MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkintäohjeita alustavaan arvosteluun YTL Hyvän vastauksen piirteitä: Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut ja lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi. YTL on antanut määräyksiä opettajille matematiikan kokeen merkinnöistä alustavassa arvioinnissa. Määräykset ovat nähtävillä YTL:n sivustolla MAOL on saanut jäseniltään pyyntöjä tarkentaa arviointiohjeita. Tässä muutamia MAOL:n esimerkkejä selkeästä arvioinnista: Merkinnöissä käytetään kuulakärkikynää, ei tussia. Tehtäväkohtainen kokonaispistemäärä merkitään selkeästi vastauksen loppuun ulkoreunan puoleiseen marginaaliin. Matematiikan kokeen pisteytyksessä käytetään vain kokonaisia pisteitä. Virheet merkitään alleviivaamalla kyseinen kohta tai pitkät virheelliset kohdat merkitsemällä pystyviiva kyseiseen kohtaan tehtävän viereen. Katkoviivaa voi käyttää merkitsemään epätarkkaa ilmaisua vastaavalla tavalla. Opettajan merkinnät eivät saa peittää kokelaan vastausta. Virheellisen tai ongelmallisen kohdan marginaaliin on toivottavaa tehdä selventäviä merkintöjä. Vastauksen loppuun voi merkitä tarvittaessa arvosteluun liittyviä seikkoja. Esimerkkejä lyhyistä merkinnöistä marginaalissa: (- p.) virheen siirtyminen eteenpäin numerotarkkuus pyöristysvirhe periaatevirhe puuttuva piste oikein, väärin yksikkö väärinpäin Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

2 Esimerkkejä merkinnöistä vastauksen lopussa: Kopiointivirhe, tehtävän luonne ei ole muuttunut. Vastauksen periaate on oikein, mutta kopioimisvirheestä lähtien tulokset ovat väärää suuruusluokkaa. Vastauksen ansiot: kuvaajan analyysi, Muita esimerkkejä: Virheellisen lukuarvon ensimmäinen esiintyminen alleviivataan. Jos loppuosa laskusta on periaatteeltaan oikea, muita lukuja ei alleviivata, vaan merkitään, että virhe on siirtynyt eteenpäin. Jos kuviossa on pieni virhe, kuviosta alleviivataan virheellinen osa siten, että kokelaan vastaus jää selkeästi näkyviin. Jos alleviivaus ei onnistu kokelaan vastausta peittämättä, alleviivataan koko kuvio ja virhe selitetään lyhyesti marginaalissa. Virheellisen numerotarkkuuden voi merkitä alleviivaamalla ylimääräiset numerot tai alleviivaamalla koko luvun ja merkitsemällä marginaaliin numerotarkkuus. Muita yleisiä ohjeita: Kopiointivirhe (jos tehtävän luonne ei oleellisesti muutu) o p, kun on jaossa - pistettä o p, kun on jaossa 6 pistettä Uuden mallisen kokeen A-osan ja B-osan pisteytys ja kommentointi tehdään samalla periaatteella. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

3 Alustava pisteitys. ( piste/koht A-osa Kaava Väite Kaava nro b a A Luku b on 50 % suurempi kuin luku a. b 0,5a B Luku a on neljäsosa luvusta b. 5 b,5a C Luku b on puolet luvusta a. b a D Luku b on 5 % suurempi kuin luku a. 6 5 b a E Luku b on kaksinkertainen lukuun a verrattuna. b a F Luku a on nelinkertainen lukuun b verrattuna tai b) a a a a a a a a a a Vastaus ±a - Laskettu murtopotenssein. f( x), x Derivointi myös osamääränä tai negatiivista eksponenttia käyttäen. joten f () 0. Derivointivirhe. 0 c) Löydetty integraalifunktiot cos(x) ja sin(x). Saatu vastaus. Merkkivirhe integroinnissa. max Integroimisvakio vastauksessa. - Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

4 . x lb( x ) lb( x) lb (=lb ), x x josta x x 8x 7x x 7 b) Koska lb = ja lb 8 = (ja funktio lb x on aidosti kasvav, niin kelvollisia ovat arvot n,5,6,7,8. Vastaus voidaan antaa myös muodossa n 8 tai vastaava. Aidosti kasvavuus tai monotonisuus mainitsematta. -0 Määrittelyehto x > 0 puuttuu. -0 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

5 . Neljäs kärki on ( x, x ). Tällöin suorakulmion sivut ovat x ja x. Pinta-ala A(x) = x( x ) = x x, (0 x ). Derivaatta A( x) x, jonka nollakohdat ovat x. Näistä vain positiivinen arvo kelpaa. Koska Ax ( ) on suljetulla välillä 0, määritelty jatkuva funktio ja A(0) A() 0, niin suurin A A 6 9. (= 6 TAI Loppuosa kulkukaavion avulla. Käsitelty pinta-alana vain funktiota x. 0 Vastaus summamuodossa. - Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

6 B-osa 5. Merkitään kulmia a, a d ja a d. Kulmien summa on ad 80, josta ad 60. Suurin kulma on ad 0. ad 0 Saadaan yhtälöpari, a d 60 a 7 josta. Kulmien suuruudet ovat siten 7,60 ja 0. d TAI: Merkitään kulmia a d, a ja a d. Kulmien summa on a 80, josta a 60. Suurin kulmista on ad 0, joten d. Kulmien suuruudet ovat siten 7,60 ja 0. TAI: d + 0 d = 80 tai vastaava. b) Merkitään kulmia x, qx ja qx, joista pienin on x 7. Kulmien summa on 7 ( q q ), josta saadaan ehto q q 6 0 q q (ei kelpa. Kulmien suuruudet ovat siten, ja Jos annettu kulma keskimmäinen ja kulmat ovat x, x ja q, joista q x = π ( )π, niin q = ± ja kulmat, π, (+ )π Toinen ratkaisuista riittää, b)-kohdasta maksimi pistettä. ++ Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

7 6. b) Kaukalo on suora särmiö. Jos päätykolmion pinta-ala on A, niin kaukalon tilavuus Vk Ab. Jäljelle jäänyt vesi muodostaa kolmisivuisen pyramidin, jonka tilavuus V v Ab. Poistuneen veden tilavuus on siten V Ab Vk. Vettä on valunut pois koko määrästä, eli a a Päätykolmion korkeus H ja pinta-ala A. Jäljelle jäänyt vesi muodostaa päätyyn tasasivuisen kolmion, joka on yhdenmuotoinen päätykolmion kanssa. Koska vesimäärien suhde = d päätykolmioiden pinta-alojen suhde, niin a, josta a d. (Kuvio all d a a Veden korkeus on siten. Käytetty lukuarvoja a:lle tai b:lle. max Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

8 7. Etäisyysehto antaa yhtälön josta neliöimällä puolittain saadaan x y y, + x y y y, joten käyrä K on (paraabeli) y x (tai laskimen ratkaise-toiminnoll. TAI Havaittu paraabeliksi ja kolmen pisteen ja yhtälöryhmän avulla saatu funktion lauseke. Itseisarvomerkit puuttuvat. -0 b) Käyrä leikkaa x-akselin, kun y 0. Tällöin x 0, josta x x. Koska alue jää x-akselin yläpuolelle (ja on symmetrinen y-akselin suhteen), on kysytty pinta-ala ( x ) dx 8. / x x Määrätyn integraalin arvo laskimesta. -0 Eri reitit: + Reittien todennäköisyydet vasemmalta:, 8,,,, 8 Yksi tai kaksi todennäköisyyttä väärin. - b) Mahdolliset kohtauspaikat ovat pisteet P ja P. Tn kohdata pisteessä P on p ( )( ). Tn kohdata pisteessä P on p ( )( ) Kysytty todennäköisyys on p p Laskettu käyttäen vain toista kohtauspaikkaa.. max Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

9 9.. Tekijöihin jako: n 6n 7 n n( n 6n 7) ( n ) n( n 7). Peräkkäisistä luvuista n ja n toinen on varmasti parillinen, joten luvussa on tekijänä luku. Jos toinen tekijöistä n ja n on kolmella jaollinen, niin luvussa on tekijänä myös luku. Jos näin ei ole, niin silloin varmasti luku n on kolmella jaollinen, kuten on myös luku ( n) 6 n 7. Koska alkuperäinen luku on jaollinen luvuilla ja, on se jaollinen myös luvulla 6. TAI: Tekijöihin jako: n 6n 7 n n( n 6n 7) ( n ) n( n 7). Peräkkäisistä luvuista n ja n toinen on varmasti parillinen, joten luvussa on tekijänä luku. Koska n n (mod ), n 7 n (mod ) (jan n (mod )), niin n, n ja n 7 ovat keskenään eri luokkaa (mod ). Siis jokin niistä on 0 (mod ) eli kolmella jaollinen. Koska alkuperäinen luku on jaollinen luvuilla ja, on se jaollinen myös luvulla 6. TAI: Huomattu parilliseksi ja tutkittu q, q + ja q +. TAI: Tutkittu 6q, 6q +,,6q + 5 Tekijöihin jako ja sijoitukset laskimella ok. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

10 9.. Supistamalla lausekkeella x, saadaan x 60x8 x x x 8x 6 x x, josta havaittu, että sijoitus ei x x johda muotoon 0. 0 (joka lähestyy arvoa , kun x lähestyy arvoa.) TAI: Sijoittamalla havaittu osoittajan nollakohdaksi, jolloin x osoittajan tekijä ja supistuu. TAI: l Hôspitalin säännöllä perustellen. Pelkkä laskinvastaus raja-arvotoiminnolla. 0 Tekijöihin jako tai vastaava laskimella ok. b) Koska x ( x )( x ), niin äärellinen raja-arvo voi olla olemassa vain, jos x on myös osoittajan tekijä, eli luku on sen nollakohta. Saadaan ehto n 8 0, n 7 josta, eli n 7. (Raja-arvo on siten olemassa vain arvolla n 7.) Kokeilu lukuarvoilla. 0 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

11 B-osa 0. Yhtälön x ln x iterointi: x0, x ln, x ln,69..., x ln,69..., , x, , x5,99..., x6,0..., x7,5..., x8,56..., x9,60..., x0,6... x 0 esitetty riittävän monella desimaalilla pyöristyksen perusteluksi. Vastaus on x,6. b) x x ln x 0 ln x x x e Iterointi: x0 x 0, x x 0,65... x 0, x5 0, x6 0, x7 0, x8 x9 x0 0, x 0 esitetty riittävän monella desimaalilla pyöristyksen perusteluksi. Vastaus on x 0,59. Tarkkuusvirhe - /kohta Iterointi kesken, lopetettu esim. kierrokseen x 8. - /kohta Muutamia iterointikierrosten arvoja välistä puuttuu. -0 Pelkät vastaukset. 0 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

12 . Alla olevassa kuviossa ympyrän säde on r sekä käyrän y x ja ympyrän sivuamispiste A( a,. Tämän projektiopiste x-akselilla on Ba (,0). Koska y( x) x, niin pisteeseen A asetetun tangentin kulmakerroin on a. Samaan pisteeseen asetetun normaalin kulmakerroin on siten a. Koska normaali kulkee myös ympyrän keskipisteen K( r,0) kautta, voidaan sen kulmakerroin esittää muodossa a a r. Saadaan yhtälö a a ar eli a ( a r) (). Toisaalta suorakulmaisesta kolmiosta KBA saadaan Pythagoraan mukaan yhtälö ( a r) a r a ( a r) () ja () pari. ( a r) a r Ylemmästä yhtälöstä saadaan ar, josta r a. (). Muodostetaan yhtälöistä Sijoittamalla nämä molemmat alempaan yhtälöön, saadaan a ja edelleen a, josta a, joista vain 6 6 a a a a positiivinen arvo kelpaa. Lopulta saadaan a r a a a 7 7 ( 0, ,88). Laskimen normaali- ja muita toimintoja voidaan hyödyntää osana ratkaisua. a a Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

13 . 0 5 ( ) ( ) ( ) N r r i j k x i y j z k ( x ) ( y ) 5( z ) x y 5z 5 0 x y 5z. Vakiot ovat siten a, b, c 5 ja d. b) Saatu yhtälö toteutuu arvoilla x, y ja z, koska 5, joten piste on tasolla. c) Yhtälön x 5y 7z toteuttaa esim. piste (7,0,0). Voidaan siis valita r 0 7i. Tällöin r r0 ( x 7) i y j zk. (Myös esim. vektori r 0 k kelpaa.) Jos N ai b j ck, niin N ( r r0 ) 0 a( x 7) by cz 0 ax by cz 7a, joka on sama kuin x 5y 7z, kun a, b 5 ja c 7, jolloin N i 5 j 7k. c)-kohtaan löytyy useita eri ratkaisuja. Voi tehdä myös esimerkiksi valitsemalla ensin vektorin N. Laskimen dotp ja muita toimintoja voi käyttää osana ratkaisua. Yksittäinen laskuvirhe -. Luku x on yhtälön x 0 eli myös yhtälönx 0 juuri. Polynomi on siten Pa ( x) x. b) Neliöimällä yhtälö x saadaan x. Polynomiksi kelpaa siten P ( ) b x x. c) Jos x, niin x, josta neliöimällä saadaan ( x ) x x 0. Polynomiksi käy siten P ( ) c x x x. d) Jos x, niin x 5 6, josta x 5 6. Neliöimällä uudelleen saadaan ( x 5), joten polynomi on P x x x. d ( ) 0 Jokaiseen kohtaan on useita ratkaisuja. Voi ratkaista esimerkiksi käyttämällä nollakohtien ja tekijäesityksen välistä yhteyttä sekä neliöiden erotusta. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä

14 LAURI: LISÄÄ LOPPUUN LINKIT LASKINVALMISTAJIEN RATKAISUIHIN Matematiikan koe, pitkä oppimäärä