Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett jakauma Dskreett satuasmuuttuja Dskreett tasae jakauma Ekspoettjakauma Geometre jakauma Hupukkuus Hypergeometre jakauma Jatkuva jakauma Jatkuva tasae jakauma Jatkuva satuasmuuttuja Kertymäfukto Keskee raja-arvolause Keskusmomett Kvatl Kvartl Medaa Momett Mood Negatve bomjakauma Normaalapproksmaato Normaaljakauma Odotusarvo Orgomomett Otata Otata palauttae Otata palauttamatta Paopste Pste Pstetodeäkösyys Pstetodeäkösyysfukto Posso-jakauma Porrasfukto Prosettpste Rppumattomuus Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje summa jakauma Stadardpokkeama Stadardot Taulukot Theysfukto Todeäkösyysjakauma Todeäkösyysmassa Tosesa possulkevuus Tuusluku Varass Vous Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttuja Olkoo fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo : : S Jos o mtalle, o satuasmuuttuja. Vodaa osottaa, että dskreett ja jatkuvat satuasmuuttujat jota tällä kursslla pelkästää kästellää ovat mtallsa fuktota. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
Todeäkösyysjakauma Satuasmuuttuja todeäkösyysjakaumalla tarkotetaa kuvaukse : S reaallukuje joukkoo dusomaa (välttämää) todeäkösyysmttaa. Dskreett satuasmuuttuja Olkoo : S satuasmuuttuja. Jos otosavaruus S o äärelle ta umerotuvast ääretö, jollo myös fukto arvoalue o äärelle ta umerotuvast ääretö, saotaa satuasmuuttujaa dskreetks. Dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja. Olkoo satuasmuuttuja arvoje joukko T = {x, x, x 3,, x } jos satuasmuuttuja arvoje lukumäärä o äärelle ja T = {x, x, x 3,, x, } jos arvoje lukumäärä o umerotuvast ääretö. Reaalarvoe fukto f määrttelee dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto, jos () f( x ) Pr( x ) kaklle x T () f( x ) 0 kaklle x T (3) f( x ) xt Todeäkösyys Pr( x) f( x) p,,,3, o satuasmuuttuja arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Dskreett todeäkösyysjakauma Jos f o dskreet satuasmuuttuja : S pstetodeäkösyysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f. Pstetodeäkösyysfukto ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Jatkuva satuasmuuttuja Olkoo Pr( a b) f( x) Pr( x) : S xa b x a b,, satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja o jatkuva, jos seuraavat kaks ehtoa pätevät: () Satuasmuuttuja saa kakk reaallukuarvot joltak reaalaksel välltä. () Todeäkösyys, että satuasmuuttuja saa mkä tahasa yksttäse arvo = 0. Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja. Reaalarvoe fukto f määrttelee satuasmuuttuja theysfukto, jos () f( x) o x: jatkuva fukto () f( x) 0 kaklle x (3) f( x) dx (4) Pr( a b) f( x) dx Jatkuva todeäkösyysjakauma Jos f o jatkuva satuasmuuttuja : S b a theysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o f. Theysfukto ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Huomaa, että Pr( a b) f( x) dx b a Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
kaklle x. Pr( = x) = 0 Kertymäfukto Kertymäfukto Olkoo : S satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja kertymäfukto o reaalarvoe fukto Fukto Fx () Pr( x) F : [0,] o kertymäfukto, jos ja va jos Jos fukto () lm F( x) 0 x () lm F( x) x (3) F o e- väheevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F o jatkuva okealta: o kertymäfukto, lm F( xh) F( x) h0 F : [0,] (5) Pr( x) F( x) (6) Pr( a b) F( b) F( a) Dskreet jakauma kertymäfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe Fx ( ) Pr( x) f( x) Pr( x) xx xx f( x) Pr( x) F( x) F( x ) Dskreet jakauma kertymäfukto o porrasfukto, jolla o hyppäys (epäjatkuvuuskohta) jokasessa psteessä x, jossa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
f( x) Pr( x) 0 Hyppäyskohte välllä dskreet jakauma kertymäfuktolla o vakoarvo. Dskreett jakaumat ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja, f vastaava pstetodeäkösyysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) f( x) Pr( x) Jatkuva jakauma kertymäfukto Olkoo : S x a b x a b,, jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe Fx ( ) Pr( x) ftdt ( ) x d f( x) F( x) F( x) dx Jatkuvat jakaumat ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja, f vastaava theysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) f( x) dx Huomaa, että jatkuvlle satuasmuuttujlle pätee: Pr( a b) Pr( a b) Pr( a b) Pr( a b) b a Jakaume tuusluvut Dskreet satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako E( ) x f( x) x Pr( x) x p Jatkuva satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f( x ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako Odotusarvo omasuuksa E( ) xf( x) dx Satuasmuuttuja odotusarvo o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Olkoo a vako. Tällö E( a) a Olkoot, =,,, satuasmuuttuja ja olkoot a, =,,, vakota. Tällö Ea ae( ) Dskreet satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Olkoo g reaalarvoe fukto. Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako E( g ( )) gx ( ) f( x) gx ( ) Pr( x) gx ( ) p Jatkuva satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f( x ) g( ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Olkoo g reaalarvoe fukto. Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako Varass g( ) E( g ( )) gxf ( ) ( xdx ) Olkoo satuasmuuttuja odotusarvo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
E( ) Tällö satuasmuuttuja varass o e-satuae vako D( ) Var( ) E[( )] Varass vodaa laskea myös kaavalla jossa D( ) Var( ) E( ) E( ) = satuasmuuttuja. momett Dskreet satuasmuuttuja varass Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass o D( ) Var( ) E[( )] ( x ) p Jatkuva satuasmuuttuja varass Olkoo f( x ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass o Stadardpokkeama D( ) Var( ) E[( )] ( ) () x f x dx Satuasmuuttuja stadardpokkeama o e-satuae vako Varass omasuuksa D( ) E[( ) ] Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee E( ) ympärllä. Olkoo a vako. Tällö D( a) Var( a) 0 Olkoot, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja ja a, =,,, vakota. Tällö D a a D ( ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
Momett Olkoo satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja k odotusarvo k E( ), k 0,,, k o satuasmuuttuja k. momett el k. momett orgo suhtee. Ertysest: 0 E( ) Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo o E( ) Tällö satuasmuuttuja ( ) k odotusarvo k E ( ) k, k 0,,, o satuasmuuttuja k. keskusmomett el k. momett paopstee suhtee. Ertysest: 0 Momette olemassaolo E ( ) Var( ) D ( ) Satuasmuuttuja k. orgomomett o olemassa, jos k E( ) Satuasmuuttuja k. keskusmomett o olemassa, jos vastaava orgomomett o olemassa. Vodaa osottaa, että jos jollek, E( ) k E( ) kaklle k <. Jos ss satuasmuuttuja. orgomomett o olemassa, sllä o myös kakk alempe kertalukuje momett. Vous Tuuslukua 3 3/ käytetää todeäkösyysjakaume voude mttaa. Jos todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: < 0: Jakauma o egatvsest vo el vo vasemmalle, jollo jakauma vase hätä o ptemp ku okea hätä. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
= 0: Jakauma o symmetre. > 0: Jakauma o postvsest vo el vo okealle, jollo jakauma okea hätä o ptemp ku vase hätä. Huomautus: Normaaljakaumalle = 0. Hupukkuus Tuuslukua 3 4 käytetää todeäkösyysjakaume hupukkuude mttaa. Jos todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: < 0: Jakauma o laakea (ormaaljakaumaa verrattua). = 0: Jakauma o yhtä hupukas ku ormaaljakauma. > 0: Jakauma o hupukas (ormaaljakaumaa verrattua). Huomautus: Normaaljakaumalle = 0. Kvatlt Olkoo satuasmuuttuja. Olkoo lsäks 0 < p < Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr( x p ) p Pr( x p ) p saomme, että x p o satuasmuuttuja ja se jakauma kvatl kertalukua p. Ste kvatl x p toteuttaa epäyhtälöt Pr( < x p ) p Pr( x p ) Kvatlt vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole mometteja. Kvatlt evät välttämättä ole ykskästtesä: () () Olkoo Dskreette satuasmuuttuje kvatlt ovat use mokästtesä. Jatkuve satuasmuuttuje kvatlt ovat ykskästtesä. F(x) = Pr( x) jatkuva satuasmuuttuja kertymäfukto. Tällö satuasmuuttuja kvatl x p toteuttaa yhtälö F(x p ) = p Kvatl x p jakaa jatkuva satuasmuuttuja jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta p00 % Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
o kvatlsta x p vasemmalla ja ( p)00 % o kvatlsta x p okealla. Prosettpsteet Jos p o muotoa p = q/00, q =,,, 99 kvatla x p kutsutaa q. prosettpsteeks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. prosettpste jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta q % o q. prosettpsteestä vasemmalla ja (00 q) % o q. prosettpsteestä okealla. Deslt Jos p o muotoa p = 0q/00, q =,,, 9 kvatla x p kutsutaa q. deslks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. desl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 0q % o q. deslstä vasemmalla ja o q. deslstä okealla. Kvartlt Jos p o muotoa (00 0q) % p = 5q/00, q =,, 3 kvatla x p kutsutaa q. kvartlks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. kvartl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 5q % o q. kvartlsta vasemmalla ja o q. kvartlsta okealla. (00 5q) % Kvartleja merktää tavallsest symbolella Q, Q, Q 3 ja saotaa, että Q = alakvartl Q = keskkvartl Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/58
Q 3 = yläkvartl Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa kvartlt jakavat jakauma todeäkösyysmassa eljää yhtä suuree osaa: Medaa Jos 5 % massasta o kvartlsta Q vasemmalle 5 % massasta o kvartle Q ja Q välssä 5 % massasta o kvartle Q ja Q 3 välssä 5 % massasta o kvartlsta Q 3 okealle p = 0.5 kvatla x p kutsutaa medaaks. Medaaa merktää tavallsest symbollla Me. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa medaa Me jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee yhtä suuree osaa, että massasta 50 % o medaasta vasemmalla ja 50 % o medaasta okealla. Jakauma medaa e välttämättä ole ykskästtee. Jakauma medaa o sama ku jakauma 50. prosettpste, 5. desl ja keskkvartl Q. Medaa vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Jos satuasmuuttuja jakauma o symmetre suora x = a suhtee, jakauma medaa yhtyy psteesee a: Me = a Jos symmetrsellä jakaumalla o odotusarvo E() = µ, jakauma medaa yhtyy psteesee µ: Mood Me = µ Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka pstetodeäkösyysfukto o f(x) = Pr( = x) Pste Mo o dskreet satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos pstetodeäkösyysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: f( Mo) max f( x) x Olkoo jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o f(x) Pste Mo o jatkuva satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos theysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
f( Mo) max f( x) x Jakauma mood e välttämättä ole ykskästtee. Mood vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Dskreettejä jakauma Dskreett tasae jakauma Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka mahdollset arvot ovat x, x,, x Oletetaa, että satuasmuuttuja mahdolls arvoh x, x,, x lttyvät todeäkösyydet ovat yhtä suura: Pr( x ),,,, Tällö satuasmuuttuja oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f( x) Pr( x) p,,,, Dskreet tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo:. momett: Varass: E( ) x x E( ) Stadardpokkeama: x D( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] x x D( ) ( x x) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
Beroull-jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu 0, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja jakauma o Pr( ) p Pr( 0) pq ja satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o f x p q p q p x x x ( ), 0,, 0, Saomme, että satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p ja käytämme tästä merktää: Beroull( p ) Beroull-jakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: E( ) Stadardpokkeama: p Var( ) D ( ) pq D( ) pq Beroull-kokeet ja eräät dskreett todeäkösyysjakaumat Tostetaa samaa Beroull-koetta, että tostot ovat tosstaa rppumattoma ja tarkastellaa tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. () () Bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta tostetaa kertaa. Geometre jakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu esmmäse kerra x:essä koetostossa. () Negatve bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu r. kerra x:essä koetostossa. (v) Posso-jakauma vodaa johtaa bomjakauma raja-arvoa, ku koetostoje lukumäärä aetaa tettyje ehtoje valltessa kasvaa rajatta. Posso-jakauma kuvaa harvaste tapahtume todeäkösyyksä ptkssä tostokoesarjossa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
Bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kertaa, jossa o kteä (e-satuae), ee koetostoje tekemstä päätetty luku. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A estymskertoje lukumäärää koetostoje joukossa. Tällö satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o Bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: Stadardpokkeama: x x f( x) Pr( x) p q,0 p, q p, x0,,,, x E( ) p D( ) Var( ) pq D( ) pq Bomjakauma ja Beroull-jakauma Olkoot,,, rppumattoma, samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p) oudattava dskreettejä satuasmuuttuja:,,, Beroull( p),,,, Tällö dskreett satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: Olkoo B(, p ) B(, p ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
Jos =, Ber( p ) Bomjakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat bomjakauma parametre (, p), (, p),, ( k, p):,,, k B(, p),,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja k oudattaa bomjakaumaa parametre = + + + k ja p: B(, p ) Geometre jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa. kerra. Tällö satuasmuuttuja oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p: Geom( p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o f x x q p p q p x x () Pr( ),0,,,,3, Satuasmuuttuja kertymäfukto o jossa Fx () Pr( x) ( p) x x = suur kokoasluku, joka x Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa Pr( x) Pr( x) F( x) ( p) x Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
Geometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) p Varass: D( ) Var( ) Stadardpokkeama: q p D( ) Geometrse jakauma uohtamsomasuus q p Geometrsella jakaumalla o seuraava uohtamsomasuus: Se, että tapahtuma A sattumsta o jouduttu odottamaa a koetostoa, e vakuta todeäkösyytee joutua odottamaa b koetostoa lsää. Jos ss Geom(p) Pr( a + b a) = Pr( + b) Negatve bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa r. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa r. kerra. Tällö satuasmuuttuja oudattaa egatvsta bomjakaumaa parametre r ja p: NegB( r, p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o x xr r f( x) Pr( x) q p, 0 p, q p r r,, 3, ; xr, r, r, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
Negatvse bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: r E( ) p Varass: rq D( ) Var( ) p Stadardpokkeama: D( ) rq p Hypergeometre jakauma Olkoo perusjouko S alkode lukumäärä (S) = N Tarkastellaa perusjouko S ostusta joukoks A ja jouko A komplemetks A c ja olkoo (A) = r (A c ) = N r Valtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B ja olkoo (B) = Perusjouko S ostus joukoks A ja A c duso jouko B ostukse joukoks BA ja BA c ; ks. kuvaa okealla. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa joukossa B oleve jouko A (el jouko BA) alkode lukumäärää. Tällö satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) ja se pstetodeäkösyysfukto o rn r x x f( x) Pr( x), max[0, ( N r)] xm(, r) N Hypergeometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: r E( ) N Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
Varass: Stadardpokkeama: r r N N N N D( ) Var( ) r r N D( ) N N N Hypergeometrse jakauma ja bomjakauma Jos perusjouko S koko N lähestyy ääretötä, hypergeometrse jakauma todeäkösyydet lähestyvät sellase bomjakauma todeäkösyyksä, jossa p = r/n Ste hypergeometrsta jakaumaa vodaa approksmoda bomjakaumalla, jos otatasuhde jossa /N = (B) = otoskoko N = (S) = perusjouko koko o kyll pe. Nä o käytäössä, jos /N < 0.05 Otata takaspaolla ja lma takaspaoa Pomtaa perusjoukosta satuasest otos (osajoukko) arpomalla alkot perusjoukosta otoksee yks kerrallaa. Otokse pomta vodaa toteuttaa joko palauttamalla (el takaspaolla) ta palauttamatta (lma takaspaoa): () () Otaassa palauttae perusjouko alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkot palautetaa välttömäst jokase arpomse jälkee takas perusjoukkoo. Tällö sama alko vo tulla pomtuks otoksee useta kertoja. Otaassa palauttamatta alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkota e palauteta arpomse jälkee takas perusjoukkoo. Tällö sama alko vo tulla pomtuks otoksee va kerra. Olkoo perusjouko S koko N = (S) Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o r = (A) Pomtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B, joka koko o = (B) Määrtellää dskreett satuasmuuttuja = A-tyyppste alkode lukumäärä otoksessa B Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
Jos otos (= osajoukko B) pomtaa perusjoukosta palauttae, satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) Jos otos (= osajoukko B) pomtaa perusjoukosta palauttamatta, satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) Posso-jakauma Tostetaa samaa satuaskoetta ja oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa jok tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumatesteett el keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde o. Määrtellää dskreett satuasmuuttuja : = Tapahtuma A estymste lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde Tety ehdo satuasmuuttuja oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla s: jossa Posso(s) s = ajajakso ptuus akaykskössä (tlavuusyksköde lukumäärä) = tapahtuma A estymste keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde ja se pstetodeäkösyysfukto o Posso-jakauma tuusluvut Odotusarvo: s x e ( s) f( x) Pr( x), x 0,,, x! E( ) s Varass: D( ) Var( ) s Stadardpokkeama: D( ) s Posso-jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat Posso-jakauma parametre,,, k :,,, k Posso( ),,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
k oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla = + + + k : Posso( ) Posso-jakauma ja bomjakauma Jos bomjakaumassa otoskoko lähestyy ääretötä ja todeäkösyysparametr p lähestyy samaakasest ollaa, että p bomjakauma todeäkösyydet lähestyvät ovat lähellä sellase Posso-jakauma todeäkösyyksä, joka parametra o. Ste vomme saoa, että Posso-jakauma kuvaa harvaste tapahtume todeäkösyyksä ptkssä tostokoesarjossa. Jatkuva jakauma Jatkuva tasae jakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto 0, x a f( x), a xb b a 0, x a Tällö satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa tasasta jakaumaa parametreaa a ja b: Uform( a, b ) Jatkuva tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo: a b E( ) Varass ja stadardpokkeama: ( b a) D( ) Var( ) b a D( ) 3 Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/58
0, x a x a F( x) Pr( x), a xb b a, x b Ekspoettjakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto f(x) = exp( x), > 0, x 0 Tällö satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : Exp( ) Ekspoettjakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass ja stadardpokkeama: D( ) Var( ) D( ) Ekspoettjakauma kertymäfukto Ekspoettjakauma kertymäfukto o Ste Fx () exp( x), 0, x 0 Pr( > x) = P( x) = F(x) = exp( x) jossa F(x) o ekspoettjakauma kertymäfukto. Ekspoettjakauma ja Posso-jakauma Olkoo Oletetaa, että ja olkoo = odotusaka. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) Exp() Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde Tällö Z o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : Z Posso() Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
jollo E(Z) = Vodaa osottaa, että jakaume väle yhteys tom molemp suut: ts. jos dskreett satuasmuuttuja Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : satuasmuuttuja Z Posso() = odotusaka. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : Exp() Ekspoettjakauma uohtamsomasuus Ekspoettjakaumalla o seuraava uohtamsomasuus: Se, että tapahtuma sattumsta o jouduttu odottamaa aja a, e vakuta todeäkösyytee joutua odottamaa aja b lsää. Jos ss Exp(). Pr( a + b a) = Pr( + b) Normaaljakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto x f( x) exp,, 0, x Tällö satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa parametre ja : N(, ) Normaaljakauma theysfukto omasuuksa () () Normaaljakauma theysfukto f(x) o kakkalla postve: f(x) > 0, < x < + Theysfukto o ykshuppue. () Theysfukto saa maksmarvosa psteessä. (v) Theysfukto o symmetre pstee x = suhtee: f( x) = f( + x), < x < + Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
Normaaljakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass ja stadardpokkeama: D( ) Var( ) D( ) Stadardotu ormaaljakauma Jos N(0,) saomme, että satuasmuuttuja oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa. Stadardot Jos N(, ) E( ) Z D( ) N(0,) Normaaljakauma ja stadardotu ormaaljakauma Olkoo Tällö ja N(, ) E( ) Z D( ) N(0,) a b a b Pr( a b) Pr Pr Z Ste ormaaljakaumaa N(, ) lttyvät todeäkösyydet vodaa aa määrätä stadardodu ormaaljakauma N(0,) avulla. Esmerkk: Määrää todeäkösyys jossa Pr(.5 3) N, 4 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
jollo E( ) D( ) Var( ) Käytetää tehtävä ratkasemsessa stadardodu ormaaljakauma N(0, ) taulukota. Kursslla jaettavssa taulukossa o taulukotua stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto arvoja F(x) = Pr( x) ku x saa arvoja suljetulta välltä [ 3.59, +3.59] 0.0: ykskö väle: Edellä estety mukaa jossa Edellee Taulukode mukaa Ste x = 3.59 (0.0) +3.59.5 3 Pr(.5 3) Pr Pr( Z ) / / / E( ) Z D( ) / Pr( Z ) Pr( Z ) Pr( Z ) Pr( Z ) 0.977 Pr( Z ) 0.587 N(0,) Pr(.5 3) Pr( Z ) Pr( Z ) 0.977 0.587 0.885 Geometrsest todeäkösyyde Pr(.5 3) määrääme merktsee aluee A pta-ala määräämstä alla olevssa kuvossa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
Rppumattome ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoo, =,,, joo rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja: Olkoo N(, ),,,,,,, Y rppumattome satuasmuuttuje, =,,, summa. Tällö Y N(, ) Oletetaa, että rppumattomat satuasmuuttujat, =,,, oudattavat samaa ormaaljakaumaa: Tällö N(, ),,,,,,, Y N(, ) Rppumattome ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma Olkoo, =,,, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja: Olkoo N(, ),,,,,,, satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tällö N, Keskee raja-arvolause Olkoo, =,,, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo ja varass ovat Olkoo E( ),,,, D( ) Var( ),,,, Y rppumattome satuasmuuttuje, =,,, summa. Tällö E( Y ) D( Y ) Var( Y ) Stadardodaa satuasmuuttuja Y : Z Y Jos satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy rajatta stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): lm Pr z ( z) jossa (z) o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Merktä: Z a N(0,) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että summamuuttuja Y jakaumaa vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa E( ) D( ) Var( ) Keskee raja-arvolause ja bomjakauma Keskese raja-arvolausee Beroull -jakautuede satuasmuuttuje summa jakaumaa koskevaa erkostapausta kutsutaa De Movre ja Laplace raja-arvolauseeks. De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa bomjakaumaa B(, p) vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa Jos ss suurlle E( ) p D( ) Var( ) pq, q ( p) B(, p) bp ap Pr( a b) pq pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/p a/p Pr( a b) pq pq Keskee raja-arvolause ja hypergeometre jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että hypergeometrsta jakaumaa HyperGeom(N, r, ) vodaa suurlle N approksmoda ormaaljakaumalla, jossa r E( ) N r r D( ) Var( ) N N Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
Keskee raja-arvolause ja Posso-jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että Posso-jakaumaa Posso() vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa E( ) D( ) Var( ) Jos ss Posso() suurlle b a Pr( a b) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/ a/ Pr( a b) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
Esmerkk 3.3. Hetetää vrheetötä rahaa 3 kertaa, jossa ss Pr(Kruua) = Pr(Klaava) = / ja olkoo satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa hetossa. (a) (b) (c) (d) Määrää todeäkösyydet tapahtumlle = 0,,, 3 ja määrttele de avulla satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Hahmottele fukto kuvaaja paperlle. Määrää satuasmuuttuja kertymäfukto. Hahmottele fukto kuvaaja paperlle. Mkä o tapahtuma =.5 todeäkösyys? Määrää tapahtuma > todeäkösyys sekä satuasmuuttuja pstetodeäkösyys- että kertymäfukto avulla. Esmerkk 3.3. Mtä opmme? Esmerkssä 3.3. tarkastellaa dskreet satuasmuuttuja määrttelemstä ykskertase esmerk tapauksessa sekä ko. satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto ja kertymäfukto kostruomsta. Satuasmuuttuja jakauma kostruossa käytetää apua puumasta verkkoa. Esmerkk 3.3. Ratkasu: (a) Merktää H = Kruua (egl. head) T = Klaava (egl. tal) Tehtävä satuaslmö tulosvahtoehdosta vodaa raketaa alla oleva puuverkko: / / H T / / / / H T H T / / / / / / / / H T H T H T H T Todeäkösyydet erlaslle kruue ja klaavoje kombaatolle vodaa laskea. Tehtävä tapauksessa mkä tahasa kolme kombaato todeäkösyys o 3, 8 koska hetot ovat tosstaa rppumattoma. Kombaatota, jossa o 0 kpl krjata H:ta, o kpl. Ste Pr(TTT). 8 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
Kombaatota, jossa o kpl krjata H, o 3 kpl. Ste 3 Pr(HTT ta THT ta TTH) 8 käyttämällä yhteelaskusäätöä tosesa possulkevlle tapahtumlle. Kombaatota, jossa o kpl krjata H, o 3 kpl. Ste 3 Pr(HHT ta HTH ta THH). 8 Kombaatota, jossa o 3 kpl krjata H, o kpl. Ste Ste vomme esttää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa pstetodeäkösyysfukto f(x) = Pr( = x), x = 0,,, 3 Pr(HHH). 8 alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Kuva alla okealla esttää satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto kuvaajaa. x f(x) = Pr( = x) 0 /8 3/8 3/8 3 /8 f(x) 3/8 /8 /8 0 3 x (b) Dskreet satuasmuuttuja kertymäfukto vodaa määrtellä kaavalla Fx ( ) Pr( x) x x Summassa lasketaa yhtee kakk pstetodeäkösyydet Pr( x ) jolle pätee x x. Ste vomme esttää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa kertymäfukto alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Kuva alla okealla esttää satuasmuuttuja satuasmuuttuja kertymäfukto kuvaajaa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 30/58
x F(x) x < 0 0 0 x < /8 x < 4/8 x < 3 7/8 3 x F(x) 7/8 4/8 /8 0 3 x (c) Koska =.5 o tapahtumaa mahdoto, Pr( =.5) = 0 (d) Pstetodeäkösyysfuktosta: Pr( > ) = Pr( = ) + Pr( = 3) = 3/8 + /8 = 4/8 = / Kertymäfuktosta: Pr( > ) = Pr( ) = F() = 4/8 = 4/8 = / Esmerkk 3.4. Satuasmuuttuja theysfukto o muotoa (a) (b) (c) (d) xb, ku 0 x f( x) 0, muullo Määrää vako b arvo. Määrää tapahtuma = 0.5 todeäkösyys. Määrää tapahtuma 0 0.5 todeäkösyys. Määrää satuasmuuttuja kertymäfukto. Esmerkk 3.4. Mtä opmme? Esmerkssä 3.4. tarkastellaa jatkuva satuasmuuttuja määrttelemstä ykskertase esmerk tapauksessa sekä ko. satuasmuuttuja theysfuktota ja kertymäfuktota. Esmerkk 3.4. Ratkasu: (a) Koska kaklle theysfuktolle f(x) pätee Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
f( x) dx ( ).5 saadaa vako b määrätyks yhtälöstä f x dx x b dx x bx b ( ) ( ) 0 0.0 ja ratkasuks saadaa 0.5 b = / Kuva okealla esttää satuasmuuttuja theysfukto f(x) kuvaajaa välllä [0, ]. 0 0 0.5.0 x (b) Koska jatkuvlla jakaumlla jokase yksttäse pstee todeäkösyys o olla, Pr( = 0.5) = 0 (c) Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), väl [a, b] todeäkösyys saadaa kaavalla b Pr( a b) f( x) dx a Ste väl 0, 0.5 todeäkösyydeks saadaa tehtävä tapauksessa: 0.5 x dx x x 3 Pr(0 0.5) 8 0 0 0.5 (d) Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), se kertymäfukto saadaa kaavalla x Fx ( ) ftdt ( ) Ste tehtävä satuasmuuttuja kertymäfuktoks saadaa välllä 0, : x x x ( ) ( ) ( ) ( ) F x f t dt t dt t t x x Tämä väl ulkopuolella: F(x) = 0, ku x 0 F(x) =, ku x 0 0 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
Esmerkk 3.5. Osallstut rahapel, jossa hetetää kolmea harhatota rahaa (ks. esmerkk 3.3.). Pel osallstumsesta ptää maksaa paos ja pelaaja saa vottoa kruue lukumäärä euroja. (a) (b) Mkä o korke paos mkä su kaattaa maksaa osallstumsesta pel? Ohje: Määrää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa odotusarvo. Mkä o vottosumma stadardpokkeama? Esmerkk 3.5. Mtä opmme? Esmerkssä 3.5. tarkastellaa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama määräämstä esmerk 3.3. dskreetlle satuasmuuttujalle. Esmerkk 3.5. Ratkasu: Esmerk 3.3. mukaa satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa pstetodeäkösyysfukto f(x) = Pr( = x), x = 0,,, 3 vodaa esttää seuraavaa taulukkoa: x f(x) = Pr( = x) 0 /8 3/8 3/8 3 /8 (a) Jos satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o f(x), satuasmuuttuja odotusarvo E() saadaa kaavalla: E( ) x Pr( x) x f( x) Tehtävä tapauksessa x0 3 3 3 3 E( ) xpr( x) 0 3.5 8 8 8 8 8 Ste su kaattaa maksaa pel osallstumsesta korketaa.5, koska se o odotettavssa oleva votto. Musta, että satuasmuuttuja odotusarvo E() o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Huomaa, että tässä tapauksessa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 33/58
Pr( = E()) = 0 (b) Satuasmuuttuja stadardpokkeama o satuasmuuttuja varass elöjuur. Määrätää sks es satuasmuuttuja varass. Käytetää varass laskemsee kaavaa jossa D( ) E( ) E( ) E() = satuasmuuttuja odotusarvo E( ) = satuasmuuttuja. momett Satuasmuuttuja odotusarvoks saat (a)-kohdassa E() = 3/ Määrätää satuasmuuttuja. momett: Ste 3 3 3 4 E( ) x Pr( x) 0 3 3 8 8 8 8 8 x0 3 3 D( ) E( ) E( ) 3 0.75 4 Satuasmuuttuja stadardpokkeamaks saadaa lopulta 3 D( ) 0.86605 Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee suhtee. Esmerkk 3.6. Määrää esmerk 3.4. todeäkösyysjakauma odotusarvo ja stadardpokkeama. Esmerkk 3.6. Mtä opmme? Esmerkssä 3.6. tarkastellaa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama määräämstä esmerk 3.4. jatkuvalle satuasmuuttujalle. Esmerkk 3.6. Ratkasu: Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), satuasmuuttuja odotusarvo E() saadaa kaavalla: E( ) xf( x) dx Esmerk 3.4. theysfukto: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 34/58
Odotusarvo: x/, ku 0 x f( x) 0, muullo 3 7 E( ) xf( x) dx xx dx x x dx x x 3 4 0 0 Musta, että satuasmuuttuja odotusarvo o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Satuasmuuttuja stadardpokkeama o satuasmuuttuja varass elöjuur. Määrätää sks es satuasmuuttuja varass. Käytetää varass laskemsee kaavaa jossa D( ) E( ) E( ) E() = satuasmuuttuja odotusarvo E( ) = satuasmuuttuja. momett Satuasmuuttuja odotusarvoks saat edellä E() = 7/ Määrätää satuasmuuttuja. momett: 3 4 3 5 E( ) x f( x) dxx x dx x x dx x x 4 6 0 0 Ste satuasmuuttuja varassks saadaa: 5 7 D( ) E( ) E( ) 0.076389 44 Satuasmuuttuja stadardpokkeamaks saadaa lopulta D( ) 0.76385 Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee suhtee. 0 0 Esmerkk 3.8. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka pstetodeäkösyysfukto o f( x) Pr( x) p,,,, Satuasmuuttuja oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa. (a) Määrää satuasmuuttuja odotusarvo. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 35/58
(b) Määrää satuasmuuttuja varass. Esmerkk 3.8. Mtä opmme? Esmerkssä 3.8. johdetaa dskreet tasase jakauma odotusarvo ja varass. Esmerkk 3.8. Ratkasu: Suoraa dskreet jakauma odotusarvo määrtelmä mukaa E( ) x f( x) x x x mkä o lukuje x, x,, x artmeette keskarvo. Suoraa dskreet jakauma varass määrtelmä mukaa Var( ) D ( ) ( x ) f( x) ( x x) ( x x) mkä o lukuje x, x,, x otovarass. Huomautus: Artmeette keskarvo ja otosvarass ovat tärkemmät välmatka- ja suhdeastekollste muuttuje havattuje arvoje jakauma kuvaava (otos-) tuuslukuja. Esmerkk 3.9. Olkoo jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o x f( x) e, 0, x 0 Satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla /. Määrää satuasmuuttuja odotusarvo ojate suoraa odotusarvo määrtelmää. Opastus: Itegroessa kaattaa käyttää osttastegrota. Esmerkk 3.9. Mtä opmme? Esmerkssä 3.9. johdetaa ekspoettjakauma odotusarvo. Esmerkk 3.9. Ratkasu: Todetaa es, että fukto x f( x) e, 0, x 0 kelpaa theysfuktoks, koska se o jatkuva ja x x f( x) dx e dxe 0 0 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 36/58
Suoraa jatkuva jakauma odotusarvo määrtelmästä seuraa soveltamalla osttastegrota: x x x x E( ) xf( x) dx x e dxxe e dxe 0 0 0 0 Esmerkk 4.. Pelaaja hettää vrheetötä tetraedr (= sääölle motahokas, jolla o 4 tasasvuse kolmo muotosta tahkoa) muotosta oppaa kertaa. Oletetaa, että tetraedr tahkot o merktty slmäluvulla,, 3 ja 4. Koska oppa o oletettu vrheettömäks, vomme olettaa, että jokasella slmäluvulla o sama todeäkösyys tulla tulokseks. (a) (b) Laske slmälukuje summa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama. Pelaaja saa vottoaa slmälukuje summa euroa kymmekertasea. Mkä o voto odotusarvo ja stadardpokkeama? Kaattaako pel osallstua, jos osallstume maksaa 400 euroa? Esmerkk 4.. Mtä opmme? Esmerkssä 4.. sovelletaa dskreettä tasasta jakaumaa. Esmerkk 4.. Ratkasu: Pelaaja hettää vrheetötä tetraedr muotosta oppaa, joka tahkot o merktty slmäluvulla,, 3, 4. Koska oppa o oletettu vrheettömäks, vodaa olettaa, että opaheto tulos o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto: f(x) = Pr( = x) = /4, x =,, 3, 4 Satuasmuuttuja odotusarvo: 4 34 0 E( ) xpr( x) 3 4.5 4 4 4 4 4 4 x Satuasmuuttuja. momett: 4 E( ) x Pr( x) x Satuasmuuttuja varass: 3 4 30 3 4 7.5 4 4 4 4 4 4 30 0 0 D( ) E( ) E( ).5 4 4 6 Satuasmuuttuja stadardpokkeama: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 37/58
D( ).5.8034 Ku tetraedr muotosta oppaa hetetää kertaa, jokase heto tulos, =,,, o satuasmuuttuja, joka oudattaa edellä määrteltyä dskreettä tasasta jakaumaa. Lsäks vomme olettaa, että hettoje tulokset ovat tosstaa rppumattoma. (a) Hettotuloste summa Z o dskreett satuasmuuttuja, joka o rppumattome, samaa (edellä määrteltyä) dskreettä tasasta jakaumaa oudattave satuasmuuttuje, =,,, summa. Summa Z odotusarvo: E( Z ) E E( ).5 30 k Huomaa, että satuasmuuttuje summa odotusarvo o aa satuasmuuttuje odotusarvoje summa ss myös, ku ko. satuasmuuttujat evät ole rppumattoma. Summa Z varass: D( Z ) D D( ).5 5 Huomaa, että satuasmuuttuje summa varass o satuasmuuttuje varasse summa va, ku ko. satuasmuuttujat ovat rppumattoma. Summa Z stadardpokkeama: D( Z) 5 3.873 Huomaa, että D(Z) D( ) ts. satuasmuuttuje summa stadardpokkeama e ole satuasmuuttuje stadardpokkeame summa. Tämä johtuu tetyst stä, että (postvste lukuje) summa elöjuur e ole ko. lukuje elöjuure summa. (b) Pelaaja saama votto Y = 0Z o dskreett satuasmuuttuja. Voto Y odotusarvo: E(Y) = 0E(Z) = 300 Voto Y varass: D (Y) = 0 D (Z) = 500 Voto Y stadardpokkeama: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 38/58
Esmerkk 4.. D(Y) = 38.73 Koska pel osallstume maksaa 400, pelaajat kärsvät jokasessa pelssä keskmäär tappo, joka suuruus o 400 E(Y) = 400 300 = 00 Ruuveja valmstava koe tekee vallsa ruuveja todeäkösyydellä /0. Pomtaa koee valmstame ruuve joukosta 0 ruuva tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Oletetaa, että koee valmstame ruuve lukumäärä o suur otoskokoo 0 verrattua, että vomme approksmoda vallste ruuve lukumäärä jakaumaa otoksessa bomjakaumalla. (a) (b) (c) Mkä o todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää täsmällee kpl? Mkä o todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää vähtää kpl? Mkä o odotusarvo vallste ruuve lukumäärälle? Esmerkk 4.. Mtä opmme? Esmerkssä 4.. sovelletaa bomjakaumaa. Esmerkk 4.. Ratkasu: Ruuveja valmstava koe tekee vallsa ruuveja todeäkösyydellä /0. Pomtaa satuasest 0 ruuva tarkastettavaks yks kerrallaa. Oletetaa, että koee valmstame ruuve lukumäärä o hyv suur otoskokoo 0 verrattua. Tällö vallste ruuve lukumäärä tarkastettavaks pomttuje 0 ruuv joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka jakaumaa vodaa approksmoda bomjakaumalla: jossa a B(, p) = 0 p = 0. Tämä perustuu seuraavaa: Tarkastettavaks pomttuje 0 ruuv joukko muodostaa ykskertase satuasotokse valmstettuje ruuve joukosta. Otosta pomttaessa o käytetty otataa lma takaspaoa el palauttamatta. Tällö vallste ruuve lukumäärä otoksessa oudattaa hypergeomersta jakaumaa. Koska valmstettuje ruuve lukumäärä o oletettu hyv suureks otoskokoo 0 verrattua, o otatasuhde pe, että vomme approksmoda hypergeometrsta jakaumaa bomjakaumalla. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o (approksmatvsest) 0 f x x p p p x x x 0x ( ) Pr( ) ( ), 0., 0,,,,0 (a) Todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää täsmällee kpl, o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 39/58
0 Pr( ) 0. 0.9 8 0.85 (b) (c) Se, että vallsa ruuveja löydetää vähtää kpl, vodaa esttää tapahtumaa seuraavassa muodossa: { 0} { } { } { 0} Määrätää todeäkösyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavaa: 0 0 0 0 Pr( 0) Pr( 0) 0. 0.9 0. 0.878 Odotusarvo vallste ruuve lukumäärälle o E() = p = 00. = Esmerkk 4.3. Tehdas valmstaa tuotetta, jolla o erttä korkeat laatukrteert. Keskmäär va 60 % tuottesta täyttää krteert. Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. (a) (b) (c) (d) Mkä o todeäkösyys slle, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks? Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää vallsta tuotetta. Mkä o todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks? Mkä o odotettavssa oleva lukumäärä tuottelle, jotka joudumme tarkastamaa esmmäse vallse tuottee löytämseks? Mkä o todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa aak 5 tuotetta kolmae vallse tuottee löytämseks? Esmerkk 4.3. Mtä opmme? Esmerkssä 4.3. sovelletaa geometrsta jakaumaa ja egatvsta bomjakaumaa. Esmerkk 4.3. Ratkasu: Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Esmmäse vallse tuottee järjestysumero o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa geometrsta jakaumaa: jossa Geom(p) p = 0.6 = 0.4 o todeäkösyys löytää valle tuote. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 40/58
f x x q p p q p x x () Pr( ), 0.4, 0.6,,,3, Satuasmuuttuja kertymäfukto o Fx () Pr( x) ( p) x jossa x = suur kokoasluku, joka x (a) Todeäkösyys slle, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks, o Pr( 4) Pr( 3) Pr( 3) F(3) 3 [ ( p) ] ( p) 3 3 0.6 0.6 (b) Jatkoa kohdalle (a). Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää vallsta tuotetta. Tällö esmmäse vallse tuottee järjestysumero o oltava 4 ta suuremp. Se, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks, merktsee stä, että joudumme kakkaa tarkastamaa vähtää 7 tuotetta. Ste kysytty todeäkösyys o ehdolle todeäkösyys Pr( 7 ja 4) Pr( 7 4) Pr( 4) Pr( 7) Pr( 4) Pr( 6) Pr( 3) F(6) F(3) 6 0.6 3 0.6 3 0.6 0.6 Tosaalta todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks, o (a)-kohda mukaa 3 Pr( 4) F(3) 0.6 0.6 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
Se, että olemme saaeet (a)- ja (b)-kohdassa sama tulokse e ole sattumaa, vaa tulos vodaa ylestää seuraavaa muotoo: Jos satuasmuuttuja oudattaa geometrsta jakaumaa, aa pätee Pr( ab a) Pr( b), a,,3,, b 0,,,3, Tulos merktsee stä, että geometrsella jakaumalla o s. uohtamsomasuus: Todeäkösyys joutua tarkastamaa vähtää b tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks e rpu stä, kuka mota tuotetta o akasemm jouduttu tarkastamaa löytämättä yhtää vallsta. Vomme lmasta tämä saomalla, että tarkastusprosess uohtaa oma hstorasa. (c) Jatkoa kohdalle (a). Odotettavssa oleva lukumäärä tuottelle, jotka joudumme tarkastamaa kues löydämme esmmäse vallse tuottee, o E() = /p = /0.4 =.5 Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Kolmae vallse tuottee järjestysumero o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa egatvsta bomjakaumaa: jossa NegB(r, p) r = 3 p = 0.4 Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o x f x x q p p q p x x3 3 ( ) Pr( ), 0.4, 0.6, 3,4,5, (d) Todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa aak 5 tuotetta kolmae vallse tuottee löytämseks, o Pr( 4) Pr( 4) Pr( 3) Pr( 4) 3 0.4 0.60.4 0.064 0.5 0.808 3 3 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
Esmerkk 4.4. Pakkauksessa o 00 tuotetta, josta 0 o vallsa. (a) (b) Pomtaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaks otaalla lma takaspaoa. Mkä o todeäkösyys, että otoksee tulee täsmällee valle tuote? Mkä o odotettavssa oleve vallste tuottede lukumäärä otoksessa? Pomtaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaks otaalla takaspaolla. Mkä o todeäkösyys, että otoksee tulee täsmällee valle tuote? Mkä o odotettavssa oleve vallste tuottede lukumäärä otoksessa? Esmerkk 4.4. Mtä opmme? Esmerkssä 4.4. sovelletaa bomjakaumaa ja hypergeometrsta jakaumaa otataa takaspaolla (palauttae) ja lma takaspaoa (palauttamatta). Esmerkk 4.4. Ratkasu: Tehtävä tapauksessa perusjouko S koko o N = (S) = 00 vallste tuottede jouko A S koko o r = (A) = 0 ja otokse B S koko o = (B) = 5 Määrtellää dskreett satuasmuuttuja = Vallste tuottede lukumäärä otoksessa Satuasmuuttuja jakauma rppuu stä pomtaako otos lma takaspaoa (palauttamatta) ta takaspaolla (palauttae): Jos otos pomtaa lma takaspaoa, oudattaa hypergeometrsta jakaumaa. Jos otos pomtaa takaspaolla, oudattaa bomjakaumaa. Huomaa, että tehtävä tapauksessa otatasuhde /N = 0.05 jote bomjakauma ptäs melko hyv approksmoda hypergeometrsta jakaumaa. (a) Jos otokse pomta tapahtuu lma takaspaoa, HyperGeom(N, r, ) jossa N = 00 r = 0 = 5 Ste todeäkösyys, että otoksee pomttuje joukossa o valle, o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 43/58
000 0 5 f() Pr( ) 0.40 00 5 Satuasmuuttuja odotusarvo o r 0 E( ) 5 N 00 Vertaa saatuja tuloksa (b)-kohda tuloks. (b) Jos otos pomtaa takaspaolla, vallste lukumäärä tarkastettuje joukossa o B(, p) jossa = 5 p = r/n = 0. Ste todeäkösyys, että otoksee pomttuje joukossa o valle, o f 5 4 () Pr( ) 0. 0.8 0.40 Satuasmuuttuja odotusarvo o E( ) p50. Vertaa saatuja tuloksa (a)-kohda tuloks. Esmerkk 4.5. Oletetaa, että aetussa akaykskössä palvelujooo tuleve asakkade lukumäärä oudattaa Posso-jakaumaa, että keskmäär jooo tulee 4 asakasta muutssa. (a) (b) (c) (d) (e) Mkä o todeäkösyys, että 30 sekussa e tule yhtää asakasta? Mkä o todeäkösyys, että muutssa tulee korketaa 4 asakasta? Mkä o todeäkösyys, että seuraava muut akaa e tule yhtää asakasta, jos edellseä muutta asakkata ol 4? Mkä o odotettavssa oleve asakkade lukumäärä tu akaa? Mkä o odotettavssa oleva odotusaka. asakkaa tulolle jooo? Esmerkk 4.5. Mtä opmme? Esmerkssä 4.5. sovelletaa Posso-jakaumaa. Esmerkk 4.5. Ratkasu: Oletetaa, että ajajaksoa, joka ptuus o s muutta, jooo tuleve asakkade lukumäärä o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 44/58
Posso(s) jossa s = ajajakso ptuus muuttea = muutssa jooo tuleve asakkade keskmääräe lukumäärä = 4 Ste satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o 4 s x e (4 s) f( x) Pr( x), x 0,,, x! (a) Nyt s = 0.5 m jote s = 40.5 = Ste todeäkösyys, että /:ssa muutssa e tule yhtää asakasta, o 0 e () Pr( 0) 0.35 0! (b) Nyt s = m jote s = 4 = 4 Ste todeäkösyys, että :ssä muutssa tulee korketaa 4 asakasta, o Pr( 4) Pr( x) 4 x0 4 x0 e s ( s) x! x 0 3 4 4 4 4 4 4 4 e 0!!! 3! 4! 0.0836 ( 4 8 0.667 0.667) 0.083634.333 0.6884 (c) Olkoo = muut akaa tullede puhelude lukumäärä, =,. Satuasmuuttuja ja vodaa ptää rppumattoma ja lsäks kumpk oudattaa Posso-jakaumaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 45/58
Posso(s) jossa s = m = 4 Rppumattomuude ojalla e 4 0! 4 0 4 Pr( 0 4) Pr( 0) e 0.0836 (d) Nyt s = 60 m jote s = 460 = 40 Ste odotettavssa oleva puhelude määrä tu akaa o E() = s = 40 (e) Olkoo = jooo tuleve asakkade lukumäärä muutssa Oletuste mukaa Posso() jossa = 4. Olkoo Y = odotusaka. asakkaa tulolle jooo Tällö Y Exp() ja odotettavssa oleva odotusaka. asakkaa tulolle jooo o E(Y) = / = /4 m = 5 s Esmerkk 4.7. Bomjakauma pstetodeäkösyysfukto o x x f( x) Pr( x) p q,0 p, q p, x0,,,, x (a) Todsta, että Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 46/58
(b) x0 Todsta, että E( ) f( x) p Esmerkk 4.7. Mtä opmme? Esmerkssä 4.7. tarkastellaa bomjakauma omasuuksa. Esmerkk 4.7. Ratkasu: (a) Suoraa bomkaava mukaa x x f( x) p q ( pq) x x0 x0 (b) Suoraa laskemalla saadaa! x E( ) xf( x) x p ( p) x!( x)! x0 x0 x x! x x p ( p) x!( x)!! x p ( p) ( x)!( x)! x ( )! ( x)!( x)! x x x x x p p ( p) p jossa vmee yhtälö perustuu she, että x ( )! p ( x)!( x)! x x ( p) Tämä seuraa stä, että summassa lasketaa yhtee kakk bomjakauma B(, p) pstetodeäkösyydet ( )! f x p p x x!( x)! x x ( ) ( ), 0,,,, Bomjakauma odotusarvo saadaa myös helpost johdetuks käyttämällä hyväks stä, että rppumattome, samaa Beroull-jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa oudattaa bomjakaumaa: Olkoot,,, rppumattoma, samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p) oudattava dskreettejä satuasmuuttuja: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 47/58
,,, Beroull( p),,,, Tällö dskreett satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) Odotusarvo omasuukse perusteella E( ) E( ) pp koska Beroull-jakauma omasuukse perusteella E( ) p,,,, Esmerkk 5.. Sähkölampu elkä (ykskköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka theysfukto o f(x) = c/x 3, x mssä c o vako. (a) Määrää vako c arvo. (b) Mllä todeäkösyydellä lamppu kestää yl 5000 h? (c) Mkä o lampu keskmääräe elkä? (d) Määrää lampu elä medaa el määrää aka x, jolla Pr( x) = 0.5. Esmerkk 5.. Mtä opmme? Esmerkssä 5.. tarkastellaa erää jatkuva jakauma omasuuksa. Esmerkk 5.. Ratkasu: (a) Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto f(x) toteuttaa aa ehdo f( x) dx Ste vako c saadaa määrätyks yhtälöstä jote c = c f( x) dxc dxc c 0 3 x x Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 48/58
(b) Tapahtuma Lampu elkä > 5000 h todeäkösyys saadaa tegromalla satuasmuuttuja theysfukto välllä (5, ): Pr( 5) f( x) dx dx 0 0.04 3 x x 5 5 5 5 5 (c) Lampu keskmääräe elkä o lampu elä odotusarvo E( ) xf( x) dxx dx dx 0 x x x 3 Ste lampu keskmäääräe elkä o tutea 000 h. (d) Lampu elä medaa saadaa ehdosta x x Pr( x) f( t) dt dt 0.5 t t x jote medaaks saadaa x.4 3 Ste lampu elä medaa o tutea. 4 h. x Esmerkk 5.. Eräässä latteessa o kompoett, joka elkä (ykskköä kuukaus) oudattaa ekspoettjakaumaa parametraa /4. (a) Mkä o kompoet keskmääräe elkä? (b) Määrää kompoet elä medaa el määrää kä x ste, että Pr( x) = 0.5. (c) (d) (e) (f) Määrää todeäkösyys, että kompoett kestää kauemm ku 6 kuukautta. Mllä todeäkösyydellä kompoett tom velä vähtää yhde kuukaude, jos se o jo tomut kuukaude? Mllä todeäkösyydellä kompoett tom velä vähtää yhde kuukaude, jos se o jo tomut kaks kuukautta? Mkä o rkkoutuede kompoette odotettavssa oleva lukumäärä 6: kuukaude akaa? Esmerkk 5.. Mtä opmme? Esmerkssä 5.. sovelletaa ekspoettjakaumaa. Esmerkk 5.. Ratkasu: Tehtävä satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 49/58
= kompoet elkä kuukausa oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla = /4: Exp(/4) (a) Kompoet keskmääräe elkä o kompoet elä odotusarvo E() = / = 4 kuukautta (b) (c) Ekspoettjakautueelle satuasmuuttujalle pätee Pr( > x) = P( x) = F(x) = exp( x) jossa F(x) o ekspoettjakauma kertymäfukto. Ste Pr( > x) = 0.5 exp( x) = 0.5 x = log()/ = 4log().773 Satuasmuuttuja medaa o ste..773 kuukautta. Kohdassa (b) matusta aputuloksesta seuraa, että Pr( > 6) = exp( 6) = exp( 3/) 0.3 (d) ja (e) Koska espoettjakaumalla o s. uohtamsomasuus, kohdssa (d) ja (e) saadaa sama vastaus: Pr( Tom vähtää velä kuukaude O tomut jo a kuukautta ) = Pr( > a + > a) = Pr( > a + )/Pr( > a) = exp( (a + ))/exp( a) = exp( ) = Pr( > ) = Pr( Tom vähtää velä kuukaude ) Ste kohdassa (b) matusta aputuloksesta seuraa, että Pr( > ) = exp( ) = exp( /4) 0.779 (f) Olkoo = kompoet elkä kuukausa Oletuste mukaa Exp() jossa = /4. Olkoo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 50/58
Z = rkkoutumste lukumäärä 6:ssa kuukaudessa Tällö Z Posso(s) ja odotettavssa oleva rkkoutumste lukumäärä 6:ssa kuukaudessa o E(Z) = s = (/4)6 =.5 kpl Esmerkessä 5.3. 5.6. tutustutaa ormaaljakaumaa ja harjotellaa ormaaljakauma taulukode käyttöä. Esmerkk 5.3. Olkoo satuasmuuttuja Z N(0,). (a) Määrää satuasmuuttuja Z medaa el pste z ste, että Pr(Z z) = 0.5. (b) Määrää Pr(Z >.85). (c) Määrää Pr(Z.85). (d) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.. (e) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.8. (f) Määrää Pr(Z ). (g) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.. Olkoo satuasmuuttuja N( 3,9). (h) Määrää Pr( ). () Määrää x ste, että Pr( x) = 0.05. Esmerkk 5.3. Mtä opmme? Esmerkssä 5.3. tarkastellaa ormaaljakaumaa ja todeäkösyykse määräämstä ormaaljakaumasta. Esmerkk 5.3. Ratkasu: (a) Koska satuasmuuttuja Z jakauma o symmetre jakauma paopstee 0 suhtee, Pr(Z 0) = 0.5 = Pr(Z 0) Tämä äkyy myös stadardodu ormaaljakauma taulukossa. (b) Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavasta ja taulukosta ähdää, että Pr(Z >.85) = Pr(Z.85) = 0.9678 = 0.03 (c) Taulukosta: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
Pr(Z.85) = 0.03 Tulos saadaa myös (b)-kohdasta, koska stadardotu ormaaljakauma N(0,) o symmetre paopsteesä 0 suhtee: Pr(Z.85) = Pr(Z.85) = Pr(Z >.85) = 0.03 (d) (e) Taulukosta: Pr(Z z) = 0. z 0.84 Todetaa es, että komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavasta seuraa, että Pr(Z z) = 0.8 Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.8 = 0. Ste (d)-kohda mukaa Pr(Z z) = 0. z 0.84 (f) Todetaa es, että stadardodu ormaaljakauma N(0,) symmetra taka Pr(Z ) = Pr( Z +) = Pr(Z +) Pr(Z ) = Pr(Z +) ( Pr(Z +)) = Pr(Z +) Taulukosta: Pr(Z +) = 0.977 Ste Pr(Z ) = Pr(Z +) = 0.977 = 0.9544 (g) Todetaa es, että stadardodu ormaaljakauma N(0,) symmetra taka Pr(Z z) = Pr(Z z) Ste Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0. Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 Taulukosta: z.64 Olkoo satuasmuuttuja N( 3,9), jollo E() = = 3 D () = Var() = = 9 D() = = 3 Tällö stadardotu satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58