9 Lukumäärien laskemisesta

Transkriptio

1 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta se saa appulasta Cr Esimeri 9 Tarastellaa jouoa {,, }, jossa o olme aliota Sillä o seuraavat osajouot: tyhjä jouo, ysiöt {}, {}, {}, asiot {, }, {, }, {, } ja jouo itse {,, } Lasemalla eriooiste osajouoje luumäärät saadaa selville seuraavat biomiertoimet:, 0,, Jouolla {,, } ei ole yhtää sellaista osajouoa, joa alioide määrä o suurempi ui olme Site 0 aiilla luoollisilla luvuilla Esimeri 9 Oletetaa, että Nr{0} ja meritää X { N } Havaitaa, että jouo X muodostavat luoolliset luvut,,, jote jouo X alioide luumäärä o Jouo X aioa olla-alioie osajouo o Ysialioisia osajouoja jouolla X o appaletta, imittäi ysiöt {},,{} Niide omplemetit X r {},, X r {} ovat puolestaa jouo X ( )-alioiset osajouot Niitä o siis yhtä paljo ui ysialioisia osajouoja, eli appaletta Sellaisia osajouoja, joissa o aliota, jouolla X o vai ysi, imittäi jouo X itse Näi saadaa pääteltyä seuraavat biomiertoimet:,, 0, Pieiä biomiertoimia voi lasea ii saotu Pascali olmio avulla (uva 9) Se perustuu myöhemmi todistettavaa Pascali idetiteettii (lause 9) 90

2 À À À À À À 6 Kuva 9: Pascali olmiosta voidaa luea biomiertoimie arvoja Esimeri 9 Tarastellaa erilaisia reittejä pisteestä A pisteesee B uvassa 9 Sallitaa vai sellaiset reitit, joissa joaisella aseleella liiutaa joo ysi asel oiealle tai ysi asel ylöspäi, siis uolte osoittamii suutii Joaie tällaie reitti voidaa uvata bittijooa, jossa 0 taroittaa aselta oiealle ja taroittaa aselta ylös Esimerisi reittiä, jossa liiutaa esi pisteestä A viisi aselta oiealle ja se jälee olme aselta ylös pisteesee B, vastaa joo Ysi asel taroittaa yhde ruudu sivu mittaista siirtymistä Y B X A Kuva 9: Sallitut reitit pisteestä A pisteesee B voidaa uvata ahdesa biti jooia Huomataa, että joaie sallittu reitti muodostuu ahdesasta aseleesta, joista olme aselee pitää suutautua ylöspäi Joaista sallittua reittiä vastaa siis täsmällee ysi ahdesa biti joo, jossa o olme yöstä 9

3 Kolme yöstä sisältävä ahdesa biti joo voidaa muodostaa valitsemalla ahdesa mahdollise paia jouosta e paiat, joihi yöset tulevat Valitsemalla yöste paioisi esimerisi, ja 6 saadaa joo Kaiie mahdolliste paioje jouosta {,,,,, 6, 7, 8} valittii siis yöste paioisi osajouo {,, 6} Havaitaa, että olme yöstä sisältäviä ahdesa biti jooja o yhtä mota ui ahdesa alio jouolla o -alioisia osajouoja, siis 8 Tämä o siis myös erilaiste sallittuje reittie luumäärä pisteestä A pisteesee B Edellise esimeri päättelyä soveltamalla voidaa todistaa ii saottu Pascali idetiteetti, joho uvassa 9 havaiollistettu Pascali olmio perustuu Lause 9 (Pascali idetiteetti) Oletetaa, että, N ja 0 < < Tällöi + Todistus Tarastellaa erilaisia reittejä pisteestä A pisteesee B Sallitaa vai sellaiset reitit, joissa joaisella aseleella liiutaa joo ysi asel oiealle tai ysi asel ylöspäi, siis uolte osoittamii suutii uvassa 9 Oletetaa, että reitti pisteestä A pisteesee B muodostuu yhteesä aseleesta, joista suutautuu oiealle ja ylöspäi Samaa tapaa ui esimerissä 9 voidaa päätellä, että tällaiste reittie luumäärä o Huomataa, että joaie äistä reiteistä ulee joo pistee X tai pistee Y autta, sillä reiti viimeisei aselee pitää suutautua ylöspäi tai oiealle Y B X A Kuva 9: Joaie sallittu reitti pisteestä A pisteesee B ulee joo pistee X tai Y autta 9

4 Reitit pisteestä A pisteesee X muodostuvat aseleesta, joista appaletta suutautuu ylöspäi Niide luumäärä o Reitit pisteestä A pisteesee Y muodotuvat aseleesta, joista appaletta suutautuu ylöspäi Niide luumäärä o Kutai reittiä voidaa jataa vai yhdessä tavalla pisteestä X pisteesee B Tämä pätee myös pistee Y tapausessa Pisteestä A pisteesee B ulevie sallittuje reittie ooaismääräsi saadaa site pistee X autta ulevie ja pistee Y autta ulevie reittie luumäärie summa + Pisteestä A pisteesee B ulevie sallittuje reittie luumäärä o yt lasettu ahdella eri tavalla, ja yhdistämällä saadut tuloset voidaa päätellä, että + Seuraavasi tavoitteea o johtaa aava biomiertoimie lasemisesi ilma Pascali olmiota Siihe tarvitaa alla määriteltävää ertoma äsitettä Määritelmä 96 Määritellää luoollise luvu ertoma! asettamalla 0! ja aiilla N ( + )! ( + )! Esimeri 97 Kertoma määritelmä muaa 0! ja! 0!!!!! 6!! 6 9

5 Lause 98 Oletetaa, että N ja Luvu ertoma o luoolliste luuje,, tulo; toisi saottua! Todistus Idutiolla; jätetää harjoitustehtäväsi Lause 99 Oletetaa, että, N ja Tällöi!!( )! Todistus Todistetaa väite idutiolla luvu suhtee Aluasel: Oletetaa, että 0 Kosa N ja, ii 0 Yhtälö vasemmasi puolesi saadaa siis 0 0 Tässä äytettii tietoa, että tyhjällä jouolla o vai ysi olla-alioie osajouo, imittäi tyhjä jouo itse Yhtälö oieasi puolesi saadaa määritelmää 96 äyttäe!!( )! 0! 0!0! Yhtälö vase ja oiea puoli ovat yhtä suuret, jote yhtälö pätee Idutioasel: Aloitetaa teemällä idutio-oletus Oletetaa, että N ja että aiilla luoollisilla luvuilla pätee!!( )! Seuraavasi tavoitteea o äyttää idutio-oletuse avulla, että aiilla luoollisilla luvuilla + pätee vastaavasti + ( + )!!( + )! (IV) Oletetaa, että N ja + Jos 0, ii yhtälö (IV) o voimassa, sillä + 0 ( + )! ( + )! ( + )! 0!( + 0)! Tässä äytettii tietoa, että ( + )-alioisella jouolla o vai ysi olla-alioie osajouo, imittäi tyhjä jouo 9

6 Jos +, ii yhtälö (IV) o voimassa, sillä + ( + )! ( + )! + ( + )! ( + )!0! Tässä äytettii tietoa, että (+)-alioisella jouolla o vai ysi (+)-alioie osajouo, imittäi jouo itse Tarastellaa lopusi tapausta, jossa luvulle N pätee 0 < < + eli Tällöi voidaa äyttää Pascali idetiteettiä (lause 9), joa muaa + + Epäyhtälöistä seuraa, että 0 Kumpaai yhteelasettavaa voidaa site äyttää idutio-oletusta, jolloi saadaa! + ( )!( ( ))! +!!( )!! ( )!( + )! +!!( )! Lavetamalla esimmäistä murtolauseetta luvulla ja toista luvulla + saadaa yhteelasettavat samaimisisi ja summa voidaa sievetää ottamalla yhteie teijä: () (6)! ( + )! +!( + )!!( + )!! ( + + )!( + )!! ( + )!( + )! ( + )!!( + )! (7) Yhdistämällä yhtälöt (), (6) ja(7) saadaa haluttu yhtälö (IV): + ( + )!!( + )! Johtopäätös: Aluaseleesta ja idutioaseleesta seuraa idutioperiaattee ojalla, että aiilla N pätee: jos N ja, ii!!( )! 9

7 Esimeri 90 Esimerissä 9 pisteestä A pisteesee B johtavie sallittuje reittie luumääräsi saatii 8 Lausee 99 avulla voidaa yt lasea, että 8 8!!(8 )! 8!!! Esimeri 9 Matemaattis-luootieteellise tiedeua tiedeutaeuvostossa o 9 jäsetä Kuia moella tavalla tiedeutaeuvosto jäseistä voidaa muodostaa uusiheie toimiuta? Kuusiheie toimiuta muodostetaa valitsemalla 9 jäsee jouosta uusi jäsetä, jote erilaiste vaihtoehtoje määrä o 9 6 9! 6!(9 6)! 9! !! 6 Esimeri 9 Tiedeutaeuvosto 9 jäseestä viisi o opiselijoita Kuia moella tavalla tiedeutaeuvosto jäseistä voidaa muodostaa uusiheie toimiuta, jos siiä saa olla eitää asi opiselijaa? Kysymyse tilateessa mahdollisia ovat toimiuat, joissa ei ole yhtää opiselijaa, seä toimiuat, joissa o ysi tai asi opiselijaa Tarastellaa ämä eri vaihtoehdot erisee Toimiuta, jossa ei ole yhtää opiselijaa, voidaa muodostaa valitsemalla aii uusi jäsetä heilöua edustaja jouosta Erilaisia vaihtoehtoja o site! !7! 6 Toimiuta, jossa o tasa ysi opiselija, voidaa muodostaa valitsemalla esi ysi jäse viide opiselija jouosta ja valitsemalla se jälee loput viisi toimiua jäsetä heilöua edustaja jouosta Erilaisia vaihtoehtoja o! 87 6!8! Toimiuta, jossa o tasa asi opiselijaa, voidaa muodostaa valitsemalla esi asi jäsetä viide opiselija jouosta ja se jälee loput eljä toimiua jäsetä heilöua edustaja jouosta Erilaisia vaihtoehtoja o site!!!! !9! 96

8 Sellaiste toimiutie luumäärä, joissa o eitää asi opiselijajäsetä, saadaa yt lasemalla yhtee iide toimiutie määrät, joissa o 0, tai opiselijajäsetä Erilaisia vaihtoehtoja o yhteesä