Laskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennalinen kemia. Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka"

Transkriptio

1 Laskennalinen kemia Menetelmien hierarkia: Molekyyligeometria Molekyylimekaniikka Molekyylidynamiikka Molekyyligeometria ja elektronirakenteet Empiiriset menetelmät (Hückel, Extended Hückel) Semi-empiiriset menetelmät (CNDO, MINDO, AM1, jne) Ab initio-menetelmät (Hartree-Fock) Tiheysfunktionaalimenetelmät (DFT) Elektronirakenteiden laskeminen: Yksittäisten molekyylien rakenteet ja energetiikka Tasapainogeometria Elektronirakenteet Suhteelliset stabiilisuudet Varausjakauma Spektroskooppiset ominaisuudet Kemiallisten reaktioiden mallintaminen Energetiikka Reaktiomekanismit Ab initio-menetelmät Molekyylien sisäiset ja väliset vuorovaikutukset Parametrisointi Periodiset reunaehdot

2 Aaltoyhtälö!"Ψ = %Ψ missä !" = 1 2 ) * +, ) ) -. + ) 1 + ) / / / 56 Kineettinen energia Ytimien ja elektronien välinen attraktio Elektronien keskinäinen repulsio Ytimien keskinäinen repulsio Analyyttinen ratkaisu vain yksielektronisysteemeissä Variaatioperiaate Olkoon systeemin todellinen aaltofunktio Y ja sitä vastaava energia E Arvataan systeemille aaltofunktio Y g, joka on funktio sopivista parametreista ja lasketaan sitä vastaava energia E 8 9 = : ; 9 ="; 9 >? : ; ="; >? = 8 A@ Energia E g minimoidaan annettujen parametrien A@

3 Self-consistent-field-teoria (SCF) ja Hartree-Fock yhtälö Tarkastellaan suljetun kuoren tapausta Jokainen miehitetty orbitaali on täynnä Olkoon N elektronia ja n = N/2 orbitaalia Kullakin orbitaalilla on 2 elektronia, joiden spin-funktiot ovat a ja b Molekyylin aaltofunktio: ; = C D! G C (C)J(C) K G C (C)L(C) G N (C)J(C) K G N (C)L(C) G C (D)J(D) K G C (D)L(D) G N (D)J(D) K G N (D)L(D) Kokonaisenergia (Hartree-Fock-yhtälö) missä N N N 8 = Q ) R S + ) )(QT SU V SU ) S S U R S = G S R" R S = : G S R" G S >? T SU = G S (C)G U (Q) V SU = G S (C)G U (Q) C W CQ G S (C)G U (Q) C W CQ G S (Q)G U (C) Yksielektroni-integraalit Kaksielektroni-integraalit Z G S = ) X YS 9 Y Y Molekyyliorbitaali (LCAO); g pi = kantafunktio (atomiorbitaali)

4 Laskentamenetelmä Tulokset: E (kokonaisenergia) e i (orbitaalienergiat) (orbitaalikertoimet) c pi (1) Valitaan alustavatmo:t (2) Lasketaan kaikki matriisielementit (3) Ratkaistaan sekulaarideterminantti ja saadaan tuloksena M kpl ominaisarvoa e 1, e 2,, e M sekä vastaavat ominaisvektorit e 1 e 2 e 3 e 4 e M c 11 c 12 c 13 c 14 c 1M c 21 c 22 c 23 c 24 c 2M c M1 c M2 c M3 c M4 c MM (4) Valitaan N orbitaalia, joilla on pienin e i => Uudet arviotmo:lle (5) Toistetaan vaiheet (2)-(4), kunnes kertoimet c pi eivät muutu Kantafunktiot (-joukot) Kantajoukon valinta: - Tulosten tarkkuus ja luotettavuus - Laskenta-aikaan g STO g [\] = D K ^(_, a, b)c AdWQ Gaussin funktio: - Kaksielektroni-integraalit helppoja laskea - Tarkkuus huonompi kuin STO:lla e\] = D K ^(_, a, b)c AdW Slaterin funktio: - Kaksielektroni-integraalit työläitä laskea - Tarkkuus parempi kuin GTO:lla r e\] N[ = [\] C + [\] Q + + [\] N = N D ) X S c AdW S Q C r

5 Kantajoukot Minimikanta Jokainen AO on kuvattu yhdellä funktiolla Esimerkki Litium-atomi. STO 1f = g h i A5 jk GTO-nG 1f = g h ) m + i A5 jnk l 2f = g, i A5 lk. h 2f = g, ) m + i A5 lnk l h Minimikannan ongelmia Minimikanta kuvaa jaksollisen vasenta reunaa paremmin kuin oikeaa reunaa Reaktio STO-3G//STO-3G (kj mol -1 ) Kokeellinen energia (kj mol -1 ) CH 3 CH 3 + H 2 2 CH CH 3 NH 2 + H 2 CH 4 + NH CH 3 OH + H 2 CH 4 + H 2 O CH 3 F + H 2 CH 4 + HF Kantajoukon gaussin funktioiden lukumäärän kasvattaminen parantaa tilannetta Minimikanta ei kuvaa atomin ympäristön anisotrooppisuuttariittävän hyvin Reaktio STO-3G//STO-3G (kj mol -1 ) Kokeellinen energia (kj mol -1 ) CH 3 CH 3 + H 2 2 CH HCCH + 3 H 2 2CH

6 Kaksoiskanta Orbitaalit kuvataan kahdella itsenäisellä funktiolla Sisäkuoren orbitaalit kuvataan minimikannalla ja valenssiorbitaalit kaksoiskannalla (ns. split valence-kanta) Esimerkki H, He 1s, 1s 3-21G 6-31G Sisäkuoren orbitaalit: 9 = D ) X S c Ad SW Q 9 = D ) X S c Ad SW Q o s Valenssiorbitaalit: 9 = D ) X S c Ad SqW Q 9 = D ) X S c Ad SqW Q Q o 9 = D c Ad S W Q 9 = D c Ad S W Q Li-Ne Na-Ar 1s 2s, 2p x, 2p y, 2p z 2s, 2p x, 2p y, 2p z 1s 2s, 2p x, 2p y, 2p z 3s, 3p x, 3p y, 3p z 3s, 3p x, 3p y, 3p z Polarisaatiofunktiot Atomiin lisätään tyhjiä p- tai d-orbitaaleja Polaarisaatiofunktio pienentää sidoksen ionisuuttaja mahdollistaa elektronitiheyden paremman kuvaamisen ytimien välillä + l + l H, He 1s, 1s (6-31G**) 2s, 2p x, 2p y, 2p z Li-Ne 1s (6-31G*) 2s, 2p x, 2p y, 2p z 2s, 2p x, 2p y, 2p z 3d xx, 3d yy, 3d zz, 3d xy, 3d xz, 3d yz

7 Integraaliongelma Olkoon molekyylissä N kpl kantafunktioita - Yksielektroni-integraaleja <g i g i > ja <g i h g i > on n. 3N 2 kpl - Kaksielektroni-integraaleja <g i g j (1 /r ij ) g k g l > on n. N 4 kpl Suora vaikutus laskenta-aikaan Esimerkki Yhden pisteen minimikantalaskut H 2 O H 2 S H 2 Se H 2 Te Kantafunktiot el.int el.int CPU-aika 3 s 12 s 120 s 645 s Integraaliongelman ratkaisu (1) Approksimatiiviset menetelmät - Hückel Empiiriset menetelmät - Extended Hückel - CNDO, INDO, MINDO, AM1 Semiempiiriset menetelmät - Pseudopotentiaalilaskut (2) Symmetria - Kun symmetria otetaan huomioon kantajoukoissa u h!" u, 0 vain, jos y 1 ja y 2 kuuluvat samaan redusoitumattomaan esitykseen

8 Esimerkki Allyyli-radikaali C 2 H 5 y f f 2 1 f 3 x Sekulaarideterminantti: G p (1,3) = A 2 + B 2 G p (2) = B 2 C 2v J 8 L z L J 8 L z L J 8 = z ; xq = C Q y Q + C Q (y C + y o ) ; dq = C Q y C y o sitova sitomaton E b = a + QL E n = a ; = C Q y Q C Q (y C + y o ) hajottava E b = a - QL Esimerkki H 2 Se H z Se H x y A 1 Se: 1 1s, 2 2s, 3 3s, 4 4s, 5 2p z, 6 3p z, 7 4p z, 8 3d } l A~ l, Ä 3d Å l H: 10 1s(H 1 )+1s(H 2 ) A 2 Se: 11 3d xy B 1 Se: 12 2p x, 13 3p x, 14 4p x, 15 3d xz B 2 Se: 16 2p y, 17 3p y, 18 4p y, 19 3d yz H: 20 1s(H 1 )-1s(H 2 )

9 A 1 A 2 B 1 B 2 A 1 A 2 B 1 B Elektronikorrelaatio - Hartree-Fock menetelmässä elektronien välinen vuorovaikutus on kuvattu keskimääräisenä vuorovaikutuksena - Parhaimmillaan 99% kokonaisenergiasta on voitu kuvata - Aaltofunktio on kuvattu yhdellä Slaterin determinantilla Elektronikorrelaation huomioonotto - Configuraatiovuorovaikutus (CI) - Molekyylin aaltofunktio kuvataan perustilan aaltofunktion ja viritettyjen tilojen aaltofunktioiden lineaarikombinaationa ; = X z ; z + ) X S ; S - MÇller-Plesset-korjaus (MPn) - Perustuu häiriöteoriaan - Ei noudata variaatioperiaatetta - Yksikäsitteinen, hyvin määritelty, ei systemaattisia virheitä - Size consistent - Soveltuu pienille molekyyleille - CIS: Configuration interaction single excitations - CID: Confiruration interactions double excitations - CIDS: Configuration interactions single and double excitations - Esim. MP2 => E E HF + E MP2

10 Tiheysfunktionaalimenetelmät - Laskumenetelmä perustuu elektronitiheyteen, ei aaltofunktioon - Funktionaali: funktioiden funktio - Thomas-Fermi-malli (1927) - Kohn-Sham menetelmä - Tiheysfunktionaali jaettu neljään osaan: - Kohn-Sham kineettinen energia - Ulkoinen potentiaali - Vaihtoenergia - Korrelaatioenergia - Eräitä tiehysfunktionaalimenetelmiä - DFT-menetelmän ongelmat: - Molekyylien väliset vuorovaikutukset - Dispersio - Varauksensiirto - Siirtymätilat - Grimmen korjaus

11 Menetelmien vertailua Geometria Semiempiiriset menetelmät Ab initio DFT - perustila luotettava luotettava luotettava - siirtymätila epäluotettava luotettava vaihteleva Energetiikka heikko kohtalainen/luotettava luotettava Molekyylien väliset vuorovaikutukset heikko/kohtalainen kohtalainen/luotettava parantunut

9. Elektronirakenteen laskeminen

9. Elektronirakenteen laskeminen 9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2013 159 MNQT, sl 2013 160 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan

Lisätiedot

9. Elektronirakenteen laskeminen

9. Elektronirakenteen laskeminen 9. Elektronirakenteen laskeminen MNQT, sl 2015 165 MNQT, sl 2015 166 Tarkastellaan vielä eri menetelmiä seuraavan jaottelun mukaisesti. Elektronirakenteen laskeminen tarkoittaa tavallisesti tarkasteltavan

Lisätiedot

Luku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H

Luku 11: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H Luku 11: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Elektronien liike on hyvin

Lisätiedot

Luku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H

Luku 10: Molekyylien rakenne. Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H Luku 10: Molekyylien rakenne Valenssisidosteoria Kaksiatomiset ja moniatomiset molekyylit Molekyyliorbitaaliteoria H + 2 ja muut kaksiatomiset molekyylit Hückel approksimaatio 1 Molekyylien elektronirakennetta

Lisätiedot

Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä

Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä Vedynkaltaiset radiaaliaaltofunktiot Roothaan Hall- ja CI-menetelmissä Pro Gradu -tutkielma Henrik Kurkela henrik.kurkela@gmail.com Oulun Yliopisto Luonnontieteellinen tiedekunta Fysiikan koulutusohjelma

Lisätiedot

pääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"

pääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2! Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:

Lisätiedot

7. Atomien rakenne ja spektrit

7. Atomien rakenne ja spektrit 7. Atomien rakenne ja spektrit Atomien rakenteella tarkoitetaan niiden elektroniverhojen rakennetta, erilaisia jakautumia ja erityisesti elektronien energiatiloja. Atomien spektreillä taas tarkoitetaan

Lisätiedot

KEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt

KEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt KEMS448 Fysikaalisen kemian syventävät harjoitustyöt Hückelin molekyyliorbitaalimenetelmä 1 Johdanto Kvanttikemisti turvautuu usein raskaisiin tietokonelaskuihin ratkaistaakseen haluamansa molekyylin Schrödingerin

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen

CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen Orgaaninen reaktio Opettava tutkija Pekka M Joensuu Orgaaniset reaktiot Syyt Pelkkä törmäys ei riitä Varaukset (myös osittaisvaraukset) houkuttelevat molekyylejä

Lisätiedot

Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat

Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat keskenään, on selvää, että tähän saakka käyttämämme yksihiukkaskuva,

Lisätiedot

Luku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi

Luku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

Gaussian type orbitals (GTO) basis functions assume the radial part e αr2. Sc. cartesian GTO functions take the form

Gaussian type orbitals (GTO) basis functions assume the radial part e αr2. Sc. cartesian GTO functions take the form QTMN, 2016 173 9.4. STO and GTO basis sets For an accurate, but easy presentation of molecular orbitals a good basis set is needed. In general, a complete basis consists of an infinite numer of basis functions,

Lisätiedot

Atomin elektronikonfiguraatiot (1)

Atomin elektronikonfiguraatiot (1) Atomin elektronikonfiguraatiot (1) Atomiin sidotun elektronin tilaa kuvataan neljällä kvanttiluvulla: n pääkvattiluku - aaltofunktion eli orbitaalin energia, keskimääräinen etäisyys ytimestä, saa arvot

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät ja B = Olkoon A = a) A + B b) AB c) BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 28 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 a) A + B b) AB BA d) A 2 e) A T f) A T B g) 3A ja B = 2 1 6 3 1 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

TONI YLENIUS VAN DER WAALS -VUOROVAIKUTUS ELEKTRONIRAKEN- NETEORIASSA: LASKUMENETELMIEN VERTAILU. Diplomityö

TONI YLENIUS VAN DER WAALS -VUOROVAIKUTUS ELEKTRONIRAKEN- NETEORIASSA: LASKUMENETELMIEN VERTAILU. Diplomityö TONI YLENIUS VAN DER WAALS -VUOROVAIKUTUS ELEKTRONIRAKEN- NETEORIASSA: LASKUMENETELMIEN VERTAILU Diplomityö Tarkastaja: professori Tapio Rantala Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden ja ympäristötekniikan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista

Lisätiedot

Luku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi

Luku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A =

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) A = Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 211 1. Olkoon A = Määrää ( 2 1 ) 3 4 1 ja B = 2 1 6 3 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A. 2. Laske seuraavat determinantit

Lisätiedot

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e)

ja B = 2 1 a) A + B, b) AB, c) BA, d) A 2, e) A T, f) A T B, g) 3A (e) Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II Harjoituksia kevät 214 1. Tutki seuraavia jonoja a) (a n )=(3n 1) ( ) 2 b) (a n )= 3 n ( ) 1 c) (a n )= (n + 1)(n +2) 2. Tutki seuraavia sarjoja a) (3k 1)

Lisätiedot

Hiilen ja vedyn reaktioita (1)

Hiilen ja vedyn reaktioita (1) Hiilen ja vedyn reaktioita (1) Hiilivetyjen tuotanto alkaa joko säteilevällä yhdistymisellä tai protoninvaihtoreaktiolla C + + H 2 CH + 2 + hν C + H + 3 CH+ + H 2 Huom. Reaktio C + + H 2 CH + + H on endoterminen,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Molekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen

Molekyylit. Atomien välisten sidosten muodostuminen Molekyylit. Johdanto. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit 6. Orgaaniset

Lisätiedot

Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin.

Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. 1.2 Elektronin energia Käytetään nykyaikaista kvanttimekaanista atomimallia, Bohrin vetyatomi toimii samoin. -elektronit voivat olla vain tietyillä energioilla (pääkvanttiluku n = 1, 2, 3,...) -mitä kauempana

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Laskennallinen tutkimus TMA/H 2 O ALD-prosessista

Laskennallinen tutkimus TMA/H 2 O ALD-prosessista Aalto-yliopisto Kemian tekniikan korkeakoulu Fysikaalisen kemian koulutusohjelma Timo Weckman Laskennallinen tutkimus TMA/H 2 O ALD-prosessista Pintareaktiot Al 2 O 3 -pinnalla Diplomityö Espoo, 23. tammikuuta

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

Kemian syventävät kurssit

Kemian syventävät kurssit Kemian syventävät kurssit KE2 Kemian mikromaailma aineen rakenteen ja ominaisuuksien selittäminen KE3 Reaktiot ja energia laskuja ja reaktiotyyppejä KE4 Metallit ja materiaalit sähkökemiaa: esimerkiksi

Lisätiedot

LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä.

LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä. LCAO-menetelmä Tämä on lyhyt johdanto molekyylien laskentaan LCAO-menetelmällä. LCAO-menetelmä on yleisin molekyylien elektoniakenteen laskemiseen kehitetyistä numeeisista menetelmistä. Se on laajalti

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

13 Atomien sidokset. H 2 molekyylistä.

13 Atomien sidokset. H 2 molekyylistä. 13 Atomien sidokset Tähän asti kurssilla on ainoastaan keskusteltu atomien elektronitiloista ja niiden ominaisuuksista. Kun atomit muodostavat yhdisteitä muuttuvat prosessissa elektronien ominaistilat.

Lisätiedot

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw

Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit. https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw Luku 9: Atomien rakenne ja spektrit Vedyn kaltaiset atomit Atomiorbitaalit Spektrisiirtymät Monielektroniset atomit https://www.youtube.com/watch? v=bmivwz-7gmu https://www.youtube.com/watch? v=dvrzdcnsiyw

Lisätiedot

Elektronitiheyden ja kemiallisten mallien visualisointi

Elektronitiheyden ja kemiallisten mallien visualisointi Elektronitiheyden ja kemiallisten mallien visualisointi Kemian mallit ja visualisointi Iines Kari Katja Sievänen Jonna Teikari 29.4.2008 Tavoitteet Harjoitustyö mallintamisesta on suunnattu yläkoulun yhdeksännelle

Lisätiedot

Kanta ja Kannan-vaihto

Kanta ja Kannan-vaihto ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V

Lisätiedot

4. Liikemäärämomentti

4. Liikemäärämomentti 4. Liikemäärämomentti Jatkossa tarkastellaan toisaalta yleisiä (ja tarkkoja) menetelmiä, sellaisia kuin liikemäärämomenttialgebra ja ryhmäteoria, sekä toisaalta approksimointimenetelmiä, sellaisia kuin

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Molekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset

Molekyylit. Helsinki University of Technology, Laboratory of Computational Engineering, Micro- and Nanosciences Laboratory. Atomien väliset sidokset Molekyylit. Atomien väliset sidokset. Vetymolekyyli-ioni 3. Kaksiatomiset molekyylit ja niiden molekyyliorbitaalit 4. Muutamien kaksiatomisten molekyylien elektronikonfiguraatio 5. Moniatomiset molekyylit

Lisätiedot

FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA VIIKKO. Luento. Laskuharjoituksia ja

FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA VIIKKO. Luento. Laskuharjoituksia ja Laajuus: Luentoja: Laskuharjoituksia ja demonstraatioita: Luennoija: Laskuharjoitukset: Aika ja paikka: Oppikirja: 6 op 48 h 12 x 2 h Tapio Rantala, prof. SG219, puh. +358-40-543-3506 Etunimi.Sukunimi@tut.fi

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA

FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA MNQT, kl 2010 i FYS-6300 MOLEKYYLIEN JA NANO- RAKENTEIDEN KVANTTITEORIA Laajuus: Luenja: Laskuharjoituksia ja demonstraatioita: Luennoija: Laskuharjoitukset: Aika ja paikka: Oppikirja: 6 op 48 h 12 x 2

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka

766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka 1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää

Lisätiedot

MNQT, kl Ryhmäteoria

MNQT, kl Ryhmäteoria MNQT, kl 2010 59 5. Ryhmäteoria Ottamalla huomioon ratkaistavan systeemin symmetriaominaisuudet päästään yleensä tarkasteluissa ja ratkaisemisessa vähemmällä työllä. Erityisesti silloin, jos kvalitatiivinen

Lisätiedot

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

elektroni = -varautunut tosi pieni hiukkanen nukleoni = protoni/neutroni

elektroni = -varautunut tosi pieni hiukkanen nukleoni = protoni/neutroni 3.1 Atomin rakenneosat Kaikki aine matter koostuu alkuaineista elements. Jokaisella alkuaineella on omanlaisensa atomi. Mitä osia ja hiukkasia parts and particles atomissa on? pieni ydin, jossa protoneja

Lisätiedot

ULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE

ULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE ULKOELEKTRONIRAKENNE JA METALLILUONNE Palautetaan mieleen jaksollinen järjestelmä ja mitä siitä saa- Kertausta daan irti. H RYHMÄT OVAT SARAKKEITA Mitä sarakkeen numero kertoo? JAKSOT OVAT RIVEJÄ Mitä

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen.

11. MOLEKYYLIT. Kvanttimekaniikka on käyttökelpoinen molekyyleille, jos se pystyy selittämään atomien välisten sidosten syntymisen. 11. MOLEKYYLIT Vain harvat alkuaineet esiintyvät luonnossa atomeina (jalokaasut). Useimmiten alkuaineet esiintyvät yhdisteinä: pieninä tai isoina molekyyleinä, klustereina, nesteinä, kiinteänä aineena.

Lisätiedot

Nyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),

Nyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R), Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli

KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli KEMIAN MIKROMAAILMA, KE2 Kvanttimekaaninen atomimalli Aineen rakenteen teoria alkoi hahmottua, kun 1800-luvun alkupuolella John Dalton kehitteli teoriaa atomeista jakamattomina aineen perusosasina. Toki

Lisätiedot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

luku 1.notebook Luku 1 Mooli, ainemäärä ja konsentraatio

luku 1.notebook Luku 1 Mooli, ainemäärä ja konsentraatio Luku 1 Mooli, ainemäärä ja konsentraatio 1 Kemian kvantitatiivisuus = määrällinen t ieto Kemian kaavat ja reaktioyhtälöt sisältävät tietoa aineiden rakenteesta ja aineiden määristä esim. 2 H 2 + O 2 2

Lisätiedot

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op 78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen

CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen CHEM-A1200 Kemiallinen rakenne ja sitoutuminen Hapot, Emäkset ja pk a Opettava tutkija Pekka M Joensuu Jokaisella hapolla on: Arvo, joka kertoo meille kuinka hapan kyseinen protoni on. Helpottaa valitsemaan

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

YHTEYDEN OTTAMINEN CSC:N KONEELLE HIPPU

YHTEYDEN OTTAMINEN CSC:N KONEELLE HIPPU Johdatus laskennalliseen kemiaan, Harjoitus 1 Harjoituksen tavoitteet ovat - Tutustua ab initio -laskuissa käytettävään laskentaympäristöön - Oppia ottamaan tietokoneluokan koneelta yhteys laskentakoneelle

Lisätiedot

Monen elektronin atomit

Monen elektronin atomit Monen elektronin atomit Helium atomi Keskimääräisen kentän approksimaatio Aaltofunktion symmetria hiukkasvaihdossa Paulin kieltosääntö Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä Heliumin emissiospektri Vety

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot