Värähtelyeaa. VÄRÄHTELEVÄN SYSTEEMIN OSAT. Johdato Kuvassa. o yhde vapausastee värähtelyde tarastelussa äytettävä perusall el jous-assa-vae all, joa ssältää a värähtelevä systee peruseleett. Oasvärähtely sytyy, u assa poeutetaa staattsesta tasapaoaseastaa ja päästetää luaa vapaast la uloste uortuste vautusta. Pa- ovärähtely sytyy, u assaa vauttaa jo ajasta rppuva uloe voa F (t). Kuva. perusall estyy sellaseaa äytäössä elo F(t) c harvo. Se tute o ute perusteltua, sllä oe yhde vapausastee systee äyttäytye o aaloge perusall assa ja tä vodaa aalysoda perusalla äyttäe. Kuvassa. Kuva. Perusall. o tlateta, jota sopvast approsode vodaa uvata yhde vapausastee jous-assa-vae alllla. Kae uva. tapauste värähtelyä uvaavat leyhtälöt ovat saaa uotoa ja eroavat va yhtälössä estyve paraetre osalta. Vaa seuraavssa luvussa estettävä yhde vapausastee värähtelyje teora ästtelee uva. perusalla, o selvää, että saatavaa teoraa vodaa aaloga perusteella äyttää huoattavast laaje. Koe Laatta Asel Potur θ θ Vahde Kuva. Perusall assa aalogsa tlateta. Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa. Ee värähtelyteora ästtelyä tarastellaa systee peruseleette oasuusa puuttuatta velä stä oottuje eaaste systeee oasuus.. Jous.. Jousyhtälö ja jouse oeerga Jouset ovat joustava raeeosa systee ahde appalee ta appalee ja tuea välllä. Jouset luotellaa de vastaaottaa uortuse perusteella veto/purstus-, leaus-, tavutus- ja väätöjous. Jouse assa ta rotaatohtaus o use pe systee uh appales verrattua, että se vodaa jättää ooaa huoooottaatta. Tosaa jouse ertavautus o ute erttävä, jollo ysertas tapa se huooo ottases o evvalettse assa ta htausoet äyttö. Jous to yös jossa äär lettä vaetavaa osaa ta ja jousateraal ssäse vaeuse johdosta. Tätä vautusta vodaa tarastella lsääällä systeeä uvaavaa lasetaall sopva vaeeleett, ute esers vsoos ta tavae. Seuraavassa estetyt tarastelut osevat lähä veto/purstusjousta, jota uvaava sybol o uvassa., utta aalogset tuloset pätevät ulle joustyypelle. Ku jousee e vauta ulosta uortusta, Kuva. Veto/purstusjous. saotaa se oleva lepoptuudessa. Mertää sybollla jouse ptuude uutosta tattua lepoptuudesta. Jousta veyttävä ta purstava voa F ja se ptuude uutose välllä o ateaatte yhteys uotoa F = f( ) (.) jossa f o jouse ateraalsta ja geoetrasta rppuva futo. Kehttäällä futo f Taylor sarjas ohdassa = 0 saadaa 0 + F = + + +... (.) jossa 0 = 0, osa äärtelä uaa voa F = 0, u = 0. Jos jousella o saat veto- ja purstusoasuudet, vo lauseeessa (.) olla va uuttuja parttoa potesseja el se o uotoa + 5 F = +... (.) 5 Ka veto- ja purstusoasuusltaa saalaset jouset äyttäytyvät jossa äär epäleaarsest aava (.) uasest. Ptuude uutose oreapa Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa. potesseja ssältävät tert ovat use peä esäsee leaarsee ter verrattua ja e vodaa jättää pos. Tällö jousyhtälö ysertastuu uotoo F = (.4) Kaava (.4) uasest äyttäytyvää jousta saotaa leaarses. Tarastellaa uva. uasta leaarsta jousta, joa ss äyttäytyy aava (.4) uasest. Ku jouse lepoptuudesta tattu ptuude uutos uuttuu arvosta arvoo, teee jouse voa työ = d = W (.5) Tulos rppuu jousvao lsäs va ptuude uutose alu- ja loppuarvosta, jote jousvoa o oservatve. Jousvoaa vastaava potetaalfuto o ss V = (.6) Kaava (.6) suuretta V saotaa jouse oeergas. Jouse voa teeä työ tetyllä ptuudeuutosvälllä o yhtä suur u se oeerga uutos... Raeeosat jousa Tavaoaset lujuusopssa äärtellyt raeeosat ute veto/purstussauva, pal ja väätösauva vodaa tulta jouss valtsealla äyttöö sopva uodouutos ja selvttäällä lujuusop avulla vastaava jousvao. Kuvassa.4 (a) o veto/purstussauva, joa toe pää o jäyäst tetty ja tosee päähä o tetty sauva assaa verrattua suur assa. Massa vo lua sauva suuassa ja sauva lepoptuudesta tattu srtyä o. Sauvaa vodaa tarastella assattoaa veto/purstus-jousea, joa jousvao o E A = (.7) L jossa E o ateraal ooduul, A poleause pta-ala ja L ptuus. Kuvassa.4 (b) o väätösauva, joa toe pää o jäyäst tetty ja tosee päähä o tetty eo, joa htausoett I väätöasel suhtee o suur verrattua väätösauva rotaatohtautee. Keo vo ertyä sauva väätöasel ypär ja sauva väätyättöästä aseosta tattu ertyä o ϕ. Väätösauvaa vodaa ptää rotaatohtaudettoaa väätöjousea, joa jousvao o Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.4 a G, I v v E, A L L E, I z L-a I ϕ (a) (b) (c) GIv ϕ = (.8) L jossa G o ateraal luuoduul, I v poleause väätöelöoett ja L ptuus. Kuvassa.4 (c) o astue pal, joa tetylle ohdalle a o sjotettu psteassa, joa o suur pal assaa verrattua. Pal tapuu uortuse johdosta ja lujuusop perusteella tedetää, että pstevoa F = g aheuttaa ohtaa a tapua Fa (L a ) v = (.9) E I L z Kuva.4 Raeeosa. jossa I z o poleause tavutuselöoett. Ku uodouutoses valtaa tapua v, vodaa tätä pala ptää tavutusjousea, joa jousvao o t E Iz L = (.0) a (L a ) Vastaavast vodaa ästellä esers uloepala ja olesta pästää jäyäst tettyä pala... Evvalett jous Sovellusssa estyy use useaa jouse yhdstelä, jota vodaa laseassa orvata yhdellä all toa aalta saaarvosella el evvaletlla jousella. Ka jousyhdstelät sytyvät äyttäällä tetyssä järjestysessä ahta yteä perustyyppä, jota ovat raytetä ja sarjaa ytetä. Kuvassa.5 (a) o psteassa tueta, jossa o pl ra ytettyjä jousa. Joase jouse ptuudeuutos o saa, utta jousvoat ovat ersuura, äl jousvaot evät ole saoja. Massa letlaa tutttaessa tää jousyhdstelä vodaa orvata uva.5 (b) yhdellä saaarvosella jousella, joa jousvao ev saadaa lasettua aluperässtä jousvaosta. Massaa vauttave uloste voe resultatt F o yhtä suur u jousvoe sua el F = + + + K + = ( ) = ev (.) Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.5 josta ähdää, että rayteä evvalett jousvao o = (.) ev Kuvassa.6 (a) psteassa o tuettu jousyhdstelällä, jossa o ytetty pl jousa sarjaa. Joase jouse jousvoa o F, utta jouse ptuudeuutoset evät ole yhtä suura, jos jousvaot ovat ersuura. Ptuudeuutoste sua o yhtä suur u assa srtyä, jote F F = + + +... + = = = F = (.) Tulosesta (.) ähdää, että sarjaa yteä evvalett jousvao o ev ev = (.4) (a)... F (a)... F (b) ev F (b) ev F Kuva.6 Sarjaa ytetä. Kuva.5 Raytetä. Kosa ylee jousyhdstelä saadaa äyttäällä sopvassa järjestysessä raja sarjaa ytetöjä, vodaa ä tahasa jousyhdstelä orvata aavoje (.) ja (.4) avulla yhdellä, assa lee aalta evvaletlla jousella. Meaase systee staatte tasapaoasea o tla, joho systee haeutuu staattste uortuste alasea. Kuvassa.7 o systeeejä, jolla o ysästtee ja stabl staatte tasapaoasea. Ertystapausssa staattsa tasapaoasea vo olla useapa, utta tällö ys stä o stabl ja uut lableja tasapaoasea. Rttäättöäst tuetulla systeellä tarotetaa tlaetta, jossa systeellä o jäyä appalee leahdollsuus. Tällö tasapaoasea e välttäättä ole laaa ta tä o äärettöä ota. Kuva.7 (a) tapausessa jous Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.6 (a) (c) g o staattsessa tasapaoaseassa lepoptuudessa, utta uva.7 (b) tlateessa jousessa o paovoa aheuttaa staatte ptuudeuutos, joa o stata uaa I Δ st g = (.5) (b) g (d) g Myös uva.7 tapausssa (c) ja (d) jouslla o paovoasta johtuvat staattset ptuudeuutoset, jota vodaa selvttää äyttäällä stata tasapaoehtoja. Kuva.7 Ysästtee staatte tasapaoasea. Värähtely o lettä staattse tasapaoasea suhtee ja jatossa osottautuu, että värähtelyapltudt aattaa tata stä lähte. Tää edellyttää staattse tasapaoasea tutesta, utta se vodaa äärttää stata avulla. Staattsa srtyä o yös helppo tata. Mttaustulosa vodaa äyttää. jousvaode äärtysee esers aavaa (.5) äyttäe.. Ierta.. Massa ja htausoett Meaase systee ertaoasuudet vauttavat se värähtelyh. Iertaoasuudet ovat todellsuudessa jatuvast jaaatueet systee. Use vodaa äyttää rttävällä taruudella dsreettä alla, jossa estyy va psteäsä assoja ja htausoetteja. Yhde vapausastee värähtelyssä o tällö ysyys joo psteassa traslaatosta ta jäyä appalee rotaatosta teä asel ypär. Partellla o va traslaatoerta el assa, utta jäyällä appaleella o lsäs rotaatoertaoasuudet (ole htausoetta ja htaustuloa tattua jossa oordaatstossa). Tasoleessä oleva jäyä appalee rotaatoerta halltseses rttää tutea se htausoett assaesö autta uleva letaso oraal ta se assa yhdesuutase suora suhtee. Sääöllste geoetrste appalede htausoett saadaa tauluosta. Mutaassa tapausssa htausoett vodaa äärttää lääräsest tetooeohjellla ta tata. Htausoetlle pätee Steer srtosäätö, joa tasolee tapausessa o Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.7 O G O I = I + r (.6) jossa I G o assaesö autta uleva letaso oraal ja I O se assa yhdesuutase suora suhtee lasettu htausoett ja appalee assa ja r yseste suore väle etäsyys. O.. Jouse ertavautus Meaase systee joustave ose erta vodaa use jättää huoooottaatta, utta aa tää e ole ahdollsta. Jos joustava osa erta o huoattavast peep u she lttyvä appalee, utta e ertysetö aalyys taruude aalta, vodaa äyttää evvaletta ertaa. Tää tarottaa värähtelevä appalee erta täydetästä sopvalla äärällä, että joustava osa ertavautus tulee otetus lääräsest huooo. st. tasap. j y dy & l Tarastellaa uva.8 jous-assa-systeeä, jossa jouse assa j e ole pe assaa verrattua. Systee le-eerga T ssältää assa ja jouse assa vautuse olle uotoa j T = Tj + & = ev & (.7) jossa T j o jouse le-eerga, staattsesta tasapaoaseasta tattu srtyä ja ev jouse assa huo- Kuva.8 Lsäassa. ooottava evvalett assa. Jouse le-eerga laseses oletetaa, että ohdalla y oleva jouseleet dy opeus o y & = (y / l) & el se vahtelee leaarsest välllä [ 0, & ]. Jouseleet dy le-eerga o tällö dt j j y = dy & (.8) l l josta saadaa jouse le-eerga tegroalla uuttuja y suhtee T j l j & j = y dy & = l (.9) 0 Tulosesta (.9) ähdää, että systee evvalett assa o Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.8 ev = + j (.0) el lsäassas otetaa tässä tapausessa olasosa jouse assasta. Tosea eserä lsäassa äärtysestä tarastellaa uva.9 astusta pala. Pal assa o ja tavutusjäyyys E I. Pal esellä o psteassa p, joho verrattua p e ole pe. Systeeä tarastellaa yhde vapausastee alllla valte srtyäoordaats pal esohda tapua v. Pala pdetää tavutusjousea, joa jousvao esellä oleva pstevoa suhtee o lujuusop uaa = 48E I/L. Le-eerga T ssältää assa ja pal assa p vautuse ja se lausee o v L/ d L p T = Tp + v& (.) jossa Tp o pal le-eerga. Se laseses oletetaa, että pal dyaae tapuavva o saauotoe u staatte tapuavva, joa o välllä 0 L / v () = v 4 (.) L L Kohdassa oleva eleet d le-eerga o tällö g EI Kuva.9 Pal lsäassa. dt p p = d 4 v& (.) L L L josta saadaa pal le-eerga tegroalla uuttuja suhtee T p L / p v& 7 = 4 d p v& L = (.4) L L 5 0 7 Tulosesta (.4) ähdää, että lsäassas tulee 00% 48,6% pal assasta. Saalla peraatteella vodaa ratasta ude tapauste lsäassolle ar- 5 vot. Tässä äytetty eetelä o lääräe, osa joustave ose opeuse lauseeet ovat lääräsä. Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.9.4 Vae Käytäössä vapaa värähteljä apltud peeee aja uluessa ja lähestyy lopulta ollaa. Tätä lötä saotaa vaeuses. Vaeuse seurausea systee eaasta eergaa uuttuu läpöeergas ta uluu ääe sytysee. Vaeuse aalyyttsee tarasteluu o ehtetty oa s. vaeusalleja, ute esers vsoos vaeus, tavaeus, hystereesvaeus ja raeteelle vaeus. Vaeus o haalast hallttava lö ja sytyy useaa osatejä yhtesvautusesta, stä johtue se täydelle selttäe e ostu ov ysertasella alllla. Vaeuse ollessa vähästä vodaa se use jättää huoooottaatta, utta ylesest tää e ole ahdollsta. Yleesä vaeusalla äytetää vsoosa vaeusta, jos se uvaa edes lääräsest systee todellsta äyttäytystä. Tää vaeusall äyttö johtaa leaarsee teoraa, jollo leyhtälöde aalyytte ratasee ostuu parhate. Seuraavassa tarastellaa vsoos vaeuse lsäs tavaeusta, joa e ole leaare all..4. Vsoos vaeus Meaasessa systeessä o vsoos vaeus el estevaeus, u jo systee opoett o osetusessa estee assa. Vaeus johtuu opoet ja estee välsestä vsoossta tasta. Ku jäyä appale luu esteessä, o lettä vastustava tavoa F tavallsssa olosuhtessa suoraa verraolle appalee opeutee & = v, jollo vodaa rjottaa F = c & = c v (.5) jossa errota c saotaa vaeusvaos. Se arvo rppuu yseessä oleva estee vsosteetsta ja sä luva appalee geoetrasta. Vao c lausee vodaa johtaa aalyyttsest olle sääöllse geoetra oaavlle appalelle. Vsoos vaeus o use systee äyttäytyse aalta. Vapaa värähtely apltud peeee ollaa opeast, jos vaeusta o edes hea. Vsoos vaeus vo yös peetää paovärähtely apltuda. Vaeusvoa (.5) aheuttaa leyhtälöö leaarse ter, josta seuraa, että aalyytte ratasu o ysertae. Tästä syystä vsoos vaeuse alla äytetää yös tlatessa, jossa e esy esteotata. Tällö systee vaeusta uvataa evvaletlla vsooslla vaetella lsääällä lasetaall sopvalla vaeusvaolla varustettu suvaeeleett, joa sybol o Kuva.0 Vae. uvassa.0. Nä vodaa ottaa huooo esers ujousssa estyvä ateraal ssä- Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa.0 e vaeus. Kuva.0 vaealla vodaa äyttää yös rotaatoleesee, utta sllo se aheuttaa lettä vastustava taoet, joa o verraolle vaetee tety appalee ulaopeutee..4. Ktavaeus & Kuva. Ktavaeus. μ Meaasessa systeessä o tavaeus, u jo systee opoett o osetusessa tallse pa assa. Ktavaeus sytyy assa luessa pt tallsta ptaa, asel pyöressä laaerssa, hhatasta ta vertävastusesta. Kuvassa. o ess attu tapaus. Ktavaeusta saotaa vaovaeuses, osa vaeusvoa suuruus o rppuato srtyästä ja se aadervaatasta rppue va osetusptoje välsestä oraalvoasta. Kuva. tlateessa vaeusvoa suuruus o F = μg, joa e rpu srtyästä ja opeudesta &. Ktavaeus aheuttaa leyhtälöö epäleaarse ter, osa vaeusvoa ta -oet suuta rppuu lesuuasta olle aa lettä vastustava. Kuva. tapausessa vaeusvoa lausee o & F = μg (.6) & joa o selväst epäleaare ter. Ktavaeuse aalyytte tarastelu ostuu yhde vapausastee systeelle velä vars helpost, ratasu o ute etsttävä palotta puol värähtelyjasoa errallaa epäleaarse vaeusvoa taa. Ktavaeusta ssältävä usea vapausastee systeeejä vodaa tarastella yleesä va ueersest tetooee avulla..5 Evvalett systee Joae yhde vapausastee systee, jossa e ole vaeusta, vodaa ästellä jolla uva. lasetaallesta. Nässä allessa joustavlla oslla e ole ertaa vaa de ertavautuset o otettu huooo lsääällä värähtelevä appalee ertaa sopvalla äärällä, äl se o tarpeellsta. Kuvassa. (a) oleva all o sopva, jos värähtely o traslaatolettä ja joustavat osat ovat staattsessa tasapaoaseassa lepoptuusssaa. Kuva. (b) all taas uvaa traslaatolettä, jossa joustavassa osassa o ptuudeuutos staattsessa tasapaoaseassa. Rotaatolettä olevaa värähtelyy vodaa äyttää uva. (c) lasetaalla. Ku staatte tasapaoasea valtaa vertaluohdas, o uva. (a) systee potetaaleerga lausee Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa. (a) ev ev (b) ev g V = ev (.7) ja vastaavast systee le-eerga o ev T = ev & (.8) ϕ ev Usea jäyä appalee uodostaaa systeeä vodaa tarastella yhde vapausastee alllla, jos ae appalede asea vodaa lausua saa oordaat avulla el systeestä vodaa uodostaa rttävä äärä geoetrsa yhteysä appalede letloje vällle. Nätä yhteysä saotaa ytetäyhtälös. Tällö tarasteltava vaetaato systee pystytää alltaaa uva. uasest evvaletlla systeellä. Tää toteases tarastellaa alus tapausta, jossa potetaaleergaa estyy va veto/purstusjous varastotuva oeerga uodossa ja systeessä o va psteassoje traslaatolettä. Oloo oordaatt, joa lasee systee appalede asea ja jouse luuäärä. Systee potetaaleerga o tällö V = (.9) I ev ϕ Kuva. Lasetaalleja. (c) jossa o jouse jousvao ja se ptuudeuutos. Kosa yseessä o yhde vapausastee systee, vodaa ptuudeuutoset lausua uodossa = α (.0) jossa suureet α ovat systee geoetrasta saatava vaota. Sjottaalla tulos (.0) aavaa (.9) saadaa potetaaleerga lausee uotoo V = ( α ) (.) Kaavosta (.7) ja (.) äyy evvalet systee jousvao lausee = α (.) ev Ava saalla tavalla vodaa perustella systee le-eergalle lausee Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa. T = ( j β ) & (.) jossa j o assoje luuäärä, appalee assa ja suureet β systee geoetrasta saatava vaota. Tällö evvalet systee assa o = β (.4) ev j Jos systee potetaaleerga o pelästää väätöjouse oeergaa ja appalede leet rotaatota, systee vodaa alltaa uva. (c) uasest rjottaalla potetaaleerga ja le-eerga uotoo V = ϕ ev ϕ T = I ev ϕ& (.5) jossa ϕ o systee lettä uvaava ulaoordaatt, ϕ ev evvalet systee väätöjousvao ja I ev evvalet systee htausoett. Ne tapauset, jossa estyy saaaasest upaa letyyppä, vodaa yös alltaa uva. perusallella rjottaalla systee potetaaleerga ja leeerga sopvast valtu traslaato- ta rotaatooordaat avulla ja tultsealla de lauseesta evvalet systee vaot. Koordaat valasta rppue päädytää joo tapausee. (a) ta (c). Meaasessa systeessä estyy use paovoa aheuttaaa potetaaleergaa, jollo jouset vovat ssältää ptuudeuutosa staattsessa tasapaoaseassa. Näde tapauste alltasee sop uva. (b) tapaus. Ku tasapaoasea valtaa vertaluohdas, o uva. (b) systee potetaaleerga uutos srryttäessä tasapaoaseasta Δ = g/ elvaltasee aseaa ev ev V = = ev ev ( + Δ ) + ev ev ev ev g g + ev Δ ev Δ ev g ev Δ = ev (.6) joa o saaa uotoa u (.7). Tulosesta (.6) äyy, että paovoa ja se aheuttaa staattse ptuudeuutose vautuset uoavat tosesa potetaaleerga uutose lauseeessa. Värähtelyaalyysssä srtyät aattaa tata staattsesta tasapaoaseasta lähte, osa tällö a estyvät aavat ovat ahdollsa ysertasta uotoa. Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä
Värähtelyeaa. Jos vaeus o uaa, o systee allettava uva. evvaletta systeeä äyttäe. Evvalett jousvao ja assa/htausoett saadaa eergatarastelulla, ute edellä estett, utta evvalett vaeusvao o äärtettävä työperaatteella. Ku ev uva. systeessä assa ev luu aseasta aseaa, teee vsoos vaeusvoa F = c & ev systee aalta egatvse työ c ev Kuva. Lasetaall. = c ev d W & (.6) Tarasteltava systee vsoose vaeusvoe teeä ooastyö o ss rjotettava valtu oordaat avulla uotoo (.6), josta evvalet systee vaeusvao c ev vodaa tustaa. Värähtelevä systee osat Matt Lähteeä