Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Transkriptio

1 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan pisteiden kautta piirretyn sekantin kulmakerroin. Sekantti kulkee kuvan perustella pisteiden (0, ) ja (, ) kautta, joten sekantin kulmakerroin on ( ) k. 0 Funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] on. Vastaus: b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = saadaan laskemalla kohtaa x = vastaavaan kuvaajan pisteeseen piirretyn tangentin kulmakerroin. Tangentti kulkee kuvan perusteella pisteiden (, ) ja (, ) kautta, joten tangentin kulmakerroin on ( ) k. Funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

2 K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] saadaan määrittämällä kohtia x = ja x = 4 vastaavien kuvaajan pisteiden kautta kulkevan funktiolle g piirretyn sekantin kulmakerroin. Piirretään sopivalla ohjelmalla funktion g kuvaaja ja kuvaajalle sekantti kohtien x = ja x = 4 kautta. Ohjelma antaa sekantin kulmakertoimeksi k =, joten funktion g keskimääräinen muutosnopeus välillä [, 4] on. Vastaus: b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = saadaan määrittämällä funktion kuvaajalle kohtaan x = piirretyn tangentin kulmakerroin. Piirretään funktiolle g tangentti kohtaan x =. Ohjelma antaa tangentin kulmakertoimeksi k =, joten funktion g hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

3 K. Koska funktion f derivaatta on kaikkialla f (x) =, funktion f hetkellinen muutosnopeus on kaikkialla ja funktion f kuvaaja suora, jonka kulmakerroin on k =. Funktion f lauseke on siis muotoa f(x) = x + b. Koska f( ) =, voidaan vakiotermi b ratkaista yhtälön avulla. ( ) b 6b b Sijoitetaan b = funktion lausekkeeseen f(x) = x + b, jolloin f(x) = x +. Lasketaan f(4) sijoittamalla x = 4 funktion f lausekkeeseen. f(4) = 4 + = 9 Vastaus: f(4) = 9 K4. Lasketaan kunnan asukasluvun keskimääräinen muutosnopeus, kun tiedetään, että vuonna 0 asukkaita oli ja vuonna 07 asukkaita oli 978. Asukkaiden määrä muuttui = 9 asukkaalla, kun aikaa kului 07 0 = 4 vuotta. Kunnan asukasluvun keskimääräinen muutosnopeus oli siis 9 84, 7 8 asukasta/vuosi. 4 Vastaus: 8 asukasta/vuosi

4 K. Piirretään funktion f(x) = x + 4x + kuvaaja. a) Funktion f derivaatta on nolla niissä kohdissa, joissa funktion f kuvaajalle piirretyt tangentit ovat vaakasuoria. Piirretään funktiolle f vaakasuorat tangentit. Kohtiin x, ja x 0 piirretyt tangentit ovat vaakasuoria. Funktion f derivaatta on nolla muuttujan arvoilla x, ja x 0. Vastaus: x, ja x 0

5 b) Funktion f derivaatta on negatiivinen, kun funktion kuvaajalle piirretty tangentti on laskeva suora. Kuvaajan perusteella jokaiseen kohtaan likimain välillä, x 0 piirretyt tangentit ovat laskevia suoria, joten funktion f derivaatta on negatiivinen, kun muuttuja on likimain välillä, < x < 0. Vastaus: likimain, kun, < x < 0 c) Funktion f derivaatta on positiivinen, kun funktion kuvaajalle piirretty tangentti on nouseva suora. Kuvaajan perusteella jokaiseen kohtaan likimain väleillä x <, ja x > 0 piirretyt tangentit ovat nousevia suoria, joten funktion f derivaatta on positiivinen, kun muuttuja on likimain väleillä x <, ja x > 0. Vastaus: likimain, kun x <, ja x > 0 K6. a) f(x) = x + f (x) = + 0 = b) g(x) = x + 4x + 4 g (x) = x = x + 4 b) h(x) = x 4 6x h (x) = 4x 4 6 x 0 = x x

6 K7. a) Sievennetään lauseke ennen derivoimista. (x )(4 x) x4 x( x) ( ) 4 ( ) ( x) 8x6x 4x 6x x4 Derivoidaan sievennetty lauseke. D x x x x ( 6 4) 6 0 Vastaus: x + b) Sievennetään lauseke ennen derivoimista. 6t t 6t t t 4t Derivoidaan sievennetty lauseke. D(t 4 t ) t 4t 6t 8t Vastaus: 6t 8t

7 K8. a) Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x +. f (x) = 9x + 4 Lasketaan derivaatan arvo kohdassa x = sijoittamalla x = derivaattafunktion lausekkeeseen. f () = =. Vastaus: f () = b) Ratkaistaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. 9x 4 0 9x 4 :( 9) x 4 9 x Derivaatan nollakohdat ovat Vastaus: x.

8 K9. a) Lasketaan f( ) sijoittamalla x = funktioon f(x) = x + 4x +. f( ) = ( ) + 4 ( ) + = = Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x +. f (x) = x + 4 Lasketaan f ( ) sijoittamalla x = funktioon f (x) = x + 4. f ( ) = ( ) + 4 = 0 Vastaus: f( ) =, f ( ) = 0 b) Ratkaistaan yhtälö f(x) =. x + 4x + = x + 4x + 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 4 ja c = 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan x x 4 0 x Ratkaistaan yhtälö f (x) =. x 4 x 6 : x Vastaus: x =, x =

9 K0. Derivoidaan funktio f(x) = x + 4x. f (x) = x + 4 Piirretään funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon sopivalla ohjelmalla. Ratkaistaan yhtälö f (x) = 0. x 40 x 4 : x Vastaus:, x =

10 K. Tangentti on vaakasuorassa, kun sen kulmakerroin on 0. Kuvaajan kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo kyseisessä kohdassa. Paraabeli y = x x + 4 on funktion f(x) = x x + 4 kuvaaja. Derivoidaan funktio f. f (x) = x Muodostetaan derivaattafunktion avulla yhtälö ja ratkaistaan siitä kohta, jossa tangentti on vaakasuora. x 0 x : x Pisteen x-koordinaatti on. Ratkaistaan pisteen y-koordinaatti x-koordinaatin ja funktion f avulla. ) 4) f Paraabelin pisteeseen 7, 4 Vastaus:, 7 4 piirretty tangentti on vaakasuora.

11 K. Tangentti on suora, jonka yhtälö on muotoa y = kx + b. Selvitetään suoran yhtälön muodostamista varten suoran kulmakerroin k ja vakiotermi b. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo siinä kohdassa, johon tangentti on piirretty, eli nyt k = f ( ). Derivoidaan funktio f x x x '( ) f ( x) x x x. Kulmakerroin on k f '( ) 9. Suoran yhtälö on siis y = 9x + b. Ratkaistaan vakiotermi b sijoittamalla pisteen (, ) koordinaatit suoran yhtälöön. 9b b 8 b Tangentin yhtälö on y = 9x. Vastaus: y = 9x

12 K. Derivoidaan funktio f(x) = a x + 6x. f (x) = a x + 6 Derivaatalla on nollakohta x =, joten x = toteuttaa yhtälön a x + 6 = 0. Sijoitetaan x = yhtälöön a x + 6 = 0, ja ratkaistaan vakio a. ax 6 0 a 6 0 6a 60 6a 6 :( 6) a a Vastaus: a = ±

13 K4. a) Kuvan perusteella funktio on kasvava, kun vasemmalta oikealla luettaessa kuvaaja nousee ylöspäin, ja vastaavasti vähenevä, kun kuvaaja laskee alaspäin. Kuvan perusteella funktio f on kasvava likimain, kun x,4 tai x,. Funktio f on vähenevä likimain, kun,4 x,. Vastaus: kasvava likimain, kun x,4 tai x,, vähenevä likimain, kun,4 x, b) Kuvassa on funktion f derivaattafunktion f kuvaaja. Funktio on kasvava, kun funktion derivaatta on positiivinen. Vastaavasti funktio on vähenevä, kun funktion derivaatta on negatiivinen. Kuvan perusteella funktio f on kasvava likimain, kun 4 x 0 tai x. Funktio f on vähenevä likimain, kun x 4 tai 0 x. Vastaus: kasvava likimain, kun 4 x 0 tai x, vähenevä likimain, kun x 4 tai 0 x

14 K. Merkkikaaviossa lukusuora jakautuu funktion nollakohtien rajoittamiin väleihin. Merkkikaaviosta voidaan lukea, minkä merkkisiä arvoja funktio saa kullakin lukusuoran välillä. 8 7 f (x) + + a) Merkkikaaviosta nähdään, että funktio saa positiivisia arvoja, kun < x < 7 ja x 8. Vastaus: < x < 7 ja x 8 b) Epäyhtälön f(x) < 0 ratkaisu on ne lukusuoran välit, joissa funktio f saa negatiivisia arvoja. Merkkikaaviosta nähdään, että funktio saa negatiivisia arvoja, kun x < tai x > 7. Vastaus: x < tai x > 7

15 K6. Kulkukaaviossa ylemmällä rivillä on derivaatan merkit ja alemmalla rivillä funktion kasvavuus ja vähenevyys. Annettujen tietojen perusteella derivaatan nollakohdat ovat, ja 9. Nämä arvot jakavat lukusuoran neljään väliin. Merkitään näille väleille tehtävänannon tietojen mukaisesti funktion derivaatan merkit. Funktio on kasvava, kun derivaatta on positiivinen, ja vähenevä, kun derivaatta on negatiivinen. 9 f (x) f (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on vähenevä, kun x. Vastaus: 9 f (x) f (x) x

16 K7. Laaditaan funktion f kulkukaavio derivaatan avulla. Derivoidaan funktio f(x) = x + 6x. f (x) = 9x + 6 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. 9x 60 9x 6 :( 9) x 6 9 x x x 0,86... Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan merkkikaavio. f ( ) = 9 ( ) + 6 = < 0 f (0) = = 6 > 0 f () = = < 0 f (x) + f (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava, kun x. Vastaus: f (x) = 9x + 6,, x

17 K8. Funktio s(t) = t 8t + 6t ilmaisee hiukkasen etäisyyden mittarista, joten kun funktio s on kasvava, hiukkanen etääntyy mittarista. Muodostetaan kulkukaavio ja päätellään funktion kasvavuus kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. s(t) = t 8t + 6t s (t) = t 6t + 6 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälön s (x) = 0 avulla. t 6t + 6 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 6 ja c = 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 6 ( 6) 4 6 t t t t 4 tai t 4 Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta väleiltä ja lasketaan derivaatan s arvot niissä. Laaditaan merkkikaavio. s () = = > 0 s () = = < 0 s () = = > s (t) + + s(t) Koska funktio oli rajoitettu välille [0, 4], nähdään kulkukaavion avulla, että funktio on kasvava, kun 0 t 4. Joten hiukkanen etääntyy mittarista 4, sekunnin ajan. Vastaus:, sekunnin ajan

18 K9. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. f(x) = x 6x f (x) = x x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. ( ) 4 0 x x 44 6 x 6 x0 tai x4 Derivaatan nollakohdista kohta x = 0 kuuluu tarkasteltavalle välille. Lasketaan funktion arvo välin päätepisteissä ja välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. f( ) = ( ) 6 ( ) = f(0) = = 0 f() = 6 = 7 (pienin) (suurin) Välillä [, ] funktion f suurin arvo on 0 ja pienin arvo. Vastaus: suurin 0, pienin

19 K0. Funktion paikalliset ääriarvokohdat ja paikalliset ääriarvot voidaan etsiä kulkukaavion avulla. Derivoidaan funktio. f(x) = x(x ) = x x f (x) = x Lasketaan derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x 0 x : x 4 x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan kulkukaavio. f ( ) = ( ) = > 0 f (0) = 0 = < 0 f () = = > 0 f (x) + + f (x) max min Funktiolla f on paikallinen maksimikohta x = ja paikallinen maksimiarvo on f( ) = ( ) ( ) = 6. Funktiolla f on paikallinen minimikohta x = ja paikallinen minimiarvo on f() = = 6. Vastaus: paikallinen maksimikohta ja maksimiarvo 6, paikallinen minimikohta ja minimiarvo 6

20 K. Piirretään tilanteesta mallikuva. Suorakulmion muotoisen alueen pintaala on kanta korkeus. Merkitään kantaa kirjaimella x ja korkeutta kirjaimella y. A = xy Lisäksi tiedetään, että xy y x : y x. Sijoitetaan tämä tieto pinta-alan lausekkeeseen, jolloin saadaan pinta-alan funktio, jossa muuttujana on kanta x. A( x) x x A( x) xx Jos jommallekummalle sivulle laitetaan puolet aidasta, toisen sivun pituus menee nollaan, ja pinta-ala menee nollaan. Joten kannan x pituus on rajoitettu välille 0,. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. Ax ( ) xx A( x) x

21 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä A (x) = 0. x 0 x : ( ) x 4 Lasketaan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja, joten derivaatan nollakohta on tällä välillä. 4 A A, A 0 Pinta-ala on suurimmillaan, kun kanta on x =, ja korkeus 4 y x 0, Vastaus:, m ja, m

22 K. Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään poisleikattavan neliön sivun pituutta kirjaimella x. Kun sivut taitetaan ylös, muodostuvan laatikon tilavuus on pituus leveys korkeus. Nyt V(x) = (707 x)(00 x)x = 4x 44x + 00x Jos poisleikattavan neliön sivun pituus on 0, on tilavuus 0. Jos poisleikattavan neliön sivun pituus on puolet lyhemmästä sivusta, on särmiön pohjan lyhemmän sivun pituus 0. Poisleikattavan neliön sivun pituus on siis rajoitettu välille [0, 0]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. V(x) = 4x 44x + 00x V (x) = x 488x + 00

23 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä V (x) = 0. x 488x + 00 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 488 ja c = 00 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 488 ( 488) 4 00 x x96,9... tai x06,09... Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 0, joten välille kuuluu derivaatan nollakohdista vain 96,9 V V 96, , , , , V Särmiön tilavuus on suurimmillaan, 7 9, mm, kun leikatun neliön sivun pituus on 96,9 mm 96, mm. Vastaus: 96, mm

24 K. Taulukoidaan tuloja siten, että merkitään lipun hinnan yhden euron muutosten lukumäärää kirjaimella x. Lipun hinta Kävijöiden määrä Tulot = = = = = = = x x (0 + x)( x) Tulot hinnanmuutosten lukumäärän funktiona ovat T(x) = (0 + x)( x) = 00x + 000x Jos hintaa korotetaan kertaa, on kävijöitä 0 ja tulot ovat 00 tällöin 0. Jos hintaa alennetaan 0 kertaa, lipun hinta on tällöin 0 ja tulotkin ovat tällöin 0. Joten hinnanmuutosten määrä on rajoitettu välille [ 0, 40]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio. T( x) 00x 000x0 000 T( x) 00x000 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä T (x) = 0. 00x x 000 : ( 00) x Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 40, joten derivaatan nollakohta x = kuuluu tälle välille. T 000 ( 0) 000 ( 0) T T Lipun hinnalla 0 + = saadaan suurimmat lipputulot. Suurimmat lipputulot ovat 00. Vastaus: :n hinnalla, 00

25 K4. Funktio vähenee nopeimmin kohdassa, jossa funktion derivaatta saa pienimmän arvonsa. Muodostetaan kulkukaavio derivaatalle, joten derivoidaan funktio kahdesti. f(x) = x + x x f (x) = x + x f (x) = 6x + Määritetään derivaatan derivaatan nollakohta yhtälöstä f (x) = 0. 6x 0 6x : 6 x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan derivaatan derivaatan f arvot niissä. Laaditaan kulkukaavio. f ( ) = 6 ( ) + = 4 < 0 f (0) = = > 0 f (x) + f (x) min Funktiolla f on paikallinen minimi kohdassa x ja kulkukaavion perusteella tämä kohta on myös funktion pienin arvo. Koska derivaatta saa pienimmän arvonsa kohdassa x, funktio f vähenee nopeimmin kohdassa x. Tangentin yhtälö on muotoa y = kx + b, ja nyt k f 76

26 Tangentti kulkee pisteen, f y-koordinaatti. kautta. Määritetään pisteen f Tangentin vakiotermi saadaan selville sijoittamalla kulmakerroin ja tunnetun pisteen koordinaatit yhtälöön y = kx + b b 7 b b Tangentin yhtälö on y 76 x Vastaus: x, y 76 x 676 7

27 K. Hyödynnetään mallikuvaa. Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on kanta korkeus. Olkoon korkeus y-akselin suuntainen ja kanta x-akselin suuntainen. Kanta ja korkeus ovat siten paraabelilla y = 0,x + olevan pisteen x- ja y-koordinaatit. xy x( 0,x ) A( x) x x 8 Kuvan avulla nähdään, että jos x-koordinaatti on 0, myös pinta-ala on 0. Suurin mahdollinen muuttujan x arvo saadaan, kun ratkaistaan yhtälö 0,x + = 0. 0, x 0 0,x x 0 x 0 x 4,47... Hylätään negatiivinen vastaus, joten muuttujan x suurin mahdollinen arvo on 0. Muuttuja x on siis välillä [0, 0 ]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman ja pienimmän arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa. Derivoidaan funktio A. Ax ( ) x x 8 A( x) x 8

28 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä A (x) = 0. x 0 8 x : 8 8 x 0 x x 0,8.. Lasketaan funktion arvo suljetun välin päätepisteissä ja välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. Välin päätepisteet ovat 0 ja 0, joten välille kuuluu derivaatan nollakohta on 0. A A 0 0 4, A Pinta-ala on suurimmillaan 4,0 4,. 9 Vastaus: 0 4, 9

29 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty KOKOAVIA TEHTÄVIÄ ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Keskimäärinen muutosnopeus on kuvaajalle kohtien x = 0 ja x = kautta piirretyn sekantin kulmakerroin. Sekantti kulkee pisteiden (0, ) ja (, ) kautta. Sekantin kulmakerroin on k 0, joten 0 funktion f keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] on 0. Vastaus: 0 b) Hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on tähän kohtaan kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerroin. Tangentti kulkee pisteiden (, ) ja (4, 4) kautta. Tangentin kulmakerroin on k 4, joten 4 funktion f hetkellinen muutosnopeus kohdassa x = on. Vastaus:

30 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Kuvan perusteella funktio on kasvava, kun vasemmalta oikealla luettaessa kuvaaja nousee ylöspäin, ja vastaavasti vähenevä, kun kuvaaja laskee alaspäin. Funktio f on kasvava likimain, kun x 0 tai x 0,7. Funktio f on vähenevä likimain, kun 0 x 0,7. Vastaus: kasvava likimain, kun x 0 tai x 0,7, vähenevä likimain, kun 0 x 0,7. a) D(x + x ) = x + 0 = x + b) Sievennetään lauseke ennen derivointia. x(x ) = x 6x D(x 6x) = x 6 = 6x 6 c) Sievennetään lauseke ennen derivointia. (x ) = x x + x ( ) + ( ) x + ( ) ( ) = 9x 8x + 9 D(9x 8x + 9) = 9x = 8x 8 d) Sievennetään lauseke ennen derivointia x x 4 8 x x x x x x x x x x D 8 4. a) f(x) = x + x f() = + = 9 b) f (x) = D(x + x ) = x + f () = + = 7

31 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Ratkaistaan epäyhtälö x + 6 > 0. Merkitään f(x) = x + 6. Ratkaistaan funktion nollakohta yhtälöstä f(x) = 0. x 60 x 6 :( ) x Lasketaan funktion f arvo nollakohdan vasemmalla puolella olevassa pisteessä x = 0. f(0) = = 6 > 0 Lasketaan funktion f arvo nollakohdan oikealla puolella olevassa pisteessä x =. f() = + 6 = < 0 Laaditaan merkkikaavio. f(x) + Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälön x + 6 > 0 ratkaisu on x <. Vastaus: x <

32 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muokataan epäyhtälö x + x muotoon, jossa toisella puolella on luku 0, x + x 0. Merkitään f(x) = x + x. Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) = 0. x + x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = ja c = toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. b b ac x 4 a 4 ( ) x 7 tai x Valitaan kohdat nollakohtien rajaamilta lukusuoran väleiltä ja lasketaan funktion f arvot niissä. f( 4) = ( 4) + ( 4) = 9 > 0 f(0) = = < 0 f() = + = 4 > 0 Laaditaan merkkikaavio. f(x) + + Merkkikaaviosta nähdään, että epäyhtälön x + x 0 ratkaisu on x. Tämä on myös epäyhtälön x x ratkaisu. Vastaus: x

33 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen derivaatta on kyseisellä välillä positiivinen tai nolla välin yksittäisissä pisteissä. Derivoidaan funktio ja tutkitaan derivaatan merkkikaaviota. f(x) = x + 8x 7 f (x) = x + 8 Laaditaan derivaatalle merkkikaavio. Lasketaan derivaatan nollakohta. x + 8 = 0 x = 8 :( ) x = 4 4 f (x) + Merkkikaaviosta nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun x < 4 ja 0 kun x = 4. Joten funktio on kasvava välillä [0, 4]. Vastaus: on f (0) = = 8 f () = + 8 = 6. Kuvassa on funktion derivaatan kuvaaja. Laaditaan kuvaajan avulla derivaatan kulkukaavio ja päätellään sen avulla funktion f ääriarvokohdat. Derivaatan nollakohdat ovat x =, x =, x = ja x = 6. Merkitään kulkukaavioon derivaatan nollakohdat ja merkit kullakin välillä f (x) f(x) min max min max min max Vastaus: paikalliset minimikohdat x = 4, x = ja x = 6, paikalliset maksimikohdat x =, x = ja x = 8

34 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Polynomifunktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetun välin päätepisteissä tai välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. a) Derivoidaan funktio. f(x) = x + f (x) = x Lasketaan derivaatan nollakohta. x = 0 :( ) x = 0 Lasketaan funktion arvo kohdissa x = 4, x = 0 ja x =. f( 4) = ( 4) + = 6 + = f(0) = 0 + = f() = + = + = (pienin) (suurin) Vastaus: suurin, pienin b) Derivoidaan funktio. f(x) = x + x + f (x) = x + Lasketaan derivaatan nollakohta. x + = 0 x = :( ) x = 4 x = ± Lasketaan funktion arvo kohdissa x =, x =. f( ) = ( ) + ( ) + = = 4 f( ) = + + = = 8 (pienin) (suurin) Vastaus: suurin 8, pienin 4

35 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty APUVÄLINEET SALLITTU 8. Derivoidaan funktiot. f( x) x f (x) = x g(x) = x x g (x) = x 4x a) Muodostetaan annettu yhtälö ja ratkaistaan siitä muuttujan arvo. f (x) = g (x) x = x 4x x x = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. ( ) ( ) 40 x 6 x 0 tai x Vastaus: x = 0 tai x

36 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Muodostetaan annettu epäyhtälö ja ratkaistaan se. f (x) > g (x) x > x 4x x + x > 0 Merkitään h(x) = x + x. Funktion nollakohdat saadaan yhtälöstä h(x) = 0. Sijoitetaan kertoimet a =, b = ja c = 0 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 4 ( ) 0 x ( ) 6 x 0 tai x h (x) + h( ) = ( ) + ( ) = 8 h() = + = h() = + = Merkkikaaviosta nähdään, että lauseke saa nollaa suurempia arvoja, kun 0 x, joten f (x) > g (x), kun 0 x. Vastaus: 0 x

37 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merilinnun sukellus noudattaa funktiota, jossa muuttujana on aika, t 0. Sukellus kestää niin kauan kuin etäisyys on negatiivinen, eli merilintu on vedenpinnan alapuolella. Muodostetaan funktion merkkikaavio ja määritetään merkkikaavion avulla sukelluksen kesto. Ratkaistaan funktion nollakohdat symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla yhtälöstä t t 0. 0 Ratkaisuiksi saadaan t = 0 tai t =. Muodostetaan merkkikaavio (t 0) 0 f (x) + h h Lintu on vedenpinnan alapuolella kun 0 t, joten sukellus kestää sekuntia. Funktion h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten pienin arvo saavutetaan paraabelin huipussa. Derivoidaan funktio h. ht () t t 0 h() t t Lasketaan derivaatan nollakohta. t 0 t : t,

38 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sukellus on siis syvimmillään, kun t =,. h(,),,,, 0 Sukelluksen syvyys on noin, m. Vastaus: sekuntia,, metrin syvyydellä

39 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muodostetaan pyöräilyreitin mäkiprofiilia noudattavan funktion kulkukaavio. Derivoidaan funktio. s(x) = 0,009x + 0,x +,88x + 0 s (x) = 0,07x + 0,64x +,88 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälön s (x) = 0 avulla. 0,07x + 0,64x +,88 = 0 Sijoitetaan kertoimet a = 0,07, b = 0,64 ja c =,88 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan. 0,64 0,64 4 0,07,88 x 0,07 x,789 tai x,66 Hylätään negatiivinen nollakohta, koska x 0. Lasketaan derivaattafunktion arvo nollakohtien määräämillä väleillä. s () = 0,07 + 0,64 +,88 =,6 > 0 s (0) = 0, ,64 0 +,88 = 4, < 0 0,66 s (x) + s (x) Kulkukaaviosta nähdään, että funktio on kasvava, kun 0 x,66 0 x,7 Kulkukaaviosta nähdään, että alusta,66 km kohdalle noustaan ylämäkeen, joten nousun määrä saadaan funktion arvojen erotuksena tällä välillä. s(,66 ) s(0) = 0,009,66 + 0,,66 +,88, ( 0, , 0 +, ) = 0,6 Nousua on 0,6 0,7 metriä. Vastaus: 0 x,7; 0,7 metriä

40 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Polynomifunktio saa suurimman arvonsa suljetun välin päätepisteessä tai välille kuuluvassa derivaatan nollakohdassa. Derivoidaan funktio. f(x) = x +,x 4x + 0 f (x) = x + 7x 4 Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä f (x) = 0. x + 7x 4 = 0 Sijoitetaan kertoimet a =, b = 7 ja c = 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan x x =,949 tai x = 7,0680 Lasketaan funktion arvot kohdissa x = 0, x =,949, x = 7,0680 ja x = 0. f(0) = 0 +, = 0 f(,949 ) =,949 +,,949 4, =,9669 f(7,0680 ) = 7,0680 +, 7, , = 8,0 f(0) = 0 +, = 0 Suurin arvo on 8,0 8, ja sitä vastaava muuttujan arvo on 7,0680 7,066. Funktio f kasvaa nopeimmin kohdassa, jossa derivaatan arvo on suurin. Derivoidaan funktion f derivaatta. f (x) = x + 7x 4 f (x) = 6x + 7 Määritetään nollakohta yhtälön f (x) = 0 avulla. 6x + 7 = 0 6x = 7 x = 4,00 :( 6)

41 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Laaditaan funktion f kulkukaavio. f () = = > 0 f () = = < 0 4,00 f (x) + f (x) max Kulkukaaviosta huomataan, että derivaatta f saa suurimman arvonsa kohdassa x = 4,00, joten funktio f kasvaa nopeimmin muuttujan arvolla x = 4,00. Piirretään funktion kuvaaja sopivalla ohjelmalla. Vastaus: suurin arvo 8, kohdassa x 7,066, kasvaa nopeimmin kohdassa x = 4,00,

42 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään tehtyjen kahden euron suuruisten hinnan muutosten määrää kirjaimella x. Muodostetaan funktio myyntitulolle. Taulukoidaan myyntihintoja, myynnin määriä ja myyntituloja hinnan muutoksen avulla. Myyntihinta ( / kpl) Myynnin määrä (kpl) Myyntitulo ( ) = 8 60 = = = x 60 x (80 + x)(60 x) Myyntitulo noudattaa funktiota f(x) = (80 + x)(60 x) = x + 40x Koska tuotteiden hinta on vähintään 0 euroa, myyntihintaa voidaan laskea enintään 40 kertaa kahdella eurolla. Jos myyntihintaa nostetaan 60 kertaa, myynnin määrä laskee nollaan kappaleeseen. Hinnanmuutosten lukumäärä on välillä [ 40, 60]. Polynomifunktion suurin arvo löytyy välin päätepisteistä tai välillä olevista derivaatan nollakohdista. Derivoidaan funktio. f(x) = x + 40x f (x) = 4x + 40 Määritettään derivaatan nollakohta yhtälöstä f (x) = 0. 4x + 40 = 0 4x = 40 :( 4) x = 0 Määritetään myyntitulon arvo kohdissa x = 40, x = 0 ja x = 60. f( 40) = ( 40) + 40 ( 40) = 0 f(0) = = 000 f(60) = = 0 Suurin myyntitulo saadaan, kun hintaa nostetaan 0 kertaa, eli asetetaan myyntihinnaksi = 00 euroa. Suurin myyntitulo on 000 euroa. Vastaus: 00 euroa, 000 euroa

43 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään laatikon pohjaneliön sivun pituutta kirjaimella x ja korkeutta kirjaimella y. a) Laatikossa on pohjaneliön sivun mittaista sivua. Pohjaneliön sivun mitan on oltava vähintään 0 cm, muutoin laatikolla ei ole tilavuutta. Lisäksi, jos pohjaneliön sivut kuluttavat kaiken käytettävän terästangon, laatikolla ei ole tilavuutta. Joten x 960 : x 80 Pohjaneliön sivun mitta on valittava väliltä [0, 80] Laatikossa on 4 pystysuoraa tankoa. Pystysuoran tangon on oltava myös vähintään 0 cm. Jos pystysuorat tangot kuluttavat kaiken käytettävän terästangon, laatikolla ei ole tilavuutta. Joten 4y 960 :4 y 40 Korkeus on valittava väliltä [0, 40] Vastaus: pohjaneliön sivun mitta väliltä [0, 80], korkeus väliltä [0, 40]

44 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Laatikon tilavuus on V = x x y. Tiedetään, että x + 4y = 960 4y = 960 x :4 y = 40 x. Sijoitetaan y:n lauseke tilavuuden lausekkeeseen, jolloin muodostuu tilavuuden funktio pohjaneliön sivun pituuden x avulla. V(x) = x x (40 x) = 40x x Edellisessä kohdassa havaittiin, että x on välillä [0, 80]. Polynomifunktio saa suljetulla välillä suurimman arvonsa välin päätepisteessä tai välillä olevassa derivaatan nollakohdassa. Derivoidaan tilavuuden funktio. V(x) = 40x x V (x) = 480x 9x Määritetään derivaatan nollakohdat yhtälöstä V (x) = 0 sopivalla ohjelmalla. Yhtälön ratkaisut ovat x = 0 tai x 60. Tilavuuden suurin arvo on joko kohdassa x = 0, Lasketaan funktion arvo näissä kohdissa. V(0) = = 0 V ,... V(80) = = 0 Tilavuus on suurimmillaan 7, cm 8 dm Vastaus: 8 dm x 60 tai x = 80.

45 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Sovitetaan aineistoon eksponenttifunktiot. Funktio miesten aineistolle on f(x) =,64,0 x. Funktio naisten aineistolle on g(x) =,8 0,97 x. Vastaus: miehet: f(x) =,64,0 x, naiset: g(x) =,8 0,97 x b) Määritetään keskimääräinen muutosnopeus annettujen pisteiden kautta piirretyn sekantin kulmakertoimen avulla.

46 Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska tupakoitsijoiden osuus kasvaa x-akselilla siirryttäessä oikealle, kulmakerroin kertoo kuinka monta uutta keuhkosyöpä tapausta muodostuu lisää vuodessa, jos tupakoitsijoiden osuus kasvaa yhdellä prosentilla. Miehille muodostuu,6 tapausta enemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Naisille muodostuu,6 tapausta vähemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Vastaus: miehet:,6/prosenttiyksikkö, naiset:,6/prosenttiyksikkö c) Määritetään hetkellinen muutosnopeus kohtaan x = piirretyn tangentin kulmakertoimen avulla. Miehille muodostuu,69 tapausta enemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Naisille muodostuu,0 tapausta vähemmän yhtä prosenttiyksikön kasvua kohden. Vastaus: miehet:,69/prosenttiyksikkö, naiset:,0/prosenttiyksikkö