S , Fysiikka III (ES) Tentti

Transkriptio

1 S-11435, Fyskka III (ES) Tentt Kuvan mukasessa systeemssä allo sulkee ullon tvst Pullon ssältämän kaasun adabaattvakon γ määrttämseks allo saatetataan helahtelemaan Kun ktka on en, lke on lähes harmonsta Osota, että tällön F = x/, mssä on kaasun ane ullossa, ullon tlavuus x en okkeama tasaanoasemasta ja A värähtelyutken okknta-ala Oleteta, että kaasu e ehd vahtaa lämöä ymärstön kanssa värähtelyjakson akana Ratkasu: Pallon helahtelun yhteydessä kaasusälön tlavuus ja alloon kohdstuva voma muuttuvat Palloon vakuttaa anovoma ja ulkonen ane ja ullon ssänen ane Edellset kaks ovat vakota ja allon ollessa levossa ullon ssänen ane kumoaa ne Jos okkeutamme alloa tasaanoasemasta shen kohdstuu voma joka aheutuu ullon ssäsen aneen muutoksesta altaan x-aksel allon lkesuuntaan ja olkoon tasaanoasemassa x = 0 Pokkeama tasaanoasemasta olkoon x Koska tlavuuden muutos taahtuu adabaattsest ( γ = vako) ätee γ γ γ d( ) = 0 d + γ d = 0 Ratkasemalla tästä aneen muutos γ d= d Tlavuuden muutos on d F = Ad= x oma on ss harmonnen ja jousvako on = xa, joten aneen muutoksesta aheutuva voma vodaan krjottaa k = Mttamalla värähtelyn omnastaajuus ja ω M allon massa saadaan adabaattvako: ω = k/ M = M γ = A Tasaanoasemassa ulkosen aneen aheuttama voma 0 A ja anovomasta aheutuva voma Mg ovat yhtä suuret kun ullon ssäsen aneen aheuttama voma ( A = 0 A + Mg ), joten vomme myös sjottaa ylläolevaan tulokseen = 0 + Mg/ A Tällön ullon ssästä anetta e tarvtse mtata, vaan rttää tuntea ulkonen ane utken okknta-ala ja allon massa Systeemllä, jossa on N hukkasta, on kolme mahdollsta energatlaa, E 1 = ε, E = ε ja E 3 = 3ε Tlojen ssäset vaausasteet ovat g 1 = 1, g = ja g 3 = 1 vastaavast Määrtä systeemn kokonasenerga ja lämökaasteett Ratkasu: Srretään energan nollakohta E 1 :een Uudella astekolla energat ovat E 1 = 0, E = ε ja E 3 = ε Ssäset vaausasteet: g 1 = 1, g = ja g 3 = 1 Parttofunkto on 3 E kt βε = 1 1 Z = g e = 1+ e + e = 1 + e ; β = kt

2 d Kokonasenergan lauseke on U = knt ln Z, mutta nyt olemme energa-astekkoa srtäessämme dt tse asassa vähentäneet kokonasenergasta määrän Nε Ss d U = Nε + knt ln Z dt βε e d d βε 1 ln Z ln ( 1 e kt ε = + ) = = dt dt βε e kt e ε ε 1 U = Nε + knt = Nε 1 + kt e + 1 e + 1 Systeemn lämökaasteett on C 1 U 1 Nε e Rε e = = = ν T ν kt + k T + ( e 1) ( e 1) Samat tulokset saadaan lähes yhtä vavattomast lman energan nollakohdan srtoakn 3 Tarkastellaan -ulottesta deaalkaasua Sen molekyylt vovat lkkua van tasossa, jonka ladalla ne tärmäävät elastsest reunukseen Molekyylt evät näe tosaan, tosn sanoen nden välsä voma e oteta huomoon Johda samalla menettelyllä kun 3-ulottesen kaasun taauksessa molekyylen reunukseen kohdstama -ulottenen ane ( = voma / tuusykskkö) ja stä vastaava - ulottesen deaalkaasun tlanyhtälö Ratkasu Molekyylt sjatsevat laatkossa, jonka nta-ala on S Tehtävä ratkasu vodaan muodostaa helost oetusmonsteen luvun 3- ulotteseen tarkasteluun ohjautuen Tarkasteltaessa dfferentalsen kaasualkon törmäystä astan senään, nta-ala A kuvassa 1 korvautuu nyt laatkon svun osan tuudella L ks ohesta kuvaa Kuvan 1 sylnter korvautuu ss suunnkkaalla, jonka svun tuudet ovat L ja vdt ja nta-ala S Tässä suunnkkaassa on vdtl cosθ nx = Lvxdtnx molekyylä, jolla noeuden x-komonentn tsesarvo on molekyylen lukumäärän nta-alaykskköä kohden jolla on noeuden tsesarvo Lkemäärä ennen törmäystä on P = (1/ ) mn Sv x x x ja jälkeen törmäyksen v x Theys n x lmottaa nyt nden v x ' ' x (1/ ) x x (1/ ) x x P = mn Sv = mn Sv Senän saama mulss on lkemäärän muutos :

3 ' x x x x x x x Fdt = P = P P = mn Sv = mn Lv dt (1) ( F > 0 )ja ss nta-alaan A kohdstuva D-ane = F/L: D x x = mn v () Krjotamme aneelle alandeksn D, jotta mustamme että kyseessä on voma tuusykskköä kohdenseuraavaks summaamme aneen () yl kakken noeuden x-komonentten: D x x = m n v (3) Summaus suortetaan noeuden x- komonentn tsesarvojen yl Samon kun 3-ulottesessa tarkastelussa keskarvo noeuden x-komonentn nelöstä määrtellään: ( v ) n v / n x ave x x x (4) 1 joten D = m( n)( vx) ave, mssä n = nx on molekyylen kokonastheys ntaalaykskköä kohden Noeus vektorn nelölle ätee v = v + v, joten D-noeuden keskarvolle saadaan ave x ave y ave ( v ) = ( v ) + ( v ) Symmetran erusteella x y x ave vy ave ( v ) = ts 1 ( vx) ave = ( v ) ave Merktään ( v ) ave v rms oma tuusykskköä kohden el D-ane on ss D 1 = mnvrms (5) astaava tlanyhtälö saadaan kertomalla D-ane molekyylt ssältävän laatkon nta-alalla S 1 1 DA= manvrms = Nmvrms Sulussa oleva lauseke on (myös) D-kaasun kokonasenerga Koska molekyylellä on kaks lkkeen vaausastetta, sen on oltava ekvarttoeraateen mukaan = (1/) kt D-deaalkaasun tlanyhtälö on ss D A= NkT 4 Kaks astaa 1 ja ssältää samaa deaalkaasua lämötlassa T moolmäären ollessa ν 1 ja ν vastaavast Osota, että kun astat yhdstetään lämöerstetyst, nn entroan kasvu on ( ) 1 + ν ν S = ν1rln + νrln ( ν1 + ν) 1 ( ν1 + ν) Ratkasu: Alkutlassa entroat ovat

4 f / f / T 1 T S1 = ν1rln + ν1c ja S = νrln + νc ν 1 ν Yhdstämsen jälkeen (huomaa, että lämötla e muutu, koska systeem on lämöerstetty) 1 + f / S = ( ν1 + ν) Rln T + ( ν1 + ν) c ν1 + ν Entroan muutos on ss näden erotus akoon c verrannollset termt kumoutuvat, samon ne termt, jotka tulevat lämötlan logartmesta ln + ln S S S ν R νr ln + ln = + ν1 + ν ν1 ν1 + ν ν Yhdstämällä logartmt 1 + ν1 1 + ν S = ν1rln + νrln ν1 + ν 1 ν1 + ν 5 Klo vettä, jonka lämötla on 0 0 C asetetaan kosketukseen suuren C astesen kaaleen kanssa Kun veden lämötla on noussut C, mtkä ovat veden, kaaleen ja unversumn entroan muutokset? Oletetetaan seuraavaks, että veden kuumentamnen C taahtuu saattamalle se ensn kosketukseen suuren 50 0 C astesen kaaleen kanssa ja stten C astesen kaaleen kanssa Mkä ovat nyt veden ja unversumn entroan muutokset? Seltä mten ves vodaan kuumentaa 0 0 C asteesta C asteeseen lman, että unversumn entroa kasvaa eden moolmassa on 18g ja omnaslämö vakoaneessa = 18, 0cal K mol 1 cal = 4,186 J Ratkasu: c että on 55,6 moola ja veden omnaslämökaasteett on c = 18, 0 cal K mol (a) Lasketaan lämömäärät omnaslämöjen avulla Tasottumnen taahtuu vakoaneesssa (lmakehän ane), joten ves saa lämömäärän Q ves = ν c T T 1 = 100, 0 kcal Kaale luovuttaa vastaavan lämömäärän Qbody = Qves eden entroamuutos lasketaan sobaarselle rosesslle vrt luennot: T Sves = ν c ln, josta = 31, calk T1 Kaaleen entroamuutos lasketaan sotermselle rosesslle, sllä kaaleen lämötlan muutos on äärettömän en: Qbody S S1 = Sbody = = 68,1calK T entroan kokonasmuutos on ss S = S + S =+ TOT ves body 44,1calK (b) Oletetaan, että rosess taahtuu nyt kahdessa vaheessa edelle saadaan ( T = 50 C) 0

5 T T T S = νc + νc = νc ves ln ln ln T1 T T1 ts veden entroan lsäys on sama kun edellä Sen sjaan kaaleelle saadaan Qves / Qves / Sbody = = 88,9 calk T T ja entroan kokonasmuutos = 3, 3 calk Entroan lsäys on ss enem kun edellä S TOT (c) Rajataauksena vodaan ajatella veden saattamsta kontaktn äärettömän monen kaaleen kanssa, josta kunkn lämötla on van heman veden lämötlaa korkeam Entroan muutos lähenee tällön nollaa ts kyseessä on rajalla S = 0 reversbel rosess 6 Lämöerstetyssä sälössä on jään ja veden seosta 73 K lämötlassa Sälöön latetaan 0 mn ajaks sähkövastus, jonka lämökaasteett on hyvn en astuksen teho on 40 cal/s (1 cal = J) Kuva esttää lämötlan muutosta ajan funktona Jään sulamslämö on 79,7 cal/g a) Mtä seokselle taahtuu ajanjaksona 0-00 s, s ja s? b) Kunka monta grammaa jäätä sälössä ol alussa c) Kunka monta grammaa vettä sälössä on jään sulettua? Ratkasu: Oletetaan, että asta on lämöerstetty, mutta esm enen reän kautta ane ysyy astassa vakona a) Ajanjaksona 0-00 s jää sulaa, s ves kuumenee kehumssteeseen, s ves kehuu b) Jää sulaa 00 sekunnssa, joten lämmttmestä saadaan energaa P t = mjää C, mssä m on jään massa ja C sulamslämö massaykskköä kohden Ratkasemalla saadaan m = 100 g c) Oletetaan, että veden omnaslämö C = 1 cal/(g K) e ru lämötlasta: P t = m C T ves Ratkasemalla saadaan ( T = 100 K) m ves = 319 g AKIOITA e = 9, kg = 1, kg n = 1, kg amu = 1, kg e= 1, C c =, m/s = 1, Js µ B = 9, JT = 8, C N m Ke = 1/ = 1, mkgc Km = 0 / γ = 6, Nm kg NA = 6, mol R = 8, 3143 JK mol k=1, JK m m m ε πε µ µ π