Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla
|
|
|
- Tapio Korpela
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Sari Ropponen
2 Agenda Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuun arviointi Ennustevirhe Ennustejakauma Bootstrap-/simulointimenetelmä Yhteenveto 2
3 Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Korvausvastuu = sattuneiden vahinkojen maksamattomat korvaukset Korvausvastuu (kollektiivivaraus) arvioidaan riskiltään samanlaisten vakuutusten joukolle yhteisesti Ennuste pyritään yleensä saamaan odotusarvon tasolle sattumisvuosi kehitysvuosi ? ?? ??? ???? ????? 3
4 Korvausvastuu vahinkovakuutuksessa Halutaan tietää enemmän kuin vain odotusarvo: Riskienhallinta Korvausvastuun riittävyys Kuinka suuri varmuuslisä odotusarvon lisäksi? Solvenssi II,, reserviriski Sisäiset mallit Ennustevirhe Ennustejakauma Simuloinnin hyödyntäminen 4
5 Korvausvastuun arviointi Poisson-malli ylihajonnalla (over-dispersed Poisson, ODP) Stokastinen malli Mallinnetaan inkrementaalisten korvausten odotusarvot Ennusteet sovittamalla malli havaittuihin korvauksiin Varianssi kuvaa todellisen arvon vaihtelua odotusarvosta Ottaa huomioon korvausten taustalla olevan satunnaisuuden Vain stokastisessa mallissa saadaan arvioitua ennustevirheen suuruutta ja muodostettua ennustejakauma! 5
6 Ennustevirhe Todellisen arvon ja ennusteen välinen ero Mitä pienemmäksi ennustevirhe arvioidaan, sitä tarkempi on ennuste* Käytetylle mallille arvioitu ennustevirheen vaihtelu ei saisi olla liian suuri Karkeasti esitettynä: Ennustevirhe = estimointivirhe + prosessivirhe Mallin sovittamisesta aiheutuva epävarmuus. Millaista vaihtelua puhdas satunnaisuus aiheuttaa? Saadaan mallissa oletetusta varianssista. Tiedetäänkö vielä, mikä on suurin arvo, jonka korvausvastuu saa esim. 90 % todennäköisyydellä? * Ennustevirhettä mitataan varianssin ja hajonnan avulla (mean square error of prediction, prediction error) 6
7 Ennustejakauma Kertoo korvausvastuun kaikki mahdolliset arvot ja todennäköisyydet, joilla korvausvastuu toteutuu enintään kyseisen arvon suuruisena Odotusarvo vastaa korvausvastuun odotusarvoa Hajonta mittaa ennustevirheen suuruutta Saadaan paljon hyödyllistä tietoa varmuuslisän määrittämiseksi ja korvausvastuun riittävyyden arvioimiseksi Koska korvausvastuu on tulevien korvausten summa, joilla jokaisella on oma jakaumansa, ennustejakauman laskeminen analyyttisesti on raskasta 90 % Korvausvastuu, 7
8 Bootstrap-/simulointimenetelmä Bootstrap-menetelmä Korvataan teoreettiset päätelmät useasti toistetuilla empiirisillä päätelmillä: Tuotetaan pseudo-korvauskolmio alkuperäisestä korvauskolmiosta (otanta takaisinpanolla) Lasketaan tuleville korvauksille uudet odotusarvot alkuperäisellä menetelmällä Edelliset vaiheet toistetaan useita kertoja Simulointi odotusarvojen vaihtelu alkuperäisestä kertoo estimointivirheen suuruudesta Simuloidaan realisaatiot tuleville korvauksille niille oletetuista jakaumista ottaa huomioon prosessivirheen tuottaa realisaation korvausvastuusta 8
9 Bootstrap-/simulointimenetelmä Korvausvastuun mallin määrittely ja sovitus (ODP), jäännösten laskenta Bootstrap- vaihe Uusien estimaattien laskenta (mallin sovitus uuteen korvauskolmioon tai chain-ladder -menetelmän hyödyntäminen) (estimointivirhe) Simulointivaihe (prosessivirhe) Uusi korvauskolmio (jäännösten otanta takaisinpanolla) Toteutuvien korvausten simulointi jakaumasta, jonka odotusarvo ja varianssi edellisestä kohdasta Toistetaan useita kertoja. Joka kierroksen jälkeen simuloinnin tulokset talletetaan. Tuloksista lasketut korvausvastuut muodostavat ennustejakauman 9
10 Bootstrap-/simulointimenetelmä Korvausvastuun odotusarvo Tuloksista 75 % jäänyt pienemmäksi kuin ,030 0,025 0,020 0,015 0,010 0,005 0, Reserve Hajonta on 249, joka on 2 % korvausvastuun odotusarvosta 10
11 Yhteenveto Ennustevirhettä arvioimalla saadaan käsitys siitä, kuinka paljon toteutuvat korvaukset voivat poiketa ennusteestaan Korvausvastuun riittävyyden varmistamiseksi ennustejakauma tuo hyödyllistä lisätietoa myös riskienhallintaa, sisäistä mallinnusta ja tulevia viranomaisvaatimuksia varten (Solvenssi II) Bootstrap-/simulointimenetelmällä saadaan helposti arvio ennustevirheestä ja ennustejakaumasta Vaatii taustalle stokastisen mallin, esim. Poisson-mallin ylihajonnalla. Datan tunteminen, mallin valinta ja tulosten analysointi on edelleen tärkeää Esim. menetelmällä saatu arvio keskimääräisestä ennustevirheestä ei sisällä virhettä siitä, että on valittu väärä malli mallinnettavalle ilmiölle 11
Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla
Korvausvastuun ennustejakauma bootstrap-menetelmän avulla Suppea SHV-työ Sari Ropponen 13.11.2008 Sisällysluettelo Abstract...1 1 Johdanto...2 2 Korvausvastuun arviointi...4 2.1 Korvauskolmio lähtötietona...4
Arvioi korvausvastuun kokonaismäärä PPCI-menetelmällä. Ratkaisuohje: Maksettujen korvausten inkrementaalinen kolmio
Y1. Arvioi korvausvastuun kokonaismäärä PPCI-menetelmällä. Maksettujen korvausten inkrementaalinen kolmio 1 2 3 4 2012 13 000 4 000 400 100 2013 12 000 3 500 300 2014 10 000 3 000 2015 8 000 Vahinkojen
Vakuutusmatematiikan sovellukset a) miksi lineaariset mallit eivät välttämättä sovi käytettäväksi vakuutusalalla
Y1. a) miksi lineaariset mallit eivät välttämättä sovi käytettäväksi vakuutusalalla b) yleistetty lineaarinen malli voidaan esittää seuraavasti ja edelleen matriisimuodossa: Y = g -1 (Xβ + ξ) + ε. Selitä
Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä
1/17 Epävarmuuden hallinta bootstrap-menetelmillä Esimerkkinä taloudellinen arviointi Jaakko Nevalainen Tampereen yliopisto Metodifestivaalit 2015 2/17 Sisältö 1 Johdanto 2 Tavanomainen bootstrap Bootstrap-menettelyn
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Helena
Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet: Vastuuvelan Best Estimaten laskeminen. Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 26.4.
Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet: Vastuuvelan Best Estimaten laskeminen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 26.4.2007 Pasi Laaksonen Vastuuvelka Solvenssi II: kehikossa Vastuuvelka
Mittaustulosten tilastollinen käsittely
Mittaustulosten tilastollinen käsittely n kertaa toistetun mittauksen tulos lasketaan aritmeettisena keskiarvona n 1 x = x i n i= 1 Mittaustuloksen hajonnasta aiheutuvaa epävarmuutta kuvaa keskiarvon keskivirhe
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Vahinkojen selvittelykuluvaraus vahinkovakuutuksessa
Vahinkojen selvittelykuluvaraus vahinkovakuutuksessa SHV-harjoitustyö Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Mika Sirviö Vakuutuskeskus Vakuutuskeskuksen muodostavat: Liikennevakuutuskeskus
Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki
Simulointi Varianssinhallintaa Esimerkki M C Esimerkki Tarkastellaan lasersäteen sirontaa partikkelikerroksesta Jukka Räbinän pro gradu 2005 Tavoitteena simuloida sirontakuvion tunnuslukuja Monte Carlo
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.
SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(5) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LASKENTATOIMEN OSAAMINEN vs. LIIKETALOUDELLINEN ENNUSTETARKKUUS
LASKENTATOIMEN OSAAMINEN vs. LIIKETALOUDELLINEN ENNUSTETARKKUUS Helsinki 26..200 4 2 5 Seminaari 26..200 Mikko Hakola Laskentatoimen osaaminen Testatut tahot Selvittäjiä Yrittäjiä KLT-kirjanpitäjiä Virallisen
Vakavaraisuusvaade vahinkovakuutuksessa
Vakavaraisuusvaade vahinkovakuutuksessa Aktuaariyhdistyksen solvenssiseminaari Antti Pulkkinen ja Sari Ropponen 18.5.2010 5/25/10 1 Sisältö QIS5[-luonnoksen] tärkeimmät muutokset SCR: yleiskuva SCR non-life
MATEMAATIKKONA VAKUUTUSYHTIÖSSÄ. Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kokous Helsingin Yliopisto, Kumpulan kampus
MATEMAATIKKONA VAKUUTUSYHTIÖSSÄ Sari Ropponen 11.10.2016 Suomen Aktuaariyhdistyksen kokous Helsingin Yliopisto, Kumpulan kampus VAKUUTUSMATEMAATIKON ASEMA TUNNISTETTU TÄRKEÄKSI yhtiölaki (2008/521) 6.
Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu
Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu (Valmiin työn esittely) 11.4.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Työn tavoite Tutkia evoluutioalgoritmia (Lee
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
Matemaatikot ja tilastotieteilijät
Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat
Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
l (φ; y) = l(θ(φ); y) Toinen derivaatta saadaan tulon derivaatan laskusäännöllä Uudelleenparametroidun mallin Fisherin informaatio on
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 018 Harjoitus B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1 (Monisteen tehtävä 14) Olkoon f Y (y; θ) tilastollinen malli, jonka
Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen
Seurantalaskimen simulointi- ja suorituskykymallien vertailu (valmiin työn esittely) Joona Karjalainen 08.09.2014 Ohjaaja: DI Mikko Harju Valvoja: Prof. Kai Virtanen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
Aktuaarijaosto 28.6.2016 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2017 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN 2011-2015 KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ KORVAUKSET / VAKUUTUSVUOSI
Tieverkon kunnon stokastinen ennustemalli ja sen soveltaminen riskienhallintaan
Mat-2.4177 Operaatiotutkimuksen projektityöseminaari Tieverkon kunnon stokastinen ennustemalli ja sen soveltaminen riskienhallintaan Projektisuunnitelma 11.2.2009 Toimeksiantajat: Pöyry Infra Oy (Pekka
Bayesin pelit. Kalle Siukola. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly
Bayesin pelit Kalle Siukola MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Toistetun pelin esittäminen automaatin avulla Ekstensiivisen muodon puu on tehoton esitystapa, jos peliä
LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.
Aktuaarijaosto 7.8.212 LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORJATTU RISKITUTKIMUS VUODELLE 213 LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA 27-211 KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
Jatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
ARTIKKELEITA. 1. Johdanto. 2. Regressiomalli ja ennustaminen. Mikael Linden VTT, kansantaloustieteen professori Joensuun yliopisto
Kansantaloudellinen aikakauskirja 100. vsk. 4/2004 ARTIKKELEITA Vuoden 2004 alkoholiverotuksen muutoksen kulutusennusteet vuosille 2004 2012 Mikael Linden VTT, kansantaloustieteen professori Joensuun yliopisto
Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
STOKASTISET PROSESSIT
TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.
Aktuaarijaosto 30.6.2015 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2016 HUOM: ajoneuvoryhmittelyä on tarkennettu vs. edellinen riskitutkimus (harmaat palkit kuvassa) LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO-
4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
Tilastotieteen aihehakemisto
Tilastotieteen aihehakemisto hakusana ARIMA ARMA autokorrelaatio autokovarianssi autoregressiivinen malli Bayes-verkot, alkeet TILS350 Bayes-tilastotiede 2 Bayes-verkot, kausaalitulkinta bootstrap, alkeet
Vakuutusmatematiikan sovellukset klo 9-15
SHV - tutkinto Vakuutusmatematiikan sovellukset 19.11.2009 klo 9-15 1. Erään vakuutuslajin hinnoittelu perustuu kahteen tariffitekijään A ja B. Taustaoletuksena on, että yksittäisessä tariffitekijöiden
Matemaatikkona vakuutusyhtiössä. Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus
Matemaatikkona vakuutusyhtiössä Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus Miksi vakuutusmatemaatikoilla on töitä Vakuutusyhtiölaki (2008/521) 6. luku Vakuutusyhtiössä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
Aktuaarijaosto 30.6.2018 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2019 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN 2013-2017 KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ HENKILÖAUTOT, YKS. KÄYTTÖ
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Skenaariot suurpetokantojen verotuksen suunnittelussa
Skenaariot suurpetokantojen verotuksen suunnittelussa Katja Holmala Riistapäivät 19.1.2016 Esityksen rakenne Tausta Mallit ilveksen populaatiokehityksestä Malli 1: populaatiomalli Malli 2: skenaario- eli
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
Identifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi
T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 12. maaliskuuta 2002 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Stokastinen analyysi, miksi? Tavallinen Petri-verkkojen saavutettavuusanalyysi
D ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.
SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(6) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä
Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma
Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE
VARIANSSIANALYYSI ANALYSIS OF VARIANCE 1 Suomalaisten aikuisten pituusjakauma:.8.7.6.5.4.3.2.1 14 15 16 17 18 19 2 21 Jakauma ei ole normaali, sen olettaminen sellaiseksi johtaa virheellisiin päätelmiin.
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4B Bayesläinen tilastollinen päättely Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
Harha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Identifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
MTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
Mitä kalibrointitodistus kertoo?
Mitä kalibrointitodistus kertoo? Luotettavuutta päästökauppaan liittyviin mittauksiin MIKES 21.9.2006 Martti Heinonen Tavoite Laitteen kalibroinnista hyödytään vain jos sen tuloksia käytetään hyväksi.
Todennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA 2009-2013 KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.
Aktuaarijaosto 2.7.2014 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2015 LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA 2009-2013 KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
Aktuaarijaosto 28.6.2019 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2020 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN 2014-2018 KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ HENKILÖAUTOT, YKS. KÄYTTÖ
Muuttujien eliminointi
228 Muuttujien eliminointi Toistuvat alilauseet voidaan evaluoida kerran ja niiden arvo talletetaan käytettäväksi aina tarvittaessa Tarkastellaan muuttujien eliminointi -algoritmia lausekkeen P(Murto jussikäy,
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.
Aktuaarijaosto 6.8.213 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 214 LIIKENNEVAKUUTUKSEN KORVAUKSET AJONEUVO- RYHMITTÄIN VAKUUTUSVUOTTA KOHTI VUOSINA 28-212 KESKIMÄÄRIN vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ KORVAUKSET
Vakuutusyhtiö Mopokone Oyj:llä on seuraavat maksettujen korvausten tilastot koskien mopedivakuutuksia, jotka ovat voimassa kalenterivuoden kerrallaan:
SHV Vakuutusmatematiikan sovellukset 30.11.2006 1 1. (10p) Vakuutusyhtiö Mopokone Oyj:llä on seuraavat maksettujen korvausten tilastot koskien mopedivakuutuksia, jotka ovat voimassa kalenterivuoden kerrallaan:
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
Ito-prosessit. Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma. S ysteemianalyysin. Laboratorio
Ito-prosessit Määritelmä Geometrinen Brownin liike Keskiarvoon palautuvat prosessit Iton lemma Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Ito-prosessit Brownin liikkeen yleistys (Ito prosessi) x(t) : dx
Tilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Logistiikkajärjestelmien mallintaminen - käytännön sovelluksia
FORS-seminaari 2005 - Infrastruktuuri ja logistiikka Logistiikkajärjestelmien mallintaminen - käytännön sovelluksia Ville Hyvönen EP-Logistics Oy Taustaa Ville Hyvönen DI (TKK, teollisuustalous, tuotannon
LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ
Aktuaarijaosto 21.6.2017 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKITUTKIMUS VUODELLE 2018 LIIKENNEVAKUUTUKSEN RISKIMAKSUT AJONEUVO- RYHMITTÄIN 2012-2016 KESKIMÄÄRIN vs. vs. HENKILÖAUTOT, YKS.KÄYTTÖ HENKILÖAUTOT, YKS. KÄYTTÖ
Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä
Uskottavuusperusteisten luottamusvlien korjaaminen bootstrap-menetelmllpro gradu -esitelm p. 1/35 Uskottavuusperusteisten luottamusvälien korjaaminen bootstrap-menetelmällä Pro gradu -esitelmä 29.4.2009
Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria.
5.10.2017/1 MTTTP1, luento 5.10.2017 KERTAUSTA Luottamisvälin avulla voidaan arvioida populaation tuntematonta parametria. Muodostetaan väli, joka peittää parametrin etukäteen valitulla todennäköisyydellä,
pitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5A Tilastollisen merkitsevyyden testaus (+ jatkuvan parametrin Bayes-päättely) Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
pitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf
KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN
KORJAUSVELAN LASKENTAMALLI KÄYTTÖÖN KEHTO-foorumi Seinäjoki 23.10.2014 TAUSTAA Korjausvelan määrityshanke vuonna 2012-2013 Katujen ja viheralueiden korjausvelan periaatteita ei ollut aiemmin määritelty
T Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi
T-79.179 Rinnakkaiset ja hajautetut digitaaliset järjestelmät Stokastinen analyysi 15. maaliskuuta 2004 T-79.179: Stokastinen analyysi 8-1 Mihin tarvitaan stokastista analyysiä? Saavutettavuusanalyysissä
Mittausepävarmuuden laskeminen ISO mukaisesti. Esimerkki: Campylobacter
Mittausepävarmuuden laskeminen ISO 19036 mukaisesti. Esimerkki: Campylobacter Marjaana Hakkinen Erikoistutkija, Elintarvike- ja rehumikrobiologia Mikrobiologisten tutkimusten mittausepävarmuus 18.3.2019
Suomenlahden öljykuljetusten biologisten riskien mallintaminen ja päätösanalyysi Bayes-verkoilla
Suomenlahden öljykuljetusten biologisten riskien mallintaminen ja päätösanalyysi Bayes-verkoilla Annukka Lehikoinen 02.12.2008 Helsingin yliopisto Bio- ja ympäristötieteiden laitos Luonnonvarojen käytön
Luottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely)
Gaussiset prosessit derivaattahavainnoilla regressio-ongelmassa (valmiin työn esittely) Ohjaaja: TkT Aki Vehtari Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Kandidaattiseminaari 21 1.11.21 Esityksen rakenne Tausta Derivaattahavaintojen
https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
1 MTTTP3 Tilastollisen päättelyn perusteet 2 Luennot 8.1.2015 ja 13.1.2015 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=6909&i dx=5&uilang=fi&lang=fi&lvv=2014
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
Genetiikan perusteet 2009
Genetiikan perusteet 2009 Malli selittää, mutta myös ennustaa ja ennusteen voi testata kokeella. Mendel testasi F 2 -mallinsa tuottamalla itsepölytyksellä F 3 -polven Seuraava sukupolvi tai toinen, riippumaton
P (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
PYHTÄÄN KUNTA RUOTSINPYHTÄÄN KUNTA
Liite 16 PYHTÄÄN KUNTA RUOTSINPYHTÄÄN KUNTA VT 7 MELUALUEEN LEVEYS 6.10.2005 SUUNNITTELUKESKUS OY RAPORTTI Turku / M. Sairanen VT 7, melualueen leveys 6.10.2005 SISÄLLYSLUETTELO 1. JOHDANTO... 1 2. LASKENNAN
Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo