Luento 4: 3D Transformaatiot

Transkriptio

1 ietokonegrafiikan perusteet op Luento 4: 3D ransformaatiot Lauri aioja /5 3D transformaatiot / isältö Lineaarialgebran kertausta Geometriset objektit 3D-maailmassa Perustransformaatiot 3D:ssä 3D transformaatiot / 2

2 Lineaarialgebran kertausta euraaassa skalaareja reaalilukuja) merkitään kkertaisilla pienillä kirjaimilla s), ektoreita pienillä ahennetuilla ) ja matriiseja suurilla ahennetuilla kirjaimilla M). Vektorit n-ulotteinen ektori on jono skalaarilukuja [ n ]. 3-ulotteisen ektorin komponentteja merkitään mös [ ]. hteenlasku tai ähenns) tapahtuu komponenteittain: + u [ +u 2 +u 2 3 +u 3... n +u n ], samoin skalaarilla kertominen: s u [ s*u s*u 2 s*u 3... s*u n ], 3D transformaatiot / 3 Lineaarialgebran kertaus jatkuu pistetulo l. sisätulo on skalaariluku, joka saadaan komponenteittain laskettujen tulojen summana: u *u + 2 *u *u n *u n ektorin pituus euklidinen normi) on neliöjuuri pistetulosta itsensä kanssa: n kahden ektorin pistetulon geometrinen tulkinta: u u β, missä β u:n ja :n älinen kulma. ektorin normeeraus: ektorin kukin komponentti jaetaan ektorin pituudella, jolloin tuloksena on ksikköektori: / ),. 3D transformaatiot / 4 2

3 Lineaarialgebran kertaus jatkuu Matriisit m n -ulotteinen matriisi on taulukko, jonka rieinä on m kpl n- ulotteisia ektoreita: 2 M 3 K m matrii komponentteihin iitataan indekseillä M M 2 3 M m m2 m3 jos m n, on ksessä neliömatriisi. ij M M K n K 2n K 3n O M K mn 3D transformaatiot / 5 Lineaarialgebran kertaus jatkuu matrii transpoosi saadaan aihtamalla riit ja sarakkeet keskenään: M M ji matriisi oidaan mös tulkita pstektoreista koostuana jonona: M [ u u u ] u 2 3 m k -matrii A ja k n -matrii B matriisitulo on m n - matriisi, jonka kukin komponentti ij) saadaan sisätulona m AB) ij a i b j ), missä a i A:n i:s aakaektori rii) ja b j B:n j:s pstektori sarake). 3D transformaatiot / 6 3

4 Lineaarialgebran kertaus jatkuu uom. erik.tapauksena on ektorin kertominen matriisilla, oikealta, jos m tai asemmalta jos n. a:n ja b:n ulottuuuksien tulee olla samat k). ämän uoksi tulo toi päin BA) on määritelt ain neliömatriiseille m k n).ällöinkin leensä AB BA. nollamatriisissa O) M ij, kaikille i,j. ksikkömatriisissa I) M ij ij, eli M ij jos i j, muuten M ij. ksikkömatriisilla kertominen säilttää ektorin ennallaan. n n -neliömatrii determinantti saadaan rekursiiisesti kertomalla jonkin riin r) kukin komponentti rj) alideterminantillaan ja laskemalla tulot hteen. Alideterminantti on sen n- n- - matrii determinantti, joka saadaan poistamalla matriisista ko. komponentin sisältäät rii ja sarake r ja j), ja arustamalla tämä etumerkillä + kun r+j on parillinen, muuten etumerkillä -. Riin rj) sijasta oidaan laskenta mös perustaa sarakkeeseen jr). Näin ollen detm) detm ). 3D transformaatiot / 7 Lineaarialgebran kertaus jatkuu skalaarin ) determinantti on luku itse. 22- ja 33-matriiseille saadaan llä esitetstä lausekkeet M det22m) m *m 22 - m 2 *m 2. M det33m) m * m 22 *m 33 - m 23 *m 32 ) - m 2 * m 2 *m 33 - m 23 *m 3 ) + m 3 * m 2 *m 32 - m 22 *m 3 ). n-:n n-ulotteisen ektorin ristitulo on ektori, jonka komponentteina oat matrii [ 2... n- ] ensimmäisen sarakkeen ) komponentteja astaaat alideterminantit. iis se oidaan mmärtää ektoriaroisena determinanttina r X 2 X... X n- det [ 2... n- ], missä koostuu koordinaatiston kantaektoreista. Kahden 3-ulotteisen ektorin ristitulo on tämän mukaan: u X [ u 2 * 3 - u 3 * 2 -u * 3 - u 3 * ) u * 2 - u 2 * ] 3D transformaatiot / 8 4

5 Lineaarialgebran kertaus jatkuu 3-ulotteisen ristitulon geometrinen tulkinta: X u n u ß, missä ß u:n ja :n älinen kulma ja n on u:n ja :n sisältään tason normaaliektori. uom. kahden kohtisuoran ektorin pistetulo on aina nolla: X u) u X u). leisesti n-ulotteinen ristituloektori on kohtisuorassa kaikkia tekijäektoreitaan astaan: r r 2... r n-. neliö)matrii M käänteismatriisi M - määritellään htälöllä M - M MM - I. neliö)matriisi on gulaarinen, jos käänteismatriisia ei ole, ts. jos htälölle ei löd ratkaisua. ällöin det M). 3D transformaatiot / 9 Lineaarialgebran kertaus jatkuu htälörhmä, joka sisältää n kpl lineaarisia n:n muuttujan htälöitä m i * + m i2 * m in * n c i, oidaan ilmaista matriisimuodossa ja ratkaista kertomalla puolittain samalta suunnalta) käänteismatriisilla: M X c M - M X M - c. Kätännössä käänteismatriisi lasketaan leensä iteroimalla. useamman matrii tulona ilmaistun matrii käsittelssä oat hödllisiä kaaat: AB) B A ja AB) - B - A - jälkimmäinen edellttäen, että matriisit eiät ole gulaarisia). 3D transformaatiot / 5

6 Geometriset objektit 3-ulotteia Kolmiulotteisia N-ulotteisia) objekteja oidaan käsitellä suurelta o samalla taalla kuin 2-ulotteisiakin. ietorakenteissa koordinaattien lukumäärä kasatetaan kolmeen N:ään): tpepoint3 record,, : real end; tai:point3 arra [..3] of real; PointN arra [..N] of real; Line3 record p,p2 : Point3 end; Polgon3 record N : integer; corners : arra [..MAX] of Point3 end; 3D transformaatiot / Geometriset objektit 3-ulotteia Jos kätetään homogeenista koordinaattiesitstä, lisätään ielä hteinen kerroinkoordinaatti, jolloin kokonaismäärä kasaa neljään N+:een): tpe point3 record,,, : real end; tai: point3 arra [..4] of real; pointn arra [..N+] of real; Muunnosmatriisien koko astaaasti on 4 4 N+ N+): tpe Matri3 arra [..4,..4] of real; 3D transformaatiot / 2 6

7 7 3D transformaatiot / 3 3D transformaatiot iirto translaatio) ektorin erran: eli ektorimuodossa p p + : tai matriisikertolaskuna homogeenisille koordinaateille: + 3D transformaatiot / 4 3D transformaatiot jatkuu) Kierto 2-ulotteisessa -tasossa tapahtuu -akselin mpäri: α - α α + α eli matriisimuodossa uom. akselilla oleat pisteet eiät muutu inariantti aliaaruus). Kiertosuunta on oikeakätisen säännön mukainen astapäiään, jos kiertoakseli osoittaa katsojaan päin): p R p

8 8 3D transformaatiot / 5 Kierrot jatkuu) Kierrot muiden akselien mpäri saadaan aihtamalla koordinaattien paikkoja. iis -akselin mpäri: α + α - α + α eli matriisimuodossa p R p 3D transformaatiot / 6 Kierto jatkuu) ja astaaasti -akselin mpäri: uom matriisit johdettaissa toisistaan sklisellä permutaatiolla. P R P

9 3D transformaatiot jatkuu) Mittakaaan muutos skaalaus) eri suuntiin: eli matriisimuodossa p p Erikoistapauksia: s htenäinen uniform) skaalaus, jossa mittasuhteet säilät, toteutuu skalaarikertolaskuna tekijällä s: [ ] s p [ s s s ] 3D transformaatiot / 7 kaalaus jatkuu) -, + peilaus -tason suhteen astaaasti - ja -tasojen suhteen). -, + kierto 8 -akselin mpäri astaaasti - ja -akseleiden suhteen). Mitä tapahtuu, jos -? 3D transformaatiot / 8 9

10 3D transformaatiot jatkuu) Viistoutus shearing): Esimerkiksi inon hdensuuntaisprojektion toteuttaa sopian - osuuden lisääminen -aroihin: + + eli matriisimuodossa p p 3D transformaatiot / 9 Viistoutukset jatkuu) uom. otilasperspektiiissä 2, jolloin kokonaissiirtmä -pisteelle on -aron mittainen; kaaljeeriperspektiiissä siirtmä on puolet tästä eli 2 / 2. Yleisessä tapauksessa lisätään kuhunkin koordinaattiin painotettu osuus toisista. 3D transformaatiot / 2

11 3D transformaatiot / 2 3D transformaatiot jatkuu) kaalaus kiintopisteen suhteen Perusskaalaus tapahtuu origon suhteen. Mielialtaisen kiintopisteen suhteen skaalaus saadaan siirtämällä en origoon translaatiolla ), suorittamalla sitten skaalaus origon suhteen matriisilla, ja siirtämällä kuio sitten takai pisteeseen käänteistranslaatiolla ). eli hteensä p p Mp. M