III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

Transkriptio

1 III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x , missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat eli termit. Sopimus: = y (sama sarja) = y aiilla N. (Itse asiassa siis sarja on oleellisesti sama asia uin termien jono (x, x 2,...).) Sarjan x + x osasummat ovat luvut S = x, S 2 = x + x 2, S 3 = x + x 2 + x 3,..., S n = x x n = (siis S n = n:n ensimmäisen termin summa). Kääntäen, x = S, x 2 = S 2 S,..., x n = S n S n,....,..... Huom. Kumpi tahansa jonoista (x n ) ja (S n ) määrää sarjan ysiäsitteisesti, sillä S n = ja x n = S n S n, jos n 2, ja x = S. Esimerejä sarjoista: (aritmeettinen sarja) ( 2) +... (geometrinen sarja) (harmoninen sarja).2. Määritelmä. Sarja = x + x suppenee, jos sen osasummien jono (S n ) = (S n ) n N suppenee, ts. jos S R s.e. lim S n = S. Tällöin S on o. sarjan summa ja meritään = x + x = S. Jos sarja ei suppene, se hajaantuu. Huom: Symbolilla = x + x on siis asi eri meritystä: ) Sarjan nimi riippumatta siitä, suppeneeo sarja. 2) Sarjan summa reaaliluuna, jos sarja suppenee. Erityisesti yhtälö = y taroittaa eri asiaa tapausissa ) ja 2). 57

2 Josus on ätevää aloittaa termien indesöinti arvon = sijasta arvosta = 0 Z. Sarjan n + 0 n:s osasumma on S n =, n N. = 0 = 0.3. Esimerejä. ) Aritmeettinen sarja b + 2b + 3b +... ei suppene (ellei ole b = 0), sillä { n(n + ), jos b > 0 S n = b( n) = b 2, jos b < 0. 2) Kun a, q R, aq = a + aq + aq on geometrinen sarja, jona suhdeluu (perääisten termien suhde) on q. Käytännöllinen merintäsopimus: tässä q 0 = myös, un q = 0. Jos a = 0, niin sarja on nollasarja , joa suppenee. Todistetaan tulos: Geometrinen sarja aq, jossa a 0, suppenee q <. Tällöin sen summa on aq = a q (sarja siis suppenee, un < q <, ja hajaantuu, un q tai q ). Tod. S n = a + aq + aq aq n = qs n = aq + aq aq n + aq n Siis ( q)s n = a aq n = a( q n ) = S n = a qn, un q (n N) q Jos q =, niin S n = na, joten sarja hajaantuu. Oloon q. Kosa S n = a qn q, niin jono (S n) suppenee jono (q n ) suppenee q < (Diff.I.). Lisäsi tällöin q n 0, un n, joten lim S n = a q R. ( ) 2x Esim. Sarjan termit ovat määriteltyjä x /3. Tällöin sarja on 3x + geometrinen suhdeluuna q(x) = 2x 3x +, ja sarja suppenee q(x) = 2x 3x + < 2x < 3x + 4x 2 4x + < 9x 2 + 6x + x 2 + 2x > 0 x < 2 tai x > 0. Summa on S(x) = q(x) = 3x +, x < 2 tai x > 0. x Esimerejä. ) Harmoninen sarja Jos x > 0, niin funtio x /x on aidosti vähenevä, joten = S n = n+ > dx x = n+ / ln x = ln(n + ). Siis sarja hajaantuu (vaia termi / 0, un ). 58

3 2) Joainen suppeneva jono määrittelee suppenevan sarjan. Esim. S n = /n 0, un n, ja S n on osasumma sarjassa, missä x = S = ja = S S = = ( ) =, un 2. ( ) Siis sarja suppenee ja sen summa on 0. ( ) =2 3) Tarastellaan sarjaa (osamurtoehitelmä) = S n = ( + ). Tehdään havainto: ( + ) = + aiilla N ( ( + ) = ) ( ( ) n ) = n + n +. Siis sarja suppenee ja sen summa =. ( 4) Sarjalle ln + ) ( on = ln + ) S n = Sarja siis hajaantuu. 5) Sarja hajaantuu, osa = ln +, joten ( 2 = ln n + ) = ln(n + ). n S n = n = n. 2 3 n n.5. Lause. Jos suppenee, niin lim = 0. Tod. Kosa suppenee, niin S n = S R, un n. Jos n 2, niin x n = S n S n S S = Huom. ) Jos ehto 0, un ei ole voimassa, niin 2) Käänteinen ei päde. Esim. harmoninen sarja ei voi supeta. hajaantuu, vaia lim = 0. 3) Lause.5 meritsee: lim = 0 on välttämätön, mutta ei ole riittävä ehto sarjan suppenemiselle. Esimerejä. ) Sarja + ( ) + + ( ) +... hajaantuu, osa osasummien jono (, 0,, 0,,...) hajaantuu tai osa termi ( ) + 0, un n. 59

4 2) Sarja + Oletetaan, että Meritään hajaantuu, osa lim + = 0. ja sanotaan, että R n on sarjan suppenee ja sen summa = S R (siis S = lim S n, S n = ). R n = S S n (n N), n:s jäännöstermi (määritelty vain suppenevalle sarjalle). Kosa S n S, un n, niin pätee.7. Lause. Suppenevalle sarjalle R n 0, un n..8. Lause. Oloon sarja ja p N {0}. Tällöin suppenee Kun sarjat suppenevat, summille pätee erityisesti sarjan = p:s jäännöstermi on R p = Tod. Tarastellaan osasummia S n = =p+ p + =p+ ja S n = p+n S n = suppenee.. =p+ p+n =p+ p = S p+n S p. ( tyhjä summa. Kaiilla n N on 0 = 0); suppenee lim S n = S lim S p+n = S lim S n = lim (S p+n S p ) = lim S p+n S p = S S p. Seuraus. Sarjan suppenemista tutittaessa voidaan siis haluttaessa unohtaa äärellisen monta alupään termiä. Sarjaa meritäänin usein myös epätäsmällisesti. Esim. Tarastellaan sarjaa ( ) x + x + + x + x Sarjan termit ovat määriteltyjä x 0 ja x. Lauseen.8 muaan ( ) suppenee x 0, x ja geometrinen sarja + x + x suppenee x 0, x ja < x < < x < 0 tai 0 < x <. Tällöin ( ):n summa on = x + x + = x + x + x = x. 60

5 Sarjojen ja y summa on sarja + y = Jos a R, määritellään sarja a asettamalla a = ( + y ). (a ). Huom. ) Näissä määritelmissä ei puhuta mitään suppenemisesta. 2) Sarjojen tulo määritellään myöhemmin..9. Lause. Jos a, b R ja sarjat, y molemmat suppenevat, summat = X ja Y, niin sarja a + b y suppenee ja sen summa = ax + by. Tod. (a + by ) = a.0. Huom. ) + b y ax + by, un n. suppenee, y hajaantuu = summasarja ( + y ) hajaantuu. (Todistus: Jos ( + y ) suppenisi, niin L.9 = y = ( + y ) suppenisi, RISTIRIITA.) 2) Jos ja y molemmat hajaantuvat, niin ( + y ) voi joo a) supeta tai b) hajaantua. (Esim. a) =, y = aiilla ja b) = y = aiilla.) [( x ) ( ) ] Esim. +, x 0, on ahden geom. sarjan summasarja. 2 4x ( x ) x suppenee < x < 2; summa = 2 2 (x/2) = 2 2 x. ( ) suppenee < x > 4x 4x 4 ; summa = 4x = (4x) 4x. Kun /4 < x < 2, eli 2 < x < /4 tai /4 < x < 2, molemmat yhteenlasettavat sarjat suppenevat, joten summasarja suppenee ja sen summa on = 2 2 x + 4x 4x = 4x2 6x + 2 4x 2 9x + 2. Muilla x:n arvoilla toinen yhteenlasettava suppenee, toinen hajaantuu, joten summasarja hajaantuu. Tarastellaan sarjaa. Meritään S n = uten edellä. Palautetaan mieleen jonon suppenemisen yhteydessä esitetty Cauchyn ehto (atso Myrberg L 2.5.): 6

6 suppenee jono (S n ) suppenee on olemassa sellainen S R, että joaista ε > 0 ohti n ε N s.e. S n S < ε n > n ε ( ) ε > 0 n ε N s.e. S n+p S n < ε aiilla p N aina, un n > n ε. (Cauchyn ehdossa ( ) ei esiinny summaa S.) n+p Kosa S n+p S n = = x n+ + x n x n+p, on saatu.. Lause (Cauchyn yleinen suppenemisriteerio sarjoille). Sarja joaista ε > 0 ohti n ε N s.e. aina, un n > n ε..2. Määritelmä. Sarja.3. Lause. Jos x n+ + x n x n+p < ε aiilla p N suppenee itseisesti, jos sarja suppenee itseisesti, niin Tod. Oletetaan, että suppenee suppenee. suppenee. Tällöin summille pätee. suppenee. Oloon ε > 0. L. = n ε N s.e. x n+ + x n x n+p < ε aiilla p N aina, un n > n ε. Kolmioepäyhtälön muaan x n x n+p x n x n+p. Siis pätee myös aina, un n > n ε. Lauseen. muaan Kolmioepäyhtälön muaan x n+ + x n x n+p < ε aiilla p N suppenee. n aiilla n N = = lim lim =. Huom. Yleensä. 62

7 Jos 0 aiilla N, sanotaan, että sarja on aina positiiviterminen. Jos positiiviterminen sarja on positiiviterminen. Sarja suppenee, se suppenee myös itseisesti ( = aiilla ). Itseisen suppenemisen äsitettä tarvitaan vain sarjoille, joissa on erimerisiä termejä. On olemassa sarjoja, jota suppenevat, mutta eivät suppene itseisesti (esim. vuorotteleva sarja , perustelu myöhemmin). Sanomme, että tällaiset sarjat suppenevat ehdollisesti. 4 III.2. Suppenemistestejä Suppenemistestit ovat riittäviä ehtoja, joiden avulla voi josus osoittaa tietyntyyppisen sarjan suppenemisen (tai hajaantumisen). Monet testit osevat positiivitermisiä sarjoja. 2.. Lause. Positiiviterminen sarja suppenee sen osasummien jono on ylhäältä rajoitettu. Tod. Ol. 0 aiilla N. Meritään S n = aiilla n N. n+ S n+ S n = = x n+ 0 aiilla n N = jono (S n ) on nouseva. DI.:n muaan (Myrberg L 2.4.) saadaan rajoitettu. suppenee (S n ) suppenee (S n ) ylhäältä Huom. Jono (S n ) on ylhäältä rajoitettu on olemassa sellainen vaio M <, että x + x x n < M aiilla n N. Esimerejä. ) Harmoninen sarja S 2 n = ( > ( ) ) + ( ) ( ( ( ) n n ) 2 n 2 n + 2 n ) }{{ 2 n = (n + ) } 2 2 n pl = jono (S n ) ei ole ylh. rajoitettu = harm. sarja hajaantuu (tämä nähtiin toisella tavalla Esim..4.):ssä). 2) Osoita, että sarja suppenee (0! = ).! Kosa! = > 2, niin aiilla n N on S n = n! = + + 2! (n )! < = + ( 2 ) = + (/2) = 3.

8 L 2. =! suppenee, ja sen summa 3 (pätee:! = e) Majorantti-/minoranttiperiaate. Oloon 0 y aiilla N. a) Jos (majorantti) y suppenee, niin suppenee, ja summille pätee b) Jos (minorantti) hajaantuu, niin Tod. a) Meritään S n =, S n = y hajaantuu. y. y. Kosa y, niin S n S n n. Siispä y suppenee = (S n) ylh. raj. = (S n ) ylh. raj. = pos.-terminen). Tällöin = lim S n lim b) Vastaol. S n = y suppenee. a) = y. suppenee (osa suppenee. RISTIRIITA. Huom. Edellisessä lauseessa oletus 0 y aiilla N voidaan orvata oletusella 0 y aiilla 0, missä 0 N, jos tutitaan vain suppenemista (s. L.8). Esimerejä. ) Tar. sarjaa ( ), x 0. Jos 0 x <, niin 0 x x N ja geometrinen sarja suppenee. Majoranttiperiaatteen muaan ( ) suppenee. Jos x, niin 0 < x aiilla. Kosa harm. sarja hajaantuu, niin minoranttiperiaatteen nojalla ( ) hajaantuu. 2) Oloon 0 ja y = aiilla N. + Väite. suppenee y suppenee. Tod. = : Kosa + aiilla N, niin 0 y aiilla. Jos niin MAJ.-PER. muaan =: Ol. y suppenee. y suppenee. Tällöin lim y = 0 = = on ylhäältä rajoitettu ts. on olemassa M > 0 s.e. M N. 64 suppenee, y y 0, un = ( )

9 Siis = (+ ) y (+M) y aiilla N. Kosa suppenee, joten suppenee (MAJ.-PER.). y suppenee, niin ( + M) y 2.3. Lause. Ol. 0 ja y > 0 N. Oletetaan, että on olemassa vaio M < ja 0 N s.e. x M aiilla 0. Jos tällöin y suppenee, niin suppenee. y myös Tod. Oletusista seuraa, että 0 My aiilla 0. Kosa My suppenee, joten MAJ.-PER. nojalla Seurausena saadaan suppenee. y suppenee, niin 2.4. Vertailutesti. Oletetaan, että > 0, y > 0 aiilla N ja että on olemassa lim = L, missä 0 < L <. y Tällöin suppenee y suppenee. Tod. Kosa lim = L, 0 < L <, niin on olemassa sellainen 0 N, että y L < y 2 L aiilla 0. Siis y < 3 2 L ja y < 2 L aiilla 0. Väite seuraa siis Lauseesta 2.3. Esimerejä. ) Sarja 2) + ( + 2) hajaantuu, sillä + ( + 2) : = + + 2, un, ja hajaantuu. sin ( x) hajaantuu, un x 0, sillä tällöin sin(x/) / = x sin(x/) x. x/ 2.5. Juuritesti. Oloon 0 aiilla N. a) Jos 0 N ja vaio q < s.e. q aiilla 0, niin suppenee. b) Jos 0 N s.e. aiilla 0, niin 65 hajaantuu.

10 Tod. a) Kosa q aiilla 0, niin sarjalla majorantti = 0 q. = 0 b) Nyt 0 = ehto lim = 0 ei päde, joten sarja 2.6. Suhdetesti. Oloon > 0 aiilla N. a) Jos 0 N ja vaio q < s.e. + q aiilla 0, niin suppenee. b) Jos 0 N s.e. + aiilla 0, niin on suppeneva geometrinen hajaantuu. hajaantuu. Tod. a) Kosa + q aiilla 0, niin 0 q 0 aiilla 0. Siis sarjalla = 0 on suppeneva geometrinen majorantti 0 q 0 ( + q + q ). b) Kaiilla 0 on 0 > 0, joten ei päde edes ehto 0, un. Huom. Lauseiden 2.5 ja 2.6 a)-ohdissa on oleellista, että q <. Jos esim. = aiilla, niin < ja x + < aiilla, mutta hajaantuu. Esim. Sarja! suppenee itseisesti x R; jos nimittäin x 0, niin + : x = ( + )!! x + 2 < 2 x. Juuri- tai suhdetestiä voi usein äyttää seuraavassa meaanisemmassa muodossa: 2.7. Juuri- ja suhdetestin raja-arvomuoto. Oloon 0 aiilla N. Jos jompiumpi raja-arvoista lim + x, lim on olemassa ja <, sarja suppenee. (Jälimmäisessä tapausessa pitää olla > 0 jostain :n arvosta alaen.) Tod. Oloon lim x = a <. Valitaan a < b <. Tällöin 0 N s.e. < b < aiilla 0. Ensimmäisessä tapausessa väite seuraa Lauseesta 2.5, ja jälimmäisessä tapausessa vastaavasti Lauseesta

11 Esimerejä. ) Oloon = (ln ), un = 2, 3,.... Sarja suppenee, osa x = ln 0 <. 2) Meritään a = 2!, =, 2, 3,.... Sarja a suppenee, osa Erityisesti lim a = 0. a + = 2+ ( + )! 2( + ) a ( + ) + 2 =! ( + ) ( + ) = 2 2 ( + ) e < Integraalitesti. Oloon f: [, [ R vähenevä, f(x) 0 aiilla x [, [, ja oloon f integroituva joaisella välillä [, a], a >. Meritään = f(), un N. Silloin =2 suppenee f(x) dx suppenee a lim a f(x) dx <. Tod. Meritään S n = niin F on asvava funtio (s < t = F (t) F (s) = t s = + = f( + ) ja F (a) = a f(x)dx, un a >. Kosa f(x) 0 välillä [, [, f( + ) f(x) f() + f(x)dx 0). Kosa f on vähenevä, niin x [, + ], N f(x) dx f() = N. Oloon n 2. Kun lasetaan yhteen edelliset epäyhtälöt arvoilla =, 2,..., n, saadaan x 2 + x x n = 2 n f(x)dx n f(x)dx f(x) dx n f(x) dx x + x x n eli S n x F (n) S n. = { Sn x + F (n), un n 2 F (a) S n, un n a > (F (a) F (n) S n ). Siispä suppenee (S n ) ylh. raj. F ylh. raj. lim F (a) <. a Huom. Todistusen idea esiintyi jo Esim..4.):ssä. 67

12 2.9. Esimerejä. ) Tarastellaan sarjaa, p R vaio. Tämä on harmoninen sarja, p jos p =, ja sitä sanotaan yliharmonisesi, jos p >, ja aliharmonisesi, jos p <. Jos p 0, ehto / p 0, un ei päde, joten sarja hajaantuu. Oloon sitten p > 0. Silloin funtio x /x p on jatuva ja vähenevä välillä [, [. L 2.8. ja Esim. II..2 muaan p suppenee dx suppenee p >. xp p R. 2) Sarja =2 ln hajaantuu, sillä a 2 dx x ln x = / a 2 ln(ln x) = ln(ln a) ln(ln 2) a. Positiivitermisen sarjan suppenemista voi josus selvittää vertaamalla sarjaan Esimerejä. ) Sarja =2 + 3 suppenee, osa p sopivalla + 3 : 2 = 2 ( + ) 3 = + (/) (/ 3 ) ja yliharmoninen sarja 2 suppenee. 2) Sarja 2 suppenee itseisesti, un x, sillä tällöin x = 2 2 aiilla N, 2 ja majorantti 2 suppenee Esimeri. Oloon x x 2 x ja sarja suppeneva. Osoita, että lim = 0. Tod. Oloon ε > 0. Cauchy (L.) = K = K ε N s.e. 0 x K+ + x K x K+p < ε 2 aiilla p N. Jono ( ) on aleneva, joten p x K+p < ε/2 aiilla p N ja (K + p)x K+p = K + p ( K + p ) px K+p < ε, un p N. p p 2 Nyt p > K = p K + p > 2, joten (K + p)x K+p < ε, un p > K. Siis < ε, un > 2K, joten lim = 0. Huom: Käänteisesti ei voi päätellä, sillä esim. sarjan, = /( ln ), 2, termit ( ) toteuttavat eo. ehdon ja lim = 0, mutta sarja hajaantuu Esim ) muaan. 68

13 Seuraava tulos taaa eräiden vuorottelevien eli alternoivien sarjojen suppenemisen (termit vuorotellen 0 ja 0). 2.. Leibnizin lause. Oletetaan, että a a 2 a ja lim a = 0. Tällöin sarja suppenee, jäännöstermi R n = ( ) a = a a 2 + a 3 a =n+ ( ) a on samanmerinen uin ensimmäinen poisjätetty termi ( ) n a n+ ja R n a n+. Tod. Meritään S n = ( ) a uten tavallisesti. Kosa aiilla n N on S 2n+ S 2n = ( ) 2n a 2n + ( ) 2n a 2n+ = (a 2n a 2n+ ) 0 ja S 2n+2 S 2n = ( ) 2n a 2n+ + ( ) 2n+ a 2n+2 = (a 2n+ a 2n+2 ) 0, niin jono (S 2n ) on laseva ja (S 2n ) on nouseva. Lisäsi aiilla n on S 2n = (a a }{{} 2 ) + (a 3 a 4 ) (a }{{} 2n 3 a 2n 2 ) + a 2n 0, }{{} joten (S 2n ) on myös alhaalta rajoitettu. Siis on olemassa S = lim S 2n R. Tällöin myös S 2n = S 2n a 2n S 0 = S. Siis jono (S n ) suppenee ja sen raja-arvo = S (Myrberg I, harj ) eli sarja ( ) a suppenee ja summa = S. Kosa jono (S 2n ) on laseva ja (S 2n ) on nouseva, niin S 2n S S 2n aiilla n. Tällöin 0 S S 2n = R 2n S 2n S 2n = a 2n aiilla n. Vastaavasti aiilla n on S 2n S S 2n+ = 0 S S 2n = R 2n S 2n+ S 2n = a 2n+. Näistä seuraavat lauseen muut väitteet. Huom. Jos Lauseessa 2. on a > a 2 > a 3 >... > 0, niin R n < a n+. Esimerejä. ) Sarja ( ), missä p > 0, toteuttaa Leibnizin lauseen oletuset ja p siis suppenee. Jäännöstermille saadaan arvio R n = ( ) < p (n + ) p. =n+ Sarja suppenee itseisesti p suppenee, vrt. Esim. 2.9.). Siis sarja ( ) p suppenee itseisesti, un p > suppenee, mutta ei itseisesti, un 0 < p hajaantuu, un p 0 (termi 0). 69

14 2) Myös ( ) suppenee Leibnizin lauseen nojalla. ln =2 ( 3) Geometrinen sarja ) ( 2 ( ) 3 = 3 3 3) suppenee, osa <, ja 3 3 sen summa = + (/3) = 3. Suppeneminen seuraa myös Leibnizin lauseesta, joa antaa jäännöstermille R n = ( ) n( 4 ) ( n + ( ) n+ ) n+ ( ) n arvion Rn < Tässä Rn voidaan lasea tarastiin: R n = ( ) n( ) n [ ( ) ( ] = ( ) n ) n ) Meritään a = ln ja tarastellaan sarjaa ( ) + a. f(x) = ln x x, x > 0 = f (x) = ln x x 2 < 0, un x > e. Siis jono (a ) on aleneva, un 3, ja lim a = 0. Sarja siis suppenee Leibnizin lauseen muaan. =2 III.3. Termien ryhmittely ja uudelleenjärjestäminen Tarastellaan sarjaa. Oloon 0 = n 0 < n < n 2 <... < n <..., missä n N aiilla N. Meritään y = n i=n + aiilla N. Sanomme, että sarja x i = x n + + x n x n y on saatu ryhmittelemällä sarjan termit. Esim. n = 2 = y + y 2 + y = (x + x 2 ) + (x 3 + x 4 ) Lause. Jos suppenee, summa = S, niin ryhmittelemällä saatu sarja suppenee ja sen summa = S. Tod. Meritään S n = ja S m = m y. Tällöin aiilla m N on S m = (x x n ) (x nm x nm ) = x x nm = S nm eli ryhmittelemällä saadun sarjan osasummien jono (S m) on jonon (S n ) osajono. Kun nyt lim S n = S R, niin myös lim m S m = S (Myrberg I, L 2.3.). Huom. Sarja y voi supeta, vaia hajaantuisi: jos esim. = ( ) aiilla N, niin x + x 2 + x 3 + x = + ( ) + + ( ) +... hajaantuu, (x + x 2 ) + (x 3 + x 4 ) +... = suppenee. 70 y

15 Eräissä erioistapausissa y :n suppeneminen taaa 3.2. Lause. Jos 0 aiilla N, :n suppenemisen: y suppenee ja sen summa = S R, niin suppenee ja sen summa on myös = S. Tod. Meritään S n =. Kun n N, on olemassa m N s.e. n n m (esim. m = n äy), jolloin S n S nm = Siis jono (S n ) suppenee, ts. positiiviterminen sarja (S nm ) m N pätee joten lim S n = lim m S n m = S. S nm = m m y S. y suppenee. Toisaalta (S n ):n osajonolle S, m 3.3. Lause. Jos (x +x 2 )+(x 3 +x 4 )+(x 5 +x 6 )+... suppenee, sen summa = S ja lim x n = 0, niin x + x 2 + x suppenee ja summa = S. Tod. Meritään S n =, y = x 2 + x 2 ja S n = y. Kosa S 2n = S n S ja S 2n+ = S n + x 2n+ S + 0 = S, niin (S n ) suppenee ja lim S n = S (Myrberg I, harj ). Esim. Vielä ysi tapa todeta harmoninen sarja hajaantuvasi: Oletetaan, että harmoninen sarja suppenee ja = S R. Tällöin ryhmittelyn ja majoranttiperiaatteen avulla 3 S = + ( ) ( > 6) = ( ) = 2 + S = 2 < 0, RISTIRIITA. Tarastellaan sarjaa. Kun ϕ: N N on bijetio (eli N:n permutaatio), sanotaan, että sarja x ϕ() = x ϕ() + x ϕ(2) + x ϕ(3) +... on saatu järjestämällä :n termit uudelleen. 7

16 3.4. Lause. Jos ϕ: N N on bijetio ja (itseisesti) ja summille pätee Tod. Oloon ε > 0. Kosa K N s.e. suppenee itseisesti, niin x ϕ() =. x ϕ() suppenee suppenee, niin Cauchyn (L.) muaan on olemassa x K+ + x K x K+p < ε aiilla p N. Meritään n 0 = max{ϕ (), ϕ (2),..., ϕ (K)}. Tällöin {ϕ (), ϕ (2),..., ϕ (K)} {, 2,..., n 0 } = {, 2,..., K} {ϕ(), ϕ(2),..., ϕ(n 0 )}. Triviaalisti n 0 K = {, 2,..., K} {, 2,..., n 0 }. Oloon n > n 0. Meritään S n =, S n = x ϕ() ja = S R. Kosa termit x, x 2,..., x K esiintyvät molemmissa summissa S n ja S n, niin sopivalla p N on S n S n = δ K+ x K+ + δ K+2 x K δ K+p x K+p, δ i {, 0, } (K + i K + p) = S n S n x K+ + x K x K+p < ε ja siis S n S n 0, un n. = S n = (S n S n ) + S n 0 + S = S. Tutitaan seuraavasi, mitä tapahtuu, jos suppenee, mutta suppenee vain ehdollisesti, ts. hajaantuu (esim. vuorotteleva harmoninen sarja on tällai- 4 nen). Kun a R, meritään a + = max(a, 0) ja a = min(a, 0) (vrt. s. 9) eli a + = 2 ( a + a) = { a, un a 0, 0, un a < 0, ja a = 2 ( a a) = { 0, un a 0, a, un a < 0. Tällöin a = a + a, a = a + + a. Erityisesti sarja vastaavasti o. sarjojen summasarja. Huom. Sarjat 3.5. Lemma. a) Tällöin summille pätee x + ja x on sarjojen ovat positiivitermisiä. suppenee itseisesti 72 x + ja x x + ja x erotus ja suppenevat molemmat.

17 b) Jos = x + x suppenee, mutta ei itseisesti, niin ja = x + x + + x. ja x hajaantuvat molemmat. Tod. a) seuraa Lauseesta.5: ja suppenevat = x + = 2 ( + ) ja x = 2 ( ) suppenevat. Kääntäen, x + ja x suppenevat = = x + x ja = x + + x suppenevat, ja summat ovat uten väitteessä. b) Oletetaan, että suppenee, hajaantuu. a) = ainain toinen sarjoista x +, x hajaantuu (muuten suppenisi). Vastaoletus: x + suppenee. Tällöin eo. muaan x hajaantuu; toisaalta x = x + suppenee, RISTIRIITA. Siten x + hajaantuu, ja vastaavasti x hajaantuu Riemannin uudelleenjärjestämislause. Jos suppenee ehdollisesti ja S R, niin on olemassa sellaiset bijetiot ϕ, ψ: N N (eivät ole -äsitteisiä), että a) x ϕ() suppenee ja sen summa = S, b) x ψ() hajaantuu. Tod. Meritään p = jonon x, x 2, x 3,... :s luu, joa on 0, ja q = jonon x, x 2, x 3,... :s luu, joa on < 0. Oletusen nojalla suppenee, hajaantuu. Lemman 3.5 muaan x +, n x = n p, q. (Erityisesti jonot p, p 2,... ja q, q 2,... ovat päättymättömiä.) m a) Valitaan pienin m siten, että p > S, ja pienin n siten, että Sitten valitaan pienin m 2 > m s.e. ja pienin n 2 > n s.e. m n p + ( q ) < S. m n p + ( q ) + m n p + ( q ) + m 2 =m + m 2 =m + p + p > S, n 2 =n + ( q ) < S. Jatamalla näin saadaan sarja 73

18 p p m q... q n + p m p m2 q n +... q n2 +..., jona termeinä ovat luvut x, x 2,... uudessa järjestysessä. Tämän osasummille S n pätee { S + pm S n S q n, un m + n n m + n, S q n S n S + p m+, un m + n n m + + n, ( =, 2, 3,...; n 0 = 0). Kosa suppenee, niin p m 0 ja q n 0, un, joten lim S n = S eli sarja suppenee ja sen summa = S. b) Valitaan luvut n < n 2 < n 3 <... s.e. n m p > m + m q eli n m p m q > m m N. = p p n q + p n p n2 q 2 + p n p n3 q hajaantuu, osa osasummille S n pätee S nm +m > m aiilla m N. Esim. Järjestettävä sarjan ( ) termit niin, että saatu uusi sarja hajaantuu. Tässä ja Rat. Riittää etsiä indesit n < n 2 < n 3 <... s.e. n m n m nm 2 > 2 = 2 m + m m 2 > m = m + 2 n m m, m =, 2, 3,.... > nm + dx 2 x = 2 ln(n m + ) > 2 ln n m m < m + + dx x = m + + ln m, joten riittää toteuttaa ehto 2 ln n m > m + + ln m. Tämä toteutuu, jos valitaan n m = (3 m+ m) 2, sillä tällöin 2 ln n m = 2 2 ln(3m+ m) = ln(3 m+ ) + ln m = (m + ) ln 3 + ln m > m + + ln m. 4.. Määritelmä. Sarjojen z, missä III.4. Cauchy-tulo ja (huomaa indesit) (Cauchy-)tulo on sarja z 0 = x 0 y 0, z = x 0 y + x y 0, z 2 = x 0 y 2 + x y + x 2 y 0 ja yleisesti z = x 0 y + x y y 0 = x i y i = x i y j. 74 y i=0 i+j=

19 x 0 y 0 x y 0 x 2 y 0 x 3 y 0 x 4 y 0... x 0 y x y x 2 y x 3 y x 4 y x 0 y 2 x y 2 x 2 y 2 x 3 y 2 x 4 y 2 x 0 y 3 x y 3 x 2 y 3 x 3 y 3 x 4 y 3 x 0 y 4 x y 4 x 2 y 4 x 3 y 4 x 4 y Mertensin lause. Jos y = Y R, niin Cauchy-tulo itseisesti, Tällöin z suppenee itseisesti. Tod. Meritään X n = suppenee itseisesti, z, Y n = suppenee ja y, Z n = y suppenee ja z = XY. Jos myös = X R, y suppenee z ja d n = Y n Y, un n N {0}. Z n = x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) (x 0 y n + x y n x n y 0 ) = x 0 (y 0 + y +... y n ) + x (y y n ) x n y 0 = x 0 Y n + x Y n x n Y 0 = x 0 (Y + d n ) + x (Y + d n ) x n (Y + d 0 ) = X n Y + (x 0 d n + x d n x n d 0 ) = X n Y + γ n, missä γ n = d 0 x n + d x n d n x 0, n N {0}. Olisi osoitettava, että Z n XY, un n. Kosa lim X n = X, niin lim X ny = XY, joten riittää osoittaa, että γ n 0, un n. Oloon ε > 0. Sarja suppenee, joten A = R, A 0. Kosa lim Y n = Y, niin lim d n = 0, joten on olemassa N N s.e. d n < ε aiilla n > N. Kun n > N, on siis γ n d 0 x n d N x n N + d N+ x n N d n x 0 d 0 x n d N x n N + ε ( x n N x 0 ) d 0 x n d N x n N + ε A. Kun n, niin x n i 0 joaisella i {0,, 2,..., N} (suppenevan sarjan termi, N on iinteä) ja siis d 0 x n d N x n N 0, joten on olemassa N N siten, että d 0 x n d N x n N < ε aiilla n > N. Kun n > N, on siis γ n < ε( + A). Täten lim γ n = 0 ja z suppenee, summa = XY. Oletetaan sitten, että myös y suppenee itseisesti. Todistusen aluosan muaan sarjojen ja y Cauchy-tulo u suppenee, missä u = x 0 y + x y y 0. Kolmioepäyhtälön nojalla z u aiilla N {0}, joten z suppenee majoranttiperiaatteella, ts. Cauchy-tulo z suppenee itseisesti. 75

20 y suppenee itseisesti. Huom. ) Lauseen aluosa pätee tietysti myös, jos 2) Jos ja suppenee ja y suppenevat molemmat vain ehdollisesti, Cauchy-tulo saattaa hajaantua (esimeri harjoitusissa). Esim. Sarja suppenee itseisesti x R (atso s. 66). Meritään f(x) =! x R. Mertensin lauseen muaan aiilla x, y R on missä ( f(x) f(y) = z (x, y) = i+j= (binomiaava). Siten aiilla x, y R on ) (! x i i! yj j! =! i+j= y ) =! z (x, y),! i! j! xi y j = (x + y)!!, un (x + y) f(x) f(y) =! = f(x + y). Esim. Geometrinen sarja + x + x suppenee itseisesti, un x <, ja = x aiilla x ], [. Siis myös o. sarjan Cauchy-tulo itsensä anssa suppenee itseisesti, un x <, joten aiilla x ], [ on ( ( x) 2 = ) ( ) = a (x), missä a (x) = x 0 + x x 0 = ( + ). Täten ( + ) = Edelleen aiilla x ], [ on x ], [. ( x) 2 ( ( x) 3 = ( + )) ( ) = b (x), missä b (x) = + 2x ( + ) x 0 = ( ( + )) = 2 ( + )( + 2)x. Siis ( + )( + 2) 2 = x ], [. ( x) 3 76