Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
|
|
- Mikko Kivelä
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön vahtoon, kun taas kvanttmekankassa tarkastelemme tlastollsen entropan muutosta, joka lttyy energatlojen todennäkösyyksen muutokseen. Vodaanko nämä rnnastaa keskenään? Entä mkä mkrofyskaalnen ero työn ja lämmön vahdolla on? Tarkastellaan tlannetta, jossa kvanttmekaansen systeemn Hamltonn operaattor ja sen omnastlat sekä -energat rppuvat jostakn ulkossta parametresta x. Tällön systeemn energan penelle muutokselle δe saadaan δe = δ H = Tr H δρ + Tr ρ δh = Tr H δρ + δh, mssä jälkmmänen odotusarvo on laskettu alkuperäsessä (häröttömässä) systeemssä, ja tlastollsen entropan muutokselle vastaavast δs tl = δ Trρ ln ρ = Tr (ln ρ + 1)δρ = Tr ln ρ δρ, mssä on otettu huomoon ehto Tr ρ = 1 Tr δρ = 0. Valtaan nyt tarkasteltavaks kanonnen joukko, jossa ln ρ = βh ln Z. Tällön δs tl = Tr(βH + ln Z)δρ = β Tr H δρ + ln Z Tr δρ = β Tr H δρ, joten vertaamalla δe:n lausekkeeseen yllä saadaan δe = TδS tl + δh. Tässä Hamltonn funkton varaato vodaan edelleen krjottaa ulkosten parametren varaatoden δx avulla muodossa δh = δx H x, jossa vmestä termä kutsutaan usen ylestetyks vomaks F = H / x. 1
2 Kylln htaassa parametren x muutoksessa kvanttmekaannen systeem pysyy tyypllsest samasa Hamltonn funkton omnastlassa, ekä transtota muhn tlohn tapahdu; tätä kutsutaan adabaattseks muunnokseks. Ertysest pätee ns. Hellmann-Feynmann teoreema energan omnasarvolle, E n x = n Ĥ n x = H n n x n + E n = H x x n, el Hamltonn funkton omnastlan n energan muutos on seurausta pelkästään H :n muutoksesta. Tlalle n vodaan tällön ertysest krjottaa ylestetty voma muodossa F = E n / x, mkä selttää myös termn nmen. Jos esm. jokn x vastaa tlavuutta, on vastaava ylestetty voma dentfotavssa paneen kanssa. Kakkaan olemme näheet yllä, että energan (ylesest e-adabaattnen) muutos vodaan kanonsessa joukossa krjottaa muotoon δe = TδS tl F δx, jossa olemme käyttäneet tlastollsen entropan ja ylestetyn voman kaavoja. Kun tätä verrataan termodynamkan ensmmäsen pääsäännön muotoon δu = TδS termo δw, nähdään, että konsstenss saavutetaan, kun dentfodaan keskenään H = E sekä systeemn ssänen energa U Tlastollnen ja termodynaamnen entropa Aemmn kästellystä materaalsta: kanonsen jakauman parametr 1/β sekä termodynaamnen lämpötla F δx sekä termodynaamnen työ On hyvä huomata, että yo. tarkastelu on yksnkertasuuden vuoks suortettu kanonsessa joukossa, mutta vastaavat tulokset pätevät myös ylesemmässä tapauksessa (ks. esm. AH, luku 6.5).
3 IDEAALISET TASAPAINOJÄRJESTELMÄT (AH 7.1, 7.3, 7.4) Seuraavaks srrymme tarkastelemaan erätä deaalsa el vuorovakutuksettoma systeemejä. Nässä tapauksssa monhukkassysteemn kuvaus seuraa yleensä varsn suoravvasest vastaavan ykshukkasongelman ratkasusta kunhan otamme huomoon systeemlle relevantn statstkan. Kahdessa ensmmäsessä esmerkssä (vapaa spnsysteem sekä klassnen datomnen deaalkaasu) statstkka on fyskaalsen tlanteen sanelema ja varsn yksnkertanen, mutta kolmannessa tulemme johtamaan bosonen ja fermonen okeat mehtyslukufunktot. Vapaa spnsysteem Yksnkertanen esmerkk deaalssta järjestelmstä ja samalla yks harvosta kursslla kästeltävstä dskreetestä systeemestä on vapaa spnsysteem, jonka oletamme (yksnkertasuuden vuoks) koostuvan spn-1/-hukkassta. Mall on realstnen kuvaus matalan lämpötlan paramagneettselle kteselle aneelle, jonka atomt on sdottu kntesn hlapstesn. Tämä tarkottaa stä, että hukkaset evät ole denttsä ja jokasella nstä on käytössä spntlat s,z = ± 1 ħ, el koko Nhukkassysteemllä on ss N erlasta kvantttlaa, mssä z-aksel on valttu pan ntrodusotavan ulkosen magneettkentän suuntaan. Kokonasspn saa nän muodon N S z = s,z =1 = mħ, mssä kvanttluku m saa arvot (oletetaan N parllseks) m = 0, ±1, ±,, ± 1 N. Jos nyt N + on spn + 1 -hukkasten ja N spn 1 -hukkasten määrä, nn pätee tosaalta selväst m = 1 N + 1 N mstä yhdessä relaaton N + + N = N kanssa saadaan ratkastuks 3
4 N + = N + m, N = N m. Hukkasten järjestelymahdollsuuksen lukumäärä knntetylle kokonasspnlle mħ saadaan nyt tunnetulla bnomkaavalla W(m) = N! N +! N! = N! ( N, + m)! (N m)! mkä vastaa kokonasspnn S z = mħ degeneraatota. Kun luvut ovat suura, vodaan tässä käyttää Strlngn approksmaatota ln N! N ln N N, mkä johtaa tulokseen ln W(m) N ln N N ( N + m) ln (N + m) + N + m (N m) ln (N m) + N m = N ln ( N N ( N ) + m ln ( m ) + m) (N m) N + m = N ln ( 4 1 m ) + m ln ( N 1 4m N 1 + m N ) N ln 4 N = N ln m N. ( 4m N ) + m ( m N ) m (m N ) Tässä olemme olettaneet m N, el tulos pätee jakauman W(m) maksmn (W max = W(m = 0)) lähellä. Näemme ss, että bnomjakaumaa approksmo täällä normaaljakauma W(m) = N e m N, jonka standardpokkeama on m = N. Kun tätä verrataan m:n arvojen vahteluväln m max m mn = 1 N ( 1 N) = N, nähdään, että 4
5 m = 1 m max m mn N, joka on son N:n rajalla hävävän pen. Tämä okeuttaa normaaljakauman käytön käytännössä lman rajotuksa. Lasketaan seuraavaks spnsysteemn energa. Kun se on kytketty ulkoseen magneettkenttään B = μ 0 H, jonka kenttävomakkuus on H = He z, saa stä vastaava Hamltonn funkto (jota merktään tässä pokkeuksellsest E :llä) muodon E = μ 0 μ H = μ 0 H μ,z. Tässä μ 0 on tyhjön permttvsyys, μ hukkasen magneettnen momentt el operaattor μ = γs, jonka päältä olemme jättäneet hatun yksnkertasuuden vuoks pos, ja γ puolestaan ns. magnetogyyrnen suhde. Magnetotumaa m vastaava systeemn kokonasenerga (E :n omnasarvo) on täten E(m) = μ 0 Hγ s,z = mμ 0 γħ H = m, mssä μ 0 ħ γh on mkroskooppnen energaykskkö, ja tlatheys vastaavast ω(e) = W(m) m E = 1 W ( E ). Nästä tulokssta päättelemme, että paramagneettsen aneen spnen on edullsta järjestyä ulkosen magneettkentän suuntaan. Seuraavassa pyrmme tutkmaan tätä käytöstä kvanttatvsest äärellsen lämpötlan systeemessä. Vapaa spnsysteem: Mkrokanonnen joukko Tarkastellaan nyt vapaan spnsysteemn termodynamkkaa ensn mkrokanonsessa joukossa, ja johdetaan lauseke sen mkrokanonselle entropalle lähten lkkelle yllä johdetusta tlatheyden tuloksesta (jossa m = E/). Tarkastelussa esntyvä 5
6 energa on selväst tulkttava magneettseks entalpaks, koska se rppuu ulkosesta ntensvsestä suureesta H. Entropalle saadaan helpost: S(E) ln W ( E ) = N ln ( 4 = N ln N 1 4E N ) + ln (1 4E N ) + E E E ln (1 1 + E ) E ln (1 1 + E ). Lämpötla on tosaalta määrtelmän mukaan 1 T = S E = N 8E E ( N 1 ) + ln (1 1 4E N 1 + E ) + E ( 1 E = 1 E ln (1 1 + E ), mstä saadaan ratkastua energaks e /T = 1 E 1 + E E = E(T) = e/t 1 e /T + 1 tanh T = N μ 0γħ H tanh μ 0γħ H T. 1 + E ) Magneettnen polarsaato el magnetotuma kuvastaa systeemn magneettsta momentta tlavuusykskköä kohden. Slle pätee ss M Z = 1 V μ,z = 1 V ( E μ 0 H ) = N V γħ tanh μ 0γħ H T, mssä olemme käyttäneet yllä johdettuja tuloksa systeemn energalle. Tämä tulos kertoo, että paramagneettsen aneen järjestys on stä suurempaa, mtä 6
7 vomakkaamp ulkonen magneettkenttä on ja tosaalta mtä matalampaan lämpötlaan systeemmme on preparotu. Varmstaaksemme, että saatu tulos on konsstentt termodynaamsten relaatoden, ertysest magneettsen entalpan dfferentaaln de = TdS μ 0 VM dh kanssa, näytetään velä, että sama magnetotuman tulos vodaan johtaa myös tosella tavalla Esmerkklasku: Määrää magnetotuma mkrokanonsta joukkoa käyttäen laskemalla termodynamkan sääntöjen mukaan osttasdervaatta M = 1 E μ 0 V H S. Seuraavaks tarkastelemme, saammeko vastaavat tulokset johdettua myös kanonsessa ensemblessä. Vapaa spnsysteem: Kanonnen joukko Spnsysteemssä yhden hukkasen mahdollset energat ovat ±μ 0 Hγ s z = ± 1, joten yhden hukkasen kanonseks tlasummaks saadaan trvaalst Z 1 = e T + e T = cosh T. Koska vuorovakutuksa e ole, on N hukkassysteemn tlasumma puolestaan Z N = Z 1 N = ( cosh T ) N, mssä emme ole ntrodusoneet tekjää 1/N!, koska hukkaset ovat lokalsotuja hlapstesn, evätkä ss denttsä. Täysn sama tulos saadaan myös tlatheyttä sekä bnomkaavaa käyttämällä: Z = W(m)e βe(m) m = W(m)e βm m 7
8 N = ( N k ) eβ(k N ) = k=0 e β (1 + e β ) N = ( cosh β ) N. Tlasummasta saatava vapaa energa vastaa nyt magneettsta Gbbsn vapaata energaa G(T, H) = T ln Z = NT (ln + ln cosh T ) johtuen jälleen H:n ntensvsestä luonteesta [vrt. PVT systeemssä Helmholzn vapaa energa F = F(T, V) ja Gbbsn vapaa energa G = F(T, P)]. Entropa saadaan tällön vapaan energan dervaattana lämpötlan suhteen S = ( G T ) H = N (ln + ln cosh ) + NT tanh T T ( = N (ln + ln cosh T tanh T T ). Magnetotuman laskemseks käytetään puolestaan relaatota ( G H ) T = T ln Z H = μ 0 VM z, ln Z = T = 1 H Z μ 0γħ m W(m)e βe(m) m joka osottaa G:n dfferentaaln olevan muotoa dg = SdT μ 0 VM dh. T ) = μ 0 γħ m Tämän avulla magnetotumalle saadaan mkrokanonsesta tapauksesta tuttu tulos M z = 1 μ 0 V ( G H ) T = 1 ( NT tanh μ 0 V T μ 0γħ T ) = N γħ tanh V T. Lasketaan lopuks velä magneettnen suskeptvsuus: 8
9 χ = ( M H ) T = N μ 0 γħ V γħ T cosh T = μ 0N VT ( 1 ħγ) cosh μ 0γħ H T hekon kentän rajalla hyperbolnen kosn antaa tässä ykkösen, jollon jäljelle jää Curen lak χ μ 0N VT (1 ħγ) C T. Harjotustehtäväks jätetään kaavan ylestämnen ylesen spnn S hukkaslle. ; 9
Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
Lisätiedot9. Muuttuva hiukkasluku
Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotTilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot
Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotTILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008
TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 008 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotTILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008
TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 8 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
Lisätiedot5. KVANTTIMEKANIIKKAA
5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
Lisätiedottäydellinen atomaarisen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaaminen on mahdotonta (N ~ N A ), joten tarvitaan tilastollista tarkastelua.
PHYS-A00 Termodynamkka (TFM), Luentomustnpanot Luennot 9-0, kertaus: Mkro- ja makrotlat Mkrotla täydellnen atomaarsen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaamnen on mahdotonta ( ~ A ), joten tarvtaan tlastollsta
LisätiedotTASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotJäykän kappaleen liike
aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE
S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotIII KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48
III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto... 48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä... 49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen... 51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste... 54 3.5 Tasapanotlaa
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotIII KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48
III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto...48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä...49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen...51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste...54 3.5 Tasapanotlaa
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
LisätiedotKäytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 )
58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p :
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotMO-teoria ja symmetria
MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO
Lisätiedot11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö
7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta
LisätiedotReaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin
MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
Lisätiedot( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa
Lisätiedotb g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti
S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa
LisätiedotPUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta
Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta
LisätiedotMODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 2007 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA
MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 Tlastollsen fyskan luennosta käydään keväällä 7 läp anoastaan Kappaleet III-V. Estetona nähn lukuhn
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotIV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET... 94
IV KVANTTISTATISTIIKAN PERUSTEET... 94 4.1 Monhukkastlan symmetraomnasuudet ja statstkka... 94 4.2 Bose-Ensten jakauma... 95 4.2.1 Mkrotlojen lukumäärän laskemnen... 95 4.2.2 Tasapanotlaa vastaava partto...
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotLIITE 2. KÄSITELUETTELO
222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotS Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op )
S-114.1327 Fyskka III (EST 6 op) S-114.1427 Modernn fyskan tetokoneharjotukset (Sf, 2 op ) Luennot: prof. Ilkka Tttonen lkka.tttonen@tkk.f Mkro- ja nanoteknkka, Tetote 3,Mcronova prof. Jukka Tulkk jukka.tulkk@tkk.f
LisätiedotT H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):
1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus
LisätiedotEpätäydelliset sopimukset
Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotHamiltonin mekaniikka
Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotLagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset
Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
LisätiedotDEE Polttokennot ja vetyteknologia
DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er
LisätiedotÄärellisten ryhmien hajotelmat suoriksi tuloiksi
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkelma Vel-Matt Nemnen Äärellsten ryhmen hajotelmat suorks tuloks Informaatoteteden ykskkö Matematkka Kesäkuu 2016 Tampereen ylopsto Informaatoteteden ykskkö NIEMINEN,
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
Lisätiedot10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotYrityksen teoria ja sopimukset
Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu
LisätiedotKLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
LisätiedotMUODONMUUTOKSET. Lähtöotaksumat:
MUODONMUUTOKSET Lähöoaksuma:. Maeraal on sorooppsa ja homogeensa. Hooken lak on vomassa (fyskaalnen lneaarsuus) 3. Bernoulln hypoees on vomassa (eknnen avuuseora) 4. Muodonmuuokse ova nn penä rakeneen
LisätiedotA = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:
Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto
Lisätiedot. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.
LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
Lisätiedot