Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali

Transkriptio

1 Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien janojen avulla. Esimerisi ahta noppaa heitettäessä pisteluujen summa on stoastinen, joa saa arvot 2, 3,..., 2. Näiden jaauma ilmenee seuraavasta graafisesta esitsestä: p 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 / Usein esiintvä disreetti jaauma on binomijaauma. Tämä uvaa saman oeen toistamista, missä toistot ovat toisistaan riippumattomia ja ussain toistossa tulosena on joo A tai tämän omplementtitapahtuma Ā. Jos näiden todennäöisdet ovat P (A) =pja P (Ā) = p, niin toistettaessa oe n ertaa saadaan tulos A täsmälleen ertaa todennäöisdellä ( ) n p = p ( p) n, =0,,...,n. stoastinen Disreetit jaaumat Oloon X disreetti stoastinen, joa saa erilliset arvot, 2,..., n. (Näitä voi olla mös ääretön määrä:, missä saa arvoiseen aii luonnolliset luvut.) Disreetin stoastisen n jaauma, disreetti jaauma, so. n saamiin arvoihin liittvät todennäöisdet voidaan määritellä antamalla pistetodennäöisdet p joaiselle indesille : summamerintä riippumattomuus (lasennassa) omplementtitapahtuma Disreettejä jaaumia on paljon muitain. Kivelä, M niinuin matematiia, versio.

2 Todennäöissjaaumat 2/5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia Jatuvat jaaumat Jatuva stoastinen X saa reaaliarvoja joltain reaaliaselin väliltä [a, b] (tai mahdollisesti aii reaaliarvot). Tällöin sittäisen reaaliarvon on =0, vaia arvo ei oleaan mahdoton. Sen sijaan, että arvo osuu jollein osavälille [c, d], on leensä positiivinen. Jatuvan n X jaauma, ns. jatuva jaauma määritellään leensä tihesfuntion f() avulla. Tämä on aiialla 0 ja, että n X arvo on välillä [c, d], saadaan sta: P (c X d) = d c f()d. Jos integroidaan satunnaisn aiien mahdollisten arvojen muodostaman välin li (voidaan ajatella oo reaaliaselin li), on seessä varma tapahtuma ja siis tapahtuma f() d =. Ysinertainen esimeri jatuvasta jaaumasta on tasainen jaauma välillä [a, b]. Tämän tihesfuntio on f() = b a, un [a, b], 0 muulloin. stoastinen väli (reaaliaselin) määrätt (lasennassa) b a a b Jatuvia jaaumia on paljon muitain; eritisen täreä on normaalijaauma,jota äsitellään edempänä. Kivelä, M niinuin matematiia, versio.

3 Todennäöissjaaumat 3/5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia Kertmäfuntio Disreetin tai jatuvan stoastisen n X ertmäfuntiosi utsutaan funtiota F () = P(X ). Kosa seessä on, on 0 F () aiilla. Funtio on aiialla asvava (so. jos < 2, niin F ( ) F ( 2 ); funtio voi siis olla paloittain vaio). Disreetin satunnaisn ertmäfuntio on porrasfuntio; esimerinä oloon ahta noppaa heitettäessä saatavan pistesumman ertmäfuntio: Jatuvan jaauman ertmäfuntiolle F () ja tihesfuntiolle f() pätee F () =P(X )= Jos tihesfuntio on jatuva, pätee mös F () =f(). f() d. Esimerinä jatuvan satunnaisn ertmäfuntiosta oloon väliä [a, b] vastaavan tasaisen jaauman ertmäfuntio: 0, un a, a F () =, un a b, b a, un b. stoastinen stoastinen asvava asvava määrätt jatuvuus derivoituvuus funtio a b Kivelä, M niinuin matematiia, versio.

4 Todennäöissjaaumat 4/5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia Jaauman tunnusluvut Erilaisia jaaumia pritään luonnehtimaan sopivilla tunnusluvuilla. Tärein näistä on odotusarvo, jota voidaan luonnehtia stoastisen n saamien arvojen painotetusi esiarvosi, jossa painoina ovat todennäöisdet. Jos disreetti satunnais X saa arvot todennäöissillä p, odotusarvo on E(X) = p. Jos jatuvan satunnaisn tihesfuntio on f(), on odotusarvo E(X) = f() d. Tämäin on todennäöissillä painotettu esiarvo, uten nähdään tarastelemalla a vastaavaa Riemannin summaa. Esimerisi hden nopan heitossa odotusarvo on =3.5; seessä on silmäluujen suora esiarvo, osa aii pistetodennäöisdet ovat samoja. Binomijaauman ja väliä [a, b] vastaavan tasaisen jaauman odotusarvoisi saadaan n ( ) n p ( p) n = np =0 ja b a b a d = a + b 2. stoastinen stoastinen esiarvo (painotettu) summamerintä määrätt Riemannin summa Jaauman laajuutta hajontaa odotusarvon E(X) =µmpärillä voidaan mitata tarastelemalla etäisttä X µ (joa itse on stoastinen ). Tämän neliön odotusarvo on jaauman varianssi: σ 2 = E((X µ) 2 ). Varianssin neliöjuuri σ = E((X µ) 2 ) on jaauman esihajonta. Disreetin ja jatuvan jaauman tapausessa varianssille voidaan johtaa lauseeet σ 2 = ( µ) 2 p ja σ 2 = ( µ) 2 f() d. esihajonta Näiden avulla saadaan esimerisi binomijaauman varianssisi np( p) ja tasaisen jaauman varianssisi (b a) 2 /2. Kivelä, M niinuin matematiia, versio.

5 Todennäöissjaaumat 5/5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia Normaalijaauma Jatuvista jaaumista tärein on normaalijaauma. Sitä tarvitaan seä monissa sovellusissa että teoreettisissa tarasteluissa uvaamaan ilmiöitä, joissa esialueen arvot ovat tietllä tavalla todennäöisempiä uin ummanin ääripään arvot. Standardinormaalijaauman tihesfuntio on ϕ() = 2π e 2 /2, R. Tämän uvaajaa utsutaan Gaussin elloäräsi. Gauss 0.5 Standardinormaalijaauman ertmäfuntio on Φ() = 2π e t2 /2 dt, missä a ei voida lasea tavallisten aleisfuntioiden avulla. Useat tietooneohjelmat uitenin enevät lasemaan funtiolle Φ() numeerisia arvoja. Näitä on mös tauluoituina. funtio aleisfuntio Standardinormaalijaauman odotusarvo on 0 ja esihajonta. Normaalijaaumasta ätetään usein mös leistä muotoa, jossa odotusarvo on = µ ja esihajonta = σ. Tihesfuntio ja ertmäfuntio ovat tällöin f() = e ( µ)2 /(2σ 2) = ( ) µ 2πσ σ ϕ σ F () = ( ) e (t µ)2 /(2σ 2) µ dt =Φ. 2πσ σ Kivelä, M niinuin matematiia, versio.