Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat"

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Jos usean satunnaismuuttujan yhteisjakauma tunnetaan, hallitaan myös muuttujien erilaisten kombinaatioiden muodostamat reunajakaumat. Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio voidaan esittää reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktioiden tulona. todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 Usean satunnaismuuttujan yhteisjakauman karakteristisia ominaisuuksia kuvataan erilaisilla tunnusluvuilla. hteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassojen painopisteet. hteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät yhdessä ko. satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. hteisjakaumien satunnaismuuttujien varianssit tai standardipoikkeamat kuvaavat ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassan vaihtelua omien odotusarvojensa ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 3/5 Satunnaismuuttujien ja kovarianssi kuvaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua niiden odotusarvojen muodostaman lukuparin määräämän pisteen ympärillä. Kahden satunnaismuuttujan ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta kuvataan muuttujien korrelaatiolla. Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokertoimella Cor(,) on seuraavat ominaisuudet: (i) Cor(,) + (ii) Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(,) (iii) Jos Cor(,) ± niin satunnaismuuttujien välillä on eksakti lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 4/5 Mitä suurempi on Cor(,) sitä voimakkaammin muuttujat ja riippuvat lineaarisesti toisistaan. Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (4)

2 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 5/5 Satunnaismuuttujien välisiä riippuvuuksia voidaan luonnehtia ns. ehdollisten jakaumien avulla. Ehdollisen jakauman odotusarvoa kutsutaan ehdolliseksi odotusarvoksi ja ehdollisen jakauman varianssia kutsutaan ehdolliseksi varianssiksi. Ehdollista odotusarvoa kutsutaan ehtomuuttujien arvojen funktiona regressiofunktioksi. Regressiofunktioita käytetään apuna, kun satunnaismuuttujan käyttäytymistä pyritään ennustamaan toisten satunnaismuuttujien saamien arvojen avulla. Regressiofunktiot muodostavat teoreettisen perustan tilastotieteen ehkä tärkeimmälle menetelmälle regressioanalyysille; ks. lukuja Johdatus regressioanalyysiin ja hden selittäjän lineaarinen regressiomalli. todennäköisyysjakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 todennäköisyysjakaumat: Lisätiedot Kahta tärkeätä moniulotteista jakaumaa (multinomi- ja kaksiulotteista normaalijakaumaa) esitellään luvussa Moniulotteisia jakaumia todennäköisyysjakaumat: Huomautus Vaikka tässä luvussa rajoitutaan pääasiassa kaksiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin, esitetty teoriaa voidaan ilmeisellä tavalla laajentaa useampiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat >> Avainsanat Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen todennäköisyysjakauma Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Symmetrinen todennäköisyyskenttä Tiheysfunktio hteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4)

3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Satunnaistekijöiden väliset riippuvuudet Esimerkkejä riippuvuustarkasteluista hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Miten työttömyysaste Suomessa (% työvoimasta) riippuu BKT:n kasvuvauhdista, viennin volyymista ja BKT:n kasvuvauhdista muissa EUmaissa ja USA:ssa? Miten alkoholin kokonaiskulutus (l per capita vuodessa) riippuu alkoholijuomien hintatasosta, käytettävissä olevista tuloista ja alkoholin saatavuudesta? Miten todennäköisyys sairastua keuhkosyöpään (p) riippuu tupakoinnin määrästä ja kestosta? Miten vehnän sato (t/ha) riippuu kesän keskilämpötilasta, sademäärästä, maan muokkaustavoista, lannoituksesta ja tuholaisten torjunnasta? TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot ja satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin : S : R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: R S {(,) r s r R, s S} Satunnaismuuttujien ja järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: (, ): S R Diskreetit kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen diskreetti satunnaismuuttuja (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Pistetodennäköisyysfunktio Reaaliarvoinen funktio : R R f määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f ( xy, ) kaikille xja y () f ( x, y ) x y (3) Pr( x ja y) f ( x, y) Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon : R R f diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon A R jokin tapahtuma. Tällöin Pr((, ) A) f ( xy, ) ( xy, ) A TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8

4 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Symmetriset todennäköisyyskentät Olkoon (x i, y i ), i,,, n erillisten tason pisteiden muodostama diskreetti pistejoukko. Määritellään kaksiulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysfunktio kaavalla f ( xi, yi ) Pr( xi ja yi ), i,,..., n n Tällöin satunnaismuuttuja (, ) määrittelee symmetrisen todennäköisyyskentän, jossa kaikki alkeistapahtumat (x i, y i ), i,,, n ovat yhtä todennäköisiä.. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Voimme olettaa, että. heiton tulos on riippumaton. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Muodostetaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta / Kahden nopanheiton tulosvaihtoehdot voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos. nopanheitosta Mahdolliset tulokset. nopanheitosta Siten satunnaismuuttujien ja järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan, jonka arvoina on 3 lukuparia (x, y) ; x,, 3, 4, 5, ; y,, 3, 4, 5,. esimerkki nopanheitosta 3/ Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että kahden nopanheiton tulosten muodostamat 3 tulosvaihtoehtoa (x, y) ; x,, 3, 4, 5, ; y,, 3, 4, 5, ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio saa positiiviset arvot f ( x, y) Pr( x, y) 3 kun x,, 3, 4, 5, y,, 3, 4, 5, TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta 4/. esimerkki nopanheitosta 5/ Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f ( x, y) Pr( x ja y) 3 x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, voidaan esittää seuraavana taulukkona:. heiton silmäluku y /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 3 pylvästä, joista jokaisen korkeus / x y 3. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4

5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5. esimerkki nopanheitosta /. esimerkki nopanheitosta /9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Kuvassa on 3 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on /3.. heitto heitto Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Voimme olettaa, että. heiton tulos on riippumaton. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta /9 Muodostetaan ensin summamuuttujan Z + jakauma. Muodostetaan sitä varten aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla nopanheittojen silmälukujen summa Z + voi syntyä:. heiton silmäluku y Silmälukujen summat z x + y heiton silmäluku x. esimerkki nopanheitosta 3/9 Aputaulukosta voidaan suoraan lukea. ja. nopanheiton silmälukujen summan Z + todennäköisyysjakauma: Silmälukujen summat z x + y ja niiden todennäköisyydet I /3 /3 3/3 4/3 5/3 /3 5/3 4/3 3/3 /3 /3 Esimerkki: Summa 5 voi syntyä kahden nopanheiton tuloksena 4:llä eri tavalla: joten todennäköisyys saada summaksi 5 on 4/3. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8. esimerkki nopanheitosta 4/9. nopanheiton tulos ja. ja. nopanheiton tulosten kaikki mahdolliset summat voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos. nopanheitosta Mahdolliset summat. ja. nopanheiton tuloksista Siten satunnaismuuttujien ja Z + järjestetty pari (, Z) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan, jonka arvoina on lukuparia (x, z) ; x,, 3, 4, 5, ; z, 3, 4, 5,, 7, 8,,, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9. esimerkki nopanheitosta 5/9 Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että. heiton tulos ja. ja. heiton tulosten mahdollisten summien muodostamat 3 tulosvaihtoehtoa (x, z) ; x,, 3, 4, 5, ; z x + y ; y,, 3, 4, 5, ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion saa positiiviset arvot fz ( x, z) Pr( z ja Z z) 3 kun x,, 3, 4, 5, z x + y y,, 3, 4, 5, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3

6 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3. esimerkki nopanheitosta /9 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: Silmälukujen summa z /3 /3 /3 /3 /3 /3 9 /3 /3 /3 /3 8 /3 /3 /3 /3 /3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 3 /3 /3 / nopan silmäluku x. esimerkki nopanheitosta 7/9 Esimerkkejä: (i) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla, joten Pr( ja Z ) (ii) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla 3, joten Pr( ja Z 3) (iii) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 3, 4, 5,, 7 tai 8, joten Pr( ja Z z) /3 ; z 3, 4, 5,, 7, 8 (iv) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 7, 8, 9,, tai, joten Pr( ja Z z) /3 ; z 7, 8, 9,,, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3. esimerkki nopanheitosta 8/9. esimerkki nopanheitosta 9/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 3 pylvästä, joista jokaisen korkeus on / x z Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Kuvassa on 3 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on /3. Heittotulosten summa heitto TKK (c) Ilkka Mellin (4) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 34 Jatkuvat kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen jatkuvan satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen jatkuva satunnaismuuttuja (, ) määrittelee kaksiulotteisen jatkuvan todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaksi. Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tiheysfunktio Reaaliarvoinen jatkuva funktio : R R f määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f ( x, y) kaikille x ja y + + () f ( x, y) dydx (3) Pr( a b ja c d) f ( x, y) dydx bd ac TKK (c) Ilkka Mellin (4) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3

7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 37 Kaksinkertaiset integraalit: Integrointijärjestys Huomautus: Käytämme kaksinkertaisten integraalien yhteydessä seuraavaa sopimusta integrointijärjestyksestä: bd b d f ( x, y) dydx f ( x, y) dy dx a c a c Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon : R R f jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. Olkoon A R jokin tapahtuma. Tällöin Pr((, ) A) f ( x, y) dydx A TKK (c) Ilkka Mellin (4) 38 Kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) satunnaismuuttujien ja muodostama järjestetty pari. Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio F määritellään kaavalla: F ( xy, ) Pr( xja y) Diskreettien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon {x, x, x 3, } satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon {y, y, y 3, } satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Kaksiulotteisen diskreetin jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) Pr( xja y) f ( x, y ) i i xi x yi y jossa f satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Kaksiulotteisen jatkuvan jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) Pr( xja y) x y f ( u, v) dvdu jossa f satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion yhteys Olkoon (, ) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon F (x, y) satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio. Jos derivaatta F ( x, y) f ( x, y) xy on olemassa ja on jatkuva, funktio f (x, y) on satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4

8 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 43 todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Avainsanat Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Reunajakaumat Riippumattomuus Tiheysfunktio hteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (4) 44 Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( x) Pr( x) f( x, y) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( y) Pr( y) f( x, y) x Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakaumiin. y Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Määrätään satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr( x ja y) f (x, y) ; x,,, ; y,,,. heiton silmäluku y. heiton silmäluku x /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 47 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi- ja sarakesummat. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( x) Pr( x) f( x, y) ; x,,3,4,5, y 3 koska f ( x, y) ; x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, 3 Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( y) Pr( y) f( x, y) ; y,,3,4,5, x 3 koska f ( x, y) ; x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 48

9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 49 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot:. heiton silmäluku y. heiton silmäluku x ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / ht / / / / / / Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/ heiton tuloksen jakauma. heiton tuloksen jakauma Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: tulos. heitosta tulos. heitosta TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z seuraavasti: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumat. Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr( x ja Z z) f Z (x, z) ; x,,, ; z, 3,,. nopan silmäluku x /3 /3 /3 /3 /3 /3 9 /3 /3 /3 /3 8 /3 /3 /3 /3 /3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 Silmälukujen summa z TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi- ja sarakesummat. Esimerkkejä: (i) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys, kun 4: (ii) f (4) f (4, z) z Z Satunnaismuuttujan Z reunajakauman pistetodennäköisyys, kun Z : 3 fz() fz( x,) x Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauma ja reunajakaumat: Silmälukujen summa z. nopan silmäluku x ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3/3 9 /3 /3 /3 /3 4/3 8 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 5 /3 /3 /3 /3 4/3 4 /3 /3 /3 3/3 3 /3 /3 /3 /3 /3 ht / / / / / / TKK (c) Ilkka Mellin (4) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 54

10 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 55 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/ heiton tuloksen jakauma Heittotuloksien summan jakauma Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + heittotulosten summa Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio on + f( x) f( x, y) dy Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio on + f( y) f( x, y) dx Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Satunnaismuuttujien riippumattomuus / Satunnaismuuttujien riippumattomuus / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x). Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (y). Määritelmä : Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f (x, y) f (x)f (y) Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio F (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman kertymäfunktio F (x). Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman kertymäfunktio F (y). Määritelmä : Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F (x, y) F (x)f (y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 57 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 58 Satunnaismuuttujien riippumattomuus: leistys / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i,,, p yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f(x, x,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, p reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f(x i ), i,,, p. Määritelmä : Satunnaismuuttujat i, i,,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f(x, x,, x p ) f(x )f(x ) f(x p ) Satunnaismuuttujien riippumattomuus: leistys / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i,,, p yhteisjakauman kertymäfunktio F(x, x,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, p reunajakaumien kertymäfunktiot F(x i ), i,,, p. Määritelmä : Satunnaismuuttujat i, i,,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F(x, x,, x p ) F(x )F(x ) F(x p ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 59 TKK (c) Ilkka Mellin (4)

11 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin Pr( a b ja c d) Pr( a b)pr( c d) Huomautus: Vrt. riippumattomien tapahtumien tulosääntö: Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus: Perustelu Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia ja riippumattomia. Pr( a b ja c d) f ( x, y) dydx f ( x) f ( y) dydx f ( x)p( c d) dx Pr( c d) f ( x) dx Pr( c d) P( a b) TKK (c) Ilkka Mellin (4) bd a c bd a c b a b a d f ( x) f ( y) dydx c b a Satunnaismuuttujien riippumattomuus:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa: Pr( x ja y) 3 Pr( x)pr( y) x,,3, 4,5, ; y,,3, 4, 5, Siten satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Satunnaismuuttujien riippumattomuus:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Esimerkiksi: 5 Pr( ja Z 8) Pr( )Pr( Z 8) 3 Siten satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Avainsanat Odotusarvo Painopiste Riippumattomuus Standardipoikkeama Summan odotusarvo Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4)

12 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio E( g(, )) gxy (, ) f ( xy, ) x y Jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio + + E( g(, )) gxy (, ) f ( xydydx, ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat / Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) xf ( x, y) x f ( x, y) x y x y x xf ( x) Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat / Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) yf ( x, y) y f ( x, y) x y y x y yf ( y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat / Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) xf ( x, y) dydx x f ( x, y) dydx + xf ( x) dx Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat / Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) yf ( x, y) dydx y f ( x, y) dxdy yf ( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7

13 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 73 Odotusarvot ja todennäköisyysmassan painopiste Summan ja erotuksen odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Tällöin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (, ) odotusarvo on järjestetty pari (E( ),E( )) ( µ, µ ) Satunnaismuuttujien ja odotusarvojen muodostama järjestetty pari (µ, µ ) määrää satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. Satunnaismuuttujien ja summan + odotusarvo: E( + ) E( ) + E( ) Satunnaismuuttujien ja erotuksen odotusarvo: E( ) E( ) E( ) Huomautus: Satunnaismuuttujien summan ja erotuksen odotusarvojen kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 74 Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu / Esitetään satunnaismuuttujien summan odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja :n ja :n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f (x) ja f (y) Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu / + + Tällöin E( ± ) ( x± y) f ( x, y) dydx + + [ xf ( x, y) ± yf ( x, y) ] dydx xf ( x, y) dydx± yf ( x, y) dydx x f ( xydydx, ) ± y f ( xydxdy, ) + + xf ( x) dx ± yf ( y) dy E( ) ± E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 75 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Lineaarikombinaation odotusarvo Riippumattomuus ja tulon odotusarvo Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, k odotusarvot E( i) µ i, i,,, k ja olkoot a i, i,,, k vakioita. Tällöin satunnaismuuttujien i, i,,, k lineaarikombinaation a+ a + + akk odotusarvo on E( ) E( a+ a + + akk) ae( ) + ae( ) + + ak E( k) aµ + a µ + + a µ k k Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( ) E( )E( ) µ µ Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E() E()E() ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 77 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 78

14 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 79 Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu / Esitetään riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja :n ja :n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f (x) ja f (y) Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia, jolloin f (x, y) f (x) f (y) Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu / + + Tällöin E( ) xyf ( x, y) dydx + + xyf ( x) f ( y) dydx xf ( x) yf ( y) dydx xf ( x)e( ) dx E( ) xf ( x) dx E( )E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: leistys Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, k odotusarvot E( i) µ i, i,,, k Jos satunnaismuuttujat i, i,,, k ovat riippumattomia, niin E( k) E( ) E( ) E( k) µµ µ k Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( k) E( ) E( ) E( k) ei seuraa, että satunnaismuuttujat i, i,,, k ovat riippumattomia. Reunajakaumien varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja varianssit yhtyvät vastaavien reunajakaumien variansseihin: Var( ) D ( ) σ E[( µ ) ] Var( ) D ( ) σ E[( µ ) ] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Varianssi vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan varianssi Var() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Satunnaismuuttujan varianssi Var() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Reunajakaumien varianssit: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y) ja vastaavien reunajakaumien pistetodennäköisyyfunktiot f (x) ja f (y). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita D( ) ( x µ ) f () x x D( ) ( y µ ) f( y) jossa y µ E( ) µ E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 83 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 84

15 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 85 Reunajakaumien varianssit: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja vastaavien reunajakaumien tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita + D( ) ( x µ ) f () x dx + D( ) ( µ ) ( ) jossa µ E( ) µ E( ) y f y dy Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat Satunnaismuuttujien ja varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: D( ) E[( µ )] E( ) µ E( ) [E( )] D( ) E[( µ )] E( ) µ E( ) [E( )] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat: Perustelu Esitetään varianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu satunnaismuuttujalle : D( ) E[( µ )] E[ µ + µ ] E( ) E( µ ) + E( µ ) E( ) µ E( ) + µ E( ) µ µ + µ E( ) µ Reunajakaumien standardipoikkeamat Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat yhtyvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin: D( ) σ E[( µ ) ] D( ) σ E[( µ ) ] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 87 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 88 Standardipoikkeama vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan standardipoikkeama D() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Satunnaismuuttujan standardipoikkeama D() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama: Suureiden dimensio eli laatu Satunnaismuuttujalla sekä sen odotusarvolla ja standardipoikkeamalla on aina sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin myös niiden odotusarvon ja standardipoikkeaman laatuna on m. Satunnaismuuttujan ja sen varianssilla ei ole sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin sen varianssin laatuna on m. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 89 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9

16 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat: E( ) xpr( x) x 3.5 E( ) x x 9 E( ) x Pr( x) x E( ) x x 9 35 D ( ) E( ) [E( )].97 D ( ) D( ) D( ) Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot ja. momentit: E( ) xpr( x) 3.5 E( ) x 5 E( Z) zpr( Z z) 7 z 3 9 E( ) x Pr( x) E( ) x 974 E( Z ) z Pr( Z z) 3 z TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta / Varianssit ja standardipoikkeamat : 35 D ( ) E( ) [E( )].97 D ( ) D( ) D( ) D ( Z) E( Z ) [E( Z)] D( Z) todennäköisyysjakaumat >> TKK (c) Ilkka Mellin (4) 93 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 94 Kovarianssi Avainsanat Korrelaatiokerroin Kovarianssi Riippumattomuus Summan varianssi Varianssi Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) σ E[( µ )( µ )] Satunnaismuuttujien ja kovarianssi Cov(, ) kuvaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua satunnaismuuttujien ja odotusarvojen E() ja E() määräämän pisteen (E(), E()) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 95 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9

17 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 97 Kovarianssi: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) ( x µ )( y µ ) f ( xy, ) jossa µ E( ) µ E( ) x y Kovarianssi: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) ( x µ )( y µ ) f ( xydxdy, ) jossa µ E( ) µ E( ) + + TKK (c) Ilkka Mellin (4) 98 Kovarianssi: Vaihtoehtoinen laskukaava Satunnaismuuttujien ja kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov(, ) E[( µ )( µ )] E( ) µ µ E( ) E( )E( ) Huomautus: Vrt. kovarianssin vaihtoehtoista laskukaavaa varianssin vaihtoehtoisiin laskukaavoihin. Kovarianssin vaihtoehtoinen laskukaava: Perustelu Esitetään satunnaismuuttujien kovarianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu: Cov(, ) E[( µ )( µ )] E[ µ µ + µ µ ] E( ) E( µ ) E( µ ) + E( µ µ ) E( ) µ E( ) µ E( ) + µ µ E( ) µ µ µ µ + µ µ E( ) µ µ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 99 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Kovarianssi ja varianssit Satunnaismuuttujien kovarianssit itsensä kanssa yhtyvät satunnaismuuttujien variansseihin: Cov(, ) E[( µ )( µ )] Var( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] Var( ) σ Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset / Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) µ Var( ) σ E( ) µ Var( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] σ Olkoot W a+ b Z c+ d jossa a, b, c, d R ovat reaalisia vakioita. TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4)

18 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset / Tällöin pätevät seuraavat kaavat: E( W) a+ be( ) a+ bµ Var( W) b Var( ) b σ E( Z) c+ de( ) c+ dµ Var( Z) d Var( ) d σ Kovarianssi ja lineaarimuunnokset: Perustelu Jos satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ), niin Cov( W, Z) E[( W E( W))( Z E( Z))] E[( a + b E( a + b ))( c + d E( c + d ))] E[( b E( b ))( d E( d ))] bd E[( E( ))( E( ))] bd Cov(, ) Cov( W, Z) bd Cov(, ) bdσ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) σ Var( ) σ ja kovarianssi Cov(, ) σ Tällöin Var( ± ) Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) σ + σ ± σ Summan ja erotuksen varianssit: Perustelu Summan ja erotuksen varianssia koskevat kaavat nähdään oikeaksi seuraavalla tavalla: Var( ± ) E[ ± E( ± )] E[ ± E( ) E( )] E[( E( )) ± ( E( ))] E[( E( )) + ( E( )) ± ( E( ))( E( ))] E[( E( )) ] + E[( E( )) ] ± E[( E( ))( E( ))] Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Riippumattomuus ja kovarianssi Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cov(, ) Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että Cov(, ) ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat ja olisivat riippumattomia. Riippumattomuus ja kovarianssi: Perustelu Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin E() E()E() Siten Cov(, ) E( ) E( )E( ) E( )E( ) E( )E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8

19 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Riippumattomuus sekä summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) σ Var( ) σ Olkoot ja ovat riippumattomia, jolloin Cov(, ) Tällöin Var( ± ) Var( ) + Var( ) Huomautus: Riippumattomien satunnaismuuttujien summan ja erotuksen varianssien kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. Korrelaatiokerroin / Oletetaan, että satunnaismuuttujilla ja on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) µ Var( ) D ( ) σ E( ) µ Var( ) D ( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] σ TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin / Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on vakio Cor(, ) ρ Cov(, ) Var( )Var( ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin lineaarisen riippuvuuden mittana Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ) kuvaa satunnaismuuttujien ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: (i) Mitä suurempi on Cor(, ) sitä voimakkaampaa on satunnaismuuttujien ja välinen lineaarinen riippuvuus. (ii) Mitä pienempi on Cor(, ) sitä heikompaa on satunnaismuuttujien ja välinen lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Suureiden dimensio eli laatu Huomaa, että satunnaismuuttujien korrelaatio on dimensioton eli laaduton suure toisin kuin niiden kovarianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Korrelaatiokerroin ja lineaarimuunnokset Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Olkoot W a + b Z c + d Tällöin Cor( W, Z) sgn( bd)cor(, ) jossa sgn on ns. merkkifunktio: +, jos x > sgn( x), jos x, jos x < TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4

20 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Lineaarimuunnosten korrelaatiokerroin: Perustelu Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Olkoot W a + b Z c + d Tällöin Cov( W, Z) Cor( W, Z) Var( W) Var( Z) bd Cov(, ) b Var( ) d Var( ) Cov(, ) sgn( bd) Var( ) Var( ) sgn( bd)cor(, ) Korrelaatiokerroin: Ominaisuudet Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) Cor(, ) + (ii) Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) (iii) Cor(, ) ±, jos ja vain, jos α + β, jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (i) perustelu / Väite: Cor(, ) + Perustelu: () Olkoot W ja Z satunnaismuuttujia ja olkoon a vakio. () W, Z E(W ), E(Z ) (3) (aw Z) E(aW Z) (4) Kohdasta (3) seuraa, että E(aW Z) a E(W ) ae(wz) + E(Z ) (5) Valitaan: E( WZ ) a W E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (i) perustelu / () Siten [ ] E( WZ) E( aw Z) + E( Z ) E( W ) josta seuraa, että [ E( WZ) ] ( ) E( W ) E( Z ) (7) Väite seuraa epäyhtälöstä ( ), kun valitaan W E() ja Z E() ja otetaan saadusta epäyhtälöstä neliöjuuri. Huomautus: Epäyhtälöstä ( ) seuraa eräs ns. Schwarzin epäyhtälön monista muodoista: [E( WZ)] E( W )E( Z ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (ii) perustelu Väite: Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) Perustelu: Väite seuraa siitä, että jos ja ovat riippumattomia, niin Cov(, ) Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että Cov(, ) Cor(, ) ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat ja olisivat riippumattomia. Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu /3 Väite: Cor(, ) ± α + β, α R, β R, β Perustelu: () Ominaisuuden (i) perustelussa kohdan (4) epäyhtälön vasen puoli on. asteen polynomi muuttujan a suhteen: h(a) E(aW Z) a E(W ) ae(wz) + E(Z ) () Ominaisuuden (i) perustelun kohdan (3) mukaan h(a) a. (3) h(a) > kaikille a, jos ja vain jos. asteen yhtälön h(a) diskriminantti D 4[E( WZ)] 4E( W )E( Z ) < Huomautus: Korrelaatiokertoimen ominaisuus (i) seuraa myös kohdan (3) epäyhtälöstä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4)

21 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu /3 (4) h(a) täsmälleen silloin, kun. asteen yhtälön h(a) diskriminantti D 4[E( WZ)] 4E( W )E( Z ) (5) Siten Cor(, ) ± täsmälleen silloin, kun E(aW Z) mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että Pr(aW Z ) () Siten Z aw todennäköisyydellä. (7) Väite seuraa, kun valitaan W E() ja Z E() ja merkitään β a ja α E( ) ae( ) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu 3/3 Väite: Cor(, ) ± α + β, α R, β R, β Perustelu: Koska α + β, Cor(, ) Cor(, α + β ) sgn( β )Cor(, ) sgn( β ) ± jossa sgn( ) on ns. merkkifunktio: +, jos x > sgn( x), jos x, jos x < TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat (laskettu aikaisemmin): E() E() / 3.5 D () D () 35/.97 D() D().78 Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) Cov(, ) Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat (laskettu aikaisemmin): E() / 3.5 E(Z) 5/3 7 D () 35/.97 D (Z) / D().78 D(Z).45 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. Lasketaan ensin kovarianssi: 987 E( Z) xzpr( x, Z z) x z Cov(, Z) E( Z) E( )E( Z) Korrelaatiokertoimen arvo on: Cov(, Z) Cor(, Z).77 D( )D( Z) Korreloimattomuus Jos Cov(, ) ja yhtäpitävästi Cor(, ) niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Huomautus: Satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4)

22 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 todennäköisyysjakaumat >> Avainsanat Ehdollinen jakauma Ehdollinen odotusarvo Regressiofunktio Regressiokäyrä TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Ehdollinen todennäköisyys Ehdolliset jakaumat Olkoot A ja B tapahtumia ja Pr(B). Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys tapahtuman B suhteen on Pr( A B) Pr( AB) Pr( B) Ehdollisen jakauman määritelmä mukailee ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). Olkoot satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) on f ( x, y) f( x y), jos f ( y) f ( y) > Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) on f ( x, y) f( y x), jos f ( x) f ( x) > TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Ehdolliset jakaumat: Kommentteja Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ( x y) f satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta y. Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma f ( y x) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta x. Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat /3 Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). Olkoot satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin f (x, y) f (x) f (y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3

23 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 33 Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat /3 Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat 3/3 Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f( x y) f( x), jos f( y) > Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( y x) f ( y), jos f ( x) > Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin: (i) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (ii) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 34 Ehdolliset odotusarvot: Diskreetit jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( y) xf ( xy) x Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( x) yf ( yx) y Ehdolliset odotusarvot: Jatkuvat jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( y) xf( xydx ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( x) yf( yxdy ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Ehdolliset odotusarvot: Kommentteja Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo E( y) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta y. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo E( x) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta x. Riippumattomuus ja ehdolliset odotusarvot / Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot yhtyvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomia, seuraava pätee: E( ) E( ) E( ) E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 37 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 38

24 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 39 Riippumattomuus ja ehdolliset odotusarvot / Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin: (i) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (ii) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ehdolliset odotusarvot satunnaismuuttujina: Iteroidun odotusarvon laki Ehdolliset odotusarvot voidaan tulkita satunnaismuuttujiksi ehtomuuttujan suhteen. Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvoksi (satunnaismuuttujan suhteen) saadaan [ ] E E( ) E( ) Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvoksi (satunnaismuuttujan suhteen) saadaan [ ] E E( ) E( ) Kaavat tunnetaan nimellä iteroidun odotusarvon laki. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Iteroidun odotusarvon laki: Perustelu Iteroidun odotusarvon laki nähdään oikeaksi jatkuvan jakauman tapauksessa seuraavalla tavalla: E [ E( ) ] E( ) f( xdx ) yf ( yxdy ) f( xdx ) yf( y x) f ( x) dy dx yf ( x, y) dy dx y f ( x, y) dxdy yf ( y) dy E( ) Regressiofunktiot ja -käyrät / Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( y) satunnaismuuttujan suhteen ehtomuuttujan arvojen y funktiona. Funktiota E( y) kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokäyrän x gy ( y) E( y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Regressiofunktiot ja -käyrät / Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( x) satunnaismuuttujan suhteen ehtomuuttujan arvojen x funktiona. Funktiota E( x) kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiokäyrä muuttujan suhteen määrittelee regressiokäyrän y gx ( x) E( x) Regressiofunktiot ja -käyrät: Kommentteja Olkoon x gy ( y) E( y) satunnaismuuttujan regressiokäyrä satunnaismuuttujan saamien arvojen y suhteen. Olkoon y gx ( x) E( x) satunnaismuuttujan regressiokäyrä satunnaismuuttujan saamien arvojen x suhteen. Vaikka funktiot g y ja g x ovat funktioina täysin määrättyjä, sattuma määrää, mikä funktioiden arvoista realisoituu. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 43 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 44

25 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 45 Regressiokäyrät ja ennustaminen /4 Regressiokäyrät ja ennustaminen /4 Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f tunnetaan. Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan (tai ) arvon satunnaismuuttujan (tai ) saaman arvon perusteella. Tehtävä : (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan arvon satunnaismuuttujan saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d( ). (iii) Miten ennuste d( ) valitaan optimaalisella tavalla? Tehtävä : (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan arvon satunnaismuuttujan saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d( ). (iii) Miten ennuste d( ) valitaan optimaalisella tavalla? TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Regressiokäyrät ja ennustaminen 3/4 Regressiokäyrät ja ennustaminen 4/4 Tehtävän ratkaisu: Valitaan d( ) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[ d( )] minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d( ) E( ) Siten ehdollinen odotusarvo E( ) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan saamille arvoille. Tehtävän ratkaisu: Valitaan d( ) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[ d( )] minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d( ) E( ) Siten ehdollinen odotusarvo E( ) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan saamille arvoille. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 48 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Määrätään satunnaismuuttujien ja ehdolliset jakaumat. Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma ja reunajakaumat:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( x, y) ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / ht / / / / / /. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 49 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5

26 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/ Kalvon / satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat saadaan jakamalla yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa kunkin rivin todennäköisyydet vastaavilla rivisummilla eli vastaavilla reunatodennäköisyyksillä. Esimerkki: Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen, kun 3: f ( x,3) /3 f ( x 3) ; x,,3,4,5, f (3) / Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/ Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat ovat taulukon riveinä:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( x y) ht / / / / / / 5 / / / / / / 4 / / / / / / 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ht. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/ Kalvon / satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat saadaan jakamalla yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa kunkin sarakkeen todennäköisyydet vastaavilla sarakesummilla eli vastaavilla reunatodennäköisyyksillä. Esimerkki: Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen, kun 4: f (4, y) /3 f ( y 4) ; y,,3,4,5, f (4) / Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat ovat taulukon sarakkeina:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( y x) ht / / / / / / 5 / / / / / / 4 / / / / / / 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ht. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 54 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta /4 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujan Z ehdolliset jakaumat satunnaismuuttujan suhteen. Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta /4 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauma ja reunajakaumat:. nopan silmäluku x ht /3 /3 Silmälukujen summa z /3 /3 /3 /3 /3 /3 3/3 9 /3 /3 /3 /3 4/3 8 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 5 /3 /3 /3 /3 4/3 4 /3 /3 /3 3/3 3 /3 /3 /3 /3 /3 ht / / / / / / TKK (c) Ilkka Mellin (4) 55 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Keskihajonta ja korrelaatio

Keskihajonta ja korrelaatio Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tilastollinen riippuvuus, korrelaatio ja regressio Kahden muuttujan

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg 1 Todennäköisyys Satunnaismuuttujat Keskeinen raja-arvolause Aalto-yliopisto. tammikuuta 015 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 2. tammikuuta 2015 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot