5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva."

Transkriptio

1 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x) 10 9x 16x 100 5x 100 : 5 x 4 x 4 x cm Koska x > 0, niin x = cm.

2 Suorakulmion sivujen pituudet ovat 3x 3cm 6cm 4x 4cm 8cm 6cm8cm4cm b) 64 cm 3 V 3

3 . a) Piirretään mallikuva. 3 cm h 4 cm Pyramidin pohjasivun pituus on 8 cm, joten muodostuneen suorakulmaisen kolmion kanta on 4 cm pitkä. Lasketaan sivutahkon korkeus Pythagoraan lauseen avulla. h h h 5 h 5 h 5cm Koska h > 0, niin h = 5 cm. b) A vaippa 8cm5cm 4 80cm

4 3. a) Kolmioilla ABC ja ADC on yhteinen kulma C. Kolmiolla on suora kulma vastinkulmana. Kk-lauseen nojalla kolmiot ABC ja ADC ovat yhdenmuotoiset.

5 b) Merkitään janan CD pituutta kirjaimella x. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AC CD BC AC x x 5 4 x x x (4 x) 54x x 4 50 Ratkaistaan ratkaisukaavalla. x ( 5) x 46 x x 5 tai x 1 Koska x > 0, niin x = 1.

6 4. a) Piirretään mallikuva. β x 3 α Lasketaan hypotenuusan arvo Pythagoraan lauseella. x x 3 49 x 13 x 13 Koska x > 0, niin x = 13. sin ja 13 cos 3 13

7 3 b) (sin ) (cos ) c) sin tan d) Merkitään kolmion kateetteja x ja 3x. x on lyhyempi kateetti, koska x > 0. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x. x 4cm : x cm Lasketaan pidemmän kateetin pituus. 3x 3cm 6cm e) 4 cm 6 cm 4 cm 1 cm A

8

9 5. Koska suora AC on ympyrän tangentti, kolmio OAC on suorakulmainen kolmio. Lasketaan kulman α suuruus Kaari AB on puolet kaaresta AD, joten kaaren AB keskuskulma on puolet kaaren AB keskuskulmasta. Merkitään kaaren AB keskuskulmaa kirjaimella γ ja lasketaan se Kulma γ muodostaa kulman β kanssa täyden kulman, joten

10 6. a) Kolmioitten mittakaava on 1 k 1:. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. A A EFC ABC 1 1 k 4 b) Pituuksien suhde on mittakaava. Merkitään janan EF pituutta kirjaimella x. EF x 1 AB 8 x 8 : x 4cm

11 7. h a) sin b hbsin b b) ah a( bsin ) absin A

12 8. Merkitään lyhyempää kateettia kirjaimella x. Tällöin hypotenuusa on 3x. Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla x. (3 x) x (4 ) x x 9 16 x 8 3 :8 x 4 x 4 x Koska x > 0, niin x =. Lasketaan kysytyt sivujen pituudet. lyhyempi kateetti x hypotenuusa 3x 3 6

13 9. a) Piirretään mallikuva. r r Lasketaan ympyrän kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan siitä säde r. 16 r : 16 r r 8 Neliön sivun pituus on r 8 16 Neliön piiri on Määritetään ympyrän kehän pituuden ja neliön piirin suhde

14 b) Ympyrän pinta-ala on A ympyrä 8 64 Neliön pinta-ala on Aneliö Määritetään ympyrän ja neliön pinta-alojen suhde c) Ympyrän halkaisija on r 8 16 Neliön halkaisija voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. Merkitään neliön halkaisijaa kirjaimella x. x x 51 x Koska x > 0, niin x 16. Määritetään ympyrän halkaisijan ja neliön lävistäjä suhde

15 10. a) D 3 m G x α β C α m A β F 5 m B Merkitään sinisen kolmion korkeutta kirjaimella x. Kulmat α ja α ovat ristikulmia, joten ne ovat yhtä suuret. Kulmilla β ja β on jana AC vasempana kylkenä, joten kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat CD ja AB ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret eli β = β. Kolmioilla ABE ja CDE on siis kaksi yhtä suurta vastinkulmaa, joten ne ovat kk-lauseen mukaan yhdenmuotoiset.

16 Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhteet ovat samat. AB FE DC GE 5 3 x 5x 6 :5 6 x 1, m 5 b) 5m3m 6 A m m 5 8m 16m 5 18 m m 1,8 m 5

17 c) Sinisen kolmion pinta-ala on A kolmio 6m 18m 3m 5 5 m 1 m m Sinisen kolmion ja sinisen kolmion suhde on 18 (

18 11. a) C B A D F E Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Koska kolmion CDE sivujana DC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot DFC ja ABC ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen. Jana DF on puolet janan DE pituudesta. DE 8 DF 4

19 Lasketaan janan FC pituus Pythagoraan lauseen avulla. FC DF DC FC FC FC FC 3 Koska FC 0, niin FC 3. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhteet ovat samat. DC DF AC AB r r 5r 14r 9r 1 :9 1 4 r 9 3

20 b) Lasketaan sivun BC pituus Pythagoraan lauseen avulla. BC AB AC BC BC BC BC BC 1 Koska BC 0, niin BC 1. A BAC

21 1. a) Kuution särmä puolittuu, joten uuden kuution särmän pituus on a. Pituuksien suhde on mittakaava. a k a 1 k Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Alkuperäinen tilavuus on a 3 ja merkitään uutta tilavuutta kirjaimella x. x 1 3 a x 1 3 a 8 x a 3 8 :8 3 a x 8 3 Tilavuus pienenee a 7 a a

22 b) Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Alkuperäinen pinta-ala on 6a ja merkitään uutta pinta-alaa kirjaimella x. x a x a 6 4 4x 6 a :4 6 x a 4 3 x a Pinta-ala pienenee 3 9 6a a a

23 13. C α β A z y 80 x r r B O Kulma y ja 80 muodostavat oikokulman, joten y y 100 C A z α β E 40 y x r r B O Tasakylkisen kolmion OBC kulmanpuolittaja puolittaa kärkikulman 80 sekä kolmion kantasivun CB. Kulmat 40, 90 ja β muodostavat kolmion. Kolmion kulmien summa on

24 A z C F α β x r r B O Tasakylkisen kolmion OAC kulmanpuolittaja puolittaa kärkikulman 100 sekä kolmion kantasivun CA. Kulmat 50, 90 ja α muodostavat kolmion. Kolmion kulmien summa on

25 b) C α β A θ O λ B Kolmiot AOC ja COB ovat molemmat tasakylkisiä kolmioita, koska Kyljet CO ja BO ovat yhtä pitkät, ympyrän säteen pituisia. Kyljet AO ja CO ovat yhtä pitkät, ympyrän säteen pituisia. Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret, joten ja. Kolmion ABC kulmien summa on 180, joten 180, : 90

26 14. Jaetaan suuremman suunnikkaan sisään piirretty suunnikas kahteen kolmioon. cm 4 cm 1 cm 1 cm 4 cm Kummankin kolmion kanta on 4 cm ja korkeus on 1 cm. Pienemmän suunnikkaan pinta-ala on 4cm1cm A 4cm

27 15. x b z h A 1 A a Suunnikkaan pinta-ala saadaan vähentämällä nelikulmion pinta-alasta kaksi kolmion pinta-alaa. Nelikulmion pinta-ala on Anelikulmio a h Kolmioitten pinta-alat ovat 1 h x A zh A Pituuden z voidaan myös ilmaista z ax b. Joten ( axb) h ahxhbh A.

28 Lasketaan suunnikkaan pinta-ala. A A A A suunnikas nelikulmio 1 xh ahxhbh ah xh ah xh bh ah ah bh ah ah ah bh ah ah bh ah bh ( a b) h

29 16. a) Pyramidin pohjan lävistäjän pituus on, joten puolet siitä on 1. Lasketaan pyramidin sisälle muodostuneen suorakulmaisen kolmion sivu h Pythagoraan lauseen avulla. 1 h 5 1h 5 h 4 h 4 h Koska h > 0, niin h =.

30 b) Piirretään mallikuva pyramidin pohjasta. x x Lasketaan pohjaan muodostuneen suorakulmaisesta kolmiosta sivun x pituus Pythagoraan lauseen avulla. x x x x x 4 : Koska x > 0, niin x.

31 c) V d) Piirretään mallikuva sivutahkosta. x 5 Lasketaan syntyneen suorakulmaisen kolmion sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 5 x x 9 x 3 x Koska x > 0, niin x 3

32 e) Vaipassa on neljä edellistä kolmiota, joten A vaippa

33 17. a) Merkitään pohjaympyrän säteen pituutta kirjaimella r. Muodostetaan tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä r :1 r 48 r 1 r 4 r 4 r Koska r > 0, niin r =. b) Avaippa 1 48

34 18. a) r r Suorakulmion korkeus on yhtä suuri kuin ympyrän korkeus, joten r : r 1 Kolmen peräkkäisen ympyrän leveys on 6r, joten suorakulmion leveys on 6r Suorakulmion pinta-ala on Asuorakulmio 6 1 Kolmen ympyrän pinta-ala on A ympyrät Väritetyn alueen pinta-ala on A A A suorakulmio 1 3 ympyrät

35 b) A A 1 (1 3 ) A 1 suorakulmio 1 1 suorakulmio

36 19. B O 1 D C A Kolmio OBC on suorakulmainen kolmio, koska suoran CB on ympyrän tangentti. Lasketaan sivun OC pituus Pythagoraan lauseella. OC 3 OC OC OC 4 (43) OC 16 OC 4 Koska OC 0, niin OC 4. Janan CD pituus on DC OC OD 41 3

37 Kolmio ODB on suorakulmainen kolmio. Janan DB pituus on. 1 DB DB DB 41 3 DB 3 Koska DB 0, niin DB 3. Jana AB on kaksi kertaa janan DB pituus, joten AB DB 3. Kolmion BAC pinta-ala on A BAC

38 0. a) Merkitään kaarta vastaavaa keskuskulmaa kirjaimella α. 4 : b) Piirretään mallikuva. 30 h Lasketaan kosinin avulla sivun h pituus. h cos30 h h 3 3

39 c) Sektorin pinta-ala on Asektori 4 Janan AB pituus on AB sin 30 1 AB 1 1 AB 4 AB 4 Kolmion pinta-ala on A AOB 3 3 Segmentin pinta-ala on A Asektori A AOB 3 3

40 1. a) Piirretään mallikuva poikkileikkauksesta. r r Pallon halkaisija on yhtä pitkä kuin kuution särmän pituus, joten r : r 1 Kuutiossa on kuusi neliön muotoista tahkoa. Kuution pinta-ala on Akuutio 6 4 Pallon pinta-ala on A pallo Pinta-alojen suhde on A A pallo kuutio 4 4 6

41 b) Kuution tilavuus on Vkuutio 8 Pallon tilavuus on V pallo Tilavuuksien suhde on V V pallo kuutio

42 . a) D y 5 4 B(0, 5) A(, 3) 3 1 C(, 1) x Kannan AB keskipiste on 0 ( ) D,, ( 1,4) b) CD ( 1) (41) ( 3) c) AB (0 ( )) (5 3) d) A ABC 3 6 6

43 3. a) y 4 C O( 1, ) D 1 x Pisteitten O ja C etäisyys pitää olla 5 ja pisteen C x-koordinaatti on 0. Merkitään pisteen C y-koordinaattia kirjaimella y. OC 5 (0 ( 1)) ( ) 5 y y y y y 4y5 5 4y55 y 4y 0 yy ( 4) 0 y 0 tai y 40 y 4 Pisteen C koordinaatit ovat (0, 4) ja pisteen D koordinaatit ovat (0, 0).

44 b) y 4 C(0, 4) O( 1, ) 3 1 A(x, ) 3 1 D(0, 0) x Pisteiden D ja A etäisyys on 5. Lasketaan pisteen A x-koordinaatti. DA 5 (0 x) (0 ) 54 x 0 x 40 x 16 x 16 x 4 Koska x > 0, niin x = 4. Pisteen A koordinaatit ovat (, 4)

45 4. s s s Kuution tilavuus on V sss s kuutio 3 Pyramidin tilavuus on V pyramidi s ss 3 3 s 1 s Tilavuuksien suhde on 3 s 3 Vpyramidi 6 s 1 1 1:6 3 3 V s 6 s 6 kuutio

46 5. A E r B r D C Merkitään pallon keskipistettä kirjaimella D ja sädettä kirjaimella r. Koska kolmion ABC sivujana AC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot ABC ja DEC ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen. Lasketaan sivu BC Pythagoraan lauseella. BC BC BC 64 BC 64 BC 8 Sivun pituus on positiivinen luku, joten BC 8

47 Muodostetaan kolmioiden ABC ja DEC vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä säde r. AB AC DE DC 6 10 r 8 r 6(8 r) 10r 48 6r 10r 16r 48 :16 16 r 48 r 3

48 6. 4 pienen munkin ja 3 ison munkin tilavuudet ovat samat. Merkitään pienen munkin sädettä kirjaimella r 1 ja ison munkin sädettä kirjaimella r. Merkitään tilavuudet samoiksi. V pienet isot r1 3 r r 4 r : 4 8r r V r r 1 Pallojen alojen suhde on A 44 r 8r 8r 8r 8 :1 A 34 r r ( r) 4r 4 1 pienet isot 1 1

49 7. a) r s 60 y x Säännöllisen kuusikulmion lävistäjät jakavat monikulmion kuudeksi samanlaiseksi, tasakylkiseksi kolmioksi, joiden huippukulma on Lasketaan yhden tasakylkisen kolmion kyljen pituus. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman s r

50 Lasketaan sivun s pituus kosinin avulla. r sin 30 s r s sin 30 r s 1 r s 1 s r Kuusikulmion leveys x on x s r

51 b) Lasketaan yhden tasakylkisen kolmion korkeus. Korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman 60. h 30 r Lasketaan sivun h pituus tangentin avulla. r tan 30 h r h tan 30 r h 1 3 r 3 h 1 r 3 h

52 Kuusikulmion korkeus y on r 3 y h r 3 c) Kuusikulmion pinta-ala on r 3 r r Akuusikulmio 6 3r r Ympyrän pinta-ala on A ympyrä r r 4 Kuusikulmion ja ympyrän väliin jäävän alueen pinta-ala A Akuusikulmio Aympyrä r r r 4 4

53 5. Matemaattisia malleja 8. a) Merkitään kateetteja kirjaimilla x ja y. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y 18,5 x y 13,5 y 18, 5 x x y 13,5 x (18, 5 x) 13, 5 x 11,5 tai x 7 Jos x = 11,5, niin y = 18,5 11,5 = 7. Joten luvut x = 11,5 ja y = 7.

54 b) Lasketaan kartassa kolmion pinta-ala. A kartassa 11,5 cm 7 cm 39,375 cm Muutetaan 437,5 a neliösenttimetreiksi. 437,5 a = m = dm = cm Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. 39,375 cm cm k k 0,0003 tai k 0,0003 Mittakaava on aina positiivinen luku, joten 3 k 0,0003 3:

55 9. a) Lasketaan sivun BC pituus Pythagoraan lauseella. BC 4, 4 8,1 BC 6, cm 6,8 cm Koska sivun pituus on positiivinen, BC 6,8 cm b) A 4,4 cm α 8,1 cm B 6,8 cm β C Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. 4, 4 sin 8,1 3, ,9 Kolmion kulmien summa on 180, joten 903, ,1

56 6, cm 4, 4 cm c) A 14, cm 15,0 cm

57 30. a) Piirretään mallikuva. βα 90 m h 90 m 0 m 40 m Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kolmion kärkikulman ja kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta kulman α arvo. 0 sin 90 1, Kulma β on 1, ,

58 b) Lasketaan kolmion korkeus h. 0 tan1, h h 87, m Kolmion pinta-ala on 40 m87,753 m A 1755, m 1755 m

59 31. a) Lasketaan kolmion kannan pituus. ( 6 8) (0 0) 14 Muodostetaan kolmion pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä kolmion korkeus h. A 35 14h 35 h 5 b) Tasakylkisen kolmion kärjen x-koordinaatti on kannan päätepisteiden puolessa välissä. Lasketaan kärkipisteen x-koordinaatti. 68 x 1 Nyt tiedetään kolmion kärkipisteen x-koordinaatti. Merkitään sen y- koordinaattia kirjaimella y. Kolmion kärkipisteen etäisyys pisteestä (1, 0) on 5. Lasketaan kolmion y-koordinaatti. (11) (0 y) 5 y 5 y 5 Kolmion kärkipisteen koordinaatit ovat (1, 5) tai (1, 5).

60 3. Piirretään mallikuva. 150 cm = 1,5 m B y 5 m C 1,5 m A Tikkaiden alapää on kohdassa A, yläpää seinällä kohdassa B ja C on seinän kohta, joka on samalla tasolla kuin A. Suorakulmaisessa kolmiossa ABC sivun AB pituus on 5 m ja sivun AC pituus on 1,5 m. Lasketaan Pythagoraan lauseella sivun BC = y pituus. y 1, 5 5 y 4, m Tikapuilla halutaan päästä 1 m + 4,769 m = 5,769 m korkeuteen.

61 D 5,769 m x C 1,5 m A Lasketaan uudesta suorakulmaisesta kolmiosta BDC sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 5, ,5 x 5, m Tikkaita tuli pidentää 5, m 5 m 0, m 96,149 cm 96 cm.

62 33. A 1,80 m B D 3,8 m C Talon harja on keskellä kattoa, joten talon katto on tasakylkisen kolmion muotoinen. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta janan DA pituus. DA 3,8 1,8 DA 4,... m Koska sivun pituus on positiivinen, niin DA 4,... m. A D 3,8 m 1,80 m C B 4,36 m E Kolmio ADC on yhdenmuotoinen kolmion ABE, koska kolmioilla on yhteinen kulma A kolmioilla vastinkulmana on suorakulma.

63 Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AD DC AB BE 4,... 3,8 AB 4,36 AB 4, m 4,8 m

64 34. a) Liito-oravan vaakasuora siirtymä suoraviivaisessa liidossa on 3,3- kertainen korkeuden vähenemiseen verrattuna. Merkitään korkeuden vähenemistä kirjaimella h, joten 60 m 3,3 h h 18, m Koska liito-orava laskeutuu 1 m korkeuteen, sen täytyy hypätä h 1 m 18, m 1 m 19,181 m 19 m korkeudelta.

65 b) A α 60 m B h C Piste A on liito-oravan hyppykohta, piste C on liito-oravan laskeutumiskohta. Lasketaan kulma α tangentin avulla. 18,181 tan 60 16,

66 35. Piirretään mallikuva. Tutkitaan kuinka korkealla linnunpesän pitää vähintään olla, jotta lintubongari sen juuri ja juuri näkee. Merkitään linnunpesän korkeutta kirjaimella x. A 5,0 m B D 0,90 m 65,0 m E F x 3,0 m G y C Kolmiot ABC, DEC ja FGC ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla: kaikilla kolmioilla on suora kulma vastinkulmana kulma C on yhteinen. Linnunpesän korkeus x voidaan ratkaista, jos kolmiosta FGC tunnetaan jonkin toisen sivun pituus. Merkitään sivun GC pituutta kirjaimella y. Tällöin sivun EC pituus on y + 3,0 sivun BC pituus on 65,0 + 3,0 + y = 68,0 + y.

67 Muodostetaan kolmioiden ABC ja DEC vastinsivujen avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä y. AB DE BC EC 5,0 68,0 y 0, 90 3,0 y y 11,68... m Muodostetaan sitten kolmioiden ABC ja FGC vastinsivujen suhteiden avulla verrantoyhtälö ja ratkaistaan siitä x. AB BC FG GC 5, 0 68, 0 11, x 11, x 0, m Linnunpesän tulisi olla vähintään 0,710 m = 71 cm korkeudella maasta, jotta lintubongari näkisi sen. Koska 50 cm < 71 cm, niin lintubongari ei näe linnunpönttöä.

68 36. a) AB (4 ) (1 ( )) 13 BC ( 4) (5 1) 0 5 b) Täydennetään suunnikkaan alapuolelle kaksi suorakulmaista kolmiota ja merkitään kolmioitten toista terävää kulmaa kirjaimella α ja β. Ratkaistaan kulmat α ja β sinin avulla. y 5 C = (, 5) 4 D = (0, ) 3 1 B = (4, 1) β γ α A = (, ) x 4 sin 5 63, sin 13 56,309...

69 Kulmat β, α ja γ muodostavat oikokulman, joten ,5660 Merkitän suunnikkaan toisen suuruista kulmaa kirjaimella θ. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten c) Piirretään kuvaan suunnikkaan korkeusjanan avulla suorakulmainen kolmio. Merkitään suunnikkaan korkeutta kirjaimella x. Ratkaistaan korkeus sinin avulla. y 5 C = (, 5) 4 D = (0, ) y B = (4, 1) x A = (, ) x x sin 13 x 3, ,1

70 37. y 1 D(, 1) C(7, ) x B(6, 1) A(1, ) Sivun AB pituus on AB (61) ( ( 1)) 6 Sivun AD pituus on AD ( 1) (1 ( )) 10 y 1 1 C(7, ) D(, 1) h x β 10 α 6 B(6, 1) γ A(1, ) Täydennetään suunnikkaan alapuolelle ja oikealle puolelle suorakulmaiset kolmiot ja merkitään kolmioitten toista terävää kulmaa kirjaimella γ ja β. Ratkaistaan kulmat γ ja β sinin avulla.

71 1 sin 6 11, sin 10 18, Kulmat γ, β ja α muodostavat suoran kulman, joten , ,3 Lasketaan sivu h sinin avulla. h sin 10 h, Suunnikkaan pinta-ala on A 6, , Merkitään suunnikkaan toisen suuruista kulmaa kirjaimella θ. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten ,7 Suunnikkaan kulmat ovat 60,3 ja 119,7.

72 38. a) D C 4,5 cm h A 60 6,8 cm B Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta sivun h pituus sinin avulla. h sin 60 4,5 h 3, cm Lasketaan suunnikkaan pinta-ala. Asuunnikas 6,8 cm 3, cm 6, cm 7 cm

73 b) D 4,5 cm 30 h A E Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman. Suorakulmaisen kolmion kärkikulman suuruus on 30. Lasketaan kolmion sivun h pituus. h cos30 4,5 h 3, cm Kolmion pinta-ala on A kolmio 4,5 cm 3, cm 8, cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia kolmion pinta-ala on suunnikkaan pinta-alasta. A A 6, cm 8, cm suunnikas kolmio 1 1 0, ,33 33 % Asuunnikas 6, cm

74 39. Merkitään tasakylkisen puolisuunnikkaan yhdensuuntaisia sivuja kirjaimilla a ja b. Tiedetään, että ab 5 a b 4 60,0 a 30 b Saadaan yhtälöpari ab5 a 30 b Ratkaistaan yhtälöpari. (30 b) b5 b 1,5 a 1,5 5 a 17,5 Yhdensuuntaisten sivujen pituudet ovat 1,5 cm ja 17,5 cm.

75 40. a) Merkitään kuvaruudun leveyttä 16x ja korkeutta 9x. Kuvaruudun lävistäjä on 40 tuuma 40,54 cm 101,6 cm 16x 9x 101,6 cm Lasketaan Pythagoraan lauseella muuttuja x. (16 x) (9 x) 101, 6 x 5, cm Kuvaruudun mitat ovat Leveys 16x 165, cm 88,55... cm 88,6 cm Korkeus 9x 95, cm 49, cm 49,8 cm b) A 88,55... cm 49, cm 4 410, cm 4 411cm

76 41. a) Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinjanojen suhde on mittakaava. Merkitään pienoismallin pituutta kirjaimella x x 3 x 3, 6 m 360 cm b) Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinjanojen suhde on mittakaava. Merkitään oikean lentokoneen siipien kärkiväliä kirjaimella x. x 70 3, 79 3 x 88, m 88,4 m

77 4. a) Lasketaan Merkuriuksen säde ympärysmitan avulla r r Merkurius Merkurius 435, km Merkuriuksen pinta-ala on A Merkuruis 4 r merkurius , km Maan pinta-ala on A Maa r , km Lasketaan, kuinka monta prosenttia Merkuriuksen pinta-ala on Maan pintaalasta. A A , km , km , km Maa Merkuruis 1 1 A Maa 0, ,146 14,6 %

78 b) Piirretään mallikuva. Kysytty kulma on tangenttien väliin muodostuva tangenttikulma β. Tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan km km ,99 km β α Muodostetaan kuvioon suorakulmainen kolmio. Kolmion hypotenuusan pituus: km 435,070 km = ,99 km. Kolmion toinen kateetti on sama kuin Auringon säde. Kolmion terävä kulma α on puolet tangenttikulmasta: β = α. Ratkaistaan kulma α sinin avulla sin , , Tangenttikulma β on 0, , ,38

79 c) Merkuriuksesta nähdään se osa ympyrän kaarta b, joka jää tangenttisuorien väliin. b km γ km ,99 km α β Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma: , , Kaarta vastaavan keskuskulman suuruus: 89, ,63... Lasketaan keskuskulmaa vastaavan kaaren pituus. 178,63... b km , km km 360

80 43. a) y 7 B(0, 6) 6 5 A(, 5) 4 3 C(1, 3) x Lasketaan ympyrän säde, joka on janan AB pituus. AB (0 ) (6 5) 5 Ympyrän pinta-ala on A 5 5

81 b) Lasketaan janan BC keskipiste ja merkitään sitä kirjaimella D D,, y 7 B(0, 6) 6 5 (, 1 ) 9 4 D α β A(, 5) 3 C(1, 3) x Lasketaan sivun BD pituus. BD

82 Kolmio ABC on tasakylkinen kolmio, koska janat BA ja CA ovat yhtä pitkiä. Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kolmion kärkikulman. Merkitään kulmaa A ja. Lasketaan kulma α sinin avulla. 5 sin 5 45 Kaarta BC vastaava keskuskulma on 4590

83 c) Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. y 7 B(0, 6) 6 5 (, 1 ) 9 4 D α β A(, 5) γ 3 C(1, 3) x Kolmion ABC pinta-alan ratkaisemiseksi tarvitaan janan AD pituus ja janan CB pituus. AD CB DB Kolmion ABC pinta-ala on A kolmio 5 5 5

84 Kulmat γ ja β muodostavat täyden kulman, joten Lasketaan sektorin pinta-ala Asektori Väritetyn alueen pinta-ala on 15 5 Asektori Akolmio. 4 Tämän likiarvo on , ,3. 4

85 44. Lasketaan pyramidin vaipan ala. Piirretään mallikuva pyramidista. 1,64 m x x 35,4 m 35,4 m Vaippa koostuu neljästä tasasivuisesta kolmiosta, jonka kanta on 35,4 m ja korkeutta merkitään kirjaimella x. Pyramidin sisälle muodostui suorakulmainen kolmio. Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet pohjasärmän pituudesta. 1,64 m x 17,71 m Ratkaistaan sivun x pituus Pythagoraan lauseella. x 1,64 17,71 x 7, m Koska x > 0, niin x = 7, cm.

86 Vaipan pinta-ala on 35,4 m7, m A , m Samasta lasimäärästä valmistetaan suorakulmaisen särmiön muotoinen rakennus. Lasketaan, kuinka korkea särmiöstä saadaan. h 35,4 m Särmiön pinta-ala koostuu 4 samanlaisesta tahkosta sekä neliönmuotoisesta katosta. Lasketaan rakennuksen korkeus. 1980, (435, 4 h) (35, 435, 4) h 5,16... m Pyramidin tilavuus on V pyramidi 35,4m35,4m1,64m 9 049, m 3 3 Särmiön tilavuus on V särmiö 35, 4 m 35, 4 m 5,16... m 6431, m 3

87 Lasketaan, kuinka monta prosenttia särmiön tilavuus on pyramidin tilavuudesta. V V 9049, m 6431, m , m pyramidi särmiö 1 1 V pyramidi 0, ,71 71 % 3 3

88 45. a) Hahmotellaan mallikuva ojan poikkileikkauksesta. 95 cm 55 cm 15 cm 104 m pitkän ojan tilavuus V saadaan lieriön tilavuutena. Muutetaan kaikki arvot metreiksi: 95 cm = 0,95 m 55 cm = 0,55 m 15 cm = 0,15 m V 0,95 0,15 0, ,46 m 31 m 3 3

89 b) Hahmotellaan uusi mallikuva ojan poikkileikkauksesta. Merkitään kirjaimella x ojan uutta leveyttä. 0,95 α 0,55 x Ojan uusi tilavuus on V V 5m 36,46m 3 3 Muodostetaan tilavuuden yhtälö ja ratkaistaan siitä x. 0,95 x 0, , 46 x 0,34... m x 0,3 m x 3 cm

90 y 0,3 m y α 0,55 0,3 m Lasketaan janan y pituus. 0,3 m y y 0,95 m y 0,315 m Lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. 0,55 tan 0,315 60,

91 46. a) b) r r Ympyrälieriön pohjan säde on r ja korkeus on 6r. Lasketaan ympyrälieriön tilavuus. Vlieriö (3,80 cm) (63,80 cm) 1 034,31... cm 3 Lasketaan kolmen pallon tilavuus. V pallot 4 3 (3,80 cm) 689, cm Tyhjää tilaa jää Vlieriö Vpallot 1 034,31... cm 689, cm 344, cm 345 cm

92 c) Lieriön pinta-ala on A A A lieriö pohja vaippa (3,80 cm) 3,80 cm (6 3,80 cm) 635, cm 635 cm

93 47. Merkitään ympyräkartion pohjan sädettä kirjaimella r, tällöin pohjan halkaisija ja kuution särmän pituus on r. Merkitään kuution korkeutta kirjaimella x, tällöin ympyräkartion sivujanan x x pituus on x. 3 3 Kuution korkeus on r, tällöin ympyräkartion sivujanan pituus on r 4 r. 3 3 Kuution pinta-ala on Akuutio 6 rr 4r Kartion pinta-ala on A A A kartio pohja vaippa r 3 r r r Lasketaan, kuinka monta prosenttia kartion pinta-ala on pienempi kuin kuution pinta-ala. A kuutio A A kuutio kartio 7 4r r 3 0, , ,5 % 4r

94 48. a) 7,4 cm s r Lasketaan ympyräkartion pohjan säde r kartion tilavuuden avulla. r 7, r 5, cm Koska r > 0, niin r = 5,495 cm. Lasketaan kartion sivujanan s pituus Pythagoraan lauseella. 7,4 5, s s 9,17... cm Koska s > 0, niin s = 9,17... cm.

95 Kartion pinta-ala on A A A pohja vaippa (5, cm) 5, cm 9, cm =53, cm 50 cm b) 7,4 cm s r Lasketaan kulman α suuruus tangentin avulla. 7,4 tan 5, ,

96 c) Piirretään poikkileikkauskuva. Kartion poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 7, 4 r (cm) C r D 9,17 7,4 r r G r A H 5,495 B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.

97 Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC DC HB DG 9, , ,4 r r r, cm Pallon tilavuus on V pallo 4 (, cm) , cm 0, dm 0, l 8, dl 88, cl 88 cl

98 49. a) Piirretään mallikuva. Sivutahko 14,5 cm h 14,5 cm 1,4 cm 1,4 cm 6, cm Lasketaan sivutahkon korkeus h Pythagoraan lauseen avulla. h 6, 14,5 h 13, cm Koska h > 0, niin h = 13,107 cm. Pyramidin vaipan pinta-ala muodostuu neljästä samanlaisesta sivutahkosta. Vaipan ala on A vaippa 1,4 cm13, cm 4 35, cm 35 cm

99 b) Piirretään poikkileikkauskuva. Pyramidin poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 11,5 r (cm). C 11,5 r 13,107 r r G D r A H 6, cm B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.

100 Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC DC HB DG 13, , 11,5 r r r 3,69... cm Pallon pinta-ala on A 4 (3,69... cm) 171, cm 171 cm

101 5.3 Monivalintatehtävät 1. Merkitään kolmion kantakulmia kirjaimella α. Kolmion kulmien summa on 180, joten : 69 Oikea vastaus on b.

102 . Merkitään suorakulmaisen kolmion pienempää terävää kulmaa kirjaimella x, tällöin toisen terävän kulman suuruus on x + 5. Kolmion kulmien suuruus on 180, joten x( x5 ) x 65 : x 3,5 Suurempi terävä kulma on tällöin 3,5 + 5 = 57,5. Oikea vastaus on a.

103 3. Suunnikkaassa on kaksi yhtä suurta terävää kulmaa ja kaksi yhtä suurta tylppää kulmaa. Merkitään tylppää kulmaa kirjaimella α. Suunnikkaan kulmien summa on 360, joten : 14 Oikea vastaus on b.

104 4. Merkitään suorakulmion kantaa kirjaimella x, tällöin korkeus on 4x. Muodostetaan suorakulmion piirin yhtälö ja ratkaistaan siitä x. p 90 cm xx4x4x90cm 10x 90 cm :10 x 9cm Suorakulmion leveys on x = 9 cm ja korkeus on 4x 49cm 36cm. Oikea vastaus on a.

105 5. Muodostetaan ympyrän pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä ympyrän säde r. r 36 : 36 r r 36 r 36 r 6 Koska r > 0, niin 6 r. Oikea vastaus on c.

106 6. Ympyrän halkaisija on 0, joten sen säde on 10. Lasketaan sektorin kaaren pituus. 30 b Oikea vastaus on b.

107 7. Kolmio on suorakulmainen, jos Pythagoraan lause toimii siinä. Jos sivujen pituudet ovat 3, ja Oikea vastaus on c.

108 8. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. Muodostetaan vaipan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä s. 9s 7 :9 7 s 9 s 3 Oikea vastaus on c.

109 9. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Muodostetaan pallon pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä r. A pallo 4 64 :4 64 r r r r 16 r 4 Koska r > 0, niin r = 4. Oikea vastaus on a.

110 10. Merkitään pidemmän kateetin pituutta kirjaimella x ja lasketaan Pythagoraan lauseen avulla se. 3 x 8 9x 64 x 55 x 55 Koska x > 0, niin x 55. Oikea vastaus on a.

111 11. β 5 x Merkitään kulman β vastaista sivua kirjaimella x. Lasketaan Pythagoraan lauseella sivu x. x 5 4x 5 x 1 x 1 Koska x > 0, niin x 1. Nyt sin 1 5 Oikea vastaus on c.

112 1. 13 m h m Sivun h pituus saadaan laskettua sinin avulla. h sin m h 13 m sin 67 Oikea vastaus on b.

113 13. Piirretään mallikuva kolmiosta. 10 h 5 Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Lasketaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta sivun h pituus Pythagoraan lauseella. 5 h 10 h h 75 h 75 h Koska h > 0, niin h 5 3. Oikea vastaus on a.

114 14. Merkitään pidempää sivua kirjaimella a. Muodostetaan puolisuunnikkaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä a. 5 a 4 8 (5 a) 8 : 5a 14 a 9cm Oikea vastaus on b.

115 15. α β β 3 Kulmat β, β ja 3 muodostavat täyden kulman, joten : 64 Kulmat α, β ja suorakulma muodostavat suorakulmaisen kolmion. kolmion kulmien summa on 180, joten Oikea vastaus on a.

116 16. Kolmiot ABC ja CBE ovat yhdenmuotoisia, koska kolmioilla on yhteinen kulma B janat AC ja DE ovat samansuuntaiset, joten samankohtaiset kulmat A ja D ovat yhtä suuret. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. Merkitään janan DE pituutta kirjaimella x. AC AB DE DB 1,0 4,0 6,0 x 6,0 x (4,06,0) 1,06,0 10x 7 :10 x 7, cm Oikea vastaus on c.

117 17. A E β α G α B D β F C Kulmat α ja α ovat ristikulmia, joten ne ovat yhtä suuret. Kulmilla β ja β on jana BD vasempana kylkenä, joten kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska janat AB ja AC ovat yhdensuuntaisia, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret eli β = β. Kolmiot ABG ja CDG ovat yhdenmuotoiset kk-lauseen nojalla. Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AB EG DC FG,0 1,0 3, 0 FG FG 3 : FG 3 m

118 Kolmion DCG pinta-ala on ADCG 3 9m 3, 0 m m 9m 1 9 m, 5 m 4 Oikea vastaus on a.

119 18. Kolmiot BCD, ADB ja ABC ovat yhdenmuotoisia, koska Kaikilla kolmioilla on suora kulma vastinkulmana. Kolmioilla ABC ja ADB on yhteinen kulma A. Kolmioilla ABC ja BCD on yhteinen kulma C. Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ABD janan BD pituus Pythagoraan lauseella. BD 3 4 BD 9 BD 5 BD 5 Koska sivun pituus on positiivinen, niin BD 5 Yhdenmuotoisilla kolmioilla vastinsivujen suhde on sama. AD BD BD CD 5 5 CD CD 5 5 : 5 CD,5 Oikea vastaus on c.

120 19. C r G H 5 A r E 3 I Koska kulma H on suorakulmainen kulma ja kulmat E ja G ovat ympyrän tangentteja eli suorakulmaisia, niin kulma A on suorakulmainen. Koska janat GA ja AE ovat pituudeltaan r, ovat myös GH ja EH pituudeltaan r. Sivu HI on pituudeltaan r + 3 ja sivu HC on pituudeltaan r +. Lasketaan Pythagoraan lauseen avulla ympyrän säde r. ( r3) ( r) r 10r10 : r 5r60 r r r r

121 Käytetään ratkaisukaavaa. (5) 5 41( 6) x 1 x x x 6 tai x 1 Koska x > 0, niin x = 1. Oikea vastaus on a.

122 0. Merkitään kateetteja 3x ja 4x. Lasketaan Pythagoraan lauseella x:n arvo. (3 x) (4 x) 10 x x x : 5 x 4 x 4 x cm Koska x > 0, niin x = cm. Kateettien pituudet ovat 3x 3cm 6cm 4x 4cm 8cm Oikea vastaus on c.

123 1. Lasketaan kulma kosinin avulla. 13,1 cos 17, 40, ,4 Oikea vastaus on b.

124 . Merkitään hypotenuusaa kirjaimella x. Lasketaan hypotenuusan pituus sinin avulla. 9,16 sin 7,48 x x 19, cm x 19,9 cm Oikea vastaus on a.

125 3. Merkitään keskuskulmaa kirjaimella α. Muodostetaan kaaren pituuden yhtälö ja ratkaistaan α. 15,0 75, , Oikea vastaus on c.

126 4. α 11,5 cm 15,5 cm Lasketaan tangentin avulla kulma α. 15,5 tan 11,5 53, , 4 Oikea vastaus on c.

127 5. Merkitään pohjaympyrän säteen pituutta kirjaimella r, tällöin ympyräkartion sivujanan pituus on r. Muodostetaan kartion vaipan pintaalan yhtälö ja ratkaistaan r. rr 319 r 7,15... cm r 7,13 cm Oikea vastaus on a.

128 6. 9,4 cm Pohja 5,3 cm y y α 5,3 cm 5,3 cm 5,3 cm Lasketaan ensin pohjan lävistäjän pituus y Pythagoraan lauseella. y 5,3 5,3 y 7, Lasketaan tangentin avulla kulma α. 9, 4 tan 7, , Oikea vastaus on b.

129 7. 3,10 dm h 1,55 dm Pyramidin pohjan korkeusjana h voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 1,55 h 3,10 h, dm Pyramidin tilavuus on V 3,10 dm, dm 4,9 dm 6, dm 6,8 dm Oikea vastaus on a.

130 8. Piirretään poikkileikkauskuva. kartion poikkileikkaus on tasakylkinen kolmio ABC. Pallon poikkileikkaus on ympyrä, joka sivuaa kolmion kaikkia sivuja. Kolmion sivut ovat ympyrän tangentteja. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r ja keskipistettä kirjaimella D. Pallon keskipisteen ja kartion huipun välisen janan pituus CD 1 r (cm). C 1 r r r G D r A H 4, cm B Koska kolmion ABC sivujana BC on ympyrän tangentti, pallon säde on kohtisuorassa kartion sivujanaa vastaan. Poikkileikkauskuvaan kolmiot BCH ja CDG ovat yhdenmuotoiset, koska molemmissa kolmioissa on suora kulma vastinkulmana kulma C on kolmioille yhteinen.

131 Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta BCH sivun BC pituus Pythagoraan lauseen avulla. BC 4, 1 BC 1, cm Koska sivun pituus on positiivinen, niin BC 1, cm Muodostetaan kolmioiden BCH ja CDG vastinsivujen suhteiden avulla verranto ja ratkaistaan siitä r. BC HB DC DG 1, , 1 r r r, cm r 3, 0 cm Oikea vastaus on c.

132 9. Piirretään mallikuva. Merkitään pisteellä A kuumailmapallon paikka. Merkitään pisteellä B paikka mihin asti kuumailmapallosta näkee. Merkitään Maan keskipistettä kirjaimella O. A C B β r O Kuumailmapallo on 755 m:n korkeudessa, joten janan AC pituus on,755 km. Janan OA pituus on OA OC AC km,755 km 6 37,755 km Lasketaan kulman β suuruus cos 6 37,755 1,684...

133 Lasketaan kaaren pituus b. 1, b ,31... km 187,3 km 360 Oikea vastaus on a.

134 30. Lasketaan kuinka pitkän matkan Mars matkaa 686,96 päivässä. Muutetaan päivät sekunneiksi. 686,96 d = ,04 h = 989,4 min = s Marsin kiertonopeus on 4,077 km/h, joten sen kiertorata on s4,077 km / s ,488km Marsin kiertorata on ympyrän muotoinen, joten muodostetaan kehän pituuden yhtälö ja ratkaistaan säde r. r ,488 r , km Planeetan etäisyys Auringon pinnasta on kiertoradan säde vähennettynä auringon säde. Planeetan etäisyys auringon pinnasta on , km km , km km Oikea vastaus on c.

135 31. Merkitään kateetteja x ja 5x. x 5x α Lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. x tan 5x 5 1, Oikea vastaus on a.

136 3. 8,40 cm h 10, cm 1 α Kulmat 1 ja α muodostavat oikokulman, joten Lasketaan sivun h pituus sinin avulla. h sin 58 8, 40 h 7,13... cm Kolmion pinta-ala on 10, cm 7,13... cm A 36, cm 36,3 cm Oikea vastaus on c.

137 33. x r Merkitään kuoritun appelsiinin sädettä kirjaimella r. Merkitään kuorimattoman appelsiinin sädettä kirjaimella x. Muodostetaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan x. 4 x 65,9 : 4 x 4, cm Kuoritun appelsiinin säde on 4, cm 0, 1 cm 4, cm Kuoritun appelsiinin halkaisija on 4, cm 8, cm 8,8 cm 88 mm Oikea vastaus on c.

138 34. Pohja 5,89 cm x y y x x x Lasketaan pohjan lävistäjän y pituus Pythagoraan lauseen avulla. x x y y x Koska y > 0, niin y x. Sivut x, y ja avaruuslävistäjä muodostavat suorakulmaisen kolmion. Lasketaan Pythagoraan lauseella x. x x 5,89 x 3, cm Kuution tilavuus on 3 3 V 3, , , ,34... cm 39,3 cm Oikea vastaus on c.

139 35. Piirretään poikkileikkauskuva. r r Merkitään kuution sivun pituutta r, tällöin ympyrälieriön pohjan säde on r. Kuution tilavuus on Vkuutio rrr 8r 3 Lieriön tilavuus on Vlieriö r r r 3 Lasketaan, kuinka monta prosenttia lieriön tilavuus on kuution tilavuudesta. V V lieriö kuutio 3 r 0, ,79 79 % 3 8r Oikea vastaus on a.

140 36. Pituuksien suhde on mittakaava. Merkitään juoksurataa kartalla kirjaimella x. x 1 4, x 0, km 0,0105 m 1,05 cm Oikea vastaus on b.

141 37. Lasketaan teltan säteen r pituus kehän pituuden avulla. 180 r 3,8 360 r 1,09... m Puolipallon tilavuus on puolet pallon tilavuudesta. Teltan tilavuus on V 1 4 (1,09... m) 3, m 3,7 m Oikea vastaus on b.

142 cm 1,5 cm α 5 cm 5 cm Pyramidin korkeusjana, sivutahkon korkeusjana ja puolet pohjasivun pituudesta muodostavat suorakulmaisen kolmion lasketaan tangentin avulla kulman α suuruus. 18 tan 1,5 55, Oikea vastaus on a.

143 39. Piirretään mallikuva. 5,0 cm 6,0 cm h 4x 5x Merkitään kolmion kannan pituuksia 4x ja 5x. Kolmion korkeusjana leikkaa kolmiosta kaksi suorakulmaista kolmiota. Muodostetaan yhtälöpari Pythagoraan lauseen avulla. 5 (4 x) h 6 (5 x) h 5 (4 x) 6 (5 x) x 11 cm 3 Korkeusjanan pituus on 11 h h, cm,3 cm Oikea vastaus on b.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA

GEOMETRIAN PERUSTEITA GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Avaruusgeometrian perusteita

Avaruusgeometrian perusteita Avaruusgeometrian perusteita Määritelmä: Kolmiulotteisen avaruuden taso on sellainen pinta, joka sisältää kokonaan jokaisen sellaisen suoran, jonka kanssa sillä on kaksi yhteistä pistettä. Ts. taso on

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.

Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29. 1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

OA5 Yli esteiden Nimi

OA5 Yli esteiden Nimi O5 A Yli esteiden Nimi Kappale 1 1. Täydennä edeltävä ja seuraava luku. 3 999 9 499 5 729 4 001 9 501 5 731 4 000 9 500 5 730 44 999 17 559 20 998 45 001 17 561 21 000 45 000 17 560 20 999 2. Jatka lukujonoja.

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Lukion geometrian opiskelusta

Lukion geometrian opiskelusta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Visama Lukion geometrian opiskelusta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Helmikuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö VISAMA, JOHANNA:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot