5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa"

Transkriptio

1 71 5. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään edellä esitetty määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, 3 n sitten kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen :ään. Kaikissa tapauksissa yhteisenä ominaisuutena on integraalin liittyminen kumulatiivisiin ilmiöihin. Esimerkiksi tasoalueen (region) R pintatiheyden ρ(x,y) ja pienten pintaalkioiden a i tulojen ρ(x,y) a i summista saadaan R:n massa. Ajatuksena on jakaa integroitava tason joukko pieniin palasiin, kuten yhden muuttujan tapauksessa väli [a,b] jaettiin osaväleihin. Nyt joukot voivat kuitenkin olla huomattavasti monimutkaisempia kuin yhden muuttujan tapauksessa. Oheisissa kuvissa alue R on jaettu samankokoisiin (mikä ei yleisesti ole välttämätöntä) palasiin R k sisältäpäin.

2 72 2 Avaruudessa sanomme väleiksi sellaisia suorakulmioita, jotka ovat sivuiltaan koordinaattiakselien suuntaisia. Karteesista tuloa hyväksi käyttäen suljetun välin muoto on siis 2 I = [a,b] [c,d] = {(x,y) a x b, c y d}. Vastaavasti määritellään avoimet välit. Suljetun välin pinta-ala katsotaan selviöksi ja sovitaan, että se on a(i) = (b-a)(d-c). Avoimen välin pinta-ala on sama. (Tämä voitaisiin todistaa alla olevan pinta-alamitan määritelmän avulla.)

3 73 Suljetut välit ovat sisäosiltaan erillisiä, jos niiden sisäosat eivät leikkaa. (Reunoissa saa olla yhteisiä pisteitä.) Olkoon R tason rajoitettu joukko. Joukkoa R voidaan approksimoida sisältäpäin suljettujen sisäosiltaan erillisten välien R k R äärellisillä yhdisteillä: k R k R. Vastaavasti ulkopuolelta: R Sk. k Näillä välien yhdisteillä on äärellisinä summina pinta-alat: a( Rk )=a(r 1 )+ a(r 2 )+..., a( Sk )=a(s 1 )+ a(s 2 )+.... k k Joukon R sisäala on kaikkien mainitun tyyppisten sisäpuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pinta-alojen pienin yläraja, ja vastaavasti ulkoala ulkopuolelta approksimoivien väliyhdisteiden pintaalojen suurin alaraja. Joukko R on (Jordan-)mitallinen, jos sisäala ja ulkoala ovat samat. Silloin yhteinen arvo on joukon R ala (Jordan-mitta, pinta-ala, pintamitta,...), merkitään a(r). Joukko R on nollamittainen, jos sen ala on 0. Jonkin ominaisuuden sanotaan olevan voimassa melkein kaikkialla X:ssä, jos se on voimassa kaikkialla X:ssä, paitsi mahdollisesti nollamittaisessa X:n osajoukossa. Voidaan osoittaa, että rajoitettu tasojoukko R on Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reuna on nollamittainen. Siis ei-mitalliset joukot ovat siinä mielessä melko "patologisia", että niillä on paljon reunaa: Reunan pinta-ala on ei-mitallisilla joukoilla positiivinen.

4 74 Nyt voidaan tasointegraali joukon R yli määritellä analogisesti yhden muuttujan tapauksen kanssa Riemannin summilla. Kun integroimisjoukon jako pienempiin osiin tehdään, jokaisen jakoon kuuluvan osajoukon pinta-ala on määritelty, mikäli osat ovat Jordan-mitallisia. Koska Jordan mitallisilla joukoilla pinta-ala on sama kuin sisäala, voidaan jako ilmeisesti korvata approksimatiivisesti välien yhdisteellä. 2 Funktion f: Riemannin integraali yli tasojoukon R määritellään Riemannin summien raja-arvona, kun jakoa tihennetään: R f ( xyda, ) = lim f( x, y) a D 0 i i i i Jako tässä määritelmässä voidaan aina saada aikaan siten, että R sijoitetaan yhteen väliin I = [a,b] [c,d] ja jaetaan yksiulotteiset välit [a,b] ja [c,d] kukin osaväleihin. Kun näiden osavälien jakoja tihennetään, tihenee välin I jako ja samalla R:n jako. Merkintä D tarkoittaa jaon normia, joka voidaan laskea osavälien jakojen normien D 1 ja D 2 avulla muodossa D = (D 1,D 2 ) 2. Pinta-ala a i kuvaa jaon yleisen välin R i pinta-alaa ja piste (x i,y i ) on väliltä R i valittu jokin piste.

5 Voidaan todistaa, että funktio f on Jordan-mitallisessa joukossa R Riemann-integroituva täsmälleen silloin, kun se on siellä rajoitettu ja melkein kaikkialla jatkuva. (Lebesguen integroituvuusehto Riemannintegraalille) 75

6 76 Erityisesti siis jos R on suljettu (rajoitettuhan se on jo aikaisemman oletuksen mukaan) niin jokainen jatkuva funktio on kompaktissa joukossa R rajoitettu ja siis Riemann-integroituva. Jos funktio f(x,y)=1 joukossa R, niin integraali antaa R:n pinta-alan (Jordan mitan): ar ( ) = 1da. R Toisin ilmaistuna: Joukon R karakteristisen funktion χ R (x) = 1, kun x R, χ R (x) =0 muuten, 2 integraali yli koko tason on joukon R pinta-ala: a(r) = χ R da. 2 Kytkentä tasointegraalin ja tilavuuden välille saadaan, kun todetaan, että kahden muuttujan funktion f(x,y) 0 kuvaajan ja xy-tason välisen kappaleen tilavuus on {(x,y,z) R 3 (x,y) R, 0 z f(x,y)} f ( xyda, ). R (Vertaa yhden muuttujan funktion tilanteeseen: Kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala on määrätty integraali.)

7 77 Oheisessa kuviossa on pinta z=f(x,y) ja sitä on approksimoitu kohdassa ( x1, y 1) tason palasella T 1, joka on ( x, y) -tason suuntainen ja jonka projektio tälle on R 1. Pylvään tilavuus on silloin f ( x1, y1) x1 y1. Tilavuus saadaan siis Riemannin summana. (Jälkimmäisessä kuvassa pylvään mittasuhteita on liioiteltu suuremmiksi.)

8 Pylväiden tihentämistä ja summaamista havainnollistaa myös seuraava kuva: 78

9 Tällainen integraali voidaan laskea kaksinkertaisena integraalina edellyttäen, että pohja R on esitettävissä kahden funktion välissä olevana tasoalueena, jonka voi "maalata" kordinaattiakselien suuntaisin vedoin, kuten seuraavassa kuvassa: 79

10 80 Integraali voidaan esittää iteroituna integraalina, jolloin laskenta palautuu kahdeksi yhden muuttujan peräkkäiseksi integroinniksi: b g 2( x ) 2( ) merk. b g x f ( xyda, ) = ( f( xydydx, ) ) = f( xydydx, ). R a g1( x) a g1( x) Sisempi integraali antaa yllä olevassa kuvassa näkyvän pinta-alan A( x ): g2( x) A( x) = f( x, y) dy. g1( x) Tätä laskettaessa muuttuja x on siis parametrina vakion roolissa. Jos alueen R muoto sallii, niin integraalissa on mahdollista vaihtaa integroimisjärjestystä. Kun edellä "maalattiin" R pystysuorin vedoin eli y- akselin suuntaisesti, niin silloin maalataan vaakasuorin vedoin eli x- akselin suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos R on suorakulmio [a,b] [c,d]: b d d b f ( x, y) da = ( f ( x, y) dy) dx = ( f ( x, y) dx) dy. R a c c a Muuttujan vaihto tasointegraalissa edellyttää ns. Jacobin determinantin käsitettä, ja siihen palataan myöhemmin differentiaalilaskennan yhteydessä. Mainitaan kuitenkin tärkein tapaus, eli siirtyminen napakoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsinϕ : f ( x, y) da = f ( rcos ϕ, rsin ϕ) rdrdϕ. R S Huomaa lausekkeeseen ilmaantunut tekijä r (joka nyt on se mainittu Jacobin determinantti). Integroimisalue R on tässä muuntunut (, ) r ϕ -tason alueeksi S. Alla olevassa kuvassa on esimerkki tilanteesta, jossa napakoordinaatteihin siirtyminen on järkevää:

11 81 3 π /2 f ( xyda, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ) rdϕdr. R 0 0

12 82 Avaruusintegraali 3 Integrointia 3-ulotteisen avaruuden osajoukon Ω yli sanotaan usein avaruusintegroinniksi, vaikka sitä useampiulotteisetkaan integraalit eivät ole harvinaisia. Yleistys 2-ulotteisesta tapauksesta on suoraviivaista. Väli on nyt 3- ulotteinen suorakulmainen särmiö, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaiset: I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Välin I mitta on tilavuus ja vastaavanlaisella konstruktiolla kuin tasossa saadaan mielivaltaisen rajoitetun joukon Ω sisä- ja ulkotilavuus. Joukko on Jordan-mitallinen, jos sisä- ja ulkotilavuus ovat samat, ja silloin niiden yhteinen arvo on joukon Ω tilavuus (3-ulotteinen Jordan-mitta, tilavuusmitta). Nollamittainen joukko on sellainen, jonka tilavuus on 0. Rajoitetun joukon voidaan osoittaa olevan Jordan-mitallinen täsmälleen silloin, kun sen reunan tilavuus on 0. Riemannin integraali määritellään Riemannin summien raja-arvona. Rajoitettu joukko Ω, jonka yli integroidaan, sijoitetaan riittävän isoon väliin ("laatikkoon"), jonka koordinaattiakselien suuntaiset särmät jaetaan yksiulotteisen välin jakojen mukaisesti. Kun kunkin särmän jakoa tihennetään, tihenee laatikon jako ja Riemannin summan edellyttämä tihennys saadaan aikaan. Avaruusintegraali yli joukon Ω merkitään f ( x ) dv. Ω Lebesguen integroituvuusehto on voimassa avaruusintegraaleillekin. Oheisessa kuvassa on kolmiulotteisen avaruuden kappale ja sen sisällä näkyvillä yksi väli eli suorakulmainen särmiö Q 1, ns. tilavuuselementti.

13 83 Funktion f ( xyz=,, ) 1 integraali antaa nyt joukon tilavuuden: v(ω) = 1dv. Ω Myös avaruusintegraalit voidaan laskea iteroituina integraaleina, jos alue Ω on sopivaa muotoa. Kappale Ω on silloin rakennettava kolmiulotteisista tilavuuselementeistä koordinaattiakseleiden suuntaisesti. Helpoin tilanne on, jos Ω on suorakulmainen särmiö [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]: Ω b1 b2 b3 f ( xyzdv,, ) = ( ( f( xyzdzdydx,, ) ) ) a1 a2 a3 merk. b1 b2 b3 a1a2 a3 f ( xyzdzdydx,, ) =. Siirtyminen sylinterikoordinaatistoon x = rcos ϕ, y= rsin ϕ, z= z tapahtuu samaan tapaan kuin tasossa napakoordinaatteihin: f ( xyzdv,, ) = f( rcos ϕ, rsin ϕ, zrdrd ) ϕdz, Ω Ωrϕ z missä Ω on muunnettu sylinterikoordinaatein ilmaistuksi alueeksi Ω rϕ z.

14 84 Siirtyminen pallokoordinaatistoon: Pallokoordinaatit ovat x = ρ sinφcos θ, y= ρsinφsin θ, z= ρcosφ, jotka selittyvät oheisesta kuviosta. Alemmassa kuvassa on esitetty pisteen (2 2,2 6,4 2) pallokoordinaatit. Muunnoskaava integraalille on nyt 2 f ( xyzdv,, ) = f( ρ sinφcos θρ, sinφsin θρ, cos φρ ) sinφdρφθ d d. Ω Ωrφθ

15 85 n Integraali avaruudessa määritellään täysin analogisesti edellisten kanssa: Korvataan vain dimensiot 2 tai 3 yleisellä n:llä, väli on n:n reaalivälin karteesinen tulo. Ala ja tilavuus korvautuvat yleisellä Jordanin mitalla. n Lopuksi todettakoon Jordanin mitasta: Se täyttää kaikki :n mitalle yleensä asetetut vaatimukset (tyhjän joukon mitta on 0, ei-negatiivinen, siirto-invariantti, äärellisesti additiivinen) paitsi numeroituvasti additiivisuutta. Erillisten joukkojen yhdisteen mitta on joukkojen mittojen summa äärellisen monelle joukolle, mutta Jordan-mitan tapauksessa ei välttämättä äärettömän monen. Tämä aiheuttaa ongelmia monissa rajaarvokysymyksissä, josta syystä Jordan-mitta ei ole kovin yleisessä käytössä pitemmälle menevissä matemaattisissa tarkasteluissa (sen ja Riemannin integraalin on korvannut mm. Lebesguen mitta ja integraali).

16 86 Esimerkkejä 1. I= kolmio. R xyda, missä R on suorien y=x ja x=4 sekä x-akselin rajaama 4 x Silloin I = xydydx = x 1x dx = 1x dx = 14 = Sama tulos saadaan myös integroimalla toisessa järjestyksessä eli 44 xydxdy. 0 y

17 87 2. Lasketaan sen nelitahokkaan tilavuus, jota rajoittavat taso 2x + y+ z= 2 ja koordinaattitasot. Piirtämällä kuvio nähdään, että tilavuus saadaan funktion z= f( x, y) = 2 2x y integraalina yli xy-tason alueen R. V= R 12 2x (2 2 x yda ) = (2 2 x ydydx ) 0 0 (2(2 x ) 2 x (2 2 x ) (2 2 x ) ) dx = 2/3. 2 = 1 2

18 88 3. Lasketaan sen avaruuden R 3 ei-negatiivisessa oktantissa olevan kappaleen tilavuus, jota rajoittavat koordinaattitasot, taso x + y = 2 ja 2 pinta z= 4 x. 2 2 y V= (4 x ) da= (4 x ) dxdy= =. R 0 0

19 Lasketaan sen kappaleen tilavuus, jonka sylinteri x + y = 2y leikkaa pallosta x + y + z = 4. π 2sinθ (siirryttiin napakoordinaatistoon) V = 2 4 x y da = 2 4 r rdrdθ R 0 0 π /22sinθ 0 0 π /2 4 rrdrd 2 θ d d = 4 = 2 ((4 4sin θ ) 4 ) θ = (cos θ 1) θ 0 2 3/2 3/ = π.

20 90 5. Lasketaan funktion f ( xy, ) = xyavaruusintegraali yli nelitahokkaan, jota rajoittavat koordinaattitasot ja taso 2x + y+ z= x 4 2x y xydv = xydzdydx = = Ω Sama integraali voitaisiin laskea myös esimerkiksi järjestyksessä 4 4 y(4 y z)/2 xydxdzdy (Katso alla olevaa kuvaa.) 0 0 0

21 91

22 Lasketaan pinnan z = 4 y ja tasojen x + z= 4, x= 0, z= 0 rajoittaman kappaleen tilavuus. V= y 4 z dv = dxdzdy = =. 5 Ω 2 0 0

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena

Lisätiedot

1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa

1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 2010 1. Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Taso-integraali 2 Yleistetään määrätyn integraalin käsite ensin tasoon, sitten 3 n kolmiulotteiseen avaruuteen ja lopuksi yleiseen

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,

Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f, 7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G: 7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan

Lisätiedot

Vektorilaskenta. Luennot / 54

Vektorilaskenta. Luennot / 54 Luennot 22.09.-27.09.2017 1 / 54 Välin mitta Alasumma 1 Alasumma 2 Yläsumma 1 Yläsumma 2 Tihennys 1 Tihennys 2 Integroituvuus Jatkuva 1 Jatkuva 2 Jatkuva 3 Jatkuva 4 Jatkuva 5 Jatkuva 6 2 / 54 Välin mitta

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit

Vektorilaskenta Luennot / 42. Vektorilaskenta Napakoordinaatit Luennot 19.09.-21.09. 1 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) 2 / 42 Määritelmä (1/3) Määritelmä (1/3) Määritelmä (2/3) Määritelmä (3/3) Tason pisteen P sijainti voidaan karteesisten

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Sijoitus integraaliin

Sijoitus integraaliin 1 / 32 Muunnetaan funktion f integraali yli joukon U integraaliksi yli joukon V tekemällä sijoitus x = g(y), missä g : V U on bijektio (ainakin), kun se rajoitetaan funktioksi g : V U. Uudeksi integroitavaksi

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Differentiaalilaskennan tehtäviä

Differentiaalilaskennan tehtäviä Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista

Lisätiedot

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

4.3.7 Epäoleellinen integraali

4.3.7 Epäoleellinen integraali Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9

Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi hum 8.0. Numeerinen integrointi Numeerisia integrointimenetelmiä on useita. Käsitellään tässä yhteydessä kuitenkin vain Gauss in integrointia, joka on elementtimenetelmän yhteydessä

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille

Mitta- ja integraaliteoria 2 Harjoitus 1, Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja m(a) < 1. Näytä, että josonp>1javakio M<1, joille Harjoitus 1, 30.10.2015 1. Olkoon f : A! [0, 1] mitallinen ja ma) < 1. Näytä, että josonp>1javakio Mt} apple M 2. Olkoon f 2 L 1 A). Näytä, että 2 kaikilla

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?

Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria? Juha Väätäinen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesä 2012 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Gammafunktio

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Vektorilaskenta. Luennot / 66. Vektorilaskenta Lineaarikuvauksen vaikutus mittaan Sijoitus integraaliin.

Vektorilaskenta. Luennot / 66. Vektorilaskenta Lineaarikuvauksen vaikutus mittaan Sijoitus integraaliin. Luennot 03.10. - 05.10.2018 1 / 66 Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien vaihto 2 / 66 Mitta Mitta Yleistä Laatikko Venytys Venytys, 2 Rivin lisääminen toiseen Rivien

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Lebesguen mitta ja integraali

Lebesguen mitta ja integraali Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot