Esko Turunen Luku 9. Logiikan algebralisointi
|
|
- Aila Palo
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Logiikan algebralisointi Tässä viimeisessä luvussa osoitamme, miten algebran peruskäsitteitä käytetään logiikan tutkimuksessa. Käsittelemme vain klassista lauselogiikkaa ja sen suhdetta Boolen algebraan, mutta monet vastaavuudet päteivät yleisimmille logiikoille ja niitä vastaaville algebroille. Algebrallisen logiikan tutkimus on eräs TTY:n matematiikan laitoksen tutkimuskohteista.
2 Määritelmä (1.9) Relaatio joukossa A on joukon A A osajoukko. Jos R A A on relaatio, merkitään a R b (a, b) R (jolloin sanotaan, että alkio a on relaatiossa R alkion b kanssa). Joukon A relaatio R on (1) refleksiivinen, jos a R a aina, kun a A, (2) symmetrinen, jos b R a aina, kun a R b, (3) transitiivinen, jos a R c aina, kun a R b ja b R c, (4) antisymmetrinen, jos a = b aina, kun a R b, b R a. (5) Refleksiivinen ja transitiivinen relaatio on esijärjestys. (6) Refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen relaatio on järjestys. (7) Relaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio on ekvivalenssirelaatio.
3 Määritelmä (1.9. jatkoa) Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä ; tällöin merkitään a b. Jos on ekvivalenssirelaatio, niin jokainen joukon A alkio a määrää ekvivalenssiluokan [a] = {b A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään A /, ja sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatiota vastaavaksi A:n tekijäjoukoksi.
4 Määritelmä (1.9. jatkoa) Ekvivalenssirelaation merkkinä käytetään usein merkkiä ; tällöin merkitään a b. Jos on ekvivalenssirelaatio, niin jokainen joukon A alkio a määrää ekvivalenssiluokan [a] = {b A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään A /, ja sitä kutsutaan ekvivalenssirelaatiota vastaavaksi A:n tekijäjoukoksi. Harjoitustehtävänä 110 on osoittaa seuraava perustulos: joukon A esijärjestys R generoi ekvivalenssin ehdolla x y joss xry ja yrx. Lisäksi tekijäjoukkoon A/ generoituu järjestysrelaatio ehdolla [x] [y] joss xry.
5 Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b].
6 Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L.
7 Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja.
8 Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja. Jos alkioparin {x, y} ylärajojen joukossa on pienin alkio L, merkitään sitä x y. Vastaavasti jos alkioparin {x, y} alarajojen joukossa on suurin alkio L, merkitään sitä x y.
9 Määritelmä (1.10.) Jos on laskutoimitus ja on ekvivalenssirelaatio joukossa A, ne ovat yhteensopivat, jos a b a b aina kun a a ja b b. Laskutoimitus määrää tekijälaskutoimituksen joukossa A/ säännöllä [a] [b] = [a b]. Tarkastellaan sellaista järjestettyä joukkoa (L, ), jossa on suurin alkio 1 ja pienin alkio 0, ts 0 x 1 aina, kun x L. Sanomme, että alkio z L on alkioparin {x, y} K yläraja jos x, y z. Vastaavasti määritellään alkioparin {x, y} K alaraja. Jos alkioparin {x, y} ylärajojen joukossa on pienin alkio L, merkitään sitä x y. Vastaavasti jos alkioparin {x, y} alarajojen joukossa on suurin alkio L, merkitään sitä x y. Hila on sellainen järjestetty joukko (L, ), jonka kaikilla alkiopareilla {x, y} on x y, x y L.
10 Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa.
11 Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa. Määritelmä (Boolen algebra) Distributiivinen hila (L,,,, ) on Boolean algebra jos kaikilla alkioilla a L on komplementtialkio a L, toisin sanoen a a = 0 ja a a = 1.
12 Hilan perusominaisuuksia käsitellään harjoitustehtävässä 111. Määritelmä (Hilan distributiivisuus) Hila (L,,, ) on distributiivinen jos kaikilla a, b, c L pätee 1 a (b c) = (a b) (a c), 2 a (b c) = (a b) (a c) Harjoitustehtävänä 112 on osoittaa, että ehdot implikoivat toinen toisensa. Määritelmä (Boolen algebra) Distributiivinen hila (L,,,, ) on Boolean algebra jos kaikilla alkioilla a L on komplementtialkio a L, toisin sanoen a a = 0 ja a a = 1. Komplementtialkio on yksikäsitteinen.
13 Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A.
14 Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra.
15 Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra. Klassisen lauselogiikan rakennustiilinä ovat elementaarilauseet p, q, r, s,, joista loogisten konnektiivien ei, ja, tai, imp avulla saadaan lisää (hyvin määriteltyjä) lauseita: elementaarilauseet ovat lauseita ja jos α, β ovat lauseita, niin ei α, αjaβ, αtaiβ sekä αimpβ ovat lauseita. Huomaa, että lauseet ovat äärellisen mitaisia.
16 Tunnetuimmat esimerkit Boolean algebrasta ovat epätyhjän joukon X potenssijoukko, jossa järjestysrelaationa on. Oparaatioina ja on ja. Joukon A komplementti on joukko X \ A. Myös joukosta {0, 1} saadaan tunnetulla menetelmällä Boolen algebra. Klassisen lauselogiikan rakennustiilinä ovat elementaarilauseet p, q, r, s,, joista loogisten konnektiivien ei, ja, tai, imp avulla saadaan lisää (hyvin määriteltyjä) lauseita: elementaarilauseet ovat lauseita ja jos α, β ovat lauseita, niin ei α, αjaβ, αtaiβ sekä αimpβ ovat lauseita. Huomaa, että lauseet ovat äärellisen mitaisia. Klassisen lauselogiikan algebralisoinnissa tarvitaan joukko aksioomia ja päättelysäännöt. Sovitaan, että jos jokin lause α on aksiooma tai teoreema eli saatu päätelysäänöjen avulla aksioomista, merkitään α.
17 Aksioomiksi valitaan kaikki seuraavaa muotoa olevat lauseet 1 (αimpβ)imp[(βimpγ)imp(αimpγ)], 2 (αimp(αtaiβ), 3 (βimp(αtaiβ), 4 (αimpγ)imp[(βimpγ)imp((αtaiβ)impγ)], 5 (αjaβ)impα, 6 (αjaβ)impβ, 7 (γimpα)imp[(γimpβ)imp(γimp(αandβ))] 8 [αimp(βimpγ)]imp[(αjaβ)impγ], 9 [(αjaβ)impγ]imp[αimp(βimpγ)], 10 (αja ei α)impβ, 11 [αimp(αja ei α)]imp ei α, 12 αtai ei α Harjoitustehtävänä 113 on osoittaa, että kaikki aksioomat ovat tautologioita.
18 Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β.
19 Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)]
20 Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα)
21 Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα) ja edelleen Modus Ponens säännöllä 1 (αimpα)
22 Päättelysääntönä on Modus Ponens: α, αimpβ seuraa β. Esitetään seuraavaksi metatodistus sille seikalle, että αimpα: Aksioomien (6) ja (9) nojalla 1 ((αjaα)impα)jaα)impα 2 [((αjaα)impα)jaα)impα]imp[((αjaα)impα)imp(αimpα)] josta Modus Ponens säännöllä ja aksiooman (5) perusteella saadaan 1 ((αjaα)impα)imp(αimpα) 2 ((αjaα)impα) ja edelleen Modus Ponens säännöllä 1 (αimpα) Jos siis kaikkien lauseiden joukossa F määritellään relaatio R s.e. αrβ joss (αimpβ), on R refleksiivinen. Käyttämällä Aksiooma (1) ja kaksi kertaa Modus Ponens sääntöä nähdään, että se on myös transitiivinen.
23 Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ).
24 Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ).
25 Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ). Siten tekijäjoukossa voidaan määritellä operaatiot [α] [β] = [αjaβ], [α] [β] = [αtaiβ], [α] = [ei α].
26 Yleisestä teoriasta seuraa nyt, että asettamalla relaatio joukossa F siten, että α β joss (αimpβ) ja (βimpα) saadaan ekvivalenssirelaatio. Lisäksi tekijäjoukkoon F/ syntyy järjestysrelaatio asettamalla [α] [β] joss (αimpβ). Ekvivalenssi on myös yhteensopiva loogisten konnektiivien kanssa, esim. jos α β, γ δ, niin myös (αjaγ) (βjaδ). Siten tekijäjoukossa voidaan määritellä operaatiot [α] [β] = [αjaβ], [α] [β] = [αtaiβ], [α] = [ei α]. Syntynyt algebra (F/,,, ) on Boolen algebra: esim. hilaominaisuudet todistetaan Aksioomien (4), (5) ja (6) sekä Modus Ponens säännön avulla. Alkiona 1 on luokka [αtai ei α], alkiona 0 luokka [αja ei α].
27 Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa).
28 Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa). Ideaaleja vastaa algebrallisessa logiikassa eräänlainen duaalinen käsite, nimittäin filtteri: Se on annetun Boolen algebran L epätyhjä osajoukko F, joka on suljettu Modus Ponens säännön suhteen: jos a, a b F, niin b F.
29 Tämä Lindembaum-Tarski-teoreemana tunnettu tulos tarkoittaa, että sen päättämiseen onko α (joka usein on pitkä ja työläs tehtävä) riittää tarkastella onko α vastaava algebrallinen lauseke = 1 (mikä on usein paljon helpompaa). Ideaaleja vastaa algebrallisessa logiikassa eräänlainen duaalinen käsite, nimittäin filtteri: Se on annetun Boolen algebran L epätyhjä osajoukko F, joka on suljettu Modus Ponens säännön suhteen: jos a, a b F, niin b F. Algebrallista logiikkaa käsitellään tarkemmin kurssilla MAT Applied Logics. Tervetuloa sinne!
MAT Algebra 1(s)
8. maaliskuuta 2012 Esipuhe Tämä luentokalvot sisältävät kurssin keskeiset asiat. Kalvoja täydennetään luennolla esimerkein ja todistuksin. Materiaali perustuu Jyväskylän, Helsingin ja Turun yliopistojen
LisätiedotMAT Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodeilla IV ja V/2009. Esko Turunen Tämä tiedosto sisältää kurssin kaikki laskuharjoitukset. viikottain uusia tehtäviä. Tiedostoon lisätään To 05.02.09 pidetyt harjoitukset.
LisätiedotRelaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos
LisätiedotJoukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x =
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotValitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.
Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotX R Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 5, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 2: Relaatiot 4.2 Relaatiot Relaatioilla mallinnetaan joukkojen alkioiden välisiä suhteita Joukkojen S ja T välinen binaarirelaatio
LisätiedotPETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen osasto LASSE POHJOLAINEN PETR HÁJEKIN BL-ALGEBRAT DIPLOMITYÖ Aihe hyväksytty osastoneuvoston kokouksessa 13. 4. 2005. Tarkastaja: Professori Esko
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1,
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 1, 15.9.2014 1. Hahmottele tasossa seuraavat relaatiot: a) R 1 = {(x, y) R 2 : x y 2 } b) R 2 = {(x, y) R 2 : y x Z} c) R 3 = {(x, y) R 2 : y > 0 and x 2
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,
Lisätiedot8 Joukoista. 8.1 Määritelmiä
1 8 Joukoista Joukko on alkoidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukkooppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä tehdä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotLuonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen
Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Mari Herranen. Ultratulo
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mari Herranen Ultratulo Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Marraskuu 2015 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö HERRANEN, MARI: Ultratulo Pro
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
LisätiedotJarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat
Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. ( ) Jeremias Berg
Diskreetin Matematiikan Paja Tehtäviä viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg Tämän viikon tehtävien teemoina on tulojoukot, relaatiot sekä kuvaukset. Näistä varsinkin relaatiot ja kuvaukset ovat tärkeitä
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotHilateoria ja Boolen algebrat
Hilateoria ja Boolen algebrat Veera Reitti Pro gradu -tutkielma Syyskuu 2018 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO TURUN YLIOPISTO Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reitti, Veera: Hilateoria
Lisätiedot6 Relaatiot. 6.1 Relaation määritelmä
6 Relaatiot 6. Relaation määritelmä Määritelmä 6... Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Jos R µ X Y, sanotaan, että R on joukkojen X ja Y välinen relaatio. Jos R µ X X, sanotaan, että R on joukon X relaatio.
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 2: Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta
LisätiedotLause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat
jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).
LisätiedotDiskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista
Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
LisätiedotTietojenkäsittelyteorian alkeet, osa 2
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. syyskuuta 2016 Sisällys vs Ovat eri asioita! Älä sekoita niitä. Funktiot Funktio f luokasta A luokkaan B, merkitään
LisätiedotHilateriasta Boolen algebroihin ja propositiologiikkaan
Hilateriasta Boolen algebroihin ja propositiologiikkaan Pro Gradu -tutkielma Hanna Kauppinen 260373 Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto 15.5.2019 Tiivistelmä Tämä tutkielma käsittelee
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38
Diskreetin matematiikan perusteet Malliratkaisut 2 / vko 38 Tuntitehtävät 11-12 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 15-16 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 13-14 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotAlgebra kl Tapani Kuusalo
Algebra kl. 2010 Tapani Kuusalo Sisältö Luku 1. Luonnolliset luvut 1 Luku 2. Laskutoimitukset 4 1. Laskutoimitusten yleiset ominaisuudet 4 2. Neutraali- ja käänteisalkiot 6 3. Indusoidut laskutoimitukset,
Lisätiedot2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan II, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 1. Mitkä muuttujat esiintyvät vapaina kaavassa x 2 ( x 0 R 0 (x 1, x 2 ) ( x 3 R 0 (x 3, x 0
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
Lisätiedota) Mitkä seuraavista ovat samassa ekvivalenssiluokassa kuin (3, 8), eli kuuluvat joukkoon
Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus 3, ratkaisuista. Kokonaisluvut määriteltiin luonnollisten lukujen avulla ekvivalenssiluokkina [a, b], jotka määrää (jo demoissa ekvivalenssirelaatioksi osoitettu)
LisätiedotToinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13
2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun {A 1,A 2,...,A n,b } 0, jatkoa jatkoa 1 / 13 2 3 Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2018-2019 Kertausta toiseen välikokeeseen Yhteenveto Kurssin sisältö 1. Algoritmin käsite 2. Lukujärjestelmät ja niiden muunnokset; lukujen esittäminen tietokoneessa 3. Logiikka
LisätiedotKokonaislukuoptimointi
Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, 30.
LisätiedotTIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA
TIETOTEKNIIKAN MATEMATIIKKA Harjoitus 4 syksy 2016 Ratkaisut 1. Mitä ehtoja joukkojen M ja N tulee täyttää (kussakin kohdassa erikseen), jotta seuraavat väittämät olisivat tosia a) M = b) N \ M = c) M
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot
LisätiedotJoukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi. Joukko-oppi: Mitä opimme? Joukko-opin peruskäsitteet
TKK () Ilkka Mellin (2004) 1 Joukko-oppi Liite: Joukko-oppi TKK () Ilkka Mellin (2004) 2 Joukko-oppi: Mitä opimme? Tämän liitteen tavoitteena on esitellä joukko-opin peruskäsitteet ja - operaatiot laajuudessa,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotKOMBINATORIIKKA JOUKOT JA RELAATIOT
Heikki Junnila KOMBINATORIIKKA LUKU I JOUKOT JA RELAATIOT 0. Merkinnöistä.... 1 1. Relaatiot ja kuvaukset....3 2. Luonnolliset luvut. Äärelliset joukot...9 3. Joukon ositukset. Ekvivalenssirelaatiot......
LisätiedotEkvivalenssirelaatio. Määritelmä 2 Joukon A binäärinen relaatio R on ekvivalenssirelaatio, mikäli. Jos R on ekvivalenssirelaatio ja a A, niin joukkoa
Määritelmä 1 Olkoot x ja y joukon A alkioita. Jos R on jokin ominaisuus/ehto, joka määritellään yksikäsitteisesti joukon A kaikkien alkioiden välille siten, että se joko toteutuu tai ei toteudu alkioiden
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 1: Joukko-oppi ja logiikka Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kiitokset Nämä luentokalvot perustuvat Gustaf
LisätiedotTaulumenetelmä modaalilogiikalle K
/ Kevät 2004 ML-6 1 Taulumenetelmä modaalilogiikalle On vaikeaa löytää Hilbert-tyylisiä todistuksia: Käytössä Modus Ponens -sääntö: jotta voidaan johtaa Q, täytyy johtaa P ja P Q. Mutta mikä on sopiva
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 30. syyskuuta 015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä30.
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä0. ym.,
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 0. syyskuuta 0 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Induktioperiaate Relaatiot
Lisätiedotjonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä
4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotLuonnollisen päättelyn luotettavuus
Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä
LisätiedotHuom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet kurssin kotisivuilla.
Johdatus yliopistomatematiikkaan Avoin yliopisto Kesä 2017 Harjoitus 6, viimeinen harjoitus (15 tehtävää) Viimeinen palautuspäivä 21.6. Huom. muista ilmoittautua kokeeseen ajoissa. Ilmoittautumisohjeet
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Joukko-oppi Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot ja funktioiden
LisätiedotMatematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010
Ensimmäisen viikon luennot Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010 Perustuu osittain kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin Appendix A ja Appendix B ja Trench in verkkokirjaan,
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
LisätiedotSeuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat
3.3 Luokkaryhmä Seuraavana tavoitteena on osoittaa, että binääristen neliömuotojen ekvivalenssiluokat muodostavat ryhmän. Määritelmä 3.39. Määritellään operaatio kahden samaa diksriminanttia olevan binäärisen
LisätiedotALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN
ALGEBRA KEVÄT 2013 JOUNI PARKKONEN Algebra käsittelee laskemista. Osin tämä tarkoittaa numeroilla laskemista lukualueissa N, Z, Q, R, C laskutoimituksilla + ja ja niiden käänteisoperaatioilla ja / siinä
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotRenkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit
Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetyhteenveto, 3. osahuhtikuuta
LisätiedotPropositionaalinen dynaaminen logiikka
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saana Isoaho Propositionaalinen dynaaminen logiikka Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Kesäkuu 2010 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotModaalilogiikan täydellisyyslauseesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Teemu Pitkänen Modaalilogiikan täydellisyyslauseesta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2015 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Peruskäsitteistö ja semantiikka
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotLauri Hella. Joukko-oppi. Luentomoniste, Syksy Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka
Lauri Hella Joukko-oppi Luentomoniste, Syksy 2011 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Luku 1 Naiivia joukko-oppia Tällä kurssilla perehdytään aksiomaattiseen joukko-oppiin, jossa
LisätiedotSalausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)
Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai
LisätiedotIdeaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Esko Turunen Luku 7. Ideaalit ja tekijärenkaat
Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Ideaalit ja tekijärenkaat Ryhmähomomorfismin φ : G G ydin on ryhmän G normaali aliryhmä. Rengashomomorfismi ψ :
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2017-2018 Yhteenveto Yleistä kurssista Kurssin laajuus 5 op Luentoja 30h Harjoituksia 21h Itsenäistä työskentelyä n. 80h 811120P Diskreetit rakenteet, Yhteenveto 2 Kurssin
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Lisätiedot811120P Diskreetit rakenteet
811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi
LisätiedotT Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )
T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a
LisätiedotNäytetään nyt relaatioon liittyvien ekvivalenssiluokkien olevan verkon G lohkojen särmäjoukkoja. Olkoon siis f verkon G jokin särmä.
Tehtävä 6 : 1 Oletetaan ensin joukon X olevan sisältymisen suhteen minimaalinen solmut a ja b toisistaan erotteleva joukon V(G)\{a, b} osajoukko. Olkoon x joukon X alkio. Oletuksen nojalla joukko X\{x}
LisätiedotJOUKKO-OPIN ALKEITA. Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006
1 Joukon käsite JOUKKO-OPIN ALKEITA Veikko Rantala Ari Virtanen 1 2006 Joukon voisi yrittää määritellä kokoelmaksi olioita, mutta tämä edellyttää, että ymmärretään mitä olioilla ja kokoelmalla tarkoitetaan.
Lisätiedot