Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä
|
|
- Ahti Mäkelä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Maa Fotogrammetran, kuvatulknnan ja kaukokartotuksen semnaar Automaattnen 3D - mallnnus kalbromattomlta kuvasekvensseltä Terh Ahola 2005
2 Ssällysluettelo 1 Johdanto Perusteoraa Kohteen rekonstruont Projektvnen rekonstruont Metrnen rekonstruont Eppolaargeometraa Yleskatsaus menetelmään Vahe 1: Projektvnen rekonstruont Kuven yhteensovtus Vastnpsteden etsmnen Eppolaargeometran määrttämnen Projektomatrsen laskemnen ja rekonstruont Alustava rekonstruont Kuven lsäämnen Sädekmpputasotus Vahe 2: Itsekalbront Vahe 3: Syvyyskarttojen estmont Stereokuvaparn yhteensovtus Useden kuven lnkttämnen Vahe 4: 3D-malln muodostamnen Menetelmän tarkkuus ja luotettavuus Yhteenveto
3 1 Johdanto 3D-objekten mallntamnen kuvasekvensseltä on haastava ongelma ja se on ollut tärkeä tutkmuksen ahe fotogrammetran ja tetokonenäön alalla useta vuosa. Tetokonegrafkka, vrtuaaltodellsuus ja vestntä ovat uusa sovellusalueta joden myötä 3D-mallen vsuaalsen laadun ja tarkkuuden kehttämnen on saanut merkttävmmän aseman tällä tutkmusalalla. (Pollefeys et al. 2004: 207) Monet pernteset ratkasut 3D-mallen luomseen ovat akaa vevä ja nhn käytettävät latteet, kuten 3D-dgtontlatteet, laserskannert ja stereokojeet vaatvat huolellsta kästtelyä ja tarkkaa kalbronta. Lsäks nämä kojeet on suunnteltu anoastaan rajatulle syvyysasteelle el mallnnettava kohde e vo olla mten suur tahansa. Pernteset kojeet 3D-mallen luomseen ovat usen myös hyvn kallta. (Koch et al. 2000: 115) Uudet sovellusalueet 3D-mallnnuksessa, kuten 3D-kaupunkmallnnus, arkeologset sovellukset sekä masemamallnnus vaatvat yksnkertasen, halvan ja kenttäolosuhteta hyvn kestävän järjestelmän. Tämä nostaa eslle ajatuksen käyttää tavallsa kuluttajamarkknoden kuva- sekä vdeokamerota kohteden 3D-mallen muodostamsessa. (Pollefeys et al. 2000: 251) Tässä työssä estellään menetelmä, jonka avulla vodaan automaattsest luoda 3D-malleja kalbromattomlta kuvasekvensseltä, jotka on otettu tavallsella dgtaal- ta vdeokameralla. Tämän järjestelmän avulla vodaan välttää usemmat edellä mantusta ongelmsta. Järjestelmä e aseta rajotuksa mallnnettavan kohteen koolle. Penen objektn ta kokonasen maseman mallntamnen on yhtä helppoa. Lsäks kuva-aneston hankkmnen on vavatonta. Käyttäjä ottaa kuvat lkuttamalla kameraa vapaast kohteen ympärllä. Järjestelmä e vaad mtään etukätestetoa kohteesta ta kamerasta ja nän ollen raskata kalbronttomenptetä e tarvta lankaan. Kameran suhteellnen asema ja orentont saadaan suoraan kuva-anestosta. Muodostettu 3D-mall on skaalattu verso alkuperäsestä objektsta el rekonstruont on metrnen. Lsäks tekstuur malln saadaan kuvasekvenssstä. (Pollefeys et al. 2000: 251, Koch et al. 2000: 115) 2 Perusteoraa Perusteoraa kappale pohjautuu pääosn lähteeseen Inklä Kohteen rekonstruont Kohteen rekonstruont kuvlta on tämän estelmän pääahe. Rppuen stä, kunka paljon on saatavlla etukätestetoa kohteesta ta kamerasta saadaan tehtyä erlasa rekonstruonteja. Projektvnen ja metrnen rekonstruont ovat tämän järjestelmän kannalta keskesmmät. Kuvassa 1 on estetty erlasten lähtötetojen ja kalbronten vakutusta lopullseen rekonstruktoon. Esteltävä menetelmä e ssällä mtään tunnettua lähtönformaatota ta kalbronta. 2
4 Lähtökohtana on projektvnen kamera ja lopputuloksena kohteen metrnen rekonstruont. Projektvsen kameran lsäks kuvassa on estetty rekonstruontmenettelyt perspektvsen ja metrsen el kalbrodun kameran tapauksssa. Kuvasta käy lm selkeäst se tossekka, että malln absoluuttseen orentontn tarvtaan ana jotan tunnettua lähtönformaatota. Tetokonenäön ja fotogrammetran lähestymstavat kohteen rekonstruontn ovat erlaset. Fotogrammetrassa estmodaan kulma, jotka kuvataan kertomatrsn avulla. Tetokonenäössä sen sjaan estmodaan suoraan matrsn alkota. Tämä estelmä pohjautuu jälkmmäsen tavan käyttöön. Kuva 1. Kohteen rekonstruont erlasten lähtötetojen avulla (Inklä 2002). 3
5 2.1.1 Projektvnen rekonstruont Kohde vodaan rekonstruoda kalbromattomlta kamerolta pelkkä vastnpsteden kuvakoordnaatthavantoja hyväks käyttäen anoastaan 15- parametrseen projektvseen avaruusmuunnokseen ast. Tällasta rekonstruonta kutsutaan projektvseks. Projektvnen rekonstruont kohteesta on projektvsest väärstynyt. Jotta alkuperänen kohde saatasn tästä mallsta, vaats se yhteensä 15 parametrn ratkasemsta. Projektvsessa muunnoksessa sekä kulmat että etäsyydet muuttuvat. Suorat kuvautuvat suorks ja tasot tasoks. Lsäks kaksossuhteen arvo sälyy muuttumattomana. Kaksossuhde on etäsyyksen suhteden suhde Metrnen rekonstruont Kohteen rekonstruonta kutsutaan metrseks kun kohde pystytään määrttämään 7-parametrseen 3D-yhdenmuotosmuunnokseen ast. Metrsessä rekonstruonnssa kohteen muoto pystytään määrttämään. Yhdensuuntaset suorat sälyvät yhdensuuntasna ja kulmat evät muutu. Tuntemattomna sälyvät kohteen sjant, kertoasema sekä koko el mttakaavaa e tunneta. 2.2 Eppolaargeometraa Eppolaargeometralla tarkotetaan kuvatasojen lekkaamsta suorlla ja tasolla. Kyse on kuvaparn teorasta, jossa saman kohdepsteen kahdella er kuvalla näkyvät kuvapsteet el vastnpsteet kytketään tosnsa. Seuraavassa jotakn peruskästtetä (Kuva 2): Kannalla (b ) tarkotetaan kahden kuvan välsten projektokeskuksen välstä yhdyssuoraa. Eppolaartaso on melvaltanen taso, joka ssältää kannan. Eppolaarpste ( e j ) on kuvatason ja kannan lekkauspste ja se saadaan projsomalla kameran projektokeskus kuvalle j. Eppolaarsuora (l) on kuvatason ja eppolaartason lekkaussuora ja kakk kuvan eppolaarsuorat lekkaavat eppolaarpsteessä. Nästä määrttelystä vodaan johtaa seuraavat kahta kuvaa koskevat ehdot: Koplanarteettehdon mukaan projektokeskukset ja kuvapsteet, jotka vastaavat samaa kohdepstettä sjatsevat samassa tasossa, eppolaartasossa el seuraava yhtälö totetutuu: ' m Fm 0 (1) 1 2? 4
6 jossa F on eppolaarmatrs (fundamental matrx), 2? x2 y21? kuvapste ja m?? x? sen vastnpste tosella kuvalla. 1 1 y 11 Eppolaarehto sanoo, että annetun kuvapsteen 2? x2 y21? m?? x? sjatsee eppolaarsuoralla 1 1 y 11 l? Fm 2 (2) m? annettu m? vastnpste Jokaselle kuvapsteelle on ss olemassa tosella kuvalla suora, jolla kysesen psteen vastnpste sjatsee. Eppolaarehto on ertysen tärkeä kuven yhteensovttamsessa, jossa eppolaarehdon avulla vodaan huomattavast penentää etsntäavaruuden suuruutta kuven välsten vastnpsteden etsnnässä. Kuva 2. Kahden kuvan geometraa (Inklä 2002). 3 Yleskatsaus menetelmään Esteltävä menetelmä ssältää neljä päävahetta, jotka ovat projektvnen rekonstruont, tsekalbront, syvyyskarttojen estmont ja 3D-malln muodostamnen (Kuva 3). Vaheden edetessä saadaan vähtellen lsää tetoa kohteesta ja kamerasta. (Pollefeys et al. 2000: ) Kahdessa ensmmäsessä vaheessa, jotka ovat projektvnen rekonstruont ja tsekalbront, suortetaan vastnpsteden etsntä kuven välllä sekä järjestelmän kalbront. Kuvasekvenssn kalbromseen tarvtaan muutama luotettava vastnpstetä. Ensmmäsestä vaheesta saadaan tuloksena kohteen projektvnen mall ja kameroden pakat. Itsekalbronnn avulla projektvnen mall pävtetään metrseks. Molempen vaheden jälkeen rekonstruonta parannetaan sädekmpputasotuksen avulla. Tässä vaheessa rekonstruont on harva el va muutama vastnpstetä tunnetaan. (Pollefeys et al. 2000: , Koch et al. 1998: 56-57) 5
7 Seuraavassa vaheessa, joka on syvyyskarttojen estmont, löydetään vastnpsteet suurmmalle osalle kuvan pstestä. Tuloksena saadaan jokaselle kameralle theät syvyyskartat, jossa on kuvattuna jokasen kohdepsteen etäsyys kameran projektokeskuksesta. (Pollefeys et al. 2000: 254) Vmenen vahe on 3D-malln muodostamnen, jossa thestä syvyyskartosta tehdään 3D-pntamall ja kuvlta projsodaan tekstuur malln pnnalle. (Pollefeys et al. 2000: 254) Seuraavssa kappalessa tarkastellaan jokasta nästä vahesta ykstyskohtasemmn. Kuva 3. Menetelmän päävaheet (Pollefeys et al. 2000: 253). 6
8 4 Vahe 1: Projektvnen rekonstruont Projektvnen rekonstruont on järjestelmän kalbronnn ja kuven yhteensovttamsen ensmmänen vahe (Pollefeys et al. 2000: 255). Kalbronnlla tässä tapauksessa tarkotetaan kameran ssäsen kalbronnn määrttämstä sekä kameran suhteellsen pakan ja orentonnn määrttämstä kaklle kuvlle (Koch et al. 1998: 57). Itsekalbronta, jolla projektvnen rekonstruont pävtetään metrseks, tarkastellaan seuraavassa luvussa. 4.1 Kuven yhteensovtus Vastnpsteden etsmnen Aluks sekvenssn kuvat ovat täysn erllsä. Anoa oletus on, että kuvasekvenssn verekkäset kuvat evät eroa tosstaan lan paljon. Tällön samaa kohdepstettä kuvaaven kuvapsteden pakallsen ympärstön tuls olla samanlanen, jos kuvat ovat lähekkän tosaan sekvenssssä. Tämä oletus mahdollstaa automaattsten yhteensovtusalgortmen käyttämsen. (Pollefeys et al. 2000: 255) Kuven yhteensovttamsta varten on kuvlta löydettävä muutama erttän luotettava vastnpstetä. Psteet, jolla on pakallsessa ympärstössä suur ntensteettvahtelu, ovat sopva vastnpsteks. Tällaset psteet löydetään käyttäen jotan kulmantunnstnta, kuten Harrsn kulmatunnstnta. Kulmen tunnstamseks on sekä x- että y-suunnassa oltava rttävä määrtysvoma. Tämä tarkotta stä, että gradentt on suur el muutos kuvalla olevssa harmaasävyarvossa on suur. Vastnpsteet löydetylle kulmapstelle saadaan yhteensovtusmenettelyn avulla, jossa pentä kkunaa (esm. 7x7 pkselä) lkutetaan psteen ympärstössä ja lasketaan ntensteettarvojen rstkorrelaatokertomen arvo. Etsntäalue vodaan rajata samalle alueelle mllä kyseessä oleva pste on tosella kuvalla, sllä kuvat oletetaan otetuks sten, ettevät ne eroa paljon tosstaan (Kuva 4(a)). Pste, jolle saadaan suurn rstkorrelaatokertomen arvo, oletetaan vastnpsteeks. (Koch et al. 1998: 57, Pollefeys et al. 2000: 255) Kuva 4. Vastnpsteden etsnnässä käytetty a) alkuperänen etsntäalue, b) eppolaarehtoon perustuva etsntäalue ja c) psteen ennustetun pakan ympärllä oleva etsntäalue (Pollefeys et al. 2000: 256) Eppolaargeometran määrttämnen Muutamen luotettaven vastnpsteden löytymsen jälkeen, vodaan kuvaparlle laskea eppolaargeometra. Eppolaargeometra kuvaa kahden kuvan 7
9 välsen geometran täydellsest. Lsäks sen avulla vodaan postaa yhteensovtuksessa saatuja väärä vastnpstepareja ja helpottaa uusen vastnpsteden etsmstä. Eppolaargeometra lasketaan parettan kuvasekvenssn kuvlle löydettyjen vastnpsteden perusteella. Eppolaargeometran laskemnen tarkottaa eppolaarmatrsn F laskemsta, joka ssältää kaken nformaaton eppolaargeometrasta. Eppolaarmatrs vodaan laskea pelkstä vastnpstehavannosta seuraavan kaavan avulla: [ xx yx x xy yy y x y 1] f? 0 (3) jossa m? [ x y 1] ja m? [ x y 1] ovat vastnpsteden homogeenset koordnaatt ja f on vektor, joka ssältää eppolaarmatrsn alkot. (Pollefeys et al. 2000: 255, Pollefeys et al. 2004: 210, Inklä 2002) Eppolaargeometran laskemsen jälkeen etstään lsää vastnpstetä geometran parantamseks. Eppolaarmatrsn avulla vodaan laskea eppolaarsuorat kuvan kaklle pstelle (Kaava 2). Etsntäalue vodaan nän rajata eppolaarsuoran ympärlle muutamaan pkseln (Kuva 4(b)). Eppolaarmatrsn laskemnen suoraan vastnpsteparen avulla käyttäen perntestä penmmän nelösumman (PNS) menetelmää on epävarmaa, sllä väären vastnpsteparen el karkeden vrheden havatsemnen on vakeaa PNSmenetelmässä, jossa vrhe jakautuu tasasest (rppuen geometrasta) usesn havantohn. Sen tähden tarvtaan tällasta vankempaa (robust) menetelmää, jossa ensn lasketaan alustava geometra muutamen luotettaven vastnpsteden avulla ja sen jälkeen parannetaan geometraa uuslla vastnpsteparella. (Pollefeys et al. 2000: 255, 2004: ) 4.2 Projektomatrsen laskemnen ja rekonstruont Alustava rekonstruont Yhteensovtus tehdään ensn kahdelle ensmmäselle kuvalle, jolle määrtetty kalbront tom referenssnä muta kuva lsättäessä. Edellä kuvatun yhteensovtusmenettelyn jälkeen vodaan laskea kameroden projektomatrst, jotka kuvaavat objektn projsotumsta kuvalle. Projektomatrsella luodaan projektvnen mallkoordnaatsto ja ne vodaan laskea saadusta eppolaarmatrsesta seuraaven kaavojen avulla: P?? 0? ja? TF e? 1 I P 1 1? (4) jossa T on melvaltanen vastasymmetrnen (antsymmetrc) matrs, eppolaarmatrs kuvan 1 ja välllä sekä e 1 vastaava eppolaarpste. (Koch et al. 1998: 58, Inklä 2002, Pollefeys et al. 2000: 253) Tämän jälkeen on mahdollsta tehdä alustava rekonstruont nällä kahdella kuvalla kolmonnn avulla. Kolmont tetokonenäössä on sama asa kun avaruuseteenpänlekkaus fotogrammetrassa. Kameraparametrt ovat tunnettuja (tässä tapauksessa projektvset kameraparametrt el projektomatrsn F 1 8
10 alkot), kuvakoordnaatt on mtattu ja kohdekoordnaatt ratkastaan. Kahden psteen kuvaussäteet evät lekkaa tosaan täydellsest ja 3D-psteen pakka joudutaan laskemaan tasottamalla. Yleensä käytetään penmmän nelösumman (PNS) menetelmää. (Pollefeys et al. 2000: 255, 2004: 212, Inklä 2002) Kuven lsäämnen Jokaselle uudelle kuvalle, joka lsätään kalbrontn ja rekonstruontn määrtetään sen eppolaargeometra ja projektomatrst (Kaava 4) suhteessa alustavaan rekonstruontn ja tämän jälkeen rekonstruont pävtetään. Pävtys ssältää akasemmn rekonstruotujen psteden kohdekoordnaatten lkarvojen parantamsen sekä kuvalta löydettyjen uusen kulmapsteden valmstamsen seuraavaa sovtusta varten. Psteen parantamsessa vodaan etsntäalue rajata jo rekonstruodun psteen projekton lähelle tosella kuvalla (Kuva 4(c)). Tällanen pävtysmenettely mahdollstaa sen, että alkuperästen ltospsteden e tarvtse pysyä näkyvllä koko ajan, sllä kalbrontpstejoukko laajenee jokasen uuden kuvan mukana (Kuva 5). (Pollefeys et al. 2000: ) Kuva 5. Kuven yhteensovtus ja uusen kuven lsäämnen kalbrontn ja rekonstruontn (Pollefeys et al. 2004: 213). 4.3 Sädekmpputasotus Kun kalbront ja rekonstruont on laskettu koko kuvasekvensslle, stä parannetaan globaaln mnmonnn el sädekmpputasotuksen avulla. Aemmn saadut kameroden kalbrontparametrt P ja kohdepsteden pakat M tomvat lkarvona sädekmpputasotuksessa. Tavotteena on määrttää 9
11 tarkat kameroden, P k, parametrt ja kohdepsteden 3D-pakat, tehdään mnmomalla havattujen kuvapsteden kohdepsteden?? M M j. Tämä m j ja takasn projsotujen P välsten etäsyyksen nelötä. Kuvasekvensslle, jossa on m kuvaa ja n pstettä seuraava krteer tuls mnmoda: m? n? P, M j? 1 j? 1? m, P? M? mn d (5) j j 2 Mnmontongelma on valtavan suur, sllä kuva saattaa olla useta kymmenä ja pstetä jokasella kuvalla lähes sata, mkä johtaa useden tuhansen muuttujen ratkasuun. Yhtälöryhmät ovat kutenkn tyypllsest hyvn harvoja el suurn osa alkosta on nolla, jollon ongelman ratkasu helpottuu. Yhtälöryhmen harva rakenne johtuu stä, että kukn havantoyhtälö ssältää van penen osan tuntemattomsta. (Pollefeys et al. 2004: 212,214) 5 Vahe 2: Itsekalbront Itsekalbronnn avulla projektvnen rekonstruont pävtetään automaattsest metrseks el kohteen muoto saadaan selvlle. Tämä tsekalbronnn määrtelmä eroaa fotogrammetrassa perntesest käytetystä määrtelmästä, jossa tsekalbront koostuu kamerakalbrontparametren määrttämsestä anoastaan vastnpsteden perusteella. Jotta projektvnen rekonstruont saatasn rajattua metrseks, tarvtaan vähntään kahdeksan rajotetta. Tämä johtuu stä, että projektvnen rekonstruont on määrtelty anoastaan 15- parametrseen projektvseen muunnokseen ast ja metrnen rekonstruont 7- parametrseen 3D-yhdenmuotosmuunnokseen ast, jollon näden muunnosten vällle jää kahdeksan tuntematonta parametra. (Koch et al. 2000: 118, Pollefeys et al. 1998: 9, 2000: 252) Metrsen rekonstruonnn tapauksessa kameran projektomatrst näyttävät seuraavalta:? R R t? P? K?, jossa? f x s u x? K???? f y u y? (6)? 1? jossa R on kertomatrs ja t srtovektor, jotka yhdessä määrttävät kameran ulkosen orentonnn kuvalle. K ssältää ssäset kameraparametrt. f x ja f kuvaavat horsontaalsta ja vertkaalsta polttovälä pkselessä, y?? u? u, u x y on kameran pääpste ja s määrttää kuvan väärstymän. Tekemällä oletuksa ssässsä kameraparametressa, vodaan projektvnen rekonstruont pävttää metrseks. (Koch et al. 2000: 118) Teorassa metrsen rekonstruonnn saavuttamnen on mahdollsta anoastaan oletuksella, että kuvassa e ole väärstymä el pkselt ovat ortogonaalsa. 10
12 Tällanen menettely vaats vähntään kahdeksan kuvan sekvenssn, jollon jokanen kuva tos yhden uuden rajotteen. Käytännössä rajotteta on kutenkn tarjolla enemmän. Ssässtä kameraparametresta leveyden ja korkeuden suhteen oletetaan usen olevan yks el polttovälks tulee anoastaan f. Tarvttaessa myös pääpsteen vodaan olettaa olevan keskellä kuvaa. (Pollefeys et al. 1998: 9-11) Käytännön tapa saada kalbrontparametrt ssästen kameraparametren rajottesta on käyttää absoluuttsen karton (conc) kästettä. Tämä vrtuaalnen karto on olemassa jokasella kuvalla. Se vodaan löytää anoastaan ssässsä kameraparametressä oleven rajotteden avulla. Kun karto on löydetty, se sall metrsten mttausten tekemsen ja nän rekonstruonnn pävttämsen projektvsesta metrseks. Kun metrnen rekonstruont ja kalbront on saavutettu, parannetaan stä sädekmpputasotuksen avulla, kuten tehtn projektvsessa tapauksessa (kohta 4.2.3). (Pollefeys et al. 1998: 10) Kuvassa 6 on estetty tsekalbronnn vakutus rekonstruontn el kuvat kohteesta ennen ja jälkeen tsekalbronnn. Kuva 6. Rekonstruont ennen (yllä) ja jälkeen (alla) tsekalbronnn (Pollefeys et al. 2000: 257). 6 Vahe 3: Syvyyskarttojen estmont Järjestelmän kalbronnn tuloksena saadaan anoastaan harva rekonstruont kohteesta. Tämä e kutenkaan velä ole rttävä tuottamaan geometrsest oketa ja vsuaalsest tyydyttävä kohdemalleja. Vastnpsteet täytyykn löytää lähes kaklle pstelle kuvlla tyydyttävän malln akaansaamseks. Koska edellsessä vaheessa on saatu kamerakalbront kaklle kuvlle, vodaan käyttää 11
13 algortmeja, jotka on kehtetty kalbrodulle stereokuvaparelle. (Koch et al. 1998: 59, 2000: 118) Seuraavassa estelty menetelmä koostuu kahdesta vaheesta. Aluks yhteensovtus tehdään stereokuvaparelle ja lasketaan syvyyskartat jokaselle kuvalle. Tämän jälkeen er kuven syvyyskartat lnktetään yhteseks mallks globaaln ja tarkemman syvyysestmaatn akaansaamseks. 6.1 Stereokuvaparn yhteensovtus Yhteensovtusprosess helpottuu huomattavast, kun kuvat okastaan stereokuvauksen normaaltapaukseen (Kuva 7). Tällön kuvausakselt ovat yhdensuuntaset ja kohtsuorassa kuvakantaa vasten. Okastut kuvat vodaan orentoda sten, että eppolaarsuorat yhtyvät kuvan rven kanssa. (Koch et al. 1998: 60) Kuva 7. Kaks esmerkkkuvaa lnnasekvenssstä sekä vastaavat stereokuvauksen normaaltapaukseen okastut kuvat (Pollefeys et al. 2004: 217). Vastnpstettä etstään stereokuvan rveltä lkuttamalla pentä kkunaa (5x5 ta 7x7 pkselä) ptkn tätä lnjaa etsen rstkorrelaatofunkton maksmarvoa. Vastnpsteden löytymsen jälkeen vodaan laskea psteden välset parallakst. Parallakslla tarkotetaan kuvlla olevaa eroa psteen x-koordnaatssa el kannan suunnassa. Koska kuvat on okastu stereokuvauksen normaaltapaukseen, vodaan kuvaparn pstelle estmoda tsenäset syvyysestmaatt suoraan parallakshavannosta kaavalla: Z Bf /? p x, jossa p x x 2? x1? (7) B on kanta el projektokeskusten välnen etäsyys, f on polttoväl ja vastnpsteden välnen parallaks. Syvyysestmaatlla tarkotetaan ss kohdepsteen etäsyyttä kameran projektokeskuksesta. (Koch et al. 1998: 60-61, Haggrén 2003) 6.2 Useden kuven lnkttämnen Stereoparettan suortettu vastnpsteden etsntä mahdollstaa tsenästen syvyysestmaatten laskemsen jokaselle kuvalle el kameralle. Optmaalnen ja tarkemp syvyysestmaatt saadaan yhdstämällä er kuven estmaatt yhteseks mallks. Tämä vodaan suorttaa vastnpsteden lnktysalgortmn p x 12
14 avulla yhdstämällä useat kuvat tosnsa. Menettely hyödyntää sekä suurettä penkantasen stereokuvauksen hyvä puola. (Koch et al. 1998: 61) Penkantasessa stereokuvauksessa kanta on huomattavast penemp kun keskmääränen maseman syvyys. Kuvat on tällön otettu sekvenssnä usesta heman tosstaan pokkeavsta pakosta. Etuja tällasessa menettelyssä ovat helppo vastnpsteden etsmnen ja suurn osa kuvapstestä löytyy myös veresltä kuvlta. Hattana ovat pen kolmontkulma ja tästä johtuva huono syvyystarkkuus. Suurkantasessa stereokuvauksessa otetaan muutama kuva sten, että kanta on suur. Tällön kolmontkulma on suur ja syvyystarkkuus hyvä, mutta vastnpsteden etsmnen on vakeaa ja kuvapsteet ovat erlasa veresllä kuvlla. Nyt esteltävä menettely yhdstää molempen tapojen hyvät puolet ja mahdollstaa tarkkojen syvyyskarttojen tuottamsen jokaselle kuvalle. (Koch et al. 1998: 61-62) Valtaan yks kuva referensskuvaks ja lnktetään vastnpsteet ketjuks eteen- ja taaksepän referensskuvasta. Jokaselle vastnpsteelle suhteessa referensskuvaan lasketaan syvyysestmaatt, joka tarkottaa kameran projektokeskuksen etäsyyttä kohdepsteestä, kolmonnn el eteenpänlekkauksen avulla (Kuva 8). Syvyysvrhe vähenee kolmontkulman kasvaessa. Kakk syvyysestmaatt, jotka pysyvät määrtetyn epävarmuusrajan ssällä, otetaan mukaan lopullsen estmaatn laskemseen. Jos laskettu syvyysestmaatt menee epävarmuusrajan ulkopuolelle, lnktys loppuu ja shen ast saadut estmaatt muodostavat lopullsen syvyysestmaatn kyseselle psteelle (Kuva 8). Syvyysestmaatt yhdstetään käyttäen 1-D kalmansuodatnta. Menetelmä tostetaan kuvan kaklle pstelle ja sekvenssn kaklle kuvlle. Tuloksena saadaan theät ja tarkat syvyyskartat jokaselle kuvalle. (Koch et al. 1998: 62-64) Kuva 8. Kolmontkulman vakutus syvyysvrheeseen (vasemmalla) ja lnktyksen loppumnen johtuen epävarmasta vastnpsteestä (Pollefeys et al. 2004: 219). 7 Vahe 4: 3D-malln muodostamnen Edellsen vaheen tuloksena saadut syvyyskartat kuvaavat jokaselle psteelle ja kuvalle saatua omaa syvyysestmaatta. 3D-malln muodostamsta varten syvyyskartosta tehdään pntamall, jota approksmodaan psteden avulla 13
15 muodostetun pntakolmoverkon avulla (Kuva 9). Pntamalla käyttäen vähennetään mallssa oleven psteden määrää oleellsn ja geometra yksnkertastuu. Varsnanen pntamall saadaan projsomalla kolmoverkon kulmapsteet takasn avaruuteen syvyysarvojen mukaan (Kuva 9). (Pollefeys et al. 2004: 220) Pntamalln muodostamsen jälkeen tekstuur projsodaan kuvlta malln päälle ja nän saadaan realstsemp ja vsuaalsemp kuva kohteesta (Kuva 9). (Pollefeys et al. 2004: 221) Edellä kuvatun menettelyn avulla saadaan erllset mallt jokaselle kuvalle. Monmutkasempen muotojen rekonstruomsessa on välttämätöntä yhdstää useden syvyyskarttojen tulokset. Tämä vodaan tehdä yksnkertasest luomalla ensn erllset mallt ja stten lataamalle ne yhdessä grafkkajärjestelmään. Vahtoehtosest vodaan yhdstää er kuvlta tehdyt pntakolmoverkot ja muodostaa sten yhtenen 3D-mall. Yhdstämsmenettelyjen tarkemp tarkastelu menee tämän estelmän ulkopuolelle. (Pollefeys et al. 2004: 221) Kuva 9. Ylhäällä vasemmalla syvyyskartasta muodostettu pntakolmoverkko, keskellä eräs sekvenssn kuvsta ja okealla syvyyskartta. Alhaalla vasemmalla teksturotu 3D-mall ja okealla pntakolmoverkon ja syvyysarvojen avulla muodostettu pntamall. (Pollefeys et al. 2004: 221) 8 Menetelmän tarkkuus ja luotettavuus Menetelmän tarkkuutta ja rekonstruonnn luotettavuutta vodaan arvoda käyttäen muutama erlasa laatumttareta. Eräs mttar kuvaa vastnpsteden ylmäärtystä el laskee kunka monella kuvalla sama kohdepste näkyy. Tähän lttyen on määrtelty näkyvyyttä kuvaava mttar, joka tarkottaa referenss- 14
16 kuvaan lnktettyjen kuven lukumäärää. Tonen tärkeä omnasuus menetelmän tarkkuutta arvotaessa on syvyyskarttojen theys ja tarkkuus. Syvyyskarttojen theyttä kuvaa täyttöaste F ja tarkkuutta syvyysvrhe E. Alla olevat esmerkt ovat tässä estelmässä esmerkknä käytetystä lnnasekvenssstä laskettuja lukuja. Sekvenss koostuu 22 kuvasta, jotka on otettu 720x576 pkselresoluutolla. (Koch et al. 1998: 65-66) Laatumttaren määrtelmät: Näkyvyys V[kuvat]: keskmääränen kuven lukumäärä, jotka on lnktetty referensskuvaan Täyttöaste F[%]: rekonstruotujen pkseleden määrä / pkseleden kokonasmäärä Syvyysvrhe E[%]: suhteellnen syvyysvrhe e kaklle rekonstruodulle pkselelle Kuvassa 10 on vertaltu sekvenssnptuuden vakutusta suhteellseen syvyysvrheeseen ja näkyvyyteen 2-15 kuvan sekvenssellä. Tulokssta huomataan, että keskmäärn 5 kuvan sekvenssessä kakka kuva velä hyödynnetään. Lnktyksen määrän tulee esn suhteellsen syvyysvrheen arvossa, joka 2 kuvan sekvenssssä on yl 4% ja vähene n. 1,2%:n 15 kuvan sekvenssssä. (Pollefeys et al. 2004: 220) Kolmontn vaadtaan vähntään kahden kuvan psteden lnkttämstä tosnsa. Syvyysestmaatn luotettavuuden parantamseks tuls pste havata useammalla kun kahdella kuvalla. Vomme nän määrttää mnm näkyvyyden Vmn syvyysestmaatlle el mnmmäärän kuva, jolla psteen tulee näkyä. Tällänen rajote mahdollstaa epäluotettaven syvyysestmaatten karsmsen el karkeden vrheden määrä penenee, mutta samalla se vähentää syvyyskartan täyttöastetta. Kuvasta 10 nähdään mten mnmnäkyvyyden lsäämnen vakuttaa suhteellseen syvyysvrheeseen ja täyttöasteeseen kuvasekvenssn ptuudella N=11. Kuvstä nähdään, että täyttöaste putoaa 92%:sta 70%:n, mutta samalla syvyysvrhe putoaa 0,5%:n epävarmojen syvyysestmaatten karsmsen johdosta. (Pollefeys et al. 2004: 220) 15
17 Kuva 10. Vasemmalla: Sekvenssn ptuuden N vakutus näkyvyyteen V ja suhteellseen syvyysvrheeseen E. Keskellä: Mnmnäkyvyyden Vmn vakutus täyttöasteeseen F ja syvyysvrheeseen E, kun N=11. Okealla: Syvyyskartta (yllä) ja vrhekartta (alla), kun N=11 ja Vmn=3. (Pollefeys et al. 2004: 220) 9 Yhteenveto Edellä on estelty täysn automaattnen menetelmä, jonka avulla vodaan muodostaa metrsä 3D-malleja kalbromattomlta kuvasekvensseltä käyttäen tavallsta dgtaal- ta vdeokameraa. Menetelmä sop käytettäväks usesn sovellusaluesn, sllä se on joustava, nopea ja tarkka. Erlasten automaattsten yhteensovtus- ja rekonstruontalgortmen käyttö varmstaa menetelmän nopeuden ja vankan yhteensovtusalgortmn ja sädekmpputasotuksen käyttö tarkkuuden. Saadut 3D-mallt ovat metrsä el muoto on tunnettu. Malln absoluuttseen orentontn vaadttasn setsemän parametrn ratkasu el vähntään kaks koordnaateltaan tunnettua kohdepstettä sekä yks tunnettu korkeus. 16
18 Lähdeluettelo Haggrén H., Fotogrammetran perusteet, luentomonste. Teknllnen Korkeakoulu, Fotogrammetran ja kaukokartotuksen laboratoro. Inklä K., Analyyttnen fotogrammetra, opetusmonste. Teknllnen Korkeakoulu, Fotogrammetran ja kaukokartotuksen laboratoro. Koch R., Pollefeys M., Van Gool L.,1998. Mult Vewpont stereo from uncalbrated vdeo sequences. Computer Vson - ECCV 98, Vol I, Lecture Notes Computer Scence 1406, Koch R., Pollefeys M., Van Gool L., Realstc surface resconstructon of 3D scenes from uncalbrated mage sequences. The Journal of Vsualzaton and Computer Anmaton 2000, 11, John Wley & Sons, Ltd. Pollefeys M., Koch R., Van Gool L., Self-calbraton and metrc reconstructon n spte of varyng and unknown nternal camera parameters. Internatonal Journal of Computer Vson 32(1), Kluwer Academc Publshers. Pollefeys M., Koch R., Vergauwen M., Van Gool L., Automated reconstructon of 3D scenes from sequences of mages. ISPRS Journal of Photogrammetry & Remote sensng 55, Elsever Scence Pollefeys M., Koch R., Van Gool L., Vergauwen M., Verbest F., Cornels K., Tops J, Vsual Modellng wth a Hand-Held Camera. In Internatonal Journal of Computer Vson 59(3), Kluwer Academc Publshers. 17
Jaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
Lisätiedot3D-mallintaminen konvergenttikuvilta
Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotFDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA
FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto
Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals
LisätiedotTIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010
TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana
LisätiedotAquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607
046.01.00 Rev.0607 D GB NL FIN Bedenungsanletung Operatng nstructons Gebruksaanwjzng Käyttöohje 3-10 11-18 19-26 27-34 120 Automaattnen pyörvä laser kallstustomnnolla: Itsetasaus vaakasuorassa tasossa
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotKUVIEN LAADUN ANALYSOINTI
KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn
LisätiedotValmistelut INSTALLATION INFORMATION
Valmstelut 1 Pergo-lamnaattlattan mukana tomtetaan kuvallset ohjeet. Alla olevssa tekstessä on seltykset kuvn. Ohjeet on jaettu kolmeen er osa-alueeseen, jotka ovat valmstelu, asennus ja svous. Suosttelemme,
LisätiedotSegmentointimenetelmien käyttökelpoisuus
Metsäteteen akakauskrja t e d o n a n t o Rasa Sell Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa Rasa Sell Sell, R. 00. Segmentontmenetelmen käyttökelposuus ennakkokuvonnssa. Metsäteteen akakauskrja
LisätiedotKarttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö
Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotPalkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014
Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Mat-2.142 Optmontopn semnaar K-2000 Montavoteopmont Semnaarestelmän tvstelmä Pentt Säynätjo 22.3.2000 Tchebycheff-menetelmä ja STEM 1. Johdanto Tchebycheff-menetelmä ja STEM ovat vuorovauttesa montavoteoptmontmenetelmä.
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
Lisätiedoton määritelty tarkemmin kohdassa 2.3 ja pi kohdassa 2.2.
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 7.8.08 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotModerni portfolioteoria
Modern portfoloteora Helsngn Ylopsto Kansantalousteteen Kanddaatntutkelma 4.12.2006 Juho Kostanen (013297143) juho.kostanen@helsnk.f 2 1. Johdanto... 3 2. Sjotusmarkknat... 4 2.1. Osakemarkknat... 4 2.2.
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon liittyvät laskentakaavat ja periaatteet
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 3..209 (7) Rahastoonsrtovelvotteeseen, perustekorkoon ja vakuutusmaksukorkoon lttyvät laskentakaavat ja peraatteet Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotTietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotMaanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta
Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro
LisätiedotKansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely
Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
LisätiedotKollektiivinen korvausvastuu
Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedotd L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotSU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
Lisätiedot= m B splini esitys. B splini esitys. Tasaiset B splinit
.2. spln estys ézer estyksen yksnkertasuus ja voma ovat ettämättä sen suoson salasuus. Kakesta huolmatta slläkn on rajotuksensa, jotka ovat yltettävssä splnejä käyttäen. Lsäämällä kontrollpstetä saadaan
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
LisätiedotRahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen
SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
LisätiedotPPSS. Roolikäyttäytymisanalyysi 28.03.2011. Tämän raportin on tuottanut: MLP Modular Learning Processes Oy Äyritie 8 A FIN 01510 Vantaa info@mlp.
PP Roolkäyttäytymsanalyys Roolkäyttäytymsanalyys Rool: Krjanptäjä Asema: Laskentapäällkkö Organsaato: Mallyrtys Tekjä: Matt Vrtanen 8.0.0 Tämän raportn on tuottanut: MLP Modular Learnng Processes Oy Äyrte
LisätiedotTimo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto
Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht
LisätiedotIlmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa
Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja
LisätiedotSähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi
Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen
LisätiedotSähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen
LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta
LisätiedotVIP X1600 Verkkovideopalvelin. Asennus- ja käyttöopas
VIP X1600 Verkkovdeopalveln f Asennus- ja käyttöopas VIP X1600 Ssällysluettelo f 3 Ssällysluettelo 1 Aluks 7 1.1 Tetoja tästä oppaasta 7 1.2 Tässä oppaassa noudatetut käytännöt 7 1.3 Käyttötarkotus 7
LisätiedotKuntoilijan juoksumalli
Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall
LisätiedotIlmari Juva. Jalkapallo-ottelun lopputuloksen stokastinen mallintaminen
Ilmar Juva 45727R Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Jalkaallo-ottelun loutuloksen stokastnen mallntamnen 1 Johdanto Jalkaallo-ottelun loutuloksen mallntamsesta tlastollsn ja todennäkösyyslaskun
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotGeneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio
Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset
LisätiedotYrityksen teoria ja sopimukset
Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu
LisätiedotMekatronisten koneiden reaaliaikainen simulointi Linux-ympäristössä
Lappeenrannan teknllnen korkeakoulu Koneteknkan osasto Konstruktoteknkan latos Mekatronsten koneden reaalakanen smulont Lnux-ympärstössä Dplomtyön ahe on hyväksytty koneteknkan osaston osastoneuvostossa
LisätiedotEpätäydelliset sopimukset
Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén
LisätiedotSaatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö
Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta AIKA- IKÄ- JA KOHORTTIVAIKUTUKSET KOTITALOUKSIEN RAHOITUSVARALLISUUDEN RAKENTEISIIN SUOMESSA VUOSINA 1994 2004 Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Maalskuu
LisätiedotPalkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2017
Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2017 Tarkstuslsta Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest
LisätiedotVERKKOJEN MITOITUKSESTA
J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotSisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot
DEWALT DW03201 Ssällysluettelo Latteen asennus - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Johdanto- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Yleskuva -
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 4..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 5 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotAsennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600..
Asennus- ja käyttöohjeet Vdeotermnaal 2600.. Ssällysluettelo Latekuvaus...3 Asennus...4 Lassuojuksen rrottamnen...5 Käyttö...5 Normaal puhekäyttö...6 Kutsun vastaanotto... 6 Puheen suunnan ohjaus... 7
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotT p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.
Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n
Lisätiedot7. Keko. Tarkastellaan vielä yhtä tapaa toteuttaa sivulla 162 määritelty tietotyyppi joukko
7. Keko Tarkastellaan velä yhtä tapaa toteuttaa svulla 6 määrtelty tetotyypp joukko Tällä kertaa emme kutenkaan toteuta normaala operaatovalkomaa, vaan olemme knnostuneta anoastaan kolmesta operaatosta:
Lisätiedot