Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat"

Transkriptio

1 Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010

2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko Määritelmiä ja perusominaisuuksia Kohtaus ja yhdiste Hila Kaksi näkökulmaa hiloihin Esimerkkejä hiloista Hieman universaalialgebraa Distributiivinen hila ja Boolen hila Distributiivinen hila Boolen hila Kirjallisuutta 18 1

3 1 Johdanto Tässä tutkielmassa tarkastellaan järjestettyjen joukkojen ja hilojen perusominaisuuksia. Järjestetyn joukon määritelmä perustuu luonnollisten lukujen järjestysrelaation yleistykseen abstraktiin joukkoon. Hilat ovat erityisiä järjestettyjä joukkoja, joilla on ominaisuuksia, joita järjestetyillä joukoilla ei yleisesti ole. Eräs useissa esimerkeissä käsiteltävä järjestetty joukko on minkä tahansa epätyhjän joukon osajoukkojen kokoelma. Sen lisäksi, että tämä järjestetty joukko on hila, sillä on vielä muitakin erityisiä ominaisuuksia. Näiden ominaisuuksien voidaan nähdä innoittaneen ns. Boolen hilan määritelmän. Tutkielmassa johdetaan tarpeeksi tuloksia Boolen hilan määritelmän antamiseksi. Ainoastaan tähän määritelmään johtavia tuloksia ei tarkastella, vaan lisäksi johdetaan jonkin verran muita kiintoisia tuloksia käsitteitä selventämään. Lukijan oletetaan tuntevan algebran peruskurssien käsitteistön ja joukkoopin perusidentiteetit. Muutamassa esimerkissä on myös hyötyä lukuteorian ja logiikan alkeista, mutta ne eivät ole välttämättömiä kokonaisuuden kannalta. Tutkielma perustuu pääasiassa luentomonisteeseen [1]. Lähteet [2] ja [3] tarjoavat lisämateriaalia useisiin erityiskysymyksiin. Luvussa 2 tutkitaan järjestettyjä joukkoja. Useat tulokset ja määritelmät, kuten supremum ja inmum, ovat tuttuja reaalilukujen yhteydestä. Luvussa 3 käsitellään hilojen teoriaa. Tässä luvussa hilalle annetaan kaksi vaihtoehtoista määritelmää, ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Osoittautuu, että jälkimmäinen määritelmistä näyttää, että hilat ovat osa universaalialgebraksi kutsuttua matematiikan haaraa. Universaalialgebran tulokset antavatkin välittömästi lukuisia tuloksia, joista muutamat esitetään esimerkinomaisesti. Viimeisessä luvussa annetaan distributiivisen hilan ja Boolen hilan määritelmät. Useiden tulosten tuttu muoto selittyy luvussa annettavalla esimerkillä, jossa näytetään erään Boolen hilan yhteys propositiologiikkaan. 2

4 2 Järjestetty joukko 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia Määritelmä 2.1. Olkoon P epätyhjä joukko. Relaatio on järjestysrelaatio, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille a, b P : (O1) a a, (O2) jos a b ja b a, niin a = b, (O3) jos a b ja b c, niin a c. Ehtoja kutsutaan luetellussa järjestyksessä reeksisyydeksi, antisymmetrisyydeksi ja transitiivisuudeksi. Paria (P, ) kutsutaan osittain järjestetyksi joukoksi tai lyhyesti järjestetyksi joukoksi. Kontekstin ollessa selvä kutsutaan jatkossa paria (P, ) lyhyesti järjestetyksi joukoksi P. Relaatio luetaan kuten tavallisesti pienempi tai yhtäsuuri kuin. Relaation avulla voidaan määritellä toisenlainen järjestysrelaatio < (olla aidosti pienempi kuin): x < y, jos ja vain jos x y ja x y. Määritelmä 2.2. Olkoon P järjestetty joukko. Jos a b tai b a kaikilla a, b P, eli kaikkia joukon P alkioita voidaan vertailla keskenään, niin järjestysrelaatiota kutsutaan täydelliseksi ja järjestettyä joukkoa P täydellisesti järjestetyksi joukoksi eli ketjuksi. Esimerkki 2.3. Olkoon X epätyhjä joukko. Epätyhjää joukkoperhettä F P(X), missä P(X) on joukon X osajoukkojen joukko, kutsutaan joukon X osajoukkoalgebraksi, jos F on suljettu unionin, leikkauksen ja komplementin suhteen. Huomaa, että aina, X F. Nimittäin koska F on epätyhjä, niin voidaan kirjoittaa X = A A c ja = X c jollakin A F. Olkoon X epätyhjä joukko ja F sen osajoukkoalgebra. Sisältymisrelaatio joukkoperheessä F täyttää selvästi ehdot (O1)(O3). Pari (F, ) on siis järjestetty joukko. Erityisesti (P(X), ) on järjestetty joukko. Esimerkki 2.4. Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} on järjestetty joukko, kun määritellään tavalliseen tapaan 0 < 1 < 2 <..., jolloin N on ketju. Luonnollisille luvuille voidaan määritellä toinenkin järjestysrelaatio seuraavasti: m n, jos ja vain jos on olemassa sellainen k N, että km = n, eli m n. Järjestys toteuttaa selvästi ehdot (O1)(O3). Järjestetty joukko 3

5 (N, ) ei kuitenkaan ole ketju, sillä kaksi erisuurta alkulukua p ja q eivät ole vertailtavissa keskenään, koska p q ja q p. Määritelmä 2.5. Olkoot P ja Q järjestettyjä joukkoja ja ψ : P Q kuvaus. Kuvaus ψ on (i) järjestyksen säilyttävä eli isotonia, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (ii) järjestyksen kääntävä, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (iii) upotus, jos a b on ekvivalentti sen kanssa, että ψ(a) ψ(b), (iv) järjestysisomorsmi, jos ψ on upotus ja surjektio. Jos joukkojen P ja Q välillä on järjestysisomorsmi, niin järjestettyjä joukkoja P ja Q kutsutaan isomorsiksi ja merkitään P Q. Huomaa, että upotus on antisymmetrisyyden perusteella aina injektio. Määritelmä 2.6. Olkoon P järjestetty joukko. Sanotaan, että b peittää alkion a, jos a < b ja ei ole olemassa sellaista alkiota c, että a < c < b. Tällöin merkitään a b. Jos järjestetty joukko on äärellinen, niin peittämisrelaatio selvästi karakterisoi koko järjestysrelaation. Äärettömän suurien joukkojen tapauksessa tämä ei välttämättä pidä paikkaansa. Esimerkiksi rationaalilukujen joukossa mikään alkio ei peitä toista alkiota. Peittämisrelaation avulla voidaan määritellä äärellisen järjestetyn joukon Hasse-diagrammi. Olkoon P äärellinen järjestetty joukko ja a, b P. Piirretään kuvioon ympyrä jokaista alkiota kohden ja yhdistetään alkioita a ja b vastaavat ympyrät viivalla, jos a b tai b a. Lisäksi sovitaan, että jos a b, niin alkiota a vastaava ympyrä on kuviossa alempana kuin alkiota b vastaava ympyrä. Näin saatua kuviota kutsutaan Hasse-diagrammiksi. Esimerkki 2.7. Kun esimerkissä 2.3 valitaan X = {a, b, c} ja F = P(X) ja piirretään Hasse-diagrammi, saadaan seuraava kuvio: 4

6 X = {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Lemma 2.8. Olkoot P ja Q äärellisiä järjestettyjä joukkoja, ψ : P Q bijektio ja x, y P. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) kuvaus ψ on järjestysisomorsmi, (ii) x < y, jos ja vain jos ψ(x) < ψ(y), (iii) x y, jos ja vain jos ψ(x) ψ(y). Todistus. Kohtien (i) ja (ii) ekvivalenttius seuraa suoraan määritelmistä. Oletetaan sitten, että ehto (ii) on voimassa. Olkoon x y joukossa P. Jos on olemassa sellainen w Q, että ψ(x) < w < ψ(y), niin koska ψ on surjektio, on olemassa alkio u P, jolle w = ψ(u). Oletuksen nojalla on tällöin oltava, että x < u < y, mikä on mahdotonta. Täten ψ(x) ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan. Siis ehto (iii) on voimassa. Oletetaan sitten, että ehto (iii) on voimassa. Olkoon x < y joukossa P. Koska P on äärellinen, niin on olemassa alkiot x = x 0 x 1... x n = y. Oletuksen nojalla ψ(x) = ψ(x 0 ) ψ(x 1 )... ψ(x n ) = ψ(y). Täten ψ(x) < ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan käyttäen hyväksi tietoa, että kuvaus ψ on surjektio. Siis ehto (ii) on voimassa. Seuraus 2.9. Kaksi äärellistä järjestettyä joukkoa ovat isomorset, jos ja vain jos niillä on sama Hasse-diagrammi. Todistus. Väite seuraa suoraan lemman 2.8 kohdasta (iii) ja Hasse-diagrammin määritelmästä. 5

7 Esimerkki Olkoon X = (X, ) järjestetty joukko. Joukko X on hyvinjärjestetty, jos X on täydellisesti järjestetty ja jos jokaisella joukon X epätyhjällä osajoukolla on olemassa pienin alkio. Esimerkiksi luonnollisten lukujen tavallinen järjestysrelaatio on hyvinjärjestysrelaatio. Sen sijaan kokonaislukujen joukko ei ole hyvinjärjestetty tavallisen järjestyksen suhteen, sillä negatiivisten lukujen joukolla ei ole olemassa pienintä alkiota. Käyttäen valinta-aksioomaa voidaan osoittaa, että jokaiselle joukolle on olemassa hyvinjärjestysrelaatio. [2] Järjestetystä joukosta P saadaan uusi järjestetty joukko P d asettamalla relaation a b olevan voimassa joukossa P d täsmälleen silloin, kun joukossa P on voimassa b a. Järjestettyä joukkoa P d kutsutaan järjestetyn joukon P duaaliksi, ja on ilmeistä, että (P d ) d = P. Duaalin P d Hasse-diagrammi saadaan kääntämällä järjestetyn joukon P diagrammi ylösalaisin. Hyöty duaalien tarkastelussa on siinä, että monia järjestetyn joukon ominaisuuksia vastaa duaalinen ominaisuus duaalissa. On myös syytä huomata, että ei ole välttämätöntä, että P P d. Jatkossa useissa todistuksissa sanotaan, että jokin tulos seuraa duaalisuudesta. Tällä tarkoitetaan, että jo esitetty argumentti menee sellaisenaan läpi, kun vaihdetaan keskenään merkit ja (ja myöhemmin myös merkit, ja, ). Sanonta ei tarkoita, että jokin tulos olisi automaattisesti voimassa duaalissa. Määritelmä Olkoon P järjestetty joukko ja S P. Alkio x S on maksimaalinen osajoukossa S, jos ehdosta x a, a S seuraa, että a = x. Edelleen x S on osajoukon S suurin alkio, jos a x kaikilla a S. Käsitteet minimaalinen ja pienin alkio määritellään duaalisesti. Jos suurin (pienin) alkio on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Nimittäin jos x ja y ovat molemmat suurimpia (pienimpiä) alkioita, niin x y ja y x, jolloin x = y. On tärkeää huomata, että käsitteet maksimaalinen (minimaalinen) ja suurin (pienin) alkio ovat eri käsitteet. Maksimaalisia (minimaalisia) alkioita voi olla useita. Jos koko joukossa P on suurin alkio olemassa, sitä merkitään symbolilla. Pienintä alkiota taas merkitään symbolilla. Lemma Olkoon P järjestetty joukko ja S P äärellinen. Tällöin osajoukossa S on ainakin yksi maksimaalinen ja yksi minimaalinen alkio. 6

8 Todistus. Suoritetaan induktiotodistus joukon koon suhteen. Tapaus S = 1 on selvä. Oletetaan sitten, että väite on voimassa osajoukoille, joissa on n alkiota. Kirjoitetaan S = {x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Induktio-oletuksen nojalla joukossa S \ {x n+1 } on maksimaalinen alkio z. Tällöin on voimassa joko z < x n+1 tai z > x n+1 tai z ei ole vertailtavissa alkion x n+1 kanssa. Ensimmäisessä tapauksessa x n+1 on maksimaalinen. Kahdessa jälkimmäisessä tapauksessa z on edelleen maksimaalinen. Minimaalisen alkion olemassaolo todistetaan vastaavasti. 2.2 Kohtaus ja yhdiste Määritelmä Olkoon P järjestetty joukko, S P ja x P. Jos a x kaikilla a S, niin alkio x on osajoukon S yläraja. Jos alkio x on osajoukon S ylärajojen joukon pienin alkio, niin alkio x on osajoukon S pienin yläraja eli supremum. Tällöin merkitään x = sup S tai x = P S. Duaalisesti määritellään käsitteet alaraja ja suurin alaraja eli inmum. Tällöin merkitään x = inf S tai x = P S. Yleisesti järjestysteoriassa supremumia kutsutaan yhdisteeksi (engl. join) ja inmumia kohtaukseksi (engl. meet). Merkityksen ollessa selvä alaindeksi jätetään usein pois ja merkitään vain S ja S. Kahden alkion joukon S = {a, b} tapauksessa kirjoitetaan yleisesti S = a b ja S = a b. On syytä huomata, että järjestetystä joukosta riippuen supremum tai inmum eivät välttämättä ole olemassa. Oletetaan sitten, että järjestetyssä joukossa P on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Jos edellisessä määritelmässä valitaan S =, niin selvästi P =. Duaalisesti P =. Selvästi myös P P = ja P P =. Lisäksi x = ja x = kaikilla x P. Todistetaan sitten kohtauksen ja yhdisteen muutama selvä ominaisuus. Lemma Olkoon P järjestetty joukko ja S, T P. Oletetaan, että osajoukkojen S ja T kohtaus ja yhdiste ovat olemassa. Tällöin (i) jos a S, niin S S, (ii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, (iii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, 7

9 (iv) jos S T, niin S T ja S T. Todistus. (i) Seuraa suoraan määritelmästä. (ii) Jos x S, niin x S a kaikilla a S. Jos taas x a kaikilla a S, niin x on eräs joukon S alaraja, joten x S. Kohta (iii) todistetaan samoin. (iv) Koska a T kaikilla a T, niin erityisesti a T kaikilla a S. Täten S T. Jälkimmäinen väite seuraa duaalisuudesta. Esimerkki Alla olevassa Hasse-diagrammissa punaisia ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukolla on olemassa useita alarajoja, muttei suurinta alarajaa. Tämän osajoukon inmum ei siis ole olemassa. Sen sijaan vihreitä ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukon inmum on olemassa. Diagrammin järjestetyllä joukolla on pienin alkio, mutta suurinta alkiota ei ole olemassa, vaan kaksi maksimaalista alkiota. 8

10 3 Hila Hilat (engl. lattice) ovat järjestettyjen joukkojen mielenkiintoisia erityistapauksia. Tässä luvussa määritellään hila kahdella eri tavalla ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Lisäksi todistetaan riittävästi hilojen perusominaisuuksia seuraavaa lukua varten. 3.1 Kaksi näkökulmaa hiloihin Määritelmä 3.1 (Järjestysteoreettinen). Olkoon L järjestetty joukko. Järjestetty joukko L on hila, jos a b ja a b ovat olemassa kaikilla a, b L. Jos lisäksi S ja S ovat olemassa kaikilla S L, niin L on täydellinen hila. Lemma 3.2. Olkoon L hila ja a, b L. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) a b, (ii) a b = a, (iii) a b = b. Todistus. Todistetaan, että ehdot (i) ja (ii) ovat ekvivalentit. Muut kohdat todistetaan vastaavasti. Oletetaan, että a b. Tällöin a on joukon {a, b} alaraja. Olkoon myös z joukon {a, b} alaraja. Tällöin selvästi z a, josta seuraa, että a b = a. Oletetaan sitten, että a = a b. Tällöin selvästi a = a b b. Lemman ekvivalenssia käytetään apuna, kun määritelmien yhteys todistetaan lauseessa 3.5. Lause 3.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (L1) a a = a ja a a = a, (L2) a b = b a ja a b = b a, (L3) a (b c) = (a b) c ja a (b c) = (a b) c, (L4) a (a b) = a ja a (a b) = a. 9

11 Todistus. Kohdat (L1) ja (L2) ovat ilmeisiä kohtauksen ja yhdisteen määritelmästä. Todistetaan sitten kohtien (L3) ja (L4) ensimmäiset väitteet. (L3) Riittää osoittaa, että {a, b, c} = (a b) c. Väite seuraa siitä, että alkiot a, b ja c ovat symmetrisessä asemassa. Merkitään x = a b ja y = x c. Selvästi a, b, c y. Olkoon sitten z jokin joukon {a, b, c} yläraja, eli a, b, c z. Tällöin x = a b z ja y = x c z. Täten {a, b, c} = y = (a b) c. (L4) Merkitään z = a (a b). Koska a (a b) a, niin a z. Toisaalta a b a, joten a (a b) a, eli a z. Siis a = z = a (a b). Määritelmä 3.4 (Algebrallinen). Hila on epätyhjä joukko, joka on varustettu kahdella binaarioperaatiolla ja, jotka toteuttavat edellisen lauseen 3.3 ehdot (L1)(L4). Lause 3.5. Olkoon joukko L kuten määritelmässä 3.4. Määritellään joukossa L relaatio seuraavasti: a b, jos ja vain jos a b = b. Tällöin järjestetty joukko (L, ) on hila määritelmän 3.1 mielessä ja kaikilla a, b L on voimassa a b = sup{a, b} ja a b = inf{a, b}. Todistus. Näytetään ensin, että relaatio todella on järjestysrelaatio. Olkoon a, b, c L. Ominaisuuden (L1) nojalla a a = a, joten a a eli relaatio on reeksiivinen. Oletetaan sitten, että a b ja b a. Määrittelyn mukaan a b = b ja b a = a. Käyttäen ominaisuutta (L2) saadaan, että a = b a = a b = b. Relaatio on siis antisymmetrinen. Oletetaan sitten, että a b ja b c eli, että a b = b ja b c = c. Käyttäen ominaisuutta (L3) saadaan, että a c = a (b c) = (a b) c = b c = c. Siis a c, mikä tarkoittaa, että relaatio on transitiivinen. Näytetään sitten, että a b = sup{a, b}. Tapaus a b = inf{a, b} päätellään samaan tapaan. Olkoon a, b L. Nyt a a b, sillä a (a b) = (a a) b = a b. Samoin b a b. Olkoon c jokin joukon {a, b} yläraja. Tällöin a c = c ja b c = c. Siis (a b) c = a (b c) = a c = c ja täten a b = sup{a, b}. Algebrallisen määritelmän mielessä binaarioperaatio indusoi järjestysrelaation, jonka suhteen joukko on hila järjestysteoreettisessa mielessä. Vastaavasti hilan järjestysrelaation avulla voidaan määritellä binaarioperaatiot ja, joiden suhteen saadaan hila algebrallisessa mielessä. Edellä todistettujen tulosten nojalla saadut relaatiot ja binaarioperaatiot ovat yhteensopivia 10

12 käytettiinpä kumpaa tahansa määritelmää. Hilaa L voidaan siis tilanteen mukaan käsitellä järjestettynä joukkona (L, ) tai algebrana (L,, ) (ks. alaluku 3.3). Lemma 3.6. Olkoon L hila ja S L äärellinen. Tällöin S ja S ovat olemassa. Todistus. Koska S on äärellinen, voidaan kirjoittaa S = {x 1, x 2,..., x n }. Koska kohtaus ja yhdiste ovat assosiatiivisia, niin voidaan kirjoittaa S = x 1 x 2... x n ja S = x 1 x 2... x n. Seuraus 3.7. Jokainen äärellinen hila on täydellinen. 3.2 Esimerkkejä hiloista Esimerkki 3.8. Esimerkissä 2.3 nähtiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on järjestetty joukko sisältymisrelaation suhteen. Järjestetty joukko (F, ) on myös hila. Kahden osajoukon supremum on niiden unioni: joukko A B on selvästi pienin joukko, joka sisältää molemmat joukot A ja B. Vastaavasti kahden osajoukon inmum on niiden leikkaus. Hilan määritelmän ehdot (L1)(L4) ovat tuttuja joukko-opin identiteettejä. Tämä hila on myös täydellinen: mielivaltaisen kokoelman G F supremum on A G A ja inmum A G A. Esimerkki 3.9. Yksikköväli [0, 1] R on täydellinen hila, kun järjestysrelaatio määritellään tavalliseen tapaan. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma takaa, että kullakin epätyhjällä ja tässä rajoitetuilla osajoukolla on supremum ja inmum olemassa. Lisäksi jos X [0, 1], niin selvästi sup X, inf X [0, 1]. Esimerkki Esimerkissä 2.4 esiteltiin vaihtoehtoinen järjestysrelaatio luonnollisille luvuille jaollisuuden avulla. Myös tämä järjestetty joukko on hila. Tässä tapauksessa supremum ja inmum ovat pienin yhteinen jaettava ja suurin yhteinen tekijä. Kahden luvun m ja n yläraja on mikä tahansa luku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla m ja n. Pienin tällaisista luvuista on määritelmän mukaan pyj(m, n). Lukujen alarajaksi kelpaa mikä tahansa luku, joka jakaa molemmat luvut m ja n. Luku syt(m, n) on näistä suurin. Ehdot (L1)(L3) ovat tuttuja lukuteoriasta. Merkitään sitten x = syt(m, pyj(m, n)). Selvästi x m. Toisaalta m x, sillä m pyj(m, n). 11

13 Siis x = m. Identiteetti pyj(m, syt(m, n)) = m todistetaan vastaavanlaisella päättelyllä. Siis myös ehto (L4) on voimassa. Tämä hila on täydellinen: luku 1 jakaa kaikki luonnolliset luvut ja kaikki luonnolliset luvut jakavat luvun 0. Luku 1 on siis hilan pienin alkio ja 0 suurin. Esimerkki Olkoon G ryhmä ja N(G) sen normaalien aliryhmien joukko. Olkoon N 1, N 2 N(G). Määritellään, että N 1 N 2 = N 1 N 2 = {n 1 n 2 : n 1 N 1, n 2 N 2 } ja N 1 N 2 = N 1 N 2. Joukko N(G) on operaatioiden ja suhteen hila. Ryhmäteoriasta tiedetään, että N 1 N 2 ja N 1 N 2 ovat aliryhmiä, ja että jälkimmäinen aliryhmä on normaali. Näytetään vielä, että N 1 N 2 N(G). Olkoon n 1 n 2 N 1 N 2 ja g G. Tällöin gn 1 n 2 g 1 = gn 1 g 1 gn } {{ } 2 g 1 N } {{ } 1 N 2. N 1 N 2 Siis N 1 N 2 on normaali. Ehto (L1) on selvästi voimassa: N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1 ja N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1. Ehto (L2) pätee tunnetusti leikkaukselle. Olkoon x = n 1 n 2 N 1 N 2. Tällöin x = n 1 n 2 = n 1 n 2 n 1 1 } {{ } N 2 n 1 N 2 N 1, joten N 1 N 2 N 2 N 1. Vastaavasti päätellään, että N 2 N 1 N 1 N 2. Siispä N 1 N 2 = N 2 N 1 eli ehto (L2) on voimassa myös yhdisteelle. Ehto (L3) on voimassa, sillä leikkaus on assosiatiivinen ja myös ryhmän binaarioperaatio on assosiatiivinen. Selvästi N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 (N 1 N 2 ) = N 1. Myös N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 N 1 N 2 = N 1, sillä N 1 N 1 N 2. Siis myös ehto (L4) on voimassa ja väite on todistettu. 3.3 Hieman universaalialgebraa Tässä osiossa tarkastellaan hiloja lyhyesti algebrallisesta näkökulmasta. Lukijalle tuttuja algebroja ovat esimerkiksi peruskursseissa käsitellyt ryhmät, renkaat, kunnat ja vektoriavaruudet. Tulokset esitetään ilman todistuksia, 12

14 eikä yksityiskohtiin juuri puututa. Pääpaino on korostaa millä tavoin hilat ovat samantapaisia kuin tutummat algebrat. Peruskursseilla esitetyt vastaavat todistukset vaikkapa renkaille toimivat pienten muutosten jälkeen myös hilojen tapauksessa. Tarkat todistukset löytyvät yleisemmässä muodossa kirjasta [3]. Määritelmä Olkoot P ja Q hiloja. Kuvaus ψ : P Q on hilahomomorsmi, jos kaikille a, b P, ψ(a b) = ψ(a) ψ(b) ψ(a b) = ψ(a) ψ(b). ja Jos kuvaus ψ on lisäksi bijektio, niin sitä kutsutaan hilaisomorsmiksi. Hilaisomorsmi on sama käsite kuin järjestysisomorsmi. Tämä seuraa ekvivalensseista a b a b = a ψ(a b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b), missä toinen ekvivalenssi on voimassa vain jos kuvaus ψ on bijektio. Määritelmä Olkoon L hila ja S L. Osajoukko S on hilan L alihila, jos a b S ja a b S kaikilla a, b S. Määritelmä Olkoon L hila ja Θ sen ekvivalenssirelaatio. Sanotaan, että ekvivalenssirelaatio Θ on hilan L kongruenssi, jos ehdoista a 1 Θ b 1 ja a 2 Θ b 2 seuraa, että a 1 a 2 Θ b 1 b 2 ja a 1 a 2 Θ b 1 b 2. Kuten tunnettua muiden algebrojen tapauksessa, hilan L kongruenssin Θ avulla voidaan määritellä ns. tekijähila L/Θ, missä voidaan operoida hyvinmääritellysti ekvivalenssiluokilla [a] Θ seuraavaan tapaan: [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ ja [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ. Lemma Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. (i) Homomorsmin ψ ydin Ker(ψ) = {(a, b) : ψ(a) = ψ(b)} on hilan L kongruenssi. (ii) Jos Θ on hilan L kongruenssi, niin kanoninen projektio π : L L/Θ, a [a] Θ on hilahomomorsmi. Lause 3.16 (Homomoralause). Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. Tällöin L/Ker(ψ) Im(ψ). 13

15 4 Distributiivinen hila ja Boolen hila 4.1 Distributiivinen hila Määritelmä 4.1. Hila L on distributiivinen, jos siinä on voimassa distributiivilait (D1) a (b c) = (a b) (a c) ja (D2) a (b c) = (a b) (a c) kaikilla a, b, c L. Jos halutaan osoittaa, että jokin hila on distributiivinen, niin ei ole välttämätöntä tarkistaa, että ehdot (D1)(D2) ovat voimassa. Seuraavat kaksi lemmaa antavat yksinkertaisemman testin hilan distributiivisuudelle. Lemma 4.2. Hilassa L ominaisuus (D1) on voimassa silloin ja vain silloin, kun myös ominaisuus (D2) on voimassa. Todistus. Oletetaan, että ominaisuus (D1) on voimassa. Olkoon a, b, c L. Tällöin (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) = a ((a b) c) = a ((a c) (b c)) = (a (a c)) (b c) = a (b c). Toiseen suuntaan tulos seuraa duaalisuudesta. Lemma 4.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (i) a (b c) (a b) (a c), (ii) a (b c) (a b) (a c). Todistus. (i) On selvää, että a (b c) a b ja a (b c) a c. Täten a (b c) (a b) (a c). Kohta (ii) seuraa duaalisuudesta. Lemmojen 4.2 ja 4.3 nojalla hilan distributiivisuuden näyttämiseksi riittää osoittaa, että jompikumpi epäyhtälöistä a (b c) (a b) (a c) tai on voimassa. a (b c) (a b) (a c) 14

16 Esimerkki 4.4. Esimerkissä 3.8 osoitettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on täydellinen hila (F,, ). Tämä hila on distributiivinen: A (B C) = (A B) (A C) ja A (B C) = (A B) (A C), kuten joukko-opista muistetaan. Epädistributiivisia hiloja on olemassa. Tarkastellaan kahta hilaa M 5 ja N 5 : b a b c c a M 5 N 5 Kumpikaan hiloista ei ole distributiivinen, sillä kummassakaan tapauksessa ei ole voimassa a (b c) = (a b) (a c). On selvää, että jos hilaan L voidaan upottaa jompikumpi hiloista M 5 tai N 5, niin L ei voi olla distributiivinen. Yllättäen myös käänteinen tulos pätee. Todistusta ei esitetä tässä. Distributiivisille hiloille saadaan seuraava karakterisointi. Lause 4.5 (Birkho). Hila L on epädistributiivinen silloin ja vain silloin, kun hila M 5 tai N 5 voidaan upottaa hilaan L. Todistus. Katso [3] lause Boolen hila Boolen hila eli Boolen algebra on hila, jossa on binaarioperaatioiden kohtaus ja yhdiste lisäksi unaarioperaatio komplementti. Ennen varsinaista määritelmää tarkastellaan komplementin käsitettä. Määritelmä 4.6. Hila L on rajoitettu, jos hilassa on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Määritelmä 4.7. Olkoon L rajoitettu hila ja a L. Alkio b L on alkion a komplementti, jos a b = ja a b =. Alkion a komplementin ollessa yksikäsitteinen sitä merkitään symbolilla ā. 15

17 Lemma 4.8. Olkoon hila L distributiivinen ja rajoitettu. Tällöin kullakin hilan L alkiolla voi olla korkeintaan yksi komplementti. Todistus. Olkoot a L ja b 1, b 2 L alkion a komplementteja. Nyt b 1 = b 1 = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) (b 1 b 2 ) = (b 1 b 2 ) = b 1 b 2. Tämä tarkoittaa, että b 1 b 2. Symmetrian nojalla b 2 b 1 eli b 1 = b 2. Määritelmä 4.9. Hila L on Boolen hila, jos se on rajoitettu, distributiivinen ja jos jokaisella alkiolla on yksikäsitteinen komplementti. Lemma Olkoon L Boolen hila ja a, b L. (i) = ja =, (ii) ā = a, (iii) (a b) = ā b ja (a b) = ā b, (iv) a b = a b, (v) a b b ā. Todistus. Kohdat (i) ja (ii) seuraavat komplementin määritelmästä ja yksikäsitteisyydestä. (iii) Distributiivilakien nojalla (a b) (ā b) = ((a b) ā) ((a b) b) = = ja (a b) (ā b) = ((a (ā b)) (b (ā b)) = =. Jälkimmäinen yhtälö seuraa duaalisuudesta. (iv) Olkoon a b =. Nyt a = a = a (b b) = (a b) (a b) = (a b) = a b, eli a b. Jos taas a b, niin a b b b =. (v) Olkoon a b. Käyttämällä kommutatiivisuutta ja toistuvasti kohtaa (iv) saadaan a b a b = b a = b ā. 16

18 Esimerkki Esimerkissä 4.4 näytettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on distributiivinen ja täydellinen hila. Edelleen tämä hila on Boolen hila. Komplementtioperaatio on tässä tapauksessa joukko-opillinen komplementti. Olkoon A F. Tällöin joukon A komplementti on A c = X\A. Selvästi A A c = X ja A A c =, kuten komplementin määritelmässä vaaditaan. Komplementti on yksikäsitteinen. Hilan F suurin alkio on X ja pienin. Itse asiassa voidaan ajatella, että järjestetty joukko (P(X), ) on ollut konkreettinen esimerkki, jonka tärkeimpien ominaisuuksien yleistyksen pohjalta on annettu Boolen hilan määritelmä. Esimerkki Tarkastellaan kahden alkion ketjua P = {0, 1}, missä 0 < 1. Tästä ketjusta saadaan Boolen hila, kun määritellään operaatiot, ja (komplementti) seuraavasti: x 0 1 x 1 0 On selvää, että näin määrittelemällä saadaan bijektiivinen vastaavuus hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden välille. Koska propositiologiikassa on voimassa identiteettejä (L1)(L4) ja (D1)(D2) vastaavat lait, niin ketju P on distributiivinen hila. Komplementti on määrittelynsä nojalla yksikäsitteinen. Täten P on Boolen hila. Hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden vastaavuudesta seuraa, että hilassa jokin yhtälö on voimassa silloin ja vain silloin, kun yhtälön vasenta ja oikeaa puolta vastaavat propositiologiikan lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. 17

19 Kirjallisuutta [1] Järvinen J.: Ordered structures and lattices, luentomoniste, Turun yliopisto, 2009, 1.pdf (haettu ). [2] Harju T.: Lectures Notes in Ordered Sets, luentomoniste, Turun yliopisto, 2006, (haettu ). [3] Burris S., Sankappanavar H. P.: A Course on Universal Algebra, Springer- Verlag, Berlin, 1981, snburris/htdocs/ualg.html (haettu ). 18

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi

3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi 3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,

Lisätiedot

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA.

DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. Heikki Junnila DISKREETTIÄ MATEMATIIKKAA. LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset..... 3 2. Luonnolliset luvut. Induktio.... 9 3. Äärelliset joukot.... 14 4. Joukon ositukset.

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen

MAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a.

Mitään muita operaatioita symbolille ei ole määritelty! < a kaikilla kokonaisluvuilla a, + a = kaikilla kokonaisluvuilla a. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden teoriaa ja polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Algebrassa on tapana pitää erillään polynomin ja polynomifunktion käsitteet. Polynomit Tarkastelemme polynomirenkaiden

Lisätiedot

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin

Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Lukujoukot luonnollisista luvuista reaalilukuihin Pro gradu -tutkielma Esa Pulkka 517378 Itä-Suomen Yliopisto Fysiikan ja matematiikan laitos 26. maaliskuuta 2012 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Luonnolliset luvut

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat: Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.

a 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle. Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos... 2 Logiikkaa Tässä luvussa tutustutaan joihinkin logiikan käsitteisiin ja merkintöihin. Lisätietoja ja tarkennuksia löytyy esimerkiksi Jouko Väänäsen kirjasta Logiikka I 2.1 Loogiset konnektiivit Väitelauseen

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA

RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA RAKKAUS MATEMAATTISENA RELAATIONA HEIKKI PITKÄNEN 1. Johdanto Määritelmä 1. Olkoon I ihmisten joukko ja a, b I. Määritellään relaatio : a b a rakastaa b:tä. Huomautus 2. Määritelmässä esiintyvälle käsitteelle

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 3. Logiikka 3.1 Logiikka tietojenkäsittelyssä Pyritään formalisoimaan terveeseen järkeen perustuva päättely Sovelletaan monella alueella tietojenkäsittelyssä, esim.

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo

2 ALGEBRA I. Sisällysluettelo ALGEBRA I 1 2 ALGEBRA I Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 1.3. Ekvivalenssirelaatio 9 2. Lukuteoriaa 11 2.1. Jaollisuusrelaatio 11 2.2. Suurin

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta

TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala

Lisätiedot

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo

Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen

802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen 802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Roosa Niemi. Riippuvuuslogiikkaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Roosa Niemi Riippuvuuslogiikkaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Syyskuu 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö ROOSA NIEMI: Riippuvuuslogiikkaa

Lisätiedot

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN

LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN LUKUTEORIAN ALKEET HELI TUOMINEN Sisältö 1. Lukujärjestelmät 2 1.1. Kymmenjärjestelmä 2 1.2. Muita lukujärjestelmiä 2 1.3. Yksikäsitteisyyslause 4 2. Alkulukuteoriaa 6 2.1. Jaollisuus 6 2.2. Suurin yhteinen

Lisätiedot

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b,

f 1 (b) kun b f(a) g(b) = a kun b B \ f(a). g(b) = g(b ). (2) b = b. = f(g(b )) iii) = b, 1.1 Olkoon f : A B injektio. Tällöin f : A f(a) on bijektio, joten on olemassa bijektiivinen käänteiskuvaus f 1 : f(a) A. Jos f(a) = B, niin tämä f 1 on haluttu surjektio. Voidaan siis olettaa, että f(a)

Lisätiedot

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia.

Vadi m Kulikov. Ressun lukio. Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka ja filoso fia. Reaaliluvut: keksitty vai löydetty käsite? Filosofisesti tuettu reaalilukujen johdatus klassisen joukko-opin aksioomista. Vadi m Kulikov Ressun lukio Työ sijoitt uu kahdelle tieteenalalle: matematiikka

Lisätiedot

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että

LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5...

Calkinin-Wiln jono 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2... 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3... 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4... 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5... Calkinin-Wiln jono Funktio f : X Y on bijektio, jos sillä on käänteisfunktio f : Y X. Joukko X on äärellinen, jos se on thjä tai jos on olemassa bijektio f : X {,,,..., n}. Joukko X on numeroituva, jos

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Lukuteorian helmiä lukiolaisille. 0. Taustaa. Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Lukuteorian helmiä lukiolaisille Jukka Pihko Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 0. Taustaa Sain 24.4.2007 Marjatta Näätäseltä sähköpostiviestin, jonka aihe oli Fwd: yhteistyökurssi,

Lisätiedot

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.

Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. ja Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos Koodausteoria 10 op Kontaktiopetusta 50 h, 26.5. - 26.6. ma 10-14, ti 10-13, to 10-13 Aloitusviikolla poikkeuksellisesti ke 10-13 torstain

Lisätiedot

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus 2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutioongelman selvittämisessä Tässä

Lisätiedot

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010

ALGEBRA Tauno Mets ankyl a Marjatta N a at anen 2010 ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen 2010 c Tauno Metsänkylä ja Marjatta Näätänen ALGEBRA Tauno Metsänkylä Marjatta Näätänen Esipuhe Tämä kirja on syntynyt toisen tekijän(t.m.) Turun yliopistossa

Lisätiedot

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA

ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja

Lisätiedot

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19

8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 8.5. Järjestyssuhteet 1 / 19 Määritelmä Joukon suhteilla voidaan kuvata myös alkioiden järjestystä tietyn ominaisuuden suhteen. Järjestys on myös kaksipaikkainen suhde (ja on monia erilaisia järjestyksiä).

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Heidi Luukkonen. Sahlqvistin kaavat TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Heidi Luukkonen Sahlqvistin kaavat Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Maaliskuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö LUUKKONEN, HEIDI: Sahlqvistin

Lisätiedot

Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta

Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta Havainnollistavaa algebraa lukiolaisille matemaattisen kielentämisen näkökulmasta Sanni Sairanen Pro gradu -tutkielma Huhtikuu 2013 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla

Nimittäin, koska s k x a r mod (p 1), saadaan Fermat n pienen lauseen avulla 6. Digitaalinen allekirjoitus Digitaalinen allekirjoitus palvelee samaa tarkoitusta kuin perinteinen käsin kirjotettu allekirjoitus, t.s. Liisa allekirjoittaessaan Pentille lähettämän viestin, hän antaa

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Äärettömistä joukoista

Äärettömistä joukoista Äärettömistä joukoista Markku Halmetoja Mistä tietäisit, että sinulla on yhtä paljon sormia ja varpaita, jos et osaisi laskea niitä? Tiettyä voimisteluliikettä tehdessäsi huomaisit, että jokaista sormea

Lisätiedot

PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT

PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto LASSE POHJOLAINEN PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty osastoneuvoston kokouksessa 13. 4. 2005. Tarkastaja: Professori Esko

Lisätiedot

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006

JOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.

Lisätiedot

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Algebra I. Jokke Häsä ja Johanna Rämö. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Algebra I Jokke Häsä ja Johanna Rämö Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Kevät 2011 Sisältö 1 Laskutoimitukset 6 1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset..................... 6 1.1.1 Joukko..............................

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot