Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus

Transkriptio

1 Ramseyn lauseen ensimmäinen sovellus Jarkko Peltomäki 30. huhtikuuta 2012 Tässä esseessä esitetään Frank Ramseyn vuonna 1929 esittämä tulos logiikassa, jonka todistamiseksi hän osoitti myöhemmin tärkeäksi osoittautuneen ns. Ramseyn lauseen. 1 Historiaa lyhyesti ja merkintöjä Kerrataan lyhyesti Ramseyn teorian merkinnät. Merkinnät ovat samat kuin kirjassa [3]. Merkitään X = joukon X kardinaliteetti, [n] = mielivaltainen joukko, jossa on n alkiota, [X] k = {Y : Y X, Y = k}, [X] k = {Y : Y X, Y k}, [n] k = [[n]] k, [n] k = [[n]] k. n (l 1,..., l r ) k, jos mille tahansa joukon [n] k r-väritykselle, on olemassa sellainen indeksi 1 i r ja joukko T [n], T = l i, että joukko [T] k on väritetty värillä i. Jos l 1 =... = l r, niin merkitään m (l) r. k Ramseyn luvun R k (l 1,..., l r ) määritellään olevan pienin sellainen luku n, että n (l 1,..., l r ) k. 1

2 Jos k = 2, niin alaindeksi k jätetään merkitsemättä. Voidaan esimerkiksi osoittaa, että R(3, 3) = 6. Frank Plumpton Ramsey ( ) osoitti vuonna 1929 artikkelissaan [1], että Ramseyn luvut ovat olemassa. Hän todisti ensin alla olevan ns. äärettömän version Ramseyn lauseesta, jonka jälkeen hän osoitti äärellisen version eli lukujen R k (l 1,..., l r ) olemassaolon. Alla on lauseen väite alkuperäisessä muodossa. Theorem A. Let Γ be an infinite class, and µ, and r positive integers; and let all those sub-classes of Γ which have exactly r members, or, as we may say, let all r-combinations of the members of Γ be divided in any manner into µ mutually exclusive classes C i (i = 1, 2,..., µ), so that every r-combination is a member of one and only one C i ; then, assuming the axiom of selections, Γ must contain an infinite sub-class such that all the r-combinations of the members of belong to the same C i. Lauseen tekivät tunnetuksi Paul Erdős ja George Szekeres vuonna 1935 artikkelissa [2], jossa he sovelsivat Ramseyn tulosta kombinatoriseen ongelmaan liittyen tason pisteisiin. Ramsey itse ei soveltanut tulostaan kombinatoriikkaan, vaan omaan tutkimusalaansa, logiikkaan. Tässä esseessä käydään läpi Ramseyn artikkelin [1] tulos modernissa muodossa. Esitys perustuu kirjaan [3], jossa on paljon lisätietoa Ramseyn teoriasta. 2 Kombinatoriikkaa Tässä luvussa osoitetaan tarpeellisia työkaluja Ramseyn tuloksen todistamiseksi. Itse Ramseyn lauseen todistusta ei käydä läpi, vaan se oletetaan tunnetuksi. Lause 2.1. Jokaista luonnollista lukua n 1,..., n k, t kohden on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin seuraava on voimassa: Olkoon S = m, ja joukolle [S] i annettu n i -väritys kaikilla 1 i k. Tällöin on olemassa sellainen T S, T = t, että joukko [T] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k. Todistus. Määritellään luvut m 1,... m k seuraavasti: m 1 (t) 1 n 1, m i (m i 1 ) i n i, 2 i k. Osoitetaan, että voidaan valita M = m k. Olkoon S = m > m k, ja joukolle [S] k annettu jokin väritys. Lukujen m i määrittelyn perusteella on olemassa sellainen joukko 2

3 S k 1 S, S k 1 = m k 1, että joukko [S k 1 ] k on monokromaattinen. Samoin löydetään sellainen joukko S k 2 S k 1, S k 2 = m k 2, että joukko [S k 2 ] k 1 on monokromaattinen. Jatkamalla samoin saadaan jono S = S k S k 1... S 1 S 0, missä S 0 = t. Joukko [S 0 ] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k, sillä sisältymisestä S 0 S i 1 seuraa, että [S 0 ] i [S i 1 ] i ). Voidaan siis valita T = S 0. Seuraavassa määritelmässä alkioiden oletetaan olevan täydellisesti järjestettyjä relaatiolla <. Määritelmä 2.2. Määritellään relaatio seuraavasti: (x 1,..., x k ) (y 1,..., y k ), jos kaikilla i ja j on voimassa x i < x j y i < y j, x i = x j y i = y j ja x i > x j y i > y j. Jatkossa merkitään tarvittaessa x = (x 1,..., x k ). Relaatio on selvästi ekvivalenssirelaatio. Intuitiivisesti, jos x ȳ, niin k-tuplilla x ja ȳ on keskenään samantyyppinen järjestys. Esimerkiksi (2, 4, 4, 3, 7) (1, 5, 5, 3, 6), kun käytetään tavanomaista luonnollisten lukujen järjestysrelaatiota. On syytä korostaa, että alkioiden x i ja y j ei tarvitse olla samasta joukosta, kunhan on vain olemassa relaatio, jonka suhteen alkiot ovat täydellisesti järjestetty. Määritelmä 2.3. Olkoot S = joukko ja R joukon S k-paikkainen relaatio. Sanotaan, että relaatio R on joukon S kanoninen relaatio, jos ehdosta (x 1,..., x k ) (y 1,..., y k ) seuraa, että kaikilla x 1,..., x k, y 1,..., y k S. R(x 1,..., x k ) R(y 1,..., y k ) Esimerkiksi binäärirelaatiot ω (universaalirelaatio), (tyhjä relaatio), >,, =,, < ja = ovat kanonisia relaatioita missä tahansa joukossa. Voidaan osoittaa, että muita kanonisia binäärirelaatioita ei ole. Lause 2.4. Jokaista luonnollista lukua b 1,..., b k, t kohden on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin seuraava on voimassa: Olkoon R kokoelma joukon [m] relaatioita, jossa on b i i-paikkaista relaatiota kaikilla 1 i k. Tällöin on olemassa sellainen S [m], S = t, että jokaisen kokoelman R relaation restriktio joukolle S on joukon S kanoninen relaatio. 3

4 Todistus. Oletetaan, että joukon [m] alkiot on järjestetty täydellisesti relaatiolla <. Määritellään ekvivalenssirelaatio joukkoon [m] i kaikilla 1 i k seuraavasti: Olkoot X = {x 1,..., x i } <, Y = {y 1,..., y i } < [m] i. (Alaindeksi < tarkoittaa, että joukon alkiot ovat luetellussa järjestyksessä järjestysrelaation < suhteen.) Määritellään, että X Y, jos kaikilla i j k, jokaisella sellaisella jonolla w 1,..., w j indeksejä, että {w 1,..., w j } = {1,..., i} (toistot siis sallitaan) ja kaikilla j-paikkaisilla relaatioilla R R on voimassa, että R(x w1,..., x wj ) R(y w1,..., y wj ). Näin määritelty relaatio on selvästi ekvivalenssirelaatio, ja relaatio määrää tietenkin äärellisen määrän ekvivalenssiluokkia. Jako ekvivalenssiluokkiin vastaa joukon [m] i sellaista väritystä, jossa eri ekvivalenssiluokat ovat monokromaattisia. Selvennetään tilannetta vielä hieman esimerkillä. Jos joukko R koostuu vain binäärirelaatioista R 1,..., R b, niin joukko {x, y} < värittyy relaatioiden R i (x, y) ja R i (y, x), 1 i b, totuusarvoilla. Ekvivalenssiluokkia joukossa [m] 2 on siis korkeintaan 2 2b kappaletta. Yksiöt {x} taas värittyvät relaatioiden R i (x, x), 1 i b, totuusarvoilla, ja näin muodostuu korkeintaan 2 b ekvivalenssiluokkaa. Nyt lauseen 2.1 mukaan on olemassa sellainen luku M, että kun m > M, niin on olemassa sellainen S [m], S = t, että joukko [S] i on monokromaattinen kaikilla 1 i k, ts. joukon [S] i kaikki alkiot kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan kaikilla 1 i k. Tämä tarkoittaa, että kaikki joukon R relaatioiden R restriktiot joukolle S ovat kanonisia. Nimittäin jos (x w1,..., x wj ) (y w1,..., y wj ), x t, y t S, niin näitä j-tuplia vastaa jokin sellainen jono w 1,... w j indeksejä, että {w 1,..., w j } = {1,..., i} jollain i, jolloin R(x w1,..., x wj ) R(y w1,..., y wj ) kaikilla j-paikkaisilla relaatioilla R R. Tämä tarkoittaa, että R on kanoninen. 3 Ramseyn teorian sovellus logiikkaan Tässä osiossa tarkastellaan Ramseyn artikkelissa [1] esittämää sovellusta 1. kertaluvun predikaattilogiikkaan. Määritellään ensin lyhyesti jatkossa käytettävä logiikan kieli. 4

5 Looginen aakkosto koostuu muuttujista x 1, x 2,..., joiden joukkoa merkitään X = {x 1, x 2,...}, propositiologiikan konnektiiveista,,, kvanttoreista, sekä yhtäsuuruusmerkistä =. Lisäksi käytetään lyhennysmerkintöjä p q = p q, p q = (p q) (q p), p q = ( p q) (p q) ja (eksklusiivinen tai). Loogisen aakkoston lisäksi määritellään symbolinen aakkosto, joka koostuu tässä vain relaatiosymboleista, joita merkitään kirjaimilla R, B jne. Relaatioden paikkaluku voi olla mitä tahansa: R(x 1,..., x k ), binäärirelaatioille merkitään lyhyesti R(x 1, x 2 ) = x 1 Rx 2. Kaavan kvanttoriaste on siinä esiintyvien erisuurien muuttujien lukumäärä. Kaavajoukon kvanttoriaste on maksimi sen kaavojen kvanttoriasteista. Hyvinmuodostetusta kaavasta annetaan esimerkkinä (jos muuttujia on vähän, niin käytetään muuttujanimiä x, y, z) ( x)( y)(xry (ybx)). Ramseyn tulos koskee sellaisia kaavoja, joissa ei ole eksistentiaalikvanttoria, eikä vapaita muuttujia (ts. jokainen muuttuja on jonkin kvanttorin sitoma). Tällaiset universaalit kaavat voidaan kirjoittaa muodossa ( x 1, x 2,..., x k )(F(R, B,..., =, x 1, x 2,..., x k )), missä kaava F riippuu vain relaatiosta R, B,..., muuttujista x 1,..., x k ja relaatiosta =. Jatkossa oletetaan, että kaikki kaavat ovat tätä muotoa. Tulkinnalla tarkoitetaan kolmikkoa I = (A, R, S), missä A = Dom(I ) on universumi eli epätyhjä joukko alkioita, R kokoelma joukon A relaatioita ja S kokoelma sääntöjä, jotka liittävät jokaisen muuttujan yksikäsitteiseen universumin alkioon ja jokaisen relaatiosymbolin johonkin joukon R relaatioon. Lyhyyden vuoksi relaatiosymboleille merkitään S(R) = R I. Tulkinnan I kardinaliteetti I on universumin kardinaliteetti Dom(I ). Tulkinta J = (B, R, S ) on tulkinnan I alitulkinta, kun B A ja i-paikkainen relaatiosymboli R tulkitaan joukon B relaatioksi kaavalla R J = R I B i. Merkinnällä I [a/x] tarkoitetaan tulkintaa (A, R, S ), missä S saadaan säännöistä S määrittelemällä S(x) = a, missä x on muuttuja. Olkoot ψ ja ϕ kaavoja. Sanotaan, että kaava ψ on tosi tulkinnassa I = (A, R, S), merkitään I = ψ, jos kaava ψ saa totuusarvon 5

6 tosi tulkinnassa I. Merkinnällä I = ψ tarkoitetaan, että ψ on epätosi tulkinnassa I. Kaavan ψ totuusarvo tulkinnassa I määritellään rekursiivisesti: I = R(x 1,..., x k ) R I (S(x 1 ),..., S(x k )) on voimassa, I = x = y S(x) = S(y), I = ψ ϕ I = ψ tai I = ϕ, I = ψ ϕ I = ψ ja I = ϕ, I = ψ I = ψ, I = ( x)ψ I [a/x] = ψ jollain a A, I = ( x)ψ I [a/x] = ψ kaikilla a A. Jos ψ on tosi tulkinnassa I, niin sanotaan, että I on kaavan ψ malli. Lisäksi määritellään: ψ on loogisesti tosi, merkitään = ψ, jos ψ on tosi kaikissa tulkinnoissa, ψ on toteutuva, jos sillä on ainakin yksi malli, ψ on kumoutuva, jos se on epätosi ainakin yhdessä tulkinnassa, ψ on toteutumaton, jos se on epätosi kaikissa tulkinnoissa. Edeltävät määritelmät laajenevat luonnollisella tavalla kaavajoukoille: I = Γ, jos I = ψ kaikilla ψ Γ. Esimerkki 3.1. Määritellään kaavajoukko Λ 1 ={( x, y)(x = y xry yrx), ( x, y, z)((xry yrz) xrz)}. Tällä kaavajoukolla on kaikenkokoisia malleja, sillä järjestysrelaatio toteuttaa edeltävät kaavat, ja mikä tahansa äärellinen joukko voidaan järjestää täydellisesti. Esimerkki 3.2. Määritellään kaavajoukko Λ 2 ={( x, y)(x = y (xry xby)), ( x, y)((xry yrx) (xby ybx)), ( x, y, z)((x = y y = z z = x) ( (xry yrz xrz) (xby ybz xbz))}. 6

7 Osoitetaan, että kaavajoukolle Λ 2 ei ole mallia, jonka universumissa on ainakin kuusi alkiota. Olkoon A = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 4)} ja B = {(1, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (5, 2), (5, 3)}. On suoraviivaista osoittaa, että näillä valinnoilla saadaan kaavajoukon Λ 2 malli. On myös helppo näyttää, että pienempiäkin malleja on. Olkoon sitten A 6. Ensimmäinen ja toinen kaava ilmaisevat, että relaatiot R ja B ovat symmetrisiä, ja että ne partitioivat joukon A A \ {(x, x) : x A}. Näin ollen nämä relaatiot määrittelevät joukon A alkioista muodostettujen parien 2-värityksen. Koska R(3, 3) = 6, niin on olemassa kolme erisuurta alkiota x, y ja z, jotka ovat joko relaatiossa R tai B. Joka tapauksessa kolmas kaava tulee epätodeksi, mikä todistaa väitteen. Huomaa, että alun viiden alkion joukolle määritelty relaatio on itse asiassa 5-syklin esitys joukkona saman graafin, joka osoittaa, että R(3, 3) > 5. Tulkinta I on kanoninen, jos tulkinnan kaikki relaatiot ovat kanonisia tulkinnan universumissa. Ramseyn todistuksen idea on seuraava: jos kaavajoukolla Γ on riittävän suuri malli, niin sillä on hyvin säännöllinen (kanoninen) alimalli, jonka avulla voidaan rakentaa joukolle Γ mielivaltaisen kokoisia malleja. Osoitetaan ensin miten kanonisesta mallista voidaan rakentaa muita malleja. Lemma 3.3. Olkoon Γ jokin epätyhjä kaavajoukko, jonka kvanttoriaste on t. Oletetaan, että on olemassa sellainen kanoninen tulkinta I, I = t, että I = Γ. Tällöin kaavajoukolla Γ on kaikenkokoisia malleja. Todistus. Olkoon K =. Oletetaan, että joukot K ja Dom(I) ovat täydellisesti järjestettyjä. Määritellään tulkinta K asettamalla Dom(K ) = K ja määrittelemällä kaavojen Γ i-paikkaisille relaatiosymboleille R: R K = {(x 1,..., x i ) K i : (x 1,..., x i ) (y 1,..., y i ) jollakin (y 1,..., y i ) R I }. Koska tulkinta I on kanoninen, niin relaatiot R K ovat hyvinmääriteltyjä. Huomaa, että tässä on tärkeää, että mallissa I on t alkiota. 7

8 Väite: Olkoot R i-paikkainen relaatio, x K i ja ȳ Dom(I ) i. Jos x ȳ, niin R K ( x) R I (ȳ). Todistus. Oletetaan, että x ȳ. Ensinnäkin jos ȳ R I, niin määritelmän mukaan x R K. Oletetaan sitten, että x R K. Tällöin määritelmän mukaan on olemassa sellainen z Dom(I ) i, että x z ja z R I. Seuraa, että ȳ z, jolloin ȳ R I, sillä tulkinta J on kanoninen. Osoitetaan sitten, että K = Γ, mistä väite seuraa. Oletetaan, että joukossa Γ on kaava ϕ = ( x 1,..., x n )(F(R 1,..., R m, =, x 1,..., x n ). Tarkastellaan i-paikkaista relaatiota R 1. Olkoon x K i mielivaltainen. Tällöin on olemassa jokin sellainen ȳ Dom(I ) i, että x ȳ. Edeltävän väitteen perusteella R K 1 ( x) RI 1 (ȳ). Vastaava menettely voidaan toistaa kaikille kaavassa F esiintyville relaatioille R l. Koska I on universaalin kaavan ϕ malli, niin edeltävästä ekvivalenssista seuraa, että K = ϕ. Toistamalla menettely kaikille joukon Γ kaavoille nähdään, että K = Γ. Seuraava lause ja seuraus ovat Ramseyn artikkelin [1] päätulos. Lause 3.4. Olkoon Γ kaavajoukko, jonka kvanttoriaste on t. Tällöin on olemassa seuraavanlainen luku M: Jos on olemassa sellainen tulkinta I, I = M, että I = Γ, niin kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. Todistus. Oletetaan, että kaavajoukon Γ kaavoissa on b i i-paikkaista relaatioita kaikilla 1 i k. Olkoon M lauseen 2.4 antama luku. Lauseen mukaan on olemassa mallin I kanoninen alitulkinta J, J = t. Koska oletettiin, että kaavajoukon Γ kaavat sisältävät vain universaalikvanttoreita, niin J = Γ. Lemman 3.3 mukaan kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. Lauseen ja edeltävän lemman 3.3 todistuksista nähdään, että jos kaavajoukolla Γ on kaikenkokoisia malleja, niin sillä on kanoninen malli, ja kääntäen, että kanonisen mallin olemassaolosta seuraa, että kaavajoukolla Γ on olemassa kaikenkokoisia malleja. On helppoa osoittaa, että esimerkin 3.2 kaavakokoelmalla Λ 2 ei ole kanonisia malleja, joten sillä ei voi olla kaikenkokoisia malleja, kuten aiemmin osoitettiin. Esimerkin 3.1 kaavajoukolla taas on kanoninen malli, ja täten kaikenkokoisia malleja; aivan kuten esimerkissä todettiinkin. 8

9 Kirjallisuutta [1] Ramsey, F. P.: On a Problem of Formal Logic, Proc. London Math. Soc., Vol. 30 (1929), [2] Erdős, P., Szekeres, G.: A Combinatorial Problem in Geometry, Compositio Math 2 (1935), [3] Graham R. L., Rothschild B. L., Spencer J. H.: Ramsey Theory, 2nd Edition, Wiley- Blackwell (1990). 9