funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
|
|
- Lasse Haavisto
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu aiilla muilla x:n arvoilla. Sarjan summa on /( x). Siis geometrinen sarja määrää funtion g :], [ R, (4.) g(x) = x. Ajatus on siis se, että parametrista tai muuttujasta riippuva sarja määrää funtion siinä jouossa, jossa se suppenee. Muodollisesti: Määritelmä 4.2. Oloon (f ) funtiojono. Funtiosarja (4.2) suppenee pisteittäin, jos sen äärellisten osasummien jono ( n f ) n= suppenee pisteittäin. Funtiosarja suppenee tasaisesti, jos sen äärellisten osasummien n f jono suppenee tasaisesti. Pisteittäin tai tasaisesti suppeneva funtiosarja määrää funtion f : A R, (4.3) f(x) = f (x), f un funtioiden f, = 0,, 2,..., määrittelyjouo on A. Jos f (x) = a (x x 0 ) jollain x 0 R aiilla = 0,, 2,..., funtiosarjaa sanotaan potenssisarjasi, ja sitä meritään (4.4) a (x x 0 ). Tarastelemme lähinnä potenssisarjoja. Tareä ysymys on, millä x:n arvoilla potenssisarja (4.4) suppenee pisteittäin tai tasaisesti. Selvästi sarja (4.4) suppenee, un x = x 0, osa tarasteltavan sarjan aii termit ovat nollia. Potenssisarjoja (4.4) tarasteltaessa sarja muodostetaan siis funtioista a p, missä potenssifuntio p, p (x) = (x x 0 ) on määritelty oo R:ssä. Kuitenin hyväsymme sellaisenin tilanteen, että sarja suppenee vain jossain R:n aidossa osajouossa A. Tällöin siis tarastelemmein oieammin funtiosarjaa (4.5) a p A. Tarastelemme potenssisarjan suppenemisjouoa taremmin: on rajoitettu, niin po- Lause 4.3. Oloon x x 0. Jos jono ( a (x x 0 ) ) tenssisarja (4.6) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joille pätee (4.7) x x 0 < x x 0
2 32 JOUNI PARKKONEN Todistus. Oloon (4.8) M = sup { a (x x 0 ) : N }. Oletusen muaan M <. Siis (4.9) a M x x 0 aiilla = 0,, 2,..., joten aiilla n N pätee n (4.0) a (x x 0 ) n M x x 0 x x 0 <, osa oieanpuoleinen sarja on suppeneva geometrinen sarja, un x x 0 < x x 0. Siis sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, un x x 0 < x x 0. Tästä saamme seurausena Lause 4.4. Jos sarja (4.) suppenee, niin potenssisarja (4.2) a (x x 0 ) a (x x 0 ) suppenee itseisesti aiilla x R, joilla (4.3) x x 0 < x x 0. Todistus. Sarja a (x x 0 ) suppenee, joten jono ( a (x x 0 ) ) rajoitettu. Tulos seuraa Lauseesta 4.3. Esimeri 4.5. Tarastelemme potenssisarjaa x (4.4). on Kun x =, potenssisarja on, eli harmoninen sarja, joa hajaantuu. Kun x =, potenssisarja on ( ), eli vuorotteleva harmoninen sarja, joa suppenee. Lauseen 4.4 nojalla potenssisarja suppenee välillä [, [. Kun x >, niin (4.5) lim joten sarja ei suppene näillä x:n arvoilla. x =, Määritelmä 4.6. Potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde on { } (4.6) R = sup x x 0 : a (x x 0 ) suppenee. Jos 0 < R, niin väliä ]x 0 R, x 0 + R[ sanotaan potenssisarjan suppenemisvälisi. Määritelmä 4.6 on järevä, osa pätee: Lause 4.7. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin: (a) Jos R = 0, niin sarja suppenee vain, un x = x 0. (b) Jos R =, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x R.
3 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT (c) Jos 0 < R <, niin sarja suppenee itseisesti aiilla x ]x 0 R, x 0 + R[ ja hajaantuu aiilla x R \ [x 0 R, x 0 + R]. Todistus. (a) Seuraa suppenemissäteen määritelmästä. (b) Oloon x R. Kosa R =, on olemassa x R siten, että x > x ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. (c) Jos x x 0 < R, niin R:n määritelmän nojalla on x R siten, että (4.7) x x 0 < x x 0 < R ja a (x x 0 ) suppenee. Lauseen 4.4 nojalla a (x x 0 ) suppenee itseisesti. Jos taas x x 0 > R, niin R:n määritelmän nojalla a (x x 0 ) hajaantuu. Huomautus 4.8. Potenssisarjan suppeneminen suppenemisvälin päätepisteissä on tarastettava eriseen. Esimerissä 4.5 voisimme nyt päätellä suppenemisjouon näin: Potenssisarja suppenee, un x = = R. Potenssisarja hajaantuu, un x = = R. Siis Lauseen 4.7 nojalla potenssisarjan (4.4) suppenemissäde on, ja sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. Suppenemissäde on usein helppo selvittää seuraavan tulosen avulla: Lause 4.9. Oloon R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde. Tällöin ( (a) Jos jono a ) suppenee, niin (4.8) R = lim a. ( ) (b) Jos jono a a + suppenee, niin (4.9) a R = lim a + Todistus. Oloon S = lim a. Juuritestissä saamme (4.20) a x x 0 = a x x 0 S x x 0. Jos S <, niin Lauseen 3.6 (a)-ohdan muaan sarja suppenee, un S x x 0 <. Toisaalta, jos S x x 0 >, niin sarja hajaantuu Lauseen 3.6 (b)-ohdan muaan. Siis suppenemissäde on /S, jos S <. Jos taas S =, niin aiilla x x 0 ja aiilla M > 0 on N N siten, että aiille N pätee (4.2) a x x 0 > M, eli (4.22) a (x x 0 ) > M. Kun valitsemme M, niin minoranttiperiaatteesta seuraa, että sarja hajaantuu. (b) Harjoitus. Esimeri 4.0. (a) Sarjan (4.23) e 2 x
4 34 JOUNI PARKKONEN suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan 0, osa (4.24) lim e 2 = lim e =. Tässä esimerissä potenssisarjan ertoimet asvavat siis niin nopeasti, että sarja suppenee ainoastaan, un x = 0. Toisaalta, jos orvaamme ertoimen e 2 e :lla, saamme positiivisen suppenemissäteen: (4.25) e x = (ex), joa suppenee geometrisena sarjana täsmälleen jouossa ] e, e [. (b) Sarjan ( ) (4.26) + x suppenemissäde on Lauseen 4.9 muaan, osa ( ) (4.27) lim ( ) = lim + =. Kuten Esimerissä 4.5 huomaamme, että sarja suppenee, un x = ja hajaantuu, un x =. Siis sarja suppenee, jos ja vain jos x [, [. (c) Jos yritämme etsiä sarjan (4.28) suppenemissädettä Lauseen 4.9 (a)-ohdan juuritestillä, joudumme tarastelemaan raja-arvoa lim!, jona määrittäminen tuntuu hanalalta. Sen sijaan (4.29) lim ( (!) (+)! x! ( + )! ) = lim =,! joten suppenemissäde on ja sarja suppenee itseisesti aiilla x R. Tästä seuraa, että sarjat x 2+ (4.30) (2 + )! ja (4.3) ( ) x 2+ (2 + )! suppenevat itseisesti aiilla x R, osa näistä sarjoista itseisarvot lisäämällä muodostetut sarjat saadaan sarjan (4.28) itseisarvosarjasta jättämällä x:n parilliset potenssit pois. Tämä argumentti toimii Lauseen 3.9 nojalla, osa sarja (4.28) suppenee itseisesti. (d) Jos derivoimme geometrisen sarjan termeittäin, saamme sarjan (4.32) x. Tämän sarjan suppenemissäde on eli se on sama uin geometrisen sarjan suppenemissäde: (4.33) lim + =.
5 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Sarjat ja ( ) hajaantuvat, joten sarja (4.32) suppenee, jos ja vain jos x ], [. Potenssisarjat ovat siis funtiosarjoja (4.34) f, un f : I R, (4.35) f (x) = a (x x 0 ) ja I on esimerisi potenssisarjan suppenemisväli. Potenssisarjojen määräämät funtiot äyttäytyvät erittäin siististi. Ennen näiden hyvien ominaisuusien tarastelua, todistamme yleisiä tulosia funtiosarjoille. Lause 4. (Cauchyn ehto funtiosarjojen tasaiselle suppenemiselle). Oloot A R ja f : A R, = 0,, 2,.... Funtiosarja f suppenee tasaisesti, jos ja vain jos aiilla ɛ > 0 on N N siten, että n+p (4.36) f (x) < ɛ x A aiilla n N ja p N. =n Todistus. Seuraa Lauseesta.. Lause 4.2 (Weierstrassin ehto). Oloot A R, f : A R, a 0 siten, että (4.37) f(x) a x A aiilla = 0,, 2,.... Jos a suppenee, niin f suppenee tasaisesti. Todistus. Oloon ɛ > 0. Cauchyn ehdon 3.4 nojalla on N N siten, että (4.38) n+p a < ɛ =n aiilla n N ja p N. Oletusen (4.37) nojalla aiille x A pätee n+p n+p (4.39) f (x) n+p f (x) a < ɛ, =n =n un n N ja p N. Cauchyn ehdon, Lause 4. nojalla funtiosarja suppenee tasaisesti. Lause 4.3. Oloon I R väli. Oloot f : I R, = 0,, 2,..., jatuvia funtioita. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion f : I R, (4.40) f(x) = f (x) x I, =n niin (a) f on jatuva, ja (b) f on Riemann-integroituva joaisella suljetulla välillä [a, b] I ja d d (4.4) f(x)dx = f (x)dx, eli (4.42) d c c f (x)dx = c d c f (x)dx,
6 36 JOUNI PARKKONEN Todistus. Seuraa Lauseista.3 ja.6. Todistamme nyt tulosen, josta funtiojonojen lause.8 seuraa: Lause 4.4. Oloot f :]a, b[ R jatuvasti derivoituvia ja x 0 ]a, b[. Jos f suppenee tasaisesti ja määrää funtion g :]a, b[ R, ja jos f (x 0 ) suppenee, niin f suppenee tasaisesi. Lisäsi, jos (4.43) f(x) = f (x) x ]a, b[, pätee f = g. Todistus. Oloon x ]a, b[. Analyysin peruslauseesta seuraa, että n x n n (4.44) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ) x 0 aiilla n N. Funtiosarja f suppenee tasaisesti, joten funtio g on integroituva välillä [x 0, x] (tai [x, x 0 ]) ja x x (4.45) g = f x 0 x 0 Lauseen 4.3(b) nojalla. Kosa f (x 0 ) suppenee, niin (4.44):n nojalla x (4.46) f (x) = f (t)dt + f (x 0 ). x 0 Analyysin peruslauseen nojalla g = f. Palaamme nyt potenssisarjojen äsittelyyn. Weierstrassin ehdolla on helppo todistaa seuraava tulos: Lause 4.5. Potenssisarja suppenee tasaisesti joaisella suppenemisvälinsä suljetulla osavälillä. Todistus. Harjoitus. Seuraava tulos osoittaa, että Lauseen 4.4 ehdot toteutuvat potenssisarjoille. Lauseen jälimmäinen sarja saadaan edellisestä derivoimalla termeittäin. Lause 4.6. Potenssisarjoilla a (x x 0 ) ja a (x x 0 ) on sama suppenemissäde. Todistus. Oloot R potenssisarjan a (x x 0 ) suppenemissäde ja R potenssisarjan a (x x 0 ). Osoitamme, että R = R. () Oloon x R. Kaiilla N pätee (4.47) a (x x 0 ) a (x x 0 ) = x x 0 ( a (x x 0 ) ). Siis, jos (4.48) hajaantuu, niin (4.49) a (x x 0 ) a (x x 0 ) hajaantuu, joten R R. (2) Oloon x ]x 0 R, x 0 + R[. Oloon c R siten, että x x 0 < c < R.
7 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tällainen c on olemassa, osa suppenemisväli ]x 0 R, x 0 +R[ on avoin. Siis x 0 +c ]x 0 R, x 0 + R[, joten (4.50) a c suppenee. Siis jono ( a c ) on rajoitettu, eli on M > 0 siten, että a c < M aiilla R. Toisin sanoen, a < M. Siis c (4.5) a x x 0 M c x x 0 = M c x x 0 c. Sarjan x suppenemissäde on Esimerin 4.0(d) nojalla. Siis sarja (4.52) x x 0 c suppenee. Majoranttiperiaatteen muaan sarja a (x x 0 ) suppenee itseisesti, joten R > x x 0. Tästä seuraa R R, osa x voidaan valita läheltä suppenemisvälin päätepistettä. Potenssisarjoille saamme edellisistä tulosista äyttöelpoisen seurausen: Seuraus 4.7. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (a) f on jatuva, (b) f on Riemann-integroituva aiilla suljetuilla väleillä [c, d] ]x 0 R, x 0 +R[ ja (4.53) (4.54) Erityisesti d c f = x a ( (d x0 ) + (c x 0 ) +). + x 0 f = a + (x x 0) +. (c) f on jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.55) f (x) = a (x x 0 ). (d) Oloon n N. funtio f on n ertaa jatuvasti derivoituva välillä ]x 0 R, x 0 + R[ ja (4.56) f (n) (x 0 ) = n!a n. Todistus. (a) Lause 4.3(a) ja Lause 4.5. (b) Lause 4.3(b) ja Lause 4.5. (c) Lause 4.6 ja 4.4. (d) Harjoitus. Seuraus 4.8. Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin aiilla n N n (4.57) T n,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7 ja Taylorin polynomin määritelmä.
8 38 JOUNI PARKKONEN Jos funtio f :]a, b[ R on n ertaa jatuvasti derivoituva aiilla n N, meritsemme f C (]a, b[). Lauseen 4.7 muaan, jos f :]x 0 R, x 0 + R[ R on potenssisarjan määräämä funtio, niin f C (]x 0 R, x 0 + R[). Yleistämme Taylorin polynomit C -funtioiden tapausessa: Määritelmä 4.9. Oloot f C (]a, b[) ja x 0 ]a, b[. Potenssisarja f () (x 0 ) (4.58) T,x0 f(x) = (x x 0 )! on f:n Taylorin sarja pisteessä x 0. Seuraus Oloon f :]x 0 R, x 0 + R[ R potenssisarjan a (x x 0 ) määräämä funtio. Tällöin (4.59) T,x0 f(x) = a (x x 0 ). Todistus. Lause 4.7(d). Milloin f(x) = T,x0 f(x)? Seuraava Lause muotoilee ysymysen Luujen ja 2 avulla: Lause 4.2. Oloot x, x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos (4.60) lim R n,x 0 f(x) = 0, niin (4.6) Todistus. Määritelmät. f () (x 0 ) (x x 0 ) = f(x).! Seuraava tulos antaa einoja tarastella Taylorin sarjan suppenemista: Lause Oloot x 0 ]a, b[ ja f C (]a, b[). Jos on r > 0 ja M > 0 siten, että ]x 0 r, x 0 + r[ ]a, b[ ja (4.62) f () (x) M x ]x 0 r, x 0 + r[, niin (4.63) f(x) = f () (x 0 ) (x x 0 ) x ]x 0 r, x 0 + r[.! Todistus. Tarastelemme jäännöstermiä Lagrangen muodon avulla. Pisteiden x ja x 0 välissä on piste ξ siten, että (4.64) R n,x0 f(x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ M n+ (n + )! x x 0 n+ (Mr)n+ (n + )! Väite seuraa Lauseesta 4.2 n 0. Esimeri (a) Esponenttifuntion Taylorin sarja 0:ssa on Esimerin 2.2 muaan x (4.65) T,0 exp(x) =!. Esimerissä 2.7 osoitimme, että sarjan (4.65) osasummien jono suppenee tasaisesti ohti esponenttifuntiota joaisella suljetulla välillä [a, b] R. Siis Taylorin
9 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT sarja (4.65) suppenee pisteittäin ohti esponenttifuntiota aiilla x R. Saman tulosen saamme myös Lauseesta 4.22, sillä (4.66) exp () (x) = e x e b (e b ) aiilla x [ b, b] (b > 0) ja N. (b) Samalla perustelulla saamme Esimerin 2.2(a) nojalla (4.67) cos(x) = ( ) (2)! x2 x R, sillä osinin aii derivaatat toteuttavat cos () (x) aiilla x R, atso (2.48). (c) Sinifuntion Taylorin sarja 0:ssa saadaan Lauseen 4.7 nojalla integroimalla termeittäin osinin sarjasta: x (4.68) sin(x) = cos(t)dt = ( ) x2 (2)! = ( ) x 2+ x R. (2 + )! (d) Esimerin 4. nojalla (4.69) 0 x = x x ], [. (e) Sijoittamalla aavaan (4.69) x:n paialle x, saamme (4.70) + x = ( x) x ], [. (f) Integroimalla (e)-ohdan sarjan termeittäin saamme (4.7) log( + x) = = x 0 + t dt = x ( ) t dt ( ) x+ + = 0 + x ( ) x ], [. Edellä osoitimme, että potenssisarja suppenee tasaisesti (avoimella) suppenemisvälillään. Siis potenssisarjan määräämä funtio on tällä välillä jatuva, osa potenssifuntiot ovat jatuvia. Seuraava lause osoittaa, että potenssisarjan määräämä funtio on jatuva oo siinä jouossa, jossa potenssisarja suppenee. Lause 4.24 (Abelin raja-arvolause). Oloon R > 0 potenssisarjan (4.72) a (x x 0 ) suppenemissäde. Oloon (4.73) f(x) = a (x x 0 ) (a) Jos a R suppenee, niin x ]x 0 R, x 0 + R[. (4.74) lim f(x) = a R. x x 0 +R
10 40 JOUNI PARKKONEN (b) Jos a ( R) suppenee, niin (4.75) lim f(x) = a ( R). x x 0 R+ Todistus. (a) Voimme olettaa, että x 0 = 0 ja R =. Meritsemme (4.76) f() = a = a. Geometriselle sarjalle pätee (4.77) x = x x ], [. Kun x < pätee siis Lauseen 3.25 nojalla ( ) ( (4.78) x f(x) = ) x a x = c x, un (4.79) c = Tällöin (4.80) a j. j=0 f(x) f() =( x) c x ( x) x f() =( x) (c f())x. Oloon ɛ > 0. Kosa tarastelemme raja-arvoa, un x, voimme olettaa, että 0 < x <. On N N siten, että (4.8) c n f() < ɛ n N, 2 osa c n on sarjan a n. osasumma. Oloon (4.82) M = max { c f() : N }. Jaamme sarjan ahteen osaan: N f(x) f() = ( x) (c f())x + ( x) (c f())x =N N ( x) (c f())x + ( x) (c f())x (4.83) un ( x)nm + ( x) ɛ 2 =N x N ( x)nm + ( x) ɛ 2 x < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, (4.84) x > ɛ 2NM. x =N
11 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 9. Esimerin 4.26(a) funtion uvaaja 0:n lähellä. Siis (4.85) lim f(x) = f(). x Esimeri (a) Funtio f :], [ R, f(x) = log( + x) on jatuva. Esimerissä 4.23(f) osoitimme, että + x (4.86) log( + x) = ( ) x ], [. Tämä on vuorotteleva harmoninen sarja, un x =. Siis potenssisarja suppenee suppenemisvälin päätepisteessä, joten osamme nyt lasea vuorottelevan harmonisen sarjan summan Lauseen 4.24 avulla: ( ) + (4.87) log(2) =. (b) Arustangentin päähaaran potenssisarja 0:ssa on (Harjoitus) (4.88) arctan(x) = ( ) x2+ x ], [. 2 + Kun x =, tämä on vuorottelevaterminen sarja, joa toteuttaa Leibnitzin testin (Lause 3.20) ehdon. Siis Lauseen 4.24 muaan (4.89) eli π 4 = arctan() = ( ) 2 + = , (4.90) π = arctan() = Esimeri (a) Funtio f : R R, {e x (4.9) f(x) = 2, un x 0 0, un x = 0 on jatuva 0:ssa. Erotusosamäärien tarastelu 0:ssa osoittaa, että f C (R) ja f (n) (0) = 0 aiilla n N (Harjoitus). Siis T,0 f(x) = 0 aiilla x R, eli f:n Taylorin sarja suppenee aiialla, mutta se suppenee ohti f:ää vain pistessä 0. (b) Funtiosarjojen avulla voi muodostaa funtioita, jota ovat jatuvia, mutta jota eivät ole derivoituvia missään: Oloon φ : R R 4-jasollinen funtio siten, että (4.92) φ(x) = x, un x < 2, ja (4.93) φ(4p + x) = φ(x)
12 42 JOUNI PARKKONEN Kuva 0. Esimerin 4.26(b) funtiot φ (punainen), x φ(4x)/4 (vihreä) ja ψ (sininen) Kuva. Esimerin 4.26(c) funtio φ. aiilla p Z. Oloot φ : R R, (4.94) φ (x) = 4 φ(4 x). Funtiosarja (4.95) suppenee tasaisesti, joten se määrää jatuvan funtion ψ : R R (Harjoitus). Kuitenaan tällä funtiolla ei ole derivaattaa missään pisteessä x R (Taagi 903). (c) Oloon φ : R R uten uvassa. Oloot (4.96) f (x) = 2 φ(3 2 2 x) ja (4.97) f 2 (x) = φ 2 φ(3 2 x). Funtio f : [0, ] [0, ] [0, ] R 2, f(x) = (f (x), f 2 (x)) on jatuva surjetio. Siis on olemassa jatuva uvaus, joa uvaa janan neliösi!
13 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Kuva 2. Esimerin 4.26(c) uvausen ensimmäinen, toinen ja ymmenes osasumma. Department of Mathematics and Statistics, P.O. Box 35, 4004 University of Jyväsylä, Finland address:
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.
Lisätiedot5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.
5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen
ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 5
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään
LisätiedotVI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava
VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotKompleksitermiset jonot ja sarjat
Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotANALYYSI 3 HELI TUOMINEN
ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,
Lisätiedot2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)
3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotPotenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.
Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/07 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 3. viikolle / 5. 7.4. Taylorin Polynomit, Taylorin sarjat, potenssisarjat, Newtonin menetelmä Tehtävä
Lisätiedotsin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
LisätiedotTaylorin sarja ja Taylorin polynomi
Taylorin sarja ja 1 Potenssisarja c k (x a) k = f (x) määrittelee x:n funktion. Seuraavaksi toteamme mikä yhteys potenssisarjalla on sen määrittelemän funktion derivaattoihin f (a),f (a),f (a),f (3) (a),...
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotEksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,
LisätiedotPerusidea: Jaetaan väli [a, b] osaväleihin ja muodostetaan osavälejä vastaavat suorakulmiot/palkit, joiden korkeus funktion arvot kyseisellä välillä.
Lähtötilanne Lähtötilanne Tavoite: Määritellään funktion f : [a, b] R integraali siten, että integraalin arvo yhtyy funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-alaan. Perusidea: Jaetaan
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2
ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotMatematiikan approbatur 2B
Matematiikan approbatur 2B Kurssin sisältö yleisesti. Sarjateoriaa ja monen (kahden ja kolmen) muuttujan differentiaalilaskentaa. Sarjateoriassa esitellään potenssisarjat ja Taylorin kehitelmä sekä niiden
LisätiedotTämä merkitsee geometrisesti, että funktioiden f
28 2. Futiosarjat Edellä sarjat olivat luusarjoja, joide termit ovat (tässä urssissa) reaaliluuja. Jos termit ovat samasta muuttujasta riippuvia futioita, päädytää futiotermisii sarjoihi. Näide äyttö matematiiassa
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot