Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c) P(A) + P(B) P(A B) + P(A B). Rataisu. Huom! Tässä tehtävässä opetellaan monisteen Määritelmän 1.. seurausia eli todistusessa saa äyttää ainoastaan jouo-operaatioita ja Määritelmää 1... Eli todistetaan aiemmilla ursseilla äytetyt tuloset todennäöisyyden asioomiin perustuen. (a) Käytetään materiaalin Lauseessa 1.1 esiteltyä todennäöisyyden (siis tn-mitan P) äärellistä additiivisuutta: A B A (B \ A) ja A (B \ A), joten P(A B) P(A (B \ A)) äär.add. P(A) + P(B \ A). (b) Pienellä jouo-opillisella pyörittelyllä saadaan B Ω B B Ω B (A A c ) (B A) (B A c ) (A B) (B \ A). Nyt uten (a)-ohdassa, voidaan äyttää äärellistä additiivisuutta, sillä (A B) (B \ A). Eli P(B) P((A B) (B \ A)) äär.add. P(A B) + P(B \ A). (c) Nyt (a)-ohdan perusteella P(A B) P(A) + P(B \ A). (b)-ohdasta saadaan taas vähentämällä P(A B) puolittain P(B \ A) P(B) P(A B). Nämä tiedot yhdistämällä P(A B) (a) P(A) + P(B \ A) (b) P(A) + P(B) P(A B). Tästä saadaan P(A) + P(B) P(A B) + P(A B). 1

2 . Heitetään olioa asi ertaa. Tarastellaan tapahtumia A : {ensimmäisellä heitolla tulee laava}, B : {toisella heitolla tulee laava}, C : {ensimmäisellä ja toisella heitolla tulee eri tulos}. Osoita, että näistä tapahtumista mitä tahansa asi ovat esenään riippumattomia, mutta aii olme tapahtumaa eivät ole toisistaan riippumattomia. Rataisu. Määritellään perusjouo Ω seuraavasti: Ω {(ruuna, ruuna), (ruuna, laava), (laava, ruuna), (laava, laava)}. Nyt tapahtumat A, B ja C ovat perusjouon Ω seuraavat osajouot: A {(laava, ruuna), (laava, laava)}, B {(ruuna, laava), (laava, laava)}, C {(ruuna, laava), (laava, ruuna)}. Todennäöisyydet tapahtumille A, B ja C saadaan helposti: P(A) #A #Ω 4 1 #B, P(B) #Ω 4 1, P(C) #C #Ω 4 1. Tutitaan tapahtumat A B, A C, B C ja A B C samalla tavalla: A B {(laava, laava)}, A C {(laava, ruuna)}, B C {(ruuna, laava)}, A B C. Tällöin todennäöisyydet näille tapahtumille ovat P(A B) P(B C) #(A B) #Ω #(B C) #Ω 1 #(A C), P(A C) 1 4 #Ω 4, 1 #, P(A B C) 4 #Ω

3 Hyödynnetään Määritelmää 1.5 ja huomataan P(A B) P(A C) P(B C) P(A B C) P(A) P(B), P(A) P(C), P(B) P(C), P(A) P(B) P(C). Siis huomataan, että A B, A C, B C, mutta A, B, C. 3. Todista binomiaava ( ) n ( ) n 1 + ( ) n 1 1 (a) lasemalla apinan lailla, (b) tulitsemalla molemmat puolet ombinatorisesti ja päättelemällä, että niissä lasetaan sama luumäärä ahdella eri tavalla. Rataisu. (a) Lasetaan apinan lailla. ( ) ( ) n 1 n 1 (n 1)! + 1!(n 1 )! + (n 1)! ( 1)!(n 1 ( 1))! ( ) (n 1)!!(n 1)! + (n 1)! ( 1)!(n )! (n )(n 1)!!(n )! + (n 1)!!(n )! (n )(n 1)! + (n 1)!!(n )! n(n 1)! (n 1)! + (n 1)!!(n )! n!!(n )! 3 ( ) n.

4 (Kohdassa ( ) lavennetaan vasenta murtoluua (n ):lla ja oieaa :lla, jolloin nimittäjässä (n ) (n 1)! (n )! ja ( 1)!!. Loput yhtälöetjusta on vain järjestelyä, yhteenlasua, seä binomiertoimen määritelmän äyttämistä.) (b) Tämän voi ajatella monella tavalla. Tässä on ysi niistä: Kuvittele, että edessäsi on n laatioa rivissä ja sinulla on äsissäsi palloa. Tehtävänäsi on laittaa pallot laatioihin niin, että joaisessa laatiossa on enintään ysi pallo. Kuina monella tapaa voit täyttää laatiot palloillasi? Siis uina monella tapaa voit valita n:stä laatiosta laatioa, joihin laitat pallosi? Selvästi tapoja täyttää laatiot palloilla on ( n ). Voidaan myös irjoittaa ( ) n #{ n:ssä laatiossa on palloa }. Mutta yllä voidaan myös jaottautua erillisiin tapausiin seuraavalla tavalla: { n:ssä laatiossa on palloa } { Ensimmäisessä laatiossa ei ole palloa. } { Ensimmäisessä laatiossa on pallo. } Nyt asi tapausta voidaan pohtia eriseen. Jos ävelet ensimmäisen laation ohi laittamatta siihen palloa, sinulla on jäljella n 1 laatioa ja palloa. Kuina monta tapaa on täyttää n 1 laatioa :lla pallolla? Kuten yllä: ( ) n 1 #{ Ensimmäisessä laatiossa ei ole palloa. }. Mutta mitä jos ävelet ensimmäiselle laatiolle, laitat sinne pallon ja sitten siirryt seuraavalle? Nyt sinulla on jäljella n 1 laatioa ja 1 palloa. Kuina monta tapaa on täyttää n 1 laatioa 1:llä pallolla? Taas erran: ( ) n 1 #{ Ensimmäisessä laatiossa on pallo. }. 1 Ne mahdolliset laatioiden täyttötavat joissa laitat ensimmäiseen pallon ja ne joissa et laita ensimmäiseen palloa muodostavat yhdessä aii mahdolliset tavat täyttää nämä n laatioa :lla pallolla. Siis ( ) n #{ n:ssä laatiossa on palloa } #{ Ensimmäisessä laatiossa ei ole palloa. } + #{ Ensimmäisessä laatiossa on pallo. } ( ) ( ) n 1 n

5 4. Oloon {1, }. Aura heittää noppaa ertaa ja ostaa lottoriviä. Meritään (a) A noppa {Aura saa nopalla (ainain yhden) uutosen}, (b) A lotto {Aura saa lotossa täysosuman}. Täsmälleen yhdessä tilanteessa x {noppa, lotto} pätee P(A x ) P(A x 1). Selvitä ummassa ja selitä todennäöisyyslasennan termein mistä ero johtuu. (Käytännössä ero johtuu siitä, että uaan ei osta ahta samaa lottoriviä, un taas nopanheitossa... ) (Lotossa valitaan numeroista 1,,..., 40 join 7 luvun jouo, järjestysellä ei ole väliä.) Rataisu. Tarastellaan ensin nopanheittoa, jossa heittotapahtumat oletetaan riippumattomisi ja noppa harhattomasi. Tällöin 1. heittolla uutonen: P(A noppa 1 ) 1 ja :lla heitolla ainain ysi uutonen P(Anoppa 6 ) Jälimmäisen lasun perustelu: Tapahtumat ovat toisensa poissulevia ja lasetaan, että 1. heitolla uusi ja. heitto ei uutosta, 1. heitolla ei uutosta ja. heitolla uusi, seä 1. ja. heitolla molemmilla uusi. Todetaan, että aava P(A noppa ) P(A noppa 1 ) eli päde, sillä Oletetaan, että täytetyt lottoriviä eivät ole samat. Kosa lotossa valitaan 40 numerosta 7 uhunin lottoriviin, niin voiton todennäöisyys seä 1. että. lottorivin osalta on ( 1. Siten 40 P(Alotto 7 ) 1 ) ( 1 ja. rivin jäleen täysosuman todennäöisyys 40 7 ) on P(A lotto ) ( 1 40 ) + ( 1 40 ) ( 40 ), sillä voitto 1. ja voitto. rivillä ovat toisensa poissulevia tapahtumia. Todetaan, että aava P(A lotto ) P(A lotto 1 ) pätee. 5. Tutitaan oetta, jota toistetaan loputtomasti aiilla ajanhetillä i 1,,.... Oloon A i se tapahtuma, että i:s oe onnistuu. Kirjoita jouo-operaatioiden avulla se tapahtuma, että (a) oe onnistuu äärettömän monta ertaa. (b) oe onnistuu lopulta (eli jostain hetestä eteenpäin) joa erta. 5

6 (Huom! Tässä on siis asi eri ysymystä, joihin on eri vastauset.) Rataisu. Perusjouo Ω voidaan tässä tehtävässä mieltää aiien mahdollisten nollista ja yösistä oostuvien jonojen jouosi. Ysi jono uvaa aina äärettömän montaa perääistä oetta ja siinä i:nnen omponentin arvo uvaa i:nnen oeen onnistumista tai epäonnistumista. Meritään siis Ω {0, 1} N {(x 1, x,...) : x i {0, 1} aiilla i N}. Sovitaan, että 0 uvaa oeen epäonnistumista ja 1 onnistumista. Tällöin A i jouo sellaisia jonoja Ω:ssa, että niiden i:s omponentti on 1. Toisin sanoen A i {(x 1, x,...) Ω: x i 1}, i N. Siis jos x on jono A i :ssä, niin x on tapaus, jossa i:s oe on onnistunut. (a) Mietitään sitten miten sanoa yllä olevalla ielellä se, että oe onnistuu äärettömän monta ertaa. Huomaa, että oeen onnistuminen äärettömän monta ertaa ei ole sama asia uin se, että oe onnistuisi joaisella erralla. Esimerisi jono (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) uvaa tapausta, jossa oe on onnistunut äärettömän monta ertaa, sillä vaia se ei onnistuaan joa erta, se onnistuu joa toinen erta. Koeen onnistuminen äärettömän monta taroittaain siis ennemminin sitä, että vaia uina pitällä jonossa ollaanin, siitä löytyy vielä lisää yösiä (1). Muista että oeen onnistuminen i:nnellä erralla taroittaa, että tapaus uuluu jouoon A i. Asia voidaan ilmaista siis sanomalla: x { oe onnistuu äärettömän monta ertaa } (1) n N i n siten, että x A i n N pätee x i n A i x n1( i n A i ). (b) Samanlaisella ajattelulla, mitä taroittaa se, että oe onnistuu jostain yritysestä lähtien aina? Se taroittaa, että on olemassa asel n N, jona jäleen aiilla aselilla i n oe onnistuu (). Eli x { oe onnistuu lopulta (eli jostain hetestä eteenpäin) joa erta } () n N siten, että i n pätee x A i n N siten, että x i n A i x n1( i n A i ). 6

7 6. Kosti on pyytänyt tarjousen eittiöremontista neljältä uraoitsijalta. Oletetaan, että aii tarjouset saapuvat eri aiaan ja ne ovat esenään eri hintaisia mutta muuten samanlaisia. Heti tarjousen saadessaan (eli ennen seuraavaa tarjousta) Kosti joutuu ilmoittamaan, hyväsyyö hän sen vai ei. Kosti valitsee seuraavan strategian: Hän hylää joa tapausessa ensimmäisenä tulleen tarjousen voidaseen verrata muita siihen. Kun uusi tarjous saapuu, Kosti valitsee sen, miäli se oli aiia edellisiä halvempi; muussa tapausessa hän hylää sen. Kun Kosti on hyväsynyt jonun tarjousen, hän joutuu hyläämään aii sen jäleen tulevat tarjouset. Lase todennäöisyys sille, että (a) Kosti hylää aii tarjouset. (b) Kosti valitsee halvimman tarjousen. (Vihje: oonaistodennäöisyys, tarastele eriseen tapahtumia :s tarjous on halvin ja Kosti valitsee sen.) (Oloot tarjouset halvimmasta alleimpaan (esim.) 1,, 3, 4. Oleta, että yseiset tarjouset saapuvat satunnaisessa järjestysessä.) Rataisu. (a) Pohditaan missä tapausessa Kosti hylää aii tarjouset. Jos ensimmäinen tarjous on halvin (eli hinnaltaan 1 ), miään seuraavista tarjousista ei voi olla sitä halvempi, joten Kosti ei hyväsy niistä mitään. Muissa tapausissa Kosti saa ensimmäisenä tarjousena :n, 3:n tai 4:n ja siten saa lopulta jonin aiaisempia tarjousia halvemman tarjousen seä hyväsyy sen. Siis ainoa tapaus jossa Kosti ei hyväsy yhtään tarjousta on se, että ensimmäinen niistä on halvin. Jos tarjouset erran saapuvat satunnaisessa järjestysessä, niin sen todennäöisyys, että ensimmäinen niistä on halvin (siis 1) luulisi olevan 1/4. Osoitetaan tämä vielä formaalimmin. Määritellään neljän omponentin vetorien jouo, jossa aliot uvaavat tarjousten hintaa ja niiden järjestys tarjousten saapumisjärjestystä: Ω {(x 1, x, x 3, x 4 ) : x 1, x, x 3, x 4 {1,, 3, 4}, x 1 x x 3 x 4 }. Tällaisten alioden määrä voidaan lasea huomaamalla, se vastaa ysymyseen uina monella tapaa voidaan järjestää neljä luua ilman taaisinpanoa niin, että 7

8 niiden järjestysellä on väliä? Ja vastaus on ertoma: #Ω 4! 4. Sitten ysymys on, uina monessa näissä jonoissa on ensimmäisenä aliona 1? Mutta se vastaa ysymystä siitä, uina monella tapaa loput olme luua voidaan järjestää jonoon. Eli Tällöin siis todellain #{ Halvin tarjous saapuu ensin. } 3! 6. P( Kosti hylää aii tarjouset. ) (b) Noudatetaan tehtävänannon neuvoa, seurataan materiaalin luua 1.8 ja tutitaan tapausia A : { Kosti valitsee halvimman tarjousen. } B i : { i:s tarjous on halvin } {(x 1, x, x 3, x 4 ) Ω : x i 1}. A on tapahtuma, jona todennäöisyys halutaan tietää. B i :t taas muodostavat perusjouon Ω ositusen. Siis B i B j, i j ja B 1 B B 3 B 4 Ω. Näin ollen voidaan äyttää oonaistodennäöisyyden aavaa. Sitä varten tarvitsee vain selvittää todennäöisyydet P(B i ) ja P(A B i ). a)-ohdassa itseasiassa lasettiin jo P(B 1 ) 1. Tapoja järjestää neljä luua sillä 4 tavalla, että 1 on i:nnellä paialla on saman verran, uin on tapoja järjestää ne muut olme luua. Siis #B i 3! 6 P(B i ) #B i #Ω 6 4 1, i {1,, 3, 4}. 4 Tutitaan tapauset {A B i } ysi errallaan. Kun i 1, saadaan P(A B 1 ) 0, sillä ensimmäinen tarjous hylätään automaattisesti. Kun i tarjous hyväsytään joatapausessa, sillä joainen mahdollinen tarjousetju alaa tarjousella joa hylätään ja jota seuraa halvin tarjous. Näin ollen P(A B ) 1. 8

9 Listataan tapauset, joissa olmas tarjous on halvin ja se hyväsytään. Näitä ovat (, 3, 1, 4), (3, 4, 1, ) ja (, 4, 1, 3). Kun näiden määrä jaetaan aiien mahdollisten jonojen määrällä, jossa olmas omponetti on 1 saadaan P(A B 3 ) 3 3! 1. Listataan tapauset, joissa neljäs tarjous on halvin ja se hyväsytään taas ysi errallaan. Tällaisia ovat (, 3, 4, 1) ja (, 4, 3, 1). Jaetaan näiden tapausten määrä tapausten määrällä, joissa viimeinen tarjous on halvin ja saadaan haluttu todennäöisyys: P(A B 4 ) 3! 1 3. Nyt un olemme selvittäneet aien tarvittavan tiedon, voimme lasea todennäöisyyden tapahtumalle A äyttäen oonaistodennäöisyyden aavaa. P(A) 4 P(B i )P(A B i ) i1 P(B 1 )P(A B 1 ) + P(B )P(A B ) + P(B 3 )P(A B 3 ) + P(B 4 )P(A B 4 ) ( ) Yleistä edellinen tehtävä tilanteeseen, jossa uraoitsijoita on n appaletta. Rataisu. Lasetaan todennäöisyydet tapahtumille (a) Kosti hylää aii tarjouset. (b) Kosti valitsee halvimman tarjousen. 9

10 Meritään uten edellisessäin tehtävässä eli oloot tarjouset halvimmasta alleimpaan 1,,..., n. (a) Pohditaan missä tapausessa Kosti hylää aii tarjouset. Jos ensimmäinen tarjous on halvin (eli hinnaltaan 1 ), miään seuraavista tarjousista ei voi olla sitä halvempi, joten Kosti ei hyväsy niistä mitään. Muissa tapausissa Kosti saa ensimmäisenä tarjousena :n,..., tai n:n ja siten saa lopulta jonin aiaisempia tarjousia halvemman tarjousen seä hyväsyy sen. Siis ainoa tapaus, jossa Kosti ei hyväsy yhtään tarjousta on se, että ensimmäinen niistä on halvin. Jos tarjouset erran saapuvat satunnaisessa järjestysessä, niin sen todennäöisyys, että ensimmäinen niistä on halvin (siis 1) luulisi olevan 1/n. Osoitetaan tämä vielä formaalimmin. Määritellään n-dimensioisten vetorien jouo, jossa aliot uvaavat tarjousten hintaa ja niiden järjestys tarjousten saapumisjärjestystä: Ω {(x 1,...,, x n ) : x 1,..., x n {1,..., n}, x 1... x n }. Tällaisten alioden määrä voidaan lasea huomaamalla, että se vastaa ysymyseen uina monella tapaa voidaan järjestää n luua ilman taaisinpanoa niin, että niiden järjestysellä on väliä? Ja vastaus on ertoma: #Ω n!. Sitten ysymys on, uina monessa näissä jonoissa on ensimmäisenä aliona 1? Mutta se vastaa ysymystä siitä, uina monella tapaa loput n 1 luua voidaan järjestää jonoon. Eli #{ Halvin tarjous saapuu ensin. } (n 1)!. Tällöin siis todellain (b) Tarastellaan tapausia P( Kosti hylää aii tarjouset. ) (n 1)! n! 1 n. A : { Kosti valitsee halvimman tarjousen. } B i : { i:s tarjous on halvin } {(x 1,..., x n ) Ω : x i 1}. A on tapahtuma, jona todennäöisyys halutaan tietää, ja B i :t muodostavat perusjouon Ω ositusen. Siis B i B j, i j ja n i1 B i Ω. 10

11 Näin ollen voidaan äyttää oonaistodennäöisyyden aavaa. Sitä varten tarvitsee selvittää todennäöisyydet P(B i ) ja P(A B i ) ullain i 1,..., n. a)-ohdassa itseasiassa lasettiin jo P(B 1 ) 1. Vastaavasti tapahtumalle B n i suotuisissa jonoissa i:nnes alio x i 1 ja muut aliot voi valita (n 1)! tavalla, eli P(B i ) (n 1)! 1 aiilla i 1,..., n. n! n Tarastellaan tapausia {A B i } ysi errallaan. Kun i 1, saadaan P(A B 1 ) 0, sillä ensimmäinen tarjous hylätään automaattisesti. Kun i tarjous hyväsytään joa tapausessa, sillä joainen mahdollinen tarjousetju alaa tarjousella, joa hylätään ja jota seuraa halvin tarjous. Näin ollen P(A B ) 1. Kun i 3, on alhaisin tarjous jonon 3. alio, ja 1. tarjousen on oltava paras :n ensimmäisen tarjousen jouossa eli P(A B 3 ) 1. Sillä nämä jonon asi ensimmäistä aliota valitaan jouosta,..., n, ja todennäöisyys, että ensimmäinen on suurempi on 1. Kun i 4, on alhaisin tarjous jonon 4. alio, ja 1. tarjousen on oltava paras 3:n ensimmäisen tarjousen jouossa eli P(A B 4 ) 1. Sillä nämä jonon 3 ensimmäistä aliota valitaan jouosta,..., n, ja todennäöisyys, että ensimmäinen on 3 suurin on 1. 3 Yleisesti: Kun alhaisin tarjous jonon i:nnes alio, ja 1. tarjousen on oltava paras i 1:n ensimmäisen tarjousen jouossa eli P(A B i ) 1. Sillä nämä jonon i 1 i 1 ensimmäistä aliota valitaan jouosta,..., n, ja todennäöisyys, että ensimmäinen on suurin on 1. Todennäöisyys tapahtumalle A saadaan äyttäen i 1 oonaistodennäöisyyden aavaa P(A) n P(B i )P(A B i ) i1 1 n n n n n 1 n ( n 1 ) 1 ln(n 1), n jossa viimeinen seuraa harmonisen sarjan ominaisuusista. 1 n 1 11

12 Vaihtoehtoisia rataisuja tehtäviin 1 ja 3b: 1. Oloon A, B Ω tapahtumia perusjouossa Ω. (a) Väite: (A B) (A) + (B \ A). Todistus: Jotta voimme äyttää todennäöisyyden täysadditiivisuutta, täytyy yhdiste A B irjoittaa erillisten jouojen avulla. Väitösen muotoilun perusteella on ätevää valita jouo A (ja A c, A A c ) muodostamaan tämä ositus eli A B ((A B) A) ((A B) A c ) A (B A c ). Todetaan vielä, että A ja B A c ovat erillisiä: Jos x A x A c x B A c A c. Jos x B A c x A c x A. Siis A ja B A c ovat erillisiä. Täten (A B) (A (B A c )) (A) + (B A c ) (A) + (B \ A), jossa toinen yhtäsuuruus seuraa todennäöisyyden täysadditiivisuuden perusteella. (b) Väite: (B) (A B) + (B \ A) Todistus: Muodostetaan jouon B ositus erillisten jouojen A ja A c avulla eli B (B A) (B A c ). Todetaan vielä, että B A ja B A c ovat erillisiä: Jos x B A x A x A c x B A c. Jos x B A c x A c x A x B A. Siis B A ja B A c ovat erillisiä. Täten (B) ((B A) (B A c )) (B A) + (B A c ) (B A) + (B \ A), jossa toinen yhtäsuuruus seuraa todennäöisyyden täysadditiivisuuden perusteella. (c) Väite: (A) + (B) (A B) + (B A) Todistus: Kohdan (a) perusteella (A B) (A)+(B \A) ja ohdan (b) perusteella (B) (A B) + (B \ A) eli (B \ A) (B) (A B). Yhdistämällä nämä, saadaan (A B) (A) + (B) (A B) eli (A) + (B) (A B) + (B A). 3. (b) ( n ) ertoo -alioisten osajouojen luumäärän n alioisessa jouossa. Suoritetaan -alioisten osajouojen luumäärän laseminen n alioisessa jouossa siten, että laseminen suoritetaan iinnitetyn alion a avulla. 1. Lasetaan ensin aiien niiden -alioisten osajouojen luumäärä, joissa alio a on muana: Tällöin vapaasti valittavia alioita oo jouossa on n 1 appaletta (siis a aina muana) ja -osajouoissa vapaasti valittavia alioita on 1 (siis a aina muana). Joten tällaisten -alioisten osajouojen luumäärä on ( n 1 1). 1

13 . Lasetaan sitten aiien niiden -alioisten osajouojen luumäärä, joissa alio a ei ole muana: Tällöin vapaasti valittavia alioita oo jouossa on n 1 appaletta (siis a ei ole muana) ja -osajouoissa vapaasti valittavia alioita on (siis a on suljettu pois perusjouosta). Joten tällaisten -alioisten osajouojen luumäärä on ( ) n 1. Kosa alion a uuluu -osajouoihin ( ) ( n 1 1 ja se ei uulu -osajouoihin n 1 ), ei ole -osajouoa, joa uuluisi molempiin ja tulisi lasetusi ahteen ertaan. Täten aiien -osajouojen luumäärä saadaan lasemalla luumäärät yhteen eli ( ) ( n n 1 ). Luumäärän on oltava sama lasutavasta riippumatta eli ( n ) ( n 1 ) ( + n 1 1). 13