Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Transkriptio

1 Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma, Odotusarvo, Poisson-jakauma, Standardipoikkeama, Standardointi, Taulukot, Tiheysfunktio, Varianssi 5.. Sähkölampun elinikä X (yksikkönä 00 h) noudattaa jakaumaa, jonka tiheysfunktio on f(x) = c/x 2, kun x ja c on vakio. (a) Määrää vakion c arvo. (b) Millä todennäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h? (c) Mikä on lampun keskimääräinen elinikä? (d) Määrää lampun eliniän mediaani eli määrää aika x, jolla Pr(X x) = 0.5. (a) Vakio c saadaan määrätyksi ehdosta f ( xdx ) joka seuraa siitä, että varman tapahtuman todennäköisyys =. Siten josta 9 c dx = c c c 2 x x = = = c = /9 Ilkka Mellin (2004) /

2 (b) Tapahtuman {Lampun elinikä X > 5000 h} todennäköisyys saadaan integroimalla satunnaismuuttujan X tiheysfunktio välillä [5, ]: Pr( X > 5) = f( x) dx 5 = dx = x 2 9 x 9 5 = = = (c) Lampun keskimääräinen elinikä on lampun eliniän X odotusarvo: E( X) = xf( x) dx = log( ) 9 x dx= dx x x 9 = x 9 [ ] 2 = ( log() log() ) = log() Siten lampun keskimäääräinen elinikä on n h. (d) Lampun eliniän mediaani saadaan ehdosta Pr( X x) = f( t) dt = dt = t 2 9 t 9 = = x josta mediaanin arvoksi saadaan x = 20/.88 eli n. 88 h. x x x Ilkka Mellin (2004) 2/

3 5.2. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, joka elinikä X (yksikkönä vuosi) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla /2. (a) Mikä ilmaisimen keskimääräinen elinikä? (b) Määrää ilmaisimen eliniän mediaani eli määrää ikä x siten, että Pr(X x) = 0.5. (c) Määrää todennäköisyys, että ilmaisin kestää kauemmin kuin 2 vuotta. (d) Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo vuoden? (e) Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo kaksi vuotta? Tehtävässä satunnaismuuttuja X Exp(/2). Eksponenttijakauman tiheysfunktio on f(x) = λexp( λx), kun x 0 Tehtävän ratkaisussa on hyötyä seuraavasta aputuloksesta: Pr(X > x) = P(X x) = F(x) = exp( λx) jossa x F( x) = f( t) dt = exp( λx), kun x 0 0 on eksponenttijakauman kertymäfunktio (a) Keskimääräinen elinikä: E(X) = /λ = 2 vuotta (b) Aputuloksesta seuraa, että Pr(X > x) = 0.5 exp( λx) = 0.5 x = log(2)/λ.386 Siten satunnaismuuttujan X mediaani on n..386 vuotta. (c) Aputuloksesta seuraa, että Pr(X > 2) = exp( 2λ) = exp( ) Ilkka Mellin (2004) 3/

4 (d) ja (e) Aputuloksesta seuraa, että Pr(X > ) = exp( λ) = exp( /2) Koska esponenttijakaumalla on ns. unohtamisominaisuus, saadaan kohdissa (d) ja (e) sama vastaus: Pr( Toimii ainakin vielä vuoden On toiminut jo a vuotta ) = Pr(X > a + X > a) = Pr(X > a + )/Pr(X > a) = exp( λ(a + ))/exp( λa) = exp( λ) Tehtävissä 5.3. ja 5.4. harjoitellaan normaalijakauman taulukoiden käyttöä Olkoon satunnaismuuttuja Z N(0, ). (a) Määrää satunnaismuuttujan Z mediaani eli piste z siten, että Pr(Z z) = 0.5. (b) Määrää Pr(Z > ). (c) Määrää Pr(Z ). (d) Määrää z siten, että Pr(Z z) = (e) Määrää z siten, että Pr(Z z) = (f) Määrää Pr( Z 2). (g) Määrää z siten, että Pr( Z z) = Olkoon satunnaismuuttuja X N(, 9). (h) Määrää Pr(X ). (i) Määrää x siten, että Pr(X x) = (a) Pr(Z 0) = 0.5 (b) Pr(Z > ) = Pr(Z ) = = (c) Pr(Z ) = = Pr(Z ) (d) Pr(Z z) = 0.95 z =.64 Ilkka Mellin (2004) 4/

5 (e) Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 z =.64 (f) Pr( Z 2) = Pr( 2 Z +2) = 2 Pr(Z +2) = = (g) Pr( Z z) = Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = Pr(Z z) = z =.96 Olkoon satunnaismuuttuja X N(, 9), jolloin E(X) = µ = Var(X) = D 2 (X) = σ 2 = 9 D(X) = σ = 3 Tällöin standardoitu satunnaismuuttuja Z = (X µ)/σ = (X )/3 N(0, ) ja X = σ Z + µ = 3 Z + N(, 9) (h) Pr(X ) = Pr(Z ( )/3) = Pr(Z 2/3) = = Pr(Z 2/3) (i) Koska Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 z =.64 niin x = 3 z + = 5.92 Ilkka Mellin (2004) 5/

6 5.4. Olkoon satunnaismuuttuja X N(, 4). (a) Määrää P(X = ). (b) Määrää satunnaismuuttujan X mediaani eli x siten, että Pr(X x) = 0.5. (c) Määrää Pr(X 3). (d) Määrää x siten, että Pr(X x) = (e) Määrää x siten, että Pr(X x) = 0.0. (f) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvoon µ nähden symmetriset pisteet µ x ja µ + x niin, että niiden ulkopuolelle jää todennäköisyysmassasta 5%. Olkoon satunnaismuuttuja X N(, 4), jolloin E(X) = µ = Var(X) = D 2 (X) = σ 2 = 4 D(X) = σ = 2 Tällöin standardoitu satunnaismuuttuja ja Z = (X µ)/σ = (X + )/2 N(0, ) X = σ Z + µ = 2 Z N(, 4) (a) Pr(X = ) = 0 (b) Pr(X ) = 0.5 (c) Pr(X 3) = Pr(Z ( 3 + )/2) = Pr(Z ) = = Pr(Z ) (d) Pr(Z z) = 0.99 z = 2.33 x = 2 (2.33) = 3.66 (e) Pr(Z z) = 0.0 z = 2.33 x = 2 ( 2.33) = 5.66 Ilkka Mellin (2004) 6/

7 (f) Pr( Z z) = Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = Pr(Z z) = z =.96 Siten µ + x = = 2.92 µ x = 2.96 = Heität virheetöntä noppaa 2000 kertaa. (a) Mikä on odotettavissa oleva kuutosten lukumäärä? (b) Mikä on todennäköisyys, että kuutosten lukumäärä on suljetulla välillä [960, 2080]? Ohje: Käytä (b)-kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota. (a) Kuutosten lukumäärä X nopanheitossa noudattaa binomijakaumaa Bin(n, p), jossa n = 2000 ja p = /6. Siten odotettavissa oleva kuutosten lukumäärä on E(X) = np = 2000 (b) Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja X E( X) Z = D( X ) a N(0,) jossa E(X) = np = 2000 D 2 (X) = Var(X) = np( p) = D(X) = Lasketaan Pr(960 X 2080) = Pr(( )/40.82 Z ( )/40.82) = Pr( 0.98 Z.96) = Pr(Z.96) Pr(Z 0.98) = = 0.85 Ilkka Mellin (2004) 7/

8 5.6. Radioaktiivisten aineiden säteilyä mitataan Geiger-putkella. Mittaus tapahtuu rekisteröimällä impulssien lukumäärä 60 sekunnin aikana. Oletetaan, että impulssien lukumäärä noudattaa Poisson-jakaumaa, jossa tapahtumaintensiteetti on 0 impulssia/s. (a) Mikä on odotettavissa oleva impulssien lukumäärä minuutin aikana? (b) Mikä on keskimääräinen odotusaika ensimmäiselle impulssille? (c) Mikä on todennäköisyys, että impulsseja tulee minuutissa korkeintaan 60? Ohje: Käytä (c)-kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota. Impulssien lukumäärä X yhden minuutin aikana noudattaa Poisson-jakaumaa Poisson(λt), jossa λ = 0 ja t = 60 s. Siten Poisson-jakauman parametri λt = 0 60 = (a) Odotettavissa oleva impulssien lukumäärä on E(X) = λt = 0 60 = 6000 (b) Jos Poisson-jakauman tapahtumaintensiteetti on λ, niin. impulssin odotusaika Y Exp(λ) Siten keskimääräinen odotusaika ensimmäiselle impulssille on E(Y) = /λ = /0 = 0.0 s (c) Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja X E( X) Z = D( X ) a N(0,) jossa E(X) = λ = 6000 D 2 (X) = Var(X) = λ = 6000 D(X) = Lasketaan siis Pr(X 60) = Pr(Z ( )/77.46) = Pr(Z.29) = Ilkka Mellin (2004) 8/

9 5.7. Oletetaan, että n:n elektronisen komponentin eliniät Z, Z 2,, Z n ovat riippumattomia ja, että ne noudattavat eksponenttijakaumaa parametrilla λ. Määrää sellaisen systeemin eliniän jakauma ja keskimääräinen elinikä, jossa komponentit on kytketty (a) Sarjaan (b) Rinnan. (a) Olkoon Z () sarjaan kytketyn systeemin elinikä. Huomaa, että Z () = min{z, Z 2,, Z n } koska systeemi toimii, kunnes. komponentti vikaantuu. Siten F () (z) = P(Z () z) = P(Z () > z) = P(Z > z ja Z 2 > z ja ja Z n > z) = P(Z > z)p(z 2 > z) P(Z n > z) = ( F(z)) n Koska F i (z) = exp( λz) niin F () (z) = exp( λnz). Siten sarjaan kytketyn systeemin elinikä noudattaa exponenttijakaumaa parametrilla nλ. Erityisesti: E(Z i ) = /λ E(Z () ) = /(nλ) (b) Olkoon Z (n) rinnan kytketyn systeemin elinikä. Huomaa, että Z (n) = max{z, Z 2,, Z n } koska systeemi toimii, kunnes n. komponentti vikaantuu. Siten F (n) (z) = P(Z (n) z) = P(Z z ja Z 2 z ja ja Z n z) = P(Z z)p(z 2 z) P(Z n z) = F(z) n ja F (n) (z) = ( exp( λz)) n Ilkka Mellin (2004) 9/

10 Erityisesti: E(Z i ) = /λ ja E( Z( n) ) = ( ) λ 2 n mikä saadaan rekursiosta E n = + E nλ jossa E n = E(Z (n) ) n Huomautuksia tehtävään 5.7: (i) (a)-kohdassa on johdettu yleinen lauseke samaa jakaumaa noudattavien riippumattomien satunnaismuuttujien minimin jaukaumalle. (ii) (b)-kohdassa on johdettu yleinen lauseke samaa jakaumaa noudattavien riippumattomien satunnaismuuttujien maksimin jaukaumalle. Ilkka Mellin (2004) /