SUORAN PALKIN TAIVUTUS, JOHDANTO

Transkriptio

1 SUORN PLKN TVUTUS, JOHDNTO q 1 F F ma Kimmoiia l. aipumaiia () Q > 0 Q > 0 Q Poikkileikkaus PK (pinakeskiö) Pääakseli 1 1 Q Normaalijännis ma ( S W lä Leikkausjännis ai ( alapinnassa τ QS() b() on saainen momeni, on pääneliömomeni ) ( W on b on lees) aiuusasus ) ( Jourawskin kaaa ) () E () () Kimmoiian differeniaalihälö - Taiuusmomenin aiheuama aipuma. Leikkausoiman aiheuamalla aipumalla on leensä ähäinen merkis. - Taipumaauluko. 1

2 TVUTUSPLKN RSTUSKUVT Pisekuormiukse ja ukireakio jakaa palkin alueisiin, joissa kuormius q() on jakaanunu. Jakaanuneen kuormiuksen alueella oa oimassa hede dq d q() d d Q() d 2 d 2 q() Kuormiukseon alue q()0: -Q-kuassa on akioaro. - -kuassa on ino suora, ariaan aro älin pääepiseissä. Tasaisen kuormiuksen alue q()q 0 (akio): -Q-kuassa on ino suora, ariaan aro älin pääepiseissä. - -kuassa on paraabeli, ariaan aro älin pääepiseissä ja lisäksi mahdollinen huippuaro, joka on leikkausoiman nollakohdassa. Piseoiman kohdalla: -Q-kuassa on piseoiman suuruinen äkillinen muuos. - -kuassa on kärkipise. Pisemomenin kohdalla: - -kuassa on pisemomenin suuruinen äkillinen muuos. Rasiuskuien laadinaohje: - Piirrä apaakappalekua ja rakaise sen aulla ukireakio. - Toea aluee, joihin pisekuormiukse jakaa palkin. - iei rasiuskuien periaaeellinen muoo. - Laske kuien piirämisessä ariaa poikkileikkausen rasiusen aro. Rasiusen laskena ksiäisessä poikkileikkauksessa: - Rasiukse aiheuua leikkauksen asemmalla (oikealla) puolella oleisa kuormiuksisa ja ukireakioisa. - Rasiusen aro rakeaa aina leikkauksen asemmalle (oikealle) puolelle jäään palkin osan asapainoehdoisa. - Taallisesi asapainoehojen rakaisu kirjoieaan suoraan ilman palkin osan apaakappalekuaa. 2

3 SUORN TVUTUKSEN PERUSKÄSTTETÄ Kuormiusaso (pääneliöakseli) Q PK Neuraaliaso Neuraaliakseli (pääneliöakseli) - -koordinaaison origo on poikkileikkauksen pinakeskiössä (PK). - -koordinaaiso on poikkileikkauksen pääneliökoordinaaiso (jolloin poikkipinnan ulomomeni 0, esim. ai/ja smmeria-akseli). - on poikkileikkauksen neuraaliakseli, jonka piseissä aiuusmomenisa aiheuua normaalijännis 0. - Kuormiukse ja ukireakio sijaisea -akselin kohdalla oleassa kuormiusasossa. Tällöin leikkausoima ( Q ) on -akselin suunaan ja aiuusmomeni ( ) -akselin mpäri. - Neuraaliakseli on kohisuorassa kuormiusasoa asaan. 3

4 TVUTUSTEORN PERUSOLETUKSET lkuila Poikkileikkausaso Pikiäissäie B B uodonmuuosila Poikkileikkausaso B B Taipunu pikiäissäie 1. Bernoullin hpoeesi: Palkin poikkileikkaus säil aiuuksessa asona, joka on kohisuorassa palkin piuussäikeiä asaan. Bernoullin hpoeesi on arkasi oimassa ain puhaan aiuuksen ( Q 0 ) alueella. Leikkausoimasa Q aiheuua leikkausjännis τ aiheuaa poikkileikkauksen - ja pikiäissäikeen B-B älisen suoraan kulmaan liukuman γ, jolloin poikkileikkaus hieman käris. 2. Poikiaisenmän huomioa jääminen: Palkin poikkileikkaus säil muodonmuuosilassa heneä alkuilan poikkileikkauksen kanssa. Pikiäisenmä ε on neuraaliakselin hdellä puolella posiiiinen ja oisella puolella negaiiinen, jolloin asaaan poikiaisenmän ε johdosa poikkileikkaus supisuu neuraaliakselin hdellä puolella ja laajenee oisella puolella. 4

5 TVUTUKSEN KNETKK Bernoullin hpoeesisa seuraa pikiäisenmälle ε kinemaaisella arkaselulla lauseke ε ρ ρ on pikiäissäikeen kaareuussäde neuraaliakselin kohdalla on eäiss neuraaliakselisa Kun poikiaisenmä jäeään huomioa, on palkissa ain normaalijännis, jolle Hooken lain ollessa oimassa saadaan lauseke E ρ E on maeriaalin kimmomoduuli Taiuusmomenisa aiheuuan -akselin suunaisen enmän ε ja jänniksen jakaanuminen: ε r2 r2 PK Poikkileikkaus ε r1 ε r1 -akseli on neuraaliakseli, jonka piseissä normaalijännis 0. Suurimma jänniksen iseisaro oa poikkipinnan reunoilla. r1 on alareunan reunajännis ja r2 läreunan reunajännis. 5

6 PLKN TVUTUSJÄNNTYS E ρ 1 ρ E 2 d on palkin poikkileikkauksen (pää)neliömomeni -akselin suheen, joka oidaan melko helposi laskea (kaaa, heenlaskuperiaae, Seinerin säänö) ai saadaan sandardiprofiileille suoraan aulukoisa. Palkin normaalijännisjakauuman lopulliseksi kaaaksi ulee Palkin normaalijännis aihelee korkeussuunnassa () lineaarisesi, mua on siusuunnassa () iellä korkeudella akio. Reunajännikse: a 1 alareunan reunaeäiss a 2 läreunan reunaeäiss PK a 2 lareunassa: r1 / a 1 W 1 a 1 Yläreunassa: r2 / a 2 W 2 W 1 alareunan aiuusasus 2 W läreunan aiuusasus W Reunajännis 6

7 VNO TVUTUS α PK P α Kuormiusaso -on poikkileikkauksen pääkoordinaaiso. Kuormiusaso muodosaa -akseliin nähden kulman α. Taiuusmomeniekori on kohisuorassa kuormiusasoa asaan. sin α cos α an α Taiuusmomeni jaeaan pääakselin suunaisiin komponeneihinsa ja, minkä jälkeen piseen P normaalijännis oidaan laskea heenlaskuperiaaeella suoran aiuuksen kaaaa kääen: + 7

8 VNON TVUTUKSEN NEUTRLKSEL N B β - α α KT Neuraaliakselin hälö: an β an α Neuraaliakselin suunakulman β laskena: anβ an α β miaaan -akselisa samaan suunaan kuin α -akselisa. Neuraaliakselisa kauimpana olea pisee ( ja B) oa poikkileikkauksen aarallise pisee, joisa lö suurin eo- ja purisusjännis. 8

9 SNKNEN NORLVO J TVUTUS Normaalijännisjakauuma: N + Reunajännikse: r1 N + W 1 r2 N W 2 SNKNEN NORLVO J VNO TVUTUS N N PK Normaalijännisjakauuma: N + + Vaarallise pisee löä aiuuksen neuraaliakselin aulla: anβ anα an α 9

10 TVUTUSPLKN LEKKUSJÄNNTYS Taiuuspalkin leikkausjännis ei ole asaisesi jakaanunu, aan riippuu sekä - eä -koordinaaisa. onissa apauksissa -riippuuus on niin lieää, eä se oidaan jäää huomioa, jolloin saadaan ns. Jourawskin kaaa. Tehdsä oleuksesa johuen Jourawskin kaaaa ei oida soelaa apauksiin joissa leikkausjänniksen -riippuuus on merkiää (esim. -palkin laippale). Oleukse: Q -koordinaaiso on poikkileikkauksen pääkoordinaaiso. PK Suora aiuus, jossa aiuusmomeni aikuaa -akselin mpäri ja leikkausoima -suunaan. b() B Leikkausjännis τ on iellä korkeudella siusuunnassa asan jakaanunu (riippumaon -koordinaaisa). Keskimääräinen leikkausjännis korkeudella saadaan Jourawskin kaaasa: τ () Q S () b() Q on poikkileikkauksessa aikuaa leikkausoima (rasiuskuasa). S () on arkaselukorkeuden alapuolelle jäään poikkipinnan osan saainen momeni -akselin suheen. Voidaan käää mös arkaselukorkeuden läpuolelle jäään poikkipinnan osan saaisa momenia -akselin suheen, koska sillä on sama iseisaro. on poikkipinnan (pää)neliömomeni -akselin suheen. b () on poikkileikkauksen lees -suunnassa arkaselukorkeudella (oi koosua useammasa palasa). 10

11 KOVVN DFFERENTLYHTÄLÖ Oleukse: Suora aiuus ( pääakseli), piene aipuma. -akselin pisee siirä ain -suunnassa (-akselin enmisä ei oea huomioon). Kseessä on aiuusmomenin aiheuama aipuma. Palkin aipumaiia (). Palkin kaleuuskulma () α. () an α() α() an α() () α() (ksikkö radiaani) Palkin kimmoiian kaareuussäde ρ () on lujuusopin mukaan ρ() E() () Tasokärän kaareuussäde on maemaiikan mukaan 2 ( 1+ () ) 3 / 2 1 ρ () piene kaleuude () () () Oamalla huomioon aiuusmomenin merkkisopimus seuraa kimmoiian (linearisoiu) differeniaalihälö () () E() 11

12 Kun aiuusjäkks E ( ) on akio, menee kimmoiian DY muooon E () () Taipumaiia saadaan edellä oleasa kimmoiian differeniaalihälösä inegroimalla aiuusmomenin lauseke kahdesi. Taiuusmomenin lauseke on leensä määriel palkin alueissa paloiain, jolloin inegroini on suorieaa asaaasi useassa osassa (ai kärkisulkeiden meneelmää kääen). negroiaessa snä inegroimisakio määräään palkin uennasa ai aipuman ja kaleuuskulman jakuuusehdoisa. Taallisimma uena- ja kuormiusapaukse löä almiiksi inegroiuna aipumaaulukoisa. Taallisimma palkin reuna- ja äliehdo: Tuenna palkin päässä Nieluki: 0 Luisiuki: '0 Jäkkä uki: 0 '0 Tuenna palkin alueella Välinieluki: 0 ' jakua Väliluisiuki: '0 jakua Pisekuormiukse palkin alueella Piseoima: ja ' jakuia Pisemomeni: ja ' jakuia F 12