ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.

Transkriptio

1 / ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset, saadaan uvan neljän vapausasteen palielementti. Elementin solmusiirtmä- ja solmuvoimavetori ovat e L, E, I { u} { u ϕ u ϕ } {} f { f m f m } Kuva. Palielementti. Määritetään uvan palielementin jäsmatriisi ättämällä hväsi jäsmatriisin ominaisuusia ja ahden vapausasteen palielementin jäsmatriisia. Jäsmatriisin smmetrian ja session ES aavan () perusteella etsittävä jäsmatriisi on muotoa () [ ] EI/L EI/L EI/L EI/L () Matriisin () tuntemattomat aliot selviävät ättämällä asiaalisen elementin htedessä saatua tulosta, jona muaan jäsmatriisin saraeiden ja rivien aliot toteuttavat jään appaleen liiemahdollisuusia vastaavat tasapainohtälöt. Kuvan elementille nämä ovat pstsuuntainen voimatasapaino ja momenttitasapaino alupään suhteen f + f m + f L + m () Voimahtälön () muaan jäsmatriisin () ensimmäisen ja olmannen saraeen aliot ovat toistensa vastaluuja eli () Momenttihtälöstä () saadaan toisen, neljännen ja ensimmäisen rivin alioille htälöt L + EI/L EI/L EI/L + () EI/L + () L + EI/L EI/L L + EI/L + (7)

2 / Kooamalla edellä erätt tuloset saadaan neljän vapausasteen palielementin loaalimittausen muaisesi jäsmatriisisi [ ] EI L /L /L /L /L /L /L /L /L /L /L /L /L (8) Kosa uvan elementissä on solmujen poiittainen voima- ja siirtmämittaus, tarvitaan elementin alueella olevien uormitusten äsittelssä iinnitsmomenttien lisäsi näitä vapausasteita vastaavia tuireatioita, jota ovat elementin päiden poiittaiset tuivoimat. Session ES uvasta saadaan perustapausien tuivoimat ja -momentit. Neljän vapausasteen palielementillä voidaan lasea elementtiveron perushtälöstä nuristaan siirtmättömän tasoehän solmujen ohdilla olevat leiausvoimat vastaavien solmusiirtmien ollessa nollia. Se ei uitenaan elpaa leisesi siirtvänuraisen tasoehän elementisi, osa eri elementtien poiittaismittauset eivät ole leensä ehän nurissa samansuuntaiset. Neljän vapausasteen palielementillä voidaan rataista aii jatuvan palin tehtävät, joten tarastellaan seuraavasi tämän tppistä esimeriä. I N/m N I m m m I mm E GPa Kuva. Jatuva pali. (a) (b) ESIMERKKI ESE Sovelletaan neljän vapausasteen palielementtiä uvan (a) jatuvan palin rataisemiseen. Valitaan uvan (b) ahden elementin ja uuden vapausasteen elementtivero, jossa on tuivapausasteet muana. Taivutusjäden muutosohtaan on sijoitettava solmu, osa elementti on tasapasu. Tällä solmulla on nollasta poieava poiittaissiirtmä, joten tehtävää ei voi rataista ahden vapausasteen palielementillä. Pistevoiman vaiutusohtaan voitaisiin sijoittaa solmu, jolloin voima olisi solmuuormitus, mutta ätetään nt evivalenttisia solmuuormitusia. Kirjoitetaan elementtien evivalenttiset solmuuormitusvetorit session ES tauluon avulla ja jäsmatriisit aavan (8) muaisesti. Kätetään siöitä N ja mm, mutta niitä ei meritä välivaiheisiin näviin. EI L EI L 9 8 { r} { } 9 { r} { } 8

3 / [ ],,,, 8 [ ] 7 7 7,87 7, ,87 7,87 Sijoittelusummaamalla elementtien jäsmatriisit ja uormituset seä ottamalla huomioon palin tuennat saadaan elementtiveron perushtälösi M U 7 7 7,97 7, ,97,897 8, ,9 8,9 Vapaita solmusiirtmiä vastaavat htälöt ja niiden rataisu on,8,788 7,89 U U 7 7,897 Tuireatiot rateavat perushtälörhmän olmesta jäljelle jääneestä htälöstä.,8 N ) 7 7,97U (, Nm M ) 8U ( M,9 N ) 8,9U ( + + Elementin perushtälöstä tulee seuraavat loaalioordinaatiston solmuvoimavetorit

4 / f m f m 8,,,, 7,89,788,9,,99, f m f m,87 7, ,87 7, ,89,788 7,8,99,, Saatujen tulosien avulla voidaan laatia uvan muaiset palin vapaaappaleuva seä leiausvoima- ja taivutusmomenttiuva.,,9 N N/m N -,9 + Q, Nm, N,9, + M t -,, Kuva. Palin vapaaappaleuva ja rasitusuvat. KUUDEN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI leisen tasoehän äsitteln tarvitaan elementti, joa voi olla mielivaltaisessa asennossa -globaalioordinaatistossa ja jona solmuilla on translaatiovapausasteet - ja - suunnissa seä rotaatiovapausaste -tason normaalin Z mpäri. Kosa solmuja on asi, elementti on globaalimittausella varustettu uuden vapausasteen palielementti. Tarastel- e laan tilannetta ensin elementin loaalioordinaatistossa. Kun uvan elementin solmuihin lisä- L, E, I, A tään palin suuntainen mittaus, saadaan uvan Kuva. Palielementti. uuden vapausasteen palielementti. Sen solmusiirtmä- ja solmuvoimavetori ovat { u} { u u ϕ u u ϕ } {} { f f m f f m } f (9)

5 / joissa on iertmän ja momentin mittausesta jätett alaindesi z pois, osa seaannusen vaaraa ei ole. Kosa veto/puristus ei ole tennässä taivutuseen ja leiauseen, saadaan uvan elementin jäsmatriisi sijoittelusummaamalla asiaalisen elementin jäsmatriisi ja neljän vapausasteen palielementin jäsmatriisi uvan vapausastenumeroinnin muaisesti. Tulosena on jäsmatriisi [ ] κ /L κ /L κ /L κ /L κ /L κ κ /L κ κ /L κ /L κ /L κ /L κ /L κ κ /L κ () jossa on meritt EA / L ja κ EI/ L. Elementtiuormituset äsitellään evivalenttisten solmuuormitusten avulla, nt tarvitaan vain aiiin olmeen solmuvapausasteeseen liittviä iinnitsreatioita. Näitä on perustapausille esimerisi session ES tauluossa. Neljän ja uuden vapausasteen palielementin ättö jatuvien palien tarasteluun onnistuu suoraan jäsmatriisien (8) ja () avulla, osa tällöin elementtien loaalioordinaattiaseleiden vastinsuunnat htvät. leisen tasoehän tapausessa elementtien loaalioordinaatistojen vastinsuunnat eivät hd. Tällöin raenteelle on sovittava Zglobaalioordinaatisto, jona aseleiden suhteen aiien elementtien solmumittaus suoritetaan. Tästä seuraa, että leisen tasoehän äsittelemiseen elementtimenetelmällä tarvitaan uvan (b) globaalioordinaatistossa mielivaltaisessa asennossa olevan elementin globaalimittauseen liittvä jäsmatriisi. Etsitt jäsmatriisi saadaan esimerisi (a) (b) L, E, I, A e α L, E, I, A e α {} u {} f [ ] { u} { f} [ ] Kuva. Palielementin loaali- ja globaalimittaus. oordinaatiston ierron avulla, jolloin lähdetään liieelle uvan (a) elementin loaalioordinaatiston solmusuurevetoreista { u } ja { f} seä jäsmatriisista [ ]. Kosa uvan (b) solmumittausesta päästään uvan (a) solmumittauseen iertämällä ensisi mainittua ulma α vastapäivään, on voimassa

6 { u } [ B]{ u} { f} [ B]{} f / () missä inemaattinen matriisi [ B ] on nt [ B] cosα sinα sinα cosα cosα sinα sinα cosα () B on ortogonaalinen matriisi, jolloin[ B ] [ B] T. Globaalioordinaatiston jäsmat- saadaan lasetusi ongruenssimuunnosella eli [ ] riisi [ ] T [ ] [ B] [ ][ B] () Kaavan () jäsmatriisi [ ] voitaisiin irjoittaa aui sijoittamalla matriisit [ ] ja [ B ] aavoista () ja (). Tulos on uitenin epähavainnollinen ja elementtien jäsmatriisit voidaan lasea ohjelmassa htä hvin aavasta (). Elementtiuormitusille saadaan loaalioordinaatiston evivalenttinen solmuuormitusvetori {} r tauluon avulla. Se voidaan muuntaa globaalioordinaatistoon aavan () avulla eli {} r [ B]{} r {} r [ B] T { r} () ESIMERKKI ESE (a) 8 m (b) N N/m 8 m Kuva. Tasoehä ja sen elementtivero. m Tarastellaan uvan (a) tasoehää uuden vapausasteen palielementin avulla ättäen uvassa (b) esitettä ahden elementin veroa, jossa tuivapausasteet on otettu muaan lasentaan. Kummanin elementin poiileiausen pintaala on A mm ja neliömomentti I mm seä materiaalin immomoduuli E GPa. Muodostetaan alusi elementtien loaalit jäsmatriisit ja inemaattiset matriisit ja niistä ongruenssimuunnosella elementtien globaalit jäsmatriisit. Lasuis-

7 /7 sa ätetään siöitä N ja mm. Elementille saadaan tuloset cos α,97 sin α, 7 EA /L, 7 κ EI/L [ ] B,97,7,7,97,97,7,7,97 [ ],7,7,87 8,7,87 8,7 8,7 8,7,,7,7,87 8,7,87 8,7 8,7, 8,7 Globaalioordinaatiston jäsmatriisi saadaan edellä olevista matriiseista aavalla (). Suorittamalla tarvittavat matriisien ertolasut saadaan tulosesi jäsmatriisi [ ],,9 7,,,9 7,,9,9 7,87,9,9 7,87 7, 7,87 7, 7,87, Elementille on [ ] [ ] ja {} { r},,9 7,,,9 7,,9,9 7,87,9,9 7,87 7, 7,87, 7, 7,87 r, joten aavan () ja session ES tauluosta [ ],7,7,87 8,7,87 8,7 8,7 8,7,,7,7 7,87 8,7,87 8,7 8 8,7, 9 8,

8 /8 Session ES tauluosta saadaan elementin evivalenttisesi solmuuormitusvetorisi {} r {,, } Elementtiveron solmuuormitusvetori on { } { M 8,7, M } Elementtiveron perushtälösi [ ]{ U} { R} K tulee sijoittelusummausella ja ottamalla huomioon tuennat,,9 7,,,9 7,,9,9 7,87,9,9 7,87 7, 7,87 7, 7,87,,,9 7,,9,9 7,,7,9,9 7,87,9,,8,87 8,7 7, 7,87, 7,,8 8,7,,7,7,87 8,7,87 8,7 8,7, 8,7 U U M 8,7,, M +, Rataisemalla elementtiveron perushtälö saadaan seuraavat solmusiirtmät ja tuireatiot, N,77N M 7,8Nmm U,99 mm U,987 mm,7 rad 9, N,77 N M,8 Nmm Elementtien solmuvoimavetorit globaalioordinaatistossa saadaan elementin perushtälöstä { f} [ ] { u} { r} {} f {,,77 7,8,,77 8, } {} f { 9, 9, 8, 9,,77,8 }, josta seuraa

9 /9 Elementille on { f } {} f, mutta elementin loaalioordinaatiston solmuvoimavetori on vielä lasettava aavasta { f } [ B] { f }, josta tulee {} f {,87,7 7,8,87,7 8, } Kuvassa 7 on esitett elementtien solmuvoimavetorit vapaaappaleuvia ättäen,,78,77 N 8, Nm {} f { f},,78,77,87,7 8,,7,87 {} f {} f 9, 8, 9, N/m Kuva 7. Solmuvoimavetorit.,8 9,,77 LEIKKAUSVOIMAN VAIKUTUS Edellä johdetut palielementtien jäsmatriisit perustuivat teniseen taivutusteoriaan, jolloin palin taipumisessa on otettu huomioon vain taivutusmomentin vaiutus. Palin leiausvoima aiheuttaa mös taipumista, joa vaiuttaa hieman tulosiin. Leiausvoiman vaiutusen määrits leiselle poiileiauselle ei onnistu tarasti annattimen teorialla, mutta ätännössä riittävä liirataisu saadaan ättämällä ns. leiauserrointa φ, joa riippuu palin materiaalista ja geometriasta. Monille poiileiausille voidaan johtaa leiausertoimen liiarvo tenisen taivutusteorian tai energiaperiaatteen avulla. Voidaan osoittaa, että leiauserrointa ätettäessä jäsmatriisi () muuttuu muotoon [ ] κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l ( + φ) κ (+ φ) κ (+ φ)l ( φ) κ (+ φ) κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l κ (+ φ)l ( φ) κ (+ φ) κ (+ φ)l ( + φ) κ (+ φ) ()

10 / Leiausertoimen φ lausee voidaan esittää muodossa s s EI A i φ (+ ν) () GA L A L jossa E, G ja ν ovat materiaalivaiot, A s tehollinen leiauspinta-ala (leiausvoiman vastaanottava pinta-ala) ja i poiileiausen neliösäde. Leiauspinta-aloja on lödettävissä lujuusopin irjallisuudesta, esimerisi suoraulmiolle A s A /, mprälle A s 9A / ja I-profiilille uuman pinta-ala. Kaavasta () nähdään, että leiausmuodonmuutosen vaiutus on pieni, jos palin hoiuusluu λ L / i ei ole ovin pieni. Kun ν, ja arvioidaan areasti A s A, saadaan leiausertoimelle φ seuraavia arvoja λ φ,,78,9, joista nä selvästi, että tavanomaisen hoiuuden omaavalla palilla leiausvoiman vaiutus taipuman arvoon on vähäinen. HARJOITUS ESH N/m m N m 8 m Valitse uvan tasoehälle sopiva elementtivero ättäen uuden vapausasteen palielementtiä ja jättäen tuiin liittvät vapausasteet solmumittausesta pois. Muodosta elementtiveron perushtälö ja rataise siitä solmusiirtmät. Määritä pstsuuntaisen palin normaalivoima-, leiausvoima- ja taivutusmomenttiuva. Lase pstsuuntaisen palin normaalijännitsen itseisarvon masimi. Palit ovat profiilia IPE8 SS8, jona A mm ja I z 7,9 mm. Materiaalin E GPa. Vast. U,98 mm U,9mm,79 {} f { 7,7,9 8,97,9,9 7,7 } ( s. N, mm ) Vihjeet: