Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Transkriptio

1 Tekijä Pitkä matematiikka a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8, piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63, Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15, piiri on 16 cm r = d = 5,0 =,5 A = πr r =,5 = π,5 = 19, Ala on 0 cm Vastaus: a) p 8 cm, A 64 cm b) p 16 cm, A 0 cm

2 Tekijä Pitkä matematiikka s = 00 m d = 6 = 6,54 cm = 66,04 cm p = π d = π 66,04 Pyörähdysten määrä s p = 0000 = 96, ,04 π Vastaus 96 pyörähdystä

3 Tekijä Pitkä matematiikka Sisempi kehätie p 1 = 97 km πr = 97 :π r = 97 π Ulompi kehätie: säde R = ,5 = 105,5 p = π R = π 97 π + 8,5 = 97 + π 8,5 = 150,4... Ulomman kehätien pituus on 150 km Vastaus 150 km

4 Tekijä Pitkä matematiikka A = πr A = 18 cm Muodostetaan yhtälö πr = 18 :π r = 18 π r = ± 18 π r = 18 π r > 0 =,393...,4(cm) Vastaus, 4 cm

5 Tekijä Pitkä matematiikka p = 70 m p = πr r = p π = 70 π A = πr A = 70 = π π = 5801,197...(m ) 1 ha = m A = 5801, = 0, ,58 ha Vastaus 0,58 ha

6 181 Piirrä ensin jana, jonka pituus on 5. Jatka piirtämistä valitsemalla säännöllinen monikulmio, jossa on sivujen lukumäärä on 4. Piirrä ympyrä valitsemalla kolmen pisteen kautta kulkeva ympyrä. Valitse sitten kolme neliön kärkipistettä. A = πr Ratkaistaan ympyrän säteen r neliö Pythagoraan lauseella. r = = 5 A = π 5 = 5 π Vastaus A = 5 π

7 18 Alue koostuu puoliympyröistä, joiden säteet ovat 4, 8, ja. p = π + π 4 + π 8 = 16π A = 1 π 8 1 π π = 8π Vastaus p = 16π, A = 8π

8 183 Säännöllinen kuusikulmio on muodostunut kuudesta tasasivuisesta kolmiosta, joiden sivun pituus on ympyrän säde r. Kuusikulmion pinta-ala on A k = 6 r 3 4 = 3r 3. Ympyrän pinta-ala on A y = πr. Alojen suhde on A y = πr A k 3r 3 = π = 1, ,1 3 3 Ympyrän pinta-ala 1,1 kertainen kuusikulmion pinta-alaan nähden. Ympyrän pinta-ala on 11 % kuusikulmion pintaalasta. Ympyrän pinta-ala on 1 % suurempi Vastaus 1 %

9 184 Ratkaistaan x Pythagoraan lauseella. x + 4 = 5 x = 5 4 = 9 x = ± 9 x > 0 x = 3 Kolmion kyljen pituus voidaan ratkaista nyt Pythagoraan lauseella. ( ) s = s = = 80 s = ± 80 s > 0 s = 80 = 4 5 Vastaus 4 5

10 185 Ensimmäisen neliön sisään piirrtetyn ympyrän säde on r 1 = 3 = 16. Ympyrän sisään piirretyn neliön halkaisija on ympyrän halkaisija. Ratkaistaan toisen neliön sivun pituus. a = r 1 = 3 a = 3 Toisen ympyrän säde on a = 3 = 16 Ympyröiden säteet muodostavat geometrisen jonon: 16, 16,... 1 Suhdeluku q =.

11 Ympyröiden pinta-alojen suhdeluku q = 1 = 1. Ensimmäisen ympyrän pinta-ala A 1 = π 16 = 56π. Alojen summa ( 1 qn) S = A 1 1 q 56π S = 1 1 = 103π A 1 = 56π, q = 1 Vastaus 103π

12 186 r = 6400 km d = r = 6400 km = 1800 km Maapallon radan pituus p = π km Lasketaan Maapallon halkaisijan suhde radan pituuteen 1800 π Maapallo kiertää yhden täyden kierroksen Auringon ympäri 365 päivässä. Maapallo kulkee halkaisijansa pituisen matkan = 7, minuutissa. 6 π Vastaus 7,1 minuutissa

13 187 8 = 8,54 cm = 71,1 cm = 0,711 m 6 = 6,54 cm = 66,04 cm = 0,6604 m Mittarin lukema 3,5 km = 3500 m Pyörähdysten määrä: ,711 = 3304, Todellinen matka: 3304,744 0,6604 m = 181,4 m 1,8 km Vastaus 1,8 km

14 188 Kartalla: d =,1 cm r = 1,05 cm A = πr = π 1,05 cm Todellinen pinta-ala: A = π 1, cm = π 1, = 55, ,4 (km ) Vastaus 55 km

15 189 Ympyrän säde on puolet neliön sivun pituudesta, r = a. Neliön pinta-ala on A n = a. Ympyrän pinta-ala on a A y = π r = π = πa 4. Alojen suhde: A y A n = πa 4 = π a 4 = 0, Ympyrän pinta-ala on 79 % neliön pinta-alasta. Vastaus 79 %

16 190 Ison puoliympyrän säde R = + 3 = 5. Varjostetun kuvion piiri p = 5π +π +3π = 10π. Ison puoliympyrän pinta-ala A 1 = 1 π 5 = 5 π. Pienten puoliympyröiden pinta-alat ovat A = 1 π = π ja A 3 = 1 π 3 = 9 π. Varjostetun kuvion pinta-ala A = A 1 A A 3 = 5 π π 9 π = 6π. Vastaus p = 10π ja A = 6π

17 191 Suorakulmion lävistäjä d on ympyrän halkaisija. Ratkaistaan d Pythagoraan lauseella. d = = 136 d = 136 = 34 Ympyrän säde r = d = 34. Ympyrän pinta-ala A y = πr = 34π. Suorakulmion pinta-ala A sk = 10 6 = 60. Ympyrän pinta-alasta on suorakulmion ulkopuolella A y A sk = 34π π 60 Lasketaan suhde = 0, π Ympyrän pinta-alasta on 44 % suorakulmion ulkopuolella, Vastaus 44 %

18 19 a) 96-kulmion keskuskulma α = = 3,75 Pinta-ala 96 1 r sin3,75 = 48r sin37,5 Ympyrän pinta-ala A y = πr Ratkaistaan luku π yhtälöstä πr = 48r sin3,75. π = 48r sin3,75 r = 48 sin3,75 = 3, π 3,14 b) Ratkaistaan 96-kulmion sivun pituus kosinilauseella, s = r + r r r cos3,75 s = r cos3,75 96-kulmion piiri on 96s = 96r cos3,75. Ympyrän piiri p = πr. Ratkaistaan luku π yhtälöstä πr = 96r cos3,75 96r cos3,75 π = = 48 cos3,75 = 3, r π 3,14 Vastaus a) 3, ,14 b) 3, ,14

19 193 Ratkaistaan ympyrän säde r, käytetään kuvan merkintöjä. x = r a x > 0 x = r a 4 r + x = a Sijoitetaan x = r a 4 r + r a 4 = a r a 4 = a r r a 4 = ( a r) r a 4 = a ar + r

20 ar = 5a 4 r = 5a 8 a) Ympyrän piiri p y = πr = π 5a 8 = 5π 4 a = 3,969...a Neliön piiri p n = 4a Neliön piiri on pidempi. p n 4a = = 1, ,019 p y 3,969...a Neliön piiri on 1,9 % suurempi. b) Ympyrän pinta-ala A y = πr = π Neliön pinta-ala A n = a 5a 8 Ympyrän pinta-ala on suurempi. A y A n = 1,7...a a = 1, ,7 Ympyrän pinta-ala on,7 % suurempi Vastaus a) Neliön piiri on 1,9 % pidempi. b) Ympyrän pinta-ala on,7 % suurempi = 5π 64 a = 1,71...a

21 194 Olkoon piennen ympyrän säde r. Pienten ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, jonka sivun pituus on r. Tämän neliön lävistäjän pituus on r. Ison ympyrän halkaisija on R = r +r. Ratkaistaan r. R r = + = 1 1+ R Vastaus 1 1+ R

22 195 a) Sisimmän paperikerroksen pituus p 1 = π 4,5 = 4,5π Seuraavan paperikerroksen pituus ( ) = 4,5π p = π 4,5+ 0,01 Jokaisella kierroksella paperikerroksen halkaisija kasvaa kaksi kertaa paperin paksuuden verran ja siten kerroksen pituuus kasvaa 0,0π edelliseen kerrokseen verrattuna. Kahden peräkkäisen paperikerroksen pituuden erotus on siten vakio. Siis kyseessä on aritmeettinen jono: p 1 = 4,5π, d = 0,0π. b) Ensimmäisen paperikerroksen pituus p 1 = 4,5π ja viimeisen p n = 1π paperikerroksen pituus on Aritmeettisen jonon n. jäsen p n = p 1 + ( n 1)d. Ratkaistaan kerrosten lukumäärä n. p 1 + ( n 1)d = 1π p 1 = 4,5π,d = 0,0π

23 4,5π + ( n 1)0,0π = 1π 1π 4,5π n 1 = 0,0π n = 375 Paperin pitus on aritmeettinen summa: n = 375, p 1 = 4,5π, p n = 1π S = 375 4,5π +1π = 9719,3... (cm) Vastaus a) Peräkkäisten kerrosten pituuksien erotus on vakio 0,0π cm b) 97 m

24 196 Paperikerrosten pituudet muodostavat aritmeettisen jonon. 1. kerroksen pituus p 1 = 13π (mm), n. kerroksen pituus p n = 40π (mm) Merkitään paperin paksuutta kirjaimella x. Paperikerroksen pituus kasvaa jokaisella kierroksella d = πx, tämä on paperikerrosten pituuksien muodostaman aritmeettisen jonon peräkkäisten termien erotusluku. Ratkaistaan x aritmeettisen jonon n. termin avulla p n = p 1 + ( n 1)d 13π + ( n 1)π x = 40π x = 7 n Paperin pituus on paperikerrosten pituuksien muodostama aritmeettinen summa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan n. S = mm S = n p + p 1 n 13π + 40π n = n = π Ratkaistaan x. 7 x = = 0, π Vastaus 0,059 mm

25 197 Olkoon uloimman ympyrän säde r 1 ja kolmion sivun pituus s 1. Tasasivuisen kolmion korkeus h = s 1 3 Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on keskijanojen leikkauspiste, joka jakaa keskijanan suhteessa : 1 kärjestä lukien. Tasasivuisella kolmiolla keskijana on samalla kolmion korkeusjana. Ilmaistaan ympyrän säde korkeusjanan avulla. r 1 = 3 h = 3 s 3 1 = s Toisen ympyrän säde r = 1 3 h = s 3 1. Ympyrät ovat keskenään 6 r 1 yhdenmuotoiset, yhdenmuotoisuussuhde q = =. r 1

26 Jatkamalla menettelyä saadaan jono ympyröitä, joiden säteiden 1 pituudet muodostavat geometrisen jonon suhdelukuna q =. Vastaavasti ympyröiden pinta-alat muodostavat geometrisen 1 jonon, jonka suhdeluku q =. 4 Ympyröiden alojen summa πr 1 ( ) 4π s S y = 1 1 = = 1, s Toisen kolmion sivun pituus s saadaan ensimmäisen kolmion sivun pituudella yhtälöstä r = s 3 3 r = 1 3 h = s s 3 3 = s s = 1 s 1 Tasasivuiset kolmiot. Jatkamalla edellä olevaa menettelyä saadaan tasasivuisia kolmioita, joista aina seuraavan kolmion sivun pituus on puolet edellisen kolmion sivun pituudesta. Kolmioiden sivujen pituudet muodostavat geometrisen jonon, jossa suhdeluku q = 1. Vastaavasti kolmioiden pinta-alojen muodostama jono on geometrinen, suhdeluku on q = 1 4.

27 Ensimmäisen kolmion pinta-ala on s 3 1. Kolmioiden pintaalojen summa on 4 s s S k = = = 0, s S k = 0, s 1 S y 1, s 0,41 1 Vastaus 41 %

28 198 a) Keskuskulma α = = 7 b) c) b = 1 π 5 = π 5 A = 1 5 π 5 = 5π Vastaus a) 7º b) π c) 5π

29 199 Kaaren pituus b = π 1= 16 3 π Piiri p = 16 π + 1= 40, Pinta-ala A = π 1 = 100,53... Vastaus piiri p = 41 cm, pinta-ala A = 100 cm

30 00 A = 1 Olkoon keskuskulma α α 360 π1,5 = 1 α = 360 π1,5 = 50,9... Vastaus 51º

31 01 Kaarten väliin jäävä alue on kahden sektorin erotus. A = π 1 7 π ( 1 5) = 19π = 59, Vastaus A = 60 cm

32 0 Segementti muodostuu sektorista, jonka keskuskulma on 40º ja tasakylkisestä kolmiosta, jonka huippukulma on 10º Kolmion pinta-ala A k = sin10 = 16 3 Sektorin pinta-ala A s = π 8 = 18 3 π Segmentin pinta-ala A = A k + A s = π = 161,75... Vastaus 160 cm

33 03 Kaaren pituus b = 100 8π π 5,6 = Merkitään jänteen pituutta kirjaimella x. Ratkaistaan x kosinilauseella. x = 5,6 +5,6 5,6 5,6 cos100 x = 6,7 6,7cos100 x = ± 6,7 6,7cos100 x > 0 x = 6,7 6,7cos100 Piirin pituus p = b+ x = 8π 9 + 6,7 6,7cos100 p = 18,35 Pinta-ala A = π 5,6 5,6 sin100 = 11, Vastaus p 18 cm A 1 cm

34 04 Reitti koostuu kahdesta janasta joiden pituudet ovat 90,0 m, 30 asteen kaaresta, jonka säde on 91 m, kahdesta 90 asteen kaaresta, joiden säde on 1 m, ja kaaresta, jonka asteluku α = 360º - 90º - 30º = 150º ja säde 1 m. Reitin pituus p = π 91+ π 1+ π 1 = 33, Vastaus 33 m

35 05 Pizza jakaantuu kahdeksi samanlaiseksi segmentiksi ja niiden väliin jääväksi alueeksi. Merkitään segmentin alaa A s ja ympyrän alaa A. Koska viipaleissa on jokaisessa yhtä paljon reunaa, on yhden segmentin kaaren pituus kolmasosa kehän pituudesta, joten sitä vastaava keskuskulma on kolmasosa täysikulmasta eli 10.

36 Ympyrän säde r = 8 cm = 14 cm Lasketaan sektorin pinta-ala A 1. A 1 = π 14 = 196π 3 Lasketaan keskuskolmion pinta-ala A. A = sin10 = 49 3 A = 1 absinγ Segmentin pinta-ala on sektorin pinta-alan ja kolmion pintaalan erotus. A s = A 1 A = 196π Reunaviipaleen pinta-ala on 10 cm. Lasketaan vielä keskimmäisen viipaleen pinta-ala. Koko ympyrän ala A = π 14 =196π Vähennetään ympyrän pinta-alasta segmenttien pinta-alat. A A s = 196π 196π = 374, Keskimmäisen viipaleen pinta-ala on 370 cm. Vastaus Viipaleiden pinta-alat ovat 10 cm, 370 cm ja 10 cm

37 06 1. Piirrä jana, jonka pituus on 8.. Määritä tämän jänteen keskipiste. 3. Piirrä jänteelle keskinormaali apuviivaksi. 4. Piirrä jana, jonka pituus on,5. Jos tämä ei ole kohtisuorassa jännettä vastaan, niin käännä se kulkemaan pitkin jänteen keskinormaalia. 4. Piirrä kolmen pisteen kautta kulkeva ympyrä jänteen päätepisteiden ja janan päätepisteen kautta, 5. Määritä ympyrän keskipiste. 6. Piirrä ympyrälle säde esimerkiksi jänteen toiseen päätepisteeseen ja mittaa säteen pituus. Jos ympyrän säde on r, sen pituus voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella.

38 r = ( r,5) + 4 r = r 5r +6,5+16 5r =,5 r =,5 = 4,45 4,5 5 Vastaus 4,5 cm

39 07 Vaijerin pituus muodostuu suorista osista, joiden pituus on kaksi kertaa tukin säde eli on yhtä suuri kuin tukin halkaisija. Vaijeri kiertää kaikkiaan täyden kierroksen ympäri eli jokaisen tukin kohdalle tulee 60 asteen kaari, jonka säde on tukin säde. Vaijerin pituus on siten 6 0+π 0 = 18, (cm) Vastaus 183 cm

40 08. Tasasivuisen kolmion korkeus on h = 8 3 A k = = 16 3 = 4 3 ja ala Piirretyn ympyrän säde r = h. Kolmion sisälle jää ympyrän sektori, jonka keskuskulma on 60º. Sektorin A s = π ( 4 3 ) = 8π. Kolmiosta ympyrän ulkopuolelle jäävä osuus on A k A s π = = 1 π A k = 0, Vastaus 9,3 %

41 09 Kaaren pituus b = α πr, missä r on ympyrän säde ja α on 360 keskuskulma. α Sektorin piirin pituus p s = πr + r ja ympyrän kehän 360 pituus = πr. Merkitään nämä yhtä suuriksi ja ratkaistaan p y kulma α. α πr +r = πr :r 360 α π +1 = π 360 α π = π π ( α = π 1 )360 π α = 45,40... Vastaus 45º

42 10 Turun ja Tukholman välisen paaren pituus b =65 ( km) Ratkaistaan kaaren asteluku. α π 6370 = α = 65 π 6370 =, Ratkaistaan suora etäisyys x kosinilauseella. x = cosα = 7014,87... x = ± 7014,87... x > 0 x = 64, Vastaus 64,980 km 65 km

43 11 Ympyrän kehä jakautuu kahteen kaareen joiden asteluvut ovat = 45 ja = Pienen segnentin ala saadaa, kun 45º sektrin alasta vähennetään tasasivuisen kolmion, jonka huippukulma on 45º. ( A 1 = πr 1 r sin45 = π r 8 π ) r 4 r = 8 Lasketaan pienen segmentin ja ympyrän alojen suhde. ( π ) r A 1 A = 8 = π = 0, πr 8π Vastaus 1, %

44 1 Jännettä vastaan kohtisuoraan piirretty säde puolittaa säteen. Ratkaistaan säde Pythagoraan lauseella. ( ) +6 r = r 5 r = r 10r r = 61 r = 6,1 Kaaren asteluku on α. sinα = 6 6,1 6 α = sin 1 6,1 = 79, α = 159,.. Vastaus Säde 6,1 cm, kaaren asteluku 159º

45 13 Kuopan reunan säde on 18,6 = 9,3 Pallon keskipisteen etäisyys kuopan pinnasta on r 5,8, missä r on pallon säde. r = ( r 5,8) + 9,3 r = r 11.6r +33,64 +86,49 11,6r = 10,13 r = 10,13 11,6 = 10, d = r = 0,71... Vastaus 0,7 cm

46 14 α Sektorin pinta-alan kaava A α muotoon A = π r r. Sijoitetaan tähän kaaren 360 α pituuden lauseke b = π r 360, jolloin saadaan sektorin pinta-alaksi 1 A = b r. = π r voidaan kirjoittaa Siis sektorin pinta-ala on br A =.

47 15 Yhteinen alue muodostuu kahdesta ympyräsegmentistä. Ympyröiden yhteinen jänne CD on kohtisuorassa keskipisteiden yhdysjanaa AB vastaan. Merkitään kirjaimella x janan EB pituutta. Jana CE on molemmille ympyröille yhteinen. Ratkaistaa CE Pythagoraan lauseella kolmioista AEC ja EBC. CE = 8 (10 x) ja CE = 6 x Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.

48 64 (100 0x + x )= 36 x x x = 36 x 0x = 7 x = x = 3 5 Ratkaistaan keskuskulma α. 3 cos α = 5 8 = 4 5 α = 36,86... α = 73, Ratkaistaan keskuskulma β. 18 cos β = 5 6 = 3 5 β = 53,13... β = 106,60... Segmenttien pinta-alat: A 1 = 73, π sin73, = 10, A = 106,60... π sin106,60... = 16,10... Kysytty pinta-ala A = A 1 + A = 6,56... Vastaus 6,6 cm

49 16 Terälehti muodostuu kahdesta 60º kaarta vastaavasta segmentistä. Olkoon ympyrän säde r. Sementin pinta-ala: 60 1 π 3 A s = r r sin 60 = r Yhden terälehden pinta-ala on A s. Kukka koostuu kuudesta terälehdestä, kukan pinta-ala on π 1A s = 1r 6 3 = r ( π 3 3) 4. Ympyrän pinta-ala on Lasketaan suhde. ( ) π r = A r π 3 3 s = A y A y = π r. π 3 3 π Vastaus 35 % = 0,346...

50 17 Auringonsäteet ovat yhdensuuntaiset. Koska auringonsäteiden ja pystysuoran välinen kulma Syenessä on 360 = 7,, on 50 Aleksandrian ja Syenen välisen kaarta vastaava keskuskulma 7,º. Kaaren pituus on 5000 stadionia, tämä on 1 50 maapallon ympärysmitasta. Merkitään maapallon ympärysmittaa kirjaimella p ja ratkaistaan se kaaren pituuden avulla p = 5000 p = = 5000 Maapallon ympärysmitta on stadionia, 1 stadion = 0,157 km. p = ,157 km = km Vastaus km

51 18 Ympyrän keskipisteestä tangenttien leikkauspisteeseen piirretty jana puolittaa tangenttien välisen kulman, 50 = 5. r r +13,3 = sin5 ( ) r = sin5 r +13,3 r = sin5 r +13,3sin5 (1 sin5 )r = 13,3sin5 r = 13,3sin5 1 sin5 = 9, Vastaus 9,7 cm

52 19 Kuva on esimerkiksi seuraavanlainen. 1. Piirrä ympyrä, merkitse piste ympyrän kehälle ja piirrä tämän pisteen kautta kulkeva tangentti. Piirrä myös säde sivuamispisteeseen.. Toisen tangentin piirtäminen onnistuu, kun määrität tangenttien välistä 60 asteen kulmaa vastaavan keskuskulman 10º. Piirrä toinen tangentti. 3. Mittaa mittatyökalulla säteen pituus ja tangenttien leikkauspisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä. 4. Laske suhde. Tulokseksi pitäisi tulla 1 :.

53 0 Ympyrän keskipisteestä tangenttien leikkauspisteeseen piirretty jana puolittaa tangenttien välisen kulman, 30 = 15 Ratkaistaan x suorakulmaisesta kolmiosta. 1 x = sin15 x = 1 sin15 = 46,36... Vastaus 46 cm

54 1 Rakennuksen pohjan keskipisteestä katselupisteeseen piirretty jana puolittaa katselukulman, 16 = 8. Ratkaistaan rakennuksen pohjan säde suorakulmaisesta kolmiosta. r r +150 = sin8 r = r +150 ( )sin8 r = sin8 r +150sin8 ( 1 sin8 )r = 150sin8 r = 150sin8 1 sin8 = 4,51... halkaisija d = r = 4,51 = 48,50 Vastaus 49 m

55 R = 6370 km, r = 1737 km Maan pinnan katselupisteestä Kuun keskipisteeseen piirretty jana puolittaa katselukulman, 0,56 = 0,8. Merkitään Maan pinnan katselupisteen ja Kuun keskipisteen välistä etäisyyttä kirjaimella x = sin0,8 x x = 1737 sin0,8 = ,87... Maan ja Kuun keskipisteiden välinen etäisyys on x + R = ,87 = ,87 Vastaus km

56 3 r = 6370 km, h = 3,718 km Kaaren TA pituus on Teiden etäisyys Afrikasta Maapallon pintaa pitkin mitattuna. Määritetään kulman α suuruus trigonometrisesti. cosα = r r + h = ,718 α = 1, Lasketaan kaaren TA pituus. TA = 1, π 6370 = 17, Vastaus 18 km

57 4 Vastaus a) 108º b) 57,5º c) 14º

58 5 Kolmio on suorakulmainen, koska kulma C on puoliympyrää vastaava kehäkulma. Kolmion hypotenuusa on ympyrän halkaisija r = 5 = 10. Ratkaistaan kateetit x ja y trigonometrisesti. x 10 = sin30 x = 10 sin30 = 5 y 10 = cos30 y = 10 cos30 = 5 3 Kolmion pinta-ala A = = 5 3 = 1, Vastaus cm

59 6 Suorakulmion lävistäjä on puukiekon halkaisija. Ratkaistaan lävistäjä Pythagoraan lauseella. d = d = 586 d = ± 586 d > 0 d = 4,07... d Puukiekon säde on... = 1,103 Vastaus 1,1 cm

60 7 Kulmaa α vastaava keskuskulma on = 16. α = 16 = 81 Kulmaa β vastaava keskuskulma on = 4. β = 4 = 11 Vastaus α = 81º ja β = 11

61 8 Mainostelineen säde r = 1,8 = 0,9 Julisteen leveyttä vastaava kaaren pituus b =,6. Ratkaistaan kulma α.,6 = α π 0,9 360 α =,6 360 π 0,9 = 165,5... Olkoon x pienin etäisyys, mistä mainoksen voi nähdä kokonaan. 0,9 0,9+ x = cos165,5... 0,9 0,9cos 165,5... x = cos 165,5... = 6,... > 4 Vastaus Ei voi

62 9 Ympyröiden keskipisteiden ja tangenttien leikkauspisteen kautta 60 kulkeva suora puolittaa tangenttien välisen kulman, = 30. r1 = sin r1= 5 Muodostuneet suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset. r 10 + r1 + r = r 10 1 r 15 + r = r = r 5r = 75 r = 15 Vastaus 5 ja 15

63 30 p = πr = (km) h = 190 (m) = 0,19 (km) b = 110 (km) R = π R R + h = π cosα = ,19 π α = 0, α + β = β = , = 0,

64 R R + x = cosβ π = cos0, x π x = 0, Vastaus 90 m

65 31 Kulmaa α vastaavan keskuskulman ja 110 asteen kehäkulmaa vastaavan keskuskulman summa on 360º. α +0 = 360 α = 140 α = 70 Vastaavasti saadaan kulmalle β yhtälö: β + 40 = 360 β = 140 Vastaus 70º ja 140º

66 3 a) Kulma ß on 56 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma. β = 56 = 8 Vastaavasti γ = 34 = 17. Kolmion kulmien summan avulla voidaan ratkaista kulma δ. β +γ +δ = δ = 180 δ = 135 Kulma α on kulman δ vieruskulma. α = = 45

67 b) Kulma β on 0 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma. β = 0 = 10 Vastaavasti δ = 80 = 40. Kulman δ vieruskulma on = 140. α = = 30 Vastaus a) 45 b) 30

68 33 Merkitään kalastajan istuinpaikkaa kirjaimella C, saaren päätepisteitä kirjaimilla A ja B sekä saaren keskellä olevaa kiveä kirjaimella K. Koska kiven etäisyydet saaren päistä ja kalastajasta ovat yhtäsuuret, pisteet A, B ja C ovat K-keskisen ympyrän kehällä. Jana AB on ympyrän halkaisija, kulma C on puoliympyrän sisältämä kehäkulma, joten kulma C on suora kulma. a) Kalastaja näkee saaren 90 kulmassa. b) AB on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa AB = = = 98, Vastaus a) 90 b) 98 m

69 34 R = 6370 (km), r = 1737 (km) s = (km) Olkoon x avaruusaluksen etäisyys Maan keskipisteestä. Ratkaistaan x yhdenmuotoisista suorakulmaisista kolmioista. R r = x kerrotaan ristiin s x Rs Rx = rx (r + R)x = Rs x = Rs r + R x = x = 30174,43... Avaruusaluksen etäisyys Maan pinnalta on x R = 30174, = 95354,4... (km) Vastaus km

70 35 a) b) Suorakulmion lävistäjät ovat yhtä pitkät ja puolittavat toisensa. Lävistäjien leikkauspisteen etäisyys on yhtä suuri jokaisesta kärjestä. Suorakulmion lävistäjien leikkauspiste on ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ja ympyrän säde on puolet lävistäjän pituudesta. Ympyrää ei voida piirtää, koska suunnikkaan keskipisteen etäisyys jokaisesta kärkipisteestä ei ole yhtäsuuri.

71 c) α +β = 360 α + β = 180 Vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmia. Vastaus suplementtikulmia. a) Voidaan b) Ei voida c) Vastakkaiset kulmat ovat

72 36 Olkoon O-keskisen ympyrän säde r. Tällöin P-keskisen ympyrän säde on 1 r. Olkoon kaarta AB vastaava keskuskulma α. α Kaaren AB pituus on 360 π r. Kulma α on kaarta CD vastaava kehäkulma, kaaren CD asteluku on α. α r α Kaaren CD pituus on π = π r Siis kaaret AB ja CD ovat yhtä pitkät.

73 37 r AD = sin30 AD = r AB = r + r = 3r 6 3r = tan30 3r = 6 tan30 3r = r = Puoliympyrän ala A = π = 6π 3 Vastaus 6π

74 38 Lasketaan jänteen AC pituus kosinilauseella. x = cos60 x = 49 x = ± 49 x > 0 x = 7 Kaarta AC vastaava keskuskulma on 10º. Ratkaistaan ympyrän säde kosinilauseella. x = r + r r r cos10 49 = 3r r = ± 49 3 r > 0 r = 7 3 Vastaus = 3 3

75 39 Tapaus1. Ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeamassa Kehäkulman DCB toinen kylki on ympyrän halkaisija. Merkitään keskuskulmaa DKB kirjaimella γ.!dcb = γ!acb = α γ Kehäkulma, jonka toinen kylki on ympyrän halkaisija, on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Määritetään kehäkulman ACB suuruus kulmien α ja γ avulla. β = γ + α γ = α Siis kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeamassa.

76 Tapaus. Ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeaman ulkopuolella. Kehäkulmien DCA ja DCB toinen kylki on ympyrän halkaisija. Merkitään keskuskulmaa DKA kirjaimella γ.!dca = γ!dcb = α +γ Kehäkulma, jonka toinen kylki on ympyrän halkaisija, on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Määritetään kehäkulman ACB suuruus kulmien α ja γ avulla. β = α +γ γ = α Siis kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun ympyrän keskipiste on kehäkulman aukeaman ulkopuolella.

77 On osoitettu, että kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta myös, kun kehäkulman kylki ei ole ympyrän halkaisija.