HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
|
|
- Niina Väänänen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen, jota voidaan matemaattisesti uvata sini- ja osinifuntioiden avulla. Kosa näitä funtioita sisältäviä lauseeita utsutaan harmonisisi, jasollista liiettä nimitetään usein harmonisesi liieesi ja jasollisessa liieessä olevaa esinettä utsutaan harmonisesi värähtelijäsi. yössä määrität jousen jousivaion ahdella eri menetelmällä. Ensinnäin mittaat jousen venymää sen päähän ripustetun punnusen massan funtiona ja toisesi saatat jousen punnusineen harmoniseen värähdysliieeseen ja mittaat tämän liieen jasonaiaa massan funtiona. Lisäsi määrität maan vetovoiman iihtyvyyden matemaattisen heilurin avulla mittaamalla heilurin heilahdusliieen jasonajan seä langan pituuden. 1. Oppimistavoitteet yön taroitusena on opettaa sinua äyttämään metrimittaa ja seuntielloa, jota ysinertaisuudestaan huolimatta uuluvat edelleen täreimpiin perusmittausvälineisiin. Opit määrittämään metrimitan ja ellon luemataruudet ja tarastelemaan muita mittaustulostesi taruuteen vaiuttavia teijöitä. Maan vetovoiman iihtyvyyden luotettavuuden arvioinnin yhteydessä pääset soveltamaan oppimiasi virheen arviointimenetelmiä täreän fysiian perussuureen määrittämisessä. ässä työssä eseisenä tavoitteena on myös opetella mittaustulosten äsittelyä tauluomuodossa ja esittämistä graafisesti. Kolmas täreä oppimistavoite on tutustua ahteen menetelmään, joita äyttäen ilmiöitä uvaavia teoreettisia malleja voidaan sovittaa mittaustulosiin. Nämä menetelmät ovat graafinen sovitus ja pienimmän neliösumman menetelmä. Niitä äytetään erityisesti silloin, un mitattavat suureet riippuvat lineaarisesti mittausissa muunneltavissa olevista suureista, jota usein voidaan olettaa taroisi. ässä työssä määrität jousivaion venymämittausista graafista sovitusta äyttäen. Jousen heilahdusaiamittausista laset suoran ulmaertoimen ja vaiotermin arvot luennoilla esitetyistä yhtälöistä tauluomenetelmän avulla äyttäen apuna Excel-tauluolasentaohjelmaa. Kulmaertoimen ja vaiotermin perusteella saat selville tutimasi jousen jousivaion ja massan. Lisäsi tutustut siihen, miten heilahdusaiamittausten pienimmän neliösumman sovitus voidaan tehdä suoraan Excelin avulla, jolloin saat selville ulmaertoimen ja vaiotermin virherajoineen.
2 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ. yössä äytettävät laitteet.1 Metrimitta ja seuntiello Metrimitalla, jona luemataruus on 0,5 1 mm, voidaan sen pituudesta riippuen mitata pituusia 0,1 m 30 m. Mittaat seä jousen venymää että matemaattisen heilurin langan pituutta metrimitalla. Kuvassa.1 a) on esimeri työssä äytettävästä metrimitasta. Fysiian töissä äytettävien seuntiellojen luemataruudet vaihtelevat yleensä välillä 0,01 0,1 s. ässä työssä mitataan uvassa.1 b) esitetyllä seuntiellolla seä jousen heilahdusaioja että matemaattisen heilurin jasonaioja. Nollaus Käynnistys / Pysäytys aruus a) b) Kuva.1. yypillinen fysiian töissä äytettävä a) metrimitta ja b) seuntiello.. Jousi..1 Venymä Periaateuva työssä äytettävästä ierrejousesta ja punnusesta on esitetty uvassa.. Luentojen luvussa 9 tarastellaan taremmin tilannetta, jossa jouseen ripustetaan m-massainen punnus. ällöin punnus venyttää jousta voimalla, jona suuruus on F ja joa on suoraan verrannollinen jousen venymään y. asapainotilanteessa, un jousi ja punnus ovat paiallaan, jousi ohdistaa punnuseen voiman, joa on yhtä suuri, mutta vastaaissuuntainen uin punnusen paino, ts. y y F = y = mg, (.1) missä on jousen jousivaio ja g on maan vetovoiman iihtyvyys, jolle Oulun oreudella voidaan äyttää li- mg Kuva.. Jousen venymä ilman punnusta ja punnusen anssa.
3 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 3 iarvoa 9,8 m/s. Yhtälön (.1) perustella tiedetään, että jousen venymän y ja punnusen massan m välinen riippuvuus on muotoa g y = m eli y = b1m, (.) joa on suoran yhtälö, jossa ulmaerroin b 1 antaa suureen g arvon... Heilahdusaia arastellaan nyt tilannetta, jossa jouseen on ripustettu m-massainen punnus ja jousen venymä on alusi systeemin ollessa levossa y 0. Yhtälöstä (.) saamme venymälle y 0 = ( g )m. Pannaan jousi punnusineen sitten värähtelemään tasapainoaseman y0 ympärillä. arastellaan heteä t, jolloin punnusen poieama tasapainoasemasta on y. Punnusen liiuessa siihen ohdistuu nettovoima, jolle saadaan g F = mg - ( y + y0 ) = mg - y - y0 = mg - y - m = -y. Punnuseen vaiuttavan voiman suuruus on siten suoraan verrannollinen poieamaan tasapainoasemasta ja voiman suunta on sellainen, että se pyrii palauttamaan punnusen tasapainoasemaan. Punnusen liieyhtälösi saadaan nyt dv d y d y F = ma = m = m = -y Þ + y = 0. (.3) dt dt dt m Yhtälön (.3) yleinen rataisu on muotoa y t) = Asin( w t +f) amplitudi eli punnusen suurin poieama tasapainoasemasta, ulmataajuus, (, missä A on liieen w = pf = p on f on taajuus, on jasonaia ja f on vaiheulma. Mittaustilanteessamme punnus lähtee liieelle levosta siten, että punnusta on poieutettu tasapainoasemasta etäisyydelle A. Aluehto on siten y ( t = 0 ) = A, jolloin vaiheulmasi tulee f = p. ällöin saadaan punnusen paiasi ajan funtiona ( wt + p ) Acos( wt ) y( t) = Asin =. (.4) Kuva.3 esittää punnusen paiaa ajan funtiona ahdella eri amplitudin ja vaiheulman arvolla. Sijoittamalla yhtälön (.4) muainen rataisu yhtälöön (.3) ulmataajuuden, jousivaion ja massan välisesi yhteydesi saadaan w =. m
4 4 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ Punnus on nyt jasollisessa liieessä tasapainoasemansa molemmin puolin niin, että edestaaiseen heilahduseen eli yhteen jasoon uluva aia, jota utsutaan jasonajasi, värähdysajasi tai heilahdusajasi, on p m = = p. (.5) w ässä työssä äytämme sellaisia jousia ja punnusia, että emme voi olettaa jousen massaa meritysettömän pienesi punnusen massaan verrattuna. Luennoissa perus- m m, tellaan, että tällöin yhtälössä (.5) on itse asiassa äytettävää massaa ( ) j missä m j on jousen massa. Näin ollen jasonajasi saadaan ( 1 3) m + m j = p. (.6) Yhtälöstä (.6) saadaan punnusineen värähtelevän jousen heilahdusajan neliön punnusen massan m ja jousen massan m välisesi yhteydesi 4p m = 3 j 4p + m j eli = a, + b m. (.7) y (cm) 4,5 3,5,5 1,5 0,5-0,5-1,5 -,5-3,5-4,5 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 1, 1,4 1,6 1,8 = A = 4 cm, f = 0 = A = cm, f = p/ t (s) Kuva.3. Punnusen paia ajan funtiona, un f = 1 Hz, tapausissa A = 4 cm ja f =0 seä A = cm ja f = p/.
5 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt Matemaattinen heiluri arastellaan uvassa.4 esitettyä matemaattista heiluria, jossa pieni m - massainen pallo on iinnitetty l -pituisella massattomalla ja venymättömällä langalla iinteään pisteeseen ja saatettu heilahtelemaan niin, että heilahdusulma q on pieni. Jos oletetaan, että erilaiset itavoimat, uten esimerisi ilman vastus, voidaan jättää huomiotta, palloon vaiuttavat ainoastaan maan vetovoima ja langan tuivoima. Maan vetovoiman omponentti pallon radan suunnassa on - mgsinq. Pallon liieyhtälösi saadaan äyttäen tietoa, että pallon etäisyys tasapainoasemastaan on yhtä uin l - säteisen ympyrän aaren pituus s = lq q l mgsinq q mg Kuva.4. Matemaattinen heiluri. ( lq ) d s d F = ma = m = m = -mg sin q. (.8) dt dt q, jolloin liieyh- Kosa ulma q on pieni, voidaan äyttää approsimaatiota tälösi saadaan sin q» d q g + q = 0, (.9) dt l joa on samaa muotoa uin edellä saatu yhtälö (.3). Yhtälön (.5) muaisesti matemaattisen heilurin jasonaia on p l = = p. (.10) w g 3. Ennaotehtävät Rataise seuraavat tehtävät ennen saapumistasi työvuorolle. Palauta rataisusi työn ohjaajalle: 1. Johda yhtälön (.7) perusteella lauseeet, joista voit lasea jousivaion ja jousen massan m j pienimmän neliösumman suoran vaiotermin a ja ulmaertoimen b avulla.
6 6 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ. Rataise yhtälöstä (.10) maan vetovoiman iihtyvyys g. Osoita sitten logaritmista oonaisdifferentiaalimenetelmää äyttäen, että maan vetovoiman iihtyvyyden suhteellisen virheen D g g yläraja on muotoa Dg g (ln g) Dl l + (ln g) D Dl l D +. (.11) 4. Mittauset 4.1 Jousen venymän ja heilahdusajan mittauset Valitse, minä jousen osan paiaa luet mittausissa asteiolta ja irjaa varsinaisen venymän määrittämisesi ylös luema ilman punnusta. Ripusta sitten ensimmäinen punnus jouseen, irjaa mittauspöytäirjaan punnusen massa ja sitä vastaava jousen uusi paia asteiolla. Saata sitten jousi punnusineen heilahtelemaan ja mittaa 10 perääisen heilahdusen aia olme ertaa. Ripusta tämän jäleen seuraava punnus edellisen lisäsi jouseen ja toista edellä uvatut venymä- ja heilahdusaiamittauset. oista tätä, unnes olet tehnyt ummatin mittauset ymmenellä eri massalla. 4. Maan vetovoiman iihtyvyyden mittaaminen Mittaa ensin äytössäsi olevan matemaattisen heilurin langan pituus metrimitalla, irjaa virheen arviointia varten mittauspöytäirjaan myös mittausesi taruus. Pane sitten matemaattinen heiluri heilahtelemaan. Pohdi, miä approsimaatio sinun tulee ottaa huomioon mittausissasi. Mittaa 0 perääisen heilahdusen aia olme ertaa. Mitä seiat sinun on otettava huomioon määrittäessäsi heilahdusajan virhettä? 5. Mittaustulosten äsittely ja tulosten luotettavuuden arviointi 5.1 Jousen venymä ja heilahdusaia Jousivaion määrittäminen venymämittausista Lase ensin jousen todelliset venymät vähentämällä utain massaa vastaavasta jousen paiasta ilman punnusta havaittu paialuema. Kirjaa lasujesi tuloset sopivaan tauluoon. Piirrä sitten Liitteen ohjeiden muaisesti ( m, y)- oordinaatistoon uvaaja, joa esittää venymää massan funtiona ja sovita havaintopisteisiin Liitteestä löytyvän malliuvaajan muaisesti suora ja määritä sen ulmaerroin. Lase ulma-
7 Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 7 ertoimen ja maan vetovoiman iihtyvyyden liiarvon 9,8 m/s avulla jousen jousivaio Jousivaion ja jousen massan määrittäminen heilahdusaiamittausista Yhtälöstä (.7) huomataan, että un värähtelevän jousen jasonaia on mitattu punnusen massan funtiona, annattaa mittaustuloset esittää ( m, ) -oordinaatistossa. Jos aii on unnossa, tulisi piirtämäsi pisteiden muodostaa suora. Sovita yhtälön (.7) muainen suora havaintopisteisiin pienimmän neliösumman menetelmällä äyttäen Liitteen ohjeita, jolloin saat lasetusi suoran vaiotermin a ja ulmaertoimen b arvot. Lase sitten näiden avulla arvot jousen jousivaiolle ja massalle ennaotehtävässä 1 johtamistasi lauseeista. utustu vielä ohjaajan avustusella siihen, miten voit piirtää pienimmän neliösumman suoran Excelin avulla ja määritä jousen massa myös piirtämästäsi suorasta. Määritä suoran ulmaerroin b ja vaiotermi a myös suoraan Excelin avulla hyödyntäen ohjelmasta löytyvää pienimmän neliösumman sovitusta. utustu lisäsi siihen, miten voit määrittää Exceliä äyttäen suoran ulmaertoimen ja vaiotermin virheet. 5. Maan vetovoiman iihtyvyyden määrittäminen Lase matemaattisen heilurin jasonaia olmen heilahdusaiamittausesi esiarvona ja määritä jasonajan virhe vertaamalla ellon luemataruutta, reatioajan aiheuttamaa virhettä ja suurinta poieamaa heilahdusajan esiarvosta. Lase sitten maan vetovoiman iihtyvyys ennaotehtävässä johtamastasi yhtälöstä ja yhtälöstä (.10) maan vetovoiman iihtyvyyden suhteellisen virheen yläraja. Määritä lopusi myös maan vetovoiman iihtyvyyden absoluuttinen virhe 6. Lopputuloset ja pohdintaa Ilmoita lopputulosina seä venymä- että heilahdusaiamittausten perusteella lasemasi jousivaion arvot seä heilahdusaiamittausten avulla lasemalla ja uvaajasta määritetyt jousen massan arvot. Pohdi lopputulosten esitystapaa vertaamalla ahdella eri tavalla saatua jousivaion ja jousen massan arvoa. Ilmoita maan vetovoiman iihtyvyys virherajoineen ja vertaa saamaasi tulosta tauluoarvoon.
Mekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotFysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä
Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: miklaine@student.oulu.fi Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: 04.02.2013 Työn
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ yön taoitteet ässä työssä tutustut asolliseen, äärätyin aiaälein toistuaan edestaaiseen ärähdysliieeseen. Värähdysliie
LisätiedotKiihtyvyys a on paikan x toinen aikaderivaatta 2
. HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE 9. HARMONISEN LIIKKEEN TEORIAA Jos kappaleeseen (massapisteeseen m) vaikuttava voima (F ) on suoraan verrannollinen kappaleen poikkeamaan (x) tasapainoasemasta ( x 0), voima
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotValon diffraktio yhdessä ja kahdessa raossa
Jväslän Ammattioreaoulu, IT-instituutti IXPF24 Fsiia, Kevät 2005, 6 ECTS Opettaja Pasi Repo Valon diffratio hdessä ja ahdessa raossa Laatija - Pasi Vähämartti Vuosiurssi - IST4S1 Teopäivä 2005-2-17 Palautuspäivä
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotPERUSMITTAUKSIA. 1 Työn tavoitteet
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 PERUSMITTAUKSIA 1 Työn tavoitteet Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta
Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotPERUSMITTAUKSIA. 1. Työn tavoitteet. 1.1 Mittausten tarkoitus
1 PERUSMITTAUKSIA 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten tarkoitus Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan tiheyden määritelmästä eli kappaleen massan
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotHeilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotPERUSMITTAUKSIA. 1. Työn tavoitteet. 1.1 Mittausten tarkoitus
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio 1 PERUSMITTAUKSIA 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten tarkoitus Tässä työssä määrität tutkittavaksesi annetun metallikappaleen tiheyden laskemalla sen suoraan tiheyden
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysikaalisen kemian laboratorioharjoitukset I 1 Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja
LisätiedotTyö ja energia. Haarto & Karhunen.
Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotEETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotNimi: Muiden ryhmäläisten nimet:
Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotNaulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
LisätiedotJousen jousivoiman riippuvuus venymästä
1 Jousen jousivoiman riippuvuus venymästä Mikko Vestola Koulun nimi Fysiikka luonnontieteenä FY3-Projektityö 12..2002 Arvosana: K+ (10) 2 1. Tutkittava ilmiö Tehtävänä oli tehdä oppikirjan tutkimustehtävä
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotTehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla.
TYÖ 9d. FYSIKAALISEN HEILURIN HITAUSMOMENTTI Tehtävä Välineet Taustatietoja Tehtävänä on määrittää fysikaalisen heilurin hitausmomentti heilahdusajan avulla. Fysikaalisena heilurina on metrin teräsmittana,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
LisätiedotEstimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4
Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
Lisätiedot1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.
1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotTyö 5: Putoamiskiihtyvyys
Työ 5: Putoamiskiihtyvyys Työryhmä: Tehty (pvm): Hyväksytty (pvm): Hyväksyjä: 1. Tavoitteet Työssä määritetään putoamiskiihtyvyys kolmella eri tavalla. Ennakko-oletuksena mietitään, pitäisikö jollain tavoista
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotKALTEVA TASO. 1. Työn tavoitteet. 2. Teoria
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1. Työn tavoitteet Tämän työn ensimmäisessä osassa tutkit kuulan, sylinterin ja sylinterirenkaan vierimistä pitkin kaltevaa tasoa.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
LisätiedotSEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA
1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
Lisätiedotjärjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotMekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot
Meaniia, osa 2 Perttu Lantto Luentoalvot perustuvat irjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R.. Freedman (Pearson, 2012) 20. maalisuuta 2017 Osa VI Luu 14: Jasollinen liie
LisätiedotBINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015
BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin
LisätiedotRATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotRunkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere
Tampereen aupuni Juha Jaaola PL 487 33101 Tampere LAUSUNTO RAIDELIIKENTEEN NOPEUDEN KASVATTAMISESTA RANTA- TAMPELLAN ALUEEN RUNKOMELU- JA TÄRINÄRISKIIN Ranta-Tampellan alueen tärinää on arvioitu selvitysessä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
Lisätiedoton radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).
H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
Lisätiedotjärjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
Lisätiedot