Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
|
|
|
- Asta Juusonen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla. 0 Epätosi Piste (, ) ei ole suoralla.. a) y 0 y y y 0 y y ( ) : Vastaus:, m. Lasetaan pisteen (-, ) etäisyys esipisteestä (0, 0). Jos piste on ympyrän ulopuolella (eli etäisyys > 9), tangentti voidaan piirtää. d ( 0) ( 0) 0,9... < 9 Piste on ympyrän sisällä, joten tangenttia ei voida piirtää.. Sijoitetaan ja y - suoran yhtälöön. a ( ) a a a a a 9. a) 0 : 90
2 . Lasetaan suoran ulmaerroin. 0 Valitaan ( 0, y 0 ) (0, ). Suoran yhtälö on y 0 y Lasetaan ulmaerroin. ( 9) 0 Valitaan ( 0, y 0 ) (-, -9). Suoran yhtälö on y ( 9) y 9 y 9. Suoran ulmaerroin on. Pisteen (a, ) avulla määritetty ulmaerroin on a a a Jotta aii olme pistettä olisivat samalla suoralla, on ulmaertoimien oltava samat. a a a a 0 : 0 a 0. Kulmaerroin on muotoa ( a ) 0 a a a Kosa ulmaerroin on -, saadaan yhtälö a ( a ) 0 a a a a a a : a Suoran yhtälö on y 0 y 0 y. a) Kosa ulmaerroin > 0, suora on nouseva. Kirjoitetaan suoran yhtälö rataistussa muodossa. y 0 y ( ) y Kosa ulmaerroin < 0, on suora laseva.. Kirjoitetaan yhtälö rataistussa muodossa. y 0 y : y a) -aselin leiauspisteessä y 0. 0 ( ) Leiauspiste on (, 0). 9
3 Suoran yhtälön rataistusta muodosta nähdään, että y-aselin leiauspiste on (0, ).. Suora l ulee pisteiden (-, ) ja (0, -) autta. Suoran ulmaerroin on. 0 Kirjoitetaan toinen suoran yhtälö rataistussa muodossa. y 0 y y 0 0 Suoran ulmaerroin on. Kosa - < - on suora l jyrempi.. a) y 0 0. Kirjoitetaan suorien yhtälöt ensin rataistussa muodossa. y y y : y y y : Kirjoitetaan suoran yhtälö rataistussa muodossa. 9 y 0 9 y y : ( 9) Lasetaan suorien leiauspisteen -oordinaatti. 9 : 9
4 Leiauspisteen y-oordinaatti on y Leiauspiste on,. y 0 0 y 0 0. Piirretään ensin suorat samaan oordinaatistoon. Lasetaan olmion äripisteet. Piste A :, - A Piste B ) :(, B Piste C : y, C 9
5 Kolmion anta on sivu AB. Kannan pituus on. Koreus h saadaan huipun y-oordinaatin avulla. h Kolmion ala A. Myyntitulot hinta määrä 9. Kulmaertoimien tulo on -. c c c y y : y : Piiraoita myydään appaletta, hintaan, joten myyntituloja uvaa suora y, ( 0) Koonaisustannuset iinteät ustannuset muuttuvat ustannuset Kiinteät ustannuset ovat 00,00. Kun piiraoita valmistetaan appaletta, valmistusustannuset ovat,00. Koonaisustannusia uvaa suora y 00, 00 Lasetaan ensin, milloin ustannuset ja myyntitulot ovat yhtä suuret., 00,00 0, 00,00,... :0, a) Suoran ulmaerroin y ( ) y y 9 0, 0 Suoran yhtälö on y 0 y 0 0 y 0 ( 0). Kun piiraoita myydään 90 appaletta, liietoiminta on annattavaa.. a) Kulmaertoimet ovat samat. c : c 0. Kaupunien A ja B autta ulevaa laivaväylää uvaavan suoran ulmaerroin , Suoran yhtälö on y 0, 0 y, 9
6 Majaan autta ulevan suoran normaalin ulmaerroin on, :,, Suoran normaalin yhtälö on y 0 ( 0) y 0 0 y 0 Suoran ja sen normaalin leiauspisteen -oordinaatti on:, 0 ) ) : 0,9... y-oordinaatti on 0 y,,... Leiauspisteen (,9 ;, ) ja majaan (0, 0) etäisyys toisistaan on d d ( 0,... ) ( 0,9... ) 9,0... d,0... (m) d (m). a) t 0,0 C pk W 0,0 0,0,0,, pk, W 0,0t,0, 0,0t 0,90 t,0... t, ( C) :( 0,). Kuuausipala riippuu lasinten määrästä, joten lasinten määrä (pl) y uuausipala ( ) Suora ulee pisteiden (0, 0) ja (90, 0) autta. Suoran ulmaerroin on Valitaan ( 0, y 0 ) (0, 0). Suoran yhtälö on y 0 0 y 0 00 y 0 a) Sijoitetaan 0 y y ,... ( ) Lasimia myytävä noin pl Vastaus: Etäisyys on noin m. 9
7 c) Jos lasimia ei myydä yhtään, pala on ( ). Meritään ävijöiden määrä (pl) y lipun hinta ( ) Suora ulee pisteiden (0, 0) ja (0 0, 0 ) (0, ) autta. Suoran ulmaerroin Valitaan ( 0, y 0 ) (0, 0). Suoran yhtälö on y 0 ( 0) 0 y y 0 0 Sijoitetaan yhtälöön 00. y 00 0 ( ) 0. Lasetaan paraabelin nollaohdat 0 ± ± ± tai. ± 0 ( ) ( ) ± ± tai Kun -, y ( ) ( ) Kun, y Vastaus: (-, ) ja (, -). Lasetaan ensin paraabelin nollaohdat. 0 0 Tulon nollasäännön muaan 0 tai 0 : Huippu on nollaohtien puolivälissä, joten 0 huipun -oordinaatti on. Vastaus: (, 0) ja,0 Huipun y-oordinaatti on y. Huippupiste on (, -). 9
8 . Lasetaan paraabelin nollaohdat. 0,0 0 0,0 :0,0,9... ±,9... ±, a) Kosa 0 niin f ( ) Roton leveys on nollaohtien välinen etäisyys. d,99... (,99...) 9,9... 9, (m). Lasetaan nollaohdat. 0, 0,0 0 ( 0, 0,0) 0 Tulon nollasäännön muaan 0 tai 0, 0,0 0 0, 0,0,... Huipun -oordinaatti: 0,... 0,... :( 0,) Kosa niin y ( ) 0. a) f ( ) 9 f. a) s(,0),90,0, (m),90t s( t ) 00 t 00,... t ± Kosa aia positiivinen :,90,... ±,... t, (s) Huipun y-oordinaatti: y 0,,... 0,0,... 0, Huipun oreus on 0, m, m 0 m 9
9 . a) f ( ) a) f ( 0) f g( ) a) f ( ) f ( ) 0 9
10 . g( ) Nollaohdissa g ( ) 0. 0 ± ±,... Piirretään funtion uvaaja. g ( ) % massasta muuttuu aldehydisi eli massasta jää jäljelle 9 %. a) Tunnin uluttua aloholia 0,9, g. Kahden tunnin uluttua aloholia 0,9, g. Aloholin määrä tunnin uluttua on f ( ) 0,9, (g). Kolmen tunnin uluttua massa on f () 0,9,,9...,9 (g). 0 f (0) 0,9,,9...,9 (g) c) Viiossa on tunteja h h. f () 0,9, 0,09... (g) 0,09 (g) 9, g 9, g. a) Massa vuoroauden uluttua on,0 g, g,0 0 Massa 0 tuntia sitten oli 0,0 g, , g 0,00... g g, mg, mg g. Vuoroaudet Tautiin sairastui vuoroauden uluttua tautiin sairastui f ( ) henilöä. Viion uluttua tautiin sairastui f () 0000 henilöä. 9. Videoameran hinta lasee % eli tulee 0,-ertaisesi vuosittain. vuoden uluttua hinta on 00 0, m. Vuonna 99 amera masoi (m): 00 0,, (m) Vuonna 00 ameran hinta olisi maroina 00 0,,... (m) 99
11 Kosa,9 m, niin m,9 Kameran hinta euroina: 00 0, 00 0,,9,9,... 0 ( ). a) lg 0 lg 0 lg lg 0 lg 0 lg,99...,0 :lg 0. a) ( ) c) ( ) : ( ) t 0,9 t lg 0,9. a) 0, lg 0, t lg 0,9 lg 0, t lg 0, lg 0,9 t, lg lg lg lg lg ( ) lg lg : :lg,0..., lg lg lg lg lg lg lg,... :lg 0,9 :lg :,9...,9 00
12 . a) Testiarvo Toteutuuo yhtälö? Johtopäätös < > > < 0, 0,... < > 0, 0, 0,0... > < 0, 0, 0,9... < > 0, 0, 0,... < > 0, 0, 0,... < > 0, 0,9 0 9,9... < > 0,9. Bateerien massaa tunnin uluttua uvaa funtio f ( ), (grammaa). a), f ( ),0, lg,,0 0,... lg 0,... lg, lg 0,... lg 0,... lg,,... : :lg, Massa oli,0 g noin, h sitten. 0,9 0 0, 9,9... < > 0,9 Kosa > 0,9 ja < 0,, niin ahden meritsevän numeron taruudella 0,0. 0 Logaritmin määritelmän muaan lg 0,9... 0,0, f ( ), lg,,... lg,... lg, lg,... lg,... lg,,... : :lg,. a) p () 0 0, p ( ),9 (mbar) 0 0, 0, lg 0,,9 0,00... lg 0, lg 0,00...,9... 0(mbar) lg 0,00... :0 lg 0,00... lg 0, :lg 0, Massa on g noin, h uluttua.. Talletus asinertaistui vuodessa.,00 :,00 lg,00 lg lg,00 lg lg lg,00,99... :lg,00,9... (m) Talletus asinertaistui vuoden 99 aluun mennessä. 0
13 Talletus nelinertaistui y vuodessa. y,00 :,00 lg,00 lg y lg,00 lg y y y lg lg,00 y,9... :lg,00 Talletus nelinertaistui vuoden 99 aluun mennessä. Vuoteen 00 mennessä talletus oli ollut tilillä vuotta. Talletusen suuruus oli frangeina: 0,00,... (frangia) 0 0. a),...,. a),9..., 9 c),..., 0 ± 0 ±,... ±, s 0,0000 s s 0,99... s 0,9 0, a) ,9...,0 t t σt t t, t ± I T σ, t ±,... t ±, I σt I : : σ I T ± σ Kosa T > 0, niin I T σ. Meritään muutoserrointa irjaimella. 9,0,00 :,0 9,... 9,...,00... : Kuuausittainen arvonnousu on, ,00...,%. 0
14 . a) A (,0),0,99...,, A( r ) r r 9,0 r 9,0 r,9... r, (fm),. Meritään muutoserrointa irjaimella. 0 :0 0,... 0,... 0,... Joa erta pallon oreus tulee 0, -ertaisesi eli on noin % edellisestä oreudesta. Vastaus: p. Meritään varpusmäärää alussa irjaimella a ja muutoserrointa irjaimella. 0 a 0,a : a 0 0 0, ± 0 0, ± 0,9... Kosa muutoserroin positiivinen, 0,9 Vuotinen vähennys on ollut 0,9... 0,0...,%.. Meritään oroerrointa irjaimella. 0 0 :0,0,0,09... Meritään ysyttyä vuosien määrää irjaimella n. n 0, :0,09... lg,09..., lg, n lg,09... lg, n n n lg, lg,09... n 9,... Vastaus: 0 vuoden uluttua : lg, Lämpötila nousi, % vuoden aiana. Jos lämpötila tarastelun alussa on t, niin 00 vuoden uluttua se on,0 t,0... t Lämpötila siis nousee, %.. a) Meritään muutoserrointa irjaimella. Jos energian määrä alussa on a, saadaan yhtälö a 0,9a : a 0 0,9 0,9 0,99... Kilometriä ohti energiaa häviää: 0, , ,% 0
15 Meritään ilometrien määrää irjaimella. a 0, ,a : a 0 0,99... lg 0, , lg 0, lg 0,99... lg 0, lg 0, lg 0,99...,... :lg 0,99... (m). Meritään natriumin määrää alussa irjaimella a ja muutoserrointa irjaimella. a 0,a : a 0 0, 0, 0,9... Meritään ysyttyä aiaa irjaimella t. t a 0,9... 0,0a : a 0 t 0,9... t lg 0,9... 0,0 lg 0,0 t lg 0,9... lg 0,0 t Harjoitusoe lg 0,0 lg 0,9... t,... :lg 0,9... (h). a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s (, y ) (0, ) (, y ) (, ) Suoran yhtälö: y Suora t (, y ) (0, -) (, y ) (, ) 0 Suoran yhtälö: y Suora u (, y ) (0, 0) (, y ) (, -) 0 0 Suoran yhtälö: y Lasetaan leiauspisteen -oordinaatti. Leiauspisteen y-oordinaatti y. Suorien leiauspiste on,. : c) Lasetaan ensin suorien s ja u leiauspiste. ( ) Piste A (-, ) Piste B, Janan AB pituus on d d,99..., 0
16 . a),,, lg,,, lg, lg, lg, lg, lg, 0, ,9 0,... ± ± 0, ,90 0,... : :, :lg,. a) Kuuausittain iinteinä uluina lasutetaan,,0,9. Kolmen uuauden aiana iinteitä uluja on siis,9,. Jos sähön ulutus uuauden aiana on Wh, niin tällöin lisäsi lasutetaan, snt,9 snt, snt 0,0 Kolmen uuauden aiana sähöstä masetaan siis 0,0,. f ( ) 0,0, f (0) 0,0 0,,, ( ). Sijoitetaan ja y - suoran yhtälöön. c c 0 c c 0 c c Suoran yhtälö on siis y 0 y y : ( ) Tarastellaan ulmaertoimien tuloa: Suorat ovat siis ohtisuorassa toisiaan vastaan.. a) Myryn määrä vähenee, % eli tulee 0,9-ertaisesi tunnissa. Ainetta on jäljellä h uluttua: 9 0,9 g, g, g Lasetaan milloin myryä on jäljellä 9 g: 9,g. 9 0,9 0,9 lg 0,9 9, 0, lg 0, lg 0,9 lg 0, lg 0, lg 0,9,0..., (h) :9 :lg 0,9 0
17 . Meritään päästöjen määrää irjaimella a ja ysyttyä vuosien määrää irjaimella. a 0, 0,a : a 0 0, lg 0, 0, lg 0, lg 0, lg 0, lg 0, lg 0,,0... Harjoitusoe., (vuotta) f ( ) 0 0 y-aselin leiausohta: f ( 0) 0 -aselin leiausohta: 0, : :lg 0,. a) ± Tapa. lg lg lg lg : ± lg lg Tapa. : lg. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö rataistussa muodossa. y 0 y Suoran ulmaerroin on siis -. Suoran yhtälö: y ( ) y 0 y Suoran ulmaerroin 0 Suoran yhtälö: y 0 ( y ( ) y Vastaus: Aselien leiauspisteet ovat (0, -) ja (,; 0) 0
18 . Lasetaan leiauspisteiden -oordinaatti. 0 0 ± Kun, y. Kun -, y Tarastellaan pistettä (, ). Sijoitetaan ja y suoran y yhtälöön. 9 Epätosi Piste (, ) ei ole suoralla. Sijoitetaan - ja y suoran yhtälöön. ( ) Tosi Piste (-, ) on suoralla y.. Meritään oroerrointa irjaimella. 00,00 0,00 :00,00,0,09... Koroprosentti on,09-0,09,%. Meritään teeren sijaintia oordinaatistossa irjaimella C. Piste on suorien leiauspiste y 0 0 : Teeri sijaitsee pisteessä (0, 0). Tutijan A etäisyys teerestä on d A ( 0 0) ( 0 0) 000,... Tutijan B etäisyys teerestä on d A ( 0 ) ( 0 ) 0,... < d Vastaus: Tutija B on lähempänä. A. a) Meritään muutoserrointa irjaimella. 9 :9,... ±,... ±,0... Muutoserroin positiivinen, joten,0... Vuonna 00 oppilaita on:,0... 0, (oppilasta) Oppilaita vuonna 990 oli:,0...,... (oppilasta) 0
19 c) Meritään vuodesta 00 uluneiden vuosien määrää irjaimella n. n, :,0... lg,0... n n,... lg,... n lg,0... lg,... n 00,... lg,... lg,0... n,... 0,... :lg,0 Oppilasmäärä ylittää 000 oppilaan rajan vuonna 0.. Meritään valon määrää pinnalla irjaimella a ja muutoserrointa irjaimella. a 0,9a : a 0,9 0,9 0,99... Valon määrä tulee siis 0,99 -ertaisesi aina 0 cm matalla. Oloon ysytty syvyys 0, ,99... lg 0,99... a 0,a 0, lg 0, lg 0,99... lg 0, lg 0, lg 0, cm. : a 0 : lg 0,99...,9... Syvyys on, cm,9 cm, m Harjoitusoe. a) Suora s leiaa y-aselin ohdassa y 0. Suoran s yhtälö on y. Suoran t ulmaerroin on. 0 Suoran t yhtälö on y 0 y y Lasetaan leiauspisteen -oordinaatti. : y Leiauspiste on (, -). c) Suoran ulmaerroin on -. Suoran yhtälö: y 0 y y. a) Paraabelin nollaohdat: 0 ± ( ) ± ± tai 0
20 Huipun -oordinaatti on nollaohtien puolivälissä. Huipun y-oordinaatti: y ( ) Huippupiste on (-, ) Kylä C sijaitsee pisteessä (0, ). Kylä D sijaitsee pisteessä (0, -). Pisteet sijaitsevat y-aselilla, joten pisteiden autta ulevan suoran yhtälö on 0. Sijoitetaan 0 yhtälöön y,,. y, 0,, Teiden risteys on pisteessä (0;,) eli,m,m ironylästä pohjoiseen.. Suoran yhtälö rataistussa muodossa on: y 0 y y : Meritään normaalin ulmaerrointa irjaimella. Normaalin yhtälö on y y y. Kylä A sijaitsee pisteessä (,; 0). Kylä B sijaitsee pisteessä (-,; -). Pisteiden autta ulevan suoran ulmaerroin on 0,., (,) Suoran yhtälö y 0, (, ) y 0,, y,, Lasetaan ensin normaalin ja suoran leiauspiste. y 09
21 Leiauspiste on,. Leiauspisteen etäisyys pisteestä (, -) on d d. a),,..., lg 0 lg0 lg lg0 lg0 lg,9,... 0 ± 0,..., c) lg lg lg lg lg lg 0, :lg : 0,... :lg. Meritään muutoserrointa irjaimella :000,9...,9...,0... Vuotuinen asvuprosentti on,0... 0,0... 0%. Meritään pääomaa alussa irjaimella a ja ysyttyä vuosien määrää irjaimella., a a : a., lg, lg lg, lg lg lg,,... :lg, Vastaus: vuodessa Testiarvo Toteuttaao yhtälön Johtopäätös < > > <,,, > <,,,,9 > <,,,, < >,,,,9 < >,,,,000> <,,,,9... < >, Kosa, < <, on vastaus ahden desimaalin taruudella,. 0
1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Eksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6,403... 6,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) 18 4 340 18,439... 18,4
4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6,40... 6,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) 8 4 40 8,49... 8,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys
RATKAISUT: 10. Lämpötila ja paine
Physica 9. painos (6). Lämpötila ja paine :. Lämpötila ja paine. a) Suure, jolla uvataan aineen termoynaamista tilaa. b) Termoynaamisen eli absoluuttisen lämpötila-asteion ysiö. c) Alin mahollinen lämpötila.
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
RATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 30.5.2006. sarja A
TKK, TTY, LTY, OY, ÅA, VY, TY / Insinööriosastot Valintauulustelujen matematiian oe 30.5.006 sarja A Ohjeita. Sijoita joainen tehtävä omalle sivulleen. Laadi rataisut seleästi v älivaiheineen, tarvittaessa
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Vakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
MAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d)
2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
Sattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Paraabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
K-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
3 x ja 4. A2. Mikä on sen ympyräsektorin säde, jonka ympärysmitta on 12 ja pinta-ala mahdollisimman
HTKK, TTKK, LTKK, OY, ÅA/Insinööriosastot alintauulustelujen matematiian oe 900 Sarja A A Lase äyrien y, (Tara vastaus) y, ja rajaaman äärellisen alueen inta-ala A Miä on sen ymyräsetorin säde, jona ymärysmitta
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
MATEMATIIKAN KOE. AMMATIKKA top 17.11.2005. 2. asteen ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikka kilpailu. Oppilaitos:.
AMMATIKKA top 7..005 MATEMATIIKAN KOE. ateen ammatillien oulutuen aiien alojen yteinen matematiia ilpailu Nimi: Oppilaito:. Koulutuala:... Luoa:.. Sarjat: MERKITSE OMA SARJA. Teniia ja liienne:... Matailu-,raitemu-
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat 35, 7 ja 0.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku.. Kaikki luvut on kokonaislukuja. Luonnollisia lukuja ovat, 7 ja 0.. a) Luvun vastaluku on, koska + ( ) 0. b) Luvun 7 vastaluku on 7, koska 7 + ( 7) 0. c) Luvun 0 vastaluku on
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
ESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
Naulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
MAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6
Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Palkkielementti hum 3.10.13
Palilmntti hum.0. Palilmnttjä Tarastllaan tässä sitysssä vain Eulr-Brnoullin palitoriaan prustuvia palilmnttjä. Tässä palitoriassa olttaan, ttä palin poiiliaus säilyy taivutttunain tasona, joa on ohtisuorassa
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali