Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat"

Transkriptio

1 Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010

2 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko Määritelmiä ja perusominaisuuksia Kohtaus ja yhdiste Hila Kaksi näkökulmaa hiloihin Esimerkkejä hiloista Hieman universaalialgebraa Distributiivinen hila ja Boolen hila Distributiivinen hila Boolen hila Kirjallisuutta 18 1

3 1 Johdanto Tässä tutkielmassa tarkastellaan järjestettyjen joukkojen ja hilojen perusominaisuuksia. Järjestetyn joukon määritelmä perustuu luonnollisten lukujen järjestysrelaation yleistykseen abstraktiin joukkoon. Hilat ovat erityisiä järjestettyjä joukkoja, joilla on ominaisuuksia, joita järjestetyillä joukoilla ei yleisesti ole. Eräs useissa esimerkeissä käsiteltävä järjestetty joukko on minkä tahansa epätyhjän joukon osajoukkojen kokoelma. Sen lisäksi, että tämä järjestetty joukko on hila, sillä on vielä muitakin erityisiä ominaisuuksia. Näiden ominaisuuksien voidaan nähdä innoittaneen ns. Boolen hilan määritelmän. Tutkielmassa johdetaan tarpeeksi tuloksia Boolen hilan määritelmän antamiseksi. Ainoastaan tähän määritelmään johtavia tuloksia ei tarkastella, vaan lisäksi johdetaan jonkin verran muita kiintoisia tuloksia käsitteitä selventämään. Lukijan oletetaan tuntevan algebran peruskurssien käsitteistön ja joukkoopin perusidentiteetit. Muutamassa esimerkissä on myös hyötyä lukuteorian ja logiikan alkeista, mutta ne eivät ole välttämättömiä kokonaisuuden kannalta. Tutkielma perustuu pääasiassa luentomonisteeseen [1]. Lähteet [2] ja [3] tarjoavat lisämateriaalia useisiin erityiskysymyksiin. Luvussa 2 tutkitaan järjestettyjä joukkoja. Useat tulokset ja määritelmät, kuten supremum ja inmum, ovat tuttuja reaalilukujen yhteydestä. Luvussa 3 käsitellään hilojen teoriaa. Tässä luvussa hilalle annetaan kaksi vaihtoehtoista määritelmää, ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Osoittautuu, että jälkimmäinen määritelmistä näyttää, että hilat ovat osa universaalialgebraksi kutsuttua matematiikan haaraa. Universaalialgebran tulokset antavatkin välittömästi lukuisia tuloksia, joista muutamat esitetään esimerkinomaisesti. Viimeisessä luvussa annetaan distributiivisen hilan ja Boolen hilan määritelmät. Useiden tulosten tuttu muoto selittyy luvussa annettavalla esimerkillä, jossa näytetään erään Boolen hilan yhteys propositiologiikkaan. 2

4 2 Järjestetty joukko 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia Määritelmä 2.1. Olkoon P epätyhjä joukko. Relaatio on järjestysrelaatio, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille a, b P : (O1) a a, (O2) jos a b ja b a, niin a = b, (O3) jos a b ja b c, niin a c. Ehtoja kutsutaan luetellussa järjestyksessä reeksisyydeksi, antisymmetrisyydeksi ja transitiivisuudeksi. Paria (P, ) kutsutaan osittain järjestetyksi joukoksi tai lyhyesti järjestetyksi joukoksi. Kontekstin ollessa selvä kutsutaan jatkossa paria (P, ) lyhyesti järjestetyksi joukoksi P. Relaatio luetaan kuten tavallisesti pienempi tai yhtäsuuri kuin. Relaation avulla voidaan määritellä toisenlainen järjestysrelaatio < (olla aidosti pienempi kuin): x < y, jos ja vain jos x y ja x y. Määritelmä 2.2. Olkoon P järjestetty joukko. Jos a b tai b a kaikilla a, b P, eli kaikkia joukon P alkioita voidaan vertailla keskenään, niin järjestysrelaatiota kutsutaan täydelliseksi ja järjestettyä joukkoa P täydellisesti järjestetyksi joukoksi eli ketjuksi. Esimerkki 2.3. Olkoon X epätyhjä joukko. Epätyhjää joukkoperhettä F P(X), missä P(X) on joukon X osajoukkojen joukko, kutsutaan joukon X osajoukkoalgebraksi, jos F on suljettu unionin, leikkauksen ja komplementin suhteen. Huomaa, että aina, X F. Nimittäin koska F on epätyhjä, niin voidaan kirjoittaa X = A A c ja = X c jollakin A F. Olkoon X epätyhjä joukko ja F sen osajoukkoalgebra. Sisältymisrelaatio joukkoperheessä F täyttää selvästi ehdot (O1)(O3). Pari (F, ) on siis järjestetty joukko. Erityisesti (P(X), ) on järjestetty joukko. Esimerkki 2.4. Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2,...} on järjestetty joukko, kun määritellään tavalliseen tapaan 0 < 1 < 2 <..., jolloin N on ketju. Luonnollisille luvuille voidaan määritellä toinenkin järjestysrelaatio seuraavasti: m n, jos ja vain jos on olemassa sellainen k N, että km = n, eli m n. Järjestys toteuttaa selvästi ehdot (O1)(O3). Järjestetty joukko 3

5 (N, ) ei kuitenkaan ole ketju, sillä kaksi erisuurta alkulukua p ja q eivät ole vertailtavissa keskenään, koska p q ja q p. Määritelmä 2.5. Olkoot P ja Q järjestettyjä joukkoja ja ψ : P Q kuvaus. Kuvaus ψ on (i) järjestyksen säilyttävä eli isotonia, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (ii) järjestyksen kääntävä, jos ψ(a) ψ(b), kun a b, (iii) upotus, jos a b on ekvivalentti sen kanssa, että ψ(a) ψ(b), (iv) järjestysisomorsmi, jos ψ on upotus ja surjektio. Jos joukkojen P ja Q välillä on järjestysisomorsmi, niin järjestettyjä joukkoja P ja Q kutsutaan isomorsiksi ja merkitään P Q. Huomaa, että upotus on antisymmetrisyyden perusteella aina injektio. Määritelmä 2.6. Olkoon P järjestetty joukko. Sanotaan, että b peittää alkion a, jos a < b ja ei ole olemassa sellaista alkiota c, että a < c < b. Tällöin merkitään a b. Jos järjestetty joukko on äärellinen, niin peittämisrelaatio selvästi karakterisoi koko järjestysrelaation. Äärettömän suurien joukkojen tapauksessa tämä ei välttämättä pidä paikkaansa. Esimerkiksi rationaalilukujen joukossa mikään alkio ei peitä toista alkiota. Peittämisrelaation avulla voidaan määritellä äärellisen järjestetyn joukon Hasse-diagrammi. Olkoon P äärellinen järjestetty joukko ja a, b P. Piirretään kuvioon ympyrä jokaista alkiota kohden ja yhdistetään alkioita a ja b vastaavat ympyrät viivalla, jos a b tai b a. Lisäksi sovitaan, että jos a b, niin alkiota a vastaava ympyrä on kuviossa alempana kuin alkiota b vastaava ympyrä. Näin saatua kuviota kutsutaan Hasse-diagrammiksi. Esimerkki 2.7. Kun esimerkissä 2.3 valitaan X = {a, b, c} ja F = P(X) ja piirretään Hasse-diagrammi, saadaan seuraava kuvio: 4

6 X = {a, b, c} {a, b} {a, c} {b, c} {a} {b} {c} Lemma 2.8. Olkoot P ja Q äärellisiä järjestettyjä joukkoja, ψ : P Q bijektio ja x, y P. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) kuvaus ψ on järjestysisomorsmi, (ii) x < y, jos ja vain jos ψ(x) < ψ(y), (iii) x y, jos ja vain jos ψ(x) ψ(y). Todistus. Kohtien (i) ja (ii) ekvivalenttius seuraa suoraan määritelmistä. Oletetaan sitten, että ehto (ii) on voimassa. Olkoon x y joukossa P. Jos on olemassa sellainen w Q, että ψ(x) < w < ψ(y), niin koska ψ on surjektio, on olemassa alkio u P, jolle w = ψ(u). Oletuksen nojalla on tällöin oltava, että x < u < y, mikä on mahdotonta. Täten ψ(x) ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan. Siis ehto (iii) on voimassa. Oletetaan sitten, että ehto (iii) on voimassa. Olkoon x < y joukossa P. Koska P on äärellinen, niin on olemassa alkiot x = x 0 x 1... x n = y. Oletuksen nojalla ψ(x) = ψ(x 0 ) ψ(x 1 )... ψ(x n ) = ψ(y). Täten ψ(x) < ψ(y). Implikaatio toiseen suuntaan todistetaan samaan tapaan käyttäen hyväksi tietoa, että kuvaus ψ on surjektio. Siis ehto (ii) on voimassa. Seuraus 2.9. Kaksi äärellistä järjestettyä joukkoa ovat isomorset, jos ja vain jos niillä on sama Hasse-diagrammi. Todistus. Väite seuraa suoraan lemman 2.8 kohdasta (iii) ja Hasse-diagrammin määritelmästä. 5

7 Esimerkki Olkoon X = (X, ) järjestetty joukko. Joukko X on hyvinjärjestetty, jos X on täydellisesti järjestetty ja jos jokaisella joukon X epätyhjällä osajoukolla on olemassa pienin alkio. Esimerkiksi luonnollisten lukujen tavallinen järjestysrelaatio on hyvinjärjestysrelaatio. Sen sijaan kokonaislukujen joukko ei ole hyvinjärjestetty tavallisen järjestyksen suhteen, sillä negatiivisten lukujen joukolla ei ole olemassa pienintä alkiota. Käyttäen valinta-aksioomaa voidaan osoittaa, että jokaiselle joukolle on olemassa hyvinjärjestysrelaatio. [2] Järjestetystä joukosta P saadaan uusi järjestetty joukko P d asettamalla relaation a b olevan voimassa joukossa P d täsmälleen silloin, kun joukossa P on voimassa b a. Järjestettyä joukkoa P d kutsutaan järjestetyn joukon P duaaliksi, ja on ilmeistä, että (P d ) d = P. Duaalin P d Hasse-diagrammi saadaan kääntämällä järjestetyn joukon P diagrammi ylösalaisin. Hyöty duaalien tarkastelussa on siinä, että monia järjestetyn joukon ominaisuuksia vastaa duaalinen ominaisuus duaalissa. On myös syytä huomata, että ei ole välttämätöntä, että P P d. Jatkossa useissa todistuksissa sanotaan, että jokin tulos seuraa duaalisuudesta. Tällä tarkoitetaan, että jo esitetty argumentti menee sellaisenaan läpi, kun vaihdetaan keskenään merkit ja (ja myöhemmin myös merkit, ja, ). Sanonta ei tarkoita, että jokin tulos olisi automaattisesti voimassa duaalissa. Määritelmä Olkoon P järjestetty joukko ja S P. Alkio x S on maksimaalinen osajoukossa S, jos ehdosta x a, a S seuraa, että a = x. Edelleen x S on osajoukon S suurin alkio, jos a x kaikilla a S. Käsitteet minimaalinen ja pienin alkio määritellään duaalisesti. Jos suurin (pienin) alkio on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Nimittäin jos x ja y ovat molemmat suurimpia (pienimpiä) alkioita, niin x y ja y x, jolloin x = y. On tärkeää huomata, että käsitteet maksimaalinen (minimaalinen) ja suurin (pienin) alkio ovat eri käsitteet. Maksimaalisia (minimaalisia) alkioita voi olla useita. Jos koko joukossa P on suurin alkio olemassa, sitä merkitään symbolilla. Pienintä alkiota taas merkitään symbolilla. Lemma Olkoon P järjestetty joukko ja S P äärellinen. Tällöin osajoukossa S on ainakin yksi maksimaalinen ja yksi minimaalinen alkio. 6

8 Todistus. Suoritetaan induktiotodistus joukon koon suhteen. Tapaus S = 1 on selvä. Oletetaan sitten, että väite on voimassa osajoukoille, joissa on n alkiota. Kirjoitetaan S = {x 1, x 2,..., x n, x n+1 }. Induktio-oletuksen nojalla joukossa S \ {x n+1 } on maksimaalinen alkio z. Tällöin on voimassa joko z < x n+1 tai z > x n+1 tai z ei ole vertailtavissa alkion x n+1 kanssa. Ensimmäisessä tapauksessa x n+1 on maksimaalinen. Kahdessa jälkimmäisessä tapauksessa z on edelleen maksimaalinen. Minimaalisen alkion olemassaolo todistetaan vastaavasti. 2.2 Kohtaus ja yhdiste Määritelmä Olkoon P järjestetty joukko, S P ja x P. Jos a x kaikilla a S, niin alkio x on osajoukon S yläraja. Jos alkio x on osajoukon S ylärajojen joukon pienin alkio, niin alkio x on osajoukon S pienin yläraja eli supremum. Tällöin merkitään x = sup S tai x = P S. Duaalisesti määritellään käsitteet alaraja ja suurin alaraja eli inmum. Tällöin merkitään x = inf S tai x = P S. Yleisesti järjestysteoriassa supremumia kutsutaan yhdisteeksi (engl. join) ja inmumia kohtaukseksi (engl. meet). Merkityksen ollessa selvä alaindeksi jätetään usein pois ja merkitään vain S ja S. Kahden alkion joukon S = {a, b} tapauksessa kirjoitetaan yleisesti S = a b ja S = a b. On syytä huomata, että järjestetystä joukosta riippuen supremum tai inmum eivät välttämättä ole olemassa. Oletetaan sitten, että järjestetyssä joukossa P on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Jos edellisessä määritelmässä valitaan S =, niin selvästi P =. Duaalisesti P =. Selvästi myös P P = ja P P =. Lisäksi x = ja x = kaikilla x P. Todistetaan sitten kohtauksen ja yhdisteen muutama selvä ominaisuus. Lemma Olkoon P järjestetty joukko ja S, T P. Oletetaan, että osajoukkojen S ja T kohtaus ja yhdiste ovat olemassa. Tällöin (i) jos a S, niin S S, (ii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, (iii) jos x P, niin x S, jos ja vain jos x a kaikilla a S, 7

9 (iv) jos S T, niin S T ja S T. Todistus. (i) Seuraa suoraan määritelmästä. (ii) Jos x S, niin x S a kaikilla a S. Jos taas x a kaikilla a S, niin x on eräs joukon S alaraja, joten x S. Kohta (iii) todistetaan samoin. (iv) Koska a T kaikilla a T, niin erityisesti a T kaikilla a S. Täten S T. Jälkimmäinen väite seuraa duaalisuudesta. Esimerkki Alla olevassa Hasse-diagrammissa punaisia ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukolla on olemassa useita alarajoja, muttei suurinta alarajaa. Tämän osajoukon inmum ei siis ole olemassa. Sen sijaan vihreitä ympyröitä vastaavien alkioiden osajoukon inmum on olemassa. Diagrammin järjestetyllä joukolla on pienin alkio, mutta suurinta alkiota ei ole olemassa, vaan kaksi maksimaalista alkiota. 8

10 3 Hila Hilat (engl. lattice) ovat järjestettyjen joukkojen mielenkiintoisia erityistapauksia. Tässä luvussa määritellään hila kahdella eri tavalla ja osoitetaan määritelmien välinen yhteys. Lisäksi todistetaan riittävästi hilojen perusominaisuuksia seuraavaa lukua varten. 3.1 Kaksi näkökulmaa hiloihin Määritelmä 3.1 (Järjestysteoreettinen). Olkoon L järjestetty joukko. Järjestetty joukko L on hila, jos a b ja a b ovat olemassa kaikilla a, b L. Jos lisäksi S ja S ovat olemassa kaikilla S L, niin L on täydellinen hila. Lemma 3.2. Olkoon L hila ja a, b L. Seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i) a b, (ii) a b = a, (iii) a b = b. Todistus. Todistetaan, että ehdot (i) ja (ii) ovat ekvivalentit. Muut kohdat todistetaan vastaavasti. Oletetaan, että a b. Tällöin a on joukon {a, b} alaraja. Olkoon myös z joukon {a, b} alaraja. Tällöin selvästi z a, josta seuraa, että a b = a. Oletetaan sitten, että a = a b. Tällöin selvästi a = a b b. Lemman ekvivalenssia käytetään apuna, kun määritelmien yhteys todistetaan lauseessa 3.5. Lause 3.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (L1) a a = a ja a a = a, (L2) a b = b a ja a b = b a, (L3) a (b c) = (a b) c ja a (b c) = (a b) c, (L4) a (a b) = a ja a (a b) = a. 9

11 Todistus. Kohdat (L1) ja (L2) ovat ilmeisiä kohtauksen ja yhdisteen määritelmästä. Todistetaan sitten kohtien (L3) ja (L4) ensimmäiset väitteet. (L3) Riittää osoittaa, että {a, b, c} = (a b) c. Väite seuraa siitä, että alkiot a, b ja c ovat symmetrisessä asemassa. Merkitään x = a b ja y = x c. Selvästi a, b, c y. Olkoon sitten z jokin joukon {a, b, c} yläraja, eli a, b, c z. Tällöin x = a b z ja y = x c z. Täten {a, b, c} = y = (a b) c. (L4) Merkitään z = a (a b). Koska a (a b) a, niin a z. Toisaalta a b a, joten a (a b) a, eli a z. Siis a = z = a (a b). Määritelmä 3.4 (Algebrallinen). Hila on epätyhjä joukko, joka on varustettu kahdella binaarioperaatiolla ja, jotka toteuttavat edellisen lauseen 3.3 ehdot (L1)(L4). Lause 3.5. Olkoon joukko L kuten määritelmässä 3.4. Määritellään joukossa L relaatio seuraavasti: a b, jos ja vain jos a b = b. Tällöin järjestetty joukko (L, ) on hila määritelmän 3.1 mielessä ja kaikilla a, b L on voimassa a b = sup{a, b} ja a b = inf{a, b}. Todistus. Näytetään ensin, että relaatio todella on järjestysrelaatio. Olkoon a, b, c L. Ominaisuuden (L1) nojalla a a = a, joten a a eli relaatio on reeksiivinen. Oletetaan sitten, että a b ja b a. Määrittelyn mukaan a b = b ja b a = a. Käyttäen ominaisuutta (L2) saadaan, että a = b a = a b = b. Relaatio on siis antisymmetrinen. Oletetaan sitten, että a b ja b c eli, että a b = b ja b c = c. Käyttäen ominaisuutta (L3) saadaan, että a c = a (b c) = (a b) c = b c = c. Siis a c, mikä tarkoittaa, että relaatio on transitiivinen. Näytetään sitten, että a b = sup{a, b}. Tapaus a b = inf{a, b} päätellään samaan tapaan. Olkoon a, b L. Nyt a a b, sillä a (a b) = (a a) b = a b. Samoin b a b. Olkoon c jokin joukon {a, b} yläraja. Tällöin a c = c ja b c = c. Siis (a b) c = a (b c) = a c = c ja täten a b = sup{a, b}. Algebrallisen määritelmän mielessä binaarioperaatio indusoi järjestysrelaation, jonka suhteen joukko on hila järjestysteoreettisessa mielessä. Vastaavasti hilan järjestysrelaation avulla voidaan määritellä binaarioperaatiot ja, joiden suhteen saadaan hila algebrallisessa mielessä. Edellä todistettujen tulosten nojalla saadut relaatiot ja binaarioperaatiot ovat yhteensopivia 10

12 käytettiinpä kumpaa tahansa määritelmää. Hilaa L voidaan siis tilanteen mukaan käsitellä järjestettynä joukkona (L, ) tai algebrana (L,, ) (ks. alaluku 3.3). Lemma 3.6. Olkoon L hila ja S L äärellinen. Tällöin S ja S ovat olemassa. Todistus. Koska S on äärellinen, voidaan kirjoittaa S = {x 1, x 2,..., x n }. Koska kohtaus ja yhdiste ovat assosiatiivisia, niin voidaan kirjoittaa S = x 1 x 2... x n ja S = x 1 x 2... x n. Seuraus 3.7. Jokainen äärellinen hila on täydellinen. 3.2 Esimerkkejä hiloista Esimerkki 3.8. Esimerkissä 2.3 nähtiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on järjestetty joukko sisältymisrelaation suhteen. Järjestetty joukko (F, ) on myös hila. Kahden osajoukon supremum on niiden unioni: joukko A B on selvästi pienin joukko, joka sisältää molemmat joukot A ja B. Vastaavasti kahden osajoukon inmum on niiden leikkaus. Hilan määritelmän ehdot (L1)(L4) ovat tuttuja joukko-opin identiteettejä. Tämä hila on myös täydellinen: mielivaltaisen kokoelman G F supremum on A G A ja inmum A G A. Esimerkki 3.9. Yksikköväli [0, 1] R on täydellinen hila, kun järjestysrelaatio määritellään tavalliseen tapaan. Reaalilukujen täydellisyysaksiooma takaa, että kullakin epätyhjällä ja tässä rajoitetuilla osajoukolla on supremum ja inmum olemassa. Lisäksi jos X [0, 1], niin selvästi sup X, inf X [0, 1]. Esimerkki Esimerkissä 2.4 esiteltiin vaihtoehtoinen järjestysrelaatio luonnollisille luvuille jaollisuuden avulla. Myös tämä järjestetty joukko on hila. Tässä tapauksessa supremum ja inmum ovat pienin yhteinen jaettava ja suurin yhteinen tekijä. Kahden luvun m ja n yläraja on mikä tahansa luku, joka on jaollinen molemmilla luvuilla m ja n. Pienin tällaisista luvuista on määritelmän mukaan pyj(m, n). Lukujen alarajaksi kelpaa mikä tahansa luku, joka jakaa molemmat luvut m ja n. Luku syt(m, n) on näistä suurin. Ehdot (L1)(L3) ovat tuttuja lukuteoriasta. Merkitään sitten x = syt(m, pyj(m, n)). Selvästi x m. Toisaalta m x, sillä m pyj(m, n). 11

13 Siis x = m. Identiteetti pyj(m, syt(m, n)) = m todistetaan vastaavanlaisella päättelyllä. Siis myös ehto (L4) on voimassa. Tämä hila on täydellinen: luku 1 jakaa kaikki luonnolliset luvut ja kaikki luonnolliset luvut jakavat luvun 0. Luku 1 on siis hilan pienin alkio ja 0 suurin. Esimerkki Olkoon G ryhmä ja N(G) sen normaalien aliryhmien joukko. Olkoon N 1, N 2 N(G). Määritellään, että N 1 N 2 = N 1 N 2 = {n 1 n 2 : n 1 N 1, n 2 N 2 } ja N 1 N 2 = N 1 N 2. Joukko N(G) on operaatioiden ja suhteen hila. Ryhmäteoriasta tiedetään, että N 1 N 2 ja N 1 N 2 ovat aliryhmiä, ja että jälkimmäinen aliryhmä on normaali. Näytetään vielä, että N 1 N 2 N(G). Olkoon n 1 n 2 N 1 N 2 ja g G. Tällöin gn 1 n 2 g 1 = gn 1 g 1 gn } {{ } 2 g 1 N } {{ } 1 N 2. N 1 N 2 Siis N 1 N 2 on normaali. Ehto (L1) on selvästi voimassa: N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1 ja N 1 N 1 = N 1 N 1 = N 1. Ehto (L2) pätee tunnetusti leikkaukselle. Olkoon x = n 1 n 2 N 1 N 2. Tällöin x = n 1 n 2 = n 1 n 2 n 1 1 } {{ } N 2 n 1 N 2 N 1, joten N 1 N 2 N 2 N 1. Vastaavasti päätellään, että N 2 N 1 N 1 N 2. Siispä N 1 N 2 = N 2 N 1 eli ehto (L2) on voimassa myös yhdisteelle. Ehto (L3) on voimassa, sillä leikkaus on assosiatiivinen ja myös ryhmän binaarioperaatio on assosiatiivinen. Selvästi N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 (N 1 N 2 ) = N 1. Myös N 1 (N 1 N 2 ) = N 1 N 1 N 2 = N 1, sillä N 1 N 1 N 2. Siis myös ehto (L4) on voimassa ja väite on todistettu. 3.3 Hieman universaalialgebraa Tässä osiossa tarkastellaan hiloja lyhyesti algebrallisesta näkökulmasta. Lukijalle tuttuja algebroja ovat esimerkiksi peruskursseissa käsitellyt ryhmät, renkaat, kunnat ja vektoriavaruudet. Tulokset esitetään ilman todistuksia, 12

14 eikä yksityiskohtiin juuri puututa. Pääpaino on korostaa millä tavoin hilat ovat samantapaisia kuin tutummat algebrat. Peruskursseilla esitetyt vastaavat todistukset vaikkapa renkaille toimivat pienten muutosten jälkeen myös hilojen tapauksessa. Tarkat todistukset löytyvät yleisemmässä muodossa kirjasta [3]. Määritelmä Olkoot P ja Q hiloja. Kuvaus ψ : P Q on hilahomomorsmi, jos kaikille a, b P, ψ(a b) = ψ(a) ψ(b) ψ(a b) = ψ(a) ψ(b). ja Jos kuvaus ψ on lisäksi bijektio, niin sitä kutsutaan hilaisomorsmiksi. Hilaisomorsmi on sama käsite kuin järjestysisomorsmi. Tämä seuraa ekvivalensseista a b a b = a ψ(a b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b) = ψ(a) ψ(a) ψ(b), missä toinen ekvivalenssi on voimassa vain jos kuvaus ψ on bijektio. Määritelmä Olkoon L hila ja S L. Osajoukko S on hilan L alihila, jos a b S ja a b S kaikilla a, b S. Määritelmä Olkoon L hila ja Θ sen ekvivalenssirelaatio. Sanotaan, että ekvivalenssirelaatio Θ on hilan L kongruenssi, jos ehdoista a 1 Θ b 1 ja a 2 Θ b 2 seuraa, että a 1 a 2 Θ b 1 b 2 ja a 1 a 2 Θ b 1 b 2. Kuten tunnettua muiden algebrojen tapauksessa, hilan L kongruenssin Θ avulla voidaan määritellä ns. tekijähila L/Θ, missä voidaan operoida hyvinmääritellysti ekvivalenssiluokilla [a] Θ seuraavaan tapaan: [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ ja [a] Θ [b] Θ = [a b] Θ. Lemma Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. (i) Homomorsmin ψ ydin Ker(ψ) = {(a, b) : ψ(a) = ψ(b)} on hilan L kongruenssi. (ii) Jos Θ on hilan L kongruenssi, niin kanoninen projektio π : L L/Θ, a [a] Θ on hilahomomorsmi. Lause 3.16 (Homomoralause). Olkoon ψ : L K hilahomomorsmi. Tällöin L/Ker(ψ) Im(ψ). 13

15 4 Distributiivinen hila ja Boolen hila 4.1 Distributiivinen hila Määritelmä 4.1. Hila L on distributiivinen, jos siinä on voimassa distributiivilait (D1) a (b c) = (a b) (a c) ja (D2) a (b c) = (a b) (a c) kaikilla a, b, c L. Jos halutaan osoittaa, että jokin hila on distributiivinen, niin ei ole välttämätöntä tarkistaa, että ehdot (D1)(D2) ovat voimassa. Seuraavat kaksi lemmaa antavat yksinkertaisemman testin hilan distributiivisuudelle. Lemma 4.2. Hilassa L ominaisuus (D1) on voimassa silloin ja vain silloin, kun myös ominaisuus (D2) on voimassa. Todistus. Oletetaan, että ominaisuus (D1) on voimassa. Olkoon a, b, c L. Tällöin (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c) = a ((a b) c) = a ((a c) (b c)) = (a (a c)) (b c) = a (b c). Toiseen suuntaan tulos seuraa duaalisuudesta. Lemma 4.3. Olkoon L hila. Tällöin kaikille a, b, c L on voimassa (i) a (b c) (a b) (a c), (ii) a (b c) (a b) (a c). Todistus. (i) On selvää, että a (b c) a b ja a (b c) a c. Täten a (b c) (a b) (a c). Kohta (ii) seuraa duaalisuudesta. Lemmojen 4.2 ja 4.3 nojalla hilan distributiivisuuden näyttämiseksi riittää osoittaa, että jompikumpi epäyhtälöistä a (b c) (a b) (a c) tai on voimassa. a (b c) (a b) (a c) 14

16 Esimerkki 4.4. Esimerkissä 3.8 osoitettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on täydellinen hila (F,, ). Tämä hila on distributiivinen: A (B C) = (A B) (A C) ja A (B C) = (A B) (A C), kuten joukko-opista muistetaan. Epädistributiivisia hiloja on olemassa. Tarkastellaan kahta hilaa M 5 ja N 5 : b a b c c a M 5 N 5 Kumpikaan hiloista ei ole distributiivinen, sillä kummassakaan tapauksessa ei ole voimassa a (b c) = (a b) (a c). On selvää, että jos hilaan L voidaan upottaa jompikumpi hiloista M 5 tai N 5, niin L ei voi olla distributiivinen. Yllättäen myös käänteinen tulos pätee. Todistusta ei esitetä tässä. Distributiivisille hiloille saadaan seuraava karakterisointi. Lause 4.5 (Birkho). Hila L on epädistributiivinen silloin ja vain silloin, kun hila M 5 tai N 5 voidaan upottaa hilaan L. Todistus. Katso [3] lause Boolen hila Boolen hila eli Boolen algebra on hila, jossa on binaarioperaatioiden kohtaus ja yhdiste lisäksi unaarioperaatio komplementti. Ennen varsinaista määritelmää tarkastellaan komplementin käsitettä. Määritelmä 4.6. Hila L on rajoitettu, jos hilassa on olemassa suurin alkio ja pienin alkio. Määritelmä 4.7. Olkoon L rajoitettu hila ja a L. Alkio b L on alkion a komplementti, jos a b = ja a b =. Alkion a komplementin ollessa yksikäsitteinen sitä merkitään symbolilla ā. 15

17 Lemma 4.8. Olkoon hila L distributiivinen ja rajoitettu. Tällöin kullakin hilan L alkiolla voi olla korkeintaan yksi komplementti. Todistus. Olkoot a L ja b 1, b 2 L alkion a komplementteja. Nyt b 1 = b 1 = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) (b 1 b 2 ) = (b 1 b 2 ) = b 1 b 2. Tämä tarkoittaa, että b 1 b 2. Symmetrian nojalla b 2 b 1 eli b 1 = b 2. Määritelmä 4.9. Hila L on Boolen hila, jos se on rajoitettu, distributiivinen ja jos jokaisella alkiolla on yksikäsitteinen komplementti. Lemma Olkoon L Boolen hila ja a, b L. (i) = ja =, (ii) ā = a, (iii) (a b) = ā b ja (a b) = ā b, (iv) a b = a b, (v) a b b ā. Todistus. Kohdat (i) ja (ii) seuraavat komplementin määritelmästä ja yksikäsitteisyydestä. (iii) Distributiivilakien nojalla (a b) (ā b) = ((a b) ā) ((a b) b) = = ja (a b) (ā b) = ((a (ā b)) (b (ā b)) = =. Jälkimmäinen yhtälö seuraa duaalisuudesta. (iv) Olkoon a b =. Nyt a = a = a (b b) = (a b) (a b) = (a b) = a b, eli a b. Jos taas a b, niin a b b b =. (v) Olkoon a b. Käyttämällä kommutatiivisuutta ja toistuvasti kohtaa (iv) saadaan a b a b = b a = b ā. 16

18 Esimerkki Esimerkissä 4.4 näytettiin, että epätyhjän joukon X osajoukkoalgebra F on distributiivinen ja täydellinen hila. Edelleen tämä hila on Boolen hila. Komplementtioperaatio on tässä tapauksessa joukko-opillinen komplementti. Olkoon A F. Tällöin joukon A komplementti on A c = X\A. Selvästi A A c = X ja A A c =, kuten komplementin määritelmässä vaaditaan. Komplementti on yksikäsitteinen. Hilan F suurin alkio on X ja pienin. Itse asiassa voidaan ajatella, että järjestetty joukko (P(X), ) on ollut konkreettinen esimerkki, jonka tärkeimpien ominaisuuksien yleistyksen pohjalta on annettu Boolen hilan määritelmä. Esimerkki Tarkastellaan kahden alkion ketjua P = {0, 1}, missä 0 < 1. Tästä ketjusta saadaan Boolen hila, kun määritellään operaatiot, ja (komplementti) seuraavasti: x 0 1 x 1 0 On selvää, että näin määrittelemällä saadaan bijektiivinen vastaavuus hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden välille. Koska propositiologiikassa on voimassa identiteettejä (L1)(L4) ja (D1)(D2) vastaavat lait, niin ketju P on distributiivinen hila. Komplementti on määrittelynsä nojalla yksikäsitteinen. Täten P on Boolen hila. Hilan lausekkeiden ja propositiologiikan lauseiden vastaavuudesta seuraa, että hilassa jokin yhtälö on voimassa silloin ja vain silloin, kun yhtälön vasenta ja oikeaa puolta vastaavat propositiologiikan lauseet ovat loogisesti ekvivalentit. 17

19 Kirjallisuutta [1] Järvinen J.: Ordered structures and lattices, luentomoniste, Turun yliopisto, 2009, 1.pdf (haettu ). [2] Harju T.: Lectures Notes in Ordered Sets, luentomoniste, Turun yliopisto, 2006, (haettu ). [3] Burris S., Sankappanavar H. P.: A Course on Universal Algebra, Springer- Verlag, Berlin, 1981, snburris/htdocs/ualg.html (haettu ). 18

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b).

Hieman joukko-oppia. A X(A a A b A a b). Hieman joukko-oppia Seuraavassa esittelen hieman alkeellista joukko-oppia. Päämääränäni on saada käyttöön hyvinjärjestyslause, jota tarvitsemme myöhemmin eräissä todistuksissa. Esitykseni on aika, vaikkei

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi

Esko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan,

Lisätiedot

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä

8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä 1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

MAT Algebra 1(s)

MAT Algebra 1(s) 8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Ensimmäinen induktioperiaate

Ensimmäinen induktioperiaate 1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet

Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Väitelauseet lause (tai virke), joka sanoo jonkin asian pitävän paikkaansa

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista

X R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan

koska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan 4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2

Tehtävä 8 : 1. Tehtävä 8 : 2 Tehtävä 8 : 1 Merkitään kirjaimella G tarkasteltavaa Petersenin verkkoa. Olkoon A joukon V(G) niiden solmujen joukko, joita vastaavat solmut sijaitsevat tehtäväpaperin kuvassa ulkokehällä. Joukon A jokaisella

Lisätiedot

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos

Lisätiedot

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006

Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Luuppien ryhmistä Seminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Sisältö 1 Luupeista 2 1.1 Luupit ja niiden kertolaskuryhmät................. 2 2 Transversaalit 5 3

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.

Näytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä. Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}

Lisätiedot

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,

Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =

Lisätiedot

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä

6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä 6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.

Lisätiedot

[E : F ]=[E : K][K : F ].

[E : F ]=[E : K][K : F ]. ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle

Lisätiedot

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi

Yhtenäisyydestä. Johdanto. Lähipisteavaruus. Tuomas Korppi Solmu 2/2012 1 Yhtenäisyydestä Tuomas Korppi Johdanto Tarkastellaan kuvassa 1 näkyviä verkkoa 1 ja R 2 :n (eli tason) osajoukkoa. Kuvan 2 verkko voidaan jakaa kolmeen osaan niin, että osien välillä ei

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan

b) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia

LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA. 1. Joukko-oppia LUKU II HOMOLOGIA-ALGEBRAA 1. Joukko-oppia Matematiikalle on tyypillistä erilaisten objektien tarkastelu. Tarkastelu kohdistuu objektien tai näiden muodostamien joukkojen välisiin suhteisiin, mutta objektien

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

a b 1 c b n c n

a b 1 c b n c n Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on

R : renkaan R kääntyvien alkioiden joukko; R kertolaskulla varustettuna on 0. Kertausta ja täydennystä Kurssille Äärelliset kunnat tarvittavat esitiedot löytyvät Algebran kurssista [Alg]. Hyödyksi voivat myös olla (vaikka eivät välttämättömiä) Lukuteorian alkeet [LTA] ja Salakirjoitukset

Lisätiedot

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen

Algebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Rekursiiviset tyypit

Rekursiiviset tyypit Rekursiiviset tyypit TIES542 Ohjelmointikielten periaatteet, kevät 2007 Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 20. helmikuuta 2007 Hiloista Kiintopisteet (Ko)rekursio Rekursiiviset

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot