VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen

Transkriptio

1 / ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai osaoonaisuusien vapaaappaleuvia, jolloin osien välillä vaiuttavat voiat ja oentit tulevat alusi uaan yhtälöihin. Lopullisiin liieyhtälöihin pääseinen vaatii näien sisäisten vaiutusten eliinointia, iä saattaa olla työlästä. Liieyhtälöien irjoittainen on toisinaan ysinertaisepaa, jos äytetään Newtonin laien sijaista jotain energiaperiaatetta. ällöin tarastellaan systeein liie- ja potentiaalienergiaa ja uloisten uoritusten työtä, joihin systeein sisäiset voiat ja oentit eivät vaiuta. Seuraavassa tarastellaan Lagrangen yhtälöitä, jota ovat ynaiian tehtävissä useiiten energiaperiaatteien äyttöelpoisin uoto. KONSERAIIISEN SYSEEMIN LARANEN YHÄLÖ Dynaiiassa osoitetaan, että onservatiivisen systeeille pätevät Lagrangen yhtälöt t,, L,n jossa on systeein ineettinen energia ja potentiaalifuntio hetellä t. Potentiaalifuntio sisältää systeein ioenergian ja uloisten onservatiivisten uoritusten työn. Yhtälöitä on n appaletta ja ne antavat systeein liieyhtälöryhän. Kineettinen energia voi riippua aseaoorinaateista ja niien ensiäisistä aiaerivaatoista nopeuet ja ulanopeuet ja potentiaalifuntio oorinaateista eli,,...,,,,...,,,..., n n untioissa on n appaletta uuttujia, sillä oorinaattien aiaerivaattoja pietään tässä riippuattoina uuttujina. Lagrangen yhtälöitä voiaan äyttää yös epälineaaristen systeeien liieyhtälöien johtaiseen. ässä rajoitutaan lineaaristen systeeien värähtelyien tarasteluun, jolloin Lagrangen yhtälöt antavat session MS aavan uaisen liieyhtälöryhän. Konservatiivisella systeeillä liieyhtälöryhässä ei ole uitenaan vaiennusterejä. Lineaarisen värähtelyeaniian sovellusissa ineettinen energia ei riipu aseaoorinaateista eli,,..., n, jolloin Lagrangen yhtälöissä on vasean puolen esiäinen teri nolla. n

2 / ESIMERKKI MSE Johetaan uvassa esitetyn vaientaattoan olen vapausasteen systeein liieyhtälöt äyttäen Lagrangen yhtälöitä. ätä esieriä äsitellään session MS9 esierissä NS9E Newtonin yhtälöien avulla. Kineettinen energia ja potentiaalifuntio ovat Kineettinen energia riippuu vain nopeusista, joten Lagrangen yhtälöissä terit ovat nollia. Lasetaan nollasta poieavat erivaatat t t t t t t Sijoittaalla saaut tuloset Lagrangen yhtälöihin, saaaan liieyhtälöryhä Liieyhtälöt enevät seuraavaan atriisiuotoon ulos on saa uin sessiossa MS9 Newtonin lailla saaut liieyhtälöt. Kuva. Kolen vapausasteen systeei ilan vaiennusta.

3 / EPÄKONSERAIIISEN SYSEEMIN LARANEN YHÄLÖ arastellaan n vapausastetta oaavaa eaanista systeeiä, jona vapausasteisiin,,..., n vaiuttavat epäonservatiiviset uorituset,, L, n. Koorinaatit ovat translaatio- tai rotaatiosiirtyiä, joten uorituset ovat voiia tai oentteja niin, että uoritusen ja oorinaatin tulo eustaa työtä. Systeein oorinaateissa tapahtuvia pieniä uutosia,, L, n sanotaan virtuaalisisi siirtyisi ja systeei siirtyy niien tapahtuessa aluaseastaan uuteen aseaan,, L,, jolloin uloiset uorituset teevät systeeiin virtuaalisen työn n i n n W i i Dynaiiassa osoitetaan, että tässä tapausessa systeein Lagrangen yhtälöt ovat t,, L,n 4 irtuaalisen työn avulla Lagrangen yhtälöitä voiaan äyttää yleisten epäonservatiivisten voiavaiutusten huoioonottaiseen. Lineaarisessa värähtelyeaniiassa epäonservatiivisina voiina ovat yleensä visoosit vaiennusvoiat ja niien vaiutus voiaan ottaa äteväin huoioon ns. issipatiofuntion D avulla. Dissipatiofuntio uoostetaan analogisesti jousien ioenergian anssa. Kun vaiennusvoia on, on sitä vastaava issipatiofuntio D /. Koo systeein issipatiofuntio saaaan yhteenlasuperiaatteella. Kun issipatiofuntio on uoostettu, saaaan terit siitä aavalla D,, L,n 5 Yhtälöt 4 saavat issipatiofuntiota äytettäessä uoon t D,, L,n 6 Lineaarisia värähtelyitä tarasteltaessa aavan 6 vasean puolen toinen teri on yleensä nolla ja olas teri antaa session MS aavan liieyhtälöryhän vasean puolen vaiennusta vastaavan terin.

4 /4 ut g / / a B B M I K / / t Kuva. Raennusen alli. ESIMERKKI MSE arastellaan uvan allia, jolla voiaan tutia esierisi alustan tunnetusta liieestä ut johtuvaa raennusen värähtelyä. Lasentaallissa raennusta on uvattu jäyällä appaleella B ja sen perustusta partielilla B. Koorinaateisi valitaan perustusen absoluuttinen asea ja raennusen ula-asea. Rajoitutaan lisäsi pieniin värähtelyihin. ätä esieriä äsitellään session MS9 esierissä MS9E Newtonin yhtälöien avulla. Pienien värähtelyien tapausessa energioita lasettaessa äytetään approsiaatioita sin ja os. Painovoian teeän työn lasennassa on uitenin äytettävä approsiaatiota os /, jotta aii en- siäisen ertaluvun vaiutuset tulevat uaan. Raennusen assaesiön oorinaatit ovat asin a y aos a a y. Kineettinen energia, issipatiofuntio ja potentiaalifuntio ovat I K M a u u Mga D Lasetaan Lagrangen yhtälöissä tarvittavat erivaatat t t I t t D u u u / [ M a M Ma [ M a a Ma I Ma u u u u u D K Mga K Mga Sijoittaalla lasetut erivaatat Lagrangen yhtälöihin saaaan liieyhtälöt M Ma u u Ma I Ma K Mga joa on saa tulos uin sessiossa MS9 saatiin. Liieyhtälöt ovat atriisiuoossa M Ma I Ma Ma u u K Mga

5 /5 ESIMERKKI MSE Kolantena esierinä tarastellaan uvassa esitettyä epäonservatiivista ahen vapausasteen systeeiä, jossa oorinaatit ja ovat assojen absoluuttiset aseat ja oorinaatit ja suhteelliset aseat tunnetun funtion t u uaisesti liiuvaan alustaan nähen. ätä esieriä äsitellään session MS9 esierissä MS9E Newtonin yhtälöien avulla. Systeein ineettinen energia, issipatiofuntio ja potentiaalifuntio ovat u u u D u Lagrangen yhtälöissä esiintyvät nollasta poieavat erivaatat ovat u u [ t t u u [ t L t D D Sijoittaalla yllä olevat tuloset Lagrangen yhtälöihin 6 saaaan liieyhtälöt u u joa on saa tulos uin sessiossa MS9 saatiin. Liieyhtälöt ovat atriisiuoossa u u Käsitellään vaiennus vielä toisin virtuaalisen työn periaatetta äyttäen. aiennusvoiien virtuaalinen työ on ut Kuva. aiennettu systeei.

6 /6 u u W [ [ W josta seuraa uoritusisi saa tulos uin eellä saatiin issipatiofuntion avulla eli [ [ HARJOIUS MSH Kuvan uaisessa systeeissä pali oletetaan jäyäsi ja sen assa on p ja hitausoentti nivelen O suhteen I. Koorinaatteina öytetään palin rotaatioulaa ja assojen pystysuuntaisia siirtyiä ja, jota itataan staattisesta tasapainoaseasta lähtien. Määritä systeein oinaisvärähtelyn liieyhtälöt Lagrangen yhtälöien avulla ja esitä ne atriisiuoossa. ast. [ [ L L L / L K I M p ihjeet: HARJOIUS MSH Kuvan systeeissä sylinteri vierii liuuatta ja assa liiuu itattoasti vaaatasolla. Koorinaatteina äytetään siirtyiä ja, jota itataan staattisesta tasapainoaseasta lähtien, jolloin jousessa ei ole pituuen uutosta. Määritä systeein oinaisvärähtelyn liieyhtälöt Lagrangen yhtälöien avulla ja esitä ne atriisiuoossa. ast. [ [ [ K C / M ihjeet: O R p I, p O / L L /