AINEENSIIRTO-OPPI. Ari Seppälä ja Markku J. Lampinen

Transkriptio

1 INEENSIIRTO-OPPI r Seälä ja Markku J. Lamnen

2 Korjattu anos Ylostokustannuksen (004) julkasemasta alkueräsestä saman nmsestä teoksesta (Otateto 604). Coyrght 07 Krjottajat 4

3 SISÄLLYSLUETTELO Symbolluettelo 9 SEOSTEN TERMODYNMIIKN PERUSTEIT. Ideaalkaasuseokset.. Kostea lma 5. Luosten ja höyryseosten välnen tasaano 5 DIFFUUSIO J SEOKSEN NOPEUDET 9. Dffuuso 9. Seoksen noeuden ja anevrran määrtelmät 0 INEENSIIRTO-OPIN KESKEISET DIFFERENTILI- YHTÄLÖT 7. Yksulottenen anevrran yhtälö ja sen statonäärtlan ratkasu 7. Pakallaan ysyvän komonentn vakutus ja Stefan vrtaus 8. jasta ruvat monulotteset yhtälöt 44.. neen- ja lämmönsrron monulotteset dfferentaalyhtälöt 45.. Turbulenttnen dserso 5.. Lämmön- ja aneensrron välnen analoga 5 4 VP KONVEKTIO 60 5 DIFFUUSIOKERROIN Dffuusokertomen arvoja ja laskentamenetelmä Kaasuseokset Nesteseokset Knteät aneet 7 5. Dffuusokertomen mttaamnen 7 5

4 5.. Vällevykenno Kallaarutk 75 6 DIMENSIONLYYSI Dmensoanalyysn teora Dmensoanalyysn sovellutus massansrtokertomen määrttämseks 8 7 INEENSIIRTOKERROIN neensrtokertomen määrtelmä Esmerkkejä korrelaatoyhtälöstä Lämmön- ja aneensrron analogset dmensottomat muuttujat neensrtoyhtälö tlanteessa jossa tosen komonentn anevrta on tosta merkttäväst suurem neensrtokertomen määrttämnen konvektolämmönsrtokertomen avulla 0 8 SMNIKINEN LÄMMÖN- J INEENSIIRTO KOSTESS ILMSS Märkälämötla Hahtumnen märältä nnalta kun nta on märkälämötlassa Pntalämötlan määrttämnen 0 8. Ilmavrran tlamuutoksen laskemnen lämmönvahtmessa Jäähdytysattern mtotusesmerkk 7 9 TERMINEN DIFFUUSIO J MUIT ILMIÖITÄ 9. Termnen dffuuso 9. Muta lmötä 6 0 NESTEEN J KSUN KULKEUTUMINEN 6

5 KIINTEÄN INEEN SISÄLLÄ 9 0. "Mten neste ja kaasu kulkeutuvat knteän aneen ssällä?" 9 0. Esmerkk huokosen aneen rakenteesta - aer ja sen kosteudenstomsomnasuudet 0. Modfotu Fkn yhtälö Daryn yhtälö Knudsen dffuuso ja ölysen kaasun mall Pntajänntyksen termodynaamnen tarkastelu Kallaarnen vrtaus Kallaarnen ane Kallaarvrtauksen klassnen tarkastelu Kallaar-lmön termodynaamnen tarkastelu - nnan kemallsen otentaaln ja stoutuneen nesteen aneen huomomnen Osmoos ja kääntesosmoos Osmoottnen ane Kääntesosmoos Osmoottnen aneensrto Esmerkk veshöyryn kulkeutumsesta rakennuksen senämärakenteen lä 6 KUIVUSPROSESSI 7. Kuvauksen laskemnen kuvauslman tlan muutosten avulla 7.. Kuvausmall I 76. Kuvausmall II 8.. Massataseet 84.. Energatase huokosen aneen kuvumselle 86.4 Lämöutkefekt ja näennänen lämmönjohtuvuus 9 TISLUSPROSESSI 95. Ylestä ja kästtetä 95. Energa- ja massataseet 95. Pane - tosuusdagramm 96.4 Lämötla-tosuusdagramm 00.5 Entala-tosuusdagramm 0 7

6 LIITE. Matemaattsa merkntöjä LIITE. Laskutehtävä 8

7 SYMBOLILUETTELO nta-ala m a aktvsuus dmensoton konsentraato mol/m omnaslämö vakoaneessa J / molk ta J / kgk kostean lman omnaslämö vakoaneessa / kg K k J k.. v omnaslämö vakotlavuudessa J / molk ta J / kgk d halkasja m D dffuusokerron anearn -B välllä m / s B * B D korjattu dffuusokerron anearn -B välllä (yht. (.0)) m / s D komonentn Knudsen dffuusokerron m / s K D komonentn tehollnen Knudsen dffuusokerron / s Keff D tehollnen dffuusokerron m / s eff D ~ turbulenttnen dffuusokerron (dsersokerron) / s F. Helmholn vaaa energa J. tarkemmn määrttelemätön funkto f Helmholn vaaa omnasenerga J/mol ta J/kg fs nnan Helmholn vaaa energa J/m = N/m G Gbbsn energa J G'' konduktanss W / m K Gr Grashofn luku dmensoton g maan vetovoman khtyvyys m/s H entala J h omnasentala J/kgK ta J/molK hk kostean lman omnasentala J/kgk.. hs nnan entala J/m = N/m J anevrran theys mol/ m s j dffuusovrran theys mol/ m s K Henryn lan vako Pa Kn Knudsenn luku dmensoton k massansrtokerron m/s k' tasamäärästä aneensrtotlannetta vastaava massansrtokerron m/s k Bolmann vako J/K k B k T L Le l l0 M m ermeablteett m termnen dffuusosuhde dmensoton suodatuskerron m/spa Lewsn luku dmensoton. höyrystymslämö J/mol ta J/kg. tuus ta karakterstnen mtta m vaaan/stoutumattoman nesteen höyrystymslämö J/mol ta J/kg molaarnen massa kg/mol massa kg m m 9

8 m% massavrta kg/s mo molaalsuus mol/kgluotn N massavrran theys kg/m s n. anemäärä mol. dffuusomassavrran theys kg/m s Pe Péletn luku dmensoton Pr Prandtln luku dmensoton ane Pa ta bar komonentn osaane Pa ta bar ' kylläsen komonentn osaane Pa ta bar q lämövrran theys W/m q m lämövrran theys lämöutkefektssä W / m R ylenen kaasuvako J/molK Ra Rayleghn luku dmensoton Re Reynoldsn luku dmensoton r. sortolämö J/mol; J/kg. sädem. molaarsten anevrtojen suhde dmensoton 4. aneensrtovastus m spa/kg s. omnasentroa J/kgK ta J/molK. aksuus m ss nnan entroa J/m K S. entroa J/K. komonentn muodostumsterm kg/m s ta mol/m s S Shmdtn kuku dmensoton Sh Sherwoodn luku dmensoton St Stantonn luku dmensoton T lämötla K t. aka s. lämötla C tm märkälämötla C U ssäenerga J u. massaanostenoeus m/s. omnasssäenerga J/mol ta J/kg us nnan ssäenerga J/m = N/m V tlavuus m v. molaarnen anostenoeus m/s. rakenteellnen tlavuuskasvu (yht. (5.)) W työmäärä J w komonentn massaosuus kg / kg seos wr kosteussuhde huokoselle aneelle kg H O / kg kuva ane w anostenoeus tlavuuksen suhteen m/s w dmensottomat massaanostenoeudet (esmerkk.) w y. moolosuus dmensoton. koordnaatt m. lman kosteus kg H O / kg k.. 0

9 y. moolosuus dmensoton. koordnaatt m. moolosuus dmensoton. koordnaatt m. onn varaus (yht. (5.6)). nnan konvektvnen lämmönsrtokerron W / m K. termnen dffuusotekjä (yht. (9.)) dmensoton v tlavuuden lämölaajenemskerron /K α kennovako (luku 5.) χ konsentraatorajakerroksen aksuus m χu vrtauksen rajakerroksen aksuus m φ ntajänntys J/m γ dynaamnen vskosteett kgm - s - γas aneensrron rahyötysuhde dmensoton γls lämmönsrron rahyötysuhde dmensoton ι suhteellnen höyrynane dmensoton ϕt sotermnen komressblteett /Pa κ lämmönjohtuvuus W/mK κm keksmääränen vaaa matka m λ kemallnen otentaal J/mol µ knemaattnen vskosteett m / s ο.45. οo osmoottnen ane Pa ta bar Ο dmensoton muuttuja π. lämötlaero C ta K. kulma θ theys kg/m θ komonentn osatheys seoksessa (seos muodostuu yhdestä faassta) kg/m seos θ komonentn osatheys kun tarkasteltava systeem koostuu useammasta kun yhdestä faassta kg/m systeem θ T komonentn todellnen theys kun tarkasteltava systeem koostuu useammasta kun yhdestä faassta kg/m ρ hejastuskerron dmensoton σ mutkttelevuus dmensoton ω aktvsuuskerron dmensoton ξ lämmönlähdeterm W/m ψ tlavuuden tosuuslaajenemskerron dmensoton τ omnastlavuus m / mol ta m / kg lämöteho W Ε huokosuus (tlavuusosuus) dmensoton

10 landekst B bnäärseoksen komonentt. seoksen komonentt kun komonentten määrä on yl ta kun määrää e ole tarkkaan annettu. kuva lma r krttnen tla ta arvo k.a. knteä ane k.. kuva lma nnan arvo s nnan arvo ta ssäuol u ulkouol

11 . SEOSTEN TERMODYNMIIKN PERUSTEIT. Ideaalkaasuseokset Ideaalkaasun tlanyhtälön mukaan on komonentn osatheys M θ (.) RT mssä on komonentn osaane ja R on ylenen kaasuvako. Koko seoksen theys on osatheyksen summa θ θ (.) ja seoksen kokonasane on osaaneden summa (.) n Komonentn moolosuudelle y saadaan yhtälöstä (.) Daltonn yhtälö n y. (.4) Tarkastellaan kahden komonentn ja B seosta jossa komonentt saattaa tarkasteltavalla ane-lämötla alueella vahtaa faasa nesteen ja kaasun välllä kun taas komonentlle B e faasmuutoksa taahdu. Komonentt B vo olla myös seos jota kästellään kutenkn yhtenä kaasukomonenttna. Tarkastelemme ss ns. kosteaa kaasua *). Merktään tlavuudessa V olevaa komonentn määrää m :llä (ts. θ m V ) ja vastaavast komonentn B määrää m B :llä (ts. θ m B B ). Kostelle V seokslle on käytännöllstä käyttää kästettä seoksen kosteus joka määrttyy komonentten ja B massojen suhteena m m B (.5) *) Tavallnen esmerkk kosteasta kaasusta on kostea lma jota tarkastellaan kuvan lman (komonentt B) ja veshöyryn (komonentt ) seoksena.

12 Käyttämällä osatheyksä vodaan tämä määrtelmä krjottaa myös muotoon θ θ B (.6) Kosteus on ss dmensoton luku mutta tosnaan shen ltetään sen määrttelyyhtälöstä "dmenso". Vomme krjottaa esmerkks = 0.05 ta kostealle lmalle = 0.05 kg H O/kg k.. (k.. = kuvaa lma) Yhtälöden (.) (.) ja (.6) nojalla vodaan kosteus krjottaa muotoon M M (.7) B B M M B Ratkasemalla tästä komonentn osaane saadaan (.8) M M B Kun kaasuseos kästellään kahden komonentn deaalseoksena on tämän seoksen entala H = m h + m B h B (.9) mssä h ja h B ovat komonentten ja B omnasentalat (J/kg). Kostealla kaasulle suortettavat teknset laskelmat on käytännöllstä suorttaa reagomattoman "kuvan" kaasun B vrtojen avulla koska nämä ysyvät vakona höyrymäärän muutokssta huolmatta. Tämän taka määrtellään entala h k H m B (.0) joka on kostean kaasun entala jaettuna kuvan kaasun massalla. Yhdstämällä kaavat (.9) (.0) ja (.5) saadaan h k h h (.) B Ideaalkaasulle ätee että omnasentala on van lämötlan funkto: h h (T) 4

13 h B h B (T) Kun kuvan kaasun (B) entalan nollasteeks valtaan lämötlassa T ref oleva kuva kaasu ja höyryn () entalan nollasteeks lämötlassa T ref ja nestefaasssa oleva komonentt vodaan höyryn ja kuvan kaasun omnasentalat laskea yhtälöstä: h (T) l ref T T ref (T)dT h B (T) T T ref B (T)dT mssä B ( T) on kuvan kaasun omnaslämö (J/kgK) ( T) on höyryn omnaslämö ja l ref on komonentn höyrystymslämö referensslämötlassa T ref. Mkäl omnaslämöjä vodaan tää rttävällä tarkkuudella vakona kostean kaasun omnasentala h (yhtälö (.)) vodaan krjottaa muotoon k (T T )( h k B (T Tref ) l ref ref (.) Kostean kaasun entalavrralle H % saadaan yhtälön (.) mukasen omnasentalan avulla H % m % B h k... Kostea lma Kostea lma on kuvan lman (luvun. komonentt B) ja veshöyryn (komonentt ) seos. Kästteellä kuva lma tarkotetaan kakken lmassa oleven veshöyrystä okkeaven kaasujen (ty ha hldoksd ja jalokaasut) muodostamaa seosta. Kostealle lmalle saadaan yhtälöstä (.7)-(.8) kosteudeks ja veshöyryn osaaneeks h 0.60 h (.) h (.4) 0.60 mssä moolmassona on käytetty M = kg/mol ja Ilman suhteellnen höyrynane määrtellään yhtälöllä M h = kg/mol. 5

14 h ι (.5) '(T) h mssä h on veshöyryn osaane lmassa ja h '(T) lämötlaa T vastaava kylläsen veshöyryn ane. Kun ι = el 00 % sanomme että lma on kyllästä. Valtaan kuvan lman entalan nollasteeks valtaan lämötlassa 0 o C oleva kuva lma ja veshöyryn entalan nollasteeks lämötlassa 0 o C oleva ves. Veden höyrystymslämö lämötlassa 0 o C on l h = 50 kj/kg. Omnaslämmöt ovat lämötla-alueella -0 o C o C keskmäärn.006 kj/kg ν C h.85 kj/kg ο C Käyttämällä yo. lukuarvoja vodaan kostean lman omnasentala h k (yhtälö (.)) krjottaa lukuarvomuotoon h k =.006 t + ( t) kj/kg (.6) mssä t on lämötla Celsus-astessa. Esmerkk.. Määrtetään kylläsen lman ja ι = 50 % lman omnasuudet kun lman kokonas- ane on =.0 bar. Ilman lämötla on 0 C. a) Kyllänen lma ι = 00 % - kylläsen höyryn ane h ' (0 C): Taulukko.: h ' (0 C) = 0.04 bar kosteus : Kaava (.): kg H O /kg k theydet θ θ h ja θ kaavosta (.) ja (.): 6

15 Taulukko.. neomnasuudet veshöyrystä kylläselle kostealle lmalle lmakehän aneessa //. Lämötl Kosteus a Veshöyryn Veshöyryn Kuvan lman Seoksen Seoksen osaane osatheys osatheys omnasentala omnaslämö kgho / kgkuvaa lmaa kpa kgho / m kgkuvaa lmaa/m kj/kg kuvaa lmaa J/kg kuvaa lmaa K C

16 Taulukko. (jatkoa). Lämötl a Veden höyrystymslämö kj/kg Knemaattnen vskosteett 0-6 m /s Dffuusokerron ves-lma 0-6 m /s Lämmönjohtavuus W/mK C

17 Taulukko.. Kuvan lman termodynamset omnasuudet bar aneessa //. o t C θ kg/m µ/s 6 0 m kj/kgk h kj/kg κ Pr 0 W/mK

18 Kuva.. Kostean lman Moller-dagramm.: 0

19 Kuva.. Saln-Sonnen dagramm kostealle lmalle. Suhteellnen kosteus f=/. = kostean lman omnasentala

20 θ h = = 0.07 kg/m θ = ( ) =.606 kg/m (= θ h ) θ = =.78 kg/m. - kostean lman omnasentala kaava (.6): h k = ( ) = 57.9 kj/kg k.. b) Kostea lma ι = 50 % - h ' (0 C) = 0.04 bar - h = = 0.07 bar kg HO / kg k.. - θ h = = kg/m - θ = ( ) =.74 kg/m = θ h = θ = =.8 kg/m - h k = ( ) = 8.8 kj/kg k.. Esmerkk.. Lasketaan kylläsen lman ja ι = 50 % lman omnasuudet kun lman kokonasane on = 0.85 bar. Ilman lämötla on 0 C. a) Kyllänen lma ι = 00 % - h '(0 C) = 0.04 bar (kokonasaneen merktys kylläsen veshöyryn osaaneeseen on mtätön //)

21 kg / HO kg k.. - θ h = 0.07 kg/m - θ = ( ) = 0.95 kg/m = θ h - θ = kg/m - h k = ( ) = 66. kj/kg k.. b) Kostea lma ι = 50 % - h ' (0 C) = 0.04 bar - h = 0.07 bar kg HO / kg k.. - θ h = kg/m - θ = ( ) = kg/m = θ h - θ = kg/m - h k = ( ) = 4.8 kj/kg k.. Vertaamalla esmerkkejä. ja. keskenään havatsemme että lman kokonasane vakuttaa kosteuteen kuvan lman osatheyteen θ kokonastheyteen el kostean lman theyteen ja entalaan h k. Kokonasaneen tuntemnen on ss oleellsta laskettaessa kostean lman termodynaamsa omnasuuksa. Ilman kosteus vodaan mtata joko määrttämällä lman kasteste ta sen märkälämötla. Jos ntaa jota ymärö kostea lma jäähdytetään vähtellen alkaa tetyssä lämötlassa vettä tvstyä lmasta ntaan. Tätä lämötlaa kutsutaan nmellä kasteste. Kun kokonasane tunnetaan saadaan lman termodynaamnen tla määrtettyä mttaamalla kastestelämötla nnalta sekä mttaamalla ymärövän lman lämötla.

22 Kasteste on ss se kylläsen veshöyryn lämötla jolla on sama höyrynane kun tarkasteltavalla kostealla lmalla. Kun kokonasane ja höyrynane ovat vakota on myös kosteus vako. Tosn sanoen kasteste on se kylläsen lman lämötla jolla on sama kosteus kun tarkasteltavalla kostealla lmalla. Esmerkk.. Ilman lämötla 0 C ja kasteste +8 C. Mkä on lman suhteellnen höyryn ane? h '(0 C) = 0.04 bar h '(8 C) = bar = h ι = h / h '(0 C) = 0.007/0.04 = = 45.8 %. Esmerkk.4. Ilman aneen ollessa 950 mbar ja lämötlan 0 C on huoneen suhteellnen höyrynane ι = 40 %. Määrtä huonelman kasteste. h '(0 C) = 0.04 bar h = bar = bar. Taulukosta etsmällä t ; h '(t ) = bar saadaan t = 6.0 C. Kokonasaneella e ss ollut merktystä. Sen sjaan jos tämä tulos halutaan lukea Moller-dagrammsta etsmällä kosteussuoran ( = vako = lman kosteus) ja kyllästyskäyrän lekkausste joka antaa kastestelämötlan tulee käyttää dagramma joka on laadttu tässä taauksessa aneelle = 950 mbar. Kohtalasen lkarvon saa aneelle = bar laadtusta dagrammsta. Kun kostea kangas asetetaan lmavrtaan asettuu se tetyn ajan kuluttua erääseen tasaanolämötlaan ns. märkälämötlaan (t M ) joka määräytyy lämmön- ja aneensrron mukaan. Kun sätelylämmönsrto e ole merkttävää vodaan märkälämötla määrttää yhtälöstä t t m M θ h RT n Le h l (t M) ln (.7) ' (t ) h M D B θ mssä Le on Lewsn luku t on lman lämötla D B on veshöyryn ja lman κ välnen dffuusokerron κ on lämmönjohtavuus ja n on otenss 4

23 lämmönsrtokorrelaatossa Nu Re m Pr n. Lewsn luku on monessa taauksessa kostealle lmalle lähellä arvoa yks. Potenssn n vakutus on yhtälössä (.7) tällön en. Yhtälön (.7) johto estetään myöhemmn luvussa 8. Monessa taauksessa rttävän tarkan arvon märkälämötlalle vo noeast määrttää hakemalla taulukosta ta dagrammsta sellasen veshöyrystä kylläsen lman lämötlan jolla on sama omnasentala kun tarkasteltavalla lmalla.. Luosten ja höyryseosten välnen tasaano Tarkastellaan kuvan.. mukasta nesteluoksen ja höyryseoksen tasaanotlannetta jossa molemmat faast koostuvat komonentesta ja B. Luoksessa komonentten määrän suhde on er suur kun höyryssä. Ideaalselle luokselle saadaan yhteys (esm. lähde //) ' (.9) mssä on komonentn kaasun osaane *) ' on uhtaan nesteen höyrynane **) ja on moolosuus luoksessa. Yhtälöä (.9) kutsutaan nmellä Raoultn yhtälö ta Raoultn lak. Osa luokssta noudattaa hyvn Raoultn laka ertysest jos luoksen komonentt ovat rakenteellsest samankaltasa. Luosta jonka kakk komonentt noudattavat Raoultn laka kaklla moolosuukslla kutsutaan ss nmellä deaalnen luos. Sellaslle reaalselle luokslle jossa luenneden aneden tosuus on alhanen käytetään Raoultn yhtälön sjasta Henryn laka K (.0) mssä K on vakoarvo. Taulukkoon.. on kerätty eräden kaasujen Henryn lan vakon arvoja. Seoksa joden luenneet aneet noudattavat Henryn laka mutta luotn noudattaa Raoultn laka kutsutaan nmellä deaalnen lamea luos. *) Vakka kaasulla vodaan määrttää osaane e nesteseokslla tätä kästettä yleensä käytetä. Nesteseoksen kakken komonentten ajatellaan olevan samassa seoksen kokonasaneessa. **) Luvussa.. käytmme veshöyrystä kylläsen lman höyrynosaaneelle merkntää h '. Tarkkaan ottaen h ' e kutenkaan ole sama asa kun uhtaan veden höyrynane sllä vettä ymärövä lma vakuttaa heman aneeseen h '. Ilman vakutus on kutenkn hyvn vähänen // ja h ' vodaan hyvällä tarkkuudella tarkastella uhtaan veden höyrynaneena. 5

24 Höyry sekotus :ta ja B:tä (g) (l) B(g) B(l) Luos sekotus :ta ja B:tä Kuva.. Höyry-nesteseos. Komonentten ja B tosuuksen suhde on erlanen kaasufaasssa kun nestefaasssa. g (gas) = kaasufaas l (lqud) = nestefaas. Taulukko. Henryn lan vakota er kaasulle lämötlassa 98 K //. Kaasu ves luottmena (MPa) bentseen luottmena (MPa) H CH N CO 67.4 O 4400 Esmerkk.5. Kunka aljon vo haea lueta lmasta veteen? Normaaltlassa haen moolosuus lmassa on non % ja lman kokonasane on bar ja lämötla 5 o C. Haen osaane lmassa on ss yhtälön (.4) mukaan 0. bar el 0.0 MPa. Henryn lan mukaan haen moolosuus vedessä on tällön 6 0.0/ O 0 mssä Henryn lan vako K O molekyylejä = 4400 MPa on otettu taulukosta.. Vedessä on n HO HO V H O θ M H O 000 kg/m mol/m 0.08 kg/mol mol/l Koska luenneen haen määrä on hyvn alhanen verrattuna veden määrän vastaa seoksen kokonasmoolmäärä hyvn tarkast veden moolmäärää. Haea on ltrassa vettä 6

25 n V O H O mol/l. Haen massa vesltraa koht on m 4 O g/mol.65 0 mol/l 8.5 mg/l. V HO Esmerkk.6. Kunka vodaan määrttää Henryn lan vakon arvot? Tämä vodaan tehdä varsn tarkast rtämällä höyrynane nesteen koostumuksen funktona ja tarkastelemalla saatua käyrää. rvo Henryn lan vako metyylklordlle (CH Cl). lla on metyylklordn höyrynane sen ja veden seoksessa lämötlassa 5 o C. Metyylklordn moolaalsuus m ochcl (mol/kg vettä ): CH Cl (kpa): Veden molaalsuus: m oho (mol/kg vettä ) = / : M H O Metyylklordn moolosuus: mochcl CHCl : ( m m ) OCHCl OH O Prretään CH Cl (kpa) - CHCl ja luetaan alla olevasta käyrästä loutulos CHCl K CH Cl 5 0 kpa 5 MPa. CHCl CHCl (kpa) CHCl 7

26 KIRJLLISUUS. Lamnen M.J Seälä Kostean lman tlarrokset ja reaalkaasut TKK Sovellettu termodynamkka Raortt no. 54 (008).. Keey R.B: Dryng rnles and ratse (97).. tkns P. Physal hemstry 6. anos W.H. Freeman and Comany New York (998). 8

27 . DIFFUUSIO J SEOKSEN NOPEUDET. Dffuuso Tarkastellaan sälötä joka ssältää kahta alkutlassa välsenällä tosstaan erotettua er komonentta. Pane ja lämötla ysyvät sälössä vakona. Jos välsenä ostetaan alkavat molemmat komonentt kulkeutua sälössä uolelta toselle kunnes komonentten tosuus on joka akassa yhtenänen. Kuva. esttää tlannetta vähän sen jälkeen kun välsenä on ostettu. Kuvan keskellä oleva katkovva on kuvtteellnen. Okealla uolella on enemmän mustlla allolla kuvattuja mkroskoosa artkkeleta ja vasemmalla uolella on enemmän harmata mkroskoosa artkkeleta. Partkkelt lkkuvat sattumanvarasest nden lämölkkeden johdosta. Tällön on yhtä todennäköstä että tetty artkkel srtyy okealle kun että se srtyy vasemmalle. Koska tlan keskellä olevan kuvtteellsen katkovvan okealla uolella on ss enemmän mustaa komonentta kun vvan vasemmalla uolella srtyy mustaa komonentta katkovvan yl enemmän okealta vasemmalla kun vasemmalta okealle. Tällön seurauksena on katkovvan yl musten komonentten nettovrta okealta vasemmalle. Vastaavast harmaden artkkelen nettovrta kulkee katkovvan yl vasemmalta okealle. Tätä syntyvää nettovrtaa joka mkroskoosella tasolla saa alkunsa lämölkkeden johdosta kutsutaan makroskoosella tasolla dffuusoks. Kuva.. Kahden komonentn välnen dffuuso Nykynen kästys dffuusosta erustuu tkält Skotlantlasen Thomas Grahamn ( ) ja Saksalasen dolf Fkn (89-90) tutkmuksn. Fk määrttel dffuuson aheuttaman moolvrran theyden j (mol/m s) -dmensosella yhtälöllä j D B (.) mssä D B on komonentten ja B välnen dffuusokerron (m /s) komonentn konsentraato (mol/m ) ja vrran suuntanen koordnaatt (m). Yhtälö (.) on myöhemmn krjotettu usealla heman muunnellulla tavalla esm. yhtälöllä (.)-(.) 9

28 j D B (.) n w θd B (.) mssä on komonentn moolosuus on seoksen kokonasmoolmäärä (mol/m ) n on dffuuson aheuttaman massavrran theys (kg/m s) θ on seoksen kokonastheys (kg/m ) ja w komonentn massaosuus ( w θ ). Yhtälöt θ (.) ja (.) ovat denttset mkäl kokonaskonsentraato detään vakona. Yhtälöstä (.) - (.) vodaan laskea aneensrto tlanteessa jossa tarkasteltava seoselementt ysyy akallaan jollon konvektovrtausta e esnny. Tässä krjassa rajotutaan käyttämään ääasassa yhtälön (.) mukasta kuvausta dffuusolle. Dffuusokertomen D B määrttämnen ja sen arvoja er yhdstelle on estetty luvussa 6.. Seoksen noeuden ja anevrran määrtelmät Merktään seoksen komonentn noeutta knteän koordnaatston suhteen v :llä (lhavodut symbolt tarkottavat vektoreta) jollon komonentn todellnen el absoluuttnen moolvrran theys J (mol/m s) määrtellään J (.4) v ja vastaavast absoluuttnen massavrran theys N (kg/m s) N θ (.5) v Koko seoksen (todellnen) moolvrran theys J määrtellään yhtälöllä J J v (.6) Noeudella v tarkotetaan seoksen tetyn komonentn kakken makroskoosessa steessä oleven artkkelen keskmäärästä noeutta. Noeus v (m/s) on taas koko seoksen keskmääränen noeus anotettuna komonentten moolosuuksen ja noeuksen suhteen el seoksen molaarnen anostenoeus. Komonentn suhteellnen noeus el dffuusonoeus määrtellään komonentn noeuden ja seoksen anostenoeuden erona el dffuusonoeus on ( v v). 0

29 Suhteellnen anevrran theydelle el dffuusovrran theydelle vodaan tällön esttää yhtälö j ( v v) (.7) Yhtälöstä (.4) ja (.7) saadaan komonentn (todellsen) anevrran theys J v j (.8) Yhtälössä (.8) term v edustaa stä komonentn anevrtaa joka yrk kulkeutumaan seoksen mukana *). Moolvrran theys J on kutenkn ersuur kun term v sllä komonentta yrk lsäks dffuuson johdosta srtymään suuremmasta tosuudesta enemään tosuuteen. bsoluuttnen moolvrran theys J lasketaan ss dffuuson ja termn v summana ja se vo olla joko suurem ta enem kun seoksen mukana kulkeutuva anemäärä v ruen konsentraatogradentn (yhtälössä (.) -dmensosena ) suunnasta. Jos noeus v on rttävän suur rttää anevrran laskemseen yhtälöstä (.8) elkkä term v ja jos v on taas hyvn en rttää elkkä dffuusoterm. Monssa taauksssa tarvtaan kutenkn molema termejä. Kuvassa. on estetty esmerkk kokonasanevrran ja dffuusovrran suuruukssta kahdesta kaasukomonentsta ja B muodostuvan seoksen lkkuessa er anostenoeukslla v. Penmmällä noeudella v = λ m / s kokonasanevrrat J ja J B muodostuvat suurmmaks osaks dffuusovrrasta ja suurmmalla noeudella v = m/s dffuuson merktys komonentn kokonasvrtaan on vähänen. Nestellä dffuusonoeus on merkttäväst enem kun kaasulla sllä kaasujen dffuusokertomet ovat suuruusluokaltaan kertaa suurema kun nesteden dffuusokertomet. Yhtälöstä (.4) ja (.6) saadaan v v (.9) mstä saadaan määrtelmä molaarselle anostenoeudelle v v (.0) v v *) Termä v kutustaan tosnaan advektoks jollon dffuuson ja advekton summaa kutsutaan konvektoaneensrroks. Tällön aneensrron kästtestö on tältä osn yhtenevänen lämmönsrtoon kanssa jossa lämmönjohtumsen ja massavrran mukana kulkeutuvan lämmön summaa kutsutaan konvektolämmönsrroks.

30 mol/m s j J v= λm/s mol/m s J j v = 00 λm/s J B jb m J B j B m v = mm/s v = m/s J J mol/m s j mol/m s j J B m j B Kuva.. Kaasujen ja B todellset moolvuot ( J J B ) ja dffuusovuot ( j j ) B koordnaatn (m) funktona kun 0 = 40 mol/m L = mol/m D B = 0 m /s L = 5 m = bar. J ja J B on laskettu yhtälöstä (.) ja (.4). Tämän jälkeen yhtälöstä (.) on ratkastu () joka on sjotettu yhtälöön (.) jollon saadaan j. Kaasun B dffuusovrrantheys saadaan tämän jälkeen heloten yhteydestä j j. B m J B >0!! j B 5 mssä on komonentn moolosuus. Seoksen massaanostenoeus määrtellään vastaavast u θ u v w v (.a) θ Noeus u vastaa vrtausmekankan mukasta noeuskästettä. Määrtelmen (.0) ja (.a) lsäks käytetään tosnaan tlaavuuksen suhteen anotettua noeutta w: w τ v (.b)

31 mssä n V τ on osaomnastlavuus. Mkäl seoksen kokonastheyttä vodaan tää vakona on määrtelmstä (.a) ja (.b) seurauksena w = u sllä u v v v v w θ θ θ θ m m M M m m n V 67 5 Mkäl seoksen kokonaskonsentraato on vako seuraa uolestaan w = v. Tämä ätee myös deaalkaasulle sllä v v v v v w RT n n RT n V. Sjotetaan velä yhtälö (.8) yhtälöön (.6) jollon saadaan ( j v j v J (.) Koska kokonaskonsentraatolle ätee seuraa yhtälöstä (.6) ja (.) 0 j. (.) Tosn sanoen seoksen kakken komonentten dffuusovrtojen summa on ana nolla. Kahden komonentn ja B seoksessa (bnäärseos) ätee tällön ana j B j. (.4) Mkäl konvektovrtauksa e esnny (v = 0) on lsäks komonentten ja B todellsten vrtojen theydet yhtä suuret mutta vastakkassuuntaset el J B J

32 Tätä tlannetta kutsutaan tässä krjassa nmellä tasamääränen aneensrto *). Jos komonentten ja B moolmassat ovat er suuruset seuraa M J M J el N N B. Vakka seoksen molaarnen anostenoeus v on nolla e massaanostenoeus u vo tällön olla nolla. Seoksen massaanoste lkkuu ss noeudella u vakka molaarnen anoste ysyy akallaan! Bnäärselle seokselle määrtellään lsäks D B D B. (.5) Jatkossa tulemme keskttymään lähnnä seoksn jota tarkastellaan bnäärsnä. Tosaalta esm. lmaa vodaan tarkastella yhtenä komonenttna vakka se todellsuudessa koostuukn usesta er kaasusta. Kästtelemme kosteaa lmaa ss samalla tavalla kun luvussa el bnäärsenä seoksena jonka komonentt ovat kuva lma ja veshöyry. Käytämme ala-ndeksejä ja B kuvaaman bnäärsen seoksen komonentteja. la-ndeksä käytetään jos seoksessa on useam ta melvaltanen määrä komonentteja ta jos kyseessä on kuva lma. Esmerkk.. Laske hldoksdn () ja lman (B) anevrta (mol/s) rakennuksessa olevan lmaraon lävtse kun raon okknta-ala on m ja sen syvyys 50 mm. Prrä lsäks hldoksdn ja lman vrtausnoeudet raossa. Hldoksdn moolosuus on ssällä 0. % ja ulkona 0.0 %. Ilman kokonasane sekä ssällä että ulkona on.05 bar ja lämötla 0 o C. Ilman ja hldoksdn välnen dffuusokerron on o 5 D B (0 C).6 0 m / s. Rajotetaan tarkastelu ajasta rumattomaan yksulotteseen taaukseen. Tarkastellaan tlannetta jossa konvektovrtausta e esnny jollon lma ja hldoksd kulkeutuvat elkästään dffuuson avulla. Tällön d J D B vako d Integrodaan yhtälö jollon saadaan B B J ( ) ( ) D B D B Χ Χ mssä on komonentn moolosuus. Seoksen kokonaskonsentraato *) Krjallsuudessa tlannetta kutsutaan usen nmellä tasamääränen dffuuso (engl. krjallsuudessa equmolar ounterdffuson). Tasamääränen aneensrto lenee kutenkn arem nmtys sllä yhtälön (.4) mukaan kahden komonentn seoksessa dffuuso on ana tasamääränen el dffuusovrran theydet ovat ana keskenään yhtä suura mutta vastakkassuuntasa. 4

33 .05 0 RT mol/ m 4.66 mol/ m. Hldoksdn anevrta on ss J 4.66 mol/ m m / s ( ) m 4 m. 0 9 mol/s Koska konvektovrtaukset on oletettu merktyksettömäks tarkastelemme elkkää dffuusota jollon J J. Tästä seuraa B J B 9. 0 mol/s. Vakka anevrrat ovat statonäärtlassa vakota koordnaatn suhteen nn komonentten noeudet evät sen sjaan ole vakota. Yhtälön (.4) mukaan J v el v J /. Konsentraatojakauma () saadaan ntegromalla dffuusoyhtälö (.) välllä 0 jollon saadaan statonäärtlassa konsentraatolle :n suhteen lneaarnen jakauma () J D B Hldoksdn noeusjakauma v () raon ssällä on ss v J () () J J D B J J D B Vastaavast lmalle saadaan v B () B J B J D B B Noeusjakaumat on rretty kuvaan.. 5

34 E-007 v (m/s) v B (m/s) -.88E E E E (m) -.80E (m) Kuva.. Esmerkn. noeusjakaumat raon ssällä. KIRJLLISUUS. Brd R.B. Stewart W.E. Lghtfoot E.L.: Transort henomena Wley New York (960).. Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge. anos (997). 6

35 . INEENSIIRTO-OPIN KESKEISET DIFFERENTILIYHTÄLÖT. Yksulottenen anevrran yhtälö ja sen statonäärtlan ratkasu Tarkastellaan bnäärseoksen komonentten ja B kulkeutumsta -dmensossa tlanteessa. Yhdstämällä yhtälöt (.) ja (.8) saadaan komonentn moolvrralle J (mol/m s) lauseke J d v DB. (.) d Rajotetaan tarkastelu statonäärtlanteeseen ja detään J ja seoksen kokonasanevrta J ja v vakona. nevrta J v J J B. (.) ovat -dmensosessa statonäärtlan tarkastelussa luonnollsest vakota :n suhteen muuton komonentta ta B varastotus ekä tla ols tällön statonäärtla. Jos oletamme että kokonasmoolmäärä on vako *) seuraa yhtälöstä (.) että myös v = vako. Huomaa kuvasta. että vakka J J B ovat statonäärtlassa vakota muuttuvat dffuusovrran theydet j ja j B koordnaatn suhteen. Kokonaskonsentraatota vodaan tää vakona esm. deaalkaasulla tlanteessa jossa ane- ja lämötlaerot ovat enä (ta nden suhde ysyy lkman vakona) d RT d jollon 0. Nesteseoksssa on usen yhtä komonentta merkttäväst d d enemmän kun muta jollon kokonaskonsentraato määräytyy lkman tämän komonentn mukaan ja = vako on hyvä aroksmaato. Yhtälö (.) vodaan järjestää helost ntegrotavaan muotoon d v J d D B. Suortetaan ntegront välllä ( 0) ja ( L) jollon saadaan loutulokseks *) Huomaa että on oletettu eäsuorast vakoks jo aemmn: bnäärseokselle j jb ja B D B D B jollon Fkn yhtälöstä seuraa. Tämä yhtälö saadaan myös kokonas-konsentraaton yhtälöstä B dervomalla :n suhteen van mkäl detään vakona. 7

36 vl D B e J v. (.) vl D e B Vastaavast yhdsteen B vrran theydelle saadaan vl D B B Be J B v. (.4) vl D e B. Pakallaan ysyvän komonentn vakutus ja Stefan vrtaus Krjotetaan yhtälö (.) komonentlle B tlanteessa jossa J B = 0. Saadaan ss J db Bv DB 0 (.5) d B mstä ntegromalla välllä B ( 0) B ja B ( L) B saadaan D B B v ln. (.6) L B Koska J v J J ja J B = 0 nn B D B B D B J v ln ln. (.7) L B L Tulos tarkottaa stä että mkäl seoksen yks komonentt e ääse lkkumaan ta sen vrta on merkttäväst tosta enem nn seurauksena on tsestään syntyvä konvektovrtaus jonka noeuden arvo v vodaan laskea yhtälöstä (.6). Tätä vrtausta kutsutaan krjallsuudessa usen nmellä Stefan vrtaus. Stefan vrtauksen seurauksena aneensrto laskettuna yhtälöstä (.7) vo olla merkttäväst suuremaa kun elkän dffuuson avulla taahtuva aneensrto. Stefan vrtauksen aheuttava lmötä ovat esm. hahtumnen lauhtumnen ja osmoos. Jos seos on rttävän lamea komonentn suhteen vodaan aneensrto nnalta myös tlanteessa J B 0 laskea kutenkn suoraan dffuusoyhtälöstä. Osotamme tämän seuraavassa. Jos ss J 0 nn B 8

37 v J J J. B El J v. Sjotetaan tämä yhtälöön J v j jollon saadaan J J j Ratkastaan tästä j J el J : j J. (.7a) B Tosn sanoen komonentn anevrran theys taauksessa J B = 0 on -kertaa B suurem kun dffuusovrran theys j. Kun seos on hyvn lamea :n suhteen on B ja J j. Esmerkk.. Tarkastellaan kaeaa utkea jonka tuus on 0 m. Veskerroksen aksuus utken ohjalla on s = 5 mm. Putken ylännan oh vrtaa lmaa noeudella 0 m/s. Vrtaavan lman lämötla on a) 6 C b) 86 C märkälämötla a) 5 C b) 60 C ja kokonasane molemmssa taauksssa bar. Kunka u = 0 m/s kauan kestää että utkessa oleva ves hahtuu kokonaan? Veden oletetaan ysyvän hahtumsen akana lman kanssa samassa lämötlassa. J Hahtumnen ajatellaan taahtuvan sten että tse faasmuutos nesteestä kaasuks taahtuu hyvn noeast. Reakton H O(l) H O(g) reaktonoeus e ss rajota rosessn etenemstä. noana rajottavana tekjänä tarkastellaan veshöyryn kulkeutumsta veden nnalta utken äähän. Määrtetään ensn veshöyryn osaaneet utken äässä ja veden nnalla. Taulukko.: a) ' o h k (t m 5 C) 4.4 kj/kg k.. b) ' o h k (t m 60 C) 464. kj/kg k.. 9

38 Luvun.. mukaan tarkasteltavan lman omnasentala on tällön lkman a) 4.4 kj/kg k.. b) 464. kj/kg k... Luetaan dagrammesta o h k k.. a) (t 6 Ch 4.4 kj/kg ) 0 mbar 000 Pa (kuva.) o b) (t 86 C h 464.kJ/kg ) 0. 4 (kuva.) Yhtälöstä (.4) saadaan k Pa Veshöyryn osaaneen vo määrttää tarvttaessa tarkemmn märkälämötlan yhtälöstä (.7). Veden nnalla höyry on kyllästä: o a) '(t 6 C) 60 Pa h o h '(t 86 C) b) Pa Sjotetaan deaalkaasun tlanyhtälö yhtälöön (.7) jollon saadaan hahtuva veshöyryvrta: k.. a) J D L B RT ln ln mol/m s b) J ln mol/m s. Dffuusokertomet on otettu taulukosta.. Veden tlavuuden V muutos kun utken okknta-ala on saadaan yhteydestä dv dt ds dt J ρ M neste mssä s = veskerroksen korkeus. Saadaan 40

39 sθneste a) t s vrk9 h J M b) t 9 07 s 7 h 9 mn Kohdassa a) on lman moolosuus enmmllään veden nnalla B 0.97 ja suurmmllaan utken äässä B Koska taauksessa J 5 B = 0 ätee J j on 0 B hahtumsvrta anoastaan / B = kertaa suurem kun dffuusovrta. Stefan vrtauksen merktys on kohdassa a) vähänen ja hahtumnen ols votu arvoda hyvällä tarkkuudella suoraan dffuusoyhtälöstä. Kohdassa b) sen sjaan / B saa arvoja välllä. -.5 jollon Stefan vrtaus khdyttää selkeäst veshöyryn kulkeutumsta. Vertalemalla a) ja b) kohten tuloksa nähdään että lämötlalla on suur merktys hahtumsnoeuteen. Myös ymärövän lman kosteus vakuttaa hahtumsnoeuteen. Putken yläuolella vrtaavan lman noeuden arvolla e ole tässä tehtävässä merktystä kunhan noeus on rttävän suur jotta vomme tarkastella utken äässä olevaa veshöyrytosuutta yhtä suurena vrtauksen veshöyrytosuuden kanssa. Mkäl utken halkasja on lan suur ääsee yläuolnen vrtaus tunkeutumaan utken ssään kuljettaen veshöyryä os utkesta. Tällön vrtausnoeudella on suur merktys ja se khdyttää hahdutusta huomattavast. Lsäks on huomattava että lman theyden ollessa veden nnalla alhasem kun ystysuoran utken äässä ja utken halkasjan ollessa samanakasest rttävän suur käynnstyy ns. vaaa konvektovrtaus. Kästtelemme tätä ahetta tarkemmn luvussa 4. Yhtälötä (.6) - (.7) vodaan soveltaa myös muunlaseen akotettuun konvektoon kun Stefan vrtaukseen kuten seuraavasta esmerkstä vodaan havata. Esmerkk.: Vrtaavan vedyn ane utken (tuus on 50 m) louäässä on.5 bar ja lämötla on 70 o C. Putkessa on myös veshöyryä jonka osaane utken loussa on 0. bar. Vrtausnoeus on sen verran en että kaasuseoksen kokonasane on utkessa kakkalla lkman.6 bar. Putken alkuäässä on lämötla 0 o C ja veshöyry on kylläsessä tlassa. Veshöyryn kulkeutumnen utkessa tulee korrooson välttämseks estää. Ongelman ratkasuna selvtämme mllä noeudella tulee vetykaasu lattaa vrtamaan utkessa jotta veshöyry e ääse kulkeutumaan vedyn vrtaukseen nähden vastakkaseen suuntaan. Valtaan komonentks vety ja komonentks B veshöyry. 4

40 o 0 C H O ' H O o '(0 C) J H O 0 J H? o 70 C H O 0.bar Kuva.. Esmerkn. mukanen vrtaustlanne Haemme ss taausta jossa J B 0 el ratkasu saadaan suoraan yhtälöstä (.6). Sjotetaan deaalkaasun tlan yhtälö yhtälöön (.6) jollon saadaan D B B v ln. L B Veden höyrynane ruu yleensä van hyvn vähän nertn kaasun tässä ss vedyn läsnäolosta ta seoksen kokonasaneesta //. Vomme ss hyvällä tarkkuudella o katsoa osaaneen H O ' (0 C) suoraan veshöyrystä kylläsen lman taulukosta (taulukko.) jollon saadaan o '(0 ) 0.07 bar B H O C Keskmääränen lämötla T K 8.5 K jollon -5 D H HO (8.5 K).84 0 m / s. Dffuusokertomen arvon määrttämnen estetään myöhemmn luvussa 6. Tarvttava seoksen vrtausnoeus on m / s 0. v ln 0.000m/s ( v 0.5 m 0.07 H koska veshöyryn tosuus on alhanen) Koska Stefan vrtauksessa J == J oletetaan stä laskettaessa yleensä että B htaammn kulkeutuvan komonentn anevrta on nolla el J B 0. Tällön tuloksena ovat yhtälöt (.6) - (.7). Seuraavassa johdetaan lauseke Stefan vrtaukselle ja stä seuraavalle anevrran theydelle taauksessa jossa J == J mutta J B 0. Vertaamalla saatuja yhtälötä ja aemmn johdettuja yhtälötä (.6) - (.7) tullaan B 4

41 huomaamaan että erässä taauksssa oletusta J B 0 e voda tehdä vaan enemmän vrtauksen anevrta on ehdottomast otettava huomoon. Merktään vl D b e B. (.8) Ratkastaan b yhtälöstä (.4) jollon saadaan J B B b v. (.9) J B B v Määrtellään anevrtojen suhde yhtälöllä oletuksena ol J r J B. Otetaan lsäks huomoon että J v J J J el J B ;; J jollon aroksmaato B ätee. Yhtälö (.9) vodaan nyt krjottaa muotoon v J B b r. (.0) B r Sjottamalla yhtälö (.8) yhtälöön (.0) saadaan v:lle lauseke D v L B ln B B r. (.) r Käytetään taas aroksmaatota J v J J B J yhdessä yhtälön (.) kanssa jollon saadaan komonentn moolvrran theydelle yhtälö D B D B B r B J r v ln ln. (.) L L B B r r Termn r vakutus yhtälössä (.) on merkttävä taauksssa jossa htaast kulkeutuvan komonentn B moolosuus on hyvn alhanen. Tällanen tlanne esntyy usen ns. uollääseven kalvojen yhteydessä. Tosena esmerkknä vodaan tarkastella hahtumsta hyvn lähellä nesteen kehumslämötlaa //. Tässä taauksessa akallaan olevan kaasun B (esm. lma) konsentraato ja osaane nesteen nnalla lähestyy 4

42 nollaa jollon lman lsätermä r yhtälö (.) antaa äärettömän suuren anevrran. Yhtälön (.) sjasta vodaan vahtoehtosest käyttää yhtälötä (.) ja (.4). Monessa taauksessa r:n arvoa e ystytä kutenkaan suoraan määrttämään. Koska r:n arvo ruu anevrrasta J on J :n arvo ratkastava teromalla yhtälöstä (.). Usen onkn käytännöllsemää tehdä oletus J B = 0 jollon r saa äärettömän suuren arvon ja yhtälö (.) vodaan krjottaa yhtälön (.7) mukaseen muotoon. Tosnaan r kutenkn tunnetaan. Esm. kun nestettä () hahtuu kaasuun (B) hahtuvan nesteen dv dvb tlavuus vastaa nesteen korvaavan kaasun B tlavuutta el. Kun dt dt merkttään tarkasteltavan tlavuuden okknta-alaa :lla saadaan edellsestä M J M BJ B yhtälöstä jollon θ θ neste Bkaasu J θ neste M B r. (.) J θ M B Bkaasu. jasta ruvat monulotteset yhtälöt Monessa aneensrto-ongelmassa lukujen. -. mukanen kästtely e ole rttävä vaan ongelma täytyy lähestyä käyttämällä monulottesta tarkastelua. Tosnaan tarkastelu on suortettava lsäks ajasta ruvasna. Esmerkks kuvassa. seosta Kanavassa vrtaavan aneen -koordnaatn suuntanen noeusrofl u u Seos +B u Knteältä nnalta vrtaukseen srtyvää komonentta. Kuva. Komonentta srtyy oh kulkevaan vrtaukseen. 44

43 vrtaa kanavassa jonka yhdeltä senältä srtyy komonentta vrtaukseen. Tämän johdosta ohvrtauksen konsentraato kasvaa -akseln suunnassa ja enenee - suunnassa jollon ( ). Päävrtauksen suuntasen noeuskomonentn u lsäks on tarkastelussa huomotava myös nnan normaaln suuntanen noeuskomonentt u joka aheutuu nnalta taahtuvasta aneensrrosta. Seuraavassa johdamme yleset aneensrto-on monulotteset ajasta ruvat yhtälöt. Luvussa 8 tulemme tarkastelemaan vahtoehtosta tarkastelutaaa joka erustuu aneensrtokertomen määrttelemseen... neen- ja lämmönsrron monulotteset dfferentaalyhtälöt Tarkastellaan knteää elementtä jonka lä taahtuu vrtauksa. Käyttämällä kästtetä moolvrran theys osatheys ja reaktonoeus saadaan massataseeks M J J y y J θ t M S (.4) el sanallsest (ulosvrtaus - ssään vrtaus) + aneen kasautumnen = aneen muodostumnen. Tässä J on komonentn moolvrran theys (mol/m s) suunnassa M on komonentn molaarnen massa (kg/mol) θ komonentn osatheys (kg/m ) ja S kuvaa komonentn muodostumsnoeutta kemallsten reaktoden kautta el reaktonoeutta (mol/m s). Komonentlle B saadaan vastaava yhtälö J J B By J B θb M B M y t Kokonasmassatase saadaan summaamalla yhtälöt.4 ja.5: B S B. (.5) (M J (M J M B J M B B J ) (M B J y ) θ 0 t M y B J By ) (.6) mssä θ = θ θ B. Kahden komonentn seokselle ätee M S + M B S B = 0. Seoksen massavrran theys suunnassa määrtellään yhtälöllä θu M J M B J B (.7) ja vastaavast muut suunnat el noeudet u y ja u. Käyttämällä nätä merkntöjä saadaan seoksen massatase el yhtälö (.6) krjotettua muotoon 45

44 θu ) ( θu y ) ( θu ( y ) θ 0. t (.8) Palataan nyt komonentn massataseeseen. Yhtälön (.0) mukaan keskmääränen molaarnen anostenoeus v määrtellään yhtälöllä v v B v B (.9) mssä v on komonentn noeus -akseln suuntaan. Koska yhtälön (.4) mukaan moolvrrantheys J v vodaan massavrrantheys N krjottaa seuraavlla er tavolla N M J M v θ v (.0) sllä = θ /M. Seoksen anosteen noeus u el kaava (.7) vodaan noeuksa v ja v B käyttämällä krjottaa muotoon ρu ρ v ρ B v B (.) kuten yhtälössä (.) on estetty. Massavrran theys vodaan nyt krjottaa seuraavlla er tavolla ρ v ρ (v v ) ρ v (.a) θ (v u ) θ u (.b) ρ v v - u - v (v v ) ρ u. (.) Vrtausmekankassa käytetään noeuden (u u y u ) mukasta anostenoeutta ja sks kehtelmä mssä esntyy anosteen noeus u on tovottava. Tosaalta dffuusonoeus ja stä kautta myös dffuusokerron on edellä määrtelty noeuden v suhteen (yhtälö (.7)) ts. mellä on mall lausekkeelle v v mutta e erotukselle v u. Tämän taka toveta herättävä kehtelmä on yhtälö (.). Tutktaan nyt lähemmn snä esntyvää kenotekosest tehtyä tulon tekjää (v u )(v v ). Ottamalla huomoon kaava (.) ja θ θ B θ ätevät todetaan että seuraavat yhtälöt 46

45 θ θθb (v u ) θ B (vb u ) (v v B ). θ (.) Vmesen yhtälön näkee arhaten huomaamalla että (v v B ) (v u ) (vb u ) ja käyttämällä stten yhtälön (.) ensmmästä osaa hyväks. Vastaavast käyttämällä hyväks määrtelmää (.9) ja yhteyttä = + B todetaan seuraavat yhteydet B (v v ) B (vb v ) (v vb ). (.4) Yhtälöden (.) ja (.4) erusteella havataan ss että v v u v θb = θ B (v (v v v B B ) θb = ) θ ja koska θ Λ θ B = M B B ja θ = M mssä edelleen B M (.5) B M M B saadaan v v u v = M M B. (.6) Sjottamalla yhtälö (.6) yhtälöön (.) saadaan θ v M Bθ M (v v ) θ u. (.7) Dffuusovrran theydelle saadaan yhtälöstä (.) ja (.7) θ (v v ) M j M D B. (.8) Vomme ss krjottaa tärkeät yhteydet M J ρ M M M B v D B M B M j M ρ u. ρ u (.9) 47

46 48 Merkntöjen lyhentämseks otetaan käyttöön merkntä D M M D B B * B (.0) jota käyttämällä vodaan massavrran theys esttää seuraavast. u ρ D M J M * B (.) Sjottamalla yhtälö (.) sekä vastaavat yhtälöt suunnlle y ja yhtälöön (.4) saadaan. S M t D y D y D M ) u ( y ) u ( ) u ( * B * B * B y θ θ θ θ (.) Jos seoksen theyttä θ = θ + θ B detään vakona seuraa yhtälöstä (.8) 0. u y u u y (.) Jakamalla yhtälö (.) M :lla ja käyttämällä yhtälöä (.) saadaan * B * B * B y S D y D y D t u y u u. (.4) Yhtälö (.4) krjotetaan vektormuodossa (matemaattsa merkntöjä on selvtetty ltteessä ) ( * B S D t u. (.5) Kun dffuusokerron * B D detään vakona vodaan yhtälö (.5) krjottaa muodossa

47 t * B u D S. Yhtälö (.5) sekä seuraavassa estetyt muut vektormuotoset yhtälöt ätevät sekä karteessessa- sylnter- että allokoordnaatstossa. Yhtälöä (.5) vastaava yhtälö vodaan johtaa myös molaarsen anostenoeuden v mukaan jollon saadaan t D ( S v. (.6) B * Tässä yhtälössä esntyy korjatun dffuusokertomen D B asemesta tavallnen dffuusokerron D B. Tosaalta noeus v e kutenkaan vastaa vrtausmekankan mukasta määrtelmää noeudelle el noeutta u. Yhtälön (.6) erkostaausta jossa v = 0 el yhtälöä t D ( S B kutsutaan usen nmellä Fkn. lak (Fkn. lak on yhtälö.). Yhtälöden (.5) ja (.6) sjasta estetään krjallsuudessa usen myös yhtälö t D ( S u (.7) B jossa esntyy noeus u ja tavallnen dffuusokerron D B. Tämän taasen yhtälön soveltamnen ostas erätä jatkossa lmenevä ongelma molaarsen- ja massaanostenoeuden välllä. Tosaalta yhtälön johtamseks on tehtävä ylmääräsä määrtelmä. Jatkossa käytämme yhtälön (.5) mukasta muotoa yhtälöden (.6)- (.7) sjasta. netaseyhtälön (.5) lsäks tarvtsemme konvekto aneensrto-ongelman ratkasemseks usen myös seoksen lkemäärä- ja jatkuvuusyhtälön sekä tosnaan myös energayhtälön. Lkemääräyhtälönä vo olla esm. seuraava Naver-Stokes yhtälö kokoon urstumattomalle lamnaarvrtaukselle jossa dynaamnen vskosteett γ on vako du θ θb γ u (.8) dt mssä b on artkkeln kohdstuvan ulkonen massavomavektor (esm. gravtaato). Esm. karteessessa koordnaatstossa vodaan merktä u u u y j u k 49

48 50 k j b y b b b jollon Naver-Stokes lkemääräyhtälö(t) vodaan krjottaa γ θ θ u y u u b dt du γ θ θ y y y y y u y u u y b dt du γ θ θ u y u u b dt du. Kokonasmassatase el jatkuvuusyhtälö krjotetaan vektormuodossa 0 ) dv( t θ θ u. (.9) Karteessessa koordnaatstossa se saa yhtälön (.8) mukasen muodon. Energayhtälö vodaan esttää muodossa ( Θ φ dt d dt dh ρ T κ (.40) mssä h on omnasentala ε lämmönlähdeterm (W/m ) (esm. kemallsten reaktosta vaautuva lämö ta sätelylämmönsrto) ja Π on vrtauksen ssäsestä ktkasta aheutuva lämmönkehtys el ns. dssaatoterm. Mkäl lämmönkehtys ε aheutuu kemallssta reaktosta nn ε = S Χh r mssä Χh r on reaktolämö (J/mol). Seoksen lämmönjohtavuus on κ (WmK) ja seoksen omnaslämö (J/kgK) ts. θ = θ + θ B B. Mkäl aneen sekä dssaaton merktys energayhtälössä on vähänen vodaan yhtälö (.40) krjottaa muotoon ( ε κ θ T t T T u (.4) joka saa karteessessa koordnaatstossa muodon (kun κ = vako) ε κ θ θ θ θ y T y T T t T T u y T u T u. (.4)

49 Edellä estetyt yhtälöt ätevät sekä akotetussa konvektossa että vaaassa el luonnollsessa konvektossa. Er taauksssa ertoten lkemääräyhtälöä yksnkertastetaan tosstaan okkeavlla tavolla jollon loullset taauskohtaset yhtälöt esm. luonnollsessa konvektossa ja akotetussa konvektossa ovat tosnsa nähden usen erlaset... Turbulenttnen dserso Dsersolla tarkotetaan aneden kulkeutumsta ja sekottumsta konvekton ja dffuuson yhtesvakutuksesta. Peraatteessa dserso e ole erllnen lmö vaan lähnnä erlanen taa kästellä luvussa - aemmn estettyä teoraa. neen kulkeutumsen tarkastelu dsersomalln mukasest on ertysen käytännöllstä turbulentten vrtausten yhteydessä esm. tarkasteltaessa saasteden levämstä vesstössä ja lmassa. Dsersotarkastelun lähtökohdaks vodaan ottaa esm. yhtälö (.4) el u D * B u y y u D y * B t D y * B S (.4) Turbulenttsessa vrtauksessa hetkellsen noeuden u katsotaan koostuvan kahdesta komonentsta: ajan suhteen keskmääräsestä arvosta u ja värähtelynoeudesta u '. Noeuskomonentt vodaan krjottaa seuraavassa muodossa u u u y u u u y u u u y ' ' ' (.44) Noeuden keskmääränen arvo määrtellään yhtälöllä tχt u Χ udt (.45) t t mssä Χ t kuvaa rttävän tkää akavälä turbulenttsa värähtelyjä ajatellen ja rttävän lyhyttä akavälä tarkasteltavaa dsersolmötä ajatellen. Vastaavast hetkellselle konsentraatolle merktään 5

50 5 ' (.46) mssä ' on konsentraaton värähtelykomonentt ja konsentraaton akakeskarvolle määrtellään yhtälö Χ Χ t t t dt t. (.47) kakeskarvomäärtelmstä (.45) ja (.47) ja yhtälöstä (.44) ja (.46) seuraa että värähtelykomonentten akakeskarvot ovat nolla 0 ' 0 ' u ' u ' u y (.48) Sjotetaan yhtälöt (.44) ja (.46) yhtälöön (.4) tlanteessa jossa reaktoterm S = 0 jollon saadaan ) ' ( D y ) ' ( D y ') ( D t ' t ') ( ') u (u y ) ' ( ) ' u (u ) ' ( ) ' u (u * B * B * B y y Otetaan tästä yhtälöstä akakeskarvo määrtelmen (.45) ja (.47) mukasella tavalla. Huomomalla lsäks että dervonnn ja ntegronnn järjestys vodaan vahtaa sekä yhtälö (.48) saadaan ' ' u D ' ' u y D y ' ' u D t u y u u * B y * B * B y (.49) Yhtälössä (.49) esntyvät termt ' ' u ' ' u y ja ' ' u edustavat stä anevrtaa joka kulkeutuu värähteleven turbulenttsten noeuskomonentten johdosta. Nälle termelle käytetään molekyläärsen tavallsen dffuuson mukasta uolemrstä malla

51 u u u y ' ' ' ' D ~ ' D ~ ' D ~ y y (.50) mssä kertoma D ~ y ja D ~ D ~ kutsutaan turbulenttsks dffuusokertomks ta dsersokertomks. Nämä kertomet ovat eraatteessa ersuura tosnsa nähden ja lsäks ne vahtelevat koordnaatten y ja suhteen. Koska turbulenttnen dffuuso on huomattavast tavallsta molekyläärstä dffuusota vomakkaamaa vodaan turbulenttsen vrtauksen yhteydessä tavallnen dffuuso jättää huomomatta. Ottamalla tämä sekka huomoon ja sjottamalla yhtälö (.50) yhtälöön (.49) ja jättämällä akakeskarvoa kuvaava ylävva-merkntä os saadaan loullseks dsersoyhtälöks u D ~ u y y u D ~ y y y t D ~ (.5) Yhtälö (.5) on muodollsest yhtälänen yhtälön (.4) kanssa. Yhtälössä (.5) ane kulkeutuu ajan suhteen laskettujen keskarvonoeuksen mukana sekä turbulenttsen dffuuson johdosta. Tätä kokonasrosessa kutsutaan nmellä (turbulenttnen) dserso. Olemme jättäneet yhtälön (.5) johdosta reaktotermn os. Peraatteessa reaktoterm S ruu myös konsentraatosta jollon reaktoden läsnä ollessa tulee dsersoyhtälön johdossa huomoda yhtälön (.46) vakutus... Lämmön- ja aneensrron välnen analoga Jos tarkastellaan lämmön- ja aneensrto-on luvussa... estettyjen dfferentaalyhtälöden matemaattsta muotoa vodaan havata että teoroden erusyhtälöt ovat hyvn samankaltaset. Tätä analogaa vodaan aneensrto-ossa erässä taauksssa hyödyntää. naloga on kutenkn luonteeltaan lkmääränen. Tarkastellaan ensn lämmönsrto-ongelmaa vrtaavassa aneessa. Ratkasuun tarvtaan ats lkemääräyhtälö (esm. (.8)) ja jatkuvuusyhtälö (.9) nn luonnollsest myös energayhtälö. Tarkastellaan ertysest lämmönsrto-ongelmaa jossa energatase vodaan krjottaa yhtälön (.4) muodossa. Entä mtä yhtälötä tarvtsemme sotermsen konvektoaneensrto-ongelman ratkasemseks? Tarvtsemme täsmälleen saman lkemääräyhtälön ja täsmälleen saman 5

52 jatkuvuusyhtälön kun lämmönsrto-ongelmassa mutta energayhtälön sjaan ratkasuun tarvtaan anetaseyhtälö (.5). Lsäks molemen ongelmen ratkasuun tarvtaan taaukseen sovat reuna- ja alkuehdot. Tarkastellaan lähemmn yhtälöden (.4) ja (.5) eroja. Nähdään että yhtälöt ovat denttset mkäl symbol kuvautuu symbollla T el mkäl T ja lsäks * κ D B ε S ja θ. Kolme vmestä kuvausta vodaan myös korvata κ * seuraavalla kahdella B θ D ε sekä S. Jos lämmönsrto-ongelman θ muodostavalle yhtälöryhmälle (.8) (.9) ja (.4) löytyy ratkasu on tämä ratkasu samalla yhtälöryhmän (.8) (.9) ja (.5) ratkasu kunhan suortamme yllä olevat symbolen muunnokset ja kunhan myös reuna- ja alkuehdot ovat tosnsa nähden analogset. Komonentn syntymstä kuvaa term S on usen funkto konsentraatosta ja lämmönlähdeterm ε on uolestaan funkto lämötlasta. Kuvausta S ε (ta ε S ) vodaankn harvon käyttää sllä S :n ruvuus konsentraatosta tuls θ olla analognen q ' :n ruvuudesta lämötlasta. Yleensä analogaa käytettäessä tarkastellaan ss tlannetta jossa e esnny merkttävää lämmönlähdettä el ε 0 ja vastaavassa aneensrto-ongelmassa tuls äteä S 0. Tarkastellaan analogaa ja reunaehtojen yhteensovttamsta velä seuraavan laajan esmerkn avulla. Esmerkk.. Tarkastellaan kaksulottesta rajakerrosvrtausta levymäsen nnan yl (kuva.). u 0 Rajakerroksen ulkoraja u u Rajakerroksen aksuu Kuva.. Rajakerrosvrtaus. 54

53 55 Jätämme kemallset reaktot os ja tarkastelemme statonäärtlannetta. Nällä rajotukslla yhtälöstä (.4) ja (.4) seuraa * B D u u (.5) T T a T u T u (.5) mssä on käytetty merkntää a θ κ. Olettamalla vrtaus lamnaarseks ja jättämällä ulkonen vomakenttä os saadaan lkemääräyhtälöks -akseln suunnassa yhtälöstä (.8) µ u u u u u u (.54) mssä θ γ µ on knemaattnen vskosteett (m /s). Yhtälöt (.5)-(.54) tulee ratkasta samanakasest yhdessä jatkuvuusyhtälön (.) kanssa. Otetaan käyttöön seuraavat dmensottomat muuttujat o u u w (.55) o u u w (.56) s o s Ξ (.57) s o s T T T T π (.58) L Β (.59)

54 Ψ L (.60) mssä u o on noeus rajakerroksen ulkouolella ta muodollsest u o = u ( = ) s = (= 0) 0 on komonentn konsentraato rajakerroksen ulkouolella T s = T( = 0) ja T o on lämötla rajakerroksen ulkouolella. Rajakerrokseen lttyvä määrtelmä tarkastellaan lsää luvussa 7. Esmerkks massaanostenoeuden -suuntanen komonentt on u () = u 0w ( Β () Ψ()). Mtta L on sovast valttu karakterstnen tuusmtta esmerkks tason tuus. Kakk dmensottomat muuttujat saavat lukuja välltä 0... Dervonnn ketjusäännöllä saadaan u u o L Β u w Β u dβ u d L o o w Β w Β. dβ d u o L w Β Menettelemällä nän mudenkn termen suhteen saadaan lkemääräyhtälö (.54) dmensottomaan muotoon w w w w w w Re Ψ Β Β Ψ (.6) u L mssä Re = o on Reynoldsn luku. Jatkuvuusyhtälön (.) dmensoton muoto on µ tarkasteltavassa kaksulottesessa (ss u y = 0) rajakerrosvrtauksessa w Β w Ψ 0. (.6) Mellä on nyt ss kaks yhtälöä (.6)-(.6) ja kaks tuntematonta w (XZ) w (XZ). Reunaehdot ovat: Z = 0; w = 0 ja Z = ; w = w = 0. Yhtälön (.5) dmensoton muoto on Tosaalta π π a π π w w. X Z Lu o X Z 56

55 a Lu o κ θ Lu o RePr mssä γ Pr on Prandtln luku ja γ on dynaamnen vskosteett. κ Saadaan ss w π π π π w. X Z Re Pr X Z (.6) Reunaehdot dmensottomalle lämötlalle ovat Z 0 π 0 Z π. (.64) Yhtälöden (.6)-(.64) nojalla vomme äätellä että π F(X Z Re Pr). (.65) Yhtälön (.5) dmensoton muoto on w Ξ X w Ξ Z D Lu * B o Ξ X Ξ Z. * D * B D B Tosaalta µ * Lu Lu o o ReS µ * µ mssä S on Shmdtn luku. Saadaan ss * D B w Ξ Ξ Ξ Ξ w * X Z ReS X Z. (.66) Reunaehdot dmensottomalle konsentraatolle ovat Z 0 Ξ 0 57

56 Z Ξ. (.67) Yhtälö (.6) on täsmälleen samanlanen kun yhtälö (.66). Samon reunaehdot (.64) ja (.67) ovat keskenään samanlasa. Nän ollen äättelemme että jos ratkasu (.65) tunnetaan ätee se myös aneensrto-on robleemalle (.66)-(.67) ts. Ξ F(X ZReS * ) (.68) mssä funkto F( ) on ss sama yhtälössä (.65) ja (.68) mutta lämmönsrtoongelmassa esntyvä Prandtln luku Pr muuntuu aneensrto-ongelman ratkasussa * Shmdtn luvuks S. Knteälle nnalle u 0 jollon nnan kohdalla lämöä srtyy anoastaan johtumalla el Fourern yhtälön mukasest T q κ. 0 * Vastaavuuden κ D B mukaan tuls tällön aneensrtotehtävässä anevrran reunaehtona esntyä yhtälö J * D B. 0 Emme kutenkaan käytä täsmälleen tätä muotoa vaan sen sjaan ehtoa J D B (.69) 0 jollon ss tarkastelemme taausta jossa aneensrto nnalta on tasamäärästä el tlannetta J J B. Tällön ss nnalla v = 0 mutta u 0! naloga e ole tältä osn täsmällnen. Kerätään velä louks yhteen erätä lämmön- ja aneensrron analogan käyttöä rajottava oletuksa jota olemme tämän luvun tarkastelussa joutuneet tekemään:. Paneen vakutus energayhtälössä (.40) tulee olla vähänen. Tämä koskee sekä aneen muutostermä d että myös entalan muutostermä dh. Ideaalkaasulle dt dt term dh e aheuta tältä osn koskaan ongelma sllä sen entala e ru aneesta. dt. Dssaatotermn vakutus energayhtälössä (.40) tulee olla vähänen. 58

57 . neensrto nnalta tarkastellaan tasamääräsenä. Tosaalta kuten luvussa. on estetty vodaan myös taausta J B = 0 tarkastella elkästään dffuusolmönä mkäl seos on lamea komonentn suhteen. Tasamääräsen aneensrron rajotus vodaan ohttaa ns. suhdeoletuksella jota tarkastellaan lähemmn luvussa Jos aneensrto taahtuu nnalta kohdan mukasest tasamääräsenä on tästä yleensä seurauksena nollasta okkeava nnan normaaln suuntanen massaanostenoeus u nnalla. Tosaalta knteällä nnalla tuls toteutua u = 0. Samanakasest tuls ss toteutua sekä ehto M J M BJB että ehto J J B. Mkäl moolmassat okkeavat huomattavast tosstaan saattaa analogan tarkkuus kärsä. 5. Seoksen kokonasmoolmassa M ruu komonentten moolosuukssta. Tällön * * myös dffuusokerron D B ja Shmdtn luku S ruu seoksen koostumuksesta. Ongelma votasn ostaa erustamalla analogatarkastelu yhtälöön (.7) yhtälön (.5) asemesta. Käytännön laskussa käytämme yleensä tavallsta dffuusokerronta * * D B ja Shmdtn lukua S kertomen D B ja luvun S sjasta. 6. Reaktoterm S yhtälössä (.5) on harvon analognen lämmönkehtystermlle ε yhtälössä (.4). Käytännössä tarkastelemme yleensä taausta jossa näden termen vakutus on vähänen. nalogan avulla vomme ss hyödyntää lämmönsrto-on ratkasuja aneensrto-on tehtävssä. Teorasta on ertysest hyötyä tunnettaessa aneensrto-ongelmalle analogsen konvekto lämmönsrto-ongelman korrelaatoyhtälö. Tarkastelemme tätä luvussa 7. naloga on kutenkn ss luonteeltaan ana van lkmääränen. KIRJLLISUUS. Lamnen M.J Seälä Kostean lman tlarrokset ja reaalkaasut TKK Sovellettu termodynamkka Raortt no. 54 (008).. Seälä. Lamnen M.J. El Haj ssad M. study on the ero flu aromaton n onveton-dffuson mass transfer roblems Internatonal Communatons n Heat and Mass Transfer 0() 07- (00).. Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge. anos (997). 59

58 4. VP KONVEKTIO Seuraavassa estettävä vaaan konvekton teora ohjautuu ääosn vtteeseen //. Seoksen koostumuserot aheuttavat seokseen theyseroja. Theyserosta aheutuvaa tsestään syntyvää konvektovrtausta kutsutaan vaaaks konvektoks ta luonnollseks konvektoks. Tarkastellaan esm. suolakdettä jota detään alun ern akallaan olevan veden nnalla. Suola lukenee veteen ja alkaa aluks kulkeutua vedessä dffuuson avulla. Tämän seurauksena suolakteen ymärlle muodostuu suolan ja veden muodostama luos jonka theys on suurem kun kauemana olevan veden theys. Mkäl tosuuserosta johtuva theysero on rttävän suur alkaa luos vrrata alasän. Syntynyt vrtaus khdyttää samalla aneensrtoa kteestä ja sen ymärstöstä. Ilmö on analognen lämmönsrto-on vaaan konvekton kanssa mssä vrtaus syntyy tsestään lämötlaerojen aheuttamsta theyserosta. Vaaa konvekto on jossan määrn samankaltanen lmö luvussa kästellylle tsestään syntyvälle Stefan vrtaukselle. Kyse e ole kutenkaan samasta asasta. Kuva 4.. Vaaa konvekto ystysuorassa utkessa. 0 θg Mllon vaaa konvektovrtaus vo syntyä? Tätä ongelmaa vodaan selvttää tarkastelemalla onko systeem stabl va eästabl. Vaaan konvekton syntymseks systeemn tulee olla eästablssa tlassa. Tarkastellaan kuvan 4. mukasta latetta joka koostuu kahdesta hyvn sekotetusta sälöstä ja sälöden välsestä utkesta. Yläuolella olevassa sälössä seos on theämää kun alauolella olevassa sälössä. Koska tarkastelemme komonentteja jotka ovat tosnsa sekottuva srtyy sälöden välllä anetta joka taauksessa dffuuson avulla. Haluammekn selvttää ovatko theyserot rttävän suura synnyttämään konvektovrtauksen. Seuraavassa käymme ratkasun eruseraatteet lä menemättä kutenkaan ratkasun ykstyskohtn. Krjotetaan ensn utkessa olevalle seokselle statonäärtlassa stabllle taaukselle jatkuvuusyhtälö lkemääräyhtälö sekä toselle komonentlle anetaseyhtälö. Tarkastellaan kokoon urstumatonta seosta. Luvun. yhtälöstä (.9) (.8) ja (.5) saadaan dv ( u) 0 (4.) (4.) u D * B (4.) Termen yläuolelle merktyllä vvalla halutaan anottaa ko. termen häröttömyyttä. Yhtälöden ratkasuna saadaan u = 0 jollon häröttömässä taauksessa yhtälö (4.) 60

59 on elkkä dffuusoyhtälö. Krjotetaan vastaavat yhtälöt kokoon urstumattomalle taaukselle jossa seokseen kohdstuu härö dv ( u) 0 θ u θg γ u t (4.4) (4.5) t u D * B (4.6) Krjotetaan härön kohteena olevat suureet sten että ne ovat yhtä kun stablt termt lsättynä okkeamalla stablsta tlasta (merktty lkulla) el määrtellään ' (4.7) u u' ' θ θ θ' (4.8) (4.9) (4.0) Yhtälö 4.8 on seurausta stä että u = 0. Sjotetaan nämä määrtelmät yhtälöön (4.6) vähennetään saadusta yhtälöstä yhtälö (4.) jollon saadaan t ' ' * ' u D B (4.) Vastaavalla tavalla saadaan uus yhtälö lkemäärälle (jätetään lsäks merktyksettömänä os term jossa esntyy härötermen tulo) u ' θ θ' g ' γ u δ g ' γ u (4.) t mssä δ ( θ ) on komonentn aheuttama kasvu kokonastheydessä. Yhtälöryhmästä (4.4) ja (4.)-(4.) saadaan soven reunaehtojen ja muutamen ylmäärästen yksnkertastusten avulla // ratkasu härönoeuden ystysuoralle komonentlle u ' J Ra r r BnI n Ra / 4 / 4 n n n r r os(nπ) (4.) 6

60 Taulukko 4.. Krttsä Rayleghn luvun arvoja vaaata konvektota vo esntyä. Mkäl Ra r 0 Ra //. Mkäl Ra e r vaaa konvekto esntyy ana. r Fyskaalnen tlanne Ra r muuttujat kaks vaakasuoraa levyä joden välssä theäm seos on yläuolella 4 L g γd B dθ 708 d L = levyjen välnen etäsyys kaks vaakasuoraa levyä joden välssä theäm seos on alauolella 4 L g γd B dθ d L = levyjen välnen etäsyys kahden ystysuoran levyn välssä olevan seoksen theys on suurem tosen levyn nnalla 4 L g γd B dθ 0 d L = levyjen välnen etäsyys kaasu absorbotuu vaakasuorassa tasossa olevaan nesteeseen jollon nesteen theys kasvaa kaasu 4 L g dθ neste + luennut kaasu 0 γd B d L = nestekerroksen aksuus ystysuora utk jossa theäm seos on yläuolella 4 0 r γd g B dθ d r 0 = utken säde ystysuora utk jossa theäm seos on alauolella r γd 4 0 g 0 B dθ d r = utken säde ystysuora utk täytettynä huokosella materaallla ja theäm seos on materaaln yläuolella kr 0 g ΕγD B dθ.9 d r 0 = utken säde k = huokosen materaaln ermeablteett k määrteltynä u k γ Χ Ε materaaln huokosuus Lukeneva allo lukeneva allo 4 0 r γd g B dθ 0 dr r 0 = allon säde 6

61 4 gr 0 dθ Ra D (4.4) γ B d mssä n ja Bn ovat vakota dmensoton Rayleghn luku I n ja J n ovat n astesa Besseln funktota ja Ra on ' Yhtälöstä (4.) vodaan osottaa että ystysuuntanen härönoeus u ja samalla ss luonnollnen konvektonoeus u saa nollasta okkeava arvoja kun Ra (4.5) Yhtälöstä (4.4) - (4.5) nähdään että luonnollsen konvekton mahdollsuus kasvaa vomakkaast utken halkasjan kasvaessa. Taulukkoon 4. on koottu er taauksa koskeva kokeellsest varmstettuja krttsä Rayleghn luvun arvoja. Luonnollnen konvekto käynnstyy kun krttnen arvo ylttyy. Luvussa 7 on estetty erätä vaaan konvekton aneensrtokertomen korrelaatomalleja. KIRJLLISUUS.Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge 977. anos (997)..Chandrasekhar S. Hydrodynam and hydromagnet stablty Oford Unversty Press London (96). 6

62 5. DIFFUUSIOKERROIN 5.. Dffuusokertomen arvoja ja laskentamenetelmä 5.. Kaasuseokset Kaasujen dffuusokertomen laskemseks on kehtetty useta teorota. Eräs hyvn tunnettu esmerkk on Chaman-Enskogn teora. Teoran avulla vodaan laskea lähes melvaltasen komonenttarn dffuusokertoma. Pokkeuksena manttakoon olaarsten kaasujen esm. ves ja ammonakk dffuusokertomet jota Chaman- Enskog teoran avulla e voda kutenkaan arvoda. Teoran mukaan dffuusokertomen ruvuus lämötlasta on D B } T / ja kokonasaneesta D B } /. Varsn aljon käytetty yhtälö kaasujen dffuusokertomen määrttämseks on Fullern // esttämä kokeellnen korrelaato: D B.75 Ζ Ρv ) / ( Ρv ) / B / B ) T 0.00 (/ M / M (5.) ( mssä D B (m /s) T(K) kokonasane (N/m ) M ja M B ovat molekyylanot (g/mol) ja ns. rakenteellset tlavuuskasvut Ρv luetaan seuraavasta taulukosta. Taulukko 5. Fullern yhtälön mukaset rakenteellset tlavuuskasvut er kaasulle. Ρv Ρv H 7.07 CO 8.9 He.88 CO 6.9 N 7.9 NH 4.9 O 6.6 H O.7 Ilma 0. SO 4. N O 5.9 Esmerkk 5.. Määrtetään hldoksdn ja lman välnen dffuusokerron aneessa bar ja lämötlassa 60 C. Käytetään ensn kaavaa (5.). Ρv = 6.9 Ρv B = 0. D B.75.5 (/ 44 / 9) / / 0 ( ) / m / s. 64

63 Määrtetään dffuusokerron lsäks taulukon avulla. Taulukosta 5. luettuna dffuusokerron lämötlassa 8 K on D B = m /s. Yhtälöstä (5.) nähdään.75 että dffuusokerron on verrannollnen lämötlaan suhteessa D ~ T. Saamme ss B DB (.5 K) D (8 K) B el D B (.5 K) m /s m /s Chaman-Enskog teoran mukaan D B } T / jollon saamme taulukkoarvoa käyttämällä vastaavast arvon DB (.5 K).48 0 m /s.90 0 m /s Nesteseokset Nesteden dffuusokertomet ovat suuruusluokaltaan yleensä kymmenentuhatta kertaa enemä kun kaasujen dffuusokertomet. Taulukkoon 5. on kerätty lameden vesluosten dffuusokertoma taulukkoon 5.4 veden dffuusokertoma orgaansssa luottmssa ja taulukossa 5.5 on estetty laajemmn er yhdsteden dffuusokertoma orgaansssa luottmssa. Nesteseosten dffuusokertomet ruvat usen lämötlasta verrannon D B }T mukaan. Sen sjaan ruvuus aneesta on melko vähästä. Nesteden dffuusokertomet saattavat vahdella huomattavastkn seoksen er tosuukslla. Esm. taulukon 5. mukaan seoksessa jossa on en määrä asetona suuressa määrässä vettä on dffuusokerron m /s. Taulukosta 5.4 sen sjaan nähdään että seoksessa jossa on en määrä vettä suuressa määrässä asetona on veden dffuusokerron m /s. Lsäks on huomattava että er lähtessä lmotetaan mtatulle dffuusokertomlle jonkn verran tosstaan okkeava arvoja. Nesteden dffuusokertomen laskentamallt ovat eätarkema kun vastaavat kaasujen laskentamallt. Yks tunnetummsta mallesta nesteden dffuusokertomen määrttämseks on Stokes-Ensten yhtälö D B k BT (5.) 6ογr 65

64 Taulukko 5.. Kokeellsa arvoja kaasujen dffuusokertomelle lmakehän aneessa //. Kaasuseos Lämötla Dffuusokerron (K) 5 ( 0 m /s) Ilma - CH Ilma - H 8 7. Ilma - D Ilma - He Ilma - H O Ilma - CO 8.48 Ilma- etanol Ilma - n-heksaan Ilma - n-hetaan Ilma - bentseen Ilma - tolueen Ilma - -roanol Ilma - butanol Ilma - -butanol CH 4 - H CH 4 - H O CO - O CO - SO H - He H - D H - aseton H - n-butaan H - bentseen N - H O N - O 6. N - SO 6.04 O - bentseen..0 O - sykloheksaan O - n-heksaan O - n-oktaan Freon - Bentseen Freon - Etanol

65 Taulukko 5.. Dffuusokertoma äärettömän lameassa vesluoksessa 5 o C lämötlassa //. Huom.! Konsentraato on ykskössä moola er ltraa. Luennut komonentt Dffuusokerron 9 ( 0 m /s) Luennut komonentt Dffuusokerron 9 ( 0 m /s) rgon.00 Bentseen.0 Ilma.00 Rkkhao.7 Hldoksd.9 Tyhao.60 Häkä.0 setyleen 0.88 Etaan. Metanol 0.84 Etyleen.87 Etanol 0.84 Helum 6.8 Muurahashao.50 Vety 4.5 Etkkahao. Metaan.49 Bentsoehao.00 Ty.88 seton.6 Ha.0 Urea ( ) / 000 Kloor.5 Sakkaroos ( ) (soker) Proaan 0.97 Hemoglobn Taulukko 5.4. Kokeellsest määrtettyjä veden dffuusokertoma orgaansessa luottmessa. Veden moolosuus alle % T = 5 o C / /. Luotn Dffuusokerron 9 ( 0 m /s) Metanol.75 n-butanol 0.56 Etanol.4 Glysern seton 4.56 Tolueen 6.9 Etyylasetaatt.0 Etyylalkohol.4 Ntrobentseen.80 Pyrdn.7 67

66 Taulukko 5.5. Dffuusokertoma orgaansssa luottmssa 5 o C lämötlassa "äärettömän" lameassa seoksessa //. Luennut Luotn Lämötla Dffuusokerron komonentt o C 9 ( 0 m /s) seton Kloroform Bentseen Etyylalkohol 5.0 Etyyleetter 5.4 Etyylasetaatt 5.0 Etkkahao Bentseen 5.09 Bentsoehao 5.8 Sykloheksaan 5.09 Etyylalkohol 5.5 n-hetaan 5. Ha Tolueen 5.85 Etkkahao seton 5. Bentsoehao 5.6 Ves Bentseen Etyylalkohol 5.8 Kamfer Jod 5. Ha Ves 5.4 seton Etyylasetaatt 0.8 Ntrobentseen 0.5 Ves 5.0 Bentseen n-hetaan

67 mssä k B on Bolmannn vako (el ylenen kaasuvako jaettuna vogadron luvulla) T on absoluuttnen lämötla γ on luottmen dynaamnen vskosteett ja r luenneen artkkeln säde. Yhtälöä e voda käyttää seokslle joden luottmen vskosteett on suur. Lsäks luenneen artkkeln täytyy olla kooltaan huomattavast luottmen artkkeleta suurem. Stokes-Ensten yhtälössä tarkastellaan luennutta anetta yhtenä allon muotosena (säde r ) jäykkänä artkkelna joka lkkuu htaast luottmen artkkelesta koostuvan tlan lä. Koska allomanen artkkel lkkuu htaast saadaan noeudella v lkkuvaan artkkeln kohdstuva voma F kuulusasta Stokesn lasta F 6ογ v (5.) r lbert Ensten ehdott että voma on yhtä kun mnus kemallsen otentaaln gradentt. Yhtälöstä (5.) saadaan tällön λ 6ογ v (5.4) r Kemallsen otentaaln määrtelmä yhdelle artkkellle (e ss er moola) on λ λ ( T) k T ln a. o B Ottamalla lsäks huomoon että seos on lamea ( a j v saadaan tulokseks / ) sekä määrtelmä k BT j (5.5) 6ογr Vertalemalla yhtälöä (5.5) ja Fkn dffuusoyhtälöä j D B nähdään että dffuusokerron määrttyy juur yhtälön (5.) mukasest. Elektrolyytt Elektrolyytten dffuusota e voda ajatella elkästään seoksen er komonentten sattumanvarasena Brownn lkkeenä vaan luenneet ont ovat varausten kautta vuorovakutussuhteessa tosnsa nähden. Tarkastellaan esm. ruokasuolaa (NaCl) joka on luennut veteen. Ruokasuola dssosotuu vedessä oneks NaCl Na Cl. Mkäl Cl ja Na lkkusvat täysn sattumanvarasest Brownn lkkeden johdosta 69

68 kulkeutusvat ne tosnsa nähden er noeukslla (katso taulukosta 5.6 Cl :n ja Na :n dffuusokertomet). Elektrolyyttluoksen tulee kutenkn sälyä elektroneutraalsena anakn makroskoosessa melessä jollon seoksen jokasessa kohdassa tulee Cl ja Na onen määrän vastata tosaan. Tällön Cl että Na evät kykene lkkumaan täysn tsenäsest omen dffuusonoeuksensa mukasest vaan ne ovat ruvasa tosstaan. Lsäks luenneen aneen ja luottmen artkkelt saattavat yhdstyä muodostaen uuden tysä molekyylejä (solvaato). Vakka elektrolyytten dffuuso e taahdukaan ss tarkkaan ottaen luvun. mukasella dffuusomekansmlla vodaan nden dffuusota kuvata yhdellä dffuusokertomella. Elektrolyytten dffuusokerron estetään tosnaan muodossa D B (5.6) D D B B mssä D B on dssosotumattoman molekyyln () ja luotn nesteen (B) välnen dffuusokerron ja ovat onn varauksa ja D B ja D B dssosotuneden onen () dffuusokertoma nesteessä. Yhtälön johto on estetty esm. vtteessä //. Esmerkk 5.. Laske ltumbromdn (LBr) sekä lantaanklordn (LaCl ) dffuusokertomet 5 o C vedessä kun luos on lamea. Haetaan L + Br - La + ja Cl - onen dffuusokertomet taulukosta 5.6 ja sjotetaan yhtälöön (5.6): DLBr HO m 9 /s =.8 0 m /s DLaCl HO m 9 /s =.9 0 m /s Yhtälö (5.6) e ole kutenkaan ylesätevä. Elektrolyytten dffuusokertomen arvo ruu esmerkks myös tosuukssta ja lämötlasta. Tosnaan tämä ruvuus vo olla sangen merkttävääkn. Esm. tosuudelle KOH = 0.0 mol/l vedessä on o dffuusokerron D KOH H O (T 5 C) = m o /s ja D KOH H O (T 65 C) = m /s. Ptosuudella KOH =.6 mol/l on D KOH H O (T 65 C) = m /s. Yhtälöä (5.6) ykstyskohtasema malleja on luettelotu esm. lähteessä /4/. o 70

69 Taulukko 5.6. Mtattuja onen dffuusokertoma 5 o C äärettömän lameassa vesluoksessa //. Katon non D B 9 ( 0 m /s) D B 9 ( 0 m /s) H + 9. OH L +.0 F -.47 Na +. Cl -.0 K +.96 Br -.08 Rb +.07 I -.05 Cs +.06 NO -.90 g +.65 CH COO NH 4.96 CH CH C 0.95 N(C 4 H 9 ) 4 H OO B(C H 5 ) Ca SO 4 - Mg CO - La Fe(CN) Taulukko 5.7. Dffuusokertoma kntelle anelle //. Systeem Lämötla ( o C) Dffuusokerron (m /s) Uraan volframssa lumn kuarssa Tna lyjyssä Kulta lyjyssä Kulta hoeassa ntmon hoeassa Snkk alumnssa Hoea alumnssa Kadmum kuarssa Hl teräksessä Knteät aneet

70 Myös knteden aneden välllä vo taahtua dffuusota. Tämä lmö on kutenkn hyvn hdas verrattuna kaasujen ja nesteden dffuusoon. Taulukosta 5.7 nähdään että knteden aneden dffuusokertomet ovat merkttäväst enemä kun nesteden dffuusokertomet jotka taasen ovat suuruusluokaltaan kertaa enemä kun kaasun dffuusokertomet. Knteden aneden dffuusokertomet ruvat vomakkaasta lämötlasta mutta van hekost aneesta. 5. Dffuusokertomen mttaamnen Dffuusokerron vodaan mtata usealla er tavalla. Esmerkks erlasten nterferometren avulla vodaan dffuusokerron mtata yl 0.%:n tarkkuudella. Tarkma menetelmä käytettäessä lattestokustannukset ovat yleensä suuret. Seuraavassa esttelemmekn kaks helost rakennettavaa dffuusokertomen mttausmenetelmää. Menetelmen tarkkuus e ole yhtä suur kun esm. nterferometrmttauksssa. Tosaalta käytännön ongelmssa muutaman rosentn tarkkuudella mtatut dffuusokertomet ovat täysn rttävä. 5.. Vällevykenno Vällevykenno (dafragmkenno) on edullnen rakentaa ja sen tarkkuus on arhammllaan 0.%:n luokkaa //. Kuva 5. esttää tällasta latetta. Vällevykennolla vodaan tutka kaasujen ja nesteden dffuusokertoma sekä kalvojen aneensrtoomnasuuksa. Kenno koostuu kahdesta er sälöstä joden välssä on huokonen levy ta huokonen kalvo. Sälötä sekotetaan jatkuvast jotta sälöhn syntyven konsentraatorajakerrosten vakutus saadaan mnmotua ja tällön tosuudet sälössä ovat mahdollsmman tasasest jakautuneet. Sekotus vo taahtua esm. yörven magneetten avulla. Kokeen loussa sälöt tyhjennetään ja seosten konsentraatot mtataan. Kennoa suostellaan dettäväks sten että vällevy on vaakasuorassa. Mkäl sälöden konsentraatoden rajakerroksa e erkseen lasketa kannattaa theäm seos asettaa ylemään sälöön. Tällön aneensrto levyn nnalta sälöön vo taahtua ats sekotuksen aheuttaman akotetun konvekton avulla nn mahdollsest myös tehostetust vaaan konvekton avulla. Tämän johdosta konsentraatorajakerrokset enenevät jollon nnan konsentraato on lähemänä seoksen keskmäärästä konsentraatota. Dffuusokertomen määrttämseks arvodaan että dffuusovrtaus levyn ssällä saavuttaa noeast statonäärtlan vakka konsentraatot sälössä muuttuvatkn ajan funktona. Tätä monssa aneensrto-on ongelmssa käytettyä aroksmaatota valtsevasta tlasta kutsutaan tosnaan nmellä seudostatonäärtla. Konsentraatota tarkastellaan ss levyn ssällä akasta ruvasena mutta ajasta rumattomana. Sälössä oleven seosten konsentraatot kästellään sen sjaan ajasta ruvasena mutta tehokkaasta sekotuksesta johtuen yleensä akasta rumattomana. 7

71 yörvä magneett sekotusta varten seos vällevy seos magneettset sekotussauvat Kuva 5.. Dffuusokertomen määrttämnen vällevykennolla. Dffuusovrran theys levyn lä lasketaan yhtälöstä j Ε σ D B d d ja koska ss dffuuso levyn lä tarkastellaan ajasta rumattomana saadaan j Ε DB ( ) (5.7) σ L mssä L on levyn aksuus Ε levyn huokosuus σ on levyn ns. mutkttelevuus on :n konsentraato seoksessa hetkellä t ja vastaava konsentraato seoksessa. Ε Ε Yhtälö (5.7) on Fkn dffuusoyhtälö kerrottuna tekjällä. Term ottaa σ σ huomoon huokosen materaaln aheuttaman vaaan vrtausnta-alan enentymsen sekä artkkelen kulkeman matkan kasvun verrattuna suoraan etäsyyteen. Kästtelemme yhtälön erusteta tarkemmn luvussa 0. Tosaalta :n vrtaama seokseen on sama kun :n keräytymnen seoksessa el d j V dt (5.8) 7

72 mssä V on sen kennon osan tlavuus jossa seos sjatsee ja on levyn okkntaala. Vastaavast seos on tlavuudessa V ja vomme krjottaa anetaseen myös muodossa j d V (5.9) dt Jaetaan yhtälö (5.8) tlavuudella V ja yhtälö (5.9) tlavuudella V vähennetään yhtälöt tosstaan ja sjotetaan saatuun tulokseen yhtälö (5.7) jollon saadaan d( dt ) D B α( ) (5.0) mssä kennovako Ε α σ L V V ruu anoastaan kennon omnasuukssta mutta e ollenkaan mtattavsta yhdstestä. setetaan dfferentaalyhtälölle (5.0) seuraava alkuehto: t = 0 o o Integrodaan yhtälö (5.0) ja käytetään yllä olevaa alkuehtoa jollon saadaan ln (t) o o (t) D B αt el dffuusokerron vodaan määrttää yhtälöstä o o D B ln αt. (t) (t) (5.) Mttaamalla konsentraatoero (t) (t) er ajan hetkllä vodaan dffuusokerron laskea kaavasta (5.). Kennovako α määrtetään tekemällä dffuusomttaus sellasella seoksella jolle dffuusokerron entuudestaan tunnetaan. Krjotetaan velä yhtälö (5.) muotoon jossa anoa mtattava suure ajan lsäks on (t). Komonentn keskmääränen konsentraato on ( V. (5.) o o V ) V V 74

73 Hetkellä t on :n kokonastase ( V V ) V V (5.) tosn sanoen ja V + V ovat ajasta rumattoma. Ratkastaan o ja yhtälöstä (5.) ja (5.) ja sjotetaan yhtälöön (5.) jollon saadaan loutulokseks o D B ln. (5.4) αt (t) 5... Kallaarutk Kaasujen dffuusota vodaan mtata myös menetelmällä jossa vällevy korvautuu tkällä vaakasuoralla kallaarutkella (kuva 5.). Kokeen alussa venttl avataan ja kaasut alkavat dffundotua kaean utken lä sälöstä toseen. Kokeen loussa sälössä oleven kaasujen konsentraatot mtataan. Mttaukssta saatavan dffuusokertomen johto taahtuu samalla tavalla kun vällevykennon taauksessa. Yhtälöt (5.) ja (5.4) ovat ss käyttökelosa myös kallaarutklattestolle kunhan huomataan että kallaarutkelle kuvaa utken okknta-ala ja L utken tuutta (L V ja LV mssä V ja V ovat sälöallojen tlavuudet) sekä Ε σ. venttl seos seos Kuva 5.. Dffuusokertomen määrttämnen kallaarutkmenetelmällä. 75

74 KIRJLLISUUS. Fuller E.N. Shettler P.D. and Gddngs J.C. new method for redton of bnary gas-hase dffuson oeffents Ind. Eng. Chem. 58 (5) 9-7 (966).. Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge 977. anos (997).. Red R.C Prausnt J.M Sherwood T.K.: Proertes of gases and lquds. Panos MGraw-Hll New York (977). 4. Horvath.L. Handbook of aqueous eletrolyte solutons L.L.Horvath/Ells Horwood Lmted (985). 76

75 6. DIMENSIONLYYSI 6. Dmensoanalyysn teora Seuraavassa estettävä dmensoanalyysn teora ohjautuu vtteeseen //. Oletetaan että olemme mtanneet jostan lmöstä luvut ja 4 mtkä lttyvät kukn tettyyn fyskaalseen suureeseen. Tavallsest olemme knnostuneta yhdestä mtatusta suureesta ja yrtämme löytää sen ruvuuden musta: = f( 4 ). Ensmmänen havantomme on se että argumentt vodaan jakaa kahteen ryhmään ruen stä tavasta mten nhn ltetyt luvut on fyskaalsest saatu. Ensmmäsen ryhmän suureta kutsumme rmäärsuureks jota ovat fyskaalsen järjestelmämme erussuureet (massa tuus aka lämötla ja sähkövaraus) el suureet jota e voda elkstää yksnkertasemaan muotoon. Prmäärsuureden rnnalla on tonen ryhmä suureta jota kutsutaan sekundäärsuureks. Näden suureden numeroarvoa e saada suoraan mllään oeraatolla joka van vertaa ntä suoraan erusykskkösuuresn vaan menetelmä on monmutkasem. Sekundäärsuureden mttaus taahtuu laskutomtusten avulla rmäärsuuresn ohjautuen. Esmerkks määrtettäessä noeutta mttaamme matkan ja tähän kuluneen ajan ja jaamme nämä luvut keskenään. Nyt on kutenkn olemassa tetty rajotus nlle oeraatolle jotka vodaan tehdä määrtettäessä sekundaarsuureet. van kuten rmäärsuureden osalla tulee suhteden äteä mttayksköstä rumatta. Ss esmerkks rmäärsuureden osalta tulee kahden tuuden mttalukujen suhteen olla sama rumatta stä mkä tuusykskkö on valttu. Samon sekundäärsuureden osalla tulee kahden esmerkksuureen välsen suhteen olla sama rumatta stä mtä erusykskköjä käytetään. Tämä merktsee stä että jos jonkn nesteen vskosteett on kaks kertaa nn suur kun jonkn tosen nesteen tulee tämä verranto sälyä vakka käytettäsn tosa erusmttaykskötä. Systeemt jotka evät noudata tätä vaatmusta ovat dmensoanalyysn ulkouolella. Ss suureden mttalukujen suhteella on absoluuttnen merktys ja tämä dea medän tuls ystyä kääntämään matemaattseen muotoon. Merktään rmäärsuureta α ja ϕ:lla. Prmäärsuureden mttaukset on yhdstelty tetyllä tavalla jollon ne antavat mtan sekundäärsuureelle. Estämme tämän kombnaaton funktonaallla symbollla f el tämä sekundäärsuure on f( α ϕ) Olkoon nyt tästä sekundäärsuureesta kaks mttaustulosta f( α ϕ ) ja f( α ϕ ). Muutetaan nyt erusykskköjä sten että luku joka mttaa :n on nyt vastaavast yα ja ϕ. Vaatmuksemme suhteden absoluuttsesta merktyksestä tarkottaa nyt seuraavaa 77

76 78. ) y f ( ) y f ( ) f ( ) f ( ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α Tämän yhtälön tulee olla vomassa kaklla arvolla α ϕ ; α ϕ sekä y ja. Haluamme ratkasta tästä yhtälöstä funkton f. Krjotetaan yhtälö muotoon. ) f ( ) f ( ) y f ( ) y f ( ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α Dfferentodaan tämä yhtälö :n suhteen: ) f ( ) f ( ) y ( v f ) y ( u f ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α mssä on merktty u ja v. Sjotetaan tähän = y = = jollon saadaan. ) f ( ) ( f ) f ( ) ( f ϕ α ϕ α ϕ α ϕ α Tämän tulee äteä kaklla arvolla α ϕ ja α ϕ. Ss antamalla α ϕ :n vahdella ja tämällä samalla α ja ϕ vakona saadaan f f vako mssä on merktty =. Integromalla tämä yhtälö saadaan f = C vako mssä C on α:n (=α ) ja ϕ:n (=ϕ ) funkto el C = C (α ϕ). Tostamalla sama äättely alottamalla se dfferentonnlla y ja :n suhteen saadaan loullseks tulokseks f = C a α b ϕ (6.) mssä a b ja C ovat vakota. Yhtälö (6.) on hyvn tärkeä. Sen mukaan jokanen sekundäärsuure joka toteuttaa vaatmuksen absoluuttsten suhteden merktyksestä on votava esttää rmäärsuureden otenssen tulon muodossa. Esmerkks noeus mtataan määrtelmän mukasest jakamalla määrätty matka määrätyllä ajalla. Ptuuden eksonentt on nn

77 muodon lus yks ja ajan eksonentt mnus yks ja noeuden dmensomuoto on LT -. Tutktaan nyt mtä yhtälön (6.) sanoma merktsee kun tutktaan mttaven suureden välsä yhteyksä. Oletetaan nyt ss että mellä on funktonaalnen ruvuus tettyjen mtattujen suureden välllä josta osa vo olla myös dmensollsa fyskaalsa vakota. Tästä funktonaalsesta ruvuudesta oletamme että se on sellasta muotoa että se ätee muodollsest lman muutosta funkton muodossa kun erusmtta-ykskköjen kokoa muutetaan mllä tahansa tavalla. Yhtälöä jolla on tämä omnasuus kutsutaan dmensoanalyyttsessä melessä täydellseks. Tämä olettamus yhtälön muodosta on tärkeä ja dmensoanalyys soveltuu van tämän tyysn yhtälöhn. Koska olemme knnostuneta van suureden dmensollsesta muodosta medän e tarvtse jaotella mtattava suureta dmensollssta vakosta. Merktään muuttuja α ϕ ψ yhteensä nätä olkoon n kaaletta ja oletetaan että näden välllä on funktonaalnen ruvuus ε ( α ϕ ψ) = 0 (6.) Tämä yhtälö merktsee että jos sjotamme suureta α ϕ vastaavat numeroarvot akolleen yhtälö toteutuu. Nyt se asa että tämä yhtälö on dmensoanalyyttsessä melessä täydellnen merktsee stä että yhtälö ätee edelleenkn vakka sjotamme shen luvut suuresta α ϕ ψ mtattuna toslla muutetulla erusmttayksköllä. Koetetaan nyt muotolla tämä ajatus täsmällseen matemaattseen muotoon. Olkoon käytetyt erusyksköt m m m... jota olkoon m kaaletta. Tarkastellaan suureen laskemsta näden erusmttayksköden avulla; merktään erusykskköhn lttyvä lukuja a a a... a m :llä. Suure sen numeroarvo lasketaan näden erusteella = f(a a a... a m ). Mutta jotta suure täyttäs suhdevaatmuksen tulee funkton f olla yhtälön (6.) muotoa el m m Ca a a Κ a. (6.) Muutetaan nyt erusmttaykskötä m m m... sten että uudet mttausluvut ovat a a a... Merktään ':lla kysesen suureen lukuarvoa tässä uudessa erusmttaykskköjärjestelmässä el ss ' C( a ) ( a ) ( a ) Κ( Jakamalla tämä yhtälö uolttan yhtälön (6.) kanssa saadaan m a m ) m. 79

78 m ' Κ. Vastaavast muden suureden osalta α' Λ ψ' α ψ α ψ α ψ Κ Κ αm ψ m α ψ. Luvut (...) ovat knteät suureen laskemseen lttyvät otensst samon luvut (α α α...)... ja (ψ ψ ψ...) suuresn α...ψ lttyen. Koska yhtälö (6.) on dmensoanalyyttsessä melessä täydellnen tulee sen toteutua myös luvulla ' α' ϕ'...ψ' el ε( ' α' ϕ'...ψ') = 0 (6.4) α α α ψ ψ ψ m m m m m m ε( Κ Κ α... Κ ψ) 0 (6.5) Yhtälö (6.5) tulee toteutua kaklla... arvolla samon kaklla otenssella...; α α...; ψ...ψ m. Koetetaan nyt selvttää mtä tästä vaatmuksesta seuraa. Dfferentodaan :n suhteen muut detään vakona ja sen jälkeen sjotetaan kakk = =...m. Tuloksena tästä saadaan ε ε ε ε αα ϕϕ Κ ψψ 0. (6.6) α ϕ ψ / Otetaan käyttöön muuttujat " α " α ϕ " ϕ.. ψ " ψ. *). Tällön ätee ketjusäännön mukaan ε ε d " " d / α ε ε " " " / ϕ ja muut vastaavast. Sjottamalla nämä yhtälöön (6.6) saadaan ε ε ε ε " α" ϕ" Κ ψ" 0. (6.7) " α" ϕ" ψ" / ψ *) Jos jokn luvusta α ϕ.. on nolla e tätä termä tule yo. yhtälöön ja muunnosta e tarvta. 80

79 " α" Määrtellään suhdeluvut.. jota vodaan tää nyt uusna ψ" ψ" muuttujna ψ":n rnnalla. Nätä on yhteensä n- kaaletta. Vomme ss krjottaa ε( " α" ϕ".. ψ") ε(ψ" ψ".. ψ"). Vomme nyt osottaa että okealla uolella oleva funkto on rumaton ψ":sta. Tämä taahtuu sten että osotamme että sen dervaatta ψ":n suhteen on nolla. Dervomalla saadaan ε ψ "...n ε " ε Κ ψ" α" ϕ"... " α"... ε α " " ϕ"... ε ϕ " " α"... el ε ψ "... ε ε ε ε " α" ϕ" Κ ψ" ψ" " α" ϕ" ψ" mssä sulkulauseke okealla uolella on nolla yhtälön (6.7) erusteella. Ss funkto ε( ψ" ψ"...ψ") on tse asassa ruvanen van luvusta... n- joten vomme krjottaa ε( " α"... ψ") ε( ψ" ψ"... ψ") ξ(... n ). (6.8) Luvut... n- ovat dmensottoma erusmttaykskön m suhteen. Tämä tarkottaa että jos muutamme mttaa m sten että stä vastaava mttaluku a tulee a :ks evät luvut... n- muutu. Nähdäksemme tämän tutktaan esmerkknä lukua. Määrtelmän mukaan " ψ" ψ / / ψ mkä kaavan (6.) nojalla vodaan krjottaa myös muotoon m C a a...a m ( ψ ψ ψm C a a...a ( ψ m / / ψ / m C (a ) a...a m ( ψ ψ / ψ ψ m C (a ) a...a ( mkä osottaa että luku e muutu vakka mttaykskköä m muutetaan ts. kun stä vastaava mttaluku a muuttuu a :ks. ψ m 8

80 Mutta me olemme kyllä osottaneet yhtälö (6.8) että funkto ξ(... n- ) on denttnen funkton ε( ) kanssa joten jos luvut α...ψ ovat sellaset että yhtälö (6.) ätee seuraa tästä että tällön myös ξ... ) 0. (6.9) ( n Tämä on samantyynen yhtälö kun yhtälö (6.) sllä erotuksella että yks argumentt on hävnnyt funktosta ja yks rmäärsuure argumentesta. Tostamalla edellä suortettu äättelyrosess lähten yhtälöstä (6.9) ts. dfferentomalla ξ :n suhteen todetaan että argumentten luku vähenee jälleen yhdellä. Samalla todetaan että jäljelle jäävät argumentt ovat dmensottoma erusmttaykskön m suhteen akasemman erusmttaykskön m lsäks. Tätä rosessa vodaan lmesest jatkaa kunnes rmäärsuureet ovat kokonaan elmnotuneet. Jokasen rmäärsuureen elmnont vastaa yhden argumentn ostumsta joten vmesen vaheen funktossa on argumentteja enää n-m kaaletta. Mten tämä elmnont stten taahtu? ensmmäsessä elmnonnssa muodostmme suhteta α / / ψ ψ / ψ / ψ jne. Ja vastaavast seuraavlla elmnontkerrokslla muuttujen... n- suhteen jne. Ss toteamme että muuttujen vahdot taahtuvat van kahdella tavalla joko otenssn korotus ta juuren otto. On lmestä että näden muuttujavahdosten kombnaato on estettävssä alkuerästen muuttujen otenssmuotojen tulona. Täten olemme tulleet seuraavaan tulokseen. Jos yhtälö ε( α ϕ...ψ) = 0 on dmensoanalyyttsessä melessä täydellnen yhtälö tällön ratkasulla on myös muoto F( Ο Ο... Ο ) 0 (6.0) n m mssä Ο :t ovat n-m rumatonta tuloa argumentesta α ϕ...ψ (yhteensä n) ja jotka ovat dmensottoma erusyksköden (m...m m ) suhteen. Tätä tulosta kutsutaan Buknghamn ο-teoreemaks //. Yhtälö (6.0) vodaan anakn eraatteessa ratkasta jonkn tulon tekjän suhteen: Ο ε Ο Ο.. Ο ). (6.) ( n m 8

81 6. Dmensoanalyysn sovellutus aneensrtokertomen määrttämseks Kun vrtaava kaasu ohttaa nesteen nnan muodostuu nnan äälle ohut lamnaarnen kerros muutosvyöhyke ja sen jälkeen turbulenttnen vyöhyke. Turbulenttsessa vrtauksessa yörtetten lkkumnen on noeata ja sen seurauksena aneensrto on myös noeaa aljon tehokkaamaa kun molekyläärnen dffuuso lamnaarsessa kerroksessa. Kuva 6. esttää veshöyryn osaaneen er etäsyyksllä nnasta. Jos tehdään koe lämmtetyllä levyllä jota jäähdytetään ohtse vrtaavalla lmalla vodaan mtata lämötlarofl rajakerroksessa. Kuva 6. esttää erään tällasen mttaustuloksen. Vertaamalla tätä kuvaa kuvaan 6. havataan samanmuotosuus lämötla- ja osaaneroflessa. Usemmten lämmönsrtomttaukset ovat aljon helommn suortettavssa kun aneensrtomttaukset ja sks jo elkästään nätä kuva katselemalla tulee meleen ajatus syvällsemmästä analogasta näden mttauksen välllä. Muuttujat jotka tarvtaan kuvaamaan ylestä lämmönsrtorobleemaa ovat karakterstnen tuus l noeus u theys θ lämötlaero ΧT tlavuuden laajenemskerron α maan vetovoman khtyvyys g absoluuttnen el dynaamnen vskosteett γ lämmönjohtavuus κ lämmönsrtokerron ja omnaslämö. Funktonaalsessa muodossa ruvuus on φ(l uρδtβ g ηλα ) 0. Kuva 6.. Veden höyrystymnen ymärövään lmaan //. 8

82 Kuva 6.. Lämmönsrto kuumennetusta levystä ohtse vrtaavaan ymärövään lmaan //. Tässä on kymmenen muuttujaa n = 0 ja nähn ssältyy neljä rmäärsuuretta erusdmensota el m = 4. Ss ο-termejä tulee olemaan n - m = 0-4 = 6 kaaletta. Kussakn ο -termssä =...6 tulee olla yks tosstaan okkeava muuttuja. Eräs käytännöllnen taa on tää tetty määrä muuttuja samona ja muutella van yhtä nstä. Menettelemällä nän vodaan krjottaa Ο = a u b θ κ d ΧT = ΖL a (LT - ) b (ML - ) (MLT - π - ) d π mstä seuraa yhtälöt tuntemattomlle eksonentelle ab ja d: M: + d = 0 L: a + b - + d = 0 T: -b -d = 0 π:- d + = 0 Tämän ratkasuna saadaan d = = - b = - ja a = -. Ss λδt. ρu (6.) Π Vastaavast muodostetaan Ο = a u b θ κ d α mnkä ratkasuks tulee a = b = = d = - el 84

83 Ο θu α. κ (6.) Vastaavast muut luvut tulos on Ο Ο 4 g u γ θ u (6.4) (6.5) Ο 5 (6.6) κ Ο 6 θu κ. (6.7) Dmensotonta lukua ο 5 kutsutaan Nusseltn luvuks: Nu κ joka kaavan (6.) mukaan vodaan esttää muodossa Nu = f( Ο Ο Ο Ο 4 Ο 6 ). Tuloa Ο 4 Ο 6 kutsutaan Prandtln luvuks γ Pr κ käänteslukua / Ο 4 Reynoldsn luvuks θ u Re γ ja tuloa Ο Ο Ο (/ ) Grashofn luvuks Ο 4 Gr αg θ ΧT αg ΧT. γ µ Jälkmmäsen yhtälön saamseks on käytetty vskosteetten välstä yhteyttä γ θµ. Ideaalkaasulle α / T jollon saadaan 85

84 g ΧT Gr T. µ Käyttämällä nätä lukuja vodaan Nusseltn luku esttää esmerkks muodossa Nu = g(re Pr Ο Ο ). Tämän temmälle e dmensoanalyysllä äästä. Pakotetun konvekton taauksessa vodaan ajatella että muuttujlla ΧT α ja g e ole merktystä jollon dmensottoma muuttuja on anoastaan Ο 4 Ο 5 ja Ο 6. Tällön dmensoanalyys antaa tulokseks Nu = F(Re Pr). Tarkastellaan tämän jälkeen massan srtoa akotetun konvekton taauksessa. Muuttujat jolla ajatellaan olevan vakutusta asaan ovat karakterstnen mtta theys θ dffuusokerron D B dynaamnen vskosteett γ noeus u ja aneensrtokerron k. neensrtokerron on tässä määrtelty yhtälöllä N θ u k( θ θ s s s ) mssä alandeks s vttaa ntaan jolta aneensrto taahtuu N on massavrran theys (kg/m s) ja θ komonentn osatheys (kg/m ) jollon k:n dmenso on m/s. Kuten tulemme huomaamaan luvussa 7 on olemassa mutakn taoja määrtellä aneensrtokerron. Funktomuodossa yhtälö on f( θ D B γ u k) = 0 mkä ssältää kuus muuttujaa ja kolme rmäärsuuretta. Ss Ο -termejä on kolme. Muodostetaan nämä seuraavast Ο Ο a b o o o ΖL (ML ) (L T ) (ML T ) ΖM L a b θ D Bγ T a b o o o ΖL (ML ) (L T ) (LT ) ΖM L a b θ D Bu T a b o o o ΖL (ML ) (L T ) (LT ) ΖM L T a b Ο θ D Bk ja ratkasemalla a b kullekn Ο :lle saadaan tulokseks Ο γ θ D B Ο u D B 86

85 Taulukko 6.. neensrto-on lttyvä dmensottoma muuttuja. Dmensoton muuttuja Sherwoodn luku Sh kl D B tyyllnen muuttuja aneensrtokorrelaatossa Shmdtn kuku S µ D B ruu van aneomnasuukssta (aneensrtokorrelaatot) Prandtln luku γ Pr κ ruu van aneomnasuukssta (käytetään lämmön- ja aneensrrn analogan yhteydessä) Lewsn luku Le D B θ κ Pr S ruu van aneomnasuukssta S määrtellään usen myös Le!! Pr Reynoldsn luku Re ul µ käytetään akotetussa konvektossa gχθ Grashofn luku Gr l käytetään vaaassa konvektossa θµ määrtelmä okkeaa heman lämmönsrto-on määrtelmästä Rayleghn luku 4 l g Ra γd B dθ d käytetään vaaassa konvektossa määrtelmä okkeaa lämmönsrtoon määrtelmästä Nusseltn luku Nu l κ käytetään lämmön- ja aneensrron analogan yhteydessä Péletn luku Pe ul D B kuvaa konvekto- ja dffuusonoeuden suhdetta Stantonn luku k St u tosnaan muuttujana korrelaatossa = omnaslämö vakoaneessa D B = dffuusokerron g = maan vetovoman khtyvyys k = aneensrtokerron l = karakterstnen mtta u = vrtausnoeus = vrtauksen suuntanen koordnaatt = konvektolämmönsrtokerron κ = lämmönjohtavuus (neste ta kaasu) µ = knemaattnen vskosteett γ= dynaamnen vskosteett θ = theys. 87

86 Ο k D B. Tulo Ο Ο - on Reynoldsn luku luku Ο on Shmdtn luku γ S θ D B ja luku ο on Sherwoodn luku Sh k. D B Ss ätee ε( Ο Ο Ο ) = ξ( Ο Ο Ο - Ο ) = ξ(s Re Sh) = 0 ja ratkasemalla tästä Sherwoodn luku Sh = f(re S). Ss akotetun konvekton taauksessa olemme osottaneet että Nu = F(Re Pr) ja Sh = f(re S). Kysymme nyt ovatko funktot F( ) ja f( ) samat ta lähesessä ruvuudessa tosnsa ja jos ovat mten sllon mantut dmensottomat luvut ovat tarkkaan ottaen määrtelty? Vastaukset nähn kysymyksn saadaan tutkmalla lähemmn massan- ja lämmönsrron dfferentaalyhtälötä ja vertalemalla ntä keskenään. KIRJLLISUUS. Brdgeman P.W. Dmensonal nalyss (9).. E. Bukngham Phys. Rev (94).. Treybal R.E. Mass Transfer Oeratons. anos MGraw-Hll (968). 88

87 7. INEENSIIRTOKERROIN 7. neensrtokertomen määrtelmä Vahtoehtonen menetelmä luvussa -4 estetylle dfferentaalyhtälöden ratkasuhn erustuvalle lähestymstavalle on kuvata aneensrto-ongelma aneensrtokertomen (käytetään myös termä massansrtokerron) avulla. van kuten lämmönsrto-ossa vodaan lämövrran laskemseen käyttää yksnkertasta mallyhtälöä jossa lämövrran theys q on suoraan verrannollnen lämmönsrtokertomeen ja ajavaan vomaan Χ T el q ΧT vodaan aneensrtolmö kuvata yhtälöllä J kχ (7.) mssä anevrran theys on suoraan verrannollnen aneensrtokertomeen k (m/s) ja ajavaan vomaan konsentraatoeroon. neensrtokerronta käyttävässä yhtälössä vodaan vahtoehtosest käyttää ajavana vomana esm. osaane-eroa osatheyseroa ta moolosuuseroa. Tällön aneensrtokerron k e ole kutenkaan denttnen yhtälön (7.) k:n kanssa. Yhtälön (7.) mukasta aneensrtomalla käytetään yleensä tlanteessa jossa aneensrto tarkasteltavalta nnalta taahtuu tasamääräsenä ta rttävän lähellä tasamäärästä tlannetta. neensrto nnan kohdalla vodaan ss ajatella taahtuvan elkästään dffuusomekansmn mukasest mutta nnan ulkouolella vovat myös konvektovrtaukset vakuttaa merkttäväst aneen kulkeutumseen. Erässä tlantessa mallyhtälön (7.) mukanen aneensrtokerron ruu vomakkaast konsentraatosta. Tällasssa taauksssa on ehkä tarkotuksenmukasemaa muotolla aneensrtoyhtälö uudelleen sten että aneensrtokertomen ruvuus tosuudesta on vähemmän merkttävää. Luvussa 7.4 menettelemme nän. u 0 Konsentraatorajakerros 0 0 () χ χ Knteältä nnalta vrtaukseen srtyvää komonentta. Kuva 7.. Seoksen komonentn konsentraatorajakerroksen muodostumnen nnan yl vrtaavaan seokseen. Kuvaan rrettyjen rajakerrosten nuolten tuudet kuvaavat konsentraaton suuruutta. χ = konsentraatorajakerroksen aksuus. 89

88 Tarkastellaan kuvan 7. mukasta tlannetta jossa tasonnan yl vrtaa homogeensta seosta (komonentt ja B) vasemmalta okealle. Vrtauksen kulkessa tason yl kehttyy vrtaukseen noeusjakauma (e estetty kuvassa). Mentäessä rttävän kauas - akseln suunnassa os nnasta saavuttaa vrtausnoeus kutenkn vakonoeuden u 0. Pnnan ja sen kohdan jossa lkman saavutetaan noeus u 0 välstä etäsyyttä kutsutaan nmellä rajakerroksen aksuus. Vrtausmekankassa rajakerroksen aksuus määrtetään yhtälöllä u( χ u ) 0.99 u 0 mssä χ u on noeusrofln rajakerroksen aksuus ja u 0 on vrtausnoeus rajakerroksen ulkouolella. Kuvassa 7. srtyy komonentta nnalta vrtaukseen jollon alun ern homogeenseen seokseen (tosuus alussa :n suuntaan vako) muodostuu vähtellen konsentraatojakauma. neensrrossa vodaan konsentraatorajakerroksen aksuudeks χ määrttää () s ( χ s () 0 ) 0.99 mssä s on konsentraato nnalla ja 0 on konsentraato rajakerroksen ulkouolella. Kuvan 7. mukasest rajakerroksen aksuus kasvaa -suunnassa. Rajakerroksen aksuuden määrttämnen luvun 4 teoran avulla on melko vaatva tehtävä. Monssa käytännön taauksssa tyydytään sen sjaan laskemaan aneensrto nnalta yhtälön (7.) mukasella malllla. Tällön aneensrtokerron k ssältää tarvttavan nformaaton rajakerroksen luonteesta. Kuvan 7. mukasessa taauksessa yhtälön (7.) konsentraatoero määrtetään nnan konsentraaton ja rajakerroksen ulkouolsen konsentraato välsenä erona el Χ s 0 ja korrelaatoyhtälössä esntyvällä noeudella tarkotetaan rajakerroksen ulkouolsta noeutta. Jos rajakerroksen ulkouolsta noeutta ja konsentraatota e esnny (esm. utkvrtaus) vodaan noeutena ja konsentraatona käyttää vrtauksen keskmääräsä arvoja. 7. Esmerkkejä korrelaatoyhtälöstä neensrtokerron lasketaan yleensä ns. korrelaatoyhtälöstä joka on usemmten saatu joko aneensrtomttaukssta ta eäsuorast lämmönsrron mttausten kautta. Korrelaatota vodaan myös kehttää luvun dfferentaalyhtälöden ratkasujen avulla. Korrelaatoden avulla yrtään ss kuvaamaan monmutkasa lmötä yksnkertasella tavalla. Korrelaatoden huonona uolena manttakoon että nden tarkkuus e ole ana kovn hyvä erkostaauksa on lukemattoma ekä ana vo olla 90

89 varma onko korrelaato sovellettavssa tarkasteltavaan taaukseen. Yläätänsä aneensrtokertomen korrelaatota on huomattavast vähemmän tarjolla ja ne ovat eätarkema kun lämmönsrtokertomen korrelaatot. Taulukossa 7. on annettu esmerkkejä erästä aneensrtokorrelaatosta. Taulukon yhtälöden tarkkuus on tyyllsest non 0-0%:n luokkaa // mutta merkttäväst suuremmatkn vrheet ovat mahdollsa. Korrelaatoyhtälössä käytetään tavallsest dmensottoma muuttuja kuten Sherwoodn luku (Sh) Reynoldsn luku (Re) Shmdtn luku (S) ja Grashofn luku (Gr). Dmensottomat muuttujat on määrtelty luvun 6 taulukossa 6.. Esmerkk 7.. Ilmaa joka ssältää veteen hyvn lukenevaa kaasua () johdetaan sylntermäseen kolonnn (halkasja d = 0 m) kuvan 7.a osottamalla tavalla. Vettä (B) valutetaan kolonnn reunolla alasän. Veskerroksen aksuus on l =0.07 m ja noeus u = m/s. Ilma on erttän hyvn sekottunut ana ves-kaasu rajannalle ast. Ilman ja veden rajannalla veden ajatellaan olevan kylläsessä tlassa absorbotuvan aneen suhteen (veteen luenneen kaasun tosuus ' joka on er suur kun tosuus kaasussa katso luku.)). bsorbotuvan kaasun dffuusokerron vedessä on D B = m /s. Kunka tkä tulee kolonnn korkeuden h olla jotta kaasun keskmääränen konsentraato ostuvassa vedessä on 0% kylläsestä tlasta ( ')? uhdasta vettä uhdstunutta lmaa uhdasta vettä οdl u ( h ο d d k ' ()( lman ja kaasun seos ' +d οdl u ( d lmavrta (a) vettä johon on luenneena kaasua (b) Kuva 7.. Kaasun absorto lmasta veteen. Haetaan taulukosta 7. sova korrelaatoyhtälö aneensrtokertomelle el yhtälö Sh 0.69 Re S( / 9

90 Sjottamalla dmensottomen lukujen määrtelmät saadaan D k B u µ 0.69 µ D B 0.5 u 0.69 D B 0.5 Korrelaatoyhtälön avulla vältymme tarkastelemasta aneen konsentraatojakaumaa veden ssällä sylntern säteen suunnassa. Yhtälö on kutenkn ns. akallnen(lokaal) yhtälö joka ruu tarkasteltavasta kohdasta. Kuvassa 7.b on estetty sylnterstä dfferentaalnen matka d sylnterstä. Kuvan merkntöjen mukaan vodaan anetase lukenevalle kaasulle vedessä krjottaa muodossa ' d l u ( οd l u ( οd d k ()( 0 ο (7.) d mssä valuvan veden okknta-alan ο dl laskemsessa on otettu huomoon että d == l. Lsäks valuvan nesteen noeus u on sen verran suur että anevrran ystysuora komonentt lasketaan suoraan termstä u ekä dffuusota ystysuunnassa oteta ss huomoon. Yhtälössä konsentraato () kuvaa veteen luenneen yhdsteen säteen suunnassa keskmäärästä tosuutta kohdassa. Kun u ja l detään vakona vodaan yhtälö (7.) krjottaa muotoon d ' k lu d Sjotetaan aneensrtokertomen k korrelaato edellseen yhtälöön ja ntegrodaan el josta saadaan ( h) d ' 0 h d lu ud ( B d ln ' h ' 0 D.8 l h u B 0.5 Ratkastaan korkeus h h ln h ' l u.904d B 4 (7 0 m) 0.0 m/s ln m / s Ζ 0.( m 4.8 m 9

91 Käytämme jatkossa yhtälön (7.) mukaselle aneensrtokertomelle merkntää k' sllon kun aneensrto nnalta vodaan tarkastella taahtuvaks tasamääräsenä. neensrto nnan kohdalla taahtuu tällön ss lähnnä dffuusomekansmn avulla mutta nnan ulkouolella vovat myös konvektovrtaukset vakuttaa aneensrtoon merkttäväst. neensrtokerron k' vodaan eraatteessa löytää esm. lämmön- ja aneensrron analogan kautta. Yhtälössä (7.) k tarkottaa ss ylesest mhn tahansa tlanteeseen lttyvää aneensrtokerronta; se vo vastata tasamäärästä aneensrtotlannetta ta se vo vastata jotan muuta tlannetta esm. äärmmästä taausta J B = 0. Jälkmmäsessä taauksessa määrtelmän (7.) mukasen aneensrtokertomen ruvuus konsentraatosta on monest merkttävää. Tällön on käytännöllsemää muotolla yhtälö (7.) uudelleen sten että aneensrtokertomen ruvuus seoksen tosuudesta on vähäsemää. Estämme tämän lähestymstavan luvussa Lämmön- ja aneensrron analogset dmensottomat muuttujat Luvussa.. tarkastelmme lämmön- ja aneensrto-on dfferentaalyhtälöden välstä analogaa. Jatketaan analogatarkastelua velä aneensrtokertomen osalta. Esmerkk 7.. Luvun esmerkssä. alotmme rajakerrosvrtaukseen lttyvän analogatarkastelun. Sovelletaan esmerkssä saatuja tuloksa aneensrtokertomen ja lämmönsrtokertomen välsen analogan selvlle saamseks. nevrrantheys J vodaan lausua nnalla seuraavast J DB k'(s 0 o ). (7.) mssä aneensrtokerron k' vastaa tasamäärästä aneensrtotlannetta J =-J B. Tarkkaan ottaen medän tuls velä määrtellä uus aneensrtokerron joka vastas tlannetta M J = - M B J B el tlanne jossa u = 0. Emme kutenkaan tee tätä. Käyttämällä esmerkssä. määrtettyjä dmensottoma suureta Ξ ja Z (yhtälöt (.57) ja (.60)) vodaan yhtälö (7.) krjottaa seuraavalla tavalla 9

92 Taulukko 7.. Erätä aneensrtokorrelaatota (modfotu lähteestä //). Yhtälöden dmensottomat muuttujat on määrtetty taulukossa 6.. Fyskaalnen tlanne Korrelaatoyhtälö Huom! neensrto sälössä olevan nesteen ja snä nouseven uhtaden kaasukulen välllä. Nestettä sekotetaan. 4 / 4 ( P / V ) / d Sh 0. S θµ / d = kulan halkasja P/V = sekotusteho tlavuutta kohden neensrto sälössä olevan nesteen ja snä nouseven uhtaden kaasukulen välllä. Nestettä e sekoteta. neensrto nesteseoksen ja snä kohoaven suuren nestesaroden välllä. Seosta e sekoteta. Sh Sh Gr / / 0. S ätee enlle nesteessä kohoavlle / / 0.4 S ätee kun d Gr kularyälle = kulan halkasja Χθ kaasun ja nesteen välnen theysero 0. m = kulan halkasja Χθ kohoaven nestesaroden ja ymärövän nesteen välnen theysero neensrto nesteseoksen ja snä kohoaven enten nestesaroden välllä. Seosta e sekoteta. Sh. Re S( 4 / 5 = saran halkasja u = saran noeus neensrto valuvan kalvon nnalta kalvon ssälle. Re S( / Sh 0.69 = = ystysuuntanen etäsyys kalvon yläreunasta (e ss kalvon koko korkeus) u = kalvon keskmääränen noeus neensrto tasomasen levyn nnan ja levyn yl vrtaavan lamnaarsen vrtauksen välllä. neensrto utken ssännan ja utken ssällä vrtaavaan turbulenttvrtauksen välllä. Sh Re Sh 0.06 Re / 4 / 5 S S / / = levyn tuus = utken halkasja neensrto lkkuvan yöreän kaaleen nnan ja ymärstön välllä. Vrtaus noudattaa akotettua konvektota. neensrto lkkuvan yöreän kaaleen nnan ja ymärstön välllä. Vrtaus noudattaa vaaata konvektota. neensrto yörvän kekon ja ymärstön välllä. Sh Sh Sh / / 0.6 Re S = allon halkasja / 4 / 0.6Gr S = allon halkasja / / 0.6 Re ϖ S Pätee välllä 00 Reϖ

93 Re ϖ l ϖ µ l = kekon halkasja ϖ= kekon yörmsnoeus (rad/s) Ξ J D B ( o s ). k' (s L Z Z 0 o ) (7.4) mstä seuraa yhtälö k' L Sh D Ξ Z B Z 0. (7.5) Lämmönsrtokerron määrtellään yhtälöllä T q λ α s 0 T T ( o (7.6) mssä q on lämövrran theys nnasta ymärstöön. Käyttämällä dmensottoma muuttuja π ja Z (yhtälöt (.58) ja (.60)) seuraa yhtälöstä (7.6) L π Nu. (7.7) κ Z Z 0 Tässä vaheessa oletamme että reunaehtojen valnta e vakuta tse ongelman ja sen ratkasuun lttyven arametren laatuun. Tarkastelemme ss samaa fyskaalssta ongelmaa kun esmerkssä. mutta matemaattsest erlasella reunaehdolla. Tosn sanoen oletamme että ratkasut (.65) ja (.68) ätevät myös tämän esmerkn reunaehdolla tosn funkto F korvautuu tosella funktolla F'. Lämötlakenttä ja konsentraatokenttä vodaan ss oletuksemme mukaan esttää muodossa π F'(X Z Re Pr). (7.8) Ξ * F'(X Z ReS ) (7.9) Kaavojen (7.5) ja (7.7)-(7.9) nojalla nähdään että knteällä arvolla X=X o vodaan krjottaa Ξ Z π Z Z 0 Z 0 F' * * (X X o 0 ReS ) G(ReS ) Z F' (X X Z o 0 Re Pr) G(Re Pr) (7.0) (7.) 95

94 ja täten olemme saaneet tärkeät tulokset Sh = G(Re S * ) (7.) Nu = G(Re Pr). (7.) Olennanen ero verrattuna luvun 6 dmensoanalyysn antamaan tulokseen on se että molemmssa kaavossa (7.) ja (7.) esntyy sama funkto G( ). Edelleen olemme nähneet mten dmensottomat luvut on tänyt rajakerrosvrtaukseen lttyvässä ongelmassa määrtellä jotta tämä tulos ols mahdollsmman tarkka. Ratkasun saamseks olemme kutenkn joutuneet tekemään mona oletuksa ja yksnkertastuksa. Lsäks on huomattava että esmerkks turbulenttselle vrtaukselle e esmerkn äättely ole suoraan srrettävssä koska turbulenttselle vrtaukselle e ole yhtä luotettava mallyhtälötä. Käytännössä menetellään kutenkn nn että oletamme saman analogan ätevän. Tarkastellaan dmensottomen muuttujen muuntamsta velä heman ylesemmällä mutta ntutvsemmalla tasolla. Kuten luvussa.. estettn lämmön ja aneen aneensrto-ongelmen ratkasut ovat monessa taauksessa lkman denttset kunhan suortetaan seuraavat muunnokset T * κ D B θ. Vahtoehtona osttasdfferentaalyhtälöden kautta saatavlle ratkasulle vodaan lämmön- ja aneensrtotaahtumat kuvata ss myös yhtälöllä q ΧT J k' Χ jollon nästä yhtälöstä saadaan lsäks kuvaus k'. Tarkastellaan seuraavaks mten yo. kuvaukset vakuttavat lämmönsrtokorrelaatoden dmensottomn muuttujn Nu Re ja Pr: L kl Nu Sh κ D * B * 96

95 Re ul Re µ γ µθ µ Pr * S * κ κ D B el avan kuten esmerkn 7. tuloksena saatn nn lämmönsrtokorrelaatossa esntyvä Prandtln luku muuttuu Shmdtn luvuks S * ja Reynoldsn luku sälyy ennallaan. Sen sjaan esmerkssä 7. Nusseltn luku Nu muuttuu aneensrtokorrelaatossa Sherwoodn Sh ekä luvuks Sh *. Käytännön tehtävssä käytetään yleensä ats Sherwoodn luvussa nn myös Shmdtn luvussa esntyvän * dffuusokertomen D B sjasta tavallsta dffuusokerronta D B. Myös vaaassa konvektolämmönsrrossa käytetty Grashofn luku vodaan muuntaa aneensrtotaaukselle // seuraavast gα(t T Gr µ 0 ) gψ( 0 ) µ (7.4) mssä on komonentn moolosuus. Lämmönsrto-on mukasen Grashofn luvun määrtelmässä oleva tlavuuden lämölaajenemskerron α korvautuu aneensrto-ossa tlavuuden tosuuslaajenemskertomella ψ θ. (7.5) θ T Esmerkk 7.. Määrteltäessä lämmönsrtokerronta tlanteessa jossa lamnaarnen vrtaus kulkee tasomasen levyn yl käytetään yleensä hyvn tunnettua korrelaatota / / Nu 0.664Re Pr. Tällön taaukselle jossa anetta srtyy lamnaarnen vrtauksen ja tasomasen levyn nnan välllä saadaan edellä estetyn teoran mukaan ss / / Sh 0.664Re S. Yhtälö on estetty myös taulukossa 7.. On kutenkn huomattava että korrelaato ätee sellasenaan van jos aneensrto nnalla on tasamäärästä. Seuraavassa luvussa estetään menetelmä mten lämmön- ja aneensrron analogan kautta saatua aneensrtokorrelaatota vodaan soveltaa myös taaukseen jossa tosen komonentn anevrta on merkttäväst tosta suurem. 97

96 7.4 neensrtoyhtälö tlanteessa jossa tosen komonentn anevrta on tosta merkttäväst suurem Tarkastellaan aneensrtoa tlanteessa jossa seoksen komonentn B anevrta on huomattavast enem kun komonentn. Tällasessa tlanteessa on monest eäkäytännöllstä käyttää yhtälön (7.) mukasta kuvausta sllä massan srtokerron k saattaa rua vomakkaast seoksen tosuudesta. Seuraavassa johdamme aneensrtotlannetta J == J vastaavan yhtälön jossa hyödynnetään B aneensrtokerronta k'. Kuten luvussa. estettn on taauksessa J B = 0 komonentn todellnen anevrta -dmensosessa tarkastelussa lkman yhtä suur kun dffuusovrta ( J j ) jos B. Tlanteessa J B 0 ätee vastaavast k k' van jos komonentn B moolosuus on lähellä arvoa. Tasamääräselle aneensrrolle -d taauksessa saadaan anevrran theys Fkn dffuusoyhtälöstä el j D B (7.6) J ja taauksessa J == J yhtälöstä (.) el B D B B J r v ln (7.7). L B r Mkäl tarkasteltava ongelma kuvataan käyttämällä aneensrtokertoma käytetään yhtälöä (7.): tasamääränen aneensrto nnalta ( J J aneensrto nnalta kun B ): J k' ( J == J : J k ( B (7.8) (7.9) Yrtämme nyt lmasta aneensrtokertomen k aneensrtokertomen k' avulla. Tätä varten käytämme heman erkosta suhdeoletusta: J (yht. (7.9)) J (yht.(7.7)). (7.0) J (yht.(7.8)) J (yht. (7.6)) Tämän oletuksen mukaan statonäärtlannetta kuvaaven -d mallen (yhtälöt (7.7) ja (7.6)) ratkasujen suhde on sama kun aneensrtokertoma käytäven yhtälöden ratkasujen suhde. Lsäks on huomotava että aneensrtokertoma käyttävssä 98

97 yhtälössä konsentraatota B e enää lasketa tarkkaan annetussa kohdassa vaan B kuvaa taauksesta ruen esm. rajakerroksen ulkouolsta konsentraatota ta vrtauksen keskmäärästä konsentraatota. Yhtälöstä (7.0) saadaan aneensrtokertomen suhteeks k k' ln B B r r (7.) Yhdstämällä yhtälöt (7.9) ja (7.) saadaan loutulos taaukselle J == J : B B J ( r k k'ln. (7.) B r Yhtälö (7.) vodaan krjottaa käyttämällä deaalkaasun tlanyhtälöä myös muotoon B k' J r ln. (7.) RT B r Kuten luvussa manttn anevrtojen suhdetta r e kakssa taauksssa voda määrttää ekslsttsest jollon yhtälöden (7.) ja (7.) ratkasu täytyy suorttaa esm. teromalla. Kun nestettä () hahtuu kaasuun (B) ystytään r kutenkn määrttämään yhtälöllä (.). Sjottamalla yhtälö (.) yhtälöön (7.) saadaan θ Bkaasu M B k' θ nestem B J ln θ. (7.4) RT Bkaasu M B θ nestem B Usemmssa taauksssa kaavojen (7.) ja (7.) termt /r ja /r ovat hyvn enä verrattuna arvohn B B B ja B. Tällön yhtälöt yksnkertastuvat seuraavn muotohn B J k'ln k'ln (7.5) B ja deaalkaasulle 99

98 k' B k' J ln ln (7.6) RT B RT josta vodaan määrttää anevrta. Mkäl määrtetään konsentraato ta osaane e enemmän vrran vakutusta vo ana jättää huomomatta. Yhtälöden (7.5) - (7.6) sjasta tulee tällön käyttää yhtälötä (7.) -(7-). Esmerkk 7.4. Laske hahdutus (kg/s) 60 o C allomasen saran nnasta lmavrtaan joka vrtaa noeudella u 0 = 5 m/s saran ohtse. Vessaran halkasja laskettavalla ajan hetkellä on d = 0.8 mm. Konvektolämmönsrtokertomelle on olemassa mall Nu = Re / Pr /. Ohtse vrtaavan lman lämötla on 40 o C ja suhteellnen höyrynane 60 %. nalogan mukaan aneensrtomallks saadaan Sh = Re / S / (katso myös taulukko 7.). Otetaan aneomnasuudet nnan lämötlassa jollon saadaan u 0d Re 6 µ µ S D.4 0 B Sh 0.6 / / 9. jollon 5 D B.4 0 m /s k' Sh m/s d m Veshöyryn osaane saran nnalla on sama kun 60 o C kylläsen veshöyryn ane o h Höyrynane lmavrrassa: '(60 C) 9.9 kpa. o ι h '(40 C) kpa 4.45 kpa Koska B == / r ja B == / r vomme laskea hahtuvan veden moolvrran theyden yhtälön (7.) sjasta yhtälöstä (7.6) Massavrta on ss J ln mol/m s.459 mol/m s 00

99 m% 8 N M J οd ο (0.8 0 ) kg/s kg/s 7.5 neensrtokertomen määrttämnen konvektolämmönsrtokertomen avulla Useat akotetun konvektolämmönsrron korrelaatot estetään muodossa Nu Re m Pr n (7.7) mssä m ja n ovat taauksesta ruva vakota. nalogamalln mukaan tällön ätee Sh Re m S n (7.8) josta saadaan aneensrtokertomelle m n D B Re S k '. (7.9) neensrtokerron vodaan ss laskea yhtälöstä (7.9). Kehtetään yhtälöä (7.8) kutenkn velä heman eteenän seuraavast Sh n m n S Re Pr. (7.0) Pr Yhdstämällä yhtälöt (7.7) ja (7.0) sekä käyttämällä dmensottomen lukujen Sh Nu S sekä Pr määrtelmä (katso taulukko 6.) saadaan k' D B µ D B κ θµ κ n josta edelleen sevennysten jälkeen seuraa k' θ n Le (7.) 0

100 mssä Le D B θ κ Pr S on ns. Lewsn luku jota kutsutaan venäläsessä krjallsuudessa Lukovn luvuks. Lewsn luku esntyy krjallsuudessa usen myös muodossa Shmdtn luku jaettuna Prandtln luvulla. neensrtokertomen k' määrttämseks yhtälöstä (7.9) tarvtaan mm. Reynoldsn luvussa oleva vrtausnoeus korrelaaton otenssn m arvo sekä mkäl m nn lsäks karakterstnen mtta. Yhtälössä (7.) nätä e tarvta mutta sen sjaan lämmönsrtokerron tulee tuntea. Esmerkk 7.5. Laske hahdutus 4 C veden nnasta kun = 5 W/m K ymärövän lman lämötla on 0 C ja suhteellnen höyrynane ι = 50%. = veshöyry B = kuva lma. Kylläsen 4 C lman arvot saadaan taulukosta.: θ = kg/m θ B =.54 kg/m = J/kgK θ = θ k = = 0 J/m K m / s 0 J / m K Le W / mk Pakotetun konvekton lämmönsrtokorrelaatossa n on melko usen luokkaa /. Valtaan arvo n = 0.. Koska Le on lähellä arvoa yks e en okkeama n:n arvossa aheuta merkttävää vrhettä loutulokseen. Yhtälöstä (7.) saadaan 5 W / m K k' 4 J / m K m / s. Höyrynane veden nnassa on sama kun 4 C kylläsen veshöyryn ane s = Höyrynane ymärstössä o = h ' (4 C) = 98 Pa. ι h ' (0 C) = Pa = 69 Pa Tarkastelemme ss taausta mssä J B = 0 jollon saamme hahtuvan anevrran laskettua yhtälön (7.6) avulla: 0

101 M J M k' ln RT 0.08 kg mol m s 5 0 Pa ln J K 0 molk = kg/m s. KIRJLLISUUS. Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge. anos (997).. Brd R.B. Stewart W.E. Lghtfoot E.L.: Transort henomena Wley New York (960). 0

102 8. SMNIKINEN LÄMMÖN- J INEENSIIRTO KOSTESS ILMSS 8. Märkälämötla Kun kostea kangas asetetaan lmavrtaan asettuu se tetyn ajan kuluttua erääseen tasaanolämötlaan ns. märkälämötlaan ( t m ) joka määräytyy lämmön- ja aneensrron mukaan. Jättämällä kankaaseen sätelemällä ja johtumalla tuleva lämövrta huomoonottamatta vodaan kostean kankaan lämötase statonäärtlanteessa esttää seuraavast t t ) N l(t ) (8.) ( m h m mssä t on lmavrran lämötla ( C) N h on kosteasta kankaasta höyrystyvä vesvrran theys (kg/m s) l( t m ) on veden höyrystymslämö (J/kg) lämötlassa t ( C) *) m ja on konvektvnen lämmönsrtokerron (W/m C). Kankaan nnasta hahtuvalle vesmassalle saadaan yhtälöstä (7.6) k' h N h M h ln (8.) ' RT h (t m ) mssä k' on tasamäärästä aneensrtotlannetta vastaava aneensrtokerron (m/s) ja veshöyryn kosteus ymärstössä el rajakerroksen ulkouolnen höyryn ane on h. Lämmön- ja aneensrtokertomen välsen analogakaavan (7.) mukaan ätee k' n Le (8.) θ mssä otenss n vahtelee yleensä välllä ja θ θ h h θ (8.4) sekä D B θ Le (8.5) κ *) Veden höyrystymslämö ruu lämötlasta seuraavast: l ( t m ) = l ho - ( v - h ) t m = 50 - ( ) t m = t m kj/kg. 04

103 Sjottamalla kaavat (8.) ja (8.) yhtälöön (8.) saadaan M h n h t t m l (t m ) Le ln (8.6) θ RT h '(t m ) mstä havatsemme että lämmönsrtokerron on sustunut os. Yhtälössä (8.6) lämötla T on Kelvnessä. noa tekjä yhtälössä (8.6) joka ruu mttauksen lmavrtausolosuhtesta on Lewsn luvussa oleva otenss n *). Koska Lewsn luku on yleensä lähellä arvoa yks on otenssn n vakutus hyvn en. Märkälämötla t m vodaan ratkasta yhtälöstä (8.6) kun lman tla (lämötla t veshöyryn osaane h ja kokonasane ) tunnetaan. Kääntäen jos lämötla t märkälämötla t m ja ane tunnetaan vodaan yhtälöstä (8.6) ratkasta veshöyryn osaane ja stä kautta lman kosteus. h Esmerkk 8.. Ilman lämötla on t = 0 C ja märkälämötla kosteus kun lman ane on a) = bar ja b) = 0.90 bar. Ratkasemalla yhtälöstä (8.6) höyrynane h saadaan t m = 0 C. Laske lman h '(t )( h m ( t t m e l(t m ) θ M h RT Le n. (8.7) Dffuusokerron D B joka ss ssältyy Lewsn lukuun on esm. yhtälön (5.) mukaan kääntäen verrannollnen kokonasaneeseen D B f (T). (8.8) Taulukosta. saadaan D B (0 C =.0 bar) =. 0-6 m /s. Dffuusokerron samassa lämötlassa mutta aneessa = 0.9 bar on yhtälön (8.8) erusteella D B (0 C = 0.9 bar) = m /s. Tosaalta myös lämmönjohtavuudelle ätee lkman yhtälön (8.8) mukanen aneen ruvuus joten hyvällä tarkkuudella ätee D/κ = g(t). Taulukosta. saamme κ (0 C =.0 bar) = W/mK ja ss D/κ = m K/J. *) Potenss n on sama kun lämmönsrtokaavassa Nu = Re m Pr n esntyvä Prandtln luvun otenss. Se ruu jonkn verran vrtausolosuhtesta el Reynoldsn luvusta. 05

104 Höyrystymslämö ja kylläsen höyryn ane taulukosta.: l ( t m ) = l (0 C) = J/kg h ' ( t m ) = h '(0 C) = 0.07 bar. Otetaan lämötla T keskmääräsenä rajakerroslämötlana Lämökaasteett T = (0 + 0) / = 88.5 K. θ = θ + θ h h = θ ( + h ) (8.9) joudutaan teromaan koska höyrynane h ja stä kautta kosteus ovat tässä vaheessa laskua tuntemattoma. Kun kosteus on alhanen kuten tässä esmerkssä vodaan käyttää lkarvoa θ? θ. Tarvttaessa vodaan lasku tostaa käyttämällä kaavasta (8.7) saatua höyrynanetta. Tässä esmerkklaskussa emme tätä kutenkaan tee. Theyden ja lämökaasteetn laskemsessa teemme ss aroksmaaton θ? θ el? ja?. Tästä aroksmaatosta uolestaan seuraa että θ M h RT? M M h? M M h (8.0) mkä on lukuarvona M 67 J/kg C M h Kaavasta (.) saamme kuvan lman osatheyden a) θ = M RT b) θ = M RT? M RT = =. kg/m? M RT = =.089 kg/m. Lewsn luku taauksssa a ja b: a) Le = θ D κ? θ D κ = =.5 06

105 Olet. n = 0.5 Le -n = Le -0.5 =.07 b) Le = θ D κ? θ D κ = =.05 Le -n =.07. Sjottamalla kakk lukuarvot yhtälöön (8.7) saadaan a) - h = ( ) e (0-0) bar = bar h = ( ) bar = bar = 64 Pa. = 0.60 h - h = = b) - h = ( ) e (0-0) bar = bar h = ( ) bar = bar = 655 Pa. = = Vertaamalla a- ja b-kohdan tuloksa keskenään todetaan että aneella on varsn merkttävä vakutus tulokseen. Tämä on tärkeätä mustaa varsnkn teollsuuslmastontja -rosessmttauksssa mssä vo olla merkttävä al- ja ylaneta normaal-lmakehän aneeseen verrattuna. Johdamme seuraavaks kaavalle (8.6) aroksmaaton jota vo käyttää kun veshöyryn osaane on en lman kokonasaneeseen verrattuna. Ensks toteamme että verrattan hyvällä tarkkuudella ätee *) *) Logartmfunkto ln( )...? kun on en. 07

106 h ln '(t h m ) h '(t ln m ) h '(t m ) h? h '(t m h ) h '(t ) m? h '(t m ) '(t h m h ) h mstä yhtälöä (.7) hyväkskäyttämällä seuraa aroksmaato h ln '(t h m? ) M M h ('(t M ) ) (8.) mssä '( t m ) on lämötlan t m vastaavan kylläsen lman kosteus kun lman kokonasane on. Sjottamalla aroksmaatot (8.0) ja (8.) kaavaan (8.6) saadaan tulos '(t m ) t t m l(t m ) Le n (8.) Ilmalle on Lewsn luku yleensä lähellä arvoa yks joten verrattan hyvällä tarkkuudella Le -n? jollon yhtälöstä (8.) saadaan aroksmaato '(t m ) t t m l(t m ) (8.) Edellä olemme tarkastelleet kysymystä mhn lämötlaan märkä kangas asettuu kun kangas on lämöerstetty muuhun ymärstöön kun lmavrtaan nähden ja kun ajatellaan että kankaan ja lman välllä e taahdu sätelylämmönsrtoa. Kysesessä tarkastelussa on lmavrran tla ysynyt muuttumattomana. Jos sen sjaan kostealla kankaalla kostutetaan lmaa adabaattsest nn runsaast että myös lman tla muuttuu asettuu myös kostea kangas heman toseen lämötlaan. Kutakn lman tlaa (t) vastaa tetty märkälämötla t m joka vodaan laskea yhtälöstä (8.6) ta sen aroksmaatosta (8.) kun lman veshöyryn osaaneet ovat enä lman aneeseen nähden. Melenkntoseen erkostaaukseen tullaan sllon kun lman tla saavuttaa kyllästyskäyrän. Tällön lmavrran ja kostean kankaan lämötlat ovat samat. Tätä lman tasaanolämötlaa kutsutaan adabaattseks jäähtymsrajaks ta myös ns. termodynaamseks märkälämötlaks (t ad ) ja slle vodaan johtaa yhtälö // ad t t ad l(t k ad ) (8.4) Yhtälö (8.4) on lähes täsmälleen sama kun märkälämötlalle johdettu aroksmaatoyhtälö (8.). Kun veshöyryn osaane on en verrattuna lman aneeseen el kosteus 08

107 on en ovat kostean lman omnaslämö kosteaa lmakloa koht ja kostean lman omnaslämö kuvaa lmakloa koht k (= h ) lkman yhtä suuret el? k. Ss taauksessa jossa kosteus on en ja Le? on termodynaamnen märkälämötla t ad lkman sama kun "teknnen" märkälämötla t. Käytännön laskussa vodaan märkälämötla määrttää usen rttävällä tarkkuudella seuraavast: kostean lman märkälämötla on se kylläsen lman lämötla jolla on sama omnasentala (J/kg k.. ) kun tarkasteltavalla lmalla. Mkäl tarkasteltavan lman veshöyryn osaane e ole en lman osaaneeseen nähden ta mkäl märkälämötla halutaan määrttää tarkast on kutenkn käytettävä yhtälöä (8.6) On syytä korostaa louks että sätelyllä vo olla varsnkn rosessmttauksssa oleellsta merktystä märkälämötlan lukemaan ja sten ylesest ottaen märkälämötla ruu myös mttauslatteesta ja -tavasta. Jos lmavrtaus on hyvn en saattaa sätelyn osuus olla huomattava tekjä konvektvsen lämmönsrron rnnalla. m 8. Hahtumnen märältä nnalta kun nta on märkälämötlassa Kakken yksnkertasmmassa knteän aneen kuvausmallssa materaal on nn kostea että sen nnalla on ns. "vaaata" nestettä. Neste e ss ole stoutunut knteään aneeseen. Tällön vomme laskea statonäärtlassa nnan oh vrtaavaan kaasuun (kuva 8.) hahtuvan nestemäärän näärmmn suoraan märän nnan energataseesta mkäl mellä on vrtaustlannetta vastaava lämmönsrtokorrelaato ta lämmönsrtokerron tedossa. t (t m ) Pnnan yl vrtaavan aneen noeusrofl Knteältä nnalta hahtuva "vaaa" neste t=t m Kuva 8.. Vaaan nesteen hahtumnen märältä nnalta oh vrtaavaan kaasuun. 09

108 Mkäl lämmönjohtumnen nnan lä sekä lämmönsätely ovat vähästä saavuttaa märkä nta statonäärtlanteessa luvun 8.. mukaan märkälämötlan. Tällön energatase on yhtälön (8.) mukasest N jollon saadaan l (t ) (t t ) h m m N h (t t m ). (8.5) l(t ) m Kun oh vrtaavan kaasun tla on tedossa saadaan märkälämötla määrtettyä. Yhtälöstä (8.5) saadaan sen jälkeen laskettua hahtuvan massavrran theys lman aneensrtokertomen määrttämstä. Luvussa tulemme tarkastelemaan ykstyskohtasema kuvumsmalleja jossa nnan lämötla muuttuu kuvumsen edetessä neste on stoutunut huokoseen materaaln ja kosteuden srtymnen materaaln lä huomodaan. 8. Pntalämötlan määrttämnen Tarkastellaan kuvan 8.a senämää jonka ulkouolella vrtaavan kostean lmavrran lämötla on T ja kosteus sekä ssäuolella vrtaavan nesteen ta kaasun lämötla on T s. Kosteasta lmasta lauhtuu nestettä senämän nnalle. Merktään lauhteen ntalämötlaa kostean lman uolella kysesessä kohdassa T :llä ja lämötlaa senämän T s T s T T T s T s T T a s b s Kuva 8.. Pntalämötlan määrttämnen a) rvattomalle senälle ja b) rvallselle senälle. 0

109 tosella uolella T s :llä. Tarkasteltavan systeemn energatase okkeaa edellsen luvun tlanteesta snä että nyt tarkasteluun otetaan huomoon senän lä johtuva lämövrta sekä lämmönsrto senän tosella uolella. Märän nnan lämötla e tällön saavuta märkälämötlaa jollon yksnkertasta mallyhtälöä (8.5) e vo käyttää. Krjotetaan lämövrta kosteasta lmasta ulkonnalle (T T ) l(t ) N (8.6) u u u h johtumslämövrta senämässä κ (T s s T s ) (8.7) sekä lämövrta ssännalta (T T ). (8.8) s s s s Yhtälössä (8.6)-(8.8) l T ) on veden höyrystymslämö lauhteen lämötlassa T ( s ssänta-ala u ulkonta-ala u on ulkouolnen (kostean lman uolenen) lämmönsrtokerron ja s on ssäuolnen lämmönsrtokerron κ senämän lämmönjohtuvuus s senämän aksuus ja N h ulkontaan lauhtuvan höyryn massavrran theys. Kuvan 8.a taauksessa s = u. Lauhdekerroksen lämmönvastus jätetään tarkastelussa huomomatta. Statonäärtlanteessa yhtälöden (8.6)-(8.8) lämövrrat ovat yhtä suuret. Elmnodaan lämötla T s yhdstämällä yhtälöt (8.7) ja (8.8) jollon saadaan T Ts s. (8.9) s κ s Yhdstämällä (8.9) ja (8.6) saadaan s u u (T T ) u l (T )N h (T Ts ). (8.0) s κ Mkäl tarkastelemme kuvan 8.b mukasta kohtaa esm. lämmönsrtmessä okkeavat ssä- ja ulkonta-alat tosstaan. Rojen johdosta lsääntynyt ulkonta-ala kasvattaa lämmönsrtoa mutta tosaalta rvat aheuttavat ylmääräsen lämövastuksen. Rvan lämötla okkeaa rvan tyven lämötlasta jollon myös s

110 lauhtumnen rvan nnalta on er suurta kun lauhtumnen rvan tyvessä ta rvattomassa nnassa. Tämän johdosta yhtälöä (8.0) käytettäessä tehollnen ulkonta-ala on enem kun todellnen nta-ala. Tämä vakutus otetaan huomoon ns. ra-hyötysuhteella. Yhtälössä (8.0) rahyötysuhde on yks. Krjotetaan yhtälö (8.0) muotoon jossa rahyötysuhteet on huomotu // s u γls u (T T ) γas u l (T )N h (T Ts ) (8.) s κ s mssä γls on ulkonnan (kuvan) lämmönsrron rahyötysuhde ja aneensrron rahyötysuhde. γ as ulkonnan Merktsemällä G" s (8.) u s κ s vodaan yhtälö (8.) krjottaa muotoon γ T T ) γ M J l (T ) G"(T T ) (8.) ls u ( as h h s mssä M J N. Sjottamalla yhtälö (7.6) yhtälöön (8.) saadaan h h h ' (T ) h γls u ( T T ) γasl (T)M h k' ln G"(T Ts ) 0 (8.4) RT k h mssä T k kuvaa stä keskmäärästä rajakerroslämötlaa mssä aneomnasuudet selvtetään esm. kastestelämötlaa. Kuvan 8.a taauksessa ss γ γ. as ls Yhtälöstä (8.4) vodaan ntalämötla T ratkasta teromalla jonka jälkeen saadaan yhtälöstä (8.9) ratkasu lämövrralle. Jos lauhtumsta e huomoda vodaan T ratkasta suoraan yhtälöstä T γls ut G"Ts. γ G" ls u (8.5) Koska lauhtumsen yhteydessä vaautuu nnalle lämöä on todellnen T yhtälön (8.5) antamaa arvoa suurem. Merktään yhtälön (8.4) vasenta uolta funktolla F(T ). Tehtävänämme on ss etsä funkton F( ) nollakohta

111 F(T ) = 0. Eräs kätevä numeernen ratkasumenetelmä on ns. uoltusmenetelmä: ana se väl jonka äätestessä F:llä on er merkk uoltetaan. Nän saadaan joka askeleella uoleen lyhenevä välejä joden välssä nollakohta sjatsee. Muodostuneet uoltussteet T T T... lähenevät haettua nollakohtaa lm T = T. Esmerkk 8.. Laske ntalämötla ja lämövrta kun 0. T 5K T s K 80 W / m K G" 500 W / m K ja γ γ. u ls as Ratkasun yksnkertastamseks käytetään aneomnasuuksen määrttämsessä kesklämötlana kastestelämötlaa ( T k? 9K). θ θ θ h h Le D B θ / κ / J / m K Yhtälö (7.): k' θ Le n m / s l (T )? l(t ) 70 0 J / kg (tarkemmssa laskelmssa vodaan höyrystymslämö k esttää kaavan muodossa lämötlan T funktona). h Pa Pa. Sjottamalla lukuarvot yhtälöön (8.4) saadaan 80(5 T ) (T - ) = 0 mssä ' h (T ) vodaan laskea kaavasta ' h (T ) ln h '(T ) 0 e(.78(t 7.79) /(T 4.5)). Puoltusmenetelmällä saadaan ratkasuks T = 4.9 K. 4

112 h '(4.9K) Pa. 5 e(.78( ) /( ) Taulukosta. luettuna saadaan sama höyrynane lämötlassa 4.9K (= 5.75 C). Jotta tulos on fyskaalsest okea tulee olla 4 4 (.50 0 Pa ;.67 0 Pa). '(T ) ja tässä taauksessa nän on h h Jos tuloksena saadaan '(T ) tulee lasku suorttaa uudelleen jättämällä term h h N h os el ntalämötla saadaan kaavasta (8.5). Kyseessä on tällön kuva lämmönsrtotaaus lman veshöyryn tvstymstä. Kun ntalämötla T on selvtetty vodaan lämövrrat laskea. - kuva lämövrta u ( T T ) 80(5 4.9)W / m 50W / m - kostea lämövrta N h M h RT 5 k h '(T ) k ln ln h kg m s kg / m s N 6 h l( T ) W / m 4450 W / m - kokonaslämövrran theys q = / u = ( ) W/m = 6700 W/m. Kokonaslämövrran theys saadaan myös kaavoja (8.9) ja (8.) käyttämällä q u G"(T T ) 500(4.9 ) s 6650 W / m. Pen ero tulosten välllä johtuu laskentaeätarkkuukssta ja stä että ntalämötla T = 4.9 K e ole avan tarkka arvo. 4

113 8.4 Ilmavrran tlamuutoksen laskemnen lämmönvahtmessa Kun kostea lmavrta kohtaa nnan jonka lämötla on lman kastesteen alauolella taahtuu veshöyryn tvstymstä ntaa. Ilma ss kuvuu ja samalla jäähtyy. Ilmasta os srtyvä kokonasenergavrta on yhtä suur kun entalavrran muutos m% h (8.6) Χ k mssä Χh k = h k (B) - h k () h k (B) on kostean lman entala lämmönvahdnelementn jälkeen ja h k () on kostean lman entala ennen stä. Vastaavast lmassa taahtuva kosteuden muutos saadaan yhtälöstä m% N m% Χ (8.7) h h u mssä Χ = (B) - () (B) on kosteus lämmönvahdnelementn jälkeen ja () ennen stä. Jakamalla yhtälöt (8.6) ja (8.7) uolttan ja merktsemällä q = ε/ u saadaan Χh Χ k q N h. (8.8) Yhtälö kuvaa kostean lman tlanmuutosta tetyssä kohtaa lämmönvahdnta. On kutenkn syytä korostaa että suhde Χh k /Χ vahtelee lämmönvahtmen er kohdssa koska lauhtumnen ruu vomakkaast lman tlasta. Samon on syytä huomata että lämöä vastaanottavan nesteen ta kaasun lämötla on ersuur lämmönvahtmen er kohdssa ja myös tämä lämötla vakuttaa lämötehoon ja lauhtumseen. Kuvan ja kostean lämmönsrtmen mtotus okkeavat tosstaan snä että valmta kaavoja kostean lämmönsrtmen kokonaskonduktansselle e ole olemassa. Kostean lman lämmönsrtmen ntalämötla joudutaan sen sjaan laskemaan rttävän monessa kohtaa ja tällä tavon saadaan kokonaslämövrta lasketuks ja lämmönvahdn mtotetuks. Esmerkk 8.. Lämmönvahtmesta ulostulevan veden lämötla on K ja vesvrta m% v 60 kg / s. Lämmönvahdn jonka ulkouolnen kokonasnta-ala on 400 m on jaettu laskentateknsest neljään osaan. Laske ensmmäsen vyöhykkeen jälkenen lman tla ja veden lämötla kun kuvalmavrta on m% kg k../s. Ilman alkutla ja muut arvot otetaan esmerkn 8. mukaan. Esmerkssä 8. samme ntalämötlaks T = 4.9 K kokonaslämövrran theydeks q = 6700 W/m ja lauhtumseks N = kg/m s. h 5

114 Kostean lman alkutlan entala on yhtälön (.6) mukaan 6 h k () 006(5 7.5) 0.( (5 7.5)) = J/kg k m 6700 W / m W. Kaavasta (8.6) saadaan entalan muutos Χh k m% kg 6 k.. W / s J / kg k.. ja ss entala ensmmäsen vyöhykkeen jälkeen h k (B) h k () Χh k ( ) J kg k J / kg k.. Lasketaan kaavasta (8.7) kosteusmuutos (400 / 4) Χ ja ss kosteus ensmmäsen vyöhykkeen jälkeen (B) = () + Χ = = Ilman lämötla saadaan kaavasta (.6) t h k C C C el T = ( )K = 47. K mkä ss on lman lämötla tlassa B. Ilma on ss jäähtynyt (5-47.) K = 5.8 K ensmmäsessä vyöhykkeessä. Vastaavast ves on lämmennyt ensmmäsessä vyöhykkeessä ΧT m% K v v v.5 K 6

115 el veden lämötla kohdassa B on T v (B) = ( -.5)K = 9.49 K. Edellsen esmerkn laskua vodaan jatkaa samalla tavon kohdasta B kohtaan C. Ensn lasketaan uus ntalämötla T tlan B arvolla mnkä jälkeen lauhtumnen ja kokonaslämövrta vodaan taas laskea. Tämän jälkeen esmerkn 8. mukasest vodaan laskea lman tlamuutokset kosteus- ja lämötla sekä veden lämötlamuutos. Nän jatkamalla saadaan koko lämmönvahtmen tomnta lasketuks. Laskennan tulos on stä tarkem mtä enemn lämmönsrto-elementtehn lämmönvahdn jaetaan. Edellä kästelty esmerkk vodaan ymmärtää mtottamsen kannalta sten että laskentarosessa jatketaan el elementtejä lsätään nn kauan kunnes haluttu veden alkulämötla ts. haluttu lämmönvahtmen teho saavutetaan. Esmerkks lukuarvot lttyvät erään aerkoneen ostolman lämmön talteenottoon. 8.5 Jäähdytysattern mtotusesmerkk Edellä oleva tarkastelu erustu kostean lman lämmönsrtmen jakamseen useaan osaan. Seuraavassa tarkastellaan srrntä yhtenä kokonasuutena käyttämällä kokemuserästä lauseketta logartmselle lämötlaerolle. Eräs tehdas valmstaa seuraavanlasta Cu-l lamellattera: lamelln vahvuus 0. mm lamelljako.5 mm ja ulkonnan (lamellnnan) ja ssännan (kuarutken nnan) nta-alojen suhde u / s = 7. Kuarutken ( 5/) jako on okttassuunnassa 60 mm ja syvyyssuunnassa 0 mm. Ulkouolnen lämmönsrtonta-ala on. m laskettuna yhtä otsantanelömeträ kohden yksrvselle atterlle. Otsanta-alalla tarkotetaan okknta-alaa jonka lä neste ta kaasu vrtaa välttömäst ennen attera. Ilmavrta m %.4 kg k.. / s tulee jäähdyttää tlasta (5 C ι = 50%) tlaan (8 C ι = 90%) vesglykoljäähdytysatterlla mssä vesglykolluoksen vrtausmäärä on 4.0 kg/s ja tulolämötla -5 C. Mtota jäähdytysatter. Ensmmänen tehtävä on selvttää lauhteen nnan lämötla ssääntulokohdassa (T ) ja ulostulokohdassa (T ). Pntalämötlojen laskemsen jälkeen käytetään tarvttavan ulkouolsen lämmönsrtonta-alan määrttämseks yhtälöä u (8.9) G" π ln Kokemuseräsest on havattu että tehon lausekkeessa 7

116 (T Tv ) (T Tv ) π ln. (8.0) T Tv ln T T v Lämötla T v on ssäuolnen lämötla el vesluoksen lämötla ensmmäsen utkrvn kohdalla ja T v vmesen utkrvn kohdalla (T = 68.5 K = -5 C). Yhtälö (8.0) on saatu modfomalla kuvan lman lämmönsrtmssä ylesest käytettyä yhtälöä sten että ulkouolsen vrtauksen ssään- ja ulostulolämötlat korvataan lauhteen nnan lämötlolla. Estetään laskut vahettan: ) Ilman tlasuureet. hl = Pa = Pa h kl = ( ) = J/kg k.. h = Pa = 965 Pa h k = ( ) = 90 J/kg k... ) Jäähdytysattern teho. m% (h k h k ).4 ( )W 65.7kW. ) Vesglykolluoksen ostumslämötla T v. Olkoon glykoln massaosuus luoksessa 0% jollon ko. vesglykolluoksen jäätymslämötla on -5 C ja omnaslämö v =.65 kj/kgk. % (T T ) el m v v v v T Tv 65.7 K v 4.5 K ss T v = = 7.65 K. 8

117 4) Vesglykolluoksen lämmönsrtokerron. Seoksen (0%) knemaattnen vskosteett on µ v = m /s lämmönjohtavuus κ v = W/mK ja theys θ v = 045 kg/m. θ Pr v µ κ v v v Suortetaan veskytkennät sten että vesglykolluoksen noeus on.5 m/s. Tällön vd Re µ v Nu = 0.07 (Re ) Pr 0.4 = 0.07 ( ) = 57.6 κ g ja ss s Nu W / m K. d 0.0 Manttakoon että uhtaalle vedelle vastaavssa olosuhtessa ols lämmönsrto kerron ollut non 900 W/m K el huomattavast arem kun ves-glykolluokselle. 5) Ulkouolnen lämmönsrtokerron Ulkouolnen lämmönsrtokerron vodaan lkman laskea mantulle lamellatterlle kaavasta u 5.0 v / m / s W / m K mssä. V v on lmavrran otsantanoeus ja o on otsanta-ala. o Valtaan otsantanoeudeks v =.0 m/s jollon u W / m 6) Jäähdytysattern otsanta-ala K. Ilmavrran keskmääränen lämötla (5 + 8)/ = 6.5 C = K ja kosteus = ( )/ =

118 h 0 Pa 76 Pa = (0 5-76)Pa = 9870 Pa θ M kg / m. RT Kostean lman tlavuusvrta V% m% / θ.40 /.89 ja otsanta-ala.0 m / s o V % / v.0 m / s /.0 m / s.0 m. 7) neensrtokerron Ilmavrran keskolosuhdetta (edellä oleva kohta 6) vastaava kastestelämötla on non 0 C (T k = 8.5 K). Otetaan aneomnasuudet tässä lämötlassa olevan kylläsen lman mukaan. θ =. kg/m θ h = kg/m θ = = 57 J/m K. Le = D B θ /κ = / =.88. n Kaavasta (7.) k' Le θ 57 m/s. 8) Konduktanss G". Kaavasta (8.) G" 75.9 W / m K ) Pntalämötlat. Höyrystymslämö l(t )? l(t k ) = J/kg. Pntalämötlat määräytyvät yhtälöstä (8.4). Kun rahyötysuhtelle annetaan arvo yks (ta vomme ajatella myös tlannetta jossa γ γ jollon ulkouolnen nta-ala u vo ssältää ra- ls as 0

119 hyötysuhteen) saadaan ntalämötlalle T 5.4(98.5 T ) (T ) = 0 jonka ratkasuna saadaan T = 8.9 K. Pntalämötla T määrtetään yhtälöstä 5.4(8.5 T ) (T ) = 0 jonka ratkasuna saadaan T = 7.8 K. 0) Ulkouolnen lämmönsrtonta-ala Logartmnen lämötlaero h '(T ) ln h '(T ln π ln lasketaan kaavasta (8.0) ( ) ( ) π ln 7.7 K ln Ulkouolnen lämmönsrtonta-ala ratkastaan kaavasta (8.9) u m ) Pattern rvsyys el syvyys. Otsanta-alaks valttn (kohta 6).0 m joten yhtä rvä koht ulkouolsta lämmönsrtontaa on.0. =.4 m. Putkrven lukumääräks saadaan syvyyssuuntaan m /.4 m = 5.0. Ss = 5. Olemme tarkastelleet tässä luvussa sellasta lämmöntalteentottoa ostolmasta jonka yhteydessä kosteutta tvstyy vedeks. Kostuttamalla ostolman lämmönsrtontoja vomme vahtoehtosest jäähdyttää tehokkaast ssääntulolmaa //- /4/. 5 5 )

120 KIRJLLISUUS. Lamnen M.J. Kemallnen termodynamkka energateknkassa TKK Sovellettu termodynamkka Raortt no. 90 (996).. Lämmönsrtmen mtotus tom. Lamnen M.J. TKK Sovellettu termodynamkka Raortt no. 00 (997).. Hsu S.H. Lavan Z. Worek W.M. Otmaton of wet-surfae heat ehangers. Energy 4 () (989). 4. Seälä. Lamnen M.J. Entroy analyss of wet-surfae oolng system Internatonal Journal of Energy Researh (998).

121 9. TERMINEN DIFFUUSIO J MUIT ILMIÖITÄ Tässä luvussa estellään erätä sellasa aemmn krjassa esttelemättä jäänetä aneensrto-on lttyvä lmötä joden merktys on yleensä vähänen mutta tetyssä erkostaauksssa ntä e voda jättää huomomatta. Lukuun ottamatta termstä dffuusota lmöt käydään lä van hyvn lyhyest. Huokosen ta knteän aneen ssällä taahtuvaan aneensrtoon lttyvät lmöt tarkastellaan myöhemmn luvussa Termnen dffuuso Termsellä dffuusolla tarkotetaan neste- ta kaasuseoksen komonentten suhteellsta lkettä joka on seurauksena seoksessa olevsta lämötlaerosta *). Termsen dffuuson seurauksena seokseen joka on alun ern yhtenänen kehttyy lämötlaeron johdosta konsentraatogradentt. Tämä konsentraatoero aheuttaa o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o T T Yhtenänen lämötla o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o T T (> T ) Lämövrta sälön lä q q Kuva 9.. lussa (ykäkuva) kahden yhdsteen ( ja o) seos on suljetussa tlassa vakolämötlassa. Systeem on ajautunut tällön tlaan jossa molekyylen tosuus on kakkalla vako. Tämän jälkeen systeemn lä johdetaan lämövrta (q) jollon seurauksena on lämötlaero ja yhdsteden järjestäytymnen uudelleen termsen dffuuson avulla. *) Huom! Tosnaan lämmönjohtumsesta (heat onduton) käytetään vahtoehtosest nmtystä lämödffuusoks (heat dffuson). Tätä e ss tule sekottaa tässä luvussa kästeltävään termseen dffuusoon (thermal dffuson).

122 uolestaan tavallsen konsentraatoerosta johtuvan dffuuson joka yrk tasottamaan konsentraatogradentn. Statonäärtlassa tavallnen ja termnen dffuuso etsytyvät tettyyn tasaanoon keskenään. Termnen dffuuso on uhdas dffuusolmö. Ilmöllä e ole ss mtään tekemstä esm. luonnollsen konvekton kanssa joka aheutuu seoksen theyserosta. Kuvassa 9. on estetty tlanne jossa aluks molekyylt ( ja o) ovat tasasest jakautuneena sotermsessä tlassa. Kun systeemn johdetaan lämövrta el aheutetaan lämötlaeroja järjestäytyvät molekyylt vähtellen uuteen tasaanotlaan jossa molekyylt erottuvat tosstaan enemmän ta vähemmän. Termsessä dffuusossa (bnäärseos) yleensä anavam komonentt kulkeutuu lämötlagradentn suuntasest el ss koht kylmää ja kevyem koht kuumaa. Ilmön olemassaolo havattn ensmmäsen kerran 856 kun Saksalanen Carl Ludwg (86-895) vätt löytäneensä konsentraatoeroja natrumsulfaatt luoksssa otettuna er akosta eätasasest lämmtetystä astasta. Parkymmentä vuotta myöhemmn C. Soret ve tutkmusta eteenän. Termstä dffuusota kutsutaankn usen etenkn nesteden yhteydessä myös nmellä Soret efekt. B kuumennettu latnalanka Kuvassa 9. on estetty eraatekuva Ibbsn käyttämästä koelattestosta vuodelta 9 //. Se koostuu sylntermäsestä lasastasta jonka keskelle on sjotettu kuumennettava latnalanka. Kuumennettu lanka aheuttaa astaan vaakasuunnassa lämötlagradentn. Lattestoon johdetaan homogeenstä kahden kaasun seosta. Seos kulkeutuu htaast ylösän ja se ostuu keskeltä kohdasta B ja reunolta kohdasta. Ibbsn kokeden mukaan reunolta ostuva kaasu ssältää enemmän kaasuseoksen raskaamaa komonentta ja keskeltä ostuva vastaavast enemmän kevyemää komonentta. seos ssään Kuva 9.. Ibbsn käyttämä koelattesto vuodelta 9. Chaman-Enskog-teoran mukaan termselle dffuusolle kaasussa (bnäärseos e ulkosa voma ekä anegradentteja) vodaan esttää T v v B D B DT T (9.) B mssä v ja v B ovat komonentten ja B noeudet ja B moolosuudet D B on tavallnen dffuusokerron ja D T termnen dffuusokerron (ruu mm. moolosuukssta). 4

123 Ottamalla huomoon että j v j B B v B sekä j jb vodaan yhtälöstä (9.) ratkasta komonentn dffuusovrta kun sekä konsentraato- että lämötlagradentt valltsevat samanakasest. Tulokseks saadaan yhtälö T j D B k T T. (9.) Taulukko 9.. Termsä dffuusotekjötä erälle seokslle //. Kaasut Seos lämötlaalue K () 50% D - (B) 50% H () 50% He - (B) 50% H () 50% CH 4 - (B) 50% H () 50% O - (B) 50% N () 50% CO - (B) 50% N Nesteet () 80% CCl 4 - (B) 0% sykloheksaan +. () 50% CCl 4 - (B) 50% sykloheksaan +. () 0% CCl 4 - (B) 80% sykloheksaan +. () 80% bentseen - (B) 0% sykloheksaan -0. () 50% bentseen - (B) 50% sykloheksaan -0.4 () 0% bentseen - (B) 80% sykloheksaan -0.6 () 75% etanol - (B) 5% ves () 40% etanol - (B) 60% ves () 0% etanol - (B) 90% ves () ves - (B) 0.0-M KCl () ves - (B) 0.0-M NaCl Ptosuudet ovat mool % ats KCl ja NaCl luokset 5

124 Suhdetta k T = D T /D B kutsutaan termseks dffuusosuhteeks. Yhtälössä (9.) ( T) ( D) kokonasdffuuso vodaan katsoa koostuvan komonentesta j j j mssä (T) T D T (D) j on termnen dffuuso sekä j B T D on tavallnen dffuuso. Termnen dffuusosuhde k T ruu melko monmutkasest anakn seuraavsta tekjöstä: () molekyylen massojen ja halkasjoden suhteesta; k T kasvaa suhteden kasvaessa () molekyylen välsten vomen luonteesta () komonentten moolosuukssta (v) lämötlosta (kasvaa lämötlojen kasvaessa) k T :n merkk saattaa vahtua tetyssä ns. nversolämötlossa. Koska termnen dffuusosuhde ruu vomakkaast tosuukssta korvataan se yhtälössä (9.) tosnaan ns. termsellä dffuusotekjällä k T B (9.) jonka ruvuus tosuukssta on kaasulle ja myös erälle nestelle vähänen. Taulukossa 9. on estetty erälle seokslle termsen dffuusotekjän arvoja. 9. Muta lmötä Dufour efekt Termselle dffuusolle kääntesestä lmössä seoksen komonentten dffuuso aheuttaa seokseen lämövrran. Ilmötä kutsutaan dffuuso termoefektks ta Dufour efektks. Panedffuuso Panedffuusolla tarkotetaan seoksen komonentn suhteellsta lkettä seoksen anosteeseen nähden kun seokseen kohdstuu anegradentt. Tämän johdosta seoksen komonentt yrkvät erottumaan tosstaan. Panedffuusota hyödynnetään esm. erotettaessa aneta tosstaan sentrfugn avulla jollon seokseen saadaan kohdstettua valtava anegradentteja. Pakotettu dffuuso Pakotettu dffuuso aheutuu kun seoksen artkkelehn kohdstuu ulkonen vomakenttä. Esmerkknä manttakoon tlanne jossa elektrolyyttluokseen kohdstuu sähkökenttä. Termoforees 6

125 Tarkastellaan kuvan 9.. mukasta tlannetta mssä aerosolartkkeln vasemmalla uolella oleva kaasu on kuumemaa kun okealla uolella oleva kaasu. Koska kuumen kaasuartkkelen noeus on keskmäärn suurem kun kylmen on myös nden lkemäärä suurem. Kaasuartkkelen törmällessä aerosolartkkeln kohdstuu aerosolartkkeln tällön nettovoma kuvan 9. mukasest vasemmalta okealle. Tämän johdosta aerosolartkkel kulkeutuu lämmämmästä kylmemään. Ilmötä kutsutaan nmellä termoforees. Termoforeesn vakutus enenee aerosolartkkeln koon kasvaessa. Ilmö on tärkeä ertysest aerosolfyskassa ja - teknkassa //. Esm. eräden ölynerottmen tomnta erustuu termoforees-lmön hyödyntämseen. Kuumaa kaasua erosolartkkel Kylmää kaasua m ( kuuma mv( kylmä v = Nettovoma Kuva 9.. Termoforees. Useamman kun kahden komonentn samanakanen dffuuso Useamman komonentn samanakasen dffuuson tarkastelu on huomattavast monmutkasemaa kun aemmn estetty teora kahden komonentn seoksen dffuusosta. Tosn luvun. määrtelmät ovat käyttökelosa rumatta seoksen komonentten määrästä. Suurn osa myös useasta komonentsta koostuvsta seokssta vodaan tarkastella bnäärsenä. Esm. monssa luoksssa luottmen osuus on rttävän suur jotta vomme tarkastella kunkn luenneen komonentt dffuusota van luottmeen nähden jättäen ss er luenneden komonentten kesknäset vuorovakutukset os tarkastelusta. Tosaalta kun arvomme esm. veshöyryn hahtumsta lman lä vodaan lmaa tarkastella yhtenäsenä seoksena vakka se ss kostuu tyestä haesta argonsta ym. Tosnaan dffuuson tarkastelu bnäärsenä e kutenkaan rtä. Melko aljon käytetty yhtälö useamman komonentn (komonentten määrä on n) dffuusolle on ns. Stefan-Mawell yhtälö lamelle kaasuseokslle y n j y y D j j n ( v j v ) (y J j y jj D j j ) (9.4) 7

126 mssä y on moolosuus. Yhtälössä dffuusokertomet D j ovat bnäärsä dffuusokertoma. Vastaavaa yhtälöä käytetään tosnaan myös nesteseokslle mutta tällön dffuusokertomet evät enää vastaa bnäärsä dffuusokertoma. Tonen käytetty yhtälö on johdettu lneaarsen rreversbeln termodynamkan avulla /4/ j n j D j j (9.5) mssä D j ovat useamman komonentn seoksen dffuusokertoma jotka okkeavat bnäärsstä dffuusokertomsta. KIRJLLISUUS. Grew K.E. Ibbs T.L.:Thermal dffuson n gases Cambrdge Unversty Press London (95).. Cussler E.L Dffuson Mass Transfer n Flud Systems Cambrdge Unversty Press Cambrdge 977. anos (997).. Hnds W.C: erosol Tehnology John Wley & Sons Chhester (98). 4. de Groot S.R. Maur P.: Non-Equlbrum Thermodynams msterdam North- Holland (96). 8

127 0. NESTEEN J KSUN KULKEUTUMINEN KIINTEÄN INEEN SISÄLLÄ 0. Mten neste ja kaasu kulkeutuvat knteän aneen ssällä? Seuraavassa tarkastellaan lyhyest erätä ajatusmalleja stä mten neste ta kaasu vo kulkeutua knteän aneen lä. Malleja on havannollstettu kuvassa 0.. Vaaa kulkeutumnen Yksnkertasmmassa mallssa knteä materaal koostuu lkkuva artkkeleta lääsemättömästä knteästä aneesta sekä suorsta avomsta kanavsta ta utksta (huokossta). Lkkuvat artkkelt kulkeutuvat kanavssa vaaast sten että lkettä rajottaa anoastaan tavallsen dffuuson aheuttama vastus sekä (konvekto)vrtausvastus. Mkäl kanavat evät ole suora huomodaan tämä nn sanotulla mutkttelevuudella joka määrtellään artkkelen todellsen matkan ja suoran matkan välsenä suhteena. Knudsen dffuuso Mkäl kanavan halkasja on en verrattuna artkkelen keskmääräseen vaaaseen matkaan (matka jonka artkkelt kulkevat keskmäärn ennen kun törmäävät tosnsa) ovat törmäykset senän kanssa halltseva verrattuna artkkelen kesknäsn törmäyksn (dffuusovastukseen). neen kulkeutumsta tällasessa tlanteessa kutsutaan Knudsen dffuusoks. Knudsen dffuuson johdosta tetyt seoksen komonentt saattavat läästä materaaln tosa komonentteja noeammn. Pölysen kaasun mall Pölysen kaasun mallssa knteä ane ajatellaan koostuvan hyvn raskasta lkkumattomsta kaasumassta ölyartkkelesta. Knteä materaal on tässä mallssa kaasuseoksen yks komonentt. Lkkuvat artkkelt kulkeutuvat akallaan oleven ölyartkkelen lomtse. Molekulaarnen svlönt Svlönnssä tosen komonentn halkasja on suurem kun huokosen halkasja jollon anoastaan enem komonentt ääsee kulkeutumaan huokosen lä. Pntadffuuso Pntadffuusossa artkkelt adsorbotuvat huokoskanavan nnalle. Ilmötä detään tärkeänä ertysest kaasulle. Nestelle sen merktyksen ajatellaan olevan vähäsem. Pntadffuusota ajatellaan esntyvän huokosssa joden koko on nn en ette edes Knudsen dffuusota enää esnny. Pnnalle adsorbotuven artkkelen lkkuvuus vo vahdella huomattavast. Lkkuvuus ruu mm. adsortoenergan suuruudesta. Myös ntadffuuso vakuttaa seoksen komonentten anevrtojen kesknäseen suuruuteen. dsortolla tarkotetaan aneen keräytymstä tosen aneen nnalle lman että keräytyvä ane tunkeutuu nnan lä. 9

128 a) Vaaa kulkeutumnen kanavssa b) Knudsen dffuuso Pölyartkkel ) Pölynen kaasu d) Molekulaarnen svlönt e) Pntadffuuso f) Partkkelen lukenemnen ja dffuuso Kantaja molekyyl g) Lkkuva kantaja Kuva 0.. neenkulkeutumsmalleja knteän aneen ssällä. 0

129 Partkkelen lukenems-dffuusomall Tässä mallssa e knteässä aneessa ole selketä kanava jota tkn seoksen artkkelt vovat kulkeutua. Partkkelt kulkeutuvat sen sjaan knteän materaaln lä esm. dffuuson avulla kään kun ne olsvat luenneet knteän aneen ssälle. Lkkuva kantaja Kulkeutuvan artkkeln ajatellaan tässä mallssa stoutuvan knteän aneen ssällä olevaan ns. kantajamolekyyln. Kantajamolekyyl ja artkkel kulkeutuvat yhdessä knteän materaaln toseen reunaan jossa kantajamolekyyl rtautuu ja kulkeutuu takasn lähtösteeseen. Malla on estetty seltykseks slle mks aneden kulkeutumnen eräden luonnon kalvojen sekä teollsten kalvojen lä okkeaa erntesllä yhtälöllä lasketusta arvosta. 0.. Esmerkk huokosen aneen rakenteesta - aer ja sen kosteudenstomsomnasuudet Paern knteä anes koostuu -4 mm tkstä ja 0 40 λ m aksusta kudusta jotka muodostavat joustavan kutuverkon. Kutujen väln muodostuu monen muotosa ja kokosa tyhjä tloja el huokosa jotka vovat täyttyä kaasulla ta nesteellä. Kudut ovat utkmasa rakenteta john kostuessaan muodostuu lsäks uusa huokosa. Mkäl aer on täysn kuva nn kutujen ssällä e ole lankaan huokosa tloja. Huokoset jaetaankn usen kahteen ryhmään kudun ssäsn ja kutujen välsn huokosn // //. Lsäks on olemassa kolmaskn huokostyy - suur suljettu ontelo kudun ssällä. Jos kuva kutuverkko latetaan kosteaan lmaan nn ves alkaa adsorbotua kutujen ntohn ja loulta absorbotuu kutuhn. Kokonasuudessaan tätä rosessa kutsutaan sortoks. bsortolla tarkotetaan aneen tunkeutumsta toseen aneeseen tämän nnan lä. dsortossa uolestaan ane kerääntyy tosen aneen nnalle mutta e tunkeudu nnan lä tähän aneeseen. Desorto on uolestaan ylesnmtys käänteselle lmölle jossa ane ostuu nnalta (esm. veden höyrystymnen nnalta). Todellsuudessa on enemmän ta vähemmän eäselvää mllon kyseessä on adsorto ja mllon absorto. Tästä syystä käytetään ylesnmeä sorto. Tosaalta adsorto ja absorto vovat taahtua samanakasestkn tetyssä steessä jollon kokonaslmötä kutsutaan samon sortoks. Paerkudut koostuvat lamelltyysstä rakentesta jotka ymärövät onttoa ydntä. Lamellt rakentuvat mkrokudusta jotka uolestaan rakentuvat alkeskudusta. lkeskutu on ktesten selluloosamolekyylen muodostama nauhamanen rakenne jonka aksuus on n. -4 nm ja tuus n. 0 nm. Mkrokutujen välssä on levymänen

130 amorfnen selluloosakerros. Kuvassa 0. on estetty tavanomanen kuturakenteen kaavakuva. Tarkkoja kuva on vtteessä //. Kuva 0.. a) Suurennuskuva turvonneesta kudusta joka b) rakentuu lamellesta joka uolestaan rakentuu ) mkrokudusta ja amorfssta selluloosalevystä nden välssä /4/. Kuva 0.. Vesmolekyylen adsorto ja tunkeutumnen kahden selluloosamolekyyln väln. Vetysdokset on kuvattu kolmena steenä /5/. Vesmolekyylt vovat tunkeutua van amorfseen osaan mutta evät kudun kteseen osaan. luks vesmolekyylt adsorbotuvat kaklle nnolle ja amorfsten Knteät aneet vodaan jaotella rakenteensa uolesta ktesn ja amorfsn anesn. Ktesllä anella on täysn määrätty säännöllnen rakenne. morfsta anetta vodaan tää nesteenä jonka vskosteett on hyvn suur.

131 selluloosamolekyylen lomaan. Jos kostutusrosessa kosteassa lmassa jatketaan nn rakenteeseen muodostuu uusa huokosa ja nämä huokoset laajenevat kun uusa vesmolekyylejä tunkeutuu materaaln. Tätä lmötä esttää kuva 0.. Vesmolekyyln ja selluloosamolekyyln glukoosykskön hydroksyylryhmän vällle muodostuu vahva vetysdos. Merkttävä määrä lämöä vaautuu kun tällanen sdos syntyy. Kysestä lämöä kutsutaan sortolämmöks. Samanlanen mutta hekom sdos vo muodostua kahden vesmolekyyln vällle kuten kuva 0. esttää. Jos yhden molekyyln aksunen tasanen kerros muodostuu kakken selluloosamolekyylen äälle on kosteus %. (0. moola HO :ta yhtä glukoosykskköä kohden /6/.) Selluloosamolekyylen äälle kerrostuvaa vettä kutsutaan sdotuks vedeks. Sen omnasuudet ovat hyvn erlaset kun nestemäsen veden ja sen lkettä vodaan kuvata vskoelastsena nesteen lkkeenä /7/. Tämän nesteen jäätymsste on nollan alauolella ja sen theys vo olla joa.4 kertaa suurem kun tavanomasen veden theys /8/. Mtään vaaata (el vaaast lkkuvaa) vettä e vo esntyä elle selluloosamolekyylen äällä ole anakn -5 vesmolekyylkerrosta. Täten mtkään kuvausmallt jotka erustuvat tavanomasen nestemäsen veden kallaarvrtaukseen evät äde jos kosteus on alle 6-5%. Vtteen /9/ mukaan uusen adsortontojen muodostumnen lakkaa kosteudessa 5%. Kun veden määrä on rttävän suur alkavat kudut (lamellt) rrota tosstaan. Uusa huokosa jotka täyttyvät nestemäsen veden lsäks höyryllä ja (todennäkösest) lmalla muodostuu lamellen väln. Prosess jatkuu kunnes termodynaamnen tasaano saavutetaan tetyllä kosteudella. Paern vesssällön suuruus ruu tasaanotlassa lämötlasta ja höyryn osaaneesta kosteassa lmassa. Vesmolekyylt jotka tunkeutuvat materaaln alkavat asuttaa kutuja. Kyllästen kutujen halkasja on 5-5% suurem ja tuus -% suurem kun kuven kutujen /0/. Tarkkaa rajaa vestosuudelle jonka yläuolella vaaata vettä vo esntyä aerssa e voda asettaa. Eräs määrtelmä tälle on se vestosuus mssä kudut tulevat kylläsks latettaessa kontaktn vedestä kylläsen kaasun kanssa (suhteellnen kosteus ι = katso kuva 0.4). Tämä vestosuus on hyvn suur ja vahtelee 0-40% välllä. Nän kostessa olossa on kutenkn vakea määrttää tätä rajaa koska höyry helost tvstyy kutuhn. Märässä aerssa yksmolekyläärsenä dettävän veden määrä on -% kuvan kudun anosta. Merkttävä määrä vedestä absorbotuu kutuontelohn n. 5% kutujen senämn ja lout vedestä on huokosssa kutujen välssä //. Termllä sdottu ves tarkotetaan yleensä van kemallsten ntavomen stomaa vettä mutta tosnaan (esm. //) termn ssällytetään myös kallaarsten vomen stoma ves. Sellasella huokosella materaallla jota e koskaan ole kuvattu ovat omnasuudet erlaset kun jossan vaheessa kuvatulla materaallla. Yks syy tähän on se että ensmmäsessä kuvauksessa muodostuu vetysdoksa selluloosamolekyylen vällle ja osa nästä sdokssta e katkea enää jos huokonen materaal kastellaan jälleen. Osa yhden molekyyln kerros

132 uudelleen kastunesta huokossta ysyy suljettuna. Toseks adsorton (kostumnen) ja desorton (kuvumnen) sotermessä esntyy hysterees-lmö. Yks syy hystereeslmöön on se että tasaanon saavuttamnen ve akaa joa useta ävä Kuva 0.4. Paermassan desorto-omnasuudet er lämötlossa //. Kuva 0.5. Paern absorto-soterm lämötlassa T 5 C /4/. 4

133 /5/. Tonen syy lmöön on se että kuvausrosessssa huokosten avomet äät vovat tulla kaeammks ja estää täten vettä ostumasta vakeaääsysemmstä huokossta. Vtteessä /6/ on tutkttu suhteellsen kosteuden ja huokosen materaaln vesssällön välstä ruvuutta desorto-olosuhtessa sellaselle kemallselle mäntymassalle mtä e olla koskaan kuvattu. Vtteessä // käytetään vtteen /6/ tuloksn erustuvaa sortomalla kuvauksen smulontn. Kuva 0.4 esttää tämän malln sorto sotermejä tasaanotlassa er lämötlossa mtattuna. Yksnkertasuuden vuoks käytetään usen samaa sortokäyrää kuvauksen ja kostutuksen smulontn. Kun kuvaus taahtuu noeast tulevat kakk kutunnat kuvks vakka vakeaääsysemmssä kohdssa on velä nestemästä vettä. Vtteessä // yrtään ongelma ratkasemaan transformodulla astekolla mssä kuvauksen dynamkka on otettu huomoon srtämällä vesssällön lmottavaa aksela lneaarsest vasemmalle kertomella 0.5. Vtteessä /4/ on mtattu sorto-soterm aerlle adsorto-olosuhtessa lämötlassa T 5 C kuva 0.5. Tämä soterm esntyy aljon enemmällä vestosuudella kun desorto-sotermt. Tämä johtuu lähnnä hysterees-efektstä ja todennäkösest er aerlaadusta ta mahdollsest myös er mttausmenetelmstä. 0.. Modfotu Fkn yhtälö Tarkastellaan kuvan 0.a mukasta artkkelen vaaata kulkeutumsta huokosen aneen ssällä. Tässä vaheessa teemme erätä muutoksa aemmn käytettyhn symbolehn. Käytännön tehtävssä lasketaan anevrta er materaaln kokonasokknta-ala. Merktsemme tätä vrran theyttä aemmn käytetyllä symbollla J. Moolvrran theys laskettuna materaaln kanaven ta huokosten * okknta-alaa koht saa symboln J * (vastaa aemaa merkntää J). Todellslle noeukslle käytämme yhä merkntöjä u ja v. Käytämme yllä oleva merkntätaoja luvussa 0 ja. nevrta er kokonasnta-ala saadaan ss laskettua yhtälöstä J * * * J ΕJ (0.) * * V mssä Ε on materaaln huokosuus. Vastaavast dffuusovrran theydelle V vodaan krjottaa j * * * j Εj (0.) Mkäl aneen kulkeutumsrett evät ole suora huomodaan tämä nn sanotulla mutkttelevuudella σ joka määrtellään artkkelen todellsen matkan s ja suoran 5

134 matkan välsenä suhteena. Jos esmerkks knteää anetta tarkastellaan yörenä artkkelena ta sylnterenä (kuva 0.6) jotka kulkeutuven artkkelen tulee kertää s οr ο saadaan mutkttelevuudeks σ. 57 mssä r on artkkeln r ymyräkaaren muotosen lkeradan säde. Kuva 0.6. Mutktteleva rett yöreden artkkelen lomtse. Jos lkkuven artkkelen ja knteän aneen välset vuorovakutukset vodaan jättää * huomomatta vodaan esm. dffuusovrran theys j yhdessä mutkttelevassa "kanavassa" laskea suoraan Fk:n yhtälöllä el j * D B. (0.) s Koska konsentraato (s()) saadaan dervonnn ketjusäännön mukaan s s σ s. (0.4) Ottamalla huomoon yhtälöt (0.)-(0.4) saadaan dffuusovrta materaaln kokonasokknta-ala ykskköä kohden laskettua j Ε D B. (0.5) σ Ε Yhtälössä (0.5) olevalle termlle D B D eff ( käytetään nmtystä tehollnen σ dffuusokerron el Fkn dffuusoyhtälö vodaan huokoselle aneelle modfoda muotoon 6

135 j Deff. (0.6) Tarkastellaan seuraavaks yhtälön (.8) mukasta anevrran yhtälöä huokosessa edellä mantun muutetun symbolen el J * v j. (0.7) * Termn j * muuntamnen termks j on jo estetty yllä. Yhtälön (0.) mukasest myös term v tulee kertoa huokosuudella Ε jollon saadaan J v' D eff (0.8) mssä v' Εv. Yhtälöt (0.6) ja (0.8) ovat matemaattsest yhtäläset yhtälöden (.) ja (.) kanssa. Tällön yhtälöden (.) ja (.) ratkasusta saadaan suoraan nätä vastaaven yhtälöden (0.6) ja (0.8) ratkasut kunhan dffuusokerron muunnetaan tehollseks dffuusokertomeks ja seoksen anostenoeus materaaln ssällä kerrotaan huokosuudella. Esmerkk teoran käytöstä on estetty aemmn luvussa 5.. jossa näytmme mten vällevykennon mttaukssta vodaan laskea dffuusokerron D. B Komonentn dfferentaalnen jatkuvuusyhtälö (esm. yhtälö (.6) kun reaktoterm S 0 ) muokkautuu yo. teoraa käyttämällä muotoon Εσ t v ' D eff mssä D B Ε ja σ ovat vakota. 0.4 Daryn yhtälö Nesteen ta kaasun vrratessa huokosen materaaln lävtse ätee alhaslla vrtausnoeukslla seuraava kokemuseränen yhtälö ns. Daryn mall k N (0.9) µ mssä N massavrrantheys laskettuna koko materaaln okknta-alaa kohden (kg/m s) k on materaaln lääsevyyttä kuvaava luku ns. ermeablteett (m ) ja µ on kulkeutuvan aneen knemaattnen vskosteett (m /s). Yhtälön (0.9) mukanen 7

136 ermeablteett ruu anoastaan knteän aneen omnasuukssta mutta e lääsevän aneen omnasuukssta. Kästettä ermeablteett el lääsevyys käytetään aneensrto-ossa usen myös ylesluontosest kuvaamaan materaaln kykyä läästä er yhdstetä. Daryn yhtälö e ole luonteeltaan dffuusoyhtälö vaan se kuvaa nesteen ta kaasun anegradentsta aheutuvaa vrtausta huokosen aneen lä. Yhtälön käytön ylärajaks annetaan vtteessä /7/ väl Re = 0. Jos Reynoldsn luku on tätä rajaa suurem e suhde N ysy enää vakona yhtälön (0.9) mukasest vaan ermeablteett alkaa vähtellen enentyä. Vakka Daryn yhtälö onkn alun ern luonteeltaan emrnen vodaan se johtaa esm. Naver-Stokes lkemääräyhtälöstä. jatellaan knteän aneen huokosten kanaven koostuvan sylntermässtä kaesta utksta ns. kallaarutksta joden säde on r o. Täysn kehttyneelle lamnaarselle utkvrtaukselle saadaan lkemääräyhtälöstä johdettua ns. Hagen-Posseulle lak el yhtälö u ro. (0.0) 8γ Kerrotaan yhtälön molemmat uolet termllä ruvuutta γ θµ jollon saadaan Ε θ ja käytetään vskostetten välstä Koska term Εro Ε θu. (0.) 8µ θ u kuvaa massavrtaa er utken okknta-ala saadaan massavrta er materaaln kokonasnta-ala tulosta Ε θu (sllä tällön yhtälön (0.) Daryn yhtälöä vastaavaan muotoon Ε * ). Vomme krjottaa k N (0.) µ Εro mssä k. Tarkastelua vodaan velä laajentaa ottamalla huomoon esm. 8 mutkttelevuus ja huokoskokojakauma mutta saatu yhtälö alautuu jälleen Daryn yhtälön muotoon. Van ermeablteetn määrttely-yhtälö muuttuu. 8

137 0.5 Knudsen dffuuso ja ölysen kaasun mall Mkäl huokosen kanavan halkasja d on en verrattuna artkkelen keskmääräseen vaaaseen matkaan κ *) m ovat törmäykset senän kanssa halltseva verrattuna artkkelen kesknäsn törmäyksn (tavallseen dffuusovastukseen). Seoksen tosuuserosta aheutuvaa aneen kulkeutumsta huokosen materaaln lä kutsutaan tällasessa tlanteessa nmellä Knudsen dffuuso. Etäsyyksen suhdetta kuvataan dmensottomalla Knudsenn luvulla Kn: κ m Kn. (0.) d Jos Knudsenn luku on en tarkastellaan dffuusota luvun 0. mukasest korvaamalla dffuusokerron tehollsella dffuusokertomella. Jos taasen Knudsenn luku on suur halltsee lkkuven artkkelen törmäykset senän kanssa aneen kulkeutumsta ekä tällön luvun 0. teoraa voda käyttää. Nestelle keskmääränen vaaa matka on suuruusluokaltaan yleensä muutaman Ångströmn (Å) luokkaa. Koska huokoset kanavat ovat usen huomattavast tätä etäsyyttä suurema on Knudsen dffuuso harvon otettava huomoon nesteden kulkeutumsessa. Kaasujen keskmääränen vaaa matka vodaan arvoda seuraavast /8/: κ m k B T ορ (0.4) mssä ρ on dffundotuven artkkelen törmäyshalkasja ja k B Bolmannn vako. Kaasulle κ m vo olla suur verrattuna tlavuuteen jossa kaasu sjatsee. Esmerkks lmalle se on yl 600Å (= 60 nm) normaalssa huoneen lämötlassa ja aneessa. Koska erällä materaalella esntyy tätä enemä huokosa on Knudsen dffuuso kaasulla tosnaan merkttävää. Kneettsen kaasuteoran avulla saadaan määrtettyä Knudsen dffuusokerron (m /s) komonentlle : DK D K d 8RT. (0.5) οm mssä R on ylenen kaasuvako (J/molK) M on dffundotuvan komonentn moolmassa (kg/mol) ja T on absoluuttnen lämötla (K). Myös Knudsen dffuusokerron lmotetaan yleensä tehollsena kertomena *) Keskmääräsellä vaaalla matkalla m κ tarkotetaan matkaa jonka artkkelt keskmäärn kulkevat ennen kun törmäävät tosnsa. 9

138 Ε D K eff D K (0.6) σ joka korvaa Knudsen dffuuson taauksessa D eff :n yhtälössä (0.6). Yhtälöstä (0.5) nähdään kuten Knudsen jo 907 huomas kokeellsest D K e ru kaasun kokonasaneesta kun taas tavallselle dffuusokertomelle D B } /. Lsäks Knudsen dffuusokerron ruu anoastaan tarkasteltavan komonentten moolmassasta mutta e seoksen muden komonentten omnasuukssta (vertaa esm. Fullern yhtälöön (5.)). Mkäl komonentten moolmassat ovat keskenään er suuruset on tällön seoksen er komonentella tosstaan okkeava Knudsen dffuusokerron. Mkäl huokosten halkasja d on suurem kun λ m on lmakehän aneessa olevlle kaasulle tavallnen dffuuso yleensä huomattavast merkttävämää kun Knudsen dffuuso /9/. Mkäl d0. λ m on Knudsen dffuuson merktys huomattavast tavallsta dffuusota suurem. Jos kulkeutuvan artkkeln koko on nn en että se lähestyy huokosen halkasjan kokoa e dffuusota voda tarkastella enää Knudsen dffuusona vaan esm. kuvan 0.e mukasena ntadffuusona. Tosnaan kaasun tla ja huokosten koko on stä luokkaa että sekä tavallnen että Knudsen dffuuso on huomotava. Kaasun dffuusolle huokosessa aneessa on olemassa useama er teorota ja laskentamenetelmä. Ns. ölysen kaasun mallssa (Dusty Gas Model kuva 0.) joka erustuu ääasassa kneettseen kaasuteoraan huokonen materaal ajatellaan ylmääräsenä ja hyvn raskasta ja lkkumattomsta kaasumolekyylestä koostuvana komonenttna kaasufaasssa. Mason /0/ on ylestänyt ja korjannut alkuerästä ölysen kaasun malla. Masonn yhtälö usean komonentn dffuusolle yrk ottamaan huomoon ats seoksen koostumuserosta aheutuvan dffuuson (tavallnen dffuuso ja Knudsen dffuuso) lämötlagradentsta johtuvan dffuuson (termnen dffuuso) sekä anegradentsta johtuvan dffuuson (ane dffuuso). Jätämme yhtälön ylesen muodon tarkastelun väln ja tarkastelemme sen sjaan yhtälön erkostaausta. Bnäärseokselle jonka komonentten kulkeutumnen taahtuu samanakasest sekä tavallsen dffuuson että Knudsen dffuuson johdosta vodaan komonentlle esttää dffuusoyhtälö ölysen kaasun malln mukaan seuraavast: mssä j D ΖD / D eff j (0.7) D (0.8) D D Keff eff Yhtälössä (0.7) on moolosuus. Kokonasdffuusovrran theys j j jb e ole välttämättä nolla sllä Knudsen dffuuson johdosta e yhtälö.4 enää äde. 40

139 Yhtälössä konsentraaot ja moolosuus lasketaan todellsen kaasuseoksen mukaan el ölyartkkeleta e nssä huomoda. Masonn teoraa on laajalt käytetty hyväks er sovelluksssa. Teoran käyttö edellyttää termen D eff ja D K eff kokeellsta mttaamsta. Knudsenn kerron D K eff vodaan määrttää joko mttaamalla D enssä anessa ta mttaamalla lääsevyys (el Daryn malln mukanen ermeablteett k ) yksnään olevalle kaasulle enssä anessa. Molemmat menetelmät antavat saman arvon. Termn D eff kokeellnen määrttämnen on kutenkn jossakn sovelluksssa melko vakeaa. Tosnaan yhtälön (0.7) okean uolen vmenen term jätetään os jollon yhtälö krjotetaan yksnkertasemmassa muodossa (esm. vte /9/) j D. (0.9) 0.6 Pntajänntyksen termodynaamnen tarkastelu Kahden faasn rajannassa on atomen ja molekyylen energatla erlanen kun faasen ssällä. Esm. veden ja lman rajannassa ovat vesmolekyylt suuntautuneet nnan suuntasest muodostaen kään kun ohuen kalvon veden nnalle. Tämä kalvo on hyvn ohut vedelle non yhden ta kahden vesmolekyylkerroksen vahvunen. Jos tarkasteltava systeem ssältää hyvn aljon rajantaa on rajanta kutenkn otettava huomoon termodynaamsssa tarkastelussa. Mten tämä tehdään? Ongelman ratkas akanaan Gbbs. Seuraavassa estämme Gbbsn esttämän ratkasudean. Tarkastelemme kahta faasa a ja b jota vastaavat anemäärät olkoon m a ja m b. Jos faast ovat erllään tosstaan on nden yhteenlaskettu ssäenerga yksnkertasest U = m a u a (T) + m b u b (T) mutta jos faast latetaan keskenään kontaktn e summalauseke enää ole täsmällnen rajantakontaktn johdosta. Summaa tää ss korjata lsäämällä shen korjausfunkto s u s jollon ss U = m a u a (T) + m b u b (T) + s u s. (0.0) Korjausfunktota s u s kutsutaan rajannan ntaenergaks. Rajannan suuruutta on merktty s :llä (m ) ja rajannan ssäenergaa u s :llä. Ssäenergan u s (s=surfae) ykskkö on J/m kun omnasssäenergoden u a ja u b ykskkönä on J/kg. Tässä tarkastelussa nta kästellään ss matemaattsena ntana jonka aksuus ja täten myös tlavuus on nolla. Kaava (0.0) määrttelee ntaenergan ja tarjoaa samalla kenon sen kokeellseks määrttämseks. jatellaan että mellä on hyvn tarkka kalormetr käytössämme ja lämmtämme a +b systeemä yhden asteen verran vakoaneessa. Tällön saamme 4

140 kokeellsest määrtettyä U T ( P kaavasta (0.0) määrttää vodaan mtata ja määrttää. u :n ja kun tunnemme a u T ( P ja b T ( P u s T ( P :n vomme. Tämä on se eraate jonka mukaan ntaenerga Rajannan vakutus entroaan otetaan huomoon kaavan (0.0) kanssa analogsella tavalla Taulukko 0.. Termodynamkan keskesä yhtälötä. Entala: Gbbsn vaaa energa: Helmholn (vaaa) energa: H U V (0.) G H TS (0. ) F U TS (0.) vako lämötlassa ja aneessa : Isotermnen rosess: Θ) ΖG (B) G ( ) (0.4 ) W ( Θ) ΖF(B) F( ) (0.5) W late ( vako aneessa ja lämötlassa kun anoa työmuoto on asuntatyö: G = mn! (0.6) Kemallnen otentaal: Tlavuuden lämötlakerron: Isotermnen komressbltett: G λ h Ts (0.7 ) n τ τ v (0.8 ) ϕ T (0.9) τ T τ T Kokonasdfferentaaleja: τ h h (T ); dh dt τ T d T (0.0 ) u u (T τ); du v dt T ϕ V T dτ (0.) v s s(t τ); ds dt T ϕ V T dτ (0. ) s s(t ); ds dt T V τd (0.) Muta yhteyksä: h τ τ T T T (0.4 ) s T τ T (0.5) s T T (0.6 ) s T τ T u T (0.7 ) λ λ s (0.8 ) τ (0.9 ) T T S = m a s a (T) + m b s b (T) + s s s. (0.40) Lauseketta f s = u s - Ts s (0.4) kutsutan rajannan Helmholn energaks ja se ruu enssjasest van lämötlasta T el f s = f s (T). Helmholn energan muutos kuvaa ulos saatavaa työtä sotermsessä (T = vako) rosessssa (kaava (0.5)). Vastakkasmerkksenä se kuvaa systeemn tehtävää työtä. 4

141 Soveltamalla tätä rajantaan kasvattamalla rajantaa määrällä d lämötlan ollessa vako saadaan tarvttavaks työmääräks dw = d(f s (T) s ) = f s (T)d s. (0.4) Tosaalta tarvttava työ rajannan kasvattamseen määrällä d s kun rajannassa vakuttaa ntajänntys φ (N/m) lasketaan mekankan mukaan dw = φ Lds φd (0.4) s mssä L on venytettävän nnan tuus ja ds venymä. Vertaamalla kaavoja (0.4) ja (0.4) keskenään nähdään että φ = f s (T) (0.44) el ntajänntys φ (T) tarkottaa samaa kun nnan Helmholn energa (huomaa yksköstä että N/m = J/m ). Kaava (0.7) ätee myös ntaenergatermelle el s s T T u s T joten määrtelmästä (0.4) seuraa että f s T u s T s s s s T T s s el f s u s (T) f s (T) T. (0.45) T Ottamalla velä huomoon tulos (0.44) saadaan (T) u s Koska nnalla e ole tlavuutta nn φ φ(t) T. (0.46) T u s (T) h s (T). (0.47) Tutkmalla elkästään ntajänntystä ja sen lämötlaruvuutta vodaan stä ss määrttää rajannan ssäenerga. Esmerkknä tästä on estetty veden ntaenerga er lämötlossa taulukossa 0.. 4

142 Taulukko 0.. Veden ntajänntys er lämötlossa. T/K φ =f s (J/m ) f T s T (J/m ) Kallaarnen vrtaus 0.7. Kallaarnen ane Kun kaks tosnsa sekottumatonta nestettä ta kaasua ovat knteän aneen muodostamassa tyhjässä tlassa kosketuksssa tosnsa on seurauksena ane-ero rajannan yl (esm. neste-kaasu rajanta). Tätä ane-eroa kutsutaan nmellä kallaarnen ane. Luvussa 0.7 estetään kaks erlasta lähestymstaaa kallaaraneen ja nesteen kallaarsen vrtauksen määrttämseks huokosssa: geometrnen ja termodynaamnen lähestymstaa. Geometrsen klasssen lähestymstavan ongelmana on vrtausten arvont kun huokosen materaaln kosteus on en. Termodynaamnen tarkastelu sen sjaan anottaa materaaln ssäenergaa ja ntaomnasuuksa mtkä ovat olennasa hygroskoosten *) ehtojen valltessa ja kun tarkastellaan enä huokosa. Näden efekten vakutus enenee suurella kosteudella jollon termodynaamsen lähestymstavan tulosten tulee lähestyä klasssen tarkastelun tuloksa. Knteän aneen nta vodaan jaotella sen mukaan vetääkö se uoleensa vettä (hydroflnen nta) va hylkkö se vettä (hydrofobnen nta). Mkäl nta on hydroflnen muodostuu nesteen nta koveraks ystysuoraa senämää vasten ja jos nta on hydrofobnen muodostuu nta kueraks (kuva 0.7). Huokoseen aneeseen syntyy kallaarvrtaus kun en huokonen tyhjenee esm. nnalta höyrystymsen seurauksena jollon aneen ssällä olevsta suuremmsta huokossta vrtaa nestettä nähn enemn huokosn (mkäl huokonen ane on nestettä uoleensa vetävää). Klasssessa tarkastelussa ajatellaan materaaln huokonen tla kaeaks utkeks ns. kallaarutkeks. Jos huokosen ssänta on nestettä uoleensavetävä nn nesteen ane avan neste-kaasu rajannan alla ( ) on enem kun kaasun kokonasane huokosessa (kuva 0.8). Pane-erolle el kallaarselle aneelle avomessa sylnternmuotosessa huokosessa jolla on vakosäde r ätee Young-Lalaen yhtälö huo *) hygroskoonen = vettä stova 44

143 φosπ Χ ka (0.48) r huo mssä φ on nesteen ntajänntys. Pane-ero on Χ ka. Jos huokosen ssäntanta on nestettä hylkvä el hydrofobnen nn Χ ka on negatvnen ja π = 90 C. Kosketuskulma π ruu nnan ja nesteen omnasuukssta ja nesteen lkkeen suunnasta *). (a) (b) Kuva 0.7. Pystysuorassa kaeassa utkessa nesteen nta asettuu kallaar- ja gravtaatovomen suhteen tettyyn tasaanokorkeuteen. (a) Nestettä uoleensa vetävässä utkessa (esm. ves lasutkessa) rajanta muodostuu koveraks ja nta asettuu astassa olevan nesteen ntaa korkeammalle tasolle. (b) Nestettä hylkvässä utkessa (esm. elohoea lasutkessa ta ves teflonutkessa) rajanta on kuera ja se asettuu astassa olevan nesteen ntaa alemmalle tasolle Kallaarvrtauksen klassnen tarkastelu Klasssessa nesteensrtomallssa // - // oletetaan että neste tunkeutuu avomeen huokoseen jolla on vakohalkasja. Lsäks kaasun srtymsestä aheutuva anehävö sekä htausvomat jätetään huomomatta. Lkettä vastustaa nesteen ssäsestä ktkasta johtuva anehävö Χ : ktka 8γu Χ ktka (0.49) r tu huo *) Kulma määrtetään joko ns. etenevänä ta eräytyvänä kulmana sen mukaan mstä suunnasta lähestytään tasaanotlaa jossa vrtaus ysähtyy (katso kuva 0.7). Jos mttaus suortetaan etenevänä saadaan yleensä er tulos kun jos se suortetaan eräytyvänä. Tätä kutsutaan kallaarseks hysterees-lmöks. 45

144 mssä γ on nesteen dynaamnen vskosteett tu on tunkeutumssyvyys ja u d tu / dt on keskmääränen tunkeutumsnoeus. Yhtälö (0.49) on Hagen- Poseullen lan yks estysmuoto. Paneden välnen ruvuus vodaan kuvan 0.8 mukasest esttää muodossa Χ Χ. s ka ktka aneastekko s Χ ka Χ ktka lma π w nestesälö materaaln nta Kuva 0.8. Kovera nesteatsaan ää sylnternmuotosen huokosen ssällä jonka ssänta on nestettä uoleensa vetävä. Kuvasta lmenevät myös ane-erot. Sjottamalla tähän yhtälöt (0.48) - (0.49) saadaan φ osπ 8γ(d r r / dt) tu tu s huo huo. (0.50) Tämän yhtälön ratkasu on nmeltään Washburnn yhtälö. Jos kuva huokonen materaal latetaan kosketukseen nesteennnan kanssa on tunkeutumssyvyys Washburn yhtälön mukaan verrannollnen ajan nelöjuureen tu r huo φ osπ ( 4γ s )r huo t. (0.5) 46

145 Klasssessa tarkastelussa neste e ole stoutunut huokosn jollon vaaan nesteen ja höyryn välselle tasaanolle ätee Claeyronn yhtälö d h h dt d (0.5) µ µ T ja lsäks nesteen ja kaasun kokonasaneen ruvuus suhteellsesta höyrynaneesta ι vodaan lmasta Kelvnn yhtälöllä RTln ι (0.5) µ mssä µ omnastlavuus (m /mol) Kallaar-lmön termodynaamnen tarkastelu - nnan kemallsen otentaaln ja stoutuneen nesteen aneen huomomnen Matemaattnen tausta Huokosa materaaleja jotka ystyvät stomaan vettä kutsutaan hygroskoosks. Hygroskoosest sdotun veden (ta nesteen) höyrystymslämö l okkeaa vaaan veden höyrystymslämmöstä l 0. Tämä ero aheutuu sdosvomsta nestemolekyylen ja huokosen aneen molekyylen välllä sekä ntajänntyksestä nesteen ja kaasun rajannassa. Erotusta l l r kutsutaan sortolämmöks. 0 Nestettä stovat huokoset materaalt ssältävät knteää anetta (alandeks ) nestettä () ja kaasua mkä uolestaan koostuu nesteen höyrystä () ja jostan nertestä kaasusta (4). Vastaavat moolmäärät er komonentteja merktään n... n4. Ehto stabllle tasaanotlalle on että Gbbsn energa G heterogeenselle seokselle on mnmssä el G( T n n n n4 ) mn! (0.54) kun lämötla T ja ane (kaasun kokonasane) ovat vakota. on knteän aneen ja nesteen välsen kosketusnnan nta-ala el knteän aneen märkänta ja on neste-kaasu-kosketusnnan nta-ala. Nesteen ja knteän aneen sekä nesteen ja kaasun rajannat vakuttavat nesteen ssäseen tlaan muuttamalla ssäenergaa ja alentamalla anetta mnkä taka sdotun nesteen omnasuuksen kuvaamseen tarvtaan ns. ntafunktota. Tämän vuoks myös faasen välsten ntojen nta-alat huomodaan Gbbsn energassa. Kaasun ja knteän aneen muodostaman nnan vakutus on yleensä merktyksetön. Kosketusntojen nta-alat tarkastellaan 47

146 lämötlan aneen sekä knteän aneen ja huokosssa olevan nesteen anemäären funktona: netasesta seuraa: (T n n ) (0.55) (T n n ) (0.56) n vako n n vako (0.57) n 4 vako mkä tarkottaa stä että funkton (0.54) mnmont vodaan suorttaa tse asassa van muuttujen n ja n suhteen. Johdetaan tasaanoyhtälö komonentten -4 muodostamalle systeemlle ehtojen ( ) valltessa. Yhtälöstä (0.54) saadaan dg(t n n n n 4 ) 0. (0.58) Tosaalta kokonasdfferentaal dg vodaan krjottaa muotoon G G G dg dt d dn T n G n 4 dn 4 G d G n G dn d G dn n Kun anetaseesta (0.57) saadaan dn 0 dn 4 0 dn dn sekä kun lämötla T ja kaasun kokonasane detään vakona (el dt=0 ja d=0) nn yhtälö (0.58) vodaan krjottaa G n dn G dn n G d G d 0 (0.59) Lsäks yhtälöstä (0.55) ja (0.56) saadaan d dt d dn dn dn T n n n d dt d dn dn dn T n n n Sjotetaan d - :n ja d - :n lausekkeet yhtälöön (0.59) jollon saadaan 48

147 G n G n G n G n 0 Kun otetaan huomoon kemallsen otentaaln määrtelmä λ G vastaavast n s G s G nnolle λ ja λ sekä lsäks määrtellään nnan -j nta-ala j nesteen anemäärää kohden a j saadaan n s s λ λ a λ a λ. (0.60) Yhtälöden lyhentämseks merktään nesteen ntojen kemallseks kokonasotentaalks *) λ s s s λs λ a λ a (0.6) jollon yhtälö (0.60) saa muodon λ. λ s λ (0.6) Pane nesteen ssällä eroaa kaasun kokonasaneesta johtuen ntajänntyksstä. Lähtemällä yhtälöstä (0.6) on ltteessä vtteessä // johdettu nesteen ja kaasun välselle ane-erolle (el kallaarselle anelle) ja nnan kemallselle otentaallle yhtälöt RT ln ι(t w r ) s (T w r ) (0.6) M µ µ λ λ s (T w ) µ r (T) T Tµ T r T r(t w r ) µ µ (0.64) RTln ι(t w r ) dt T mssä λ s on nyt ykskössä J / kg nestettä ja µ ykskössä m /kg. w r on kosteussuhde m w r (0.65) m *) Pnnan kemallsesta otentaalsta vodaan käyttää vahtoehtosest nmtystä nnan vaaa energa. Tosnaan (e tässä krjassa) uhutaan elkästään ntaenergasta mutta tällön on varmstettava ette käste mene sekasn nnan ssäenergan kanssa. 49

148 mssä m on kuvan aneen massa ja m on nesteen massa. Maksm kosteussuhde w rma saavutetaan kun kakk huokoset ovat avan täynnä nestettä. Yhtälön (0.64) ntegront suortetaan krttsestä lämötlasta T r lämötlaan T. Jotta yhtälötä (0.64) ja (0.65) votasn käyttää on tunnettava r(t w r ) ja ι T w ) el on ensn tehtävä kaks erusmttausta : ( r Sortolämmön r mttaamnen: Sortolämmön r r(t w r ) mttaus suortetaan sten että materaalnäyte jonka kosteussuhde kokeen alussa on w r0 ja lämötla T 0 latetaan nesteeseen (lämötla samon T 0 ) kalormetrn. Tämän jälkeen mtataan aljonko näyte luovuttaa lämöä ΧU(T w ) kalormetrn kun näyte kastuu Q 0 r0 täysn. Sortolämö saadaan käyrän Χ U(T0 w r0 ) / m dervaatasta (ta esm. rroksen kulmakertomesta) alkukosteuden w r0 suhteen el r(t w r ) 0 r 0 (0.66) w r0 ΧU(T w m ) T mssä m on huokosen kuvan aneen massa kokeen alussa. Tasaanotlan suhteellsen höyrynaneen mttaus: Suhteellnen höyrynane ι ι( T w r ) vodaan mtata sten että materaalnäyte unntaan halutussa lämötlassa ja höyrynaneessa jollon saadaan sen kosteus määrtettyä. Erlasa höyrynaneta saadaan akaseks esmerkks lattamalle umnasen astan ohjalle erlasa suola-ves luoksa joden höyrynane saadaan taulukosta. Mttausten erusteella vodaan laata käyrästöt ι T w ). ( r Käyrästöstä vodaan mahdollsest edelleen laata matemaattset lausekkeen nälle suurelle. Lausekkeden on täytettävä kaks ehtoa. Ensnnäkn on oltava r = 0 ja ι kun T T r. Toseks ntegronnn helottamseks on löydettävä kosteudesta ja r f w r g T ln ι h w r k T. lämötlasta ruvat funktot sten että ( ( ja ( ( Vertalua klassseen teoraan Yhtälö (0.6) on ylestys Kelvnn yhtälöstä (0.5) RTln ι µ. Kun yhtälötä verrataan tosnsa nähdään että Kelvnn yhtälö on tlannetta λ 0 s vastaava yhtälön (0.6) erkostaaus. Kelvnn yhtälön ja ylesätevämmän yhtälön 50

149 (0.6) ero havannollstuu tarkastelemalla kuvaa 0.9. Kuvassa 0.9 ves on enessä ontelossa ja stä ymärö kaks faasrajantaa knteä-ves-rajanta ja ves-kaasu- Kuva 0.9. Suurennos vesmolekyylryhmstä selluloosannalla (kuvan svureunat) ja ves - lma rajakerroksessa (kuvan yläosa) //. Knteän aneen nnolla esntyy elkästään nesteen kaltasa molekyylryhmä (ketjuuntuneet) kun taas kauemana nnasta ves on normaaltlassa jossa esntyy sekä knteän kaltasa (rengasmasa) että nesteen kaltasa vesmolekyylryhmä keskenään sekasn. rajanta. Pnnan hydroflsestä omnasuudesta ja ntajänntyksestä φ johtuen nta kaareutuu aheuttaen veteen alaneen verrattuna ymärövään kaasuun. Rajannat aheuttavat veden aneen enenemsen lsäks myös veden ssäsen rakenteen muuttumsen. Kelvnn yhtälö huomo suhteellsta höyryn anetta laskettaessa van veden ja kaasun aneen ekä ota huomoon muunlasa muutoksa rakenteen energassällössä. Termn λ s merktys yhtälössä (0.6) ruu huokosten geometrasta ja stä mten hyvn huokoset vetävät vettä uoleensa. Yhtälöden soveltamnen vedelle aerssa Eräälle Enso-Gutetn valmstamalle sanomalehtaerlle laatua 45 g / m on mtattu r:n ja ι :n arvot ja laadttu erusmttausten erusteella matemaattset lausekkeet jotka seuraavassa estetään. Nestemäsen veden omnastlavuus on kästelty vakona µ 0 m / kg. Veden moolmassa on M kg / mol ja krttnen lämötla T K. r 5