Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5"

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8, piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63, Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15, piiri on 16 cm r = d = 5,0 =,5 A = πr r =,5 = π,5 = 19, Ala on 0 cm Vastaus: a) p 8 cm, A 64 cm b) p 16 cm, A 0 cm

2 Tekijä Pitkä matematiikka s = 00 m d = 6 = 6,54 cm = 66,04 cm p = π d = π 66,04 Pyörähdysten määrä s p = 0000 = 96, ,04 π Vastaus 96 pyörähdystä

3 Tekijä Pitkä matematiikka Sisempi kehätie p 1 = 97 km πr = 97 :π r = 97 π Ulompi kehätie: säde R = ,5 = 105,5 p = π R = π 97 π + 8,5 = 97 + π 8,5 = 150,4... Ulomman kehätien pituus on 150 km Vastaus 150 km

4 Tekijä Pitkä matematiikka A = πr A = 18 cm Muodostetaan yhtälö πr = 18 :π r = 18 π r = ± 18 π r = 18 π r > 0 =,393...,4(cm) Vastaus, 4 cm

5 Tekijä Pitkä matematiikka p = 70 m p = πr r = p π = 70 π A = πr A = 70 = π π = 5801,197...(m ) 1 ha = m A = 5801, = 0, ,58 ha Vastaus 0,58 ha

6 181 Piirrä ensin jana, jonka pituus on 5. Jatka piirtämistä valitsemalla säännöllinen monikulmio, jossa on sivujen lukumäärä on 4. Piirrä ympyrä valitsemalla kolmen pisteen kautta kulkeva ympyrä. Valitse sitten kolme neliön kärkipistettä. A = πr Ratkaistaan ympyrän säteen r neliö Pythagoraan lauseella. r = = 5 A = π 5 = 5 π Vastaus A = 5 π

7 18 Alue koostuu puoliympyröistä, joiden säteet ovat 4, 8, ja. p = π + π 4 + π 8 = 16π A = 1 π 8 1 π π = 8π Vastaus p = 16π, A = 8π

8 183 Säännöllinen kuusikulmio on muodostunut kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, joiden sivun pituus on ympyrän säde r. Kuusikulmion pinta-ala on A k = 6 r 3 4 = 3r 3. Ympyrän pinta-ala on A y = πr. Alojen suhde on A y = πr A k 3r 3 = π = 1, ,1 3 3 Ympyrän pinta-ala 1,1 kertainen kuusikulmion pinta-alaan nähden. Ympyrän pinta-ala on 11 % kuusikulmion pintaalasta. Ympyrän pinta-ala on 1 % suurempi Vastaus 1 %

9 184 Ratkaistaan x Pythagoraan lauseella. x + 4 = 5 x = 5 4 = 9 x = ± 9 x > 0 x = 3 Kolmion kyljen pituus voidaan ratkaista nyt Pythagoraan lauseella. ( ) s = s = = 80 s = ± 80 s > 0 s = 80 = 4 5 Vastaus 4 5

10 185 Ensimmäisen neliön sisään piirrtetyn ympyrän säde on r 1 = 3 = 16. Ympyrän sisään piirretyn neliön halkaisija on ympyrän halkaisija. Ratkaistaan toisen neliön sivun pituus. a = r 1 = 3 a = 3 Toisen ympyrän säde on a = 3 = 16 Ympyröiden säteet muodostavat geometrisen jonon: 16, 16,... 1 Suhdeluku q =.

11 Ympyröiden pinta-alojen suhdeluku q = 1 = 1. Ensimmäisen ympyrän pinta-ala A 1 = π 16 = 56π. Alojen summa ( 1 qn) S = A 1 1 q 56π S = 1 1 = 103π A 1 = 56π, q = 1 Vastaus 103π

12 186 r = 6400 km d = r = 6400 km = 1800 km Maapallon radan pituus p = π km Lasketaan Maapallon halkaisijan suhde radan pituuteen 1800 π Maapallo kiertää yhden täyden kierroksen Auringon ympäri 365 päivässä. Maapallo kulkee halkaisijansa pituisen matkan = 7, minuutissa. 6 π Vastaus 7,1 minuutissa

13 187 8 = 8,54 cm = 71,1 cm = 0,711 m 6 = 6,54 cm = 66,04 cm = 0,6604 m Mittarin lukema 3,5 km = 3500 m Pyörähdysten määrä: ,711 = 3304, Todellinen matka: 3304,744 0,6604 m = 181,4 m 1,8 km Vastaus 1,8 km

14 188 Kartalla: d =,1 cm r = 1,05 cm A = πr = π 1,05 cm Todellinen pinta-ala: A = π 1, cm = π 1, = 55, ,4 (km ) Vastaus 55 km

15 189 Ympyrän säde on puolet neliön sivun pituudesta, r = a. Neliön pinta-ala on A n = a. Ympyrän pinta-ala on a A y = π r = π = πa 4. Alojen suhde: A y A n = πa 4 = π a 4 = 0, Ympyrän pinta-ala on 79 % neliön pinta-alasta. Vastaus 79 %

16 190 Ison puoliympyrän säde R = + 3 = 5. Varjostetun kuvion piiri p = 5π +π +3π = 10π. Ison puoliympyrän pinta-ala A 1 = 1 π 5 = 5 π. Pienten puoliympyröiden pinta-alat ovat A = 1 π = π ja A 3 = 1 π 3 = 9 π. Varjostetun kuvion pinta-ala A = A 1 A A 3 = 5 π π 9 π = 6π. Vastaus p = 10π ja A = 6π

17 191 Suorakulmion lävistäjä d on ympyrän halkaisija. Ratkaistaan d Pythagoraan lauseella. d = = 136 d = 136 = 34 Ympyrän säde r = d = 34. Ympyrän pinta-ala A y = πr = 34π. Suorakulmion pinta-ala A sk = 10 6 = 60. Ympyrän pinta-alasta on suorakulmion ulkopuolella A y A sk = 34π π 60 Lasketaan suhde = 0, π Ympyrän pinta-alasta on 44 % suorakulmion ulkopuolella, Vastaus 44 %

18 19 a) 96-kulmion keskuskulma α = = 3,75 Pinta-ala 96 1 r sin3,75 = 48r sin37,5 Ympyrän pinta-ala A y = πr Ratkaistaan luku π yhtälöstä πr = 48r sin3,75. π = 48r sin3,75 r = 48 sin3,75 = 3, π 3,14 b) Ratkaistaan 96-kulmion sivun pituus kosinilauseella, s = r + r r r cos3,75 s = r cos3,75 96-kulmion piiri on 96s = 96r cos3,75. Ympyrän piiri p = πr. Ratkaistaan luku π yhtälöstä πr = 96r cos3,75 96r cos3,75 π = = 48 cos3,75 = 3, r π 3,14 Vastaus a) 3, ,14 b) 3, ,14

19 193 Ratkaistaan ympyrän säde r, käytetään kuvan merkintöjä. x = r a x > 0 x = r a 4 r + x = a Sijoitetaan x = r a 4 r + r a 4 = a r a 4 = a r r a 4 = ( a r) r a 4 = a ar + r

20 ar = 5a 4 r = 5a 8 a) Ympyrän piiri p y = πr = π 5a 8 = 5π 4 a = 3,969...a Neliön piiri p n = 4a Neliön piiri on pidempi. p n 4a = = 1, ,019 p y 3,969...a Neliön piiri on 1,9 % suurempi. b) Ympyrän pinta-ala A y = πr = π Neliön pinta-ala A n = a 5a 8 Ympyrän pinta-ala on suurempi. A y A n = 1,7...a a = 1, ,7 Ympyrän pinta-ala on,7 % suurempi Vastaus a) Neliön piiri on 1,9 % pidempi. b) Ympyrän pinta-ala on,7 % suurempi = 5π 64 a = 1,71...a

21 194 Olkoon piennen ympyrän säde r. Pienten ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, jonka sivun pituus on r. Tämän neliön lävistäjän pituus on r. Ison ympyrän halkaisija on R = r +r. Ratkaistaan r. R r = + = 1 1+ R Vastaus 1 1+ R

22 195 a) Sisimmän paperikerroksen pituus p 1 = π 4,5 = 4,5π Seuraavan paperikerroksen pituus ( ) = 4,5π p = π 4,5+ 0,01 Jokaisella kierroksella paperikerroksen halkaisija kasvaa kaksi kertaa paperin paksuuden verran ja siten kerroksen pituuus kasvaa 0,0π edelliseen kerrokseen verrattuna. Kahden peräkkäisen paperikerroksen pituuden erotus on siten vakio. Siis kyseessä on aritmeettinen jono: p 1 = 4,5π, d = 0,0π. b) Ensimmäisen paperikerroksen pituus p 1 = 4,5π ja viimeisen p n = 1π paperikerroksen pituus on Aritmeettisen jonon n. jäsen p n = p 1 + ( n 1)d. Ratkaistaan kerrosten lukumäärä n. p 1 + ( n 1)d = 1π p 1 = 4,5π,d = 0,0π

23 4,5π + ( n 1)0,0π = 1π 1π 4,5π n 1 = 0,0π n = 375 Paperin pitus on aritmeettinen summa: n = 375, p 1 = 4,5π, p n = 1π S = 375 4,5π +1π = 9719,3... (cm) Vastaus a) Peräkkäisten kerrosten pituuksien erotus on vakio 0,0π cm b) 97 m

24 196 Paperikerrosten pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. 1. kerroksen pituus p 1 = 13π (mm), n. kerroksen pituus p n = 40π (mm) Merkitään paperin paksuutta kirjaimella x. Paperikerroksen pituus kasvaa jokaisella kierroksella d = πx, tämä on paperikerrosten pituuksien muodostaman aritmeettisen jonon peräkkäisten termien erotusluku. Ratkaistaan x aritmeettisen jonon n. termin avulla p n = p 1 + ( n 1)d 13π + ( n 1)π x = 40π x = 7 n Paperin pituus on paperikerrosten pituuksien muodostama aritmeettinen summa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan n. S = mm S = n p + p 1 n 13π + 40π n = n = π Ratkaistaan x. 7 x = = 0, π Vastaus 0,059 mm

25 197 Olkoon uloimman ympyrän säde r 1 ja kolmion sivun pituus s 1. Tasasivuisen kolmion korkeus h = s 1 3 Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on keskijanojen leikkauspiste, joka jakaa keskijanan suhteessa : 1 kärjestä lukien. Tasasivuisella kolmiolla keskijana on samalla kolmion korkeusjana. Ilmaistaan ympyrän säde korkeusjanan avulla. r 1 = 3 h = 3 s 3 1 = s Toisen ympyrän säde r = 1 3 h = s 3 1. Ympyrät ovat keskenään 6 r 1 yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde q = =. r 1

26 Jatkamalla menettelyä saadaan jono ympyröitä, joiden säteiden 1 pituudet muodostavat geometrisen jonon suhdelukuna q =. Vastaavasti ympyröiden pinta-alat muodostavat geometrisen 1 jonon, jonka suhdeluku q =. 4 Ympyröiden alojen summa πr 1 ( ) 4π s S y = 1 1 = = 1, s Toisen kolmion sivun pituus s saadaan ensimmäisen kolmion sivun pituudella yhtälöstä r = s 3 3 r = 1 3 h = s s 3 3 = s s = 1 s 1 Tasasivuiset kolmiot. Jatkamalla edellä olevaa menettelyä saadaan tasasivuisia kolmioita, joista aina seuraavan kolmion sivun pituus on puolet edellisen kolmion sivun pituudesta. Kolmioiden sivujen pituudet muodostavat geometrisen jonon, jossa suhdeluku q = 1. Vastaavasti kolmioiden pinta-alojen muodostama jono on geometrinen, suhdeluku on q = 1 4.

27 Ensimmäisen kolmion pinta-ala on s 3 1. Kolmioiden pintaalojen summa on 4 s s S k = = = 0, s S k = 0, s 1 S y 1, s 0,41 1 Vastaus 41 %

28 198 a) Keskuskulma α = = 7 b) c) b = 1 π 5 = π 5 A = 1 5 π 5 = 5π Vastaus a) 7º b) π c) 5π

29 199 Kaaren pituus b = π 1= 16 3 π Piiri p = 16 π + 1= 40, Pinta-ala A = π 1 = 100,53... Vastaus piiri p = 41 cm, pinta-ala A = 100 cm

30 00 A = 1 Olkoon keskuskulma α α 360 π1,5 = 1 α = 360 π1,5 = 50,9... Vastaus 51º

31 01 Kaarten väliin jäävä alue on kahden sektorin erotus. A = π 1 7 π ( 1 5) = 19π = 59, Vastaus A = 60 cm

32 0 Segementti muodostuu sektorista, jonka keskuskulma on 40º ja tasakylkisestä kolmiosta, jonka huippukulma on 10º Kolmion pinta-ala A k = sin10 = 16 3 Sektorin pinta-ala A s = π 8 = 18 3 π Segmentin pinta-ala A = A k + A s = π = 161,75... Vastaus 160 cm

33 03 Kaaren pituus b = 100 8π π 5,6 = Merkitään jänteen pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan x kosinilauseella. x = 5,6 +5,6 5,6 5,6 cos100 x = 6,7 6,7cos100 x = ± 6,7 6,7cos100 x > 0 x = 6,7 6,7cos100 Piirin pituus p = b+ x = 8π 9 + 6,7 6,7cos100 p = 18,35 Pinta-ala A = π 5,6 5,6 sin100 = 11, Vastaus p 18 cm A 1 cm

34 04 Reitti koostuu kahdesta janasta joiden pituudet ovat 90,0 m, 30 asteen kaaresta, jonka säde on 91 m, kahdesta 90 asteen kaaresta, joiden säde on 1 m, ja kaaresta, jonka asteluku α = 360º - 90º - 30º = 150º ja säde 1 m. Reitin pituus p = π 91+ π 1+ π 1 = 33, Vastaus 33 m

35 05 Pizza jakaantuu kahdeksi samanlaiseksi segmentiksi ja niiden väliin jääväksi alueeksi. Merkitään segmentin alaa A s ja ympyrän alaa A. Koska viipaleissa on jokaisessa yhtä paljon reunaa, on yhden segmentin kaaren pituus kolmasosa kehän pituudesta, joten sitä vastaava keskuskulma on kolmasosa täysikulmasta eli 10.

36 Ympyrän säde r = 8 cm = 14 cm Lasketaan sektorin pinta-ala A 1. A 1 = π 14 = 196π 3 Lasketaan keskuskolmion pinta-ala A. A = sin10 = 49 3 A = 1 absinγ Segmentin pinta-ala on sektorin pinta-alan ja kolmion pintaalan erotus. A s = A 1 A = 196π Reunaviipaleen pinta-ala on 10 cm. Lasketaan vielä keskimmäisen viipaleen pinta-ala. Koko ympyrän ala A = π 14 =196π Vähennetään ympyrän pinta-alasta segmenttien pinta-alat. A A s = 196π 196π = 374, Keskimmäisen viipaleen pinta-ala on 370 cm. Vastaus Viipaleiden pinta-alat ovat 10 cm, 370 cm ja 10 cm

37 06 1. Piirrä jana, jonka pituus on 8.. Määritä tämän jänteen keskipiste. 3. Piirrä jänteelle keskinormaali apuviivaksi. 4. Piirrä jana, jonka pituus on,5. Jos tämä ei ole kohtisuorassa jännettä vastaan, niin käännä se kulkemaan pitkin jänteen keskinormaalia. 4. Piirrä kolmen pisteen kautta kulkeva ympyrä jänteen päätepisteiden ja janan päätepisteen kautta, 5. Määritä ympyrän keskipiste. 6. Piirrä ympyrälle säde esimerkiksi jänteen toiseen päätepisteeseen ja mittaa säteen pituus. Jos ympyrän säde on r, sen pituus voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella.

38 r = ( r,5) + 4 r = r 5r +6,5+16 5r =,5 r =,5 = 4,45 4,5 5 Vastaus 4,5 cm

39 07 Vaijerin pituus muodostuu suorista osista, joiden pituus on kaksi kertaa tukin säde eli on yhtä suuri kuin tukin halkaisija. Vaijeri kiertää kaikkiaan täyden kierroksen ympäri eli jokaisen tukin kohdalle tulee 60 asteen kaari, jonka säde on tukin säde. Vaijerin pituus on siten 6 0+π 0 = 18, (cm) Vastaus 183 cm

40 08. Tasasivuisen kolmion korkeus on h = 8 3 A k = = 16 3 = 4 3 ja ala Piirretyn ympyrän säde r = h. Kolmion sisälle jää ympyrän sektori, jonka keskuskulma on 60º. Sektorin A s = π ( 4 3 ) = 8π. Kolmiosta ympyrän ulkopuolelle jäävä osuus on A k A s π = = 1 π A k = 0, Vastaus 9,3 %

41 09 Kaaren pituus b = α πr, missä r on ympyrän säde ja α on 360 keskuskulma. α Sektorin piirin pituus p s = πr + r ja ympyrän kehän 360 pituus = πr. Merkitään nämä yhtä suuriksi ja ratkaistaan p y kulma α. α πr +r = πr :r 360 α π +1 = π 360 α π = π π ( α = π 1 )360 π α = 45,40... Vastaus 45º

42 10 Turun ja Tukholman välisen paaren pituus b =65 ( km) Ratkaistaan kaaren asteluku. α π 6370 = α = 65 π 6370 =, Ratkaistaan suora etäisyys x kosinilauseella. x = cosα = 7014,87... x = ± 7014,87... x > 0 x = 64, Vastaus 64,980 km 65 km

43 11 Ympyrän kehä jakautuu kahteen kaareen joiden asteluvut ovat = 45 ja = Pienen segnentin ala saadaa, kun 45º sektrin alasta vähennetään tasasivuisen kolmion, jonka huippukulma on 45º. ( A 1 = πr 1 r sin45 = π r 8 π ) r 4 r = 8 Lasketaan pienen segmentin ja ympyrän alojen suhde. ( π ) r A 1 A = 8 = π = 0, πr 8π Vastaus 1, %

44 1 Jännettä vastaan kohtisuoraan piirretty säde puolittaa säteen. Ratkaistaan säde Pythagoraan lauseella. ( ) +6 r = r 5 r = r 10r r = 61 r = 6,1 Kaaren asteluku on α. sinα = 6 6,1 6 α = sin 1 6,1 = 79, α = 159,.. Vastaus Säde 6,1 cm, kaaren asteluku 159º

45 13 Kuopan reunan säde on 18,6 = 9,3 Pallon keskipisteen etäisyys kuopan pinnasta on r 5,8, missä r on pallon säde. r = ( r 5,8) + 9,3 r = r 11.6r +33,64 +86,49 11,6r = 10,13 r = 10,13 11,6 = 10, d = r = 0,71... Vastaus 0,7 cm

46 14 α Sektorin pinta-alan kaava A α muotoon A = π r r. Sijoitetaan tähän kaaren 360 α pituuden lauseke b = π r 360, jolloin saadaan sektorin pinta-alaksi 1 A = b r. = π r voidaan kirjoittaa Siis sektorin pinta-ala on br A =.

47 15 Yhteinen alue muodostuu kahdesta ympyräsegmentistä. Ympyröiden yhteinen jänne CD on kohtisuorassa keskipisteiden yhdysjanaa AB vastaan. Merkitään kirjaimella x janan EB pituutta. Jana CE on molemmille ympyröille yhteinen. Ratkaistaa CE Pythagoraan lauseella kolmioista AEC ja EBC. CE = 8 (10 x) ja CE = 6 x Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.

48 64 (100 0x + x )= 36 x x x = 36 x 0x = 7 x = x = 3 5 Ratkaistaan keskuskulma α. 3 cos α = 5 8 = 4 5 α = 36,86... α = 73, Ratkaistaan keskuskulma β. 18 cos β = 5 6 = 3 5 β = 53,13... β = 106,60... Segmenttien pinta-alat: A 1 = 73, π sin73, = 10, A = 106,60... π sin106,60... = 16,10... Kysytty pinta-ala A = A 1 + A = 6,56... Vastaus 6,6 cm

49 16 Terälehti muodostuu kahdesta 60º kaarta vastaavasta segmentistä. Olkoon ympyrän säde r. Sementin pinta-ala: 60 1 π 3 A s = r r sin 60 = r Yhden terälehden pinta-ala on A s. Kukka koostuu kuudesta terälehdestä, kukan pinta-ala on π 1A s = 1r 6 3 = r ( π 3 3) 4. Ympyrän pinta-ala on Lasketaan suhde. ( ) π r = A r π 3 3 s = A y A y = π r. π 3 3 π Vastaus 35 % = 0,346...

50 17 Auringonsäteet ovat yhdensuuntaiset. Koska auringonsäteiden ja pystysuoran välinen kulma Syenessä on 360 = 7,, on 50 Aleksandrian ja Syenen välisen kaarta vastaava keskuskulma 7,º. Kaaren pituus on 5000 stadionia, tämä on 1 50 maapallon ympärysmitasta. Merkitään maapallon ympärysmittaa kirjaimella p ja ratkaistaan se kaaren pituuden avulla p = 5000 p = = 5000 Maapallon ympärysmitta on stadionia, 1 stadion = 0,157 km. p = ,157 km = km Vastaus km

51 18 Ympyrän keskipisteestä tangenttien leikkauspisteeseen piirretty jana puolittaa tangenttien välisen kulman, 50 = 5. r r +13,3 = sin5 ( ) r = sin5 r +13,3 r = sin5 r +13,3sin5 (1 sin5 )r = 13,3sin5 r = 13,3sin5 1 sin5 = 9, Vastaus 9,7 cm

52 19 Kuva on esimerkiksi seuraavanlainen. 1. Piirrä ympyrä, merkitse piste ympyrän kehälle ja piirrä tämän pisteen kautta kulkeva tangentti. Piirrä myös säde sivuamispisteeseen.. Toisen tangentin piirtäminen onnistuu, kun määrität tangenttien välistä 60 asteen kulmaa vastaavan keskuskulman 10º. Piirrä toinen tangentti. 3. Mittaa mittatyökalulla säteen pituus ja tangenttien leikkauspisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä. 4. Laske suhde. Tulokseksi pitäisi tulla 1 :.

53 0 Ympyrän keskipisteestä tangenttien leikkauspisteeseen piirretty jana puolittaa tangenttien välisen kulman, 30 = 15 Ratkaistaan x suorakulmaisesta kolmiosta. 1 x = sin15 x = 1 sin15 = 46,36... Vastaus 46 cm

54 1 Rakennuksen pohjan keskipisteestä katselupisteeseen piirretty jana puolittaa katselukulman, 16 = 8. Ratkaistaan rakennuksen pohjan säde suorakulmaisesta kolmiosta. r r +150 = sin8 r = r +150 ( )sin8 r = sin8 r +150sin8 ( 1 sin8 )r = 150sin8 r = 150sin8 1 sin8 = 4,51... halkaisija d = r = 4,51 = 48,50 Vastaus 49 m

55 R = 6370 km, r = 1737 km Maan pinnan katselupisteestä Kuun keskipisteeseen piirretty jana puolittaa katselukulman, 0,56 = 0,8. Merkitään Maan pinnan katselupisteen ja Kuun keskipisteen välistä etäisyyttä kirjaimella x = sin0,8 x x = 1737 sin0,8 = ,87... Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys on x + R = ,87 = ,87 Vastaus km

56 3 r = 6370 km, h = 3,718 km Kaaren TA pituus on Teiden etäisyys Afrikasta Maapallon pintaa pitkin mitattuna. Määritetään kulman α suuruus trigonometrisesti. cosα = r r + h = ,718 α = 1, Lasketaan kaaren TA pituus. TA = 1, π 6370 = 17, Vastaus 18 km

57 4 Vastaus a) 108º b) 57,5º c) 14º

58 5 Kolmio on suorakulmainen, koska kulma C on puoliympyrää vastaava kehäkulma. Kolmion hypotenuusa on ympyrän halkaisija r = 5 = 10. Ratkaistaan kateetit x ja y trigonometrisesti. x 10 = sin30 x = 10 sin30 = 5 y 10 = cos30 y = 10 cos30 = 5 3 Kolmion pinta-ala A = = 5 3 = 1, Vastaus cm

59 6 Suorakulmion lävistäjä on puukiekon halkaisija. Ratkaistaan lävistäjä Pythagoraan lauseella. d = d = 586 d = ± 586 d > 0 d = 4,07... d Puukiekon säde on... = 1,103 Vastaus 1,1 cm

60 7 Kulmaa α vastaava keskuskulma on = 16. α = 16 = 81 Kulmaa β vastaava keskuskulma on = 4. β = 4 = 11 Vastaus α = 81º ja β = 11

61 8 Mainostelineen säde r = 1,8 = 0,9 Julisteen leveyttä vastaava kaaren pituus b =,6. Ratkaistaan kulma α.,6 = α π 0,9 360 α =,6 360 π 0,9 = 165,5... Olkoon x pienin etäisyys, mistä mainoksen voi nähdä kokonaan. 0,9 0,9+ x = cos165,5... 0,9 0,9cos 165,5... x = cos 165,5... = 6,... > 4 Vastaus Ei voi

62 9 Ympyröiden keskipisteiden ja tangenttien leikkauspisteen kautta 60 kulkeva suora puolittaa tangenttien välisen kulman, = 30. r1 = sin r1= 5 Muodostuneet suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset. r 10 + r1 + r = r 10 1 r 15 + r = r = r 5r = 75 r = 15 Vastaus 5 ja 15

63 30 p = πr = (km) h = 190 (m) = 0,19 (km) b = 110 (km) R = π R R + h = π cosα = ,19 π α = 0, α + β = β = , = 0,

64 R R + x = cosβ π = cos0, x π x = 0, Vastaus 90 m

65 31 Kulmaa α vastaavan keskuskulman ja 110 asteen kehäkulmaa vastaavan keskuskulman summa on 360º. α +0 = 360 α = 140 α = 70 Vastaavasti saadaan kulmalle β yhtälö: β + 40 = 360 β = 140 Vastaus 70º ja 140º

66 3 a) Kulma ß on 56 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma. β = 56 = 8 Vastaavasti γ = 34 = 17. Kolmion kulmien summan avulla voidaan ratkaista kulma δ. β +γ +δ = δ = 180 δ = 135 Kulma α on kulman δ vieruskulma. α = = 45

67 b) Kulma β on 0 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma. β = 0 = 10 Vastaavasti δ = 80 = 40. Kulman δ vieruskulma on = 140. α = = 30 Vastaus a) 45 b) 30

68 33 Merkitään kalastajan istuinpaikkaa kirjaimella C, saaren päätepisteitä kirjaimilla A ja B sekä saaren keskellä olevaa kiveä kirjaimella K. Koska kiven etäisyydet saaren päistä ja kalastajasta ovat yhtäsuuret, pisteet A, B ja C ovat K-keskisen ympyrän kehällä. Jana AB on ympyrän halkaisija, kulma C on puoliympyrän sisältämä kehäkulma, joten kulma C on suora kulma. a) Kalastaja näkee saaren 90 kulmassa. b) AB on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa AB = = = 98, Vastaus a) 90 b) 98 m

69 34 R = 6370 (km), r = 1737 (km) s = (km) Olkoon x avaruusaluksen etäisyys Maan keskipisteestä. Ratkaistaan x yhdenmuotoisista suorakulmaisista kolmioista. R r = x kerrotaan ristiin s x Rs Rx = rx (r + R)x = Rs x = Rs r + R x = x = 30174,43... Avaruusaluksen etäisyys Maan pinnalta on x R = 30174, = 95354,4... (km) Vastaus km

70 35 a) b) Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät ja puolittavat toisensa. Lävistäjien leikkauspisteen etäisyys on yhtä suuri jokaisesta kärjestä. Suorakulmion lävistäjien leikkauspiste on ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja ympyrän säde on puolet lävistäjän pituudesta. Ympyrää ei voida piirtää, koska suunnikkaan keskipisteen etäisyys jokaisesta kärkipisteestä ei ole yhtäsuuri.

71 c) α +β = 360 α + β = 180 Vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmia. Vastaus suplementtikulmia. a) Voidaan b) Ei voida c) Vastakkaiset kulmat ovat

72 36 Olkoon O-keskisen ympyrän säde r. Tällöin P-keskisen ympyrän säde on 1 r. Olkoon kaarta AB vastaava keskuskulma α. α Kaaren AB pituus on 360 π r. Kulma α on kaarta CD vastaava kehäkulma, kaaren CD asteluku on α. α r α Kaaren CD pituus on π = π r Siis kaaret AB ja CD ovat yhtä pitkät.

73 37 r AD = sin30 AD = r AB = r + r = 3r 6 3r = tan30 3r = 6 tan30 3r = r = Puoliympyrän ala A = π = 6π 3 Vastaus 6π

74 38 Lasketaan jänteen AC pituus kosinilauseella. x = cos60 x = 49 x = ± 49 x > 0 x = 7 Kaarta AC vastaava keskuskulma on 10º. Ratkaistaan ympyrän säde kosinilauseella. x = r + r r r cos10 49 = 3r r = ± 49 3 r > 0 r = 7 3 Vastaus = 3 3

75 39 Tapaus1. Ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeamassa Kehäkulman DCB toinen kylki on ympyrän halkaisija. Merkitään keskuskulmaa DKB kirjaimella γ.!dcb = γ!acb = α γ Kehäkulma, jonka toinen kylki on ympyrän halkaisija, on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Määritetään kehäkulman ACB suuruus kulmien α ja γ avulla. β = γ + α γ = α Siis kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeamassa.

76 Tapaus. Ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeaman ulkopuolella. Kehäkulmien DCA ja DCB toinen kylki on ympyrän halkaisija. Merkitään keskuskulmaa DKA kirjaimella γ.!dca = γ!dcb = α +γ Kehäkulma, jonka toinen kylki on ympyrän halkaisija, on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Määritetään kehäkulman ACB suuruus kulmien α ja γ avulla. β = α +γ γ = α Siis kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeaman ulkopuolella.

77 On osoitettu, että kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun kehäkulman kylki ei ole ympyrän halkaisija.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 2. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Geometria 2 Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 8. Keskinormaali (kulmaviivaimella tai geometrisesti)... 4 9. Kulman puolittaminen ja siirtäminen geometrisesti...

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Ympyrän yhtälö

Ympyrän yhtälö Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita

GEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura

Kolmion kulmien summa. Maria Sukura Kolmion kulmien summa Maria Sukura Oppituntien johdanto Oppilaat kuulevat triangelin äänen. He voivat katsoa sitä ja yrittää nimetä tämän soittimen. Tutkimme, miksi triangelia kutsutaan tällä nimellä,

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Valitse Näkymät->Geometria PIIRRETÄÄN KOLMIOITA: suorakulmainen kolmio keksitkö, miten korostat suoraa kulmaa? tasakylkinen kolmio keksitkö,

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville

Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Geometriaa GeoGebralla Lisätehtäviä nopeasti eteneville Tutki GeoGebralla Näkymät->Geometria a) Kuinka suuria ovat kolmion kulmat, jos sen sivut ovat 5, 7 ja 9. Vihje: Aloita kolmion piirtäminen yhdestä

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat 31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.

3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan. KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot