Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus

Transkriptio

1 1 MAT LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia futioita, lyhyesti saoe vetorifutioita F1 ( x) F2 ( ) : A, ( ) x F F x =, issä äärittelyjouo A. Tällaisia F ( x) futioita saotaa usei yös uvausisi. Kuvaus F: A o jatuva pisteessä u A, jos joaiselle A: pisteide suppeevalle joolle { u } o voiassa u u Fu ( ) Fu ( ). Kuvaus F: A o jatuva, jos se o jatuva joaisessa A: pisteessä.

2 2 Esieriä jatuvasta futiosta o opoettiprojetio u1 u2 pi :, pi( u ) = ui, issä u =. u Useiat reaalifutioide jatuvuutta osevat lauseet siirtyvät vetorifutioille. Lause 1. Reaaliarvoisista jatuvista uvausista h, g: A uodostetut h lieaariobiaatio αh+ β g, tulo hg ja osaäärä ( g( x) 0, x A) g ovat jatuvia. Jatuvuus säilyy yös uvauste yhdistäisessä: Lause 2. Jos uvaus G : A o jatuva pisteessä u A ja uvaus H: B, G( A) B o jatuva pisteessä Gu ( ), ii yhdistetty uvaus H G: A, ( H G)( u) = H( G( u)) o yös jatuva pisteessä u.

3 3 Jatuvuus voidaa tutia "opoeteittai": Lause 3. Kuvaus F: A o jatuva pisteessä u täsällee silloi, u se joaie opoettifutio Fi : A o jatuva pisteessä u. Tästä seuraa, että yös jatuvie vetoriarvoiste uvauste lieaariobiaatiot ovat jatuvia. Kosa jooje suppeeie ääritellää etäisyyde avulla, saadaa uvause F: A jatuvuudelle seuraavat eseää yhtäpitävät araterisoiit: 1) F: A o jatuva pisteessä u. 2) Joaiselle joolle { u } o voiassa li u u = 0 li F( u ) F( u ) = 0. 3) Joaisella ε > 0 o oleassa sellaie (pisteestä u riippuva) δ >0, että v u < δ F( v) F( u ) < ε.

4 4 Jos uvaus o ääritelty avoiessa jouossa, ii jatuvuus voidaa araterisoida avoiie jouoje aluuvie avulla: Lause 4. Oloo uvause F: A äärittelyjouo A avoi. Silloi F: A o jatuva jos ja vai jos joaise avoie jouo V aluuva 1 F ( V) o avoi. Kosa usei jouot ääritellää yhtälöide tai epäyhtälöide avulla, ovat seuraavat tuloset äyttöelpoisia: Lause 5. Jos f : o jatuva ja c, ii - { u ( u) < c } - { u ( u) > c } - { u ( u) c } - { u ( u) c } o avoi o avoi o suljettu o suljettu.

5 5 Moet rataisueetelät ovat iteratiivisia ja e tuottavat aetulle ogelalle yhä tarei ja tarei lopullista rataisua approsioivia liiarvoja. Silloi o toivottavaa, että äi sytyvä joo olisi suppeeva, ja että se raja-arvo olisi halutussa jouossa. Tähä jooje raja-arvoje pysyisee jouossa liittyy äsite opatisuus. Jouo A o jooopati, lyhyesti opati, jos joaisella se pisteide joolla o osajoo, joa suppeee ohti A: pistettä. Jouo A o rajoitettu, jos se sisältyy johoi uulaa, eli jos o oleassa sellaie M > 0, että u M, u A. Osoittautuu, että avaruudessa jooopateja jouoja ovat täsällee rajoitetut ja suljetut jouot. Helpopi puoli o: Lause 6. Jos jouo rajoitettu. A o jooopati, ii se o suljettu ja Lause 7. Joaisella : rajoitetulla joolla o osajoo, joa suppeee.

6 6 Lause 8. Bolzao-Weierstrassi lause Jouo A o jooopati täsällee silloi, u se o rajoitettu ja suljettu. Kosa avaruudessa uuti opatisuude äsitteet palautuvat jooopatisuutee, puhue siis jatossa lyhyesti opatisuudesta. Reaaliaseli suljettu väli I = [ ab, ] o esieri opatista jouosta. Se vastie 2-ulotteisessa tapausessa o suoraulio a1, b1 a2, b2, 3 jota saotaa yös suljetusi välisi. Vastaavasti : suljettu väli o 3- ulotteie suoraulaie säriö, joa särät ovat oordiaattiaselie suutaiset: I = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. Yleisesti : suljettu väli (yleistetty suoraulio) o arteesie tulo I = a1, b1 a, b, joa o opati.

7 7 Lause 9. Kopati jouo jatuva uva o opati. Seuraava lause ataa pohja ääriarvoje oleassaolo tutiiselle: Lause 10. Joaisessa epätyhjässä opatissa reaaliluujouossa o piei ja suuri alio. Ääriarvoteorioide ja optioii perustulos taaa jatuvie futioide i- ja ax-arvoje oleassaolo opatissa jouossa: Lause 11. Ääriarvoje oleassaolo Jatuva reaaliarvoie futio saa opatissa jouossa pieiä ja suuria arvosa.