z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

Transkriptio

1 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä tehtävät taululla. Tämän lisäsi julaistaan eriseen ullain viiolla sähöisesti palautettavia harjoitusia erillisten ohjeien muaan. Taristaaa, että luentoalvojen opiossanne on oiea erroin: Jos 0 on m-asteen napa, ls missä g() ( 0 ) m f(). Res f() 0 (m )! g(m ) (0) A Lase funtion f() sin( 2 + ) Taylor sarja ehitysesusena 0 i. Rataisu: Funtion f() Taylorin sarja on muotoa f() n0 a n( 0 ) n, missä ertoimet a n ovat vaioita ja 0 on ehitysesus. Tässä tehtävässä f() sin( 2 + ), 0 i ja ertoimet a n pitää lasea. Kosa 2 + voiaan muistiaavan avulla irjoittaa muotoon 2 + ( i)( + i), saaaan sin-funtion Maclaurin-sarjaa äyttäen tulos: sin( 2 + ) (2 + )! (2 + ) 2+ (2 + )! ( i)2+ ( + i) 2+. Sisi un funtioon f() sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: a n f (n) n! 2πi C sin( 2 + ) ( i) n+ 2πi C ( + i) 2+ (2 + )! ( i) n 2, missä polu C iertää pisteen i. Huomataan, että integraalin sisälle jäävän summan termit ovat analyyttisiä, un 2 n, sillä tälläin termien potenssit ovat positiivisia. Analyyttisten termien integraalit suljetun polun yli ovat nollia. Tämän perusteella yllä olevasta lauseeesta johettua ysytyn Taylor-sarjan ertoimet. Haluttu tulos saaaan äyttämalla taas Cauchyn integraalilausetta ja aavaa: j x j xl l! (l j)! xl j. Käsitellään ensin tapaus, jossa n on parillinen eli n 2m: a 2m f (2m) 2m! m m m m (2 + )! ( ( + i) 2+ ) (2 + )! 2πi C ( i) 2m 2 ( (2m 2 )! x 2m 2 ( + i)2+) i 2m 2 ( (2 + )! (2 + )! (2m 2 )!(4 2m + 2)! (2i)4 2m+2) (2m 2 )!(4 2m + 2)! (2i)4 2m+2. Tapausessa, jossa n on pariton eli n 2m +, saaaan vastaavalla tavalla tulosesi: a 2m+ f (2m+) m (2m + )! (2m 2 + )!(4 2m + )! (2i)4 2m+.

2 A2 Lase funtion f() sin( 2 ) MacLaurin -sarja. Lase ensin sin() MacLaurin sarja, ja äytä sitä hyväsesi. Lase vastaavasti Laurent-sarja funtiolla g() 2 e pisteen 0 ympäristössä. Rataisu: Kun f() sin(), pätee erivaatoille f (4n) (0) sin(0) 0, f (4n+) (0) cos(0), f (4n+2) (0) sin(0) 0, f (4n+3) (0) cos(0), missä n 0. Huomataan siis, että sin-funtion MacLaurin-sarjassa parilliset erivaatat atoavat ja että sarja voiaan irjoittaa muoossa: sin (2 + )! 2+. Näin ollen ensimmäinen ysytty sarja on sin( 2 ) e!, mistä saaaan toinen ysytty sarja 2 e 2! 2 (2+)! 4+2. Vastaavasti pätee (+2)!. A3 Määrittele seuraavien funioien singulariteetit ja nollaohat omplesitasossa moniertoineen.. f() 2 ( ) 2. f() f() sin() Rataisu:. Ei nollaohtia, singulariteetit nimittäjän nollaohat ( ) 0, ummatin ertaluua ( 2 +). Singulariteetit {0, ±i} ja nollaohat eli 2 ( ± i 3), aii ertaluua. 3. Potentiaaliset nollaohat sin() 0, eli πn. Potentiaaliset singulariteetit 0. Jouot leiaavat, tutitaan taremmin pistettä 0. lim 0 f() sin() 0 { 0,, 0 Kysymysessä ei siis ole singulariteetti, eiä nollaohta. Tämän voi nähä myös Taylor (Laurent) sarjasta pisteessä 0 0: f() 0 2+ (2 + )! 0 2 (2 + )! 2 3! + 4 5!...

3 A4 m a ( i) on funtion f() onvergoi ja mitä arvoja m voi saaa jos a m 0? Taylor- tai Laurent-sarjaa. Missä sarja Rataisu: Singulariteetit i i, 0,, i, joien vastaavat etäisyyet ehitysesusesta 0 i ovat r j i i, i 0, i, i + i 0,, 2, 2. Suppenemisalue on muotoa { : r j < 0 < r j+ }, jossa asetamme r 5. Suppenemisalue on siis oo avaruus poisluien i-esiset ympyrät, joien säteinä 0,, 2 ja 2 ovat. Kosa f():lla on pisteessä i astetta ysi oleva napa, voi Laurentin lauseen perusteella voi olla a m 0, un m, mutta a m 0 aiilla m <. L Oloon f() analyyttinen funtio, jona Taylor sarja on a ( ). Lausu seuraavat lauseeet sarjan ertoimien avulla: r Res 2 f(), r 2 Res ( 2 f()) ja r 3 Res 2 f (). Rataisu: Tehtävänannossa on irjoitusvirhe, jona johosta rataisu on erittäin helppo. Funtio 2 f() on nimittäin analyyttinen pisteessä, eiä sillä näin ollen ole siinä napaa. Tästä syystä aii ysytyt resiyt ovat nollia. Tehtävässä pyyettiin alunperin lasemaan resiyt: r Res ) 2 f(), r 2 Res (( ) 2 f()), r 3 Res ) 2 f (). Kosa f() a ( ) on funtiolla ( ) 2 f() a ( ) 2 asteen 2, funtiolla x ( ) 2 f() a ( ) 2 asteen 3 ja funtiolla ( ) 2 f () a ( ) 3 asteen 3 napa pisteessä. Näin ollen on harjoitustehtäväpaperin alussa esitetyn resiyjen lasemista osevan lauseen perusteella: r Res ( ) 2 f() [( )2 r 2 Res [ a ( ) ] [( ) 2 f()] [( )3 [ a ( ) 2 ] a ( ) a, [( )3 [ a ( 2)( ) 3 ] a ( 2)( ) ] a ( 2)( ) a, r 3 Res ( ) 2 f () 2! 2 [( ) a ( ) a 2 ( )( ) 2 2a a ( ) 2 ]] a ( ) 3 ] L2 Oloon f() a + b cos + c sin ja g() a + b cos + c sin. m) Jos g() αf(), mitä ovat a, b, c?

4 ) Jos g() f (), mitä ovat a, b, c? i) Jos g() f(), mitä ovat a, b, c? Anna matriisi A, jossa m,, i, un a b c ussain eellä luetellussa tapausessa. A a b c Sanomme että (ertoimien) ertominen matriisilla A vastaa (funtion f) erivointia. Rataisu: Kohassa m), jossa g() αf(), on a αa, b αb, c αc ja A m α α 0 αi. 0 0 α Kohassa ) g() f (), on a 0, b c, c b ja A Kohassa i) g() f(), on a a + C, b c, c b ja a + C 0 0 A i L3 Lase funtion f(x) sin(3x) (omplesinen) Fourier-sarja ˆf e it, un jaso T 2π. Rataisu: Helpointa: i sin(3x) sinh(3ix) 2 (e3ix e 3ix ) eli ˆf±3 i 2 ja ˆf 0 un 3. Toi integroiain voi. L4 Jos T -jasollisella funtiolla f : t R f(t) C on Fourier sarja α e it/t, miä on funtion f(2t + b) Fourier-sarja β e it/t? Tässä b R. Vihje: Tuti ensin tapausta b 0. Rataisu: f(a + bt) α e i(2t+b)/t α e ib/t e i2t/t α e }{{ ib/t e } 2i t/t vaio i t/t β e eli β 2 α e ib/t ja β 2+ 0.

5 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä tehtävät taululla. Tämän lisäsi julaistaan eriseen ullain viiolla sähöisesti palautettavia harjoitusia erillisten ohjeien muaan. Taristaaa, että luentoalvojen opiossanne on oiea erroin: Jos 0 on m-asteen napa, Res f() 0 (m )! g(m ) (0) ls missä g() ( 0 ) m f(). A Lase funtion f() sin( 2 + ) Taylor sarja ehitysesusena 0 i. i) Jos g() f(), mitä ovat a, b, c? Anna matriisi A, jossa m,, i, un a a b A b c c ussain eellä luetellussa tapausessa. Sanomme että (ertoimien) ertominen matriisilla A vastaa (funtion f) erivointia. L3 Lase funtion f(x) sin(3x) (omplesinen) Fourier-sarja ˆf e it, un jaso T 2π. A2 Lase funtion f() sin( 2 ) MacLaurin -sarja. Lase ensin sin() MacLaurin sarja, ja äytä sitä hyväsesi. Lase vastaavasti Laurent-sarja funtiolla g() 2 e pisteen 0 ympäristössä. A3 Määrittele seuraavien funioien singulariteetit ja nollaohat omplesitasossa moniertoineen. L4 Jos T -jasollisella funtiolla f : t R f(t) C on Fourier sarja α e it/t, miä on funtion f(2t + b) Fourier-sarja β e it/t? Tässä b R. Vihje: Tuti ensin tapausta b 0.. f() 2 ( ) 2. f() f() sin() A4 m a ( i) on funtion f() Taylor- tai Laurentsarjaa. Missä sarja onvergoi ja mitä arvoja m voi saaa jos a m 0? L Oloon f() analyyttinen funtio, jona Taylor sarja on a ( ). Lausu seuraavat lauseeet sarjan ertoimien avulla: r Res 2 f(), r 2 Res ( 2 f()) ja r 3 Res 2 f (). L2 Oloon f() a + b cos + c sin ja g() a + b cos + c sin. m) Jos g() αf(), mitä ovat a, b, c? ) Jos g() f (), mitä ovat a, b, c?