Harjoituksia MAA5 - HARJOITUKSIA. 1. Olkoon ABCD mielivaltainen nelikulmio. Merkitse siihen vektorit. mutta molemmat puolet itseisarvojen sisällä????

Transkriptio

1 MAA5 - HARJOITUKSIA 1. Olkn ABCD mielivaltainen nelikulmi. Merkitse siihen vektrit a) AB b) CA ja DB. 2. Neljäkäs eli vinneliö n suunnikkaan erikistapaus. Mitkä seuraavista väitteistä vat tsia neljäkkäässä ABCD: a) AB = DC b) AB = CD c) BC = CD d) kuten c-khdan yhtälö, mutta mlemmat pulet itseisarvjen sisällä???? 3. Olkt a = 12 ja b = 5. Piirrä vektri a + b ja määritä a + b, kun a) a b b) a b c) a b. 4. Suunnikkaassa ABCD lkn AB = a ja AD = b. Lausu vektreiden a ja b avulla vektrit a) AC b) BD c) DB. 5. Millä ehdlla (m ja n reaalilukuja) a) ma = 0 b) ma = a c) ma = na d) ma = mb (Kaikissa khdissa n kaksi erilaista vaihtehta) 6. Näytä, että suunnikkaassa ABCD pätevät yhtälöt a) AC+ BD = 2 AD b) AC BD = 2 AB. 7. Ratkaise x vektriyhtälöstä 2 a ½( x b) = 3a + 5b. 8. Suunnikkaassa ABCD lkn AB = a ja AD = b sekä sivujen AB ja CD keskipisteet P ja Q. Lausu vektreiden a ja b avulla AQ, BQ ja PC. Mitä vit sana edellisen virkkeen ensin mainitusta ja viimemainitusta suuntajanasta? 1(8)

2 9. Olkt a, b ja c pisteestä O alkavat, pisteisiin P, Q ja R päättyvät vektrit. Lausu näiden vektreiden avulla PQ ja QR. Millä ehdlla piste Q n janan PR keskipiste? 10. On annettu neljä suuntajanaa OA = a, OB = b, OC = c ja OD = d. Osita, että js n vimassa vektriyhtälö b a = c d, niin ABCD n suunnikas. 11. Osita, että neliön lävistäjien leikkauspisteestä kärkiin piirrettyjen vektreiden summa n nllavektri. 12. Mielivaltaisessa nelikulmissa ABCD n AB = a ja DC = b. Näytä, että sivujen AD ja BC keskipisteiden yhdistysvektri PQ a + b =. (Ohje: laadi 2 kuvista kaksi vektriyhtälöä, jissa kysytty suuntajana PQ esiintyy. Mukkaa ttaen humin, kska P n sivun AD keskipiste, että AP = PD jne) 13. Vertaa tisiinsa vektreiden a ja b pituuksia, kun a) 2a + b = 0 b) 2a + 5b = a b 14. Krdinaatistssa n annettu vallan seitsemän pistettä: O = rig, A = (2,0), B = (0,1), C = (2,1), D = ( 1,0), E = (0, 2) ja F = (3, 1). Olkt OA = a ja OB b. Lausuttava vektreiden a ja b avulla = a) OC b) OD c) OE d) OF e ) CF. 15. Suuntajanalla AB n pisteet P ja Q siten, että AQ:QB = 3:4 ja AP:PB = 1:5. Lausu AB : n avulla suuntajanat a) AQ b ) AP c ) PB d) PQ ja QP. 16. Pisteestä O pisteisiin A,B ja C piirretyt vektrit vat vastaavasti a b ja c,. Lausu vektrimutinen yhtälö sille, että A,B ja C vat samalla suralla. Millä ehdlla erikisesti B n janan AC keskipiste? (Pisteiden l samalla 2(8)

3 suralla palautuu eräiden vektreiden yhdensuuntaisuuteen, ehkä useita esitysmutja) 17. Vektreiden OA = a ja OB = b lppupisteiden välisellä janalla AB n piste T siten, että AT:TB = 2:3. Lausu OP a : n ja b :n avulla. 18. Mielivaltaisessa klmissa OAB sivua OA jatketaan A:n hi janalla AC = OA ja piste C yhdistetään sivun OB keskipisteeseen D. Missä suhteessa AB ja CD jakavat tisensa ts näiden janjen leikkauspiste jakaa kummankin janan kahteen saan ja tätä jaksuhdetta kysytään kummankin janan salta erikseen. 19. Suunnikkaassa ABCD n sivulla DC piste E siten, että DE:EC=5:3 ja F n sivun BC keskipiste. Missä suhteessa AE ja FD jakavat tisensa? 20. Määritä vaki k siten, että vektrit 3a 5b ja 4a + kb vat yhdensuuntaiset, kun tiedetään, etteivät a ja b le yhdensuuntaiset. 21. Olkn (a, b) tasn vektrikanta. Määritä luvut r ja s siten, että a)r(a + b) + 2b = s(3a + b) b)r(a + 2b) s(2a b) = 2a 5b 22. Mitkä vat pisteiden A = (3,2) ja B = ( 1½, 1) paikkavektrit? Onk lemassa sellaista lukua t, että tteutuisi vektriyhtälö OA = t OB? 23. Olkn A = (2, 1) ja B = ( 1,3). Määritä AB ja AB. Js AB siirretään suuntansa säilyttäen, niin että sen alkupiste tulee a) rign b) pisteeseen (52, 98), niin mihin tulee sen lppupiste? 24. Määritä â, kun a = 3î + 4ĵ. 25. AB n samansuuntainen kuin 3 î 4ĵ ja AB = 2. Määritä pisteen A 11 2 krdinaatit, kun B = (, ) (8)

4 26. Olkt A = (2,1) ja B = (3, 1). Määritä AB. 27. Määritä janan AB keskipisteen P krdinaatit mudstamalla pisteiden A ja B paikkavektrit ja njautumalla tämän jälkeen jk esimerkkiin 5.10 tai lauseeseen 5.3. Ota pisteet A ja B edellisestä tehtävästä. 28. P n janan AB keskipiste. Määritä B, kun A = (1, 1) ja P = (3,4). 29. Suunnikkaan ABCD kärki A = (2, 1), tästä lähtevän sivun määrää suuntajana AB = 3 i + j ja lävistäjän taas suuntajana AC = 2i + 3 j. Määritä suunnikkaan muut kärjet B,C ja D. 30. Selvitä vatk pisteet A = ( 2, 1), B = (1,1) ja C = (5,3) samalla suralla tutkimalla suuntajanja AB ja AC. 31. Origsta alkava suuntajana OP n vektrin 3i + j suuntainen ja sen lppupiste P sijaitsee pisteitä A = (6,0) ja B = (0,3) yhdistävällä janalla. Missä suhteessa P jakaa janan AB? 32. Piirrä tasasivuinen klmi ABC. Kun määrität seuraavia, sivuvektreiden välisiä kulmia, kiinnitä humita, että valitset niille samasta pisteestä alkavat edustajat a) (AB,AC) b) (CA,CB) c) (AB,BA) d) (AB,BC) 33. Svella pistetuln määritelmää ja laskulakeja seuraavassa: a) ( 2î) (3î) b) (2î) (3ĵ) c) (4ĵ) (½î 1½ ĵ) d) (î + ĵ) (î ĵ) e) (î + ĵ) (î + ĵ). 34. Olkt vinneliössä ABCD sen kärjestä A lähtevät vektrit a ja b. Lausu ensin lävistäjät AC ja BD näiden vektreiden avulla ja mudsta sitten niiden pistetul käyttäen laskulakeja ja määritelmää. Mitä tiedät vinneliön sivujen pituuksista. Minkä arvn kyseinen pistetul näin saa ja mitä se kert lävistäjäin keskinäisestä asennsta? 35. Laske vektrin 2a + 4b pituus, kun tiedetään, että vektri a n 1 yksikkövektri, b = ja (a,b) = (8)

5 36. Olkt a) u = 3î 4ĵ ja v = 12î + 5ĵ b) u = 3î 4ĵ ja v = 12î 5ĵ. Määritä annettujen vektreiden (samasta pisteestä alkavien edustajien) välinen kulma tuhannessa-asteen tarkkuudella. Tarkista tulkset astelevyllä piirtämästäsi kuvista. 37. Klmissa ABC n A = ( 1,0), B = (4, 5) ja C = (2,7). Laske sivuvektreiden pistetuljen avulla klmin kaikki kulmat ja humaa, että kulma A = α n suuntajanjen AB ja AC välinen, kulma B = β = (BA, BC) ja kulma C = γ = ( CA, CB ). Tarkista tuls laskemalla yhteen saamasi asteluvut. Anna tulkset sadassa-asteen tarkkuudella. 38. Määritä vaki t siten, että vektrit a = tî + 2ĵ ja b = tî t ĵ vat khtisurassa tisiaan vastaan. Tarkista, ettei saamallasi t:n arvlla kumpikaan annetusta vektreista le nllavektri. 39. Jaa vektri 6 î + 5ĵ kahteen kmpnenttiin, jista tinen n 2 î + ĵ ja tinen tätä vastaan khtisurassa asennssa. (Vihje: Aî + Bĵ ja Bî Aĵ) vat khtisurassa ainakin sillin, kun AB 0) 40. Jaa vektri 6 î + 5ĵ kahteen kmpnenttiin, jista tinen n vektrin 2 î + ĵ suuntainen, ja tinen tätä vastaan khtisurassa asennssa. Tarkista saamasi tuls piirtämällä. (Tinen tehtävistä 39 ja 40 n mahdtn) 41. Olkn a = 4î 3ĵ ja b = 5î 15ĵ. Määritä b a ja ab. Ohessa annettu tuls vi lla väärässä järjestyksessä. ( î ĵ ja î ĵ) Määritä pisteen P = (5,1) prjekti paikkavektrilla OA = 4î + 2ĵ. 43. Sura y = kx kulkee rign ja esimerkiksi pisteen (1,k) kautta. Tällöin suran ja myös suran y = kx + b suunta vidaan antaa vektrilla s = î + kĵ. Osita näistä ajatuksista lähtien, että suran ax + by + c = 0 suuntavektriksi vidaan valita s = bî aĵ ja nrmaalivektriksi n = aî + bĵ riippumatta edes siitä, nk suralla kulmakerrinta vaik ei. 5(8)

6 44. Määritä surien 3x 4y + 5 = 0 ja 12x + 5y = 0 välinen kulma jk suunta-vektreiden tai nrmaalivektreiden välisen kulman avulla. 45. Klmissa ABC n AB = 3, BC = 6 ja AC = 4. Laske kulmien asteluvut sadassa-asteen tarkkuudella. 46. Klmissa n a) 33 b) 114 kulma, ja tämän viereiset sivut vat 11 cm ja 19 cm. Laske tunnetun kulman vastainen sivu ja puuttuvat kulmat. (Puuttuva sivu a-khdassa 11.5 cm ja b-khdassa 25.5 cm. Piirrä kuva ja tutki astelevyllä, vatk saamasi kulmat ikein). Vik tehtävässä lähteä sinilauseesta liikkeelle? 47. Laske ympyrässä a) 30 b) 120 kaarta vastaavan jänteen pituuden tarkka arv, kun ympyrän säde n R. 48. Määritä vakin c arv siten, että pisteen P etäisyys surasta 5x 12y + c = 0 lisi tasan 10, kun P = ( 3, 8). 49. Klmissa ABC n A = (1, 6), B = (7, 3) ja C = (4, 9). Laske klmin ACB pinta-ala siten, että valitset kannaksi sivun AB. Krkeus n laskettava pisteen C etäisyytenä pisteiden A ja B kautta kulkevasta surasta. On käytettävä siis pisteen etäisyydelle surasta jhdettua lauseketta. 50. Olkn a = 3î + 2ĵ + kˆ, b = 2î + 5ĵ + 8kˆ ja c = ĵ 7kˆ. a) Laske a + b + c b) a + b + c. c) Ratkaise yhtälö 2 (x 3b) = 3(c 2a + x). Tässä sissa a, b ja c vat tehtävän alussa annetut vektrit. 51. Olkt A = ( 1,0,3) ja B = (5,2, 3). Määritä a) AB b ) janan AB pituus sekä c) janan AB keskipisteen krdinaatit. 52. Määritä vektreiden î + ĵ + kˆ ja 6ĵ 7kˆ välinen kulma. (ehkä n ). 53. A = (1,2,3), B = (7,7, 14). Janalla AB n piste C siten, että AC:CB = 2:3. Määritä C sen paikkavektrin avulla. 54. Ovatk pisteet (2,0,3), ( 3,15, 18) ja (1,3, 2) samalla suralla? 55. Määritä yksikkövektrit, jtka vat seuraavien surien suuntaiset: 6(8)

7 a) 3x 4y = 0 b) y = kx c) x = 3t y = t 56. Mikä n pisteen (3, 1) kautta kulkevan suran yhtälö yleisessä mudssa, kun suuntavektri n a) 2î + ĵ b) 2î + 3ĵ c) 2î d) ĵ? 57. Määritä suralle 2x 4y + 17 = 0 a) vektrimutinen ts. muta r = r + ts leva yhtälö b) parametrimutinen yhtälö. Vektriyhtälön erilaisia esitysmutja n useita, mutta kiinnitä suuntavektri terian lauseen 14 mukaisesti. 58. Määritä kulmakerrin ja suuntakulma, kun suran yhtälö n x = 3 2t a ) b) x = 3 y = 4 + 3t y = 4 + 3t c) x = 2t y = Olkt P = (1,0,2) jas = 3î + 4ĵ 2kˆ. Mudsta suran a) parametrimutinen b) krdinaattimutinen yhtälö. c) Missä pisteessä tämä sura leikkaa kunkin klmesta krdinaattitassta, síis xy-tasn, xztasn ja yz-tasn? 60. Määritä pisteiden (1,1,1) ja (5,3, 1) määräämän suran yhtälö a) parametrimudssa b) krdinaattimudssa. 61. Leikkaak pisteiden (1, 3, 1) ja (13, 12, 4) kautta kulkeva sura x- akselin. Js leikkaa, niin missä leikkauspisteen x-krdinaatti n? 62. Jani n kaivanut itselleen kupan. Oletetaan, että hänen kiikarikiväärinsä piipun suuaukk n tarkalleen pisteessä (20, 30, 0). Teeri tulla pöllähtää ja istuutuu puun ksalle pisteeseen (30, 15, 5). a) Kuinka mnta metriä Jani pyssyn piipun suuauksta n matkaa teereen? b) Mikä n se vektri, jnka suuntaan Jani pyssystä pitäisi kuulan lähteä, jtta se suisi teereen, js hiukan epärealistisesti letetaan, että kuulan rata n suraviivainen. c) Mitä suraa pitkin kuula lentää. d) Missä pisteessä kuula n 2 sekunnin kuluttua, js sen lähtövauhti n 520 m/s ja letetaan teeren aavistaneen Janin aikeet ja ehtineen juuri lehahtaa lentn ennen ludin sumaa. Olkn yksikkövektrin pituus tässä krdinaatistssa tasan metri. 7(8)

8 63. Lentkne irtaa maasta pisteessä (2000, 300) ja nusee vektrin 8 î + 4ĵ + kˆ suuntaisesti. Kuinka krkealla kne n, kun se ylittää pitkin y- akselia kulkevan maantien? Olkn yksikkövektrin pituus tässäkin krdinaatistssa tasan metri. 64. Pisteet A, B, C ja D vat samassa tasssa, js suuntajanat AB, AC ja AD vat samassa tasssa. Viimemainittu eht taasen tteutuu, js yksi mainituista suuntajanista vidaan lausua kahden muun avulla. Tutki tarkin esitettyyn jhdatteluun tukeutuen, vatk pisteet A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 1, 1) ja D = ( 1, 2, 2) samassa tasssa. 65. Määritä tasjen x + 3y + 5z = 18 ja 4x 5y + 2z = 9 välinen kulma. 66. Tasn yhtälö n 4x 2y + 3z = 17. Sura kulkee pisteen (0, 1, 1) kautta ja sen suuntavektri s = î 2ĵ. Missä pisteessä tämä sura leikkaa annetun tasn? 8(8)