Saadaan 4 kpl σ orbitaaleja: ψ = c A 2s χ A 2s ± c B 2s χ B 2s 1σ g ja 1σ u ψ = c A 2 pz χ A 2 pz ± c B 2 pz χ 2 pz 2σ g ja 2σ u Sidosakselia kohtisuoraan sijaitsevat p x ja p y AO:t muodostavat 4 kpl π MO:ta (sitova u ja hajottava g): MO:n miehittyminen O 2 molekyylissä molempien degeneraatio = 2 (voivat muodostua p x tai p y orbitaaleista) 18
19 Jos huomioidaan se, että kaikki neljä AO:ta muodostaa MO:n, havaitaan että orbitaalien energiajärjestys ei ole vakio N 2 19
20 Sidoksen lujuutta kuvaa ns. sidoskertaluku (bond order): b = 1 2 n n * ( ) n = el. lukumäärä sidotuilla MO:eilla n* = el. lukumäärä hajoittavilla MO:eilla 20
21 Orbitaalienergioita voidaan mitata fotoelektronispektroskopialla Koopmannin teoreema: orbitaalienergia on se energia, mikä tarvitaan elektronin poistamiseksi orbitaalilta Kokeessa ionisoidaan molekyyli fotonilla E = hν ja mitataan syntyvien elektronien kineettinen energia E K Ionisaatioenergia: I i = hν E K = ε i 21
22 Eriytimisten kaksiatomisten molekyylien sidokset ovat polaarisia δ + H δ F δ ± osittaisvarauksia σ-sidos muodostuu vedyn 1s ja fluorin 2p z atomiorbitaaleista: lähes puhdas 1s lähes puhdas 2p z 22
23 Polaarisen sidoksen tarkastelussa käytetään hyödyksi atomien elektronegatiivisuutta (kyky vetää elektroneja puoleensa) Atomien A ja B elektronegatiivisuusero määritellään: χ A χ B = 0,102 D(A B) 1 2 { [ D(A A) + D(B B) ]} 1/ 2 D = dissosiaatio- χ A ja χ B ovat ns. Paulingin elektronegatiivisuuksia energia Linus Pauling ( ) 23
24 Ongelmana on löytää atomiorbitaalien (=kanta) kertoimet aaltofunktiossa ψ = c A A + c B B Koska emme voi ratkaista molekyylin Schrödingerin yhtälöä tarkasti, kutsumme aaltofunktiota ψ yriteaaltofunktioksi (trial wavefunction) Yriteaaltofunktiolle pätee ns. variaatioperiaate: E = ψ * H ˆ ψdτ E 0 ψ *ψdτ E 0 = tarkkaa ratkaisua vastaava energia (jota emme tiedä) atomiorbitaalien kertoimet ovat parhaat silloin kun energia saavuttaa alimman arvon. Tämä on paras mahdollinen ratkaisu joka saadaan valitulla kantajoukolla (tässä A ja B) matemaattisesti kriteerit parhaalle ratkaisulle: E c A = 0 E c B = 0 24
25 ψ 2 dτ = c A A + c B B ( ) 2 2 dτ = c A A 2 2 dτ + c B B 2 dτ + 2c A c B ABdτ 1 1 S = c A 2 + c B 2 + 2c A c B S ψ ˆ H ψdτ = ( c A A + c B B) H ˆ 2 ( c A A + c B B)dτ = c A A H ˆ Adτ + c 2 B H ˆ Bdτ + c c A H ˆ Bdτ + c B A B A c B BH ˆ Adτ merkitään: α A = AH ˆ Adτ α B = BH ˆ Bdτ Coulombin integraalit β = A ˆ H Bdτ = B ˆ H Adτ ψh ˆ 2 ψdτ = c A α A + c 2 B α B + 2c A c B β E = c 2 A α A + c 2 B α B + 2c A c B β c 2 A + c 2 B + 2c A c B S resonanssi integraali paras ratkaisu löydetään derivoimalla E kertoimien suhteen: ( ) E = 2 c Aα A c A E + c B β c B SE c A c 2 A + c 2 B + 2c A c B S ( ) E = 2 c Bα B c B E + c A β c A SE c B c 2 A + c 2 B + 2c A c B S = 0 = 0 25
26 Derivaatat = 0 kun: c A α A c A E + c B β c B SE = ( α A E)c A + ( β ES)c B = 0 c A β c A ES + c B α B c B E = ( β ES)c A + ( α B E)c B = 0 sekulaariyhtälöt Yhtälöryhmän ratkaisu liittyy sekulaarideterminantin nollakohtiin: α A E β ES β ES α B E = 0 Samaytimiselle 2-atomiselle molekyylille Ratkaistaan determinantti kertomalla ristiin : α E E± = α ± β 1± S + = sitova MO - = hajottava MO α A = α B = α ( ) 2 ( β ES) 2 = 0 Kertoimet saadaan sijoittamalla E:n arvot takaisin sekulaariyhtälöihin: E + = α + β 1+ S = c 2 A α + c 2 B α + 2c A c B β c 2 A + c 2 B + 2c A c B S = c 2 A α + c 2 B α + 2c A c B β = (c 2 A + c 2 B )α + 2c A c B β 1 c A 2 + c B 2 = 2c A c B = 1 1+ S 1 c A = c { 2(1+ S} 1/ 2 A = c B 26
27 Vastaavalla tavalla voidaan ratkaista hajottavan MO:n kertoimet: E = α β 1 S = c 2 2 ( A + c B )α + 2c A c B β c A 2 + c B 2 = 2c A c B = 1 1 S 1 c A = c { 2(1+ S} 1/ 2 B = c A MO:t ovat siis: ψ + = A + B ψ { 2(1+ S} 1/ 2 = A B Huom! atomit A { 2(1 S} 1/ 2 ja B identtisiä 27
28 Molekyylien elektronirakenteen selvittäminen kuuluu laskennallisen kemian alaan, jossa molekyyliorbitaalit ratkaistaan tietokoneohjelmistojen avulla numeerisesti. Yleisimmin käytetyt menetelmät: 1. Ab initio ja semiempiiriset menetelmät 2. Tiheysfunktionaalimenetelmät Tyydyttämättömien hiilivetyjen π-elektronirakennetta voidaan tarkastella kvalitatiivisesti Hückelin menetelmän avulla. Ns. π-elektroniapproksimaation mukaan π elektronit liikkuvat σ elektronien muodostamassa kentässä ja ovat konjugoituneissa molekyyleissä delokalisoituneet koko molekyylin alueelle (esim. bentseeni) eteenillä on 2 π elektronia 28
29 Eteenin π MO muodostetaan hiilen 2p atomiorbitaaleista: ψ = c A A + c B B variaatioperiaatteen mukaisesti saamme sekulaarideterminaatin α E β ES β ES α E = 0 α = α A = α H determinantin juuret ratkaistiin variaatioperiaatteen yhteydessä. Hückelin approksimaatiot: 1. Kaikki peittointegraalit S = 0 2. Resonanssi-integraalit muiden kuin lähinaapureiden kesken = 0 3. Kaikkien lähinaapureiden (vierekkäisten) atomien väliset resonanssiintegraalit ovat saman suuruisia (=β). sekulaarideterminantti yksinkertaistuu: 1. Kaikki diagonaalielementit = α-e 2. off-diagonaalielementit vierekkäisten atomien välillä = β 3. muut elementit determinantissa = 0 29
30 Eteenin tapauksessa α E β β α E = 0 E ± = α ± β hajottava MO ns LUMO (lowest unfilled molecular orbital) sitova MO ns. HOMO (highest occupied molecular orbital) HOMO ja LUMO ovat molekyylin ns. rajaorbitaalit (frontier orbitals) spektroskooppisesti voidaan mitata π*(=2π) π absorption energia β:n arvo voidaan määrittää = (α β) (α + β) = 2β 30
31 Tarkastellaan π-elektronirakennetta butadieenissa (4 π elektronia) Hückelin approksimaation mukainen sekulaarideterminantti: α E β 0 0 β α E β 0 0 β α E β 0 0 β α E = 0 merkitään x = α E β x x 1 0 β = x x kehitetään 3x3 determinanteiksi 1. sarakkeen mukaan: 31
32 A 1,1 = ( 1) 1+1 x x x A 1,3 = ( 1) x x A 1,2 = ( 1) x x A 1,4 = ( 1) x x 1 x x 1 0 β 0 1 x x = xa 11 +1A A A 14 = xa 11 + A 12 = 0 ratkaisemalla 3x3 determinantit A 11 ja A 12 saadaan polynomiyhtälö: x 4 3x 2 +1= 0 x = 3± 5 2 x = ±1.618, x = ±
33 E = α xβ ja β < 0 4 π-mo: LUMO α HOMO ψ 1 = p z p z p z p z4 Atomiorbitaalien kertoimet MO:ssa ψ 1 ψ 4 saadaan sijoittamalla energia-arvot takaisin sekulaariyhtälöihin...työlästä 33
34 Butadieenin π-elektronienergia on E π = 2( α β) + 2( α β) = 4α β Konjugaatioon liityvän elektronien delokalisoitumisen vaikutusta voidaan arvioida vertaamalla tätä energiaa kahden eteeni molekyylin π-elektronienergiaan: E deloc = E π (butadieeni) 2E π (eteeni) = 4α β 4α 4β = 0.472β < 0 π elektronien delokalisoituminen stabiloi molekyyliä 34
35 Käsin laskemisen asemasta Hückel MO:t voidaan ratkaista tietokoneella jos määrittelemme ongelman matriisien ja vektoreiden avulla Tarkastellaan eteenin tapausta, jossa siis kaksi π elektronia (kantana 2 kpl 2p z AO:ta (A ja B)) " H = H AA $ # H BA H AB H BB % ' hamiltonin matriisi, matriisielementit H ij = ψ i * H ˆ ψ j dτ & $ Hückel approksimaation mukainen hamiltonin matriisi H = α β ' & ) % β α( " S = S AA $ # S BA S AB S BB % ' & peittomatriisi S ij = ψ i ψ j dτ " Hückel approksimaation mukainen peittomatriisi S = 1 0 % $ ' # 0 1& (yksikkömatriisi) Atomiorbitaalien kertoimien muodostama vektori MO:ssa i (i = 1 tai 2) " c i = c % i,a $ ' ja matriisi, joka sisältää kaikki MO:t: C = c # c i,b & 1 c 2 " % ' # c 1,B c 2,B & ( ) = c 1,A c 2,A $ 35
36 Määritellään diagonaalinen matriisi E siten, että sen alkiot ovat orbitaalienergiat: " E = E 1 0 % $ ' # 0 E 2 & Sekulaariyhtälöpari (eteenin tapauksessa) voidaan nyt kirjoittaa muodossa: ( H E i S)c i = 0 tai Hc i = Sc i E i Koko yhtälöryhmän ratkaisu voidaan muotoilla matriisien avulla: HC = SCE = CE (Hückelissä S = yksikkömatriisi) matriisioperaatio C 1 HC = E diagonalisoi hamiltonin matriisin, siten että diagonaalielementeiksi saadaan orbitaalienergiat C 1 C = 1 Jos siis voidaan löytää matriisi C, saadaan sekä orbitaalienergiat, että AO:en kertoimet MO:ssa ratkaistua 36
37 Diagonalisointiin on olemassa tehokkaita tietokonemenetelmiä (esim. Matlab paketissa). Esim. butadieeni: H = α β 0 0 α +1.62β α β 0 0 E = 0 0 α 0,62β α 1.62β β α β , C = 0 β α β β α Bentseenillä on 6 π-elektronia: α β β β α β β α β 0 0 H = 0 0 β α β β α β β β α E = α ± 2β;α ± β;α ± β 37
Luku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H
Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Elektronien liike on hyvin
LisätiedotLaskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka
Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotMolekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen
Molekyylit. Johdanto. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit 6. Orgaaniset
LisätiedotKEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt
KEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt Hückelin molekyyliorbitaalimenetelmä 1 Johdanto Kvanttikemisti turvautuu usein raskaisiin tietokonelaskuihin ratkaistaakseen haluamansa molekyylin Schrödingerin
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotAtomin elektronikonfiguraatiot (1)
Atomin elektronikonfiguraatiot (1) Atomiin sidotun elektronin tilaa kuvataan neljällä kvanttiluvulla: n pääkvattiluku - aaltofunktion eli orbitaalin energia, keskimääräinen etäisyys ytimestä, saa arvot
LisätiedotKvanttimekaaninen atomimalli. "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman
Kvanttimekaaninen atomimalli "Voi hyvin sanoa, että kukaan ei ymmärrä kvanttimekaniikkaa. -Richard Feynman Tunnin sisältö 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Kvanttimekaaninen atomimalli Orbitaalit Kvanttiluvut Täyttymisjärjestys
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotMOLEKYYLIT Johdanto Vetymolekyyli-ioni Kaksiatomiset molekyylit...239
MOLEKYYLIT... 8 6.1 Johdanto...8 6. Vetymolekyyli-ioni...9 6.3 Kaksiatomiset molekyylit...39 6.4 Kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatioita...43 6.5 Moniatomiset molekyylit...5 6.6 Orgaaniset
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotLuku 10: Atomien rakenne ja spektrit. Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit
Luku 10: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit 1 n 1 = 3 n 1 = 4 n 1 = 2 n 1 =1 Vetyatomin spektri koostuu viivoista Viivojen sijainti
LisätiedotCHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen
CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen Orgaaninen reaktio Opettava tutkija Pekka M Joensuu Orgaaniset reaktiot Syyt Pelkkä törmäys ei riitä Varaukset (myös osittaisvaraukset) houkuttelevat molekyylejä
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotLuento 1: Sisältö. Vyörakenteen muodostuminen Molekyyliorbitaalien muodostuminen Atomiketju Energia-aukko
Luento 1: Sisältö Kemialliset sidokset Ionisidos (suolat, NaCl) Kovalenttinen sidos (timantti, pii) Metallisidos (metallit) Van der Waals sidos (jalokaasukiteet) Vetysidos (orgaaniset aineet, jää) Vyörakenteen
LisätiedotMS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42
MS-A0004/MS-A0006 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 6 / vko 42 Tehtävät 1-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ryhmissä, ja ryhmien ratkaisut esitetään harjoitustilaisuudessa (merkitty kirjaimella L = Lasketaan).
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE
ULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE Palautetaan mieleen jaksollinen järjestelmä ja mitä siitä saa- Kertausta daan irti. H RYHMÄT OVAT SARAKKEITA Mitä sarakkeen numero kertoo? JAKSOT OVAT RIVEJÄ Mitä
LisätiedotKäytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.
1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana
Lisätiedot6.2 Vetymolekyyli-ioni Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 238
MOLEKYYLIT 6.1 Johdanto 7 6. Vetymolekyyli-ioni 8 6.3 Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 38 6.4 Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 4 6.5 Moniatomiset molekyylit
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot7. Atomien rakenne ja spektrit
7. Atomien rakenne ja spektrit Atomien rakenteella tarkoitetaan niiden elektroniverhojen rakennetta, erilaisia jakautumia ja erityisesti elektronien energiatiloja. Atomien spektreillä taas tarkoitetaan
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotMolekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering. Atomien väliset sidokset
Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotHiilen ja vedyn reaktioita (1)
Hiilen ja vedyn reaktioita (1) Hiilivetyjen tuotanto alkaa joko säteilevällä yhdistymisellä tai protoninvaihtoreaktiolla C + + H 2 CH + 2 + hν C + H + 3 CH+ + H 2 Huom. Reaktio C + + H 2 CH + + H on endoterminen,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLämpö- eli termokemiaa
Lämpö- eli termokemiaa Endoterminen reaktio sitoo ympäristöstä lämpöenergiaa. Eksoterminen reaktio vapauttaa lämpöenergiaa ympäristöön. Entalpia H kuvaa systeemin sisäenergiaa vakiopaineessa. Entalpiamuutos
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
Lisätiedot11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen.
11. MOLEKYYLIT Vain harvat alkuaineet esiintyvät luonnossa atomeina (jalokaasut). Useimmiten alkuaineet esiintyvät yhdisteinä: pieninä tai isoina molekyyleinä, klustereina, nesteinä, kiinteänä aineena.
LisätiedotOrgaanisten yhdisteiden rakenne ja ominaisuudet
Orgaanisten yhdisteiden rakenne ja ominaisuudet 1 2 KOVALENTTISET SIDOKSET ORGAANISISSA YHDISTEISSÄ 3 4 5 6 7 Orgaanisissa molekyyleissä hiiliatomit muodostavat aina neljä kovalenttista sidosta Hiiliketju
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotLuku 2: Atomisidokset ja ominaisuudet
Luku 2: Atomisidokset ja ominaisuudet Käsiteltävät aiheet: Mikä aikaansaa sidokset? Mitä eri sidostyyppejä on? Mitkä ominaisuudet määräytyvät sidosten kautta? Chapter 2-1 Atomirakenne Atomi elektroneja
Lisätiedotd) Klooria valmistetaan hapettamalla vetykloridia kaliumpermanganaatilla. (Syntyy Mn 2+ -ioneja)
Helsingin yliopiston kemian valintakoe: Mallivastaukset. Maanantaina 29.5.2017 klo 14-17 1 Avogadron vakio NA = 6,022 10 23 mol -1 Yleinen kaasuvakio R = 8,314 J mol -1 K -1 = 0,08314 bar dm 3 mol -1 K
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotKiteinen aine. Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan nähden erittäin suuri, rakenne.
Kiteinen aine Kide on suuresta atomijoukosta muodostunut säännöllinen ja stabiili, atomiseen skaalaan nähden erittäin suuri, rakenne. Kiteinen aine on hyvä erottaa kiinteästä aineesta, johon kuuluu myös
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotMatematiikka B2 - Avoin yliopisto
6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotMUUTOKSET ELEKTRONI- RAKENTEESSA
MUUTOKSET ELEKTRONI- RAKENTEESSA KEMIAA KAIK- KIALLA, KE1 Ulkoelektronit ja oktettisääntö Alkuaineen korkeimmalla energiatasolla olevia elektroneja sanotaan ulkoelektroneiksi eli valenssielektroneiksi.
LisätiedotLuku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw
Lisätiedot4. Liikemäärämomentti
4. Liikemäärämomentti Jatkossa tarkastellaan toisaalta yleisiä (ja tarkkoja) menetelmiä, sellaisia kuin liikemäärämomenttialgebra ja ryhmäteoria, sekä toisaalta approksimointimenetelmiä, sellaisia kuin
LisätiedotMITÄ SIDOKSILLE TAPAHTUU KEMIALLISESSA REAKTIOSSA
MITÄ SIDOKSILLE TAPAHTUU KEMIALLISESSA REAKTIOSSA REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaikissa kemiallisissa reaktioissa atomit törmäilevät toisiinsa siten, että sekä atomit että sidoselektronit järjestyvät uudelleen.
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotVedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä
Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä Pro Gradu -tutkielma Henrik Kurkela henrik.kurkela@gmail.com Oulun Yliopisto Luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMatematiikka B2 - TUDI
Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus
LisätiedotS-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) Viikko 11
S-114.1327 Fysiikka III (Est, 6,0 op) LUENTOSUUNNITELMA KEVÄT 2007, 2. PUOLILUKUKAUSI Toisen puolilukukauden aikana käydään läpi keskeiset kohdat Kvanttifysiikan opetusmonisteen luvuista 3-7. Laskuharjoituksia
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
Lisätiedot9. Elektronirakenteen laskeminen
9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2013 159 MNQT, sl 2013 160 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan
LisätiedotIonisidos syntyy, kun elektronegatiivisuusero on tarpeeksi suuri (yli 1,7). Yleensä epämetallin (suuri el.neg.) ja metallin (pieni el.neg.) välille.
2.1 Vahvat sidokset 1. Ionisidokset 2. 3. Kovalenttiset sidokset Metallisidokset Ionisidos syntyy, kun elektronegatiivisuusero on tarpeeksi suuri (yli 1,7). Yleensä epämetallin (suuri el.neg.) ja metallin
LisätiedotS Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä)
S-.7 Fysiikka III (st), VK 8.5.008 Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä). Näytä, että sekä symmetrinen aaltofunktio ψn( x ) ψn ( x) + ψn( x) ψn, että antisymmetrinen aaltofunktioψn( x)
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotKertaus. Tehtävä: Kumpi reagoi kiivaammin kaliumin kanssa, fluori vai kloori? Perustele.
Kertaus 1. Atomin elektronirakenteet ja jaksollinen järjestelmä kvanttimekaaninen atomimalli, atomiorbitaalit virittyminen, ionisoituminen, liekkikokeet jaksollisen järjestelmän rakentuminen alkuaineiden
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
Lisätiedotpääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"
Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotKEMA211 EPÄORGAANINEN KEMIA 1 (4 op)
KEMA211 EPÄORGAANINEN KEMIA 1 (4 op) Luennot 16.3. - 5.5., ti 1215 ja ke 1015, salissa YlistöKem 1 Loppukoe 6.5., klo 1200-1500, salissa MaA 103 Kirjallisuus C.E. Housecroft, A.G. Sharpe Inorganic Chemistry,
LisätiedotLineaariset yhtälöryhmät ja matriisit
Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotS Fysiikka III (Est) 2 VK
S-37 Fysiikka III (Est) VK 500 Tarkastellaan vedyn p energiatasoa a) Mikä on tämän tason energia Bohrin mallissa? b) Oletetaan että spinratavuorovaikutus voidaan jättää huomiotta Kirjoita kaikki tähän
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotOsittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).
Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedot