( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä

Transkriptio

1 S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa Bose-Ensten statstaa, lase (a) unn marotlan (el partton) termodynaamnen todennäösyys W, (b) an marotlohn uuluven mrotlojen yhtesmäärä, (c) energatasojen esmää-räset mehtysluvut ja (d) esmäärästen mehtysluujen summa Ratasu: Kuvaan on mertty a ne marotlat, yhteensä pl, jota toteuttavat energan U = 6e ja huasmäärän = 6 sälymslat Kuhunn marotlaan uuluven mrotlojen määrä saadaan yhtälöstä ( g + n )! P = P = () g! n! Marotla panotettuna esarvona: ( n ) marotlassa ave Sjottamalla tähän mehtysluvut ja degeneraatotejät saamme ohesen tauluon Mrotlojen luumäärä on verrannollnen tlan termodynaamseen todennäösyyteen Yhteensä mrotloja saadaan 5 pl Marotlojen normtetut todennäösyydet saadaan jaamalla suureet W mrotlojen oonasmäärällä P = W /5 Tällön P = ja vomme lasea energatason = (,,,,6 = ) esmääräsen mehtysluvun ( n ) = P n mssä = ave n on energatason mehtysluu Lasemalla esarvot saamme seuraavat esmääräset mehtysluvut: (esmäärästen mehtysluujen summa on tetenn = 6, numeersen taruuden puttessa ) ( n ) ave Mrotlojen luumäärä W ave ave ave 4 ave 5 ave 6 ave n ave,66,79,9,4,4,5,66 5 n ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) ( n )

2 LHSf-* Ulosessa magneettentässä B systeemn eletronella on as mahdollsta energatasoa E = µ BB, E = + µ BB, mssä µ B on Bohrn magneton Systeem on termsessä tasapanossa lämpötlan ollessa T Olettaen, että eletronen magneettsten altlojen mehttymnen noudattaa MB statstaa (a) osota, että parttofunto on µ B cosh B Z = ja (b) johda lausee suurelle U, S ja M Estä energatasojen T mehtysluvut lämpötlan ja enttävomauuden funtona äyttäen Mawell-Boltzmann jaaumaa (Lue luu 58) Ratasu: a) Mertään ε = µ B B Alemman tlan energa on ss E = ε ja ylemmän E = ε Parttofunto lasetaan tavallseen tapaan: Z = e + e = cosh ( ε / T ) = cosh T b) Mehtysluvut: n e e n Z cosh / T cosh / T e c) Ssäenerga: ε / T ε / T µ B B + ε / T ε / T ε = = ; = / T ( ε ) ( ε ) ( ε T ) ( ε T ) d snh / U = T ( ln Z ) = ε = ε tanh ε / T dt cosh / Huomataan, että ssäenerga votasn lasea myös lauseeesta: + ε / T ε / T U = ne + ne = ( ε ) e + ( ε ) e = ε tanh ( ε / T ) Z Z Magnetotumnen (lasetaan postvses magneettentän suuntaan) M = nµ B nµ B = µ B ( n n ) = µ B tanh ( ε / T ) Tutmalla esponenttfunton äyttäytymstä T:n funtona ptämällä B vaona huomataan, että un T U ε ja M µ B ts a magneettset momentt asettuvat entän suuntaan alhasssa lämpötlossa Vastaavast un T huomataan, että U ja M Lämpöle tuhoaa ulosen entän luoman orentaato efetn Entropaa lasettaessa on huomattava entropan jaautumnen translaatoleen ja huasen ssäsen leen entropos U Z S = + ln + T LHSf-* Maalmanaeuden taustasätely vastaa K lämpösen mustanappaleen sätelyä (Taustasätelyn usotaan olevan seurausta aluräjähdysestä) (a) Johda fotonen luumäärätheys lämpötlan funtona Käytä apuna tulosta ( ) taustasätelyn fotontheys Ratasu: e d,4 (b) Lase

3 (a) Johdetaan alus yhtälö fotonen määrälle Opetusmonsteen yhtälöt (57) ja (58) antavat fotonen luumäärän energavälllä [ E, E + de] dn 8πV E = E T de h c e Krjotetaan fotonen määrä taajuuden avulla, uten opetusmonsteessa Plancn sätelylan yhteydessä dn dn de 8πV E = = h E T dν de dν h c e, () 8πV E 8πV ν = = E T h T h c e c e ν osa fotonn energa on E = hν ja de dν = h Tehdään seuraavas muuttujan vahto hν T T = dν = d ja ν = T h h Sjottamalla tämä yhtälöön () saadaan fotonen määrälle yhtälö 8πV T = d c h e Tauluorjasta löytyy ntegraalaava ( n = ) n I ( n) = d = ζ ( n + ) Γ ( n + ) (, ) (! ),4, e mssä ζ ( n) Remannn zeetafunto ja Γ ( n) on gammafunto Fotontheydes saadaan ss 8π 7 n = =, 4 T, K m T V h c (b) Sjotetaan lämpötla T = K edellseen yhtälöön Saadaan 8π 7 n = =, 4 T, T K m V h c 8 5,5 m LHSf-4* Tarastellaan aasua, jou oostuu äärettömän ovsta a sätesstä pallosta Pallojen parvuorovautus on, r rj > a V ( r rj ) =, r rj < a Lase systeemn esmääränen energa lämpötlan ja huasmäärän funtona Opastus: Lue opetusmonsteen luu reaalaasusta Muodosta erllset parttofuntot lämpöleelle ja parvuorovautuselle Koonasparttofunto saadaan näden tulosta Kesmääränen energa saadaan parttofunton logartmn dervaatan avulla Ratasu: Reaalaasun suur parttofunto määrtellään ntegraalna yl oo vaheavaruuden: E( r, r, v,, v ) / T ZG = d d d d d d e! r r r v v v ()

4 ntegront yl nopeusavaruuden on selväst helpomp tehtävä, jos oletamme, että moleyylen le-energa rppuu van nopeuden tsesarvosta ja että moleyylen välset vomat evät rpu moleyylen nopeudesta vaan ovat luonteeltaan staattsa voma Tällön vomme rjottaa mv / T mv / T ZG = e d e d! v v mv / T E pot ( r, r ) / T e d d d d e v r r r () Kosa neettnen energa rppuu anoastaan nopeuden tsesarvosta vodaan ntegront yl nopeusvetorn orvata ntegraallla yl nopeusvetorn tsesarvon (ta le-energan) saadaan / mv / T mv / T / E / T v 4π 4π m / π T e d = v e d v = E e de = 4 π m Suures parttofuntos saadaan ss / / ZG = 4 π π T d d d e! m Lasetaan seuraavas potentaalenergan ssältävä ntegraal () ( r, r ) / T pot r r r (4) ( r, r ) / T pot d d d e E I= r r r (5) Integraaln arvo on johdettu opetusmonsteessa Tuloses saadaan E mssä α I = V + V, (6) f ( r)4π r dr α = (7) Yhdstämällä saadaan β E f r r dr ( e ) r dr α = 4 π = 4π a e r dr e r dr π = 4π = a + = 4π π 4 π a α I V V = + = V V Suures parttofuntos saadaan ss / / a Z π G 4π π ( T ) = V! m V / = C( V ) T Kesmääränen energa saadaan parttofunton logartmn dervaatasta a a

5 ln( Z) E = T T / = T ln ( C( V ) T ) T = T ln ( C( V )) + ln ( T ) T T T T = = LHSf-5* Tarastellaan eletronen muodostamaa systeemä alhasessa lämpötlassa termsessä tasapanossa, un systeem on sähöentän E ja theysgradentn n( ) vautusen alanen Johda dffuusovaon D lausee sähönjohtavuuden σ ja Fermenrgan funtona Opastus: Fermenerga rppuu eletrostaattsesta potentaalsta yhtälön EF = µ + eφ ( ) muaan Tasapanossa sähöentän aheuttama vrta ja theysgradentn aheuttama vrta umoavat tosensa Dffuusovrta (huasvrtaa) rppuu dffuusovaosta ja theysgradentsta Ratasu: Sähövrrantheys rppuu sähöentästä ja johtavuudesta seuraavast js = σe = σ φ ( ) Dffuusovrran (huasvrta) theys taas saadaan yhtälöstä j D = D n( ) (HUOM: jäljempänä lsää dffuusosta) Tasapanossa sähöentän ja theysgradentn aheuttamat huasvrrat umoavat tosensa js / e + jd = σ φ( ) () = D n( ) e Tasapanotlanteessa emallnen potentaal e rpu paasta E = µ + e φ( ) = F µ µ n µ () e φ ( ) = µ = = = n nt nt Sjotetaan yhtälö () yhtälöön () e σ φ ( ) µ = n( ) σ e n e µ D n ( ) = n ( ) σ n σ µ σ EF D = e n T e n T Fermenerga saadaan huastheydestä yhtälöllä T T

6 ( π ) / / EF = n m EF π π = = n m m Dffuusovaos saadaan EF D σ σ π E = / / F e n e m / 4/ / / n E / / F T /

7 DIFFUUSIOSTA Kun huaset (eletront) luvat, ne törmälevät tosnsa satunnasest Peräästen törmäysten esmääränen välmata on nmeltään vapaa mata l Kesmäärästä aaa törmäysten välllä mertään τ :llä Ysttäset huaset luvat törmäysten välllä yhtä suurella todennäösyydellä mhn tahansa suuntaan, mäl huasn e vauta ulosta vomaa (esm sähöenttä) Mäl huasten onsentraato on paasta rppuva, syntyy onsentraatogradentn aheuttama dffuusovrta Dffuuso tapahtuu suuremmasta theydestä penempään ja se pyr tasottamaan theyseroja Huasvrran suuruus saadaan yhtälöllä l dn( ) dn( ) jd ( ) = D τ d = d, mssä on oletettu, että huastheys rppuu van -oordnaatsta Dffuusovrran yhtälö vodaan perustella seuraavalla tarastelulla Tarastellaan alus ntä huasa, jota sjatsevat tasolla = vτ, joden nopeuden tsesarvo -suunnassa on v ja theys nopeusysöä ohden n ämä huaset muodostavat hetellä t = τ tason = läp ulevan huasvrran, jona suuruus pnta-ala- ja nopeusysöä ohden on v n ( v τ ) (tejä / seuraa stä, että puolet huassta luu postvsen -aseln suuntaan) Vastaavast oealta tasolta = vτ nopeudella v saapuvat huaset muodostavat vrran v n ( v τ ) ettohuasvrta pnta-ala- ja nopeusysöä ohden nälle huaslle vodaan rjottaa muotoon jd = vn ( vτ ) vn ( vτ ) = v [ n ( vτ ) n ( vτ )] n( vτ ) n ( vτ ) dn ( ) = vτ v τ v vτ d Koonasdffuusovrta saadaan edellsestä ntegromalla nopeuden yl: dn( ) d vn dv jx = jddv τ v dv = τ d d dn τ < v > dn l dn = τ < v > = d d τ d Dffuusovao vodaan ss määrtellä vapaan matan avulla Kosa vapaa mata on l = vthτ, mssä v th on esmääränen termnen nopeus, rppuu dffuusovao myös lämpötlasta Dffuusovao vodaan määrtellä myös muodossa (Enstenn relaato) BT µ D =, e mssä µ = qτ / m on luvuus Varausenuljettajen esmääränen marosooppnen nopeus v drft on luvuuden ja sähöentän avulla lmastuna vdrft dffuusovrran ysöt ovat = µ E Dffuusovaon ja

8 [ ] D = m s [ j ] D = m s