477412S / Ilmiömallinnus prosessimetallurgiassa. Tasapainon käsite ja tasapainon määrittäminen
|
|
- Jarkko Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa asaanon käste ja tasaanon määrttämnen asaanotlalla tarkotetaan erstetyn systeemn tlaa, jonka mtattavssa suuressa e taahdu muutoksa ajan funktona. Lsäks tasaanotlassa ovat vomassa termnen, mekaannen ja kemallnen tasaano, josta tässä yhteydessä kesktytään tarkemmn vmeks manttuun. On kutenkn syytä tää melessä, että vakka termodynaamsten tasaanojen tarkastelukohteena onkn juur kemallnen tasaano, ovat sotermsyys ja sobaarsuus ehtoja, joden on täytyttävä ennen kun laskennallsa tasaanon määrtyksä on mahdollsta tehdä. Käytännössä tasaanojen laskennallnen määrttämnen vo taahtua kahdella er tavalla: tasaanovako- ta mnmont- el otmontmenetelmällä. Yksnkertasssa taauksssa kuten ykskomonenttsysteemen, deaalsten kaasujen ja uhtaden aneden tarkastelussa termodynaamsten tasaanojen määrttämnen on yleensä suhteellsen suoravvasta ja yksnkertasta, mutta monssa reaaltlantessa tasaanojen määrttämnen on matemaattsest monmutkasemaa johtuen ratkastavsta yhtälöryhmstä, jotka ssältävät sekä lneaarsa että logartmsa ruvuuksa tosuusmuuttujen välllä. asaanovakomenetelmät ovat mnmontmenetelmä vanhema ja ntä käytetään lähnnä enten, yksnkertasten ja homogeensten systeemen tasaanoja määrtettäessä. Ne erustuvat systeemn osaslajeja sen komonenttehn stoven tasaanovakoyhtälöden sekä anetaseden muodostaman yhtälöryhmän ratkasemseen. asaanovakomenetelmän ongelma ovat vakeus esttää monmutkasemen systeemen tasaano-ongelmat ylesessä muodossa sekä ratkastaven yhtälöden matemaattsest monmutkanen luonne reaalsysteemejä tarkasteltaessa. Mnmontmenetelmen levämstä on aemmn hdastanut nden raskas matemaattnen muoto, mutta nykysten tetoteknkkaa hyödyntäven tasaanon määrtysohjelmstojen myötä mnmontmenetelmen käyttö on ylestynyt merkttäväst muutaman vmesen vuoskymmenen akana. Mnmontmenetelmssä tasaanoon johtava kemallsa reaktota e tarvtse tuntea, vaan tasaano määrtetään etsmällä mnmarvoa koko systeemn Gbbsn energalle komonentten anetaseden tomessa laskennan reunaehtona. osn sanoen systeemn komonentt jaetaan osaslajen ja nden muodostamen faasen kesken sten, että systeemn kokonas-gbbsn energa on mahdollsmman en. Nykysn kakk metallurgsssa sovelluksssa laajemmn käytössä olevat Gbbsn energan mnmontmenetelmät erustuvat 95-luvulla kehtettyyn suoraan mnmontalgortmn. Molemmssa em. menetelmssä on keskesessä roolssa Gbbsn energa, mnkä vuoks tasaanoja määrtettäessä onkn tunnettava tarkasteltavan systeemn komonentten Gbbsn energan arvot sekä nden olosuhderuvuudet (ts. lämötlan, aneen ja koostumuksen muutosten vakutukset). Gbbsn energa määrtellään yhtälön () mukasest: G H S () Entala Entalan muutos srryttäessä lämötlasta lämötlaan saadaan määrtettyä lämökaasteetn lauseketta ntegromalla: H H ( ) H ( ) c P d () Käytännössä cp-lauseke on määrtettävä osssa (jokaselle olomuodolle erkseen), mnkä lsäks laskennassa on huomotava tarkasteltavalle lämötlavällle osuvn faasmuutoksn lttyvät entalan muutokset. ällön entalan muutoksen lausekkeeks saadaan: H H n + n ( ) H ( ) c d + ( P j + H tr, j ) (3)
2 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa jossa esntyvllä faasmuutosentalolla ( Htr,j) tarkotetaan esmerkks aneen sulattamseen tarvttavaa ta aneen jähmettyessä vaautuvaa lämöä. Yhtälön (3) okea uol on kokeellsest määrtettävssä, jollon myös entalaero kahden lämötlan välllä vodaan määrttää. Entalan arvoja lämötlossa ja e kutenkaan voda määrttää erkseen; anoastaan nden välnen erotus. ästä seuraa, ette entalalle ole olemassa absoluuttsta astekkoa, vaan entalan arvot lmotetaan ana tarkasteltavan tlan ja ennalta sovtun vertalutlan el standardtlan välllä. Yleensä standardtlana on huoneenlämötla (5 C 98 K), jollon taulukkoteoksssa ta laskentaohjelmstojen tetokannossa lmotettavat entalat ovat käytännössä erotuksen (H - H98) arvoja. Kuvalla on yrtty graafsest havannollstamaan yhtälön (3) ssältöä. Kuvassa on uolestaan estetty jodenkn kaasujen entaloden lämötlaruvuuksa. Koska kuvan aneden höyrystymslämötlat ovat huoneenlämötlan alauolella, e kuvassa esnny lankaan faasmuutokssta aheutuva eäjatkuvuuskohta. Kuva. Hyoteettsen aneen entala lämötlan funktona. Kuva. Jodenkn kaasujen entalat lämötlan funktona. Entroa ermodynamkan tosen ääsäännön mukaan erstettyjen systeemen sontaanessa rosessessa kasvava entroa on suure, joka kuvaa mkroskoosta eäjärjestystä, mutta tosaalta myös termodynaamsta todennäkösyyttä. asaanotla on tla, jossa systeemllä on entroamaksm el korken todennäkösyys. Entroa kasvaa esmerkks lämötlan noustessa/lämömäärän kasvaessa, aneen laskessa ja aneden sekottuessa. Kuvan 3 avulla yrtään selkeyttämään entroan määrtelmää sekä eäjärjestyksenä että todennäkösyytenä.
3 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa : : 6 C: 36 D: 6 E: Kuva 3. Kahdeksasta atomsta (neljästä keltasesta ja neljästä vaaleanunasesta) koostuvan kakskomonenttsysteemn mahdollset mkrorakenteet. Kuvassa 3 on estetty kahdeksasta atomsta koostuva kakskomonenttsysteem, jonka kokonaskoostumus on 5 mol-% keltasa ja 5 mol-% vaaleanunasa atomeja. Kuvasta nähdään, että systeemn ollessa järjestyksessä (ts. entroan ollessa en) atomt ovat järjestäytyneet sten, että kakk keltaset atomt ovat systeemn vasemmassa uolskossa ja vaaleanunaset vastaavast okeassa uolskossa. ällaseen rakenteeseen vodaan äätyä van yhdellä atomjakaumalla (kohta ). Mkäl eäjärjestystä (l. entroaa) kasvatetaan, saadaan akaan tlanne, jossa systeemn vasemmalla uolella on kolme keltasta atoma ja yks vaaleanunanen atom, kun taas okealle uolelle jää kolme vaaleanunasta atoma ja yks keltanen atom. Koska vasemmalle uolelle eksynyt vaaleanunanen atom vo korvata mnkä tahansa sellä ollesta neljästä keltasesta atomsta, saadaan akaan neljä erlasta atomjakaumaa, jolla ko. koostumus vodaan akaansaada. Lsäks okealle uolelle joutunut keltanen atom vo vastaavast sjata neljässä er akassa, jollon mahdollsten atomjakaumen määräks saadaan yhteensä 6 ( 4 4) kuten kohdasta havataan. osn sanoen kohdan koostumus on 6 kertaa todennäkösem kun kohdan täydellsest järjestynyt tlanne: eäjärjestyksen kasvattamnen on ss johtanut myös tlan todennäkösyyden kasvuun. Eäjärjestystä edelleen kasvatettaessa äädytään kohtaa C vastaavaan tlanteeseen, jossa systeemn molemmlla uollla on kaks vaaleanunasta ja kaks keltasta atoma. ällön eäjärjestys ja systeemn todennäkösyys (36 erlasta mahdollsta atomjakaumaa) ovat suurmmllaan ja entroa saa maksmarvonsa. Kohdssa D ja E on estetty kohdlle ja käänteset tlanteet. Sen lsäks, että entroa kasvaa aneden sekottuessa, se kasvaa myös lämötlan noustessa. Kun systeemn, jonka lämötla on, tuodaan lämöä (q), kasvaa systeemn entroa (S) yhtälön (4) mukasest: dq ds S cp (4)
4 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Yhtälön (4) mukasest sama lämömäärä nostaa matalammassa lämötlassa olevan systeemn entroaa enemmän kun korkeammassa lämötlassa olevan systeemn. Entroan muutos lämötlavälllä :stä :een vodaan uolestaan määrttää yhtälän (5) osottamalla tavalla (vrt. entalan lämötlaruvuus - yhtälöt (7) ja ()): cp S ( ) ( ) S S d (5) Entalan tavon myös entroan lämötlaruvuudessa on huomotava myös faasmuutoksn lttyvät entroan muutokset ( Str), jollon yhtälö (5) saadaan ylesemään muotoon: S S n + n ( ) ( ) cp S d + ( j + S tr, j ) (6) Faasmuutosentroan ( Str) ja -entalan ( Htr) välllä on transformaatonlämötlassa (tr) olemassa yhteys: ( ) H ( ) tr tr Str tr (7) tr jollon yhtälö (6) saadaan muotoon: S S n ( ) ( ) P S d + + n c H tr, j j + tr, j (6 ) Käytännössä entroan lämötlaruvuutta vodaan ss tarkastella laskennallsest, kun tunnetaan lämökaasteetn lämötlaruvuus (esm. Kelleyn yhtälö) sekä faasmuutoksn lttyvät entalan muutokset ja faasmuutoslämötlat. Jatkossa tullaan havatsemaan, että em. suureet rttävät myös Gbbsn energan lämötlaruvuuden tarkasteluun. ästä johtuen termodynaamsten laskentaohjelmstojen uhdasanetetokannat koostuvatkn Kelleyn yhtälön kertomen arvosta, faasmuutoksa kuvaavsta suuresta (faasmuutoslämötlat ja faasmuutosentalat) sekä termodynaamsten funktoden standardarvosta. Puhtaden aneden tasaanoja määrtettäessä nämä ovat anoat laskennassa tarvttavat taulukkoarvot. Kuvassa 4 on estetty graafsest entroan lämötlaruvuus (vrt. entalan lämötlaruvuus; kuva ). Kuvassa 5 on uolestaan estetty esmerkknä jodenkn aneden entroota lämötlan funktona.
5 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Kuva 4. Hyoteettsen aneen entroa lämötlan funktona. Kuva 5. Jodenkn aneden entroat lämötlan funktona. Kuvassa 6 on estetty faasmuutosentrooden ja -entaloden välnen yhteys graafsest. Kuva 6. Entroan muutos lämötlan funktona. Entalasta oketen entroalle vodaan määrttää absoluuttsa arvoja. ämä johtuu termodynamkan kolmannesta ääsäännöstä, jonka mukaan kakken uhtaden, ktesten aneden lämökaasteett absoluuttsessa nollasteessä saa arvon nolla: ( K ) c P (8) Ltettynä entroan kästteeseen termodynamkan kolmas ääsääntö kertoo, että entroa saa absoluuttsessa lämötlassa arvon nolla, koska lämölkkeen uuttuessa kdehlojen järjestys on täydellstä. Vakka absoluuttsta nollastettä e ole mahdollsta saavuttaa (yhtälön (4) mukaan lämmön ostamnen systeemstä sten, että systeemn lämötla lasks nollaan kelvnn, sas systeemssä akaan äärettömän suuren entroan enenemsen, mkä e fyskaalsest ole mahdollsta), saadaan termodynamkan kolmannen ääsäännön ohjalta kutenkn määrtettyä entroalle absoluuttnen astekko. äydellsestä järjestyksestä (täydellsestä eäjärjestyksen uutteesta) huolmatta anella on absoluuttsessa nollasteessäkn tetty ssänen energa, jonka arvoa e tunneta. ästä johtuen entalalle e voda esttää absoluuttsa arvoja. Entalan yhteydessä määrteltn ns. standardentalat, joden avulla entala-astekko saatn knntettyä lämötla-astekkoon. Entroalle standardarvojen määrttämnen e astekon knnttämseks ole tareellsta, koska entroan arvot ovat absoluuttsa ja sten luonnostaan sdottuja lämötla-astekkoon. Käytännön laskennan helottamseks kutenkn käytetään standardentroan arvoja, jotka evät standardentaloden taaan kutenkaan ole sovttuja, vaan absoluuttsa:
6 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa S 98 K 98 K cp ( K ) S( K ) + d cp S 98 d (9) K K Standardentroan kästettä on estetty graafsest kuvassa 7. Kuva 7. cp/-funkton lämötlaruvuus ja standardentroan käste. Standardentroan käyttö erustuu kuvasta 7 havattavaan cp/-funkton monmutkaseen käyttäytymseen matalssa lämötlossa. Vakka laskennallset tasaanotarkastelut votasn suorttaa lman lman standardentroan kästettä ntegromalla cp/-funktota absoluuttsesta nollasteestä tarkastelulämötlaan, on matemaattsest helomaa ntegroda ko. funktota anoastaan huoneenlämötlasta ylösän ja lsätä saatuun ntegraaln standardentroan arvo vakoarvona. ällä tavalla luonnollsest menetetään se teto, joka koskee entroan lämötlaruvuutta huoneenlämötlan alauolella, mutta koska metallurgan rosesst taahtuvat van anharvon huoneenlämötlan alauolella, e tällä ole juurkaan merktystä käytännön tarkastelussa. Gbbsn energa Käytännössä tasaanojen laskennallsessa määrtyksessä käytetään Gbbsn energaa, jolla e ss ole selkeää fyskaalsta merktystä. Puhtalle anelle (tosuus on vako) Gbbsn energan muutos vodaan esttää yhtälön () avulla: dg Sd + Vd () Ssäenergan muutos on systeemn tuodun lämmön ja systeemn tekemän työn erotus: du dq dw jossa systeemn tekemä työ vodaan määrttää ulkosta anetta vastaan tehdyks tlavuudenmuutostyöks: dw dv ja systeemn tuodulle lämmölle vodaan entroan määrtelmän mukaan krjottaa: dq ds dq ds jollon ssäenergan lauseke saa muodon: du dq dw ds dv (lavte jatkuu seuraavalla svulla)
7 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Seosfaasen tarkastelussa on huomotava myös koostumusta kuvaava term: dg Sd + Vd + n µ dn () Heterogeensssä systeemessä on lsäks huomotava myös faasrajohn stoutunut energa: dg Sd + Vd + I µ dn + S s σ d s s () Yhtälössä () ja () µ vttaa komonentn kemallseen otentaaln ja n komonentn anemäärään. Yhtälössä () σs on kahden faasn välsen rajannan s ntaenerga ja s ko. rajannan nta-ala. Monssa karkeajakosssa käytännön systeemessä ntojen merktys on kutenkn nn vähänen, että se vodaan jättää huomomatta. Pntaenergoden huomont on oleellsta, kun tarkastellaan esmerkks uuden faasn ydntymstä (ylkyllästymnen, aljäähtymnen, etc.), adsortota ta muta lmötä, jossa nnolla on keskenen rool. Koska Gbbsn energa määrtellään entalan ja entroan avulla (yhtälö ()), sen lämötlaruvuus alautuu entalan ja entroan taaan lämökaasteetn lämötlaruvuuteen ja Kelleyn yhtälöön: c P ( ) H ( ) S( ) H ( K ) + c d S( 98K ) + d G 98 P (3) K 98 98K Entalan ja entroan taaan myös Gbbsn energan taauksessa cp-funkton kertomet määrtetään jokaselle faaslle erkseen. Gbbsn energan lämötlaruvuuksssa e kutenkaan esnny eäjatkuvuuskohta (l. Gbbsn energan muutokset faasmuutokslle saavat faasnmuutoslämötlossa arvon nolla), vaan anoastaan tatekohta l.. dervaatan eäjatkuvuuskohta. ämä on nähtävssä kuvasta 8, jossa on estetty hyoteettsen aneen artaalnen moolnen Gbbsn energa (l. kemallnen otentaal, µ) lämötlan funktona knteälle, sulalle ja kaasumaselle olomuodolle. Kuva 8 ja 9 tarkastelemalla nähdään, että aneen olomuodosta on tetyssä olosuhtessa (lämötla, ane) stablen se, jolla on alhasn Gbbsn energa. (Jatkoa edellseltä svulta) Entala uolestaan määrtettn seuraavast: jollon: H U + V dh du + dv + Vd ds dv + dv + Vd ds + Vd Gbbsn energastahan todettn, että: jollon: G H S dg dh ds Sd ds + Vd ds Sd Sd + Vd
8 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Normaalane Kehumsste Sulamsste Kuva 8. Hyoteettsen aneen kemallnen otentaal lämötlan funktona knteälle, sulalle ja kaasumaselle olomuodolle. Kuva 9. Hyoteettsen aneen er olomuotojen stablsuusalueet lämötlan ja aneen funktona. Isotermsssä muutoksssa systeemn Gbbsn energa vodaan esttää yhtälön (4) osottamalla tavalla: dg d V (4) josta saadaan johdettua Gbbsn energan muutos, kun systeemn ane muuttuu :stä :een: G ( ) G( ) VdP (5) Kntellä anella aneen vakutus Gbbsn energaan on yleensä vähänen enestä kokoonurstuvuudesta johtuen. Esmerkks monlla mneraalella 4 kbar:n aneen kohotus saa akaan yhtä suuren tlavuuden muutoksen (± %) kun lämötlan nosto huoneenlämötlasta non C:een. eollsa rosesseja tarkasteltaessa vodaankn knteden aneden mooltlavuudet yleensä olettaa vakoks. Kaasulla kokoonurstuvuus on suurem ja sks Gbbsn energan aneruvuudet onkn huomotava jo enemmlläkn aneden muutokslla. Ideaalkaasujen taauksessa Gbbsn energan aneruvuus saadaan muotoon : G R ( ) ( ) G VdP dp R dp R ln (6) Mkäl tarkastellaan Gbbsn energan muutosta normaalaneesta (valttu standardtlaks) tarkastelun kohteena olevaan osaaneeseen, saadaan osaaneella esntyvän kaasumasen komonentn Gbbsn energan yhtälöks: G (7) ( ) G( atm) + R ln G( atm) + R ln Kuvasta havataan, kunka kaasumasen olomuodon Gbbsn energan aneruvuus on selväst merkttäväm kun knteän ja sulan tlan Gbbsn energoden. Kuvassa on uolestaan estetty hlen Ideaalkaasujen tlanyhtälöä hyödyntäen.
9 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa kahden knteän kdemuodon (graftt ja tmantt) Gbbsn energoden aneruvuudet. Kuvasta nähdään, kunka tmanttrakenne on graftta stablm, kun anetta nostetaan rttäväst. Kuva. Hyoteettsen aneen Gbbsn energa aneen funktona knteälle, sulalle ja kaasumaselle olomuodolle. Kuva. Graftn ja hlen Gbbsn energat aneen funktona. Entalan taaan e Gbbsn energakaan saa absoluuttsa arvoja, mnkä vuoks Gbbsn energat lmotetaan taulukkoteokssa ja laskentaohjelmstojen tetokannossa ana tetyn standard- ta referensstlan suhteen. osn sanoen tetokannossa lmotettu Gbbsn energa lämötlassa ( G()) tarkottaa käytännössä erotusta tarkastelulämötlan () ja referensslämötlan (ref) Gbbsn energoden välllä: ( ) G( ) G( ) G( ) H ( ) + S( ) G (8) ref ref Koska entalan ja entroan referensssteks vodaan valta er lämötlat, vo Gbbsn energa saada ersuurusa arvoja ruen stä, mten referensstlat on valttu. Kuvassa on estetty graftn Gbbsn energan arvot lämötlan funktona kolmella erlasella referensstlavalnnalla (yhtälöt (9)-()). Käytännössä referensstlavalnnalla e ole merktystä, koska knnostuksen kohteena ovat kemallsssa reaktossa taahtuvat Gbbsn energan muutokset, evät absoluuttset arvot (jota e ss edes ole). Laskennassa on kutenkn dettävä huolta, että referensstlat on valttu samalla tavalla kaklle laskennassa mukana olevlle komonentelle. asaanolaskentaohjelmstoja käytettäessä referensstlat ovat automaattsest yhdenmukaset, mutta käytettäessä usesta er lähtestä omttuja arvoja on syytä varmstua käytetystä referensstlosta. Lähes ana referensstloks valtaan joko absoluuttnen nollaste ta huoneenlämötla. ( ) G( ) H ( 98K ) + S( K ) ( ) G( ) H ( K ) + S( K ) ( ) G( ) H ( 98K ) + S( K ) G 98 (9) G () G () ref
10 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Gbbs'n vaaaenerga (cal/mol) Lämötla (K) H(ref) 98.5 K / S(ref) K H(ref) K / S(ref) K H(ref) 98.5 K / S(ref) 98.5 K Kuva. Graftn Gbbsn energan lämötlaruvuus kolmella er referensstlavalnnalla. etokannossa ja taulukkoteoksssa lmotetaan yleensä Gbbsn energan arvoja myös faasen stablsuusalueden ulkouolslle olosuhtelle (esm. sulan faasn Gbbsn energan arvoja sulamsstettä korkeammssa lämötlossa). Nätä arvoja tarvtaan tarkasteltaessa laskennallsest mm. höyrynaneta ja luostasaanoja. ermodynaamsten taulukkoarvojen tarkastelussa on myös syytä tää melessä, että jonkn aneen (ta yhdsteen) Gbbsn energa lämötlassa on er asa kun ao. aneen muodostums-gbbsn energa samassa lämötlassa. Ensn mantulla tarkotetaan Gbbsn energan erotusta tarkastelulämötlan ja referensssteen (ref) välllä (yhtälö ()), kun taas muodostums-gbbsn energa tarkottaa erotusta ko. aneen ja sen lähtöaneden Gbbsn energossa tarkastelulämötlassa (yhtälö (3)). G G (, ) G(, ) G(, ) (, ) H (, ) + S(, ) ref ref ref G(, ) H (,K ) + S(,K ) (, ) H (,98K ) + S(,98K ) (, ) H (,98K ) + S(,K ) G (, ) G(, ) G( lähtöaneet ) G f, G Kuvssa 3 ja 4 on estetty jodenkn oksden Gbbsn energat ja muodostums-gbbsn energat lämötlan funktona. Kuvassa 5 on uolestaan estetty taulukkomuodossa alumnn termodynaamsa taulukkoarvoja. Kuvasta 5 nähdään, kunka alkuaneen muodostumsentala ja -Gbbsn energa saavat arvon nolla kakssa lämötlossa. () (3)
11 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa kcal/mol G Gbbs Energy kcal/mol Delta G (Ellngham) CO(g) CO(g) - CO(g) CO(g) SO - -5 SO -5 lo lo emerature -5 C 5 5 Fle: Kuva 3. Jodenkn oksden Gbbsn energat lämötlan funktona. emerature -3 C 5 5 Fle: Kuva 4. Jodenkn oksden muodostums- Gbbsn energat lämötlan funktona. Kuva 5. ermodynaamsa taulukkoarvoja alumnlle. Edellä on tarkastelu Gbbsn energan laskennallsa lämötla- ja aneruvuuksa. Nämä ovatkn rttävä teto tarkasteltaessa uhtaden aneden termodynaamsa tasaanoja. Luosfaasen tarkasteluun tarvtaan
12 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa kutenkn tetoa myös Gbbsn energan tosuusruvuukssta. Laskennallsen tarkastelun lähtökohdaks valtaan kemallnen otentaal (µ) el artaalnen moolnen Gbbsn energa: G µ n (4),, n j Kemallnen otentaal vodaan jakaa kahteen osaan: µ µ + R ln a (5) josta ensmmänen term on aneesta ja lämötlasta ruvanen kemallsen otentaaln standardarvo ( uhdasanefunkto ) ja tonen term uolestaan kuvaa tarkasteltavalle luokselle luonteenomasa rtetä. Yhtälöstä (5) on syytä havata, että aneen aktvsuus (a) on ruvanen kemallsen otentaaln standardarvosta (µ ) ja stä kautta myös valtusta standardtlasta. osn sanoen aneden aktvsuuksa e voda lmasta yksselttesest, mkäl samalla e kerrota standardtlaa, jonka suhteen aktvsuus lmotetaan. asaanovakomenetelmä (ja esmerkk kaasutasaanosta) Edellä estettn erusteet Gbbsn energan ja sen olosuhderuvuuksen laskennallselle tarkastelulle. Nyt vodaan alata tasaanojen määrtysmenetelmn, jossa edellä läkäytyjä yhtälötä hyödynnetään. Valtaan esmerkks yhtälön (6) mukanen kemallnen reakto, jossa lähtöane reago tuotteeks : (6) Reaktoon lttyvä Gbbsn energan muutos saadaan reakton komonentten artaalsten Gbbsn energoden erotuksena: G µ µ (7) asaanossa Gbbsn energa on mnmssä ja Gbbsn energan muutos saa arvon nolla, joten :n ja :n kemallsten otentaalen on oltava yhtäsuuret: µ µ µ + R ln a µ µ µ + R ln a µ µ + R a µ µ + R ln a + R ln a R ln a ( ln a ln a ) (8) Yhtälössä (8) esntyvstä termestä µ - µ on reaktokomonentten ja kemallsten otentaalen standardarvojen erotus. Mkäl standardtlaks valtaan uhdas ane, tarkottaa ko. term ss uhtaden aneden ja Gbbsn energoden erotusta l. reakto-gbbsn energaa: µ µ G G G R (9) uotteden () ja lähtöaneden () aktvsuuksen suhde uolestaan tunnetaan tasaanovakona (K): a a n K ν ta ylesemmn: K a (3)
13 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa jossa a on tuotteena ta lähtöaneena esntyvän komonentn aktvsuus ja ν on ko. komonentn stökometrnen kerron reaktoyhtälössä sten, että tuotteden kertomet saavat ostvsa ja lähtöaneden kertomet negatvsa arvoja. Yhtälötä (9) ja (3) hyödyntäen yhtälö (8) saadaan muotoon: G R G + R ln K R R ln K (3) Koska tasaanotosuudet (x) saadaan määrtettyä tasaanovakon lausekkeessa esntyven aktvsuuksen (a) kautta: a f x (3) vodaan yhtälössä (3) estetyn reakto-gbbsn energan ja tasaanovakon välsen ruvuuden avulla määrttää tarkasteltavan reakton tasaano-olosuhteet, kunhan termodynaamnen data reakto-gbbsn energan laskemseks tunnetaan. Reakto-Gbbsn energa lasketaan erofunktona l. tuotteden ja lähtöaneden Gbbsn energoden erotuksena: G R ( ) G( lähtöaneet) G tuotteet (33) Yhtälössä (3) esntyvä f tarkottaa komonentn aktvsuuskerronta. ktvsuuskertomeen ja sen olosuhderuvuuksen matemaattseen mallnnukseen aneudutaan tarkemmn teeman luentojen akana. ässä vaheessa rttää, että tedetään aktvsuuskertomen saavan deaalluoksssa arvon yks. Kaasuja tarkasteltaessa vodaan tasaanovakon lausekkeessa käyttää aktvsuuksen sjasta osaaneta () ja uhtalle kondensotunelle anelle aktvsuus saa arvon yks. Mkäl tarkasteltava systeem e ole tasaanossa, saadaan yhtälö (3) muotoon: G GR + R ln K (34) jossa G on se Gbbsn energassa taahtuva muutos, jonka verran lähestytään tasaanotlaa ( reakto- Gbbsn energa). Monssa reaktosysteemessä on useama tuntemattoma tasaanotosuuksa, jotka on ratkastava ja jotka esntyvät tasaanovakon lausekkeessa; vrt. yhtälöt (3) ja (3). ällön e yhtälö (3) luonnollsestkaan yksn rtä määrttämään kakka tuntemattoma tasaanotosuuksa, elle nden vällle voda krjottaa muta ruvuuksa, joden avulla ratkastavaan yhtälöryhmään saadaan tuntemattoma muuttuja vastaava määrä yhtälötä. Käytännössä nämä muut ruvuudet ovat systeemn anetaseeseen erustuva yhtälötä, jotka kuvaavat aneen hävämättömyydestä seuraava ruvuuksa systeemn er komonentten välllä. Esmerkknä tasaanomenetelmällä suortettavasta tasaanolaskennasta vodaan esttää kaasutasaanohn lttyvä tlanne, jossa kaasumaset vety (H) ja ha (O) reagovat yl C:een lämötlassa kaasumaseks veshöyryks (HO): H ( g) + O ( g) H O( g) (35) Yhtälön (35) tasaanovakossa vodaan aktvsuuksen akalle sjottaa kaasumasten reaktokomonentten taauksessa osaaneet: ah O H O K (36) a a H O H O
14 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa asaanossa on vomassa: G R G G + R ln K R f R ln H H O O H O ( H O) G f ( H ) G f ( O ) R ln H O (37) joka e ole ratkastavssa, koska käytössä on van yks yhtälö kolmen tuntemattoman tasaanotosuuden (HO, H ja O) ratkasemseks; muodostums-gbbsn energat ( Gf) ja ylesen kaasuvakon arvo vodaan hakea taulukosta ja tarkastelulämötla tunnetaan. Ongelman ratkasemseks laadtaan anetase, joka on estetty taulukossa. Ensmmäseen sarakkeeseen merktään reaktokomonentten määrät ennen reakton taahtumsta (ts. tuotteden määrä on nolla ja lähtöaneden määren suhde määräytyy nden stökometrsten kerronten mukaan) ja toseen sarakkeeseen uolestaan tlanne tasaanossa. Koska ennen tasaanolaskennan suorttamsta emme luonnollsestkaan tedä, kunka tkälle reakto etenee, merktsemme tuotteen määräks x moola ja vähennämme lähtöaneden alku -määrstä sen määrän, mkä reaktoyhtälön mukaan tarvtaan x:n tuotemooln tuottamseks. aulukko. netase esmerkkn. Komonentt Määrä alussa Määrä tasaanossa H -x O ½ ½-½x HO x Määrä yhteensä (-x) + ½-½x + x ½(3-x) Koska kaasujen osaaneet () vodaan lmottaa nden moolosuuksen (x n/ntot) ja kokonasaneen (tot) avulla yhtälön (38) osottamalla tavalla: n x tot tot (38) ntot vodaan kakk yhtälössä (37) esntyvät tuntemattomat osaane/tosuusmuuttujat esttää nyt van yhden tuntemattoman muuttujan (x) avulla, kunhan van systeemn kokonasane tunnetaan: H O H O x x ( 3 x) tot tot ( 3 x) ( x) tot ( 3 x) (39) Sjottamalla yhtälön (39) lausekkeet yhtälöön (37) saadaan x ratkastua. ämän jälkeen sjotetaan saatu x:n arvo yhtälössä (39) estettyhn osaaneden lausekkesn, jollon tasaano-osaaneet saadaan ratkastua. Mnmontmenetelmä Edellä estetystä menetelmästä oketen tasaanot vodaan määrttää myös tuntematta tasaanoon johtava kemallsa reaktota. ällön haetaan erlasa otmont- ja vastaava menetelmä käyttäen maksm- ta mnmstettä jollekn termodynaamselle suureelle, joka saa maksm- ta mnmarvonsa termodynaamsessa tasaanossa. Vakka erlasssa tlantessa käytettävä tasaanokrteerejä on useta (ks. taulukko ), määrtetään tasaanot käytännössä lähes ana hakemalla systeemn kokonas-gbbsn energan mnmä. Kuvassa 6 on
15 4774S / Ilmömallnnus rosessmetallurgassa estetty muutama esmerkkejä systeemn Gbbsn energan muutoksesta reakton etenemsasteen funktona. Kuvasta on syytä huomata, ette systeemn tasaanotla ru stä, mstä suunnasta tasaanoa lähestytään. aulukko. asaanokrteerejä. Vakona dettävät muuttujat Ehto sontaanlle muutokselle asaanoehto ja (dg), < (dg), ja V (d),v < (d),v U ja V (ds)u,v > (ds)u,v S ja V (du)s,v < (du)s,v S ja P (dh)s, < (dh)s, G ja (d)g, < (d)g, G ja (d)g, < (d)g, ja (dv), < (dv), ja V (d),v < (d),v U ja S (dv)u,s < (dv)u,s H ja S (ds)h,s < (ds)h,s H ja (d)h, < (d)h, Kuva 6. Esmerkkejä systeemn kokonas-gbbsn energasta reakton etenemsasteen funktona. Kyseessä on ss otmonttehtävä, jonka otmonnn kohteena on Gbbsn energan lauseke, jossa on huomotu kakken systeemn faasen ja osaslajen Gbbsn energat ja nden olosuhderuvuudet (lämötla, ane, koostumus). Lukuunottamatta hyvn yksnkertasa taauksa muodostuu mnmotavasta yhtälöstä lähes ana nn monmutkanen, ette sen ratkasemnen käsn laskemalla ole melekästä, ekä ana analyyttsest mahdollstakaan. ämän vuoks laskenta suortetaankn käyttäen tarkotukseen sova termodynaamsa tasaanolaskentaohjelmstoja, josta tämän kurssn yhteydessä estellään esmerkknä HSC Chemstry for Wndows. Nykysn laajemmassa käytössä oleven ohjelmstojen laskentarutnt erustuvat Whten et al. 95-luvulla esttämään suoraan mnmontalgortmn.
Metallurgiset liuosmallit: Yleistä
Metallurgset luosmallt: Ylestä Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 3 Tavote Tutustua deaal- ja reaalluosten kästtesn Tutustua luosmallehn ylesellä tasolla Luosmallen jaottelu Hyvän
LisätiedotTasapainojen määritys ja siihen liittyvää peruskäsitteistöä
Tasapanojen määrtys ja shen lttyvää peruskästtestöä Ilmömallnnus prosessmetallurgassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 1 Tavote Kerrata, mten termodynaamsa tasapanoja vodaan laskennallsest määrttää Mustuttaa
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötlakema Teema 2 Luento 1 Tasapanojen määrtys ja shen lttyvää peruskästtestöä Ma 30.10.2017 klo 11-12 SÄ114 Oulun ylopsto Tavote Kerrata, mten termodynaamsa tasapanoja vodaan laskennallsest määrttää
LisätiedotCHEM-A2100. Oppimistavoite. Absorptio. Tislaus, haihdutus, flash. Faasitasapainot
Omstavote CHEM-A21 Faastasaanot 1 Ymmärtää mhn faastasaanoa tarvtaan Ymmärtää faastasaanoen matemaattsen kuvauksen alkeet (höyry-neste & neste-neste; deaal & aktvsuuskerron) Ymmärtää kvaltatvsest erlasa
LisätiedotLIITE 2. KÄSITELUETTELO
222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötlakema Johdanto reaktoknetkkaan Ma 6.11.2017 klo 10-12 SÄ114 Oulun ylopsto Tavote Oppa reaktoknetkan laskennallsta mallnnusta Tutustua pyrometallurgsssa ja mussa korkealämpötlaprosessessa esntyven
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
Lisätiedot9. Muuttuva hiukkasluku
Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen
LisätiedotEntalpia - kuvaa aineen lämpösisältöä - tarvitaan lämpötasetarkasteluissa (usein tärkeämpi kuin sisäenergia)
Luento 4: Entroia orstai 12.11. klo 14-16 47741A - ermodynaamiset tasaainot (Syksy 215) htt://www.oulu.fi/yomet/47741a/ ermodynaamisten tilansuureiden käytöstä Lämökaasiteetti/ominaislämö - kuvaa aineiden
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotAINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET
N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella
Lisätiedottäydellinen atomaarisen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaaminen on mahdotonta (N ~ N A ), joten tarvitaan tilastollista tarkastelua.
PHYS-A00 Termodynamkka (TFM), Luentomustnpanot Luennot 9-0, kertaus: Mkro- ja makrotlat Mkrotla täydellnen atomaarsen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaamnen on mahdotonta ( ~ A ), joten tarvtaan tlastollsta
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
LisätiedotAINEENSIIRTO-OPPI. Ari Seppälä ja Markku J. Lampinen
INEENSIIRTO-OPPI r Seälä ja Markku J. Lamnen Korjattu anos Ylostokustannuksen (004) julkasemasta alkueräsestä saman nmsestä teoksesta (Otateto 604). Coyrght 07 Krjottajat 4 SISÄLLYSLUETTELO Symbolluettelo
LisätiedotS , Fysiikka III (ES) Tentti
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 311005 1 Kuvan mukasessa systeemssä allo sulkee ullon tvst Pullon ssältämän kaasun adabaattvakon γ määrttämseks allo saatetataan helahtelemaan Kun ktka on en, lke on lähes
LisätiedotTasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä
Luento 6: sutspnot eskvkko 3.1. klo 8-1 771 - Termodynmset tspnot (Syksy 18) http://www.oulu.f/pyomet/771/ Tspnojen määrttämnen tspnovkomenetelmällä Trkstel homogeenst ksufsrektot. Esm.: (g) + (g) = (g)
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
Lisätiedotb g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti
S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotTuotteiden erilaistuminen: hintakilpailu
Tuotteden erlastumnen: hntaklalu Lass Smlä 19.03.003 Otmonton semnaar - Kevät 003 / 1 Johdanto Yrtykset evät yleensä halua tuottaa saman tuoteavaruuden tlan täyttävä tuotteta (syynä Bertrandn aradoks)
LisätiedotKorkealämpötilakemia
Korkealämpötlakema Johdanto reaktoknetkkaan Ma 5.11.2018 klo 10-12 PR126A Tavote Oppa reaktoknetkan laskennallsta mallnnusta Tutustua pyrometallurgsssa ja mussa korkealämpötlaprosessessa esntyven lmöden
LisätiedotKuluttajahintojen muutokset
Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä
LisätiedotEpätäydelliset sopimukset
Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotDEE Polttokennot ja vetyteknologia
DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE
S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut
LisätiedotHarjoitukset (KOMPRIMOINTI)
Kmrmntharjtuksa (7) Harjtukset (KOMPRIMOINI) Kmressreja käytetään esmerkks seuraavssa svelluksssa: kaasujen srt, neumaattnen kuljetus anelmahult rsesstellsuudessa kaasureaktden, kaasujen nesteyttämsen
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
LisätiedotSähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi
Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotIlmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa
Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
Lisätiedot5.1 Ehto stabiilille termodynaamisella tasapainolle
50 5. TERMODYNAAMINEN TASAPAINOTILA 5. Eht stabllle terdynaasella tasapanlle Ssäenergan U uuts systeen tlan uuttuessa A:sta tlaan B n terdynakan ensäsen pääsäännön ukaan U(B) - U(A) = Q - W, ssä W n systeen
LisätiedotKUVIEN LAADUN ANALYSOINTI
KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn
LisätiedotTilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot
Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
Lisätiedot4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.1. Tasapainoperiaate Yritysten ja kuluttajien välinen tasapaino
4. MARKKINOIDEN TASAPAINOTTUMINEN 4.. Tasapanoperaate 4... Yrtysten ja kuluttajen välnen tasapano Näkymätön käs muodostuu kahdesta vakutuksesta: ) Yrtysten voton maksmont johtaa ne tuottamaan ntä hyödykketä,
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotIlmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
Lisätiedot( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotHyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä.
VUOKRASOPIMUS 1.1 Sopjapuolet Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskute 1, 89400 HYRYNSALMI Hallan Sauna Oy (y-tunnus: 18765087) CIO Tl- Tekno Oulu Oy Kauppurnkatu 12, 90100 OULU 1.2 Sopmuksen kohde
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
Lisätiedot5. KVANTTIMEKANIIKKAA
5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa
LisätiedotPaperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotOppimistavoite tälle luennolle
Oppmstavote tälle luennolle Ykskköoperaatot ja teollset prosesst CHEM2 (5 op) neensrto Kerrata faasen välsen tasapanon ehdot Kerrata srtolmöt ja nden analogat Ymmärtää aneensrtomekansmt ja nden vakutukset
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
Lisätiedot