1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).

Transkriptio

1 HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri muaa momettimeetelmä estimaattori θ Y o parametri θ harhato estimaattori. Lisäsi Y () o H5A tehtävä 4 muaa tyhjetävä tuusluu. Lasetaa Rao Blacwelli lausee estimaattori E( θ Y () ). Oloo seuraavassa K (Y), u (y) { 1,..., } o suurimma havaio esimmäie esiitymisluu, eli y (y) y () ja (y) o piei tämä toteuttavista järjestysluvuista. a) Päättele, että b) Päättele, että E( θ Y () ) E(Y 1 Y () ) E(Y 1 Y () y (), K 1) y () c) Meritää Z max(y,..., Y ). Päättele, että E(Y 1 Y () y (), K > 1) E(Y 1 Y 1 < y (), Z y () ) y () /. (vihje: Z Y 1. Jos ehdolliste odotusarvoje määritelmät mietityttävät, voi e muavasti palauttaa TNb-urssi muaisee muotoo, sillä esimerisi { Y 1 < y () } { L 1 }, u L 1{ Y 1 < y () }) c) Päättele edelliste ohtie avulla, että E( θ Y () ) Y () P(K 1 Y () ) + Y () P(K > 1 Y () ) + 1 Y () Rataisu: Oloo θ > 0 ja oletetaa, että y () θ. a) Esiäi o luotevaa todeta, että E(Y 1 Y () ) E(Y Y () ) E(Y Y () ). Toisi saoe joaisella havaiolla o sama ehdollie odotusarvo masimista riippumatta. Havaitoje järjestysellä ei siis ole meritystä. Tällöi E( θ Y () ) E(Y Y () ) E(Y i Y () ) E(Y i Y () ) E(Y 1 Y () ). b) Jos K 1, ii tämä taroittaa sitä, että masimi saadaa esimmäisellä. Tällöi satuaismuuttuja Y 1 arvo o oltava y () ja yt E(Y 1 Y () y (), K 1) E(Y 1 Y () y (), Y () Y 1 ) E(y () Y () y (), Y () Y 1 ) y ().

2 c) Tapahtuma K > 1 ja Y () y () taroittaa sitä, että masimia ei saada esimmäisellä, vaa jollai seuraavista. Yhtäpitävästi voidaa siis lausua, että esimmäie havaito o pieempää ui masimi ja havaioista (Y,..., Y ) suuri o aiista havaioista suuri. Siis E(Y 1 Y () y (), K > 1) E(Y 1 Y 1 < y (), Z y () ) Meritää L 1{Y 1 < y () } Kosa Z Y 1, ii E(Y 1 Y 1 < y (), Z y () ) E(Y 1 L 1). Tarastellaa Y 1 : ehdollista jaaumaa ehdolla L 1 eli Y 1 : jaaumaa, u tiedetää, että Y 1 < y (). Nyt siis Y 1 ei voi saada y () :ää suurempia arvoja ja osa Y 1 : ehdollie jaauma o tasajaauma 1, ii ehdollie odotusarvo o E(Y 1 L 1) y() 0 y 1 y () dy y (). d) Edelliste ohtie perusteella voidaa esi todeta, että E(Y 1 Y (), L) Y () 1{L 0} + Y () 1{L 1}. Kosa E(X Y ) E(E(X Y, Z) Y ), ii a-ohtaa ja tätä hyödytämällä E( θ Y () ) E(Y 1 Y () ) E(E(Y 1 Y (), L) Y () ) E(Y () 1{L 0} + Y () 1{L 1} Y ()) Y () P(L 0 Y () ) + Y () P(L 1 Y () ) Y () P(K 1 Y () ) + Y () P(K > 1 Y () ) Y () 1 + Y () 1 Y () + Y () Y () + 1 Y ().. Kolio harhattomuutta tutitaa heittämällä sitä ertaa ja irjaamalla ylös ruuuje luumäärä. a) Formuloi huolellisesti asetelmaa uvaava malli ja ollahypoteesi. Miä o luoollie testisuure ja millaiset testisuuree arvot puhuvat ollahypoteesia vastaa? b) Heittoja o 10 ja saadaa 3 ruuua. Lase vastaava p-arvo ja pohdi, voidaao olioa pitää harhattomaa. c) Muuttuvato johtopäätösesi, jos 100 ja saadaa 30 ruuua? Ohje. Biomijaaumaa liittyviä todeäöisyysiä voi lasea ätevästi R:llä, lisäsi ormaaliapprosimaatio o varsi tara c)-ohdassa Rataisu: 1 Tämä voi halutessaa yrittää todistaa itsellee.

3 a) Oletetaa, että olioheitot ovat toisistaa riippumattomia ja ullai heitolla todeäöisyys saada ruuu o tutemato luu θ (0, 1). Nollahypoteesi o, että olio o harhato, miä taroittaa, että ruuu ja laava todeäöisyys o sama, eli H 0 : θ 1. Luoollie testisuure o ruuuje luumäärä. Meritää ruuuje määrää vastaavaa satuaismuuttujaa K :lla, jolloi K Bi(, θ). Erityisesti ollahypoteesi pätiessä K Bi (, 1 ) Kosa EH0 (K) /, ii ollahypoteesia vastaa puhuvat sellaiset K : arvot, joissa poieama (/) o suuri, missä o havaittu ruuuje luumäärä. Tämä taroittaa siis sellaisia : arvoja, joissa o selvästi suurempaa ui / tai selvästi pieempää ui /. b) Havaitaa aieisto 3, u 10. Nyt / 5 ja vastaava p-arvo o p P H0 { K } P H0 {K 3} + P H0 {K 7} 3 ( ) ( ) Saatu p-arvo o se verra suuri, että aieisto voi atsoa oleva sopusoiussa H 0 :, eli olio harhattomuude assa. Riittävää äyttöä H 0 :aa vastaa ei siis saatu. c) Havaitaa aieisto 30, u 100. Nyt / 50 ja vastaava p-arvo o p P H0 { K } P H0 {K 30} + P H0 {K 70} 30 ( ) (1 100 ) ( 1 ) 100 Tämä voidaa lasea esimerisi R:llä omeolla sum(dbiom(c(0:30,70:100),100,0.5)) tai omeolla pbiom(30,100,0.5)+pbiom(69,100,0.5,lower.tailfalse). Vaihtoehtoisesti voidaa äyttää ormaaliapprosimaatiota, eli K oudattaa ollahypoteesi pätiessä liimai ormaalijaaumaa odotusarvolla µ 50 ja variassilla σ , eli esihajoalla σ 5. Oloo Z N(0, 1). Ylläoleva todeäöisyys P H0 {K 30} + P H0 {K 70} P H0 {K 30.5} + P H0 {K 69.5} (jatuvuusorjaus) { } { } K K P + P P{Z 3.9} + P{Z 3.9} P{Z 3.9} + 1 P{Z < 3.9} Φ( 3.9) + 1 Φ(3.9) 1 Φ(3.9) + 1 Φ(3.9) Nyt saatu p-arvo o ii piei, että aieisto voi atsoa todistava voimaaasti H 0 :aa vastaa, eli olio harhattomuutta vastaa. Olisi siis erittäi epätodeäöistä saada tällaie aieisto, miäli olio olisi harhato.

4 3. Kahta testisuuretta t ja u saotaa evivaleteisi, jos iillä saadaa samat p-arvot ja riittiset alueet. Oloo f Y (y; θ) tilastollie malli ja H 0 : θ Ω 0 siihe liittyvä hypoteesi ja t testisuure, joa suuret arvot ovat ovat riittisiä H 0 :lle (eli pieet arvot ovat sopusoiussa H 0 : assa). Jos testisuure u(y) g(t(y)), u g : R R o aidosti asvava futio, ii päättele että u ja t ovat evivaletit testit. Rataisu: Materiaali sivulla 61 saotaa riittise aluee C α oleva jouo aieistoja y, jota johtavat ollahypoteesi hyläämisee eli alueita C α {y : p(y) α}. Siis samalla meritsevyystasolla α ja aieistolla y, riittie alue riippuu aioastaa p-arvosta. Siis jos saamme testisuureille t ja u samat p-arvot, o iistä lasettuje riittiste alueide oltava samat ja site testisuureet ovat evivaletit. Meritää T t(y), jolloi g(t ) u(y). Kosa muuos g o aidosti asvava, pätee p u p u (y) P θ0 (U u(y)) P θ0 (U g(t(y))) P θ0 (T t(y)) p t jote p-arvot ovat samat ja site myös riittiset alueet. Siis testisuureet t ja u ovat evivaletit. 4. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva aiai 80 %. Neljä asiaasta ostaa ui pussillise eli 10 siemetä. He havaitsevat, että itäviä siemeiä oli 9, 5, 6 ja 8. a) Kui asiaas testaa itävyysväitettä oma havaitosa valossa tavallista biomijaaumamallia äyttäe. Mitä ovat asiaaide saamat p-arvot? Oo jollai heistä aihetta hylätä väite 5 %: meritsevyystasolla? b) Toie asiaas tulee valittamaa siemete laadusta auppiaalle ja ertoo oma p-arvosa. Mite auppias voi arvioida itävyysväitettä, u hä otasuu, että muut olme ovat olleet laatuu tyytyväisiä? Vihje. Valitaorjaus. c) Testaa itävyysväitettä ooaisaieisto (40 siemeestä 8 iti) valossa. (Voit äyttää ormaaliapprosimaatiota.) Rataisu: a) Tilastollisea mallia o siis Y Bi(10, θ), missä θ (0, 1) : Ω. Nollahypoteesi muaa θ [0.8, 1) : Ω 0. Oloo testisuureea itävie siemete luumäärä T t(y ) Y Bi(10, θ). Testisuuree pieet arvot ovat riittisiä ollahypoteesille. Nyt havaitoa y {0, 1,..., 10} vastaava p-arvo o p p(y) 0 ( 10 sup θ [0.8,1) ) P θ (T t(y)) 0.8 (1 0.8) 10, sillä supremum saavutetaa θ: arvolla 0.8. sup θ [0.8,1) 0 10 θ (1 θ) 10 Oletetaa, että θ 0.8. Oloo X 1,..., X 10 riippumattomia satuaismuuttujia, joilla P(X i ) 0.8, P(X i 1) θ 0.8 ja P(X i 0) 1 θ. Nyt 10 1{X i } Bi(10, 0.8) ja 10 1{X i 1}

5 Esimmäie asiaas havaiollaa y 9 saa p-arvosi p(9) (1 0.8) , toie asiaas havaiollaa y 5 vastaavasti p(5) 0.038, olmas asiaas ja eljäs asiaas p(6) 0.11 p(8) Asiaaista (vai) toie voi hylätä väittee 5 % meritsevyystasolla. b) Toie asiaas ertoo saaeesa p-arvo Kauppias voi tästä lasea todellise p-arvo teemällä valitaorjause, joa huomioi se, että sama testi o tehty eljää ertaa eljälle eri aieistolle. Olettamalla aieistot riippumattomisi todellisesi p-arvosi saadaa 1 ( ) Ilma riippumattomuusoletustai Boferroi-orjatusi p-arvosi saadaa Kauppiaa ei siis tarvitse hylätä ollahypoteesia 5 % meritsevyystasolla toise asiaaa ilmoituse perusteella. c) Tilastollisea mallia o yt Y 1,..., Y 4 Bi(10, θ), missä θ (0, 1). Nollahypoteesi muaa θ [0.8, 1). Oloo testisuureea itävie siemete ooaismäärä T t(y) Y Y 4. Riippumattomie biomijaautueide satuaismuuttujie summaa T Bi(40, θ). Testisuuree pieet arvot ovat riittisiä ollahypoteesille. Aieistoa y (9, 5, 6, 8) vastaava testisuuree arvo o t t(y) , ja tätä vastaava p-arvo o p p(y) , sup P θ (T t(y)) P 0.8 (T 8) θ [0.8,1) (1 0.8) 10 jote ooaisaieisto perusteella ollahypoteesia ei hylätä 5 % meritsevyystasolla. (Normaaliapprosimaatiolla ( ) jatuvuusorjause assa saadaa p Φ ) (1 0.8) Bi(10, θ), jote ( 10 ) ( 10 ) 10 θ (1 θ) 10 P 1{X i 1} y P 1{X i } y 0 0 { 10 } sillä 1{X i 1} 1{X i } aiilla i ja site 1{X i 1} y (1 0.8) 10, { 10 1{X i } y }.