8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

Transkriptio

1 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N1, 4. Määrää todeäköisyys, että havaitoje aritmeettie keskiarvo X saa suurempia arvoja kui 1.1. Tehtävä aossa maiitui oletuksi havaitoje X i aritmeettise keskiarvo otosjakauma o ormaalie: X = 1 X i N µ, σ2 = N 1, 4 = N 1, Tehtävää o määrätä todeäköisyys Pr X > 1.1. Normaalijakauma omiaisuuksie perusteella X Pr X µ > 1.1 = Pr σ/ > 1.1 µ σ/ = Pr Z > / 100 = PrZ > 0.5 = 1 PrZ 0.5 = = Todeäköisyyde lukuarvo o saatu lukemalla ormaalijakauma taulukkoa. D2. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 101 muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N1, 4. Määrää lukuarvo, jota pieempiä arvoja otosvariassi saa todeäköisyydellä 0.05 Havaitoje X i, i = 1, 2,..., 101 otosvariassi o s 2 = 1 Xi 2 1 X 2 Tehtävä aossa maiitui oletuksi satuaismuuttuja V oudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastei 1: 1s2 σ 2 χ 2 1 = χ Määrätää esi piste, joka erottaa χ 2 -jakauma vasemmalle häälle todeäköisyysmassa, joka koko o PrV v = 0.05 v = eli saamme epäyhtälö: 1s2 σ 2 = 100s2 4 = 25s 2 v = s Näi olle Prs = 0.05 D3. Oletetaa, että teemme 100 toisistaa riippumatota Beroulli -koetta, joissa kiiostukse kohteea oleva tapahtuma A todeäköisyys o 0.2. Määrää todeäköisyys, että tapahtuma A frekvessi toistoje joukossa o pieempi kui 10.

2 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli Olkoo f = A-tapahtumie frekvessi toistoje joukossa, ˆp = f/ = A-tapahtumie suhteellie frekvessi toistoje joukossa ja toistoje lukumäärä. Koska toistoje lukumäärä = 100 o melko suuri, voimme approksimoida suhteellise frekvessi ˆp otatajakaumaa ormaalijakaumalla: ˆp a N p, pq jossa siis p = 0.2, q = 1 p = 0.8 ja = 100 ja voimme saoa: ˆp p pq/ a Z N0, 1 Haluamme siis tietää todeäköisyyde Pr ˆp < 10 ˆp p = Pr < 0.1 p 100 pq/ pq/ a Pr Z < /100 = PrZ < 2.5 = Kysyty todeäköisyyde tarkka biomijakauma avulla laskettu arvo o oi eli approksimaatio o kohtuullise tarkka, vaikka suhteellie virhe oki varsi suuri. P4. Oletetaa, että suomalaiste aiste pituus o ormaalijakautuut parametrei µ = 170 cm ja σ = 20 cm. Tehdää aiste joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 100. Määrää todeäköisyys, että havaitoje aritmeettie keskiarvo X saa suurempia arvoja kui 176 cm. 1 p. Tehtävä aossa maiitui oletuksi havaitoje X i aritmeettise keskiarvo otosjakauma o ormaalie: X = 1 X i N µ, σ2 = N 170, 202 = N170, Tehtävää o määrätä todeäköisyys Pr X > 176. Normaalijakauma omiaisuuksie perusteella X Pr X µ > 176 = Pr σ/ > 176 µ σ/ = Pr Z > 20/ 100 = PrZ > 3 = 1 PrZ 3 = = Todeäköisyyde lukuarvo o saatu lukemalla ormaalijakauma taulukkoa. P5. Oletetaa, että suomalaiste aiste pituus o ormaalijakautuut parametrei µ = 170 cm ja σ = 20 cm. Tehdää aiste joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 101. Määrää lukuarvo, jota suurempia arvoja otosvariassi saa todeäköisyydellä p.

3 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli Havaitoje X i, i = 1, 2,..., 101 otosvariassi o s 2 = 1 Xi 2 1 X 2 Tehtävä aossa maiitui oletuksi satuaismuuttuja V oudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastei 1: 1s2 σ 2 χ 2 1 = χ Määrätää esi piste, joka erottaa χ 2 -jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa, joka koko o PrV v = 0.01 v = eli saamme epäyhtälö: 1s2 σ 2 = 100s = s2 4 v = s Näi olle Prs = 0.01 P6. Oletetaa, että 33% suomalaisista kaattaa NATOo liittymistä. Tehdää suomalaiste joukosta yksikertaie satuaisotos, joka koko o 100. Määrää todeäköisyys, että otoksessa NATO kaattajie suhteellie osuus o pieempi kui 20%. 1 p. Olkoo f = A-tapahtumie frekvessi toistoje joukossa, ˆp = f/ = A-tapahtumie suhteellie frekvessi toistoje joukossa ja toistoje lukumäärä. Koska toistoje lukumäärä = 100 o melko suuri, voimme approksimoida suhteellise frekvessi ˆp otatajakaumaa ormaalijakaumalla: ˆp a N p, pq jossa siis p = 0.33, q = 1 p = 0.67 ja = 100 ja voimme saoa: ˆp p pq/ a Z N0, 1 Haluamme siis tietää todeäköisyyde Pr ˆp < 20 ˆp p = Pr < 0.2 p 100 pq/ pq/ a Pr Z < /100 = PrZ < 2.76 = L7. Olkoot X i, i = 1, 2,..., riippumattomia havaitoja jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi σ 2. a Todista, että havaitoje X i aritmeettie keskiarvo o harhato estimaattori parametrille µ. b Todista, että havaitoje X i aritmeettie keskiarvo variassi o pieempi kui yksittäise havaio variassi, jos > 1.

4 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli a Havaitoje X i, i = 1, 2,..., aritmeettie keskiarvo o Koska E X = 1 X = 1 X i EX i = 1 µ = µ aritmeettie keskiarvo o harhato estimaattori parametrille µ. b Havaitoje X i, i = 1, 2,..., aritmeettise keskiarvo variassi o Var X X µ X i µ X i µ i µ X 2 + X i µx j µ i j = 1 2 E X i µ 2 = 1 2 σ2 = σ2 < σ2, jos > 1 Yllä laskettu pätee, koska havaitoje riippumattomuude takia E X i µx j µ = CovX i, X j = 0, jos i j L8. Olkoot X i, i = 1, 2,..., riippumattomia ormaalijakautueita satuaismuuttujia, joide odotusarvo EX i = µ ja variassi VarX i = σ 2. Tarkastellaa seuraavia todeäköisyyksiä: 1 PrX i > µ + σ 2 PrX 1 + X X > µ + σ 3 Pr X > µ + σ a Määrää todeäköisyys 1. b Todista, että todeäköisyys 2 o pieempi kui todeäköisyys 1, jos > 1. c Todista, että todeäköisyys 2 pieeee, ku +. d Todista, että todeäköisyys 3 o sama kui todeäköisyys 2. e Määrää todeäköisyys 2, ku = 10. a Xi µ PrX i > µ + σ = Pr > 1 = PrZ > 1 = σ

5 Mat Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli b Olkoo Y = X i. Tällöi EY = µ ja riippumattomuude takia VarY = σ 2. Näi olle: Y µ PrY > µ + σ = Pr > = PrZ > < PrZ > 1, jos > 1. σ c Ja yt siis lim PrZ > = 0 + Eli : kasvaessa todeäköisyys 2 pieeee lähestye ollaa. d Tulos o sama kui kohdassa c, koska Pr X > µ + σ = PrY > µ + σ e Jos = 10, PrZ > = PrZ > 10 PrZ > 3.16 =