Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa"

Transkriptio

1 Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010

2 Tiivistelmä Harppi ja viivain ovat olleet keskeisiä välineitä geometriassa sen alkuajoista saakka. Tutkimuksen määrästä huolimatta vaikuttaisi kuitenkin siltä, että niitä on käsitelty vain tasossa. Mohrin-Mascheronin lauseen (todistettu vuonna 1672) mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Tutkielmassa esitetään tälle lauseelle yksinkertainen todistus sekä muotoillaan sille kolmen ulottuvuuden vastine. Kolmen ulottuvuuden harppi-viivaingeometriassa käytetään tasoja ja palloja suorien ja ympyröiden sijaan, mikä johtaa siihen, että leikkauskuvioiksi muodostuu muutakin kuin pisteitä. Kolmen ulottuvuuden lause pyritään todistamaan seuraamalla analogisesti kahden ulottuvuuden todistusta. Tutkimuksen edetessä janan kahdentaminen pelkillä palloilla muodostui ongelmaksi, ja kolmen ulottuvuuden lauseen ehdoksi täytyi lisätä, että on annettuna jokin suora. Tätä lisäehtoa käyttäen lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Kolmen ulottuvuuden välineet 9 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Pallon ja tason leikkauskuviot Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Aputulos: Janan kahdennus palloilla Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Janan kahdennus pelkällä pallottimella Puolituksesta kahdennukseen Kahdennuksesta puolitukseen Johtopäätökset 17

4 1 1 Johdanto Klassillisessa geometriassa harpilla ja viivaimilla tehtävät konstruktiot olivat tärkeässä asemassa. Vuonna 1797 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni todisti yllättävän tuloksen, jonka mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset geometriset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Vuonna 1928 kävi ilmi, että tanskalainen Georg Morh oli todistanut tuloksen jo vuonna Tulos tunnetaan nykyään Mohrin-Mascheronin lauseena.[1, 2, 3, 4] Tässä tutkielmassa selvitän, yleistyykö Mohrin-Mascheronin lause kolmeen ulottuvuuteen. Tutkielmassa esitellään yksinkertainen todistus kahden ulottuvuuden lauseelle ja pyritään todistamaan kolmen ulottuvuuden vastine. 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Mohrin-Mascheronin lause. Jokainen harpilla ja viivaimella mahdollinen geometrinen konstruktio voidaan tehdä ilman viivainta. Kun ympyrästä tunnetaan keskipiste ja yksi kehän piste, se olkoon tunnettu. Vastaavasti kun suorasta tunnetaan kaksi pistettä, se olkoon tunnettu. Kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot koostuvat seuraavista kolmesta peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun ympyrän leikkauspisteet 2. Tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3. Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Täten Mohrin-Mascheronin lauseen todistukseksi riittää, että osoitetaan harpilla voitavan tehdä kyseiset konstruktiot. Tässä esitettävä todistus seuraa ajatukseltaan Norbert Hungerbühlerin todistusta [5], mutta on yksityiskohtaisempi. Kahden ympyrän leikkauspisteiden konstruoimisessa pelkällä harpilla ei ole mitään epäselvää, joten todistuksen voi aloittaa tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteistä.

5 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Lause 1. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkemattoman suoran leikkauspisteet. Kuva 1: Suora ei kulje keskipisteen kautta Kulkekoon suora l pisteiden A ja B kautta, ja kulkekoon ympyrä Y pisteen C kautta keskipisteenä K. Piirretään ympyrät pisteen K kautta toisessa keskipisteenä A ja toisessa B. Näiden ympyröiden toinen leikkauspiste K on pisteen K peilaus suoran l suhteen. Piirretään ympyrän Y säteinen ympyrä Y, jonka keskipiste on K. Nyt ympyröiden Y ja Y leikkauspisteet L1 ja L2 ovat ympyrän Y ja suoran l leikkauspisteet Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Aputulos 1. Pelkällä harpilla voidaan puolittaa tai kahdentaa jana, jonka päätepisteet tunnetaan. Kuva 2: Jana AB ja ympäripiirretyt ympyrät

6 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3 Olkoon A ja B janan päätepisteet. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen B kautta keskipisteenä A ja ympyrä Y 2 pisteen A kautta keskipisteenä B. Olkoot ympyröiden Y 1 ja Y 2 leikkauspisteet C ja D. Kuva 3: Janan AB kahdennus Piirretään ympyrä Y 3 pisteen C kautta keskipisteenä D. Saadaan ympyröiden Y 2 ja Y 3 leikkauspiste E. Nyt koska kolmio DCE on symmetrian nojalla tasasivuinen, on piste E janan CD keskinormaalilla, eli samalla suoralla pisteiden A ja B kanssa. Täten janan AE ollessa ympyrän Y 2 halkaisija, B on janan AE keskipiste, joten AE = 2AB. Piirretään ympyrä Y 4 pisteen A kautta keskipisteenä E. Saadaan ympyröiden Y 1 ja Y 4 leikkauspisteet F ja G. Kuva 4: Janan AB puolitus

7 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 4 Nyt piirretään ympyrä Y 5 pisteen A kautta keskipisteenä F ja ympyrä Y 6 pisteen A kautta keskipisteenä G. Saadaan ympyröiden Y 5 ja Y 6 leikkauspiste H. Huomataan, että kolmiot F AH ja F AE ovat yhdenmuotoisia yhden suhteessa kahteen, joten H on janan AB keskipiste ja jana on puolitettu Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Lause 2. Pelkällä harpilla voidaan konsruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkevan tunnetun suoran leikkauspisteet. Kuva 5: Suora kulkee keskipisteen kautta Olkoon Y 1 ympyrä, jonka keskipiste on K ja g suora, joka kulkee pisteiden P ja K kautta. Olkoon A jokin mielivaltainen suoran g ulkopuolinen piste ympyrän Y 1 kehällä. Pisteiden A ja P kautta kulkevan suoran leikkauspiste B ympyrän Y 1 kanssa saadaan tuloksen 1 nojalla konstruoitua.

8 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 5 Kuva 6: Ympyrän Y1 halkaisijan pituinen segmentti ympyrällä Y2 Olkoon Y 2 ympyrä, joka kulkee pisteiden A ja B kautta ja jonka säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Olkoon tämän ympyrän keskipiste K. Tämä voidaan konstruoida piirtämällä A:n ja B:n ympäri ympyrät, joiden säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Konstruoidaan ympyrälle Y 2 segmentti CD, jonka pituus on kaksi kertaa suurempi kuin ympyrän Y 1 säde. (Tämä on mahdollista aputulos 1:n nojalla.) Piirretään ympyrä Y 3 pisteen P kautta keskipisteenä K. Kuva 7: Pistettä P vastaava piste P ympyrältä Y3

9 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 6 Nyt aputulos 1:sen avulla löydetään janan CD keskipiste K. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen C kautta keskipisteenä K. Lauseen 1 avulla löydetään myös pisteiden C ja D kautta kulkevat suoran ja ympyrän Y 3 toinen leikkauspiste. Olkoon tämä piste P. Piirretään vielä ympyrälle Y 1 piste E siten, että P E = P B. Kuva 8: Leikkauspisteet L1 ja L2 saadaan selville Huomataan, että pisteen potenssin nojalla P L2 P L1 = P B P A = P C P D, joten pistejoukot P, L1, K, L2, B ja P, D, K, C, E ovat keskenään yhtenevät. Täten EC = BL2 ja ED = BL1, joten suoran g ja ympyrän Y 1 leikkauspisteet saadaan konstruoitua käyttäen vain harppia. 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Lause 3. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida kahden tunnetun suoran leikkauspisteet. Ennen tämän todistamista on kuitenkin syytä todistaa aputulos Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Aputulos 2. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun suoran ja sen normaalin leikkauspiste, jos normaalilta tunnetaan jokin suoran ulkopuolinen piste.

10 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 7 Kuva 9: Suoran ja normaalin leikkauspiste Piirretään ympyrä Y 1 pisteen P kautta keskipisteenä A ja vastaavasti ympyrä Y 2 keskipisteenä B. Ympyröiden Y 1 ja Y 2 toinen leikkauspiste olkoon P. Nyt pisteiden P ja P kautta kulkeva suora on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran normaali ja suorien leikkauspiste on janan P P keskipiste, joka saadaan konstruoitua aputuloksen 1 nojalla. Nyt päästään itse todistukseen. Kuva 10: Leikkaavat suorat Olkoot suorat q ja s tunnettuja siten, että q kulkee pisteiden A ja B ja s pisteiden C ja D kautta. Olkoon suorien leikkauspiste L. Konstruoidaan suoran s ja sen B:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste N. Sitten konstruoidaan vielä suoran q ja sen N:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste M. Tämä onnistuu aputuloksen 2 nojalla. Huomataan, että kolmiot BN L ja BN M ovat yhdenmuotoiset (molemmissa on suora kulma ja kulma M BN). Tästä saadaan

11 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 8 verranto: BN BL = BM BN (BN)2 = BM BL Nyt tavoitteena olisi saada konstruoitua janan BL pituus r, koska tällöin piste L saadaan konstruoitua pisteen B ympäripiirretyn r-säteisen ympyrän ja suoran s leikkauspisteenä lauseen 1 nojalla. Kuva 11: Etäisyyden BL konstruointi Kaksinkertaistetaan jana BN (katso aputulos 1) siten, että BG = 2BN. Nyt piirretään tarpeeksi suuri ympyrä Y pisteiden B ja G kautta. Tämä onnistuu piirtämällä B:n ja G:n ympäri samansäteiset ympyrät, joiden säde on esimerkiksi BG. Piirretään jana NE siten, että NE = BM. Konstruoidaan vielä pisteiden N ja E kautta kulkevan suoran ja ympyrän Y leikkauspiste F. Tämä onnistuu lauseen 1 nojalla. Nyt käytetään pisteen potenssia ja huomataan, että BM BL = (BN) 2 = BN NG = EN NF = BM NF BL = NF Täten janan BL pituus r voidaan konstruoida ja todistus on valmis.

12 9 3 Kolmen ulottuvuuden välineet Tutkittaessa Mohrin-Mascheronin lausetta kolmessa ulottuvuudessa otetaan käyttöön uudenlaiset välineet harpin ja viivaimen tilalle. Nämä ovat esikuviensa kolmiulotteiset vastineet: pallotin ja tasotin. Tasottimella voidaan piirtää taso, joka kulkee kolmen tunnetun pisteen kautta, kunhan nämä pisteet eivät ole samalla suoralla. Pallottimella voidaan piirtää pallo, jonka keskipiste ja jokin pinnan piste ovat annettuja. Tämän lisäksi janan kahdentaminen näyttää vaativan, että avaruudessa on annettuna jokin suora. Tätä käsitellään itse todistuksen jälkeen. 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Lause 4. Jokainen geometrinen konstruktio, joka on mahdollinen pallottimella ja tasottimella voidaan tehdä ilman tasotinta, kunhan on annettuna jokin suora. Tämä lause voidaan jaotella samankaltaisesti kuin kahdessakin ulottuvuudessa. Kun tasosta tunnetaan kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, se olkoon tunnettu. Kun pallosta tunnetaan keskipiste ja jokin pinnan piste, se olkoon tunnettu. Kaikki pallottimella ja tasottimella tehtävät konstruktiot muodostuvat seuraavista peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan pallon leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos pallot sivuavat toisiaan pallo, jos pallot ovat sama pallo muissa tapauksissa ympyrä 2. Tunnetun toisiaan leikkaavan pallon ja tason leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos taso sivuaa palloa muissa tapauksissa ympyrä 3. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan tason leikkauskuvio, joka voi olla taso, jos tasot ovat sama taso muissa tapauksissa suora

13 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 10 Kohdassa 1 ei ole mitään epäselvää, joten voidaan siirtyä suoraan kohtaan Pallon ja tason leikkauskuviot Lause 5. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja pallon leikkauskuvio Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Kuva 12: Taso ei kulje keskipisteen kautta Olkoon tason t pisteet A, B ja C tunnetut. Olkoon pallo P 1 tunnettu. Piirretään pallot, joiden keskipisteinä ovat A, B ja C, ja jotka kulkevat pallon P 1 keskipisteen kautta. Näiden pallojen leikkuspiste on pallon P 1 keskipisteen peilaus tason t suhteen. Piirretään pallo P 1, jonka keskipiste on tämä peilattu keskipiste ja säde on pallon P 1 säde. Nyt pallojen P 1 ja P 1 leikkauskuvio on pallon P 1 ja tason t leikkauskuvio Aputulos: Janan kahdennus palloilla Tämä aputulos on välttämätön todistuksen kannalta ja myös ainoa, johon valmiiksi annettua suoraa tarvitaan.

14 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 11 Aputulos 3. Pelkällä pallottimella voidaan kaksinkertaistaa tunnetun pallon säde, kunhan on annettuna jokin suora. Kuva 13: Janan kahdennus Olkoon r jokin tunnettu etäisyys. Piirretään r-säteinen pallo jonkin annetun suoran pisteen ympäri. Nyt suoran ja tämän pallon leikkauspisteiden L1 ja L2 etäisyys on kaksi kertaa r Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kuva 14: Taso kulkee keskipisteen kautta

15 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 12 Olkoon P 1 tunnettu pallo, jonka keskipiste on K1. Olkoot pallon P 1 leikkaavat tasot t1 ja t2 tunnettuja siten, että tunnetut pisteet A ja B ovat niille yhteiset ja t2 kulkee pallon P 1 keskipisteen kautta. Kuva 15: Pallo P2 Olkoon P 2 sellainen pallo, että sen leikkauspinta pallon P 1 kanssa on sama kuin tason t1 leikkauspinta ja sen säde on suurempi kuin pallon P 1. Olkoon tämän pallon keskipiste K2. Kuva 16: Palloa P1 vastaava pallo P3 Valitaan jokin piste C pallolta P 2 siten, että se ei ole pallojen P 1 ja P 2 leikkausympyrällä. Tämän jälkeen piirretään sen ympäri pallo, jonka säde on

16 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 13 kaksi kertaa pallon P 1 säde. Tämä onnistuu aputuloksen 3 avulla. Tämän pallon ja P 2:en leikkauskuvio on ympyrä. Nyt valitaan tältä ympyrältä mikä hyvänsä piste. Olkoon se D. Piirretään pallo P 3 siten, että CD on sen halkaisija. Olkoon tämän keskipiste S. Nyt P 3 on siis S:n ympäri piirretty pallon P 1 säteinen pallo, jonka isoympyrä on pallolla P 2. Kuva 17: Yhtenevät pistejoukot Nyt piirretään pallo P 4, jonka keskipiste on sama kuin pallolla P 2 ja joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Valitaan pisteiden C ja D lisäksi pallojen P 2 ja P 3 leikkausympyrältä jokin piste E. Lauseen 4 nojalla saadaan konstruoitua pallon P 4 ja pisteiden C, D ja E kautta kulkevan tason leikkausympyrä y. Nyt valitaan tältä ympyrältä jokin piste F. Piirretään vielä F :n ympäri AB-säteinen pallo, jolloin saadaan y:n piste G, joka on AB:n päässä F :stä. Nyt soveltamalla pisteen potenssia pallojen P 1, P 2 ja P 3 ympyröihin huomataan, että pisteiden F ja G asema suhteessa palloon P 3 on yhtenevä pisteiden A ja B asemaan suhteessa palloon P 1. Täten kun piirretään A:n ympäri GC-, GD- ja GE-säteiset, ja B:n ympäri F C-, F D- ja F E-säteiset pallot, saadaan näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspisteet, jotka ovat kaikki tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrällä. Nyt kun piirretään näiden kolmen pisteen ympäri pallot, joiden säde on yli kaksi kertaa suurempi kuin pallon P 1 säde, ja piirrettään vielä toisen näiden pallojen leikkauspisteista ympäri samansäteinen pallo P 5, saadaan pallojen P 5 ja P 1 leikkausympyrä, joka on sama kuin tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrä. Todistus on valmis.

17 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Lause 6. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida kahden tunnetun tason leikkauskuvio. Koska on selvää, että pelkillä palloilla ei ole mahdollista konstruoida kokonaista suoraa, tämä tulos vaatii hieman lisämäärittelyä. Riittää, kun osataan konstruoida pallon, tason ja kahden pisteen määrittämän suoran leikkauspisteet. Todistetaan ensin, että kahden leikkaavan tason leikkaussuoralta saadaan selville kaksi eri pistettä. Kuva 18: Leikkaavat tasot Olkoon taso t1 pisteiden A1, A2 ja A3, ja taso t2 pisteiden B1, B2 ja B3 yksikäsitteisesti määräämä taso. Nyt piirretään jonkin näistä pisteistä ympäri tarpeeksi suuri pallo. Sitten lauseen 4 avulla voidaan konstruoida tämän pallon ja näiden tasojen leikkausympyrät. Näiden leikkausympyröiden leikkauskuvio (kaksi pistettä tai ympyrä) määrittää tasojen t1 ja t2 leikkauskuvion. Nyt kuitenkin riittää käsitellä tapaus, jossa tasot t1 ja t2 eivät ole sama taso. Huomataan, että pallon ja suoran leikkauspisteet saadaan yksinkertaisesti pallon ja kahden tason leikkauskuviona. Tämä osataan konstruioida lauseen 4 nojalla, joten todistettavaksi jää enää suoran ja tason leikkauspisteen konstruointi.

18 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio 15 Kuva 19: Taso ja suora leikkaavat Lause 7. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja suoran leikkauspiste. Olkoon t tunnettu taso ja pisteet A ja B jotkin pisteet, jotka määrittävät suoran. Nyt valitaan jokin piste C, joka ei ole pisteiden A ja B määräämällä suoralla. Nyt pisteet A, B ja C määräävät tason t. Tasojen t ja t leikkaussuoralta saadaan konstruoitua edellisen kohdan nojalla kaksi pistettä. Nyt valitaan vielä jokin tason t ulkopuolinen piste D. Nyt pisteet A, B ja D määräävät tason t. Konstruoidaan vielä tasojen t ja t leikkaussuoralta 2 pistettä. Kuva 20: Suorat tasossa Suorat, jotka nämä pisteparit määräävät, ovat tasolla t ja niillä on sama leikkauspiste kuin tasolla t ja pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. Nyt koska lauseen 4 nojalla osataan konstruoida pallon ja tason leikkauskuvio, tasolla t pallotin vastaa tavallista harppia ja täten lauseen 3 ja aputuloksien 1 ja 2 nojalla haluttu leikkauspiste saadaan konstruoitua käyttäen kaksiulotteista geometriaa. Täten lause 7 on todistettu ja samalla koko kolmen ulottuvuuden Mohrin- Mascheronin lause.

19 4.3 Janan kahdennus pelkällä pallottimella Janan kahdennus pelkällä pallottimella Voidaan huomata, että kaikki etäisyydet, jotka voidaan konstruoida pallottimella, koostuvat tetraedreistä. Tutkimuksen aikana näitä tarkastellessa alkoi vaikuttaa siltä, että janan kahdentaminen vain pallottimella olisi mahdotonta. Tämän takia kolmen ulottuvuuden lauseeseen jouduttiin lisäämään ehto, että jokin suora on annettuna. Konjektuuri. Janan kahdentaminen tai puolittaminen pelkällä pallottimella on mahdotonta. Tätä en ole onnistunut todistamaan. Janan kahdentamisen tutkimisen aikana saatiin kuitenkin seuraava kiinnostava tulos. Pieni lause. Janan kahdentaminen ja puolittaminen pallottimella ovat ekvivalentteja Puolituksesta kahdennukseen Kuva 21: Kahdennus puolituksen avulla Oletetaan, että osataan puolittaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Piirretään pallot P 1 ja P 2A:n ympäri B:n kautta ja B:n ympäri A:n kautta. saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Valitaan tältä ympyrältä jokin piste C. Puolitetaan jana AB. Olkoon sen keskipiste K. Nyt piirretään K:n ympäri C:n kautta pallo, jolloin saadaan ympyrän Y halkaisijan, joka kulkee pisteiden C ja K kautta, toinen päätypiste D. Nyt piirretään vielä pallot C:n ympäri D:n kautta ja D:n ympäri C:n kautta. Näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspiste E on tasasivuisen kolmion CDE kärki, joten BE = 2BA.

20 Kahdennuksesta puolitukseen Kuva 22: Puolitus kahdennuksen avulla Oletetaan, että osataan kahdentaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Kahdennetaan jana AB, jolloin suoralta AB saadaan piste C siten, että AC = 2AB. Piirretään A:n ympäri B:n kautta pallo ja C:n ympäri A:n kautta pallo. Nyt saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Ympyrän Y määräämän tason etäisyys pisteestä A on 1 4. Täten kun valitaan ympyrältä Y kolme eri pistettä, voidaan peilata piste A ympyrän Y määräämän tason suhteen, jolloin saadaan piste A, joka on janan AB keskipiste. 5 Johtopäätökset Tutkimuksessa esitettyjen tulosten nojalla Mohrin-Mascheronin lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen, kunhan avaruudessa on annettuna jokin suora. On mahdollista, että tämä suora on tarpeeton. Näin on siinä tapauksessa, että janan kahdentaminen pelkällä pallottimella onnistuu. Tämän tutkimuksen perusteella tämä kuitenkin vaikuttaa mahdottomalta. Asian ratkaisu vaatii lisää tutkimista.

21 VIITTEET 18 Viitteet [1] Matti Lehtinen, Jorma Merikoski, Timo Tossavainen, Johdatus tasogeometriaan, 2007, WSOY Oppimateriaalit Oy, Helsinki [2] ( ) [3] ( ) [4] ( ) [5] Norbert Hungerbühler, A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem, Swiss Federal Institute of Technology, Zürich

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen

Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen Antti Tuohilampi 16. joulukuuta 2012 1 Sisältö I Johdanto 5 1 Minä ja motiivini 5 1.1 Välineet................................

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Inversiosta stereografiseen projektioon

Inversiosta stereografiseen projektioon Inversiosta stereografiseen projektioon Laura Heikkilä Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2017 Tiivistelmä Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta ole mainittu. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 6..009 OSA Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 0 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja tai perusteluja näkyviin, ellei muuta

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi

Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi 2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden sisältöjen isteitysten luonnehdinta ei

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa.

11. Geometria Valikot ja näppäintoiminnot. Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11. Geometria Geometriasovelluksessa voit tehdä puhdasta tai analyyttista geometriaa. 11.1 Valikot ja näppäintoiminnot Kun valitset päävalikosta Geometry, näyttö tyhjenee ja näkyviin ilmestyy uusi painikevalikko

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

Kolmion merkilliset pisteet ja kulman puolittajalause

Kolmion merkilliset pisteet ja kulman puolittajalause Kolmion mekilliset pisteet ja kulman puolittajalause GOMTRI M3 iiettäessä kolmioille kulmanpuolittajia, sivujen keskinomaaleja, kokeusjanoja tai mediaaneja eli keskijanoja, niin osoittautuu, että näiden

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Anniina

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Hunajakakku menossa lingottavaksi

Hunajakakku menossa lingottavaksi POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Epäeuklidista geometriaa

Epäeuklidista geometriaa Epäeuklidista geometriaa 7. toukokuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Euklidinen geometria....................... 1 1.2 Epäeuklidinen geometria..................... 2 2 Poincarén kiekko 2 3 Epäeuklidiset

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina 29.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 201 Harjoitus 7 Ratkaisut palautettava viimeistään perjantaina 26.6.201 klo 16.00. Huom! Luennot ovat salissa CK112 maanantaista 1.6. lähtien.

Lisätiedot