Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien dia-yhteisvalinta 2015 Arkkitehtivalinnan matematiikan koe, klo Sarja A-FI

Transkriptio

1 Diplomi-insinöörien ja aritehtien dia-yhteisvalinta 2015 Aritehtivalinnan matematiian oe, lo 1-16 Sarja A-FI Ohjeita. Laita mielellään useamman tehtävän rataisu samalle onseptiarille, mutta aloita joainen rataisu tyhjältä sivulta. Meritse, jos tehtävä jatuu usealle onseptille. Laadi rataisut seleästi välivaiheineen, tarvittaessa irjoita rataisu uudelleen puhtaasi. Meritse hyläämäsi rataisu tai hyläämäsi rataisun osa yliviivaamalla se, sillä saman tehtävän useista rataisuista huonoin otetaan muaan arvosteluun. Huomaa, että uin tehtävä arvostellaan oonaisuutena, eivätä alaohdat välttämättä ole pisteytysessä samanarvoisia. Yleisesti tehtävän rataisun tulisi sisältää myös annetun vastausen perustelut. Apuvälineet: Kirjoitusvälineet ja funtiolasin. Liite: Kaavaooelma ja uvaliite. A1 4x 2 (a) Rataise yhtälö = 0. (b) Hae funtion f(x) = (x 2)(2 x) suurin arvo välillä 1 x 1. A2 Kolmion äripisteet ovat A(1, 2, ), B(, 1, ) ja C(, 6, 4). (a) Pisteestä B siirrytään olmen pituusysiön verran vetorin AC suuntaan. Mihin pisteeseen päädytään? (b) Lase äripistettä A vastaava ulma α asteen sadasosan taruudella. A Lasten luumäärä ullain luoa-asteella eräässä oulussa on alla olevassa tauluossa: luoa-aste luumäärä lapsia Lapsista valitaan satunnaisesti asi. Kullain lapsella on sama todennäöisyys tulla valitusi. (a) Millä todennäöisyydellä ensimmäisesi valittu lapsi on luoaastella 6 tai alemmalla? (b) Millä todennäöisyydellä ahden valitun lapsen luoa-asteet eroavat vähintään 6 vuodella. A4 Kasi majaaa sijaitsee 64 ilometrin etäisyydellä toisistaan. Veneen etäisyys merellä (tasopinta) on oreintaan 40 ilometriä ummastain majaasta. Lase sen alueen pinta-ala neliöilometreissä, jolla vene voi olla. A5 Paperiarista (A4, 210 mm 297 mm) leiataan pala, jona reunat on meritty yhtenäistä viivaa äyttäen uvaliitteen uvassa 1. Irtileiatusta palasta taitellaan atoviivoja pitin avoin anneton laatio; uva 2. Laation aii neljä sivua ovat asinertaiset, ja pohjan reunoille jätetään lisäsi 10 mm leveä suiale vahvieesi. (a) Muodosta funtio, joa ilmaisee laation tilavuuden uutiomillimetreissä oreuden funtiona. (b) Kuina mitat l, p ja on valittava, jotta laation tilavuus olisi mahdollisimman suuri? Anna mitat 0,1 mm taruudella. A6 Futuro on aritehti Matti Suurosen vuonna 1968 sunnittelema muovitalo; atso uva 4. Lase Futuron tilavuus 0, 1 m taruudella äyttäen seuraavia tietoja. Talo on pyörähdysellipsoidin muotoinen. Sen halaisija on 8,0 m ja oreus 4,0 m. Pyörähdysellipsoidi on pyörähdysappale, joa muodostuu, un ellipsi x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 pyörähtää x-aselin ympäri. Tässä a = 2 ja b = 4 ovat niin sanottujen puoliaselien pituudet. Vertaa uvaan liitteessä. Oloon y(x), jossa x [x 0, x 1 ], pyörähdysappaleen pinnan pisteen etäisyys pyörähdysaselista. Pyörähdysappaleen tilavuus V on tällöin V = π x1 x 0 y(x) 2 dx. c 2015, Dia-valinta, c/o Aalto-yliopisto, opiselijapalvelut

2 Kuvaliite, Aritehtivalinnan matematiian oe, lo 1-16 Bildbilaga, Ariteturantagningens prov i matemati, l 1-16 Kuva/Bild 1: Kuva/Bild : 210 mm (0, b) y (, 0) (a, 0) x 297 mm p (0, b) Kuva/Bild 4: l 10 mm Kuva/Bild 2: p l

3 Dia-aritehtivalinnan matematiianoe alustava malli rataisu A1 (a) 4x = 1 (4x 2) = 1 4x 2 = x = = 101 x = (b) f(x) = (x 2)(2 x), x [ 1; 1] on jatuva ja derivoituva ja sen suurin arvo on välin päätepisteessä tai derivaatan nollaohdassa. f (x) = (x 2)( 1) + (2 x) = 8 6x (1) f (x 0 ) = 0 x 0 = 4 (2) x 0 [ 1; 1]. () Kosa f (x) > 0 x [ 1; 1] (f monotonisesti asvava), on suurin arvo f(1) = 1. TAI: Suurin arvo saavutetaan välin päissä, f( 1) = 15 < f(1) = 1. A2 a) OP = OB + AC ( 4,4,7) AC = (, 1, ) + = (5, 1, 16) Taroitettu piste on P = ( 5, 1, 16 ) b) Sisätulosta AB AC = AB AC cos( A), cos( A) = AB AC AB AC = (2,, 6) ( 4, 4, 7) = , (4) TAI osinilauseesta: BC 2 = AB 2 + AC 2 2 AB AC cos A joten p = n N = 126 0, b) Mahdollisia pareja on ( ) N 2 = = 1575, Oloon parin vuosiurssiltaan nuoremman lapsen vuosiurssi a ja vanhemman b, jossa a b. a 4 a = a = 2 (a = 1) b b = n = 15 b = n = 14 b = n = 2 n = 28 n = 27 (n = 0) Tauluossa meritään + :lla suosiollisia pareja, joita on siis yhteensä joten p = = 0, = 164, A4 Viitaten uvaan alla meritään r = 40 ja 2b = 64. Kysytty pinta-ala, A, muodostuu ahdesta identtisestä ympyrän segmentistä, joista toinen on meritty uvaan. Segmenttiä vastaavan ympyräsetorin ulma on 2α, ja pinta-ala cos ( A) = AB 2 + AC 2 BC 2 2 AB AC = = 22 6 (5) A s = 2α 2π πr2 = αr 2. (6) A = 69, 56(1). A a) Lapsia on N = = 178, joista vuosiluoalla 6 tai nuorempia n = = 126, Segmentin pinta-ala, A/2, saadaan erotusena setorin pinta-alasta A s ja ja tasaylisen olmion pinta-alasta A t = 1 2a b = ab (7) 2 jossa b = r cos α ja a = r sin α tai b = 2 ja a = r 2 b 2 = 24. Tästä cos α = b/r = 4/5; tai sin α = a/r = /5; α = 0, (8)

4 Dia-aritehtivalinnan matematiianoe alustava malli rataisu Tilavuus 1 2 A = A s A t = αr 2 ab (9) A = 52, m 2. (10) Huomaa: jos α asteissa, aavat muutuvat hieman. V = lp (11) = ( )( ) (12) = (277 4)(190 4) (1) = (14) 0 = V = (15) = { 96 18, 4704 = 59, 629 = (16) (17) α α r b a A a 2 Välin päissä = 0 tai p = 0 ja siis myös V (0) = V (47, 5) = 0, joten suurin tilavuus saadaan derivaatan nollaohdassa (välin sisällä) max V () = V (18, 4704) 0, 0 47,5 46dm, l p = 20, 1 116, 1 18, 5. A6 Rataistaan y oordinaatti: ( ) y 2 = b 2 1 x2 a 2, (18) A5 Arin mitoista saadaan ja mitat ovat positiivisia: p = , l = , jossa x [, a], joten a V = π y(x) 2 dx a/ ) = πb (x 2 x a 2 = 128π a ) = πb (1 2 x2 dx (19) a 2 ( ) = 2πb 2 a a a 2 = 4π b2 a (20) 14, 0(4) (21), p, l , 5 69, , 5 4

5 Dia-aritehtivalinnan matematiianoe alustava malli rataisu Arvostelu Alla: numerolla suluissa viitataan aavan numeroon mallivastausessa. A1 Osaohdat 2p+4p. a) Pieni lasuvirhe 1p. b) Parabelin huippu x 0 +2p; perustelut +2p. päätepisteiden tarastelusta, f( 1) ja f(1), voidaan hyvittää +1p muiden ansioiden puuttuessa. Leiauspisteiden f(x) = 0 lasemisesta sellaisenaan ei hyvitetä. A2 Osaohdat p+p. a) Kaava OP = OB + βac, jossa OB ja AC oiein +1p. β = AC +1p. P o, +1p. b) Lausee (5) tai +2p. Vastaus +1p. A Osaohdat 2p+4p. a) a) Pieni lasuvirhe 1p. b) Kaiien tapausten luoittelu (esim tauluo) +1p; lähes oiea todennäöisyys ainain yhdelle tapausella tai vastaava +1p ; oonaistodennäöisyys +2p. A4 Pinta-ala A s (ei uitenaan pelä aava) (6) +2p; Pinta-ala A t (7) +1p; vastaus A +p. Vastausena väärä alue, masimissaan 4p A5 Osaohdat 2p+4p. a) Muodostettu p, l +1p; V () (12) +1p; b) V muodostettu ja V () = 0 rataistu (16) +2p; vastaus ja määrittelyalueen reunapisteiden tarastelu +2p. A6 Lausee (18) +2p; lausee (19) +1p; integrointi +2p; vastaus myös luuarvona +1p. Miäli lauseeessa (18) on pieni virhe, voidaan oiein suoritetusta integroinnista hyvittää oreintaan 2p. 5

6 Diplomingenjörs- och aritetutbildningens gemensamma dia-antagning 2015 Ariteturantagningens prov i matemati, l 1-16 Serie A-SV Anvisningar. Placera gärna lösningar på flera uppgifter på samma oncept papper, men börja varje lösning på en tom sida. Marera om svaret fortsätter på flera oncept. Ge lart utarbetade lösningar inlusive mellanstadier, rensriv lösningen vid behov. Förastade lösningar och förastade delar av en lösning sall överstryas. Om ice-överstruna lösningar föreligger, bedöms den sämsta av dessa. Notera, att varje fråga bedöms som en helhet och att delfrågorna inte nödvändigtvis har samma vit i bedömningen. Generellt borde lösningen omfatta även argumentationen för det givna svaret. Hjälpmedel: Srivredsap och funtionsränare. Bilaga: Formelsamling och bildbilaga. A1 4x 2 (a) Lös evationen = 0. (b) Sö funtionens f(x) = (x 2)(2 x) största värde i intervallet 1 x 1. A2 Triangelns hörnpunter är A(1, 2, ), B(, 1, ) och C(, 6, 4). (a) Från punten B går man tre längdenheter i vetorns AC ritning. I vilen punt hamnar man då? (b) Beräna vineln α motsvarande hörnpunten A med en hundradels grads noggrannhet A Antalet barn i respetive årslass i en sola ges av nedanstående tabell: årslass antal barn Två av barnen väljs slumpmässigt. Varje barn har samma sannolihet att bli utvalt. (a) Med vilen sannolihet går det förstvalda barnet i årslass 6 eller lägre? (b) Med vilen sannolihet siljer de två utvalda barnens årslasser med minst 6 år? A4 Två fyrar står på 64 ilometers avstånd från varandra. En båt ligger på en sjö (plan yta) på högst 40 ilometers avstånd från båda fyrarna. Beräna arean i vadratilometer hos området, där båten an befinna sig. A5 Ur ett pappersar (A4, 210 mm 297 mm) lipps ut en bit, vars yttre anter är märta med en heldragen linje på bild 1 i bildbilagan. Den utlippta biten vis längs de strecade linjerna till en öppen låda utan loc; bild 2. Lådans alla fyra sidor är dubbla, och vid bottens ant lämnas dessutom en 10 mm bred remsa som förstärning. (a) Bestäm den funtion, som ger lådans volym i ubimillimeter som en funtion av höjden. (b) Hur borde man välja måtten l, p och för att lådans volym sall maximeras. Ge måtten med 0,1 mm noggrannhet. A6 Futuro är ett plasthus planerat år 1968 av ariteten Matti Suuronen; se bild 4. Beräna Futuros volym med en noggrannhet på 0, 1 m med hjälp av följande information. Huset har formen av en rotationsellipsoid. Husets diameter är 8,0 m och höjd 4,0 m. En rotationsellipsoid är en rotationsropp, som uppommer, då ellipsen x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 roterar ring x-axeln. Här a = 2 och b = 4 är längder av de så allade halvaxlarna. Jämför med bild i bilagan. Låt y(x), där x [x 0, x 1 ], vara avståndet från punten på rotationsroppens yta till rotationsaxeln. Rotationsroppens volym V är då V = π x1 x 0 y(x) 2 dx. c 2015, Dia-antagningen, c/o Aalto-universitetet, studerandeservice

7 Kuvaliite, Aritehtivalinnan matematiian oe, lo 1-16 Bildbilaga, Ariteturantagningens prov i matemati, l 1-16 Kuva/Bild 1: Kuva/Bild : 210 mm (0, b) y (, 0) (a, 0) x 297 mm p (0, b) Kuva/Bild 4: l 10 mm Kuva/Bild 2: p l

8 Dia-ariteturvalets prov i matemati preliminär modellösning A1 (a) 4x = 1 (4x 2) = 1 4x 2 = x = = 101 x = (b) f(x) = (x 2)(2 x), x [ 1; 1] är ontinuerlig och deriverbar och dess största värde finns i derivatans nollställe eller i intervallets ändpunt. f (x) = (x 2)( 1) + (2 x) = 8 6x (1) f (x 0 ) = 0 x 0 = 4 (2) x 0 [ 1; 1]. () Eftersom f (x) > 0 x [ 1; 1] (f monotonist växande), är det störta värdet f(1) = 1. ELLER: Det största värdet nås i en av ändpunterna, f( 1) = 15 < f(1) = 1. A2 a) OP = OB + AC ( 4,4,7) AC = (, 1, ) + = (5, 1, 16) Den avsedda punten är P = ( 5, 1, 16 ) b) Från innerproduten AB AC = AB AC cos( A), cos( A) = AB AC AB AC = (2,, 6) ( 4, 4, 7) = , (4) ELLER från cosinussatsen: BC 2 = AB 2 + AC 2 2 AB AC cos A cos ( A) = AB 2 + AC 2 BC 2 2 AB AC A = 69, 56(1). A a) Barn finns det sammanlagt = N = = 178, av vila i årslass 6 eller yngre n = = 126, = 22 6 (5) följatligen p = n N = 126 0, b) Möjliga par finns det ( ) N 2 = = 1575, För varje par betecnar vi det yngre barnets årsurs a och det äldre barnets årsurs b, där a b. a 4 a = a = 2 (a = 1) b b = n = 15 b = n = 14 b = n = 2 n = 28 n = 27 (n = 0) I tabellen marerar + de gynnsamma paren, av vila det finns sammanlagt = 164, följatligen p = = 0, 104. A4 Hänvisande till bilden nedan, låt oss betecna r = 40 och 2b = 64. Den i frågan avsedda ytan, A, består av två identisa cirelsegment, av vila det ena har marerats i bilden. Setorn motsvarande segmentet har vineln 2α och ytan A s = 2α 2π πr2 = αr 2. (6) Ytan av segmentet, A/2, är differensen mellan ytan av setorn och ytan av den libenta triangeln A t = 1 2a b = ab (7) 2 där b = r cos α och a = r sin α eller b = 2 och a = r 2 b 2 = 24. Härifrån cos α = b/r = 4/5; eller sin α = a/r = /5; α = 0, (8)

9 Dia-ariteturvalets prov i matemati preliminär modellösning Volymen 1 2 A = A s A t = αr 2 ab (9) A = 52, m 2. (10) Obs: om α inte i radianer måste α salas. V = lp (11) = ( )( ) (12) = (277 4)(190 4) (1) = (14) 0 = V = (15) = { 96 18, 4704 = 59, 629 = (16) (17) α α r b a A a 2 I intervallets ändor har man = 0 eller p = 0, och därmed även V = 0, så att den största volymen nås i derivatans nollställe (inom intervallet) max V () = V (18, 4704) 0, 0 47,5 46dm, l p = 20, 1 116, 1 18, 5. A6 Man löser y oordinaten: ( ) y 2 = b 2 1 x2 a 2, (18) A5 Arens mått ger oss och måtten är positiva: p = , l = , där x [, a], så att a V = π y(x) 2 dx a/ ) = πb (x 2 x a 2 = 128π a ) = πb (1 2 x2 dx (19) a 2 ( ) = 2πb 2 a a a 2 = 4π b2 a (20) 14, 0(4) (21), p, l , 5 69, , 5 4

10 Dia-ariteturvalets prov i matemati preliminär modellösning Bedömningen Nedan: med ett nummer i parentes avses formelnummer i modelsvaret. A1 Deluppgifterna 2p+4p. a) Ett litet ränefel 1p. b) Parabelns extrempunt x 0 +2p; begrunderna +2p. Analys av ändpunterna, f( 1) ja f(1), an ge +1p, då andra grunder inte finns. Att räna särningspunterna f(x) = 0 ger inga poäng i sig. A2 Deluppgifterna p+p. a) Formel OP = OB + βac, där OB och AC rätt +1p. β = AC +1p. P o, +1p. b) Formel (5) eller +2p. Svaret +1p. A Deluppgifterna 2p+4p. a) a) Ett litet ränefel 1p. b) Samtliga fall nersrivna (t.ex tabellen) +1p; nästa rätt sannolihet för ett fall eller dylit +1p; rätt sannolihet +2p. A4 Ytan A s (inte enbart en formel) (6) +2p; ytan A t (7) +1p; svaret A +p. Ett felatigt område som svar, max 4p A5 Deluppgifterna 2p+4p. a) Formade p, l +1p; V () (12) +1p; b) V formad och V () = 0 löst (16) +2p; svaret och analys av domänets ändpunter +2p. A6 Formel (18) +2p; formel (19) +1p; integrering +2p; svaret även numerist +1p. Om formeln (18) har ett litet fel, an motsvarande rätt integrering ge högst 2p. 5