Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Transkriptio

1 Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin toiseen htälöön Näiden operaatioiden suorittaminen ei muuta htälörhmän ratkaisuja Täten rhmä voidaan ratkaista eliminoimalla jokin muuttujista pois alkeisoperaatioita kättäen Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla htälörhmän ratkaisemista kättäen Gaussin eliminointimenetelmää Esimerkki Ratkaise htälöpari 9 Eliminoidaan alemmasta htälöstä alkeisoperaatioilla Tämä tapahtuu lisäämällä toiseen htälöön ensimmäinen htälö luvulla kerrottuna: 9 9 joten alkuperäinen htälöpari kirjoitetaan muotoon 9 Tämän htälöparin ja siten mös alkuperäisen htälöparin ratkaisu on 9 / ( ) / ( 9) / / Graafisesti tämä merkitsee sitä että suorat ja 9 leikkaavat pisteessä (7; -) 7

2 Esimerkki Ratkaise htälörhmä 8 Yhtälörhmä on helppo ratkaista etenemällä htälöissä alhaalta löspäin: ) / ( ) / ( ) / ( ) / ( 8 / Esimerkki Ratkaise htälörhmä Eliminoidaan toisesta ja kolmannesta htälöstä vaihtamalla ensin ensimmäisen ja toisen htälön järjests: Lisätään tämän jälkeen kolmanteen htälöön ensimmäinen htälö luvulla kerrottuna: Eliminoidaann kolmannesta htälöstä kertomalla ensin toinen htälö puolittain luvulla / (eli jakamalla se puolittain luvulla ): ja lisäämällä sen jälkeen kolmanteen htälöön toinen htälö luvulla kerrottuna: Tämän rhmän ja siten mös alkuperäisen rhmän ratkaisu on / 8 8/ / / 8/ 7/

3 Esimerkki Ratkaise htälörhmä Tuhotaan toisesta ja kolmannesta htälöstä lisäämällä toiseen htälöön ensimmäinen luvulla kerrottuna ja lisäämällä kolmanteen htälöön ensimmäinen luvulla kerrottuna: Lisäämällä kolmanteen htälöön toinen luvulla kerrottuna saadaan Koska kaikilla muuttujien ja arvoilla niin htälörhmällä ei ole ratkaisua Esimerkki Ratkaise htälörhmä Tuhotaan toisesta ja kolmannesta htälöstä lisäämällä toiseen htälöön ensimmäinen luvulla kerrottuna ja lisäämällä kolmanteen htälöön ensimmäinen luvulla kerrotuna: Tuhotaan kolmannesta htälöstä lisäämällä siihen toinen htälö luvulla kerrottuna: Koska htälö on identtisesti tosi niin rhmä on htäpitävä htälöparin kanssa Tällä htälöparilla on äärettömän monta ratkaisua sillä muuttujalle voidaan antaa mikä lukuarvo tahansa jolloin ja määrätvät ksikäsitteisesti Ratkaisu ilmoitetaan tavallisesti lausumalla ja muuttujan avulla:

4 ( ) Merkitään t jolloin rhmän ratkaisu saa muodon t t t missä muuttujalla t saa olla mikä lukuarvo hvänsä Valitsemalla esimerkiksi t ja t nähdään että ja ovat kaksi htälörhmän ratkaisua Esimerkki Honda CB F:n massa ajokunnossa on kg ja sen akseliväli on m Miten suurelle pöräkuormalle takaiskunvaimentimet pitää mitoittaa jos pörän satulassa istuu kaksi 8 kg:n massaista henkilöä ja kokonaispainopiste on tällöin metriä taka-akselin etupuolella T F T Jos takapörän kuorma on T ja etupörän kuorma T saadaan htälö F T T eli kokonaiskuorma jakautuu molemmille pörille ja moottoripörä ps paikoillaan pstsuunnassa Lisäksi laitteen tät psä paikoillaan pörimättä jolloin voidaan muodostaa ns momenttihtälö taka-akselin suhteen: F m T * m *

5 Näin muodostuu htälörhmä: F T T F* m T *m Alemmasta htälöstä voidaan ratkaista T F ja tämä tulos voidaan edelleen sijoittaa lempään htälöön: F T F T F Lopputulos saadaan sijoittamalla Fmg( kg*8kg)*98m/s 9N Takapörän kuormitus on T 9N N kg