2 Vektorit koordinaatistossa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Vektorit koordinaatistossa"

Transkriptio

1 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama.

2 . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, onka kateetit ovat 4 a. Vektorin 4i pituus on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus. 4 + = x x = 0 x = 0 5 (tai x = 0 5 ) Vektorin 4i. pituus on 0 5 b) Vektorin xi y komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion, kuten a-kohdassa. vektorin xi y pituus saadaan Pythagoraan lauseella. x y xi y xi y x y

3 . Kaksiulotteisen koordinaatiston kantavektorit YDINTEHTÄVÄT 0. a) a5i, b 4i a c b 4i 4i 4 4 a c b) 0. a) ui 4 HUOM! Vektoreiden siainnilla koordinaatistossa ei ole merkitystä. u ( 4) u i 4 u i 4 u b) Vektorin v pituus on 5, oten sen pituus on kolminkertainen vektorin u pituuteen verrattuna. Koska v on vastakkaissuuntainen vektorin u kanssa, tulee olla vu (i4 ) 9i.

4 c) 0. a) OA 4i b) B = ( 5, ) 04. a) ai 5 a bi 7 ab(i5 ) ( i7 ) i5 i7 5i ab 5 ( ) b) ab(i5 ) ( i7 ) 6i0i7 4i ab 4 ( )

5 05. a) b) OA i 7 OB OA AB i 7 8i 5i 5 Pisteen B koordinaatit ovat (5, 5). c) Pisteen B etäisyys origosta on paikkavektorin OB pituus. OB , (cm) Pisteen B etäisyys origosta on 7 cm. 06. a) Pisteen A paikkavektori on OA i 5. Määritetään pisteen C paikkavektori. OC OA AB BC i57i5i4 i4 Piste C on (, 4).

6 b) 07. a) AB (6 ( )) i ( 4) 8i b) Piste P akaa anan AB suhteessa :, oten AP AB. Määritetään piste P muodostamalla sen paikkavektori. OP OA AP OA AB i4 (8i ) i4 6 i 0 i Piste P on 0,,.

7 Piirretään kuva dynaamisen matematiikan ohelmalla. Geogebra:. Piirretään pisteet A a B: A= (, 4) a B=(6, ). Piirretään vektori AB onka nimeksi tulee : u=vektori(a,b). Piirretään piste P: P = A+/u

8 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 08. a) AB (0 ( 5)) i ( 0) 5i 8 CD (5 ( 9)) i (5 ( )) 4i 7 AB 5 ( 8) 7 CD b) Määritetään vektorin CD suuntainen yksikkövektori. 0 CD 4i 7 CD 4 i 7 CD Määritetään sen pisteen koordinaatit, ohon päädytään. Merkitään pistettä kiraimella P. OP OB 5CD 0i 5( 4 i 7 ) i 5 4 i i 7 i 5 5 i i Piste, ohon päädytään on F = (4,6 ) 5 5.

9 09. a) Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori. a 6 ( 8) a 6i 8 a 6 i 8 i 4 a Määritetään vektorin b suuntainen yksikkövektori. b ( 5) b 5i b 5 i b Määritetään pisteen P paikkavektori. 0 0 OP OA 5a 6b i 5( i 4 ) 6( 5 i ) 5 5 i i40i4 i7 Pisteen P koordinaatit on (, 7).

10 b) Geogebra:. Määritä vektorit a a b: a=(6, 8) a b=( 5, ).. Määritä vektoreiden a a b suuntaiset yksikkövektorit: u = Yksikkövektori[a] a v = Yksikkövektori[b]. Määritä piste P: P = A + 5u 6v

11 0. Määritetään vektorin a suuntainen yksikkövektori. 5 5 a ( ) ( ) i 0 a a 4 ( i ) 4 i a Koska vektori v on vektorin a kanssa vastakkaissuuntainen pitää vektorin a suuntainen yksikkövektori kertoa luvulla 6, otta saadaan vektori v. 0 v 6a 6( 4 i ) 4 i

12 . a) 0 minuutin aikana una etenee vektorin (46 0) i( 0) 6i. 5 minuutin aikana una kulkee,5 kertaa tämän vektorin verran, eli vektorin,5(6i ) 40i 0. Kun pisteestä (0, 0) siirrytään vektori 40i 0, päädytään pisteeseen, onka x-koordinaatti on = 70 a y-koordinaatti on = 50, eli pisteeseen (70, 50). Juna on 5 minuutin kuluttua pisteessä (70, 50) b) Viiden minuutin aikana una kulkee vektorin, onka pituus on puolet vektorista 6i, eli vektorin 8i 6. Kun pisteestä (0, 0) siirrytään vektori 8i 6 unan tulosuuntaan, päädytään pisteeseen, onka x-koordinaatti on 0 8 = a y- koordinaatti 0 6 = 4, eli pisteeseen (, 4). Juna oli viisi minuuttia sitten pisteessä (, 4). c) 0 minuutin aikana una etenee vektorin 6i. Lasketaan vektorin pituus Koordinaatiston yksikkö on km, oten una etenee 0 minuutin aikana 0 km. Tunnissa, eli 60 minuutin aikana, una etenee 6 0 km = 0 km, eli unan nopeus on 0 km/h.

13 . a) wu v b) Jaetaan vektori w komponentteihin. wrusv i 5 ri ( ) si ( ) i 5 ri r si s ) i 5 ( rs) i( rs) Koska komponenttiesitys on yksikäsitteinen, saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan r a s. r s r s 5 r 4 : r Sioitetaan r ylempään yhtälöön a ratkaistaan s. + s = s = Komponentteihin aettu muoto on wu v.

14 . Piirretään kuva. AB (6 ( )) i (4 0) 8i 4 AC (0 ( )) i (6 0) i 6 BC (0 6) i (6 4) 6i Vektorien AC a BC kertoimien itseisarvot ovat samat, oten niiden pituudetkin ovat samat. Lasketaan kaikkien vektorien pituudet. AB AC BC ( 6) Vektorit AC a BC ovat yhtä pitkät, oten kolmio ABC on tasakylkinen.

15 4. a) OA i 4 a OB i Piste A = (, 4) a B = (, ). Muodostetaan vektori AB. AB ( ( )) i ( 4) 5i Jos AP : PB = :, akaa piste P anan AB suhteessa :. Tällöin AP AB. 4 Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB 4 i4 (5 i ) 4 i4 5 i i 4 4 Piste P on 7,, b) Jos AB AP, on AP AB. Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB i4 (5 i ) i4 5 i i Piste P on,,.

16 5. a) Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että v tu. 60i8 t(0i 6 ) Kun t =, yhtälö toteutuu, eli v u. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset. b) Jos vektorit u a w ovat erisuuntaiset, ei ole olemassa lukua t, siten että u tw. u tw 0i6 t(6i0 ) 0i6 6ti0t Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t 0 : 6 0t 6 : ( 0) 0 0 t 6 t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että olisi u tw. Vektorit u a w ovat erisuuntaiset.

17 6. a) r =,, vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset b) Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että a tb. a tb ri t(i 5 ) ri ti 5t Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a r. r t 5t Alemmasta yhtälöstä saadaan t. Sioitetaan tämä ylempään 5 yhtälöön. r Vektorit a a b ovat yhdensuuntaiset, kun r = Tällöin t, oten vektorit a a b ovat vastakkaissuuntaiset. 5

18 7. Vektorit u a b ovat vastakkaissuuntaiset, os on olemassa luku t < 0, siten että u tb. u tb ( r) i t( rir ) ( r) i tritr Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a r. r tr tr Sioitetaan alemman yhtälön = tr ylempään yhtälöön r = tr. r = r = 4 + r = 5 Ratkaistaan alemmasta yhtälöstä t a sioitetaan lausekkeeseen saatu r. tr : r t r t 5 Luvun t piti olla negatiivinen, otta vektorit u a b olisivat on positiivinen, oten ei myöskään vastakkaissuuntaiset. Luku t = 5 voida valita lukua r siten, että vektorit u a b olisivat vastakkaissuuntaiset.

19 8. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, os on olemassa luku t, siten että u tv. u tv ki 4 t( 9 ik ) ki 4 9ti kt Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan k a t. 9 k t 4 kt Sioitetaan ylemmän yhtälön k alempaan. 49tt 49 t : 9 t 4 9 t tai t Kun t =, k 9 6. Kun t =, k 9 ( ) 6. Vektorit u a v ovat yhdensuuntaiset, kun k = 6 tai k = 6.

20 9. Merkitään pisteen A koordinaattea (x, y). Muodostetaan pisteen C paikkavektori, kun kierretään pisteiden A a B kautta. OA xi y 0 AB 0u a BC 4v Määritetään yksikkövektorit u a 0. v u i 8 0 u u i i u v ( ) i6 0 v v 5 5 i6 i v OC OA AB BC 0 0 OA 0u 4v xi y0 i 4 i 7 7 xi y 00 i 60 0 i x i y x 560 i 64 y

21 Toisaalta OC 5i 4. Saadaan yhtälöpari. 560 x 5 y x y 48 Piste A = 45, 48.

22 0. Merkitään loppupistettä kiraimella C. Määritetään pisteen X paikkavektori kahdella eri tavalla, pisteen A kautta kiertäen a pisteen C kautta kiertäen. OA 4i 5 OC 5i 4 0 OX OA re OX OC s f 0 Määritetään vektoreiden e a f suuntaiset yksikkövektorit. e e i e i e f ( ) 0 f i f i f OX OA re 0 4i 5 r i 4 5 r i r OX OC s f 0 5i 4 s i 5 4 s i s

23 Merkitään vektorit OX yhtä suuriksi a ratkaistaan s a r. 4 r i 5 r 5 s i 4 s 4 r 5 s 5 r 4 s r s 7 0 OX OA re 4i5 i 4i54i6 8i Piste X on (8, ) Piirretään kuva.

24 . Piirretään kuva. Vektori, oka osoittaa lounaaseen on u i. Määritetään vektorin u suuntainen yksikkövektori. u ( ) ( ) 0 u i u i u Vektori, oka osoittaa pohoiseen on. Vektorin pituus on. Vektori, oka osoittaa luoteeseen on v i. Määritetään vektorin v suuntainen yksikkövektori. v ( ) 0 v i v i v

25 Merkitään pistettä, ohon laiva päätyy, kiraimella P. Määritetään pisteen P paikkavektori. 0 0 OP 5u 5 0v i 0 i i 5 5 4,74... i8,5... i i Piste P on noin ( 4,7; 8,5) Pisteen P etäisyys origosta on 4, ,5... 6, km. Laiva on lähtöpisteestä 6 km:n etäisyydellä.

26 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT. a) Ovat. uvwii45i 0 Koska vektorit eivät ole yhdensuuntaiset a niiden summa on nolla, on summavektorin alkupiste sama kuin loppupiste a muodostuu kolmio. b) Sivuvektorit ovat erisuuntaiset vektorit, oista saa yhdisteltyä nollavektorin käyttäen vektoreille kertoimia a. Kolmiota ei muodostu, os näin ei ole tai os vektoreista vähintään kaksi ovat yhdensuuntaisia. Kolmion sivuvektoreita ovat esimerkiksi vektorit ai, bi aci 4, koska abc 0. Kolmion sivuvektoreita eivät ole vektorit ai, bi ac7i 6.

27 . a) Kun kolmiota siirretään vektorin s i verran, okainen piste siirtyy tämän verran. Piste A on (, ). Pisteen A paikkavektori on OA i. Pisteen A paikkavektori on OA' OA s i i i 4. Piste A on (, 4). Pisteen B paikkavektori on OB OA AB i i 4i. Piste B on (4, ). Pisteen B paikkavektori on OB' OB s 4i i i 6. Piste B on (, 6). Pisteen C paikkavektori on OC OA AC i i i. Piste C on (, ). Pisteen C paikkavektori on OC ' OC s i i 4i 5. Piste C on ( 4, 5).

28 b) siirtovektori Pisteen Q kuvapisteen Q paikkavektori on Piste Q on (6, 0). Vektori ei riipu paikasta. Pisteiden P a Q välinen vektori on sama vektori, vaikka pisteitä siirretäänkin, kunhan molempia siirretään yhtä palon a samaan suuntaan. 4. a) Kolmion ABC peilikuvan A B C kärkipisteet saadaan, kun pisteestä edetään ensin pisteeseen S a sen älkeen samaan suuntaan yhtä pitkä matka pisteen S toiselle puolelle. Pisteen A paikkavektori on OA' OA AS. Vastaavasti saadaan muiden pisteiden paikkavektorit. b) Määritetään pisteet A a B paikkavektoreiden avulla. AS ( ( )) i (45) 4i OA' OA AS i 5 (4 i ) i 5 8i 6i Piste A on (6, ). AS ( ( )) i (45) 4i OA' OA AS i 5 (4 i ) i 5 8i 6i Piste B on (, ).

29 5. a) Piste (, ). b) Pisteen P koordinaattea ei tunneta, oten olkoon piste P = (x, y). Määritetään vektorit PA, PB a PC. PA ( x) i ( y) PB ( x) i (5 y) PC ( x) i (5 y) Lasketaan vektorien summa. PA PB PC ( x) i ( y) ( xi ) (5 y) ( xi ) (5 y) (xx x) i( y5 y5 y) ( xi ) (9 y) Jotta summa olisi nollavektori, tulee olla x = 0 a 9 y = 0 x = y = 9 x = y = Piste P on (, ).

30 6. a) Geogebra:. Tee liukusäädin t.. Piirrä vektori u komennolla u = t(, ). Piirrä vektorin u loppupisteeseen piste. Laita pisteelle älki käyttöön a siirrä liukusäädintä t, olloin syntyy kuvaaa. Jos vektorin u alkupiste on origo, on vektorin u päätepisteen paikkavektori myös u. Kun t =, päätepisteen paikkavektori on i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( i ) i 4, oten päätepiste on (, 4). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( i ) i 6, oten päätepiste on (, 6). Vektorin päätepisteet siaitsevat suoralla, oka kulkee origon kautta, a onka kulmakerroin on, eli suoralla y = x.

31 b) Jos vektorin u alkupiste on (, ), on loppupisteen paikkavektori i u i t( i ) ( t) i( t). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( ) i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( 4) i, oten päätepiste on (, ). Kun t =, päätepisteen paikkavektori on ( ) i( 6) 4i 5, oten päätepiste on (4, 5). Vektorin päätepisteet siaitsevat suoralla, oka kulkee pisteen (, ) kautta, a onka kulmakerroin on. Suoran yhtälö on y = (x ) y = x.

32 7. Pisteen A koordinaatit ovat (x, 0). Kolmio on tasasivuinen, os kaikki sivut ovat yhtä pitkät. Muodostetaan kolmion sivuvektorit AB, AC a BC. AB (0 x) i (6 0) xi 6 AC ( 4 x) i (0) ( 4 x) i BC ( 4 0) i ( 6) 4i Vektoreiden tulee olla yhtä pitkät. Lasketaan vektoreiden pituudet. AB ( x) 6 x 6 AC ( 4 x) 68x x 9 x 8x 5 BC ( 4) ( ) Tulee siis olla AB BC x 6 5 x 6 5 x 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, oten sivut AB a BC eivät voi koskaan olla yhtä pitkät a siten kolmio ei voi olla tasasivuinen. Tutkitaan, voivatko sivut AC a BC tai AB a AC olla keskenään yhtä pitkät, olloin kolmio olisi tasakylkinen. AC BC x 8x5 5 x 8x55 x 8x0 xx ( 8) 0 x 0 tai x8

33 AB AC x 6 x 8x5 x 6 x 8x5 8x x 8 Tutkitaan vielä, muodostuuko kaikissa tapauksissa kolmiota. Jotta kolmio muodostuisi, ei sivuvektori voi olla nollavektori, eivätkä vektorit saa olla yhdensuuntaisia. Kun x = 0, AB 6, AC 4i a BC 4i. Kolmio muodostuu. Kun x = 8, AB 8i6, AC 4i abc 4i. Vektorit ovat yhdensuuntaiset, oten kolmiota ei muodostu.

34 Kun x = 8, AB i 6, AC 4 i a BC 4i. Kolmio 8 8 muodostuu. Kolmio ei ole milloinkaan tasasivuinen. Kolmio on tasakylkinen, kun A = (0, 0) tai ( 8, 0).

35 8. a) Piste on funktion f(x) = 6 x kuvaaalla, oten sen y-koordinaatti on 6 x. P = (x, 6 x ) Paikkavektori OP on yhdensuuntainen vektorin i kanssa, os on olemassa luku t siten, että OP ti. OP ti xi(6 x ) ti Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan x. x t 6 x 0 Alemmasta yhtälöstä saadaan 6 x = 0 x = 6 x = x = tai x = t = tai t = On siis olemassa luku t siten, että vektorit OP a i ovat yhdensuuntaisia. Kun x =, Kun x =, y 6 ( ) Piste P on (, 0). y 6 ( ) Piste P on (, 0). b) OP t xi(6 x ) t x 0 6 x t Kun x = 0, y = 6 0 = 6. Piste P on (0, 6).

36 c) OP t( i ) xi (6 x ) ti t x t 6 x t Sioitetaan x = t alempaan yhtälöön. 6 x = x x x + 6 = 0 ( ) ( ) 4 ( ) 6 x 49 7 ( ) 4 4 x 8 tai x Kun x =, y = 6 ( ) = 6 8 =. Piste P on (, ). Kun x =, y 6 ( ) 6 9. Piste P on (, ). Piirretään vielä kuva kohtien a, b a c tilanteesta.

37 . Geometriaa vektoreilla YDINTEHTÄVÄT 9. a) Keskipiste on 7 ( ) (, ) (9, 5). b) ( 5 7, 4 ) (, 5 ) 0. a) B = (, 0), C = (, ), D = (0, ) b) OB OA AB i i i B = (, 0) OD OA AD i i D = (0, ) Koska kuvio ABCD on suunnikas, sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin BC AD. OC OBBC ii i C = (, )

38 . Piirretään kuva. Kolmion kolmas sivuvektori on uv4i 4 i. Lasketaan sivuvektoreiden pituudet. u ( 4) 6 7 v uv ( 4) ( ) 6 7 Kolmio on tasakylkinen, koska u u v.. Määritetään pisteiden B a C koordinaatit paikkavektoreiden OB a OC avulla. OB OA AB i 4i i Piste B on (, ). OC OB BC i i 4 5i Piste C on (5, ).

39 . a) Suorakulmion ABCD vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Tällöin AB DC a DA CB. DC ( 0) i (4 ) i CB (5 ) i ( 4) i Määritetään pisteen A paikkavektori. OA OD DA i i Piste A on (, ).

40 b) Piirretään kuva. Suorakulmion lävistäät puolittavat toisensa, oten DP DB. DB (5 0) i ( ) 5i Määritetään pisteen P paikkavektori OP. OP OD DP OD DB (5 i ) 5 i Piste P on ( 5, ) (, ). c) Pinta-alan laskemiseksi tarvitaan vektoreiden DC a CB pituudet. DC 8 CB ( ) 44 8 Suorakulmion pinta-ala on 6.

41 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 4. a) Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa. Merkitään lävistäien leikkauspistettä kiraimella P. AC 4i 9 a BD i AP AC ( 4i 9 ) i 9 BP BD ( i ) 6i Muodostetaan sivuvektorit AB a AD. AB AP PB AP BP i 9 ( 6 i ) 4i AD AP PD AP BP i 9 6i 8i 6

42 b) Määritetään pisteet C a D muodostamalla niiden paikkavektorit. OC OAAC i 4i 9 6i 0 OD OAAD i 8i 6 0i 7 Piste C on ( 6, 0) a piste D on ( 0, 7). 5. a) Piirretään kuva. P = (;,)

43 b) Piste P on mediaanien leikkauspiste. Mediaanilauseen mukaan piste P akaa mediaanit suhteessa :. Merkitään anan AB keskipistettä kiraimella Q. Määritetään pisteen P paikkavektori. OP OQ QP OA AQ QP OA AB QC OA i AB (6 ( )) i (0 ) 8i Määritetään pisteen Q koordinaatit paikkavektorin avulla. OQ OA AQ OA AB i (8i ) i4i i Piste Q on (, ). QC ( ) i (5) i 4

44 OP OQ QP OQ QC i ( i4 ) i i 4 i 7 Piste P on (, 7 ) = (, ). 6. a) Piirretään kuva. AB 9i a AC 6i 8 BC BA AC AB AC (9i ) 6i 8 i 6 Piste P on sivun AC keskipiste, oten AP PC AC. Piste Q akaa sivun BC suhteessa :, oten BQ BC a QC BC. PQ PC CQ PC QC AC BC

45 b) Janan PQ pituus on sama kuin vektorin PQ pituus. PQ AC BC (6i8 ) ( i6 ) i4i 4i PQ Janan PQ pituus on 0 5. c) Määritetään piste Q muodostamalla sen paikkavektori. OQ OA AQ OA AP PQ OA AC PQ 4i (6i8 ) 4i i4 Piste Q on (, 4).

46 7. a) Piirretään kuva. Merkitään sivun AB keskipistettä kiraimella D. Mediaanilauseen mukaan piste P akaa anan DC suhteessa :. Tällöin DP DC. Koska piste D on sivun AB keskipiste, on AD AB. Muodostetaan vektori AP. AP AD DP AB DC AB ( DA AC ) AB ( AB AC) AB AB AC 6 AB AC

47 b) Pisteen P etäisyys origosta on sama kuin sen paikkavektorin pituus. Määritetään paikkavektori OP. OP OA AP OA AB AC i4 ( 4i ) (4i6 ) i4 4 i 4 i i OP ( ) 9 0 Pisteen P etäisyys origosta on 0.

48 8. a) Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Pitää siis osoittaa, että AB DC a AD BC. AB (4 ( )) i () 6i DC ( ( 5)) i (5 4) 6i AD ( 5 ( )) i (4) i BC (4) i (5 ) i Koska AB DC a AD BC, on nelikulmio ABCD suunnikas.

49 b) Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on puolisuunnikas, os sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. Pitää siis osoittaa, että toinen seuraavista ehdoista pätee: AB DC tai BC AD. AB (5 4) i ( 5 ) i 8 i 4 DC (8 5 ) i (0 ) i AB DC, oten AB DC. Osoitetaan vielä, että BC AD. BC (8 5) i (0 ( )) i AD ( 5 4) i (4) 7 i BC AD, koska vektorin BC komponenttien kertoimet ovat saman merkkiset a vektorin AD eri merkkiset, ei ole olemassa sellaista lukua t, että BC t AD.

50 9. Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan kärkiä kiraimilla A, B, C a D a lävistäien leikkauspistettä kiraimella P. AC i 5 a BD 5i Suorakulmion pinta-alan laskemiseksi tarvitaan suorakulmion sivuen pituudet. Suorakulmion lävistäät puolittavat toisensa, oten AP PC AC a BP PD BD. Määritetään suorakulmion sivuvektorit BC a BA a lasketaan niiden pituudet. BC BP PC BD AC (5 i ) ( i5 ) 5 i i 5 i

51 BA BP PA BD CA BD AC (5 i ) ( i 5 ) 5 i i 5 i BC 99 9 BA 44 4 Suorakulmion pinta-ala on 6.

52 40. Piirretään kuva. Nimetään piste A = (, 4 ) 4 loppupiste B, olloin AB v. a sivuvektorin v 4 i Nimetään piste C = (, ). Suunnikas voi muodostua kahdella tavalla. Vektori AC voi olla suunnikkaan sivuvektori tai halkaisiavektori. Suunnikkaan neläs kärkipiste on D. Määritetään piste B paikkavektorin avulla. OB OA v i 4 4i 4 i 4 4 Piste B on (4, ). 4 Jos vektori AC on suunnikkaan sivuvektori, on CD AB v (vasemmanpuoleinen kuva). Määritetään piste D paikkavektorin avulla OD OC CD OC v i 4i 7i Piste D on (7, 0). Jos vektori AC on suunnikkaan halkaisiavektori, on DC AB v (oikeanpuoleinen kuva). Määritetään piste D paikkavektorin avulla OD OC CD OC DC OC v i (4 i ) i Piste D on (, ). Suunnikkaan muut käret ovat (4, ) 4 a (7, 0) tai (4, ) a (, ). 4

53 4. Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan ABCD lävistään DB keskipistettä kiraimella E a lävistään AC keskipistettä kiraimella F. Pitää osoittaa, että E a F ovat sama piste. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Merkitään AB DC a a DA CB b. Määritetään vektori AE vektoreiden a a b avulla. AE AD DE AD DB AD ( DC CB ) b ( ab ) a b Määritetään vektori AF vektoreiden a a b avulla. AF AC ( AD DC) ( b a) a b Koska AE AF ovat pisteet E a F sama piste. Näin ollen vektorin lävistäät leikkaavat toisensa kummankin lävistään keskipisteessä. Lävistäät puolittavat toisensa.

54 4. a) Piirretään kuva. Merkitään sivun AB keskipistettä kiraimella G a sivun CD keskipistettä kiraimella H. Pitää osoittaa, että DG HB. Nelikulmio ABCD on suunnikas, oten AB DC a a DA CB b. Koska piste G on sivun AB keskipiste a H on sivun CD keskipiste on AG GH AB a a DH HC DC a. Määritetään vektorit DG a HB vektoreiden a a b avulla. DG DA AG b a a b HB HC CB a b Koska DG HB, oten anat DG a HB ovat yhdensuuntaiset a yhtä pitkät.

55 b) Merkitään anan DG a lävistään AC leikkauspistettä kiraimella P a anan HB a lävistään AC leikkauspistettä kiraimella J. Voidaan merkitä AP s AC. Pitää osoittaa, että s =. Kiroitetaan vektori AP kahdella eri tavalla. AP s AC s( AD DC) s( b a) sa sb AP AG GP AB tgd AB t( GA AD) at( ab) a tatb ( ta ) tb sa sb ( t) a tb Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan s. s t s t

56 Yhtälöparin alemmasta yhtälöstä saadaan s = t. Sioitetaan tämä ylempään. t t t t t : t s Samoin voidaan osoittaa, että JC AC. Tällöin lävistää AC on aettu kolmeen osaan.

57 4. Piirretään kuva. CB tcd, pitää määrittää t. CD (8 ) i ( 5) 6i AC ( ) i (5) i 4 Kiroitetaan vektori CB kahdella eri tavalla. CB tcd t(6i ) 6ti t CB CA s( i ) ( i 4 ) s( i ) ( s) i ( 4 s) 6ti t ( s) i ( 4 s) Vektoreiden yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. 6t s t 4 s ( ) 6t s 6t 8s t 7 : t 7 Saatiin CB 7 CD, oten piste B akaa anan CD suhteessa 7 : 5.

58 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 44. Piirretään kuva. Nimetään sivun BC keskipiste D a keskianan AD a anan PC leikkauspiste Q. Merkitään AB a a AC b. BC BA AC a b Tiedetään, että AP AB a a 4 4 BD DC BC ( a b) a b. AQ t AD, pitää ratkaista t. Kiroitetaan vektori AQ kahdella eri tavalla. AQ t AD t( AB BD) t( a a b) ta tb AQ AP PQ AP spc AP s( PA AC) as( ab) 4 4 ( sa ) sb 4 4 ta tb ( s) a sb 4 4

59 Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t. t s t s t s t s 5 t : 5 t 5 Saatiin AQ AD, oten piste Q akaa anan AD suhteessa :. Jana PC 5 akaa kärestä A lähtevän keskianan suhteessa :.

60 45. Piirretään kuva. Merkitään puolisuunnikkaan käret kiraimilla A, B, C a D sekä lävistäien leikkauspiste P. Tiedetään, että DC AB. Merkitään AP t AC a BP sbd. Pitää osoittaa, että t a s. Kiroitetaan vektori AP kahdella eri tavalla. AP t AC t( AB BC) t AB tbc AP AB BP AB sbd AB s( BC CD) AB s( BC DC) AB s( BC AB) ( sab ) sbc tabtbc( s) AB sbc

61 Vektoreiden komponentteihin aon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan t a s. t s t s s s s s s : s t = s = Saatiin AP AC a BP BD, oten puolisuunnikkaan lävistäät akavat toisensa suhteessa : käristä A a B lukien.

62 46. Piirretään kuva. Tiedetään, että DR RC DC, AS SD AD. CQ QB CB, BP PA BA a Nelikulmio on suunnikas, os sen vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät a yhdensuuntaiset. Pitää osoittaa, että PQ SR a PS QR. PQ PB BQ AB BC ( AB BC) AC SR SD DR AD DC ( AD DC) AC PS PA AS BA AD ( BA AD) BD QR QC CR BC CD ( BC CD) BD On saatu, että PQ SR a PS QR. Varignonin suunnikaslause pätee.

63 47. a) Uusi kärkipiste on paikassa, oka siaitsee samassa suunnassa a k- kertaisella etäisyydellä pisteestä S kuin alkuperäinen kärkipiste. Muodostetaan vektori pisteestä S kärkipisteeseen A. Kun halutaan tehdä k-kertainen suurennus, on pisteen A paikkavektori OA' OS k SA.

64 b) OA' OS SA OS i SA ( ) i ( ) i OA' i ( i ) i i6 i 7 A' = (, 7) OB' OS SB SB (4 ) i ( ) i OB' i ii 6i8i B = (8, )

65 48. a) Suurennos kaksinkertaiseksi: OS i SA ( ) i ( ) i SB ( ) i ( ) SC ( ) i ( ) i OA' OS SA i ( i) i 4i i OB ' OS SB i ( ) i 4 i 5 OC ' OS SC i ( i ) i 4i 4 i 5 A = (, ), B = (, 5) a C = (, 5) Siirto vektorin s5i verran: OA'' OA' s i 5i i OB'' OB' s i 5 5i 6i OC '' OC ' s i 5 5i i

66 Suurennetun a siirretyn kolmion käret ovat A = (, ), B = (6, ) a C = (, ). b) Piirretään kuva siten, että ensin siirretään a sitten suurennetaan. Siirretty a suurennettu kolmio A B C ei siaitse samassa kohdassa kuin b-kohdan suurennettu a siirretty kolmio. Järestyksellä näyttäisi olevan väliä. Osoitetaan tämä vielä yleisesti.

67 . Muodostetaan siirretyn a suurennetun kuvion pisteen P paikkavektori. OP ' P s OP'' OS k SP' OS k( SO OP') OS kos kop ' ( kos ) kop ( s) ( kos ) kopks. Muodostetaan suurennetun a siirretyn kuvion pisteen P paikkavektori. OP ' OS kp OP'' OP' s OS k SP s OS k( SO OP) s ( kos ) kops Paikkavektorit eivät ole samat muulloin kuin arvolla k =, olloin ei kyseessä ole suurennos. Koska paikkavektorit eivät ole sama vektori, on ärestyksellä väliä.

68 . Kolmiulotteinen koordinaatisto YDINTEHTÄVÄT 49. a) b)

69 50. a) P = (4,, 8), Q = (4, 4, 7) 5. a) b) Pisteen etäisyys origosta on paikkavektorin pituus. OP 4 ( ) OQ 4 ( 4) Molemmat ovat yhtä kaukana. b) AB ( 4) i ( ( )) ( 5) k i 6k AB ( ) AC (74) i ( 7 ( )) (75) k i 6 k AC ( 6) BC (7 ) i( 7 ) (7 ) k 5i9 4k BC 5 ( 9) ( 4) 5 86 Sivut AB a AC ovat yhtä pitkät, oten kolmio on tasakylkinen.

70 5. a) Hahmotellaan kuva. Määritetään pisteen D koordinaatit muodostamalla paikkavektori OD. OD OA AD Koska kuvio on suunnikas on AD BC. AD BC ( ( )) i (64) ( ( )) k 4i 5k OD OA AD i k 4i 5k i 8k b) Piste D on (,, 8).

71 5. a) u i k u ( ) u i k u i k u b) Koska v u kerrotaan vektori u negatiivisella luvulla. Koska v 5 a 0 u on yksikkövektori, on 0 v5u 5( i k) 0i5 0k. c) Merkitään pistettä, ohon päädytään, kiraimella P. Kun edetään 5 yksikköä vektoria u vastakkaiseen suuntaan, edetään 0 b-kohdan vektori v 5 u. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA v i 5k 0i 5 0k 8i 5 5k Päädytään pisteeseen ( 8, 5, 5).

72 VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 54. A II, III a IV B I a II C II D III 55. a) P = (4, 5, ) b) Pisteen P proektio xy-tasolla on (4, 5, 0). 56. a) Pisteen (4, 5, ) etäisyys xy-tasosta on pisteen z-koordinaatti. b) Pisteen (4, 5, ) etäisyys xz-tasosta on pisteen y-koordinaatti 5. c) Pisteen (4, 5, ) etäisyys yz-tasosta on pisteen x-koordinaatti a) Tosi xy-tason pisteiden x- a y-koordinaatit voivat olla mitä tahansa lukua, mutta z koordinaatin tulee olla 0. b) Epätosi. x-akselin pisteiden x-koordinaatti voi olla mikä tahansa luku, mutta y- a z-koordinaatti on 0. Esimerkiksi piste (, 0, 0) on x-akselin piste. c) Tosi. Piste on koordinaattiakselilla, kun se on muotoa (x, 0, 0), (0, y, 0) tai (0, 0, z).

73 58. a) Koska piste P akaa anan AB suhteessa :, on AP AB. 5 AB (0 0) i (9 ( )) (0 5) k 0i 0 5k Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB 5 0i 5 k ( 0i0 5 k) 5 0i 5k 4i k 6i k Piste P on (6,, ). b) Hahmotellaan kuva. Merkitään sivun AB keskipiste D, sivun BC keskipiste E a sivun AC keskipiste F sekä mediaanien leikkauspiste P. Mediaanilauseen mukaan kolmion mediaanien leikkauspiste akaa mediaanit suhteessa : kärestä lukien. Tällöin AP AE. Piste E on sivun BC keskipiste, oten E (, 4, ) (,, ). Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AE

74 AE ( ( )) i( ( )) ( ) k 4i 5 k OP OA AE i k (4 i 5 k) ik 8 i 5 k i k Mediaanien leikkauspiste on (,, ).

75 59. Hahmotellaan kuva. a7i k a b 5i9 k Kolmion kolmas sivuvektori on a b. a b (7i k) 5i 9 k 7i k 5i9 k i6 k Kolmannen sivun pituus on sama kuin vektorin a b pituus. a b ( ) ( 6) Kolmannen sivun pituus on 7.

76 60. Hahmotellaan kuva. AC 6i 4k Suunnikkaan lävistäät puolittavat toisensa, oten AP AC. Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AC i75 k (6i4 k) i75k i k 5i67k Lävistäien leikkauspiste P on (5, 6, 7). Muodostetaan pisteen B paikkavektori. OB OP PB PB DP (5 7) i (6 0) (7 ) k i 4 6k OB OP PB 5i 6 7k i 4 6k i k Piste B on (,, ).

77 6. a) Proektiopisteet xy-tasossa ovat A = (,, 0), B = (, 4, 0), C = ( 4, 4, 0) a D = ( 4,, 0) b) Alueen sivuvektorit ovat AB ' ' () i(4 ( )) (00) k 5 D' C' ( 4 ( 4)) i (4 ( )) (00) k 5 A' D' ( 4) i ( ( )) (00) k 5i BC ' ' ( 4 ) i(4 4) (0 0) k5i Sivuen pituus on 5. Sivuvektorit ovat yhtä pitkät a kohtisuorassa toisiaan vastaan, oten alue on neliö. Pinta-ala on 5 5 = 5. c) Lyhin etäisyys maanpinnasta on, koska pisteiden C a D z- koordinaatti on. 6. a) i 4 b) i 7k c) 4 7k

78 6. a) Määritetään pisteet A, B a C paikkavektorien avulla. OA OP PA 6k i 6k i Piste A on (, 0, 0). OB OP PB 6k 6k Piste B on (0,, 0). OC OP PC 6k 6k Piste C on (0,, 0).

79 b) Pyramidin tilavuuden laskemiseksi tarvitaan pyramidin korkeus a pohan pinta-ala. Määritetään pohan sivuvektorit a niiden pituudet. AB(0 ) i( 0) (0 0) k i AB ( ) 8 AC (0 ) i( 0) (0 0) k i AC ( ) ( ) 8 BC (0 0) i ( ) (0 0) k 4 BC ( 4) 6 4 Kolmion sivuen pituuksille on voimassa AB AC BC Kolmio on suorakulmainen. Lasketaan kolmion pinta-ala. A Pyramidin poha on xy-tasossa. Pyramidin korkeus on huippupisteen P z-koordinaattin arvo 6. Lasketaan pyramidin tilavuus. V Pyramidin tilavuus on 8.

80 SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 64. a) Määritetään vektori AB paikkavektorien avulla. OA xi y zk OB xi y zk AB AOOBOAOBOBOA xi y zk( xi y zk) ( x x ) i( y y ) ( z z ) k b) Merkitään anan AB keskipiste P. AP AB Muodostetaan pisteen P paikkavektori. OP OA AP OA AB xi y zk (( x x ) i ( y y ) ( z z ) k ) ( x x) i( y y) ( z z) k xx y y zz i k x x y y z z Janan AB keskipiste on (,, ).

81 65. Merkitään aritmeettisen lukuonon erotuslukua d. Pisteen P koordinaatit ovat aritmeettisen lukuonon lukua. Jos x-koordinaatti on x, y-koordinaatti on x + d a z-koordinaatti on x + d. Tällöin P = (x, x + d, x + d). Koordinaattien summa on, eli x + x + d + x + d = x + d =. Etäisyys xy-tasosta on pisteen z-koordinaatti, eli x + d = tai x + d =. Saadaan yhtälöpari, osta ratkaistaan x a d. Jos x + d = : xd xd ( ) xd x 6d 9 d :( ) d 4 Sioitetaan d alempaan yhtälöön. x + 4 = x + 8 = x = 5 Piste P on ( 5, 5 + 4, 5 + 4) = ( 5,, ). Jos x + d = : xd xd ( ) xd x 6d 9 d 6 :( ) d

82 Sioitetaan d alempaan yhtälöön. x + ( ) = x 4 = x = Piste P on (,, + ( )) = (,, ). Piste P on ( 5,, ) tai (,, ). 66. Piste P on y-akselilla, oten sen koordinaatit ovat (0, y, 0). Määritetään vektorit AP a BP, a merkitään niiden pituudet yhtä suuriksi. AP(0 ) i( y) (0 0) k i( y) AP ( ) ( y ) 4 y y y y 5 BP(0 0) i( y0) (0 ) k y k BP y ( ) y 9 AP BP y y5 y 9 y y5 y 9 y 4 : ) y Piste P on (0,, 0).

83 67. Pallo liikkuu ylöspäin, eli vektorin k suuntaan nopeudella 5 m/s. Nopeusvektorilla on siis komponentti 5 k. Tuulee lounaasta, olloin pallo liikkuu koilliseen, eli vektorin i suuntaan. Vektorin i pituus on. Tuuli liikuttaa palloa nopeudella m/s, eli nopeusvektorilla on komponentti, oka on kertaa i vektorin i yksikkövektorin pituinen: i. Palon nopeusvektori on i 5 k. Nopeusvektorin pituus ilmoittaa pallon etenemän matkan metreinä yhden sekunnin aikana. Lasketaan vektorin pituus. Minuutin aikana, eli 60 sekunnissa pallo liikkuu vektorin 60( i 5 k) 0 i 0 00 k. 0 0 ( ) ( ) ,... 0 (m) Pallo etenee minuutin aikana 0 metriä lähtöpisteestä. Pallo on pisteessä ( 0, 0,00) (84,8...; 84,8...; 00) (85, 85, 00).

84 68. Muodostetaan kolmion sivuvektori BC. BC BA AC AB AC ( ti k) i ( t ) k ti k i ( t ) k ( t ) i( t ) 4k ( t ) i( t ) 4k Lasketaan sivuvektoreiden pituudet. AB t ( ) t AC ( ) ( t ) t t9 t t BC ( t ) ( t ) 4 t tt 4t46 t t Pitää osoittaa, että BC AB a BC AC kaikilla t:n arvoilla. BC AB kun t t + > t + eli t t + 9 > 0. Juurrettavalla ei ole nollakohtia, koska sen diskriminantti ( ) 4 9 = 7 on negatiivinen. Kuvaaa on ylöspäin aukeava paraabeli, oten lauseke t t kaikilla t:n arvoilla. Tällöin BC AB kaikilla t:n arvoilla. BC AC kun t t + > t t + eli t + 0 > 0. Juurrettavalla ei ole nollakohtia, koska yhtälö t = 0 ei toteudu millään t:n arvolla. Tällöin BC AC kaikilla t:n arvoilla. Sivu BC on kolmion pisin sivu.

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Vektori Ennakkotehtävät.. Laiva etenee aikayksikössä aina nuolen pituuden verran. Jatketaan laivojen kulkua osoittavia nuolia, jolloin saadaan selville laivan sijainti yhden, kahden, kolmen jne. aikayksikön

Lisätiedot

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.

b 4i j k ovat yhdensuuntaiset. MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Piste ja jana koordinaatistossa

Piste ja jana koordinaatistossa 607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.

203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma. Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8

Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.

14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm. 1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri

Lisätiedot