Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa"

Transkriptio

1 Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010

2 Tiivistelmä Harppi ja viivain ovat olleet keskeisiä välineitä geometriassa sen alkuajoista saakka. Tutkimuksen määrästä huolimatta vaikuttaisi kuitenkin siltä, että niitä on käsitelty vain tasossa. Mohrin-Mascheronin lauseen (todistettu vuonna 1672) mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Tutkielmassa esitetään tälle lauseelle yksinkertainen todistus sekä muotoillaan sille kolmen ulottuvuuden vastine. Kolmen ulottuvuuden harppi-viivaingeometriassa käytetään tasoja ja palloja suorien ja ympyröiden sijaan, mikä johtaa siihen, että leikkauskuvioiksi muodostuu muutakin kuin pisteitä. Kolmen ulottuvuuden lause pyritään todistamaan seuraamalla analogisesti kahden ulottuvuuden todistusta. Tutkimuksen edetessä janan kahdentaminen pelkillä palloilla muodostui ongelmaksi, ja kolmen ulottuvuuden lauseen ehdoksi täytyi lisätä, että on annettuna jokin suora. Tätä lisäehtoa käyttäen lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen.

3 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Kolmen ulottuvuuden välineet 9 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Pallon ja tason leikkauskuviot Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Aputulos: Janan kahdennus palloilla Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Janan kahdennus pelkällä pallottimella Puolituksesta kahdennukseen Kahdennuksesta puolitukseen Johtopäätökset 17

4 1 1 Johdanto Klassillisessa geometriassa harpilla ja viivaimilla tehtävät konstruktiot olivat tärkeässä asemassa. Vuonna 1797 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni todisti yllättävän tuloksen, jonka mukaan kaikki harpilla ja viivaimella mahdolliset geometriset konstruktiot voidaan tehdä ilman viivainta. Vuonna 1928 kävi ilmi, että tanskalainen Georg Morh oli todistanut tuloksen jo vuonna Tulos tunnetaan nykyään Mohrin-Mascheronin lauseena.[1, 2, 3, 4] Tässä tutkielmassa selvitän, yleistyykö Mohrin-Mascheronin lause kolmeen ulottuvuuteen. Tutkielmassa esitellään yksinkertainen todistus kahden ulottuvuuden lauseelle ja pyritään todistamaan kolmen ulottuvuuden vastine. 2 Mohrin-Mascheronin lause tasossa Mohrin-Mascheronin lause. Jokainen harpilla ja viivaimella mahdollinen geometrinen konstruktio voidaan tehdä ilman viivainta. Kun ympyrästä tunnetaan keskipiste ja yksi kehän piste, se olkoon tunnettu. Vastaavasti kun suorasta tunnetaan kaksi pistettä, se olkoon tunnettu. Kaikki harpilla ja viivaimella tehtävät konstruktiot koostuvat seuraavista kolmesta peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun ympyrän leikkauspisteet 2. Tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3. Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Täten Mohrin-Mascheronin lauseen todistukseksi riittää, että osoitetaan harpilla voitavan tehdä kyseiset konstruktiot. Tässä esitettävä todistus seuraa ajatukseltaan Norbert Hungerbühlerin todistusta [5], mutta on yksityiskohtaisempi. Kahden ympyrän leikkauspisteiden konstruoimisessa pelkällä harpilla ei ole mitään epäselvää, joten todistuksen voi aloittaa tunnetun ympyrän ja suoran leikkauspisteistä.

5 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Ympyrän ja suoran leikkauspisteet Suora ei kulje ympyrän keskipisteen kautta Lause 1. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkemattoman suoran leikkauspisteet. Kuva 1: Suora ei kulje keskipisteen kautta Kulkekoon suora l pisteiden A ja B kautta, ja kulkekoon ympyrä Y pisteen C kautta keskipisteenä K. Piirretään ympyrät pisteen K kautta toisessa keskipisteenä A ja toisessa B. Näiden ympyröiden toinen leikkauspiste K on pisteen K peilaus suoran l suhteen. Piirretään ympyrän Y säteinen ympyrä Y, jonka keskipiste on K. Nyt ympyröiden Y ja Y leikkauspisteet L1 ja L2 ovat ympyrän Y ja suoran l leikkauspisteet Aputulos: Janan puolitus ja kahdennus Aputulos 1. Pelkällä harpilla voidaan puolittaa tai kahdentaa jana, jonka päätepisteet tunnetaan. Kuva 2: Jana AB ja ympäripiirretyt ympyrät

6 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 3 Olkoon A ja B janan päätepisteet. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen B kautta keskipisteenä A ja ympyrä Y 2 pisteen A kautta keskipisteenä B. Olkoot ympyröiden Y 1 ja Y 2 leikkauspisteet C ja D. Kuva 3: Janan AB kahdennus Piirretään ympyrä Y 3 pisteen C kautta keskipisteenä D. Saadaan ympyröiden Y 2 ja Y 3 leikkauspiste E. Nyt koska kolmio DCE on symmetrian nojalla tasasivuinen, on piste E janan CD keskinormaalilla, eli samalla suoralla pisteiden A ja B kanssa. Täten janan AE ollessa ympyrän Y 2 halkaisija, B on janan AE keskipiste, joten AE = 2AB. Piirretään ympyrä Y 4 pisteen A kautta keskipisteenä E. Saadaan ympyröiden Y 1 ja Y 4 leikkauspisteet F ja G. Kuva 4: Janan AB puolitus

7 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 4 Nyt piirretään ympyrä Y 5 pisteen A kautta keskipisteenä F ja ympyrä Y 6 pisteen A kautta keskipisteenä G. Saadaan ympyröiden Y 5 ja Y 6 leikkauspiste H. Huomataan, että kolmiot F AH ja F AE ovat yhdenmuotoisia yhden suhteessa kahteen, joten H on janan AB keskipiste ja jana on puolitettu Suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta Lause 2. Pelkällä harpilla voidaan konsruoida tunnetun ympyrän ja sen keskipisteen kautta kulkevan tunnetun suoran leikkauspisteet. Kuva 5: Suora kulkee keskipisteen kautta Olkoon Y 1 ympyrä, jonka keskipiste on K ja g suora, joka kulkee pisteiden P ja K kautta. Olkoon A jokin mielivaltainen suoran g ulkopuolinen piste ympyrän Y 1 kehällä. Pisteiden A ja P kautta kulkevan suoran leikkauspiste B ympyrän Y 1 kanssa saadaan tuloksen 1 nojalla konstruoitua.

8 2.1 Ympyrän ja suoran leikkauspisteet 5 Kuva 6: Ympyrän Y1 halkaisijan pituinen segmentti ympyrällä Y2 Olkoon Y 2 ympyrä, joka kulkee pisteiden A ja B kautta ja jonka säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Olkoon tämän ympyrän keskipiste K. Tämä voidaan konstruoida piirtämällä A:n ja B:n ympäri ympyrät, joiden säde on suurempi kuin ympyrän Y 1. Konstruoidaan ympyrälle Y 2 segmentti CD, jonka pituus on kaksi kertaa suurempi kuin ympyrän Y 1 säde. (Tämä on mahdollista aputulos 1:n nojalla.) Piirretään ympyrä Y 3 pisteen P kautta keskipisteenä K. Kuva 7: Pistettä P vastaava piste P ympyrältä Y3

9 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 6 Nyt aputulos 1:sen avulla löydetään janan CD keskipiste K. Piirretään ympyrä Y 1 pisteen C kautta keskipisteenä K. Lauseen 1 avulla löydetään myös pisteiden C ja D kautta kulkevat suoran ja ympyrän Y 3 toinen leikkauspiste. Olkoon tämä piste P. Piirretään vielä ympyrälle Y 1 piste E siten, että P E = P B. Kuva 8: Leikkauspisteet L1 ja L2 saadaan selville Huomataan, että pisteen potenssin nojalla P L2 P L1 = P B P A = P C P D, joten pistejoukot P, L1, K, L2, B ja P, D, K, C, E ovat keskenään yhtenevät. Täten EC = BL2 ja ED = BL1, joten suoran g ja ympyrän Y 1 leikkauspisteet saadaan konstruoitua käyttäen vain harppia. 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet Lause 3. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida kahden tunnetun suoran leikkauspisteet. Ennen tämän todistamista on kuitenkin syytä todistaa aputulos Aputulos: Suoran ja normaalin leikkauspiste Aputulos 2. Pelkällä harpilla voidaan konstruoida tunnetun suoran ja sen normaalin leikkauspiste, jos normaalilta tunnetaan jokin suoran ulkopuolinen piste.

10 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 7 Kuva 9: Suoran ja normaalin leikkauspiste Piirretään ympyrä Y 1 pisteen P kautta keskipisteenä A ja vastaavasti ympyrä Y 2 keskipisteenä B. Ympyröiden Y 1 ja Y 2 toinen leikkauspiste olkoon P. Nyt pisteiden P ja P kautta kulkeva suora on pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran normaali ja suorien leikkauspiste on janan P P keskipiste, joka saadaan konstruoitua aputuloksen 1 nojalla. Nyt päästään itse todistukseen. Kuva 10: Leikkaavat suorat Olkoot suorat q ja s tunnettuja siten, että q kulkee pisteiden A ja B ja s pisteiden C ja D kautta. Olkoon suorien leikkauspiste L. Konstruoidaan suoran s ja sen B:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste N. Sitten konstruoidaan vielä suoran q ja sen N:n kautta kulkevan normaalin leikkauspiste M. Tämä onnistuu aputuloksen 2 nojalla. Huomataan, että kolmiot BN L ja BN M ovat yhdenmuotoiset (molemmissa on suora kulma ja kulma M BN). Tästä saadaan

11 2.2 Kahden tunnetun suoran leikkauspisteet 8 verranto: BN BL = BM BN (BN)2 = BM BL Nyt tavoitteena olisi saada konstruoitua janan BL pituus r, koska tällöin piste L saadaan konstruoitua pisteen B ympäripiirretyn r-säteisen ympyrän ja suoran s leikkauspisteenä lauseen 1 nojalla. Kuva 11: Etäisyyden BL konstruointi Kaksinkertaistetaan jana BN (katso aputulos 1) siten, että BG = 2BN. Nyt piirretään tarpeeksi suuri ympyrä Y pisteiden B ja G kautta. Tämä onnistuu piirtämällä B:n ja G:n ympäri samansäteiset ympyrät, joiden säde on esimerkiksi BG. Piirretään jana NE siten, että NE = BM. Konstruoidaan vielä pisteiden N ja E kautta kulkevan suoran ja ympyrän Y leikkauspiste F. Tämä onnistuu lauseen 1 nojalla. Nyt käytetään pisteen potenssia ja huomataan, että BM BL = (BN) 2 = BN NG = EN NF = BM NF BL = NF Täten janan BL pituus r voidaan konstruoida ja todistus on valmis.

12 9 3 Kolmen ulottuvuuden välineet Tutkittaessa Mohrin-Mascheronin lausetta kolmessa ulottuvuudessa otetaan käyttöön uudenlaiset välineet harpin ja viivaimen tilalle. Nämä ovat esikuviensa kolmiulotteiset vastineet: pallotin ja tasotin. Tasottimella voidaan piirtää taso, joka kulkee kolmen tunnetun pisteen kautta, kunhan nämä pisteet eivät ole samalla suoralla. Pallottimella voidaan piirtää pallo, jonka keskipiste ja jokin pinnan piste ovat annettuja. Tämän lisäksi janan kahdentaminen näyttää vaativan, että avaruudessa on annettuna jokin suora. Tätä käsitellään itse todistuksen jälkeen. 4 Mohrin-Mascheronin lause kolmessa ulottuvuudessa Lause 4. Jokainen geometrinen konstruktio, joka on mahdollinen pallottimella ja tasottimella voidaan tehdä ilman tasotinta, kunhan on annettuna jokin suora. Tämä lause voidaan jaotella samankaltaisesti kuin kahdessakin ulottuvuudessa. Kun tasosta tunnetaan kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, se olkoon tunnettu. Kun pallosta tunnetaan keskipiste ja jokin pinnan piste, se olkoon tunnettu. Kaikki pallottimella ja tasottimella tehtävät konstruktiot muodostuvat seuraavista peruskonstruktioista. 1. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan pallon leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos pallot sivuavat toisiaan pallo, jos pallot ovat sama pallo muissa tapauksissa ympyrä 2. Tunnetun toisiaan leikkaavan pallon ja tason leikkauskuvio, joka voi olla piste, jos taso sivuaa palloa muissa tapauksissa ympyrä 3. Kahden tunnetun toisiaan leikkaavan tason leikkauskuvio, joka voi olla taso, jos tasot ovat sama taso muissa tapauksissa suora

13 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 10 Kohdassa 1 ei ole mitään epäselvää, joten voidaan siirtyä suoraan kohtaan Pallon ja tason leikkauskuviot Lause 5. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja pallon leikkauskuvio Taso ei kulje pallon keskipisteen kautta Kuva 12: Taso ei kulje keskipisteen kautta Olkoon tason t pisteet A, B ja C tunnetut. Olkoon pallo P 1 tunnettu. Piirretään pallot, joiden keskipisteinä ovat A, B ja C, ja jotka kulkevat pallon P 1 keskipisteen kautta. Näiden pallojen leikkuspiste on pallon P 1 keskipisteen peilaus tason t suhteen. Piirretään pallo P 1, jonka keskipiste on tämä peilattu keskipiste ja säde on pallon P 1 säde. Nyt pallojen P 1 ja P 1 leikkauskuvio on pallon P 1 ja tason t leikkauskuvio Aputulos: Janan kahdennus palloilla Tämä aputulos on välttämätön todistuksen kannalta ja myös ainoa, johon valmiiksi annettua suoraa tarvitaan.

14 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 11 Aputulos 3. Pelkällä pallottimella voidaan kaksinkertaistaa tunnetun pallon säde, kunhan on annettuna jokin suora. Kuva 13: Janan kahdennus Olkoon r jokin tunnettu etäisyys. Piirretään r-säteinen pallo jonkin annetun suoran pisteen ympäri. Nyt suoran ja tämän pallon leikkauspisteiden L1 ja L2 etäisyys on kaksi kertaa r Taso kulkee pallon keskipisteen kautta Kuva 14: Taso kulkee keskipisteen kautta

15 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 12 Olkoon P 1 tunnettu pallo, jonka keskipiste on K1. Olkoot pallon P 1 leikkaavat tasot t1 ja t2 tunnettuja siten, että tunnetut pisteet A ja B ovat niille yhteiset ja t2 kulkee pallon P 1 keskipisteen kautta. Kuva 15: Pallo P2 Olkoon P 2 sellainen pallo, että sen leikkauspinta pallon P 1 kanssa on sama kuin tason t1 leikkauspinta ja sen säde on suurempi kuin pallon P 1. Olkoon tämän pallon keskipiste K2. Kuva 16: Palloa P1 vastaava pallo P3 Valitaan jokin piste C pallolta P 2 siten, että se ei ole pallojen P 1 ja P 2 leikkausympyrällä. Tämän jälkeen piirretään sen ympäri pallo, jonka säde on

16 4.1 Pallon ja tason leikkauskuviot 13 kaksi kertaa pallon P 1 säde. Tämä onnistuu aputuloksen 3 avulla. Tämän pallon ja P 2:en leikkauskuvio on ympyrä. Nyt valitaan tältä ympyrältä mikä hyvänsä piste. Olkoon se D. Piirretään pallo P 3 siten, että CD on sen halkaisija. Olkoon tämän keskipiste S. Nyt P 3 on siis S:n ympäri piirretty pallon P 1 säteinen pallo, jonka isoympyrä on pallolla P 2. Kuva 17: Yhtenevät pistejoukot Nyt piirretään pallo P 4, jonka keskipiste on sama kuin pallolla P 2 ja joka kulkee pisteiden A ja B kautta. Valitaan pisteiden C ja D lisäksi pallojen P 2 ja P 3 leikkausympyrältä jokin piste E. Lauseen 4 nojalla saadaan konstruoitua pallon P 4 ja pisteiden C, D ja E kautta kulkevan tason leikkausympyrä y. Nyt valitaan tältä ympyrältä jokin piste F. Piirretään vielä F :n ympäri AB-säteinen pallo, jolloin saadaan y:n piste G, joka on AB:n päässä F :stä. Nyt soveltamalla pisteen potenssia pallojen P 1, P 2 ja P 3 ympyröihin huomataan, että pisteiden F ja G asema suhteessa palloon P 3 on yhtenevä pisteiden A ja B asemaan suhteessa palloon P 1. Täten kun piirretään A:n ympäri GC-, GD- ja GE-säteiset, ja B:n ympäri F C-, F D- ja F E-säteiset pallot, saadaan näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspisteet, jotka ovat kaikki tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrällä. Nyt kun piirretään näiden kolmen pisteen ympäri pallot, joiden säde on yli kaksi kertaa suurempi kuin pallon P 1 säde, ja piirrettään vielä toisen näiden pallojen leikkauspisteista ympäri samansäteinen pallo P 5, saadaan pallojen P 5 ja P 1 leikkausympyrä, joka on sama kuin tason t2 ja pallon P 1 leikkausympyrä. Todistus on valmis.

17 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Kahden tunnetun tason leikkauskuvio Lause 6. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida kahden tunnetun tason leikkauskuvio. Koska on selvää, että pelkillä palloilla ei ole mahdollista konstruoida kokonaista suoraa, tämä tulos vaatii hieman lisämäärittelyä. Riittää, kun osataan konstruoida pallon, tason ja kahden pisteen määrittämän suoran leikkauspisteet. Todistetaan ensin, että kahden leikkaavan tason leikkaussuoralta saadaan selville kaksi eri pistettä. Kuva 18: Leikkaavat tasot Olkoon taso t1 pisteiden A1, A2 ja A3, ja taso t2 pisteiden B1, B2 ja B3 yksikäsitteisesti määräämä taso. Nyt piirretään jonkin näistä pisteistä ympäri tarpeeksi suuri pallo. Sitten lauseen 4 avulla voidaan konstruoida tämän pallon ja näiden tasojen leikkausympyrät. Näiden leikkausympyröiden leikkauskuvio (kaksi pistettä tai ympyrä) määrittää tasojen t1 ja t2 leikkauskuvion. Nyt kuitenkin riittää käsitellä tapaus, jossa tasot t1 ja t2 eivät ole sama taso. Huomataan, että pallon ja suoran leikkauspisteet saadaan yksinkertaisesti pallon ja kahden tason leikkauskuviona. Tämä osataan konstruioida lauseen 4 nojalla, joten todistettavaksi jää enää suoran ja tason leikkauspisteen konstruointi.

18 4.2 Kahden tunnetun tason leikkauskuvio 15 Kuva 19: Taso ja suora leikkaavat Lause 7. Pelkällä pallottimella voidaan konstruoida tunnetun tason ja suoran leikkauspiste. Olkoon t tunnettu taso ja pisteet A ja B jotkin pisteet, jotka määrittävät suoran. Nyt valitaan jokin piste C, joka ei ole pisteiden A ja B määräämällä suoralla. Nyt pisteet A, B ja C määräävät tason t. Tasojen t ja t leikkaussuoralta saadaan konstruoitua edellisen kohdan nojalla kaksi pistettä. Nyt valitaan vielä jokin tason t ulkopuolinen piste D. Nyt pisteet A, B ja D määräävät tason t. Konstruoidaan vielä tasojen t ja t leikkaussuoralta 2 pistettä. Kuva 20: Suorat tasossa Suorat, jotka nämä pisteparit määräävät, ovat tasolla t ja niillä on sama leikkauspiste kuin tasolla t ja pisteiden A ja B kautta kulkevalla suoralla. Nyt koska lauseen 4 nojalla osataan konstruoida pallon ja tason leikkauskuvio, tasolla t pallotin vastaa tavallista harppia ja täten lauseen 3 ja aputuloksien 1 ja 2 nojalla haluttu leikkauspiste saadaan konstruoitua käyttäen kaksiulotteista geometriaa. Täten lause 7 on todistettu ja samalla koko kolmen ulottuvuuden Mohrin- Mascheronin lause.

19 4.3 Janan kahdennus pelkällä pallottimella Janan kahdennus pelkällä pallottimella Voidaan huomata, että kaikki etäisyydet, jotka voidaan konstruoida pallottimella, koostuvat tetraedreistä. Tutkimuksen aikana näitä tarkastellessa alkoi vaikuttaa siltä, että janan kahdentaminen vain pallottimella olisi mahdotonta. Tämän takia kolmen ulottuvuuden lauseeseen jouduttiin lisäämään ehto, että jokin suora on annettuna. Konjektuuri. Janan kahdentaminen tai puolittaminen pelkällä pallottimella on mahdotonta. Tätä en ole onnistunut todistamaan. Janan kahdentamisen tutkimisen aikana saatiin kuitenkin seuraava kiinnostava tulos. Pieni lause. Janan kahdentaminen ja puolittaminen pallottimella ovat ekvivalentteja Puolituksesta kahdennukseen Kuva 21: Kahdennus puolituksen avulla Oletetaan, että osataan puolittaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Piirretään pallot P 1 ja P 2A:n ympäri B:n kautta ja B:n ympäri A:n kautta. saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Valitaan tältä ympyrältä jokin piste C. Puolitetaan jana AB. Olkoon sen keskipiste K. Nyt piirretään K:n ympäri C:n kautta pallo, jolloin saadaan ympyrän Y halkaisijan, joka kulkee pisteiden C ja K kautta, toinen päätypiste D. Nyt piirretään vielä pallot C:n ympäri D:n kautta ja D:n ympäri C:n kautta. Näiden pallojen ja pallon P 1 leikkauspiste E on tasasivuisen kolmion CDE kärki, joten BE = 2BA.

20 Kahdennuksesta puolitukseen Kuva 22: Puolitus kahdennuksen avulla Oletetaan, että osataan kahdentaa tunnettu jana. Olkoon jana AB tunnettu. Kahdennetaan jana AB, jolloin suoralta AB saadaan piste C siten, että AC = 2AB. Piirretään A:n ympäri B:n kautta pallo ja C:n ympäri A:n kautta pallo. Nyt saadaan näiden pallojen leikkausympyrä Y. Ympyrän Y määräämän tason etäisyys pisteestä A on 1 4. Täten kun valitaan ympyrältä Y kolme eri pistettä, voidaan peilata piste A ympyrän Y määräämän tason suhteen, jolloin saadaan piste A, joka on janan AB keskipiste. 5 Johtopäätökset Tutkimuksessa esitettyjen tulosten nojalla Mohrin-Mascheronin lause yleistyy kolmeen ulottuvuuteen, kunhan avaruudessa on annettuna jokin suora. On mahdollista, että tämä suora on tarpeeton. Näin on siinä tapauksessa, että janan kahdentaminen pelkällä pallottimella onnistuu. Tämän tutkimuksen perusteella tämä kuitenkin vaikuttaa mahdottomalta. Asian ratkaisu vaatii lisää tutkimista.

21 VIITTEET 18 Viitteet [1] Matti Lehtinen, Jorma Merikoski, Timo Tossavainen, Johdatus tasogeometriaan, 2007, WSOY Oppimateriaalit Oy, Helsinki [2] ( ) [3] ( ) [4] ( ) [5] Norbert Hungerbühler, A short elementary proof of the Mohr-Mascheroni theorem, Swiss Federal Institute of Technology, Zürich

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen

Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen Algebran ja geometrian yhdyskohtia lukio-opetuksessa ja kuution tilavuuden kahdentaminen Antti Tuohilampi 16. joulukuuta 2012 1 Sisältö I Johdanto 5 1 Minä ja motiivini 5 1.1 Välineet................................

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Avaruusgeometrian kysymyksiä

Avaruusgeometrian kysymyksiä Avaruusgeometrian kysymyksiä Tässä esitettävät tehtävät ja lauseet kattavat asioita, jotka saattavat tulla vastaan mahdollisissa kolmiulotteisen geometrian kilpailukysymyksissä. Lukemista helpottaa, jos

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita

3. Harjoitusjakso I. Vinkkejä ja ohjeita 3. Harjoitusjakso I Tämä ensimmäinen harjoitusjakso sisältää kaksi perustason (a ja b) ja kaksi edistyneen tason (c ja d) harjoitusta. Kaikki neljä harjoitusta liittyvät geometrisiin konstruktioihin. Perustason

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013

Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 14.4.2013 Solmu 3/03 Kuusi haastavaa tehtävää: Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Luxemburgissa 8. 4.4.03 Esa V. Vesalainen Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Luxemburgissa järjestettiin

Lisätiedot

Hunajakakku menossa lingottavaksi

Hunajakakku menossa lingottavaksi POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Suora. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Suora Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Suuntavektori Normaalivektori Hannu Lehto 4. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 12 Esimerkki Suuntavektori Normaalivektori Tarkastellaan suoraa y = 2 3 x 1. kulmakerroin

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle

7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle 7. Kuvien lisääminen piirtoalueelle Harjoitus 13: Symmetristen kuvioiden tutkiminen Takaisin koulun penkille... Avaa dynaaminen työtiedosto H13_symmetria.html. Se löytyy Työpöydälle luomastasi kansiosta

Lisätiedot

Geometrian perusteita

Geometrian perusteita Geometrian perusteita Matti Lehtinen Oulun yliopisto Kevätlukukausi 2013 2 Johdanto Geometrian 1 asema ja merkitys matematiikan kentässä on vuosien kuluessa muuttunut. Se ei sellaisenaan enää pitkään ole

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut

Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ville-Pekka

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO

GEOMETRIAN PERUSTEITA. Maria Lehtonen. Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MATEMATIIKAN LAITOS TURUN YLIOPISTO GEOMETRIN PERUSTEIT Maria Lehtonen Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2007 MTEMTIIKN LITOS TURUN YLIOPISTO Sisältö 1 Johdanto 1 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Piste, suora ja taso........................ 3 2.2 Etäisyys..............................

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Matematiikkaa origameilla

Matematiikkaa origameilla Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Pro Gradu Matematiikkaa origameilla Kirjoittaja: Erja Salmela Ohjaajat: Mika Koskenoja dos. Kirsi Peltonen 1. kesäkuuta 2016 HELSINGIN YLIOPISTO

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1

GeoGebra. ohjeita ja tehtäviä 2. Pohdin projekti 1 Pohdin projekti 1 GeoGebra ohjeita ja tehtäviä 2 1 Lukuvuosina 2008-2012 Tampereen normaalikoulun matematiikan opetusharjoittelijat ovat olleet rakentamassa joko Capri-oppaita ja niiden pohjalta nyt käsillä

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja

Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja Kansainvälisten matematiikkaolympialaisten tehtävien ratkaisuja 959 974 Useimmat tässä koosteessa esitetyt ratkaisut perustuvat vuonna 975 julkaistuun kokoelmaan Kansainväliset matematiikkaolympialaiset.

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015

Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015 Euroopan tyttöjen matematiikkaolympialaiset Minskissä 14. 20.4.2015 Mirjam Kauppila Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Esa V. Vesalainen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos,

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 0 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja. Suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusalle piirretty korkeus on h, pyöräytetään suoran kulman kärjen kautta kulkevan

Lisätiedot