Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Transkriptio

1 Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35

2 Todeäköisyysjakaumia Ilkka Melli 36

3 Todeäköisyysjakaumia Sisällys 6. DISKREETTEJÄ JAKAUMIA DISKREETTI TASAINEN JAKAUMA 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 33 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 34 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 35 DISKREETIN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT BERNOULLI-JAKAUMA 36 BERNOULLI-KOKEET 37 BERNOULLI-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 BERNOULLI-JAKAUMAN ODOTUSARVON JA VARIANSSIN OMINAISUUDET 37 BERNOULLI-JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 38 BERNOULLI-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 38 BERNOULLI-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 38 BERNOULLI-JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 39 BERNOULLI-KOKEET DISKREETTIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PERUSTANA BINOMIJAKAUMA 3 BINOMIJAKAUMAN JOHTO 3 BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 3 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 33 BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 34 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 34 BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 BINOMIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 36 BINOMIJAKAUMA JA BERNOULLI-JAKAUMA 37 BERNOULLI-JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 38 BINOMIJAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAEN GEOMETRINEN JAKAUMA 39 GEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 33 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 33 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 333 GEOMETRISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 333 GEOMETRISEN JAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA 335 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN JOHTO 335 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 337 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 338 NEGATIIVISEN BINOMIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 339 NEGATIIVINEN BINOMIJAKAUMA JA GEOMETRINEN JAKAUMA HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA 34 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JOHTO 34 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 34 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 344 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 344 Ilkka Melli 37

4 Todeäköisyysjakaumia HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 344 HYPERGEOMETRINEN JAKAUMA JA OTANTA PALAUTTAMATTA 347 OTANTA PALAUTTAEN VS OTANTA PALAUTTAMATTA POISSON-JAKAUMA 349 POISSON-JAKAUMAN JOHTO 35 POISSON-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 ODOTUSARVON OMINAISUUDET 35 POISSON-JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 35 POISSON-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 35 POISSON-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 35 POISSON-JAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 353 POISSON-JAKAUMA JA BINOMIJAKAUMA 354 POISSON-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA JATKUVIA JAKAUMIA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA 359 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 36 JATKUVAN TASAISEN JAKAUMAN TODENNÄKÖISYYDET EKSPONENTTIJAKAUMA 363 EKSPONENTTIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 364 EKSPONENTTIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 365 EKSPONENTTIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 366 EKSPONENTTIJAKAUMA JA POISSON-JAKAUMA 367 EKSPONENTTIJAKAUMAN UNOHTAMISOMINAISUUS 368 EKSPONENTTIJAKAUMAN TODENNÄKÖISYYDET NORMAALIJAKAUMA 37 NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 37 NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 373 NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 373 NORMAALIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 374 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 375 NORMAALIJAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 375 STANDARDOITU NORMAALIJAKAUMA 376 NORMAALIJAKAUTUNEEN SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 377 STANDARDOINTI 378 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA 378 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN STANDARDOIDUSTA NORMAALIJAKAUMASTA JA NORMAALIJAKAUMAN TAULUKOT 379 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN MIELIVALTAISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 38 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN NORMAALIJAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 38 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 383 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIKOMBINAATION JAKAUMA 384 SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 385 NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON JAKAUMA KESKEINEN RAJA-ARVOLAUSE 385 Ilkka Melli 38

5 Todeäköisyysjakaumia BINOMIJAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA: DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA- ARVOLAUSE 388 DE MOIVREN JA LAPLACEN RAJA-ARVOLAUSEEN HAVAINNOLLISTUS 389 BINOMITODENNÄKÖISYYKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA 39 POISSON-JAKAUMAN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMALLA 393 POISSON-TODENNÄKÖISYYKSIEN APPROKSIMOINTI NORMAALIJAKAUMAN AVULLA LOG-NORMAALIJAKAUMA 395 LOG-NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 395 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 396 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 397 LOG-NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 398 LOG-NORMAALIJAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO CAUCHY-JAKAUMA 398 CAUCHY-JAKAUMAN JOHTO 398 CAUCHY-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 399 CAUCHY-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 399 CAUCHY-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 4 CAUCHY-JAKAUMA JA T-JAKAUMA GAMMA-JAKAUMA 4 GAMMA-FUNKTIO 4 GAMMA-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 GAMMA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 43 GAMMA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 43 GAMMA-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 43 GAMMA-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 43 GAMMA-JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 44 GAMMA-JAKAUMA JA POISSON-JAKAUMA 45 GAMMA-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 46 GAMMA-JAKAUMA JA χ -JAKAUMA BETA-JAKAUMA 46 BETA-FUNKTIO 47 BETA-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 47 BETA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 48 BETA-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 49 BETA-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 49 BETA-JAKAUMA JA JATKUVA TASAINEN JAKAUMA WEIBULL-JAKAUMA 49 WEIBULL-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 4 WEIBULL-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 4 WEIBULL-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 4 WEIBULL-JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 4 WEIBULL-JAKAUMA JA EKSPONENTTIJAKAUMA 4 8. NORMAALIJAKAUMASTA JOHDETTUJA JAKAUMIA χ -JAKAUMA 45 χ -JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 45 χ -JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 46 χ -JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 46 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ -JAKAUMASTA 46 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ -JAKAUMASTA JA χ -JAKAUMAN TAULUKOT 47 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN χ -JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 48 Ilkka Melli 39

6 Todeäköisyysjakaumia 8.. F-JAKAUMA 48 F-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 49 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 49 F-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 4 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA 4 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA JA F-JAKAUMAN TAULUKOT 4 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN F-JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT T-JAKAUMA 43 T-JAKAUMAN TUNNUSLUVUT 43 T-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 44 T-JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION OMINAISUUDET 44 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T-JAKAUMASTA 45 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T-JAKAUMASTA JA T-JAKAUMAN TAULUKOT 45 TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN T-JAKAUMASTA JA TIETOKONEOHJELMAT 46 T-JAKAUMA JA F-JAKAUMA 46 T-JAKAUMA JA CAUCHY-JAKAUMA 47 T-JAKAUMA JA NORMAALIJAKAUMA MONIULOTTEISIA JAKAUMIA MULTINOMIJAKAUMA 49 MULTINOMIJAKAUMAN OMINAISUUDET KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA 43 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN JOHTO 43 KAKSIULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TUNNUSLUVUT 436 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET 436 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN ODOTUSARVOVEKTORI JA KOVARIANSSIMATRIISI 437 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 44 -ULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA, KORRELOIMATTOMUUS JA RIIPPUMATTOMUUS 44 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET JAKAUMAT 44 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 44 REGRESSIOSUORIEN OMINAISUUDET 443 REGRESSIOSUORIEN YHTÄLÖT JA STANDARDOINTI 444 YHTEISKORRELAATIOKERROIN 445 -ULOTTEISEN NORMAALIJAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 445 ESIMERKKI -ULOTTEISESTA NORMAALIJAKAUMASTA 445 Ilkka Melli 3

7 6. Diskreettejä jakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma 6.. Beroulli-jakauma 6.3. Biomijakauma 6.4. Geometrie jakauma 6.5. Negatiivie biomijakauma 6.6. Hypergeometrie jakauma 6.7. Poisso-jakauma Määrittelemme tässä luvussa seuraavat diskreetit todeäköisyysjakaumat: Diskreetti tasaie jakauma Beroulli-jakauma Biomijakauma Geometrie jakauma Negatiivie biomijakauma Hypergeometrie jakauma Poisso-jakauma Johdamme jokaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio. Lisäksi havaiollistamme pistetodeäköisyysfuktioita graafisesti ja johdamme jakaumie odotusarvot ja variassit sekä (hypergeometrista jakaumaa lukuu ottamatta) myös iide momettiemäfuktiot. Tarkastelemme myös jakaumie yhteyksiä muihi jakaumii. Avaisaat: Beroulli-jakauma, Beroulli-koe, Biomijakauma, Diskreetti tasaie jakauma, Ekspoettijakauma, Geometrie jakauma, Hypergeometrie jakauma, Kertymäfuktio, Momettiemäfuktio, Negatiivie biomijakauma, Odotusarvo, Otata, Otata palauttae, Otata palauttamatta, Otatasuhde, Pistetodeäköisyysfuktio, Poisso-jakauma, Stadardipoikkeama, Variassi Ilkka Melli 3

8 6. Diskreettejä jakaumia 6.. Diskreetti tasaie jakauma Diskreettiä tasaista jakaumaa voidaa käyttää sellaiste satuaisilmiöide mallitamisee, joissa o äärellie määrä symmetrisiä eli yhtä todeäköisiä alkeistapahtumia. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset arvot ovat x, x,, x Oletetaa, että satuaismuuttuja mahdollisii arvoihi x, x,, x liittyvät todeäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( = xi ) =, i =,, K, Tällöi satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa ja se pistetodeäköisyysfuktio o f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i =,, K, Fuktio f(x i ), i =,,, määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja f(x i ) >, i =,,, i= f( xi ) = = Diskreeti tasaise jakauma tuusluvut Oletetaa, että satuaismuuttuja oudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, joka pistetodeäköisyysfuktio o f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i =,, K, Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: E( ) = μ = xi = x i= Var( ) = D ( ) = = ( x x) i i= D( ) = = ( xi x) i= Ilkka Melli 3

9 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) = μ = xf( x) = x = x= x i i i i i= i= i= Suoraa diskreeti jakauma variassi määritelmä mukaa Var( ) = D ( ) = = ( x ) f( x ) = ( x x) = ( x x) i μ i i i i= i= i= Diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Diskreeti tasaise jakauma f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i =,, K, odotusarvo E( ) = μ = xi = x i= o lukuje x, x,, x aritmeettie keskiarvo ja jakauma variassi Var( ) = D ( ) = = ( xi x) i= o lukuje x, x,, x otosvariassi, jossa jakajaa o käytetty havaitoje lukumäärää. Lisätietoja havaitoarvoje jakaumaa kuvaavista otostuusluvuista: ks. moistee Tilastolliset meetelmät lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie. Diskreeti tasaise jakauma variassi voidaa kirjoittaa myös muotoo jossa Var( ) = E( ) [E( )] = xi x = xi x i i= i= i= E( ) = xi i = o satuaismuuttuja. mometti (= lukuje x, x,, x. otosmometti). Perustelu: Var( ) = ( xi x) = ( xi x xi + x ) i= i= = xi x xi x + i= i= Ilkka Melli 33

10 6. Diskreettejä jakaumia = xi x ( x) x + i= = xi x i= = E( ) [E( )] Diskreeti tasaise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Heitetää virheetötä oppaa. Olkoo satuaismuuttuja = Nopaheito tulos Satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio o f(i) = Pr( = i) = p i = /6 i =,, 3, 4, 5, 6 Kuva oikealla esittää jakauma pistetodeäköisyys-. fuktio kuvaajaa. Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E() = 3.5 Jakauma odotusarvo saadaa seuraavalla laskutoimituksella: E() = E( ) = if( i) = i = ( ) = = 3.5 i= 6 i= 6 Jakauma variassi saadaa seuraavalla laskutoimituksella: Var( ) = D ( ) 6 = ( i E( )) f( i) i= 6.3. Diskreetti tasaie jakauma = ( i E( )) 6 i= = = =.97 Ilkka Melli 34

11 6. Diskreettejä jakaumia Site jakauma stadardipoikkeamaksi saadaa: 35 D( ) = Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio Diskreeti tasaise jakauma f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i =,, K, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t txk m () t = E( e ) = e k = Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t m () t = E( e ) = e f( x) = e f( x ) = e = e tx txi txi txi i x i= i= i= Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa diskreeti tasaise jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: E( ) = μ = xi = x i= Var( ) = D ( ) = = ( x x) i i= Perustelu: Diskreeti tasaise jakauma momettiemäfuktio o txi m () t = e i = Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm () t dt txi = xie = t= i= t= i= Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm () t = = dt t= x txi xie xi i= t= i= i Ilkka Melli 35

12 6. Diskreettejä jakaumia Site diskreeti tasaise jakauma odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm () t μ = E( ) = α = = xi = x dt α dm t= () t i= = E( ) = = xi dt t= i= μ,. mometti α ja variassi saadaa = Var( ) = = xi xi ( xi x) i= = i= i= α α 6.. Beroulli-jakauma Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Olkoo tapahtuma A komplemettitapahtuma (tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys Pr(A c ) = P(A) = p = q Ks. Ve-diagrammia oikealla. Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu =, jos tapahtuma Aeisatu A c A Satuaismuuttuja todeäköisyysjakauma o Pr( = ) = p Pr( = ) = p = q ja se pistetodeäköisyysfuktio voidaa esittää seuraavassa muodossa: f x p q p q p x x x ( ) =,< <, =, =, Saomme, että satuaismuuttuja oudattaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkitää: Beroulli( p) Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska ja f () > f () > f () + f() = q+ p= ( p) + p= S Ilkka Melli 36

13 6. Diskreettejä jakaumia Beroulli-kokeet Oletetaa, että olemme kiiostueita satuaisilmiössä vai siitä sattuuko joki ilmiöö liittyvä tapahtuma A vai ei toisi saoe kiiostukse kohteea o vai se sattuuko tapahtuma A vai tapahtuma A komplemetti A c. Kutsumme tällaista satuaisilmiötä Beroulli-kokeeksi. Yllä esitety mukaa Beroulli-kokeita voidaa mallitaa Beroulli-jakaumalla. Beroulli-jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Beroulli(p) E( ) Stadardipoikkeama: = p Var( ) D ( ) = = = pq D( ) = = pq Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) = Pr( = ) + Pr( = ) = q+ p= p Määrätää satuaismuuttuja variassi käyttäe kaavaa Var( ) = E( ) [E( )] jossa E( ) o satuaismuuttuja. mometti. Suoraa diskreeti jakauma. mometi määritelmä mukaa Site E( ) Pr( ) Pr( ) = = + = = q+ p= p Var( ) E( ) [E( )] ( ) = = p p = p p = pq Beroulli-jakauma odotusarvo ja variassi omiaisuudet Olkoo Beroulli(p) Beroulli-jakauma odotusarvo E() = p yhtyy kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäköisyytee Pr(A) = p. Ilkka Melli 37

14 6. Diskreettejä jakaumia Beroulli-jakauma variassi Var() = pq = p( p) = p p saavuttaa maksimisa /4, ku p = q = / Beroulli-jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää Beroulli-jakauma Beroulli(.8) pistetodeäköisyysfuktiota jossa f x p q x x x ( ) =, =, p =.8, q= p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) = p=.8 Beroulli-jakauma momettiemäfuktio Beroulli-jakauma x x f( x) = Pr( = x) = p q < p<, q= p, x=, momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t m () t = E( e ) = q+ pe Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t m t e e f x e e q pe t tx t t t () = E( ) = ( ) = Pr( = ) + Pr( = ) = + x Beroulli(.8) E() =.8 Beroulli-jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa Beroulli-jakauma Beroulli(p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: E( ) = p Var( ) D ( ) = = = pq Ilkka Melli 38

15 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Beroulli-jakauma Beroulli(p) momettiemäfuktio o m ( t) = q+ pe Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm () t t = pe = p dt t= t= Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : t dm() t t pe dt t= t= = = p Site Beroulli-jakauma Beroulli(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm () t μ = E( ) = α = = p dt t= μ,. mometti α ja variassi dm() t α = E( ) = = dt t= p = Var( ) = α α = p p = pq Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p:,,, i ~ Beroulli(p), i =,,, Tällöi satuaismuuttujie,,, summa Y = o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma) parametrei (, p): Perustelu: Y ~ Bi(, p) Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. Ilkka Melli 39

16 6. Diskreettejä jakaumia Oletetaa, että,,, i ~ Beroulli(p), i =,,, Satuaismuuttujie,,, momettiemäfuktiot ovat muotoa t m ( t) = q+ pe, i =,, K, i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, summa: Y = Summamuuttuja Y momettiemäfuktio o m ( t) = m ( t) m ( t) Lm ( t) = ( q+ pe )( q+ pe ) L ( q+ pe ) = ( q+ pe ) Y Fuktio m Y (t) o biomijakauma Bi(, p) t t t t momettiemäfuktio (lisätietoja: ks. kappaletta Biomijakauma). Lisäksi fuktio m Y (t) o jatkuva pistee t = ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m Y (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja Y oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Y = ~ Bi(, p) Huomautus: Kaikilla Beroulli-jakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p. Beroulli-kokeet diskreettie todeäköisyysjakaumie perustaa Beroulli-kokeet muodostavat perusta moille diskreeteille todeäköisyysjakaumille. Oletetaa, että toistamme samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja olkoo A se kiiostukse kohteea oleva tapahtuma, joka sattumista toistoje aikaa seurataa. (i) Biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta toistetaa kertaa; ks. kappaletta Biomijakauma. (ii) Geometrie jakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu esimmäise kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Geometrie jakauma. (iii) Negatiivie biomijakauma saadaa määräämällä todeäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerra x. koetoistossa; ks. kappaletta Negatiivie biomijakauma. (iv) Poisso-jakauma voidaa johtaa biomijakauma raja-arvoa, ku koetoistoje lukumäärä aetaa tiettyje ehtoje vallitessa kasvaa rajatta. Poisso-jakauma kuvaa harviaiste tapahtumie todeäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa; ks. kappaletta Poissojakauma. Ilkka Melli 3

17 6. Diskreettejä jakaumia 6.3. Biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) = p jolloi tapahtuma A komplemettitapahtuma (= tapahtuma A ei satu) A c todeäköisyys o Pr(A c ) = p = q Oletetaa, että teemme koetoistoja kappaletta, jossa o kiiteä eli ei-satuaie, etukätee valittu luku, ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. Satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio o x x f ( x) = Pr( = x) = p q, < p<, q= p, x=,,, K, x Biomijakauma johto Toistetaa samaa Beroulli-koetta kertaa ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo, joka toteuttaa seuraava ehdo: ( ) Joossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. Olkoo c c AAA AA K A kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x x ppqpq K p = p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet x x p q Ilkka Melli 3

18 6. Diskreettejä jakaumia yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ehdo ( ). Tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että käytössämme o kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla x kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi! = x x!( x)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o x kappaletta tapahtumia A ja ( x) kappaletta tapahtumia A c, o p x q x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärää koetoistoje joukossa. Yllä esitety mukaa x x f ( x) = Pr( = x) = p q, q= p, x=,,, K, x Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f ( x) >, x=,,, K, ja biomikaava mukaa x x f( x) = p q = ( p+ q) = = x= x= x Biomijakauma pistetodeäköisyydet p x, x =,,,, toteuttavat siis yhtälö x x px = f( x) = p q = x= x= x= x Biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Bi( p, ) E( ) = μ = p Variassi: Var( ) D ( ) = = = pq Ilkka Melli 3

19 6. Diskreettejä jakaumia Stadardipoikkeama: D( ) = = pq Perustelu: Johdamme tässä biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Johdamme jakauma odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Lisäksi jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa käyttäe hyväksi biomijakauma ja Beroulli- jakauma yhteyttä kohdassa Biomijakauma ja Beroulli-jakauma. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E( ) = xf( x) x= x = x p ( p) x= x x= x= x= x= x! x = x p ( p) x!( x)!! x = x p ( p) x!( x)! x x! x = p ( p) ( x )!( x)! x ( )! x = p p ( p) ( x )!( x)! x = p Yhtälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa ( )! ( )! p ( p) = p ( p) ( x )!( x)! x!( x)! x= x= x x x x = p ( p) x= x = x x o laskettu yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet. Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Bi( p, ) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) = p Ilkka Melli 33

20 6. Diskreettejä jakaumia o suoraa verraollie tehtävie koetoistoje lukumäärää että toistoje aikaa seurattava tapahtuma A todeäköisyytee p. Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää biomijakauma Bi(,/3) pistetodeäköisyysfuktiota x x f ( x) = p q, x=,,, K, x jossa =, p= /3, q= p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) = p= Bi(, /3) E() = 4 Alla oleva kuvasarja havaiollistaa sitä, mite parametri p vaikuttaa biomijakauma vioutee:.3 Bi(, /4) Bi(, /) Bi(, 3/4) p < /: p = /: p > /: Biomijakauma o positiivisesti vio eli vio oikealle. Biomijakauma o symmetrie. Biomijakauma o egatiivisesti vio eli vio vasemmalle. Biomijakauma momettiemäfuktio Biomijakauma x x f ( x) = Pr( = x) = p q, < p<, q= p, x=,,, K, x momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o m ( t) = E( e ) = ( q+ pe ) t t Ilkka Melli 34

21 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa m () t = E( e ) = e f( x) = e p q = ( pe ) q = ( q+ pe ) x x= x x= x t tx tx x x t x x t Biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa biomijakauma Bi(, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: E( ) = μ = p Variassi: Var( ) D ( ) = = = pq Perustelu: Biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio o m ( t) = ( q+ pe t ) Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm () t dt t= = ( q + pe ) pe = p t t t= Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm () t dt t= t t t t t = ( )( q+ pe) pepe+ q ( + pe) pe = pe q + pe pe + q + pe = p + ( ) p t t t t ( ) ( ) ( ) Site biomijakauma Bi(, p) odotusarvo seuraavilla kaavoilla: dm () t μ = E( ) = α = = p dt t= dm() t α = E( ) = = p+ ( ) p dt t= = Var( ) = α α = p + ( ) p p = pq t= t= μ,. mometti α ja variassi saadaa Ilkka Melli 35

22 6. Diskreettejä jakaumia Biomijakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa jakauma Olkoot,,, k riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat biomijakaumaa parametrei (, p), (, p),, ( k, p):,, K, k Bi(, p), i =,, K, k i Tällöi satuaismuuttujie,,, k summa Y = k i o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei = k ja p: Y Bi(, p) Perustelu: Todistus perustuu siihe, että riippumattomie satuaismuuttujie summa momettiemäfuktio o ko. satuaismuuttujie momettiemäfuktioide tulo. Oletetaa, että,, K, k Bi(, p), i =,, K, k i i Satuaismuuttujie,,, k momettiemäfuktiot ovat muotoa t m ( t) = ( q+ pe ) i, i =,, K, k i Muodostetaa satuaismuuttujie,,, k summa: Y = k Summamuuttuja Y momettiemäfuktio o my() t = m() t m() t Lmk() t t t t = ( q+ pe ) ( q+ pe ) L( q+ pe ) t + + L+ k = ( q+ pe ) t = ( q+ pe ) jossa = k Fuktio m Y (t) o biomijakauma Bi(, p) momettiemäfuktio, jossa = k k Ilkka Melli 36

23 6. Diskreettejä jakaumia Lisäksi fuktio m Y (t) o jatkuva pistee t = ympäristössä. Koska momettiemäfuktio m Y (t) o tällöi yksikäsitteie, summamuuttuja Y oudattaa biomijakaumaa parametrei = k ja p: Y = k ~ Bi(, p) Huomautus: Kaikilla biomijakaumilla o oltava sama tapahtuma A todeäköisyyttä kuvaava parametri p, mutta se sijaa toistokokeide lukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toisee. Biomijakauma ja Beroulli-jakauma Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kertaa ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Määritellää diskreetit satuaismuuttujat i, i =,,, seuraavalla tavalla: Tällöi i, jos tapahtuma A sattuu kokeessa i =, jos tapahtuma Aeisatukokeessa i i Beroulli(p), i =,,, Määritellää diskreetti satuaismuuttuja seuraavalla tavalla: Tällöi Selvästi = Tapahtuma A esiitymiskertoje lukumäärä Bi( p, ) = i= i koska luku esiityy summassa i täsmällee yhtä mota kertaa kui tapahtuma A sattuu : koetoisto aikaa. Tämä merkitsee sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. Ilkka Melli 37

24 6. Diskreettejä jakaumia Beroulli-jakauma ja biomijakauma odotusarvo ja variassi Biomijakauma odotusarvoa ja variassia johdettaessa voidaa käyttää hyväksi sitä, että jokaie biomijakautuut satuaismuuttuja voidaa esittää riippumattomie, samaa Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summaa. Olkoot i, i =,,, riippumattomia satuaismuuttujia, jotka oudattavat samaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p: Olkoo Tällöi,,, i Beroulli(p), i =,,, = i= Bi( p, ) Satuaismuuttuja = i odotusarvo o i E( ) = E i = E( i) = p= p i= i= i= koska satuaismuuttujie summa odotusarvo o aia satuaismuuttujie odotusarvoje summa. Satuaismuuttuja = i variassi o = = = pq = pq D( ) D i D( i) i= i= i= koska riippumattomille satuaismuuttujille pätee se, että satuaismuuttujie summa variassi o satuaismuuttujie variassie summa. Biomijakauma ja otata palauttae Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) = N Muodostetaa perusjouko S alkioide osajoukko B, jossa o (B) = alkiota käyttämällä alkioide poimiassa otataa takaisipaolla eli palauttae. Otata palauttae: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Palautetaa jokaie poimittu alkio ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S alkiolla o jokaisessa poimiassa sama todeäköisyys /N Ilkka Melli 38

25 6. Diskreettejä jakaumia tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa takaisipaolla alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomismeettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Palautetaa ostettu arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee säilyy samaa poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) = r Tällöi todeäköisyys poimia alkio joukosta A säilyy poimia kaikissa vaiheissa samaa: Pr( A) = p= r N Otaassa takaisipaolla otoksee B poimittuje A-tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: Bi( p, ) Huomautus: Otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta tarkastellaa kappaleessa Hypergeometrie jakauma Geometrie jakauma Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. Ilkka Melli 39

26 6. Diskreettejä jakaumia Satuaismuuttuja oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x f( x) = Pr( = x) = q p,< p<, q= p, x=,,3, K Geometrise jakauma johto Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu. kerra. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Oletetaa, että tapahtuma A sattuu. kerra x. kokeessa. Tällöi toistokokeide tuloksea o saatu tapahtumajoo c c c c A A A K A A x kappaletta jossa o esi (x ) kappaletta tapahtumia A c ja tapahtuma A o joossa viimeiseä. Tämä tapahtumajoo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla x qqq Lqp q p x =, =,,3, K Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu. kerra. Yllä esitety mukaa x f( x) = Pr( = x) = q p, q= p, x=,,3, K Fuktio f(x) määrittelee todeäköisyysjakauma, koska f( x) >, x=,,3, K ja geometrise sarja summa kaava mukaa x x f( x) = q p= p q = p = p = x= x= x= q p Geometrise jakauma kertymäfuktio Olkoo Geom( p) O helppo ähdä (esimerkiksi täydellisellä iduktiolla), että satuaismuuttuja kertymäfuktio o jossa [ ] F( x) = Pr( x) = ( p) x [x] = suuri kokoaisluku, joka x Ilkka Melli 33

27 6. Diskreettejä jakaumia Kertymäfuktio kaavasta seuraa komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaava ojalla Pr( > x) = Pr( x) = F( x) = ( p) x Geometrise jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: Geom( p) E( ) = μ = p Var( ) D ( ) D( ) = = = = = q p q p Perustelu: Johdamme tässä geometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa Tästä seuraa, että = xf x = x p p x= x= E( ) ( ) ( ) x [ ] Site x x x p x p p x p p x p p ( ) E( ) = ( ) = ( ) = ( )( ) x= x= x= pe( ) = E( ) ( p) E( ) x= x= = [ ( )]( ) x= x= x x x p p = ( p) = x x x( p) p ( x )( p) p = x p Ilkka Melli 33

28 6. Diskreettejä jakaumia Yhtälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x= ( p) x p o laskettu yhtee kaikki geometrise jakauma Geom(p) pistetodeäköisyydet. Site olemme saaeet yhtälö pe( ) = odotusarvo E() ratkaisemiseksi, jote E( ) = p Odotusarvo omiaisuudet Olkoo Geom( p) Satuaismuuttuja odotusarvo E( ) = p o käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtumaa A saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Geometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää geometrise jakauma Geom(/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x f ( x) = q p x =,,, p = /3, q= p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) = = 3 p Geom(/3) E() = 3 Ilkka Melli 33

29 6. Diskreettejä jakaumia Geometrise jakauma momettiemäfuktio Geometrise jakauma x f ( x) = Pr( = x) = q p < p <, q= p x =,,3, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t t pe m () t = E( e ) = qe Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m () t = E( e ) = e f( x) = x x= t tx x e pq t tx t x = pe e q = pe x= t t x x= t pe = qe t ( qe ) Geometrise jakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: E( ) = μ = p Var( ) D ( ) = = = Perustelu: Geometrise jakauma Geom(p) momettiemäfuktio o t pe m () t = t qe q p Ilkka Melli 333

30 6. Diskreettejä jakaumia Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : t t t t t dm () t pe ( qe ) pe ( qe ) pe = = = dt ( qe ) ( qe ) p t t t= t= t= Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm() t pe ( qe ) pe ( qe )( qe ) pe ( + qe ) + q t t t t t t t = = = t 4 t 3 dt ( qe ) ( qe ) p t= t= t= Site geometrise jakauma Geom(p) odotusarvo saadaa seuraavilla kaavoilla: dm () t μ = E( ) = α = = α dt t= p dm() t + q = E( ) = = dt p t= + q q = Var( ) = α α = = p p p μ,. mometti α ja variassi Geometrise jakauma uohtamisomiaisuus Olkoo Tällöi jossa ab,. Geom(p) Pr( a + b a) = Pr( b + ) Perustelu: Todetaa esi, että [c ] Pr( c) = Pr( < c) = Pr( c ) = F(c ) = ( p) jossa c, F o geometrise jakauma kertymäfuktio ja Koska ii Site [x] = suuri kokoaisluku, joka x { a+ b} { a} Pr( a+ b ja a) = Pr( a+ b) Pr( a+ b ja a) Pr( a+ b a) = Pr( a) Ilkka Melli 334

31 6. Diskreettejä jakaumia Pr( a+ b) = Pr( a) [ a+ b ] ( p) = [ a ] ( p) [ b] = ( p) = Fb ( ) = Pr( b) = Pr( > b) = Pr( b+ ) Site geometrisella jakaumalla o s. uohtamisomiaisuus: Se, että tapahtuma A sattumista o jouduttu odottamaa a koetoistoa, ei vaikuta todeäköisyytee joutua odottamaa b koetoistoa lisää. Tällaista uohtamisomiaisuutta kutsutaa stokastiste prosessie teoriassa Markovomiaisuudeksi. Samalaie uohtamisomiaisuus o ekspoettijakaumalla, jota voidaa pitää geometrise jakauma jatkuvaa vastieea; lisätietoja ekspoettijakaumasta: ks. lukua Jatkuvia jakaumia Negatiivie biomijakauma Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia ja seurataa tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Oletetaa, että teemme koetoistoja kues tapahtuma A sattuu r. kerra ja olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. Satuaismuuttuja oudattaa egatiivista biomijakaumaa parametrei r ja p: NegBi( r, p) ja se pistetodeäköisyysfuktio o x x r r f ( x) = Pr( = x) = q p,< p<, q= p r r =,, 3, K; x= r, r+, r+, K Negatiivise biomijakauma johto Toistetaa samaa Beroulli-koetta ii, että toistot ovat toisistaa riippumattomia kues kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A sattuu r. kerra. Olkoo Pr(A) = p ja Pr(A c ) = p = q Ilkka Melli 335

32 6. Diskreettejä jakaumia Määrätää todeäköisyys sille, että saadaa tapahtumajoo joka toteuttaa seuraava ehdo: ( ) Joossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja tapahtuma A o joossa viimeiseä. Olkoo c c AAA AA K A kappaletta mielivaltaie tapahtumajoo, joka toteuttaa ehdo ( ). Tämä joo todeäköisyys o riippumattomie tapahtumie tulosääö ojalla K r x r ppqpq p = p q Sama todeäköisyys o jokaisella tapahtumajoolla, joka toteuttaa ehdo ( ). Erilaiset järjestykset, joihi voimme asettaa r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja joissa tapahtuma A o viimeiseä, ovat tapahtumajooia toisesa poissulkevia. Site todeäköisyys saada joo, joka toteuttaa ehdo ( ), saadaa toisesa poissulkevie tapahtumie yhteelaskusääö mukaa laskemalla kaikkie ehdo ( ) toteuttavie jooje todeäköisyydet r x r p q yhtee. Site meidä o määrättävä kaikkie sellaiste jooje lukumäärä, jotka toteuttavat ( ). Koska tapahtuma A pitää olla joossa viimeiseä, tämä lukumäärä o sama kui iide järjestyste lukumäärä, joihi voimme asettaa (r ) kappaletta tapahtumia A ja ((x ) (r )) = (x r) kappaletta tapahtumia A c. Oletetaa, että meillä o käytössä kahdelaisia objekteja, A ja A c. Lokeromalli mukaa kysytty lukumäärä saadaa selville laskemalla kaikkie iide tapoje lukumäärä, joilla (r ) kappaletta objekteja A voidaa asettaa lokerikkoo, jossa o (x ) lokeroa. Huomaa, että objektie A c paikat o määrätty heti, ku objektit A o asetettu lokerikkoo. Kysyty lukumäärä ataa biomikerroi x ( x )! ( x )! = = r ( r )!(( x ) ( r ))! ( r )!( x r)! Perustelu: ks. lukua Klassie todeäköisyys ja kombiatoriikka. Site todeäköisyys saada tapahtumajoo, jossa o r kappaletta tapahtumia A ja (x r) kappaletta tapahtumia A c ja jossa tapahtuma A o viimeiseä, o x r x r p q r Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetoistoje lukumäärää, ku tapahtuma A sattuu r. kerra. Yllä esitety mukaa x x r r f( x) = q p, q= p r r =,, 3, K; x= r, r+, r+ K Ilkka Melli 336

33 6. Diskreettejä jakaumia Voidaa osoittaa, että egatiivise biomijakauma pistetodeäköisyyksie summa =. Tulos seuraa biomikaava yleistyksestä egatiivisille ekspoeteille (todistus sivuutetaa). Negatiivise biomijakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: Variassi: Stadardipoikkeama: NegBi( r, p) r E( ) = μ = p Var( ) D ( ) D( ) = = = = = rq p rq p Perustelu: Johdamme tässä egatiivise biomijakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma odotusarvo ja variassi johdetaa jakauma momettiemäfuktio avulla kohdassa Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut. Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa x x r r E( ) = xf ( x) = x q p x= r x= r r ( x )! x r r = x q p x= r ( r )!( x r)! r x! x r r+ = q p p x= rr!( x r)! r x x r r+ r = q p = p x= r r p Yhtälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x x r r+ x x ( r+ ) r+ q p = q p = x= r r x= r+ r o laskettu yhtee kaikki egatiivise biomijakauma NegBi( r+, p) pistetodeäköisyydet. Ilkka Melli 337

34 6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo NegBi( r, p) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) = p o suoraa verraollie tapahtuma A esiitymiste odotettuu lukumäärää r ja käätäe verraollie tapahtuma A todeäköisyytee p. Site tapahtuma A r. esiitymistä saa odottaa keskimääri sitä kauemmi mitä useampia tapahtuma A esiitymisiä odotetaa ja mitä pieempi o tapahtuma A todeäköisyys. Negatiivise biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää egatiivise biomijakauma NegBi(3,/3) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku x x r f ( x) = q p r x = 3, 4,, 6 r = 3, p= /3, q= p Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo E( ) = r = 9 p Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio Negatiivise biomijakauma r.5.5 x x r r f ( x) = Pr( = x) = q p,< p<, q= p r r =,, 3, K; x= r, r+, r+, K momettiemäfuktio (ks. lukua Momettiemäfuktio ja karakteristie fuktio) o t r t ( pe ) m () t = E( e ) = t r ( qe ).. NegBi(3, /3) E() = 9 Ilkka Melli 338

35 6. Diskreettejä jakaumia Perustelu: Suoraa diskreeti jakauma momettiemäfuktio määritelmä mukaa t tx m () t = E( e ) = e f( x) x tx x x r r = e q p x= r r r+ x = ( pe ) e q x= r = ( pe ) ( qe ) t r ( pe ) = t ( qe ) t r tx x t r t r r Negatiivise biomijakauma momettiemäfuktio ja jakauma tuusluvut Johdetaa egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo ja variassi jakauma momettiemäfuktio avulla. Odotusarvo: Variassi: r E( ) = μ = p Var( ) D ( ) = = = Perustelu: Negatiivise biomijakauma NegBi(r, p) momettiemäfuktio o t r ( pe ) m () t = t r ( qe ) Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : rq p dm t r pe pe qe pe r qe qe dt t r t t r t r t r t () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = t r t= ( qe ) t= t r r( pe ) r = = t ( qe ) p r+ t= Momettiemäfuktio. derivaatta pisteessä t = : dm() t r ( pe ) pe ( qe ) r( pe )( r+ )( qe )( qe ) t r t t r+ t r t r t = t r+ dt ( qe ) t= t r t r( pe ) ( r+ qe ) r + rq = = t ( qe ) p r+ t= t= Ilkka Melli 339

36 6. Diskreettejä jakaumia Site egatiivise biomijakauma NegBi(r, p) odotusarvo μ,. mometti α ja variassi saadaa seuraavilla kaavoilla: dm () t r μ = E( ) = α = = α dt t= p dm() t r + rq = E( ) = = dt p t= r + rq r rq = Var( ) = = = α α p p p Negatiivie biomijakauma ja geometrie jakauma Olkoo jossa NegBi( r, p) r = Tällöi oudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) 6.6. Hypergeometrie jakauma Oletetaa, että perusjoukossa S (S) = N alkioita. Olkoo A perusjouko S joki osajoukko: A S Tällöi A ja se komplemetti A c muodostavat perusjouko S ositukse: A A c = S A A c = Oletetaa, että joukossa A o (A) = r alkiota ja joukossa A c o (A c ) = N r alkiota. Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, jossa o alkiota. (B) = Ilkka Melli 34

37 6. Diskreettejä jakaumia Perusjouko S ositus joukoiksi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c ; ks. kuvaa edellä. Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : HyperGeom( Nr,, ) ja se pistetodeäköisyysfuktio o r N r x x f ( x) = Pr( = x) =,max[, ( N r)] x mi(, r) N Hypergeometrise jakauma johto Oletetaa, että otosavaruudessa S o (S) = N alkiota. Olkoo A joki otosavaruude S osajoukko: A S ja olkoo A c jouko A komplemetti. Tällöi joukot A ja A c muodostavat otosavaruude S ositukse: Oletetaa, että Olkoo edellee ja A A c = S A A c = (A) = r (A c ) = N r B S (B) = Otosavaruude S ositus joukkoihi A ja A c idusoi jouko B ositukse joukoiksi B A ja B A c : (B A) (B A c ) = B (B A) (B A c ) = Ks. kuvaa edellä. Ilkka Melli 34

38 6. Diskreettejä jakaumia Olkoo (B A) = x (B A c ) = x Joukosta S (jossa o siis N alkiota) voidaa poimia alkiota osajoukkoo B N eri tavalla. Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota r x eri tavalla. Joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota) voidaa poimia ( x) alkiota N r x eri tavalla. Joukosta A (jossa o siis r alkiota) voidaa poimia x alkiota riippumatta siitä, mitkä ( x) alkiota poimitaa joukosta A c (jossa o siis (N r) alkiota). Site kombiatoriika kertolaskuperiaatteesta seuraa, että iide tapoje lukumäärä, joilla voidaa poimia alkiota joukosta S site, että saadaa r alkiota joukosta A ja (N r) alkiota joukosta A c o r N r x x Olkoo diskreetti satuaismuuttuja, joka kuvaa joukkoo B poimittuje perusjouko S osajouko A (eli jouko B A) alkioide lukumäärää. Soveltamalla klassise todeäköisyyde määritelmää saadaa: r N r x x f( x) = Pr( = x) = N Voidaa osoittaa, että hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyyksie summa = (todistus sivuutetaa). Hypergeometrise jakauma tuusluvut Olkoo Odotusarvo: HyperGeom( Nr,, ) r E( ) = μ = N Ilkka Melli 34

39 6. Diskreettejä jakaumia Variassi: Stadardipoikkeama: r r N = = = N N N Var( ) D ( ) r r N D( ) = = N N N Perustelu: Johdamme tässä hypergeometrise jakauma odotusarvo käyttäe diskreeti jakauma odotusarvo määritelmää. Jakauma variassi johtamie sivuutetaa. Koska r r! ( r )! r x = x = r = r x x!( r x)! ( x )!( r x)! x ii Koska ii r N r r N r x x x x E( ) = xf( x) x r = = x= x= N x= N N N! N ( N )! N N = = =!( N )! ( )!( N )! r N r r N r x x r x x r E( ) = r = = x= N N N x= N N Yhtälöketju viimeie yhtälö perustuu siihe, että summassa x= r N r x x = N o laskettu yhtee kaikki hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, r, ) pistetodeäköisyydet. Ilkka Melli 343

40 6. Diskreettejä jakaumia Odotusarvo omiaisuudet Olkoo HyperGeom( Nr,, ) Satuaismuuttuja odotusarvo r E( ) = N o suoraa verraollie sekä perusjoukosta S poimittava jouko B alkioide lukumäärää että perusjouko S osajouko A alkioide lukumäärää r ja käätäe verraollie perusjouko S alkioide lukumäärää N. Hypergeometrise jakauma pistetodeäköisyysfuktio Kuva oikealla esittää hypergeometrise jakauma HyperGeom(,,) pistetodeäköisyysfuktiota pisteissä ku r N r x x f( x) = N x =,,,, N =, r =, = Kuvaa o merkitty myös jakauma odotusarvo r E( ) = =.4 N I HyperGeom(,, ) E() =.4 Hypergeometrie jakauma ja biomijakauma Hypergeometrista jakaumaa voidaa approksimoida biomijakaumalla, jos s. otatasuhde N jossa ja N = (S) = perusjouko S koko = (B) = perusjoukosta S poimitu osajouko B koko o kylli piei. Näi o käytäössä, jos N <.5 Ilkka Melli 344

41 6. Diskreettejä jakaumia Olkoo ja merkitää Site HyperGeom( Nr,, ) r p N = r = Np ja voimme kirjoittaa: HyperGeom( N, Np, ) Huomaa, että p o todeäköisyys poimia joukkoo B alkio perusjouko S osajoukosta A, joka koko o r = (A) Aetaa yt N + ja r + ii, että r p N = Tällöi hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) pistetodeäköisyydet kovergoivat kohde biomijakauma Bi( p, ) pistetodeäköisyyksiä: lim f ( x) = f ( x), x=,,, K, N + HyperGeom( NNp,, ) Bi ( p, ) Perustelu: Olkoo Tällöi HyperGeom( Nr,, ) Pr( = x) r N r x x = N r! ( N r)!!( N )! = x!( r x)! ( x)!( N r + x)! N!! r! ( N r)! ( N )! = x!( x)! ( r x)! ( N r + x)! N! Ilkka Melli 345

42 6. Diskreettejä jakaumia = [ r( r ) L( r x+ )] [( N r)( N r ) L( N r + x+ )] x N( N ) L( N + )) r( r ) L( r x+ ) ( N r)( N r ) L( N r + x+ ) = x N( N ) L( N x+ ) ( N x)( N x ) L( N x ( x) + )) r r ( x ) N r N r N r ( x ) L L r = N N N N N x N N N ( x ) N x N x N x ( x ) L L N N N N N Oletetaa, että N + ja r + ii, että r p N = Tällöi r i p, i =,, K, x N N i, i =,, K, x N N r i p, i =,,, K, x N N x i, i =,,, K, x N Site r N r x x x Pr( = x) = p ( p) N x mikä o biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyys pisteessä x. x Ilkka Melli 346

43 6. Diskreettejä jakaumia Hypergeometrise jakauma HyperGeom( N, Np, ) ja biomijakauma Bi( p, ) yhteys äkyy myös siiä, että jakaumilla o sama odotusarvo: E( ) = E( ) = p ja iide variassit HyperGeom( NNp,, ) Bi ( p, ) N Var( HyperGeom( NNp,, )) = p( p) N Var( ) = p( p) Bi ( p, ) eroavat vai multiplikatiivisella tekijällä N N jota saotaa äärellise perusjouko korjaustekijäksi. Korjaustekijä vaikuttaa hypergeometrise jakauma variassii sitä vähemmä mitä pieempi o otatasuhde /N, sillä N N jos N Hypergeometrie jakauma ja otata palauttamatta Olkoo perusjouko S alkioide lukumäärä (S) = N Muodostetaa perusjouko S alkiosta osajoukko B, joka alkioide lukumäärä o (B) = käyttämällä alkioide poimiassa otataa ilma takaisipaoa eli palauttamatta. Otata palauttamatta: (i) Poimitaa alkiot perusjoukosta S osajoukkoo B satuaisesti yksi kerrallaa. (ii) Ei palauteta poimittua alkiota ee seuraava alkio poimimista perusjoukkoo S. (iii) Oletetaa, että jokaisella perusjouko S jäljellä olevalla alkiolla o k. alkiota poimittaessa sama todeäköisyys /(N k +) tulla poimituksi osajoukkoo B. Tällöi saomme, että osajoukko B muodostaa yksikertaise satuaisotokse perusjoukosta S. Otaassa ilma takaisipaoa alkioide poimita voidaa toteuttaa käyttämällä seuraavaa arpomis-meettelyä: () Paaa uuraa jokaista perusjouko S alkiota vastaava arpalippu. () Sekoitetaa uura sisältö huolellisesti. Ilkka Melli 347

44 6. Diskreettejä jakaumia (3) Nostetaa uurasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaa otoksee B. (4) Ei palauteta ostettua arpalippu uuraa. (5) Palataa vaiheesee (3), kues haluttu otoskoko o saavutettu. Huomautuksia: Perusjouko S alkioide todeäköisyys tulla poimituksi otoksee muuttuu poimia aikaa. Jokaisella perusjouko S samakokoisella osajoukolla o sama todeäköisyys tulla poimituksi otoksee. Sama perusjouko S alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo A perusjouko S osajoukko, joka alkioide lukumäärä o (A) = r Tällöi todeäköisyys poimia yksi alkio joukosta A o r Pr( A) = p= N Otaassa ilma takaisipaoa otoksee B poimittuje A-tyyppiste alkioide lukumäärä o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, ja r: HyperGeom( Nr,, ) Huomautus: Otataa takaisipaolla eli palauttae tarkastellaa kappaleessa Biomijakauma. Otata palauttae vs otata palauttamatta Poimitaa perusjoukosta satuaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otoksee yksi kerrallaa. Otokse poimita voidaa toteuttaa joko palauttae (takaisipaolla) tai palauttamatta (ilma takaisipaoa): (i) Otaassa palauttae perusjouko alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että jokaie alkio palautetaa välittömästi arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee useita kertoja. (ii) Otaassa palauttamatta alkiot arvotaa otoksee yksi kerrallaa ii, että alkiota ei palauteta arpomise jälkee takaisi perusjoukkoo, jolloi sama alkio voi tulla poimituksi otoksee vai kerra. Olkoo perusjouko S koko (S) = N Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o (A) = r Poimitaa perusjoukosta S satuaisesti osajoukko B, joka koko o (B) = Ilkka Melli 348

45 6. Diskreettejä jakaumia Määritellää diskreetti satuaismuuttuja = A-tyyppiste alkioide lukumäärä otoksessa B Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttae, satuaismuuttuja oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p = r/n: Bi( p, ) Jos otos poimitaa perusjoukosta palauttamatta eli ilma takaisipaoa, satuaismuuttuja oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N, r ja : HyperGeom( Nr,, ) Huomautus: Koska hypergeometrie jakauma kovergoi kohde biomijakaumaa, ku perusjouko koo N aetaa kasvaa rajatta, ero otaa palauttae ja otaa palauttamatta välillä o merkityksetö, jos otoskoko o piei perusjouko kokoo N verrattua ja ero häviää kokoaa, jos perusjoukko o ääretö Poisso-jakauma Toistetaa samaa satuaiskoetta ja oletetaa, että toistot ovat toisistaa riippumattomia. Tarkastellaa joki tapahtuma A sattumista toistoje aikaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumaitesiteetti eli tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde o λ. Määritellää diskreetti satuaismuuttuja : = Tapahtuma A esiitymiste lukumäärä ajajaksoa, joka kesto o s aikayksikköä Tietyi oletuksi satuaismuuttuja oudattaa Poisso-jakaumaa parametrilla λs: jossa Poisso(λs) s = ajajakso pituus aikayksiköissä λ = tapahtuma A esiitymiste keskimääräie lukumäärä aikayksikköä kohde ja se pistetodeäköisyysfuktio o λs x e ( λs) f( x) = Pr( = x) =, λ >, x=,,, K x! Huomautus: Poisso-jakauma sytyy myös sellaisessa tilateessa, jossa tarkastellaa tapahtuma A esiitymistä avaruudessa. Tällöi parametri λ kuvaa tapahtumie A esiitymiste keskimääräistä lukumäärää tilavuusyksikköä kohde ja satuaismuuttuja kuvaa tapahtuma A esiitymiste lukumäärää avaruude osa-alueessa, joka koko o s tilavuusyksikköä. Ilkka Melli 349