Tämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
|
|
- Anton Karjalainen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa o hyvi laajaa, esimerisi erilaiste futioide arvot lasetaa yleesä sarjaehitelmie avulla. Tarvitsemme esi vastaavie jooje eli futiojooje perustiedot. Futiojoot Tarastellaa välillä I määriteltyjä futioita f, =, 2,3,. Futiojoo ( f) = jos suppeee välillä I pisteittäi ohti rajafutiota f, lim f ( ) = f( ), I. Pisteittäie suppeemie o siitä huoo suppeemismuoto, että se ei välttämättä siirrä joo futioide hyviä omiaisuusia (ute jatuvuus) rajafutioo. Voimaaampi ja tässä mielessä parempi suppeemie o tasaie suppeemie. Futiojoo ( f) = suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f, jos ja vai jos joaista luua ε > ohti o olemassa sellaie idesi ε, että u, ii ε f ( ) f ( ) < ε, I. Tämä meritsee geometrisesti, että futioide f uvaajat sijaitsevat idesistä ε alae futioide f ε ja f + ε uvaajie välissä oo välillä I.
2 29 Tasaise suppeemise määritelmässä o oleellista, että ε ei riipu :stä. Määritelmä voidaa ilmaista myös muodossa: Futiojoo ( f) = ja vai jos suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f, jos lim sup f( ) f( ) =. I Esim. ( ) + f =, I = [,2]. f ( ), I Siis joo ( f ) suppeee välillä I (aiai) pisteittäi ohti rajafutiota f, f ( ) =. + 2 Suppeemie o myös tasaista, osa ma =, u I. Esim. 2 f( ) =, I=(-,) Pisteittäie rajafutio o. Suppeemie ei ole tasaista, osa ma f ( ) =. I Lause (Rajafutio jatuvuus) Jos f o välillä I jatuva aiilla ja f f tasaisesti välillä I, ii myös rajafutio f o jatuva välillä I.
3 3 Tod.: Oloo y väli I joi piste ja ε >. Jos ε o tasaise suppeemise määritelmässä maiittu idesi positiiviluvulle ε /3, ii silloi ε, I : f ( ) f( y) = f( ) f ( ) + f ( ) f ( y) + f ( y) f( y) f ( ) f ( ) + f ( ) f ( y) + f ( y) f( y) < ε /3 + f( ) f( y) + ε /3. Kiiteällä, ε, o jatuvuude perusteella olemassa δ > site, että f( ) f( y) < ε /3, u y < δ ja I. Näi saadaa f( ) f( y) < ε /3 + ε/3 + ε/3= ε, u y < δ ja I. Siis f o jatuva pisteessä y. Seuraava tulos mahdollistaa raja-arvo ja itegroii järjestyse vaihtamise: Lause 2 välillä I=[a,b], ii Jos f o välillä I jatuva aiilla ja f lim f ( tdt ) = lim f( tdt ) = f( tdt ) a a a aiilla I. Suppeemie o tasaista välillä I. f tasaisesti Tod.: Oloo ε >. Silloi o olemassa ε site, että aiille väli I pisteille t pätee idesistä ε alae ε f () t f() t < b a Silloi ε f() tdt f() tdt f() t f() t dt dt ε b a, u ε a a a a, I.
4 3 Lause 3 Oletetaa, että (a) futiot f ovat jatuvasti derivoituvia välillä I=[a,b], =,2,3, (b) derivaattajoo ( f ) suppeee tasaisesti välillä I ohti rajafutiota g (c) joo ( f ) suppeee aiai yhdessä väli I pisteessä c Silloi joo ( f ) suppeee välillä I tasaisesti ohti rajafutiota f ja I : lim f '( ) = g( ) = f '( ). Tod.: Edellise lausee ojalla g( t) dt = lim f '( t) dt = lim f '( t) dt = lim( f ( ) f ( c)) c c c tasaisesti I:ssä. Siis f ( ) = lim f ( ) = g( t) dt+ lim f ( c) c o olemassa ja suppeemie o tasaista, seä f '( ) = g( ) = lim f ( ).
5 32 Futiosarjat Futioista muodostettu sarja määritellää samalla tavalla ui luusarjai, yt vai termit ovat futioita. Suppeemie palautetaa osasummafutioide joo suppeemisee: Futiosarja = f = f + f + ( ) ( ) 2 ( ) suppeee välillä I pisteittäi ohti summafutiota f ( ), jos osasummie joo ( S( )) suppeee pisteittäi ohti futiota f ( ). Futiosarja f ( ) suppeee tasaisesti välillä I ohti futiota f ( ), = jos S ( ) f( ) tasaisesti välillä I eli jos lim sup R ( ) =, I missä R ( ) o :s jääöstermi R ( ) = f ( ). = + Oheisissa uvissa ylempi esittää tasaise suppeemise tilaetta, jossa N:s osasumma o "ε-putessa". Alemmassa o taas tilae, jossa osasummia tn ( ) ei saada millää ε-putee, ja suppeemie ei ole tasaista.
6 33 Lause 4 (Sarja summa jatuvuus) Jos sarja f ( ) termit ovat jatuvia välillä I ja sarja suppeee = tasaisesti välillä I, ii summa f ( ) o välillä I jatuva futio. Tod.: Seuraa futiojooja osevasta lauseesta sovellettua osasummie jooo ( S( )).
7 34 Lause 5 (Sarja itegroiti termeittäi) Jos sarja f ( ) ( ) = f termit ovat jatuvia välillä I = [ ab, ] = ja sarja suppeee tasaisesti välillä I, ii f () t dt= f () t dt= f () t dt a a = = a aiilla I ja saatu sarja suppeee tasaisesti välillä I. Tod.: f ( tdt ) = lim S( tdt ) = lim S( tdt ) a = a a = a =. a = lim f () tdt= f() tdt Lause 6 (Sarja derivoiti termeittäi) Jos sarja f ( ) ( ) = f suppeee välillä I = [ ab, ] ja sarja = suppeee tasaisesti välillä I, ii myös ja d f '( ) = f( ) = f'( ) d = =. = = f '( ) f ( ) suppeee siellä tasaisesti Tod.: f '( tdt ) = f '( tdt ) = ( f ( ) f ( a)) a = = a = f () t = f '() t dt+ f ( a) = a = = d f( ) = f'( ) d = =.
8 35 Seuraava tulos o usei ätevä tasaise suppeemise osoittamisessa: Lause 7 (Weierstrassi testi) Jos o olemassa luusarja futiosarja = = M f ( ) termie ylärajoja: f ( ) M,, I,, joa termit ovat välillä I ii sarja f ( ) suppeee tasaisesti välillä I. = Tod.: Majorattiperiaattee ojalla f ( ) suppeee itseisesti välillä I = pisteittäi. Kolmioepäyhtälö avulla saadaa jääöstermeille f ( ) f ( ) M, I. = + = + = + Siis lim sup R ( ) = lim sup f ( ) =. I I = + si Esim. 3 3, I = = si, 3 3 :ssä. 3 suppeee (p-sarja, p>), jote 3 = = si suppeee tasaisesti
9 36 Tehtäviä e ) Osoita, että futiosarja 2 summa määrittelee jatuva = + futio joaisella reaaliaseli välillä. 2) Voidaao seuraavia sarjoja itegroida tai derivoida termeittäi välillä [-,] muuttuja suhtee? 3 e si( ) b) 2 ( ). = + a) 2 2 = +
10 37 Potessisarjat Potessisarja o futiosarja, jossa termit ovat potessifutioita. Se yleie muoto o 2 () a ( ) = a + a ( ) + a ( ) +, = 2 missä a, a2, a3, ja ovat vaioita. Lause 8 Jos potessisarja () suppeee jollai =, ii se suppeee itseisesti aiilla, joille <. Jos potessisarja hajaatuu arvolla = 2, ii se hajaatuu aiilla, joille > 2. Tod.: Jos a ( ) suppeee, ii se yleie termi läheee ollaa: = a ( ), u. Siis erityisesti yleiste termie joo o rajoitettu, jote o olemassa sellaie M>, että a ( ) M, eli a M,. Silloi ( ), a M.
11 38 Jos <, o sarjalla a ( ) siis majorattisarjaa = suppeeva geometrie sarja, jote sarja a ( ) suppeee silloi = itseisesti. Jos ( 2 ) a hajaatuu, ii myös a ( ) hajaatuu aiilla = =, joilla > 2. Jos imittäi a ( ) suppeisi, ii edellise = ojalla myös a ( ) suppeisi. = 2 Edellisestä lauseesta seuraa, että aia o olemassa -esie laaji väli, jossa sarja () suppeee. Sillä jos R = sup{ r sarja () suppeee arvolla + r}, ii () suppeee välillä < + R = R. Luu R o sarja suppeemissäde ja väli ( R, + R) se suppeemisväli. Näi ähdää seuraava tulos: Lause 9 Potessisarja a ( ) suppeemiselle o voimassa = ysi seuraavista mahdollisuusista: () Sarja suppeee vai arvolla. Silloi suppeemissäde o R =. (2) Sarja suppeee itseisesti välillä R< < + R, mutta hajaatuu, u > R. Suppeemissäde o R. (3) Sarja suppeee itseisesti aiilla. Silloi suppeemissäde o R =.
12 39 Potessisätee lasemisesi saadaa aavat sarja ertoimie avulla seuraavasti: Lause Potessisarja a ( ) suppeemissäde R saadaa aavoista a) R = lim a tai a b) R = lim a, + = edellyttäe, että yseiset raja-arvot ovat olemassa. Tod.: a) Kosa a = a, saadaa juuritesti limesmuotoa äyttäe lim a = lim a < tai > < lim tai > lim a. a Siis sarja a ( ) suppeee, u = < lim ja hajaatuu, u a > lim, a jote suppeemissäde R = lim. a
13 4 b) Vastaavasti suhdetesti limesmuodo avulla. Potessisarja suppeemie o seuraavassa mielessä tasaista: Lause Potessisarja a ( ), joa suppeemissäde o R, = suppeee tasaisesti joaisella suppeemisvälii sisältyvällä suljetulla välillä [ ab, ] ( R, + R). Tod.: Oloo r> sellaie, että [ a, b] [ r, + r] [ R, + R]. Ku [ ab, ], o siis a( ) a r ja sarja a r suppeee, = osa r< R. Weierstrassi testi muaa sarja a ( ) suppeee siis tasaisesti välillä [ ab, ]. = Tasaisesta suppeemisesta seuraa potessisarja summa jatuvuus: Lause 2 Potessisarja summa o sarja suppeemisvälillä jatuva futio. Tod.: Jos ( R, + R), ii o olemassa < r< R site, että [ r, + r]. Kosa edellise lausee muaa potessisarja suppeee tasaisesti välillä [ r, + r] ja futiot a ( ) ovat jatuvia, o summai jatuva välillä [ r, + r] ja erityisesti siis pisteessä.
14 4 Tasaisesta suppeemisesta seuraa myös, että potessisarja voidaa itegroida ja derivoida termeittäi. Voidaa osoittaa (todistus sivuutetaa), että äi saaduilla potessisarjoilla o sama suppeemissäde ui aluperäisellä. Lause 3 Potessisarja a ( ) = S( ), joa suppeemissäde = o R >, voidaa a) itegroida termeittäi: a ( ) + ( ), u = = + a t dt= < R b) derivoida termeittäi: d d ( ) ( ), u = = a = a < R. Saatuje sarjoje suppeemissäde o R. Kosa potessisarjasta derivoimalla saatu futiosarja o itsei potessisarja, o potessisarjalla siis aiie ertaluuje derivaatat. Taylori sarjat Jos potessisarja a ( ) = S( ) derivoidaa ertaa saadaa = ( ) ( + )! ( + 2)! 2 S ( ) =! a + a+ ( ) + a+ 2( ) +,! 2! joa o voimassa potessisarja suppeemisvälillä. Sijoittamalla = saadaa ertoimelle a lausee ( ) S ( ) a =, =,,2,,!
15 42 missä o äytetty sopimusta!=. Tästä seuraa, että jos futio f ( ) voidaa esittää jollai välillä < R suppeevaa sarjaa, = f ( ) = a ( ) ii tämä esitys o ysiäsitteie, sillä ertoimet ovat välttämättä a ( ) f ( ) =, =,,2,.! Nämä ovat samat ui futio f Taylori polyomi ertoimet: Futio f. astee Taylori polyomi ohdassa o polyomi ( ) f '( ) f ''( ) 2 f ( ) T ( ; ) = f( ) + ( ) + ( ) + +.! 2!! Taylori aava ertoo, että jos futio f o ertaa jatuvasti derivoituva välillä ( h, + h), ii aiilla ( h, + h) o voimassa esitys f ( ) = T ( ; ) + R ( ; ), missä jääöstermi f ( ξ ) R ( ; ) ( ) ( + )! ( + ) + =, jollai ξ (, ) tai ξ (, ). Oheisessa uviossa o futioide ja e ahde alimma astee Taylori polyomit ohdassa ja :
16 43 Jos futiolla f o aiie ertaluuje derivaatat pistee ympäristössä ( h, + h) ja lim R ( ) =, ii f:lle o voimassa sarjaehitelmä, futio f Taylori sarja pisteessä : f ( ) f h h. ( ) ( ) = ( ), (, + ) =! Tämä esitys o ysiäsitteie. Toisi saoe, jos futiolla f o pistee ympäristössä potessisarjaehitelmä ( ):potessie muaa, se o futio f Taylori sarja. Taylori sarjaa ohdassa = saotaa myös Maclauri'i sarjasi: ( ) f () f( ) =.! =
17 44 Seuraavassa äydää läpi täreimpie futioide Taylori (Maclauri'i) sarjoja. Espoettifutio e 2 3 = ! 3! =,.! = Tod.: Taylori aava muaa 2 3 ξ e +, jollai ξ (, ) tai ξ (,) e = ! 3!! ( + )! Toisaalta potessisarja suppeemissäde =! a ( )! lim + R= = lim = lim( + ) =, a! + jote suppeee aiialla. Tällöi se yleie termi lähestyy =! ollaa. Silloi Taylori aava jääöstermille saadaa: ξ e + e + R ( ;) = <, u tapausessa > ( + )! ( + )! ja ξ e + e + R ( ;) = <, u tapausessa <. ( + )! ( + )! Siis sarja suppeee aiilla ja se summa o e. Yleie espoettifutio a (a>) voidaa muutaa yllä olevasi: la la a = e = e, jote se Taylori sarjasi saadaa a a a = + ( la) + + =, 2 (l ) 2 (l ) 2! =! joa myös suppeee aiialla.
18 45 Biomisarja rr ( ) rr ( ) ( r + ) + = + r + + = 2! + =! < <. r 2 ( ), u Tod.: Tässä tapausessa ei aata meetellä ute espoettifutio sarja ehitelmä todistusessa tehtii, osa yt Taylori aava jääöstermi arvioimie o haalaa. Todetaa esisi, että oiealla puolella oleva sarja suppeemissäde R o : a lim + R = = lim =. a r + Siis potessisarja suppeee, u < <. O vielä osoitettava, että se summa o ( + ) r. Derivoimalla futio f ( ) = ( + ) r saadaa f ( ) = r( + ) r. Todetaa siis, että futio o aluarvoprobleema ( + ) f ( ) = rf( ), f() = rataisu. Derivoimalla sarja termeittäi saadaa sarja summalle S: ( ) rr ( ) ( r + ) S ( ) = r! josta = r rr ( ) ( r + ) ( + ) S ( ) = ( + ) =! rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = +!! = =,
19 46 rr ( ) ( r + ) rr ( ) ( r + ) = + + r 2! = =! r( r ) ( r ) r( r ) ( r + ) = r+ ( + ) + ( + )!! = = r( r ) ( r + )( r + ) = r+ =! rr ( ) ( r + ) = r+ r = rs( ).! = Kosa lisäsi S()=, o siis myös S() aluarvotehtävä rataisu. Differetiaaliyhtälöide olemassolo- ja ysiäsitteisyyslausee (s. urssi loppuosaa) ojalla o siis S ( ) = f( ) = ( + ) r. Jos r o positiivie ooaisluu: r mm ( )( m 2) ( m + ) =! = m, ii aiilla > m. Silloi biomisarja o päättyvä, astetta m oleva polyomi, ja aava o imeltää biomiaava: m mm ( ) 2 mm ( ) 2 m ( + ) = + m ! m! m m m mm ( ) ( m + ) m! =, missä = =.!!( m )! = Seuraavassa ovat myös erioistapauset r= ½ ja r= ½ : = =
20 47 Logaritmifutio 2 3 l( + ) = + = ( ), < 2 3 = Tod.: Geometrie sarja t t t t + t = + + < < 2 3, ataa termeittäi itegroitua 2 3 l( + ) = dt= +, u < <. + t 2 3 Pisteessä = sarja hajaatuu, osa se o harmoie sarja errottua (-):llä. Pisteessä = sarja suppeee Leibizi lausee perusteella. Se summa o silloi väittee muaie l( + ) = l2, sillä: dt 2 t l2 = = ( + + ( ) + ( ) ) t t t dt + t + t 2 3 ( ) t = ( ) dt + t missä jääöstermi lähestyy ollaa: t t ( ) dt dt < t dt =, u + t + t +.
21 48 Ku futio l( + ) sarjaehitelmää sijoitetaa : paialle -, saadaa 2 3 l( ) =. 2 3 Vähetämällä sarjat toisistaa saadaa 3 5 l + = 2( ), < <. 3 5 Tämä sarja avulla voidaa mm. lasea miä hyväsä positiivise luvu logaritmi liiarvo. Trigoometriset futiot si = + = ( ), 3! 5! (2 + )! = cos = + = ( ), 2! 4! (2 )! = Tod.: Derivoimalla toistuvasti ähdää, että (4) f() =, f () =, f () =, f () =, f () =, je. Siis Taylori aava muaa si( ) = + + ( ) + R, 3! 5! (2 )! ± siξ 2+ ± cosξ 2+ missä jääöstermi o muotoa tai. Siis (2+ )! (2+ )! jääöstermit lähestyvät ollaa aiilla, u lähestyy ääretötä. Kosii ehitelmä todistetaa vastaavalla tavalla.
22 49 Oheisessa uviossa o osii ja siitaylori sarjoista alupää osasummia: Tehtäviä 3) Johda sarjaehitelmät futioille ta ja arcta. cot 4) Lase sarjaehitelmiä hyväsiäyttäe raja-arvo lim 2.
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotLuku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
LisätiedotLuku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotC (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)
http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotTehtävä 11 : 1. Tehtävä 11 : 2
Tehtävä : Käytetää irjaita M luvu ( ) meritsemisee. Satuaisverossa G, p() o yhteesä solmua, jote satuaismuuttuja X mahdollisia arvoja ovat täsmällee jouo0,..., M} aii aliot. Joaie satuaisvero mahdollisista
Lisätiedotq =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.
Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotSarja on "summa, jossa on äärettömän monta yhteenlaskettavaa". Täsmällisempi määritelmä on seuraava: Tarkastellaan lukujonoa ( a n)
MAT-3430 Lj mtemtii 3 TTY 200 Risto Silveoie Luu 7. Luusrjt Seurvss o lyhyt esitys srjteorist. Puuttuvt todistuset äydää suurimmlt osi läpi lueoll j e löytyvät myös Fitzptrici ti Trechi irjst. Srj o "summ,
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotOrtogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotLukujonot ja sarjat. Lukujonon raja-arvo. Esimerkki. Huomautus. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa lukuja. a. Eräs lukujono on.
Lukujoot ja sarjat Lukujoo raja-arvo Lukujoolla tarkoitetaa ääretötä jooa lukuja. a. Eräs lukujoo o Se merkitää, 2, 3, 4, 5, 6,...,,... ( ) ( ) tai lyhyesti. b. Joo, 4, 9, 6, 25, 36,... merkitää ( ) c.,
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 5. ( ) Jeremias Berg
Disreeti Matematiia Paja Rataisuja viiolle 5. (28.4-29.4 Jeremias Berg Yleisiä ommeteja: Näissä tehtävissä aia usei rataisua oli ysittäie lasu. Kuitei vastausee olisi hyvä lisätä ommeteja siitä misi jou
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotSuppenemistestejä sarjoille
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03 Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0401 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg alto-yliopisto 30. syysuuta 2015 1 Jouo-oppi ja logiia Prediaattilogiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O 3 Kombiatoriia
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-0402 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg 1 Jouo-oppi ja logiia Idutioperiaate 2 Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O alto-yliopisto 12. maalisuuta 2015 3 Kombiatoriia ym. Summa-,
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotÄärettömistä tuloista ja gammafunktiosta kompleksitasossa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jemia Laukkae Äärettömistä tuloista ja gammafuktiosta kompleksitasossa Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Elokuu 202 Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Lisätiedot9. Ominaisarvot. Diagonalisointi
55 9 Omiaisarvot Diagoalisoiti Joaisee matriisii liittyy jouo sille omiaisia luuja, s omiaisarvoja, joista oostuu matriisi "spetri" ämä vaatii uitei luualuee laajetamista omplesiluuihi Jatossa matriisit
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotLaskennallisen kombinatoriikan perusongelmia
Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti
Lisätiedot8. Ortogonaaliprojektiot
44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie
LisätiedotKiinteätuottoiset arvopaperit
Mat-.34 Ivestoititeoria Kiiteätuottoiset arvopaperit 6..05 Lähtöohtia Lueolla tarasteltii tilateita, joissa yyarvo laseassa äytettävä oro oli aettua ja riippuato aiaperiodista Käytäössä orot äärittyvät
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen
7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit
LisätiedotEksponenttifunktio. Sanni Muotka. Matematiikan pro gradu
Ekspoettifuktio Sai Muotka Matematiika pro gradu Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos Kevät 203 Tiivistelmä: S. Muotka, Ekspoettifuktio, matematiika pro gradu -tutkielma, Jyväskylä yliopisto,
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 0. syysuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Prediaattilogiia Idutioperiaate Relaatiot ja
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotKolmivaihejärjestelmän oikosulkuvirran laskemista ja vaikutuksia käsitellään standardeissa IEC-60909, 60909-1, 60909-2, 60781, 60865-1 ja 60865-2.
Luu 7: Oiosulusuojaus 7. OIKOLKOJA 7.. Yleistä Vero laitteide mitoittamisessa, oiosulusuojause suuittelussa ja turvallise äytö suuittelussa o tuettava oiosuluvirrat eri tilateissa ja eri osissa veroa.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Disreeti matematiia perusteet Yhteeveto ja esimerejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto. maalisuuta 05 Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Idutioperiaate Relaatiot ja futiot Futiot Iso-O
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotFourier n sarjan suppeneminen
Fourier sarja suppeemie Leevi Aala Matematiika pro gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos 7 Tiivistelmä: Leevi Aala, Fourier sarja suppeemie, matematiika pro gradu -tutkielma,
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
Lisätiedoti ni 9 = 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, k k
1. Neljä tuistettavissa oleva hiuase iroaoise jouo ahdolliset eergiatasot ovat 0, ε, ε, ε, 4ε,, jota aii ovat degeeroituattoia. Systeei ooaiseergia o 6ε. sitä aii ahdolliset partitiot ja osoita, että irotiloje
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
Lisätiedot1. Ominaisarvot. Diagonalisointi
MA-45 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 8 Kertaamme Lama :ssa esitettyä omiaisarvoteoriaa, erityisesti - ulotteisissa avaruusissa ulemme tarvitsemaa äitä Lama 5:ssa differetiaaliyhtälöitä
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
LisätiedotHelsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsii Uiversity of Techology Laboratory of Telecommuicatios Techology S-38. Sigaaliäsittely tietoliieteessä I Sigal Processig i Commuicatios ( ov) Sysy 998 9. Lueto: Kaava apasiteetti ja ODM prof. Timo
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
Lisätiedot2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
Lisätiedot(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.
Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot