Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Transkriptio

1 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle / Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=, jossa a n = n 2, un n N? b) (b n ) n=, jossa b n = 3n 2 n, un n N? c) (c n ) n=, jossa c = ja c n+ = + 2c n c 2 n, un n N? Rataisu : Kasi ensimmäistä jonoa voidaan lasea suoraan sijoittamalla ja olmas jono reursiivisesti. a) (a n ) 5 n= = (, 3, 8, 5, 24) b) (b n ) 4 n= = (,, 2,, 4) c) (c n ) 5 n= = (,, 2,, 2) Rataisu 2: Edellisen tehtävän jonoista a) ylhäältä rajoitettuja ovat b) ja c), b) alhaalta rajoitettuja ovat a) ja c), c) jono c) on rajoitettu, d) jono a) on nouseva, e) miään jono ei ole laseva, f) jono a) on monotoninen, g) miään jono ei suppene, h) aii jonot hajaantuvat. Perusteluja: Jono a on nouseva, sillä a n+ = (n + ) 2 = n 2 + 2n + > n 2 = a n n N. Jonon termit ovat positiivisia, joten se on alhaalta rajoitettu. Jono ei uitenaan ole ylhäältä rajoitettu, sillä joaiselle luvulle C R on olemassa termi a nc > C. Valitaan esim. n C oonaisluvusi, joa on luua C suurempi. Kosa jono ei ole rajoitettu, ei se myösään suppene. Jono b on ylhäältä rajoitettu, sillä se on termin b 2 jäleen laseva. Tämän voi perustella lasemalla b n+ = 3(n + ) 2 n+ = 3n 2 2 n + 3 = 3n 2 n n = b n n ja toteamalla, että b n+ < b n, jos 3 2 n < eli un n 2. Jono ei ole uitenaan alhaalta rajoitettu, joten se ei suppene. Jono c on jasollinen ja näin ollen myös rajoitettu.

2 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Tehtävä 3: Tarastellaan palautusaavaa a n+ = 2a n +. Osoita, että aavalla a n = 2 2 n määritelty luujono toteuttaa palautusaavan aiilla n N. Rataisu 3: Todistetaan väite indutiolla.. Aluasel: Kaavan muaan a = 2 2 = 3 ja a 2 = 2 4 = 7. Myös palautusaavan muaan pätee a 2 = 2 a + = = Indutioasel: Oletetaan, että luujono toteuttaa palautusaavan indesillä n. Tarastellaan luujonon termiä a n+ an+ = 2 2 n+ = n = 2 (2 2 n + ) = 2 (2 2 n ) + 2 = 2 (2 2 n ) + = 2a n +. Kosa oletettiin, että a n saadaan lasettua palautusaavalla ja osa a n+ = 2a n +, voidaan indutioperiaatteen nojalla todeta, että palautusaava pätee aiilla oonaisluvuilla. Tehtävä 4: Määritä jonon (a n ) raja-arvo L, un a n = ja muodosta onreettinen lausee määritelmässä esiintyvälle luvulle n ε. Rataisu 4: Raja-arvo saadaan lasemalla 5n2 n 2 + 3, n n ε a n L < ε 5n 2 a n = n n = 5 n + 3 = 5 + = 5, n 2 3 sillä n =. Muodostetaan vielä lausee määritelmän luvulle n n 2 ε. Lasetaan erotus a n L = 5n 2 n = n 2 n n2 + 5 n = 5 n = 5 n Jotta pätee a n L < ε, on oltava 5 n < ε 5 n > ε 3 5 ja indesisi n ε voidaan ottaa ε 2

3 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Tehtävä 5: Tarastellaan luujonoa (a n ) n=, a = 2, a n+ = a n 2 + a n, un n N. a) Määritä jonon (a n ) viiden ensimmäisen termin liiarvot. b) Määritä jonon (a n ) raja-arvo L, un oletetaan tunnetusi, että raja-arvo on olemassa. Rataisu 5: a) Termit ovat (a n ) 4 n= (2,.5,.4667,.4422,.442) b) Oletetaan, että n a n = a. Tällöin pätee a = a 2 + a a 2 = 2 a = ± 2. Näistä juurista oiea raja-arvo on + 2, sillä jonon termit ovat positiivisia. Tehtävä 6: Eräässä tietoonepelissä voi joaiselta tasolta edetä seuraavalle tasolle ahta eri reittiä pitin tai suoraan asi tasoa ylöspäin olmea eri reittiä pitin. Meritään lähtötasolta tasolle n johtavien erilaisten reittien luumäärää symbolilla a n, jolloin a n+2 = 2a n+ + 3a n. a) Osoita, että lausee a n = A 3 n +B ( ) n toteuttaa palautusaavan aiilla n, un A, B R ovat vaioita. b) Totea, että a = 2 ja a 2 = 7. Määritä tämän perusteella vaiot A ja B. Rataisu 6: a) Todistetaan väite indutiolla. (a) Aluasel: Kaavan muaan a = A + B, a = 3A B ja a 2 = 9A + B. Myös palautusaavan muaan pätee a 2 = 2a + 3a = 2 (3A B) + 3 (A + B) = 9A + B. (b) Indutioasel: Oletetaan, että luujono toteuttaa palautusaavan indesiin n asti. Tarastellaan luujonon termiä a n+ a n+ = A 3 n+ + B ( ) n+ = 3 A 3 n + B ( ) n = 2 (A 3 n + B ( ) n B ( ) n ) + A 3 n B ( ) n = 2a n + A 3 n 3 B ( ) n = 2a n + 3 A 3 n + 3 B ( ) n = 2a n + 3a n. Kosa oletettiin, että palautusaava toimii indesiin n asti ja osa a n+ saatiin myös lausuttua samalla palautusaavalla, voidaan indutioperiaatteen nojalla todeta, että palautusaava pätee aiilla oonaisluvuilla. b) Ensimmäiselle tasolle johtaa asi reittiä ja toiselle = 7. Näin ollen { { 3A B = 2 A = 3/4 9A + B = 7 B = /4 Sarjat Palautettava tehtävä 7: Lase sarjan summa tai perustele sarja hajaantuvasi. 3

4 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 a) b) c) Rataisu 7: a) Sarja on suppeneva geometrinen sarja, sillä q = /3 < = = = 5 27 /3 = b) = = ( ) 5 3 Sarja on geometrinen sarja, joa ei suppene, sillä q = 5/3 >. c) Sarja voidaan lausua ahden suppenevan sarjan summana, joten se suppenee ( ) 2 ( 3 = + = = 2 2/ /5 = 55 6 ) Palautettava tehtävä 8: Suppeneeo sarja? Perustele. a) 2 +. b) Millä parametrin x R arvoilla seuraavat sarjat suppenevat? d) x. Rataisu 8: Tutitaan sarjojen suppenemista. a) Sarja e) suppenee majoranttiperiaatteen muaan, sillä x! < 2 aiilla N, 4 c) f) 2 (2)!. ( ) (2)! x2.

5 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 ja tiedetään (s. luentoalvot), että yliharmoninen sarja 2 suppenee. b) Sarja hajaantuu, sillä c) Sarja suppenee suhdetestin perusteella: a + a = = 2 + (2(+))! 2 (2)! =. 2 (2)! ja tästä nähdään edelleen a + /a = < d) Sarja x + + x = 2+ (2)! 2 (2 + 2)! = 2 (2 + 2) (2 + ) suppenee suhdetestin perusteella, un = + x = x < Tarastellaan eriseen tapauset x =. Kun x =, sarja on muotoa eli se hajaantuu (harmoninen sarja). Kun x =, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja x, ( ), joa suppenee. Aluperäinen sarja suppenee siis, un x < 5

6 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 e) Sarja x!. suppenee suhdetestin perusteella aiilla x R, sillä x + (+)! = x + = aiilla x. f) Sarja x! x!. suppenee suhdetestin perusteella aiilla x R, sillä ( ) + x 2+2 (2+2)! = x 2 (2 + 2)(2 + ) = aiilla x. ( ) x 2 (2)! Palautettava tehtävä 9: (Tässä tehtävässä täytyy hieman muistella derivoimista, johon palataan myöhemmin urssilla.) Johda tara arvo sarjan summalle derivoimalla x:n suhteen puolittain (eli aii termit eriseen) geometrisen sarjan summan aavaa x =, x <. x 2 Rataisu 9: Derivoidaan osasummien aavaa n x = xn+ x puolittain: d dx d dx n x = n x, + x = ( x) 2 (n + )xn ( x) + + ( x) 2 = 6 ( x) + xn (nx n ). 2 ( x) 2

7 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Nyt saatiin osasummille lausee n x = Olettamalla x < saadaan sarjan summalle aava sillä ( x) + xn (nx n ). 2 ( x) 2 x = ( x) 2, (nx n ) =, n ( x) 2 un x <. Yllä olevan raja-arvon voi päätellä seuraavan aputulosen avulla. Jos x <, pätee Meritään a n = n. Nyt pätee n nxn =. a n+ = n + n x a n. }{{} q n Kosa x <, pätee jostain indesistä n eteenpäin q N <, N > n ja luujono a n = n suppenee tämän perusteella nollaan (vertailu geometriseen luujonoon b n+ = q n b n ). Lasetaan vielä aluperäisen sarjan summa: 2 = ( /2) = 4. 2 Palautettava tehtävä : (Tässä tehtävässä täytyy hieman muistella integroimista, johon palataan myöhemmin urssilla.) Tarastelaan geometrisen summan aavaa, un suhdeluuna on q = x: x + x 2 x 3 + x 4 + ( x) n = ( x)n ( x) = xn ( )n + x + x. a) Millainen yhtälö saadaan, un yllä oleva yhtälö (eli aii termit eriseen) integroidaan puolittain välillä x [, ]? b) Perustele, että millä tahansa n N pätee: < + x dx < n +. 7

8 MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 c) Päättele edellisten ohtien avulla vuorottelevan harmonisen sarjan summa. ( ) Rataisu : a) Integroidaan yhtälö n puolittain, jolloin saadaan yhtälö n ( x) dx = ( n n ( ) + ( x) = + x ( ) + x+ ( )n xn + x dx ( )n + x ) = ln( + x) ( ) n = ln(2) ( )n + x dx. + x dx + x dx b) Kun x (, ), pätee < xn +x < xn, joten voidaan arvioida Tästä seuraa < + x dx < dx = n + dx =. n + x c) Yhdistämällä edellisten ohtien tuloset, saadaan b) = ln 2. ( ) + = n ( ) n + + = n +. a) = ln 2 ( ) n n + x dx 8