V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M

Transkriptio

1 V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus on x. Sopimus: tässä x x = myös, un x = x. Potenssisarjan osasummat ovat siis polynomeja. Usein x =, jolloin sarja on a x... Abelin lause. a Jos P suppenee eräällä x = x x, niin se suppenee itseisesti joaisella x R, jolle x x < x x. b Jos P ei suppene itseisesti eräällä x = x 2, niin P hajaantuu joaisella x R, jolle x x > x 2 x. Tod. a Kosa a x x suppenee, niin termien jono on rajoitettu ts. on olemassa M < s.e. a x x M < M aiilla N {}. Tällöin a aiilla N {}. x x x x Oletetaan, että x x < x x. Kosa nyt <, niin geometrinen sarja x x M x x suppenee ja x x a x x M x x x x = M x x N {}. x x Siis majoranttiperiaatteen muaan b Jos oletetaan, että a x x suppenee. a x x suppenee, un x x > x 2 x, niin a-ohdan nojalla a x 2 x suppenee itseisesti. RISTIRIITA..2. Huom. a-ohdan todistusessa riitti tietää, että jouo {a x x N} on rajoitettu ts. että sup a x x <. N x.3. Esim. Sarja suppenee pisteessä x = vuorotteleva harmoninen sarja, Leibniz ja hajaantuu, un x = harmoninen sarja. Abelin lauseen nojalla sarja suppenee, un x <, ja hajaantuu aina, un x >. Siis sarja suppenee x <. 9

2 Tarastellaan edelleen potenssisarjaa P. Meritään E = {x R P suppenee}, jolloin ainain x E, ja R = sup{ x x : x E} ja voi olla =..4. Lause. a Jos R =, P suppenee vain arvolla x = x. b Jos R =, P suppenee itseisesti aiilla x R. c Jos < R <, P suppenee itseisesti, un x x < R, ja hajaantuu, un x x > R. Tod. a Oloon x R, x x. Jos R =, niin { x x : x E} = {}, joten x x { x x : x E}. Siis x E, ts. P hajaantuu, un x = x. b Oloon x R. Kosa R =, niin { x x : x E} ei ole ylhäältä rajoitettu. Siis on olemassa sellainen x E, että x x < x x. Nyt sarja a x x suppenee, osa x E, joten Abelin lauseen muaan sarja a x x suppenee itseisesti. c Oloon x R, x x < R = sup{ x x : x E}. Supremumin määritelmän muaan on olemassa x E s.e. x x < x x. Abelin lauseen nojalla a x x suppenee itseisesti. Jos taas x x > R, niin x E ja a x x hajaantuu. Edellä luu R tai R = on potenssisarjan P suppenemissäde. Jos < R <, avoin väli ]x R, x +R[ on P:n suppenemisväli; jos R =, P:n suppenemisväli on R = ], [. Huom. Jos < R <, suppenemisväli voi olla E = {x R P suppenee}. Itse asiassa L.4.c muaan ]x R, x + R[ E [x R, x + R], joten E on join väleistä ]x R, x + R[, [x R, x + R[, ]x R, x + R], [x R, x + R]..5. Esimerejä. Geom. sarja 2 Oloon < R <. Sarja x ] R, R[. Suppenemissäde on siis = R. x suppenee x ], [. Suppenemissäde =. R x = x x suppenee geom. < R R 3 Sivujen 66 ja 76 esimerien muaan sarja summa = e x, joten suppenemissäde =. 4 Sarja!x hajaantuu, un x >, sillä tällöin +! x +! x = + x >, un > x suhdetesti. Siis suppenemissäde = ja sarja suppenee vain arvolla x =. 92 x! suppenee itseisesti x R ja sen

3 5 Esimerin.3 sarja esimerin IV.3.7 perusteella x suppenee x [, [ ts. suppenemissäde =. Itse asiassa 6 Sarja x 2 x = x = ln x x [, [. suppenee itseisesti, un x tällöin x 2, ja yliharmoninen sarja = x x >. + 2 suppenee, ja hajaantuu, un x > tällöin x : x Suppenemissäde on =, ja sarja suppenee x [, ]. Esim. Oloon potenssisarjan a x 2 suppenemissäde? a x suppenemissäde = R, < R <. Miä on sarjan { Rat. Tutittava potenssisarja on b x al, un = 2l parillinen,, missä b =, un pariton. Ol. = a y suppenee, un y < R, hajaantuu, un y > R. = = a x 2 suppenee, un x 2 = x 2 < R, hajaantuu, un x 2 > R. a x 2 suppenee, un x < R, hajaantuu, un x > R. Kysytty suppenemissäde on siis = R..6. Huom. Edellä on äytetty seuraavaa Abelin lauseeseen perustuvaa päättelyä: a P suppenee arvolla x = x = suppenemissäde x x, b P ei suppene itseisesti arvolla x = x 2 = suppenemissäde x 2 x. Eräissä tapausissa suppenemissäteen voi päätellä helposti potenssisarjan ertoimista:.7. Lause. Potenssisarjan P suppenemissäteelle R on voimassa: a Jos on olemassa M < s.e. a M aiilla, niin R. b Jos on olemassa m > s.e. a m aiilla, niin R. c Jos on olemassa m >, M < s.e. m a M aiilla, niin R =. Tod. a x x < = a x x M x x aiilla. Siis P suppenee itseisesti suppeneva geom. majorantti M x x, joten R. b x x = = a x x m x x = m >. Siis P hajaantuu ja R. c seuraa a ja b-ohdista. 93

4 .8. Lause. Jos raja-arvo a lim = R R { } tai b lim a = R R { }, a a + niin tämä raja-arvo on potenssisarjan P suppenemissäde. Huom: Tässä täytyy olla a aiilla jollain N. Tod. a a x x = x x / a < R <. Juuritestin muaan x x /R, un < R <,, un R =,, un R =, x x. a x x suppenee, un x x /R < eli x x < R, ja hajaantuu, un x x /R > eli x x > R. Siis potenssisarjan P suppenemissäde = R. 2 R =. Oloon x R. Tällöin on olemassa s.e. a x x < 2 aiilla. Siis a x x suppenee, joten P:n suppenemisäde =. 3 R =. Oloon x x. Tällöin on olemassa 2 s.e. a x x aiilla 2. Siis a x x hajaantuu, joten P:n suppenemisäde =. b Todistus vastaavasti suhdetestin avulla, lähtöohtana a + x x + a x x = x x a /a +, x x. Huom. Yleisesti suppenemissäde =.9. Esimerejä. Miä on sarjan Kosa niin suppenemissäde = e. lim n sup n a.! x suppenemissäde?! : +! + + = + e, 2 Miä on sarjan 2 + x + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + x suppenemissäde? {, un on pariton, Rat. Sarja on muotoa a x, missä a = 2, un on parillinen. L.7.c muaan suppenemissäde =. Tämä seuraa myös L.8.a:sta, sillä aiilla on a 2 /, joten lim =. L.7.b ei toimi, sillä a a { 2, un parillinen, = a + 2, un on pariton. Ei siis ole raja-arvoa. 94

5 Tarastellaan potenssisarjaa V.2. Potenssisarjan summafuntion ominaisuusia P a x x. Termifuntioilla x a x x on oo R:ssä aiien ertaluujen derivaatat. Erityisesti ne ovat jatuvia ja integroituvia joaisella suljetulla välillä. Oloon P:n suppenemissäde = R > ja suppenemisväli ]x R, x + R[ = ], [ = R, jos R =. 2.. Lause. P suppenee tasaisesti joaisella välillä [x ρ, x + ρ], missä < ρ < R. Tod. Jos x [x ρ, x + ρ], niin a x x = a x x a ρ. Kosa x + ρ ]x R, x + R[ = P:n suppenemisväli, niin P suppenee itseisesti arvolla x = x + ρ, ts. a ρ suppenee. Weierstrassin testin muaan P suppenee tasaisesti välillä [x ρ, x + ρ] Lause. P:n summafuntio on jatuva suppenemisvälillä ]x R, x + R[. Tod. Oloon x ]x R, x +R[, ts. x x < R. Valitaan sellainen ρ, että x x < ρ < R. L IV L 2. = summa on jatuva välillä [x ρ, x + ρ], erityisesti välin [x ρ, x + ρ] sisäpisteessä x. Huom. L 2.2 seuraa myös myöhemmästä Lauseesta Jos P suppenee myös suppenemisvälin päätepisteessä, summan mahdollinen toispuolinen jatuvuus tässä pisteessä on selvitettävä eriseen vrt. Esim. IV.3.7. Kun P derivoidaan formaalisti termeittäin, saadaan potenssisarja dp a x x Lause. Sarjoilla P ja dp on sama suppenemissäde. Tod. Oloon P:n suppenemissäde = R R { } uten edellä ja dp:n suppenemissäde = R R { }. On osoitettava, että R = R. Väite. R R. T. Jos R =, tämä on selvä. Oloon siis R >. Oloon x ]x R, x + R [ = dp:n suppenemisväli, jolloin dp suppenee itseisesti arvolla x = x. Kosa a x x x x a x x N, }{{} vaio :n suhteen niin majoranttiperiaatteen nojalla P suppenee itseisesti arvolla x = x. itseisesti ainain, un x x < R, ja siis R R. Siten P suppenee 95

6 Väite 2. R R. T. Jos R =, tämä on selvä. Oloon siis R >. Oloon x ]x R, x + R[ = P:n suppenemisväli. Valitaan ρ R s.e. x x < ρ < R, jolloin P suppenee arvolla x = x + ρ eli sarja a ρ suppenee. Tällöin on olemassa M s.e. a ρ M < aiilla. Siis Tässä sarja a M ρ = a x x M ρ x x aiilla N. ρ M ρ x x suppenee, osa L.8.b muaan sarjan x suppene- ρ missäde =. Majoranttiperiaatteella sarja dp suppenee itseisesti arvolla x = x. Siten dp suppenee itseisesti ainain, un x x < R, ja siis R R. Kun sarja P integroidaan termeittäin x :sta x:ään, saadaan potenssisarja ip a + x x + x a t x dt = a / x x t x + + = a + x x +. Kun ip derivoidaan termeittäin, saadaan taas P. Lauseen 2.3 muaan P:llä ja ip:llä on sama suppenemissäde. Oloon P:n suppenemissäde = R >. Tällöin siis sarjoilla P, dp ja ip on sama suppenemisväli ]x R, x + R[ = R, jos R = Lause. Potenssisarjan P summafuntio Sx = ]x R, x + R[ ja se voidaan derivoida termeittäin: S x = a x x on derivoituva välillä a x x aiilla x ]x R, x + R[, ja lisäsi myös integroida termeittäin: x St dt = a + x x + aiilla x ]x R, x + R[. Tod. Oloon x ]x R, x + R[. Valitaan ρ s.e x x < ρ < R. Lauseen 2. muaan P ja dp suppenevat tasaisesti välillä [x ρ, x + ρ]. Ensimmäinen väite seuraa Lauseesta IV.3.8 ja jälimmäinen L IV.3.6:sta. 96

7 2.5. Lause. Potenssisarjan P summafuntiolla S on välillä ]x R, x +R[ R > aiien ertaluujen derivaatat, jota saadaan derivoimalla termeittäin eli S n x =... n + a x x n =n aiilla x ]x R, x + R[, n N. Erityisesti on aiilla n N S n x = n!a n ja Sx = a. Tod. Sovelletaan Lausetta 2.4 sarjaan dp sama suppenemisväli, jolloin S on derivoituva välillä ]x R, x + R[ ja S x = a x x 2 ja S x = 2! a 2. =2 Toistamalla tätä päättelyä saadaan väite Seuraus potenssisarjan ysiäsitteisyys. Jos potenssisarjat a x x ja b x x suppenevat ja esittävät samaa funtiota jossain pisteen x ympäristössä, niin a = b aiilla Esim. Määritä funtion fx = :s derivaatta pisteessä. x2 Kosa aiilla x ], [ on fx = x 2 = + x2 + x x 98 + x +... = niin f =! a =! ja yleisesti f = 2.8. Esimerejä. Kosa ja yleisesti a x, {!, un parillinen,, un pariton. x = x, un x <, niin aiilla x ], [ on x 2 = D = x x, 2 x 3 = D x 2 = 6 x 4 = D 2 x 3 = n! n 2! x n = D x n = =n 97 x 2, =2 2x 3 =3... n + 2x n+.

8 2 Geometrisen sarjan summaaavan nojalla on Darc tan t = + t 2 = t2 + t 4 t = t 2 = t 2, un t <, ja siis suppenemissäde =. Suoraan L 2.4 jälimmäisen osan nojalla on arc tan x = dt + t 2 = = x x3 3 + x5 5 x t 2 dt = x = Sx ja tulos pätee ainain aiilla x ], [. Jos x >, niin sarja hajaantuu, osa suppenemisäde =. Jos x [, ], niin vuorotteleva sarja toteuttaa Leibnizin lauseen ehdot, joten R n x x 2n+ 2n + 2n + = sup R n x x [,], un n. 2n + Siis sarja suppenee tasaisesti välillä [, ], jolloin sarjan summa S on jatuva välillä [, ]. Tämän nojalla arc tan = lim arc tan x = lim Sx = S x x ja vastaavasti arc tan = S. Siis arc tan x = x = x x3 3 + x5 5 x , un x [, ]. Sijoittamalla x = saadaan hitaasti suppeneva sarja π 4 = Integroi termeittäin rajojen ja x välillä potenssisarja x x2 2 + x3 3 x Miä on saadun sarjan summa? Rat. Meritään Sx = x x2 2 + x3 3 x = x un sarja suppenee. Nyt a = ja a a + = + = + = R =. Lauseen 2.4 nojalla sarja voidaan integroida ja derivoida termeittäin, un x <. Tällöin T x = S x = St dt = x = t dt = x + +, x = + x, 98

9 ja T x = Sx = S + = os.int. St dt = +x / u ln u S t dt = ln + t dt = +x +x dt = ln + x + t Sij. + t = u ln u du dt = du u du = + x ln + x x. u Kun x, niin x Kosa 2 suppenee, niin integroinnilla saatu sarja suppenee tasaisesti välillä [, ], joten summafuntio x T x on jatuva välillä [, ]. Siis T = lim T x = 2 ln 2 ja T = lim T x =, sillä x x + lim + x ln + x = lim x + Tulos: T x = t et t = mer. ln + x = t + x = e t. x + + = { + x ln + x x, un x ], ];, un x = Määritelmä. Funtio f: R on analyyttinen avoimella välillä, jos joaista pistettä x ohti on olemassa x :n ympäristö U, jossa f voidaan esittää potenssisarjana fx = a x x, x U. Kun R on avoin väli, meritään C ω = {f: R f on analyyttinen}, C = {f: R funtiolla f on aiien ertaluujen jatuvat derivaatat}, C = {f: R f on jatuva}, un N, C = {f: R f on jatuva} = C. Lauseen 2.5 muaan analyyttinen funtio on C. Lisäsi pätee: C ω C... C... C 2 C C, missä joa ohdassa on aito osajouo ja muut ohdat ovat selviä paitsi tapaus C ω C. Tämän ohdan rataisee seuraava esimeri: 2.. Esim. Oloon f: R R, fx = {, un x, e /x, un x >. Osoitetaan, että f C R, mutta f C ω R. Raja-arvosta lim x + e /x = = f seuraa f:n jatuvuus. Lisäsi f = ja x > : fx f x = e /x x 99 = f + =, x +

10 joten f =. Kosa f x =, un x <, ja x > = f x = e /x y 2 x 2 = y=/x e y niin f on jatuva eli f C R. Selvästi f x = aiilla N, un x <., un x + y, y Väite: f x = e /x P /x aiilla x >, P t polynomi, jona aste deg P t = 2. T. Indutio :n suhteen. Tapaus = edellä. Indutio-oletus: Kaava pätee eräällä, P t = a + a t a 2 t 2, a 2. Derivoimissääntöjen muaan aiilla x > on missä P + t = f + x = D e /x 2 i= = e /x P + /x, 2 i= ia i t i+ + 2 i= a i x i = e /x a i t i+2. 2 Väite: f = aiilla N. T. Indutio :n suhteen. Tapaus = edellä. Indutio-oletus: f = pätee eräällä. On osoitettava, että f + = eli 2 i= f x f lim = lim x x x x f x =. ia i x i+ + e /x 2 x 2 a i x i i= Triviaalisti lim x x f x =, sillä f x =, un x <. Osoitettavasi siis jää, että lim x + x f x =. Kosa f x = e /x P /x aiilla x >, niin riittää osoittaa, että lim x + e /x Q/x =, Q polynomi. Tähän tarvitaan tieto, että joaisella iinteällä p N on p y p lim x + e /x = lim x y e y =, miä jo onin tuttu juttu s. Myrberg, L Nyt on siis osoitettu, että f C R ja että f = aiilla. Jos f olisi analyyttinen, niin jossain :n ympäristössä olisi fx = a x. Kosa f = ja f:n aii derivaatat :ssa ovat =, niin L 2.5 muaan a = aiilla, jolloin fx = pisteen ympäristössä. Tämä on RISTIRIITA, joten f C ω R.