3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

Transkriptio

1 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa. Nostetaan kummastakin uurnasta sastunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Nostetaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että nostettu kuula on valkoinen? Käytä ratkaisussa puuverkkoa. ulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko: 7 Puun rakenne perustuu kolmivaiheiseen nostamiseen:. Nostetaan kuula uurnasta.. Nostetaan kuula uurnasta.. Nostetaan kuula uurnasta vaihdon jälkeen. odennäköisyys nostaa valkoinen kuula on siis: = 8 D. eitetään harhatonta rahaa kertaa, jossa siis P r(kruuna) = P r(klaava) = /. Olkoon satunnaismuuttuja X =kruunien määrä kolmessa heitossa. a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X =,,, puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. ahmottele funktion kuvaaja. b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. ahmottele kuvaaja. c) Mikä on tapahtuman X =. todennäköisyys? d) Määrää tapahtuman X > todennäköisyys sekä pistetodennäköisyys- että kertymäfunktion avulla.

2 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin a) Merkitään =Kruuna (engl. head) ja =Klaava (engl. tail). Rakennetaan tulosvaihtoehdoista puuverkko: Jokaisen reitin todennäköisyys on ( ) = 8 Reittejä, joissa on, on. Siten Pr() = 8. Reittejä, joissa on, on. Siten Pr( tai tai ) = 8. Vastaavasti Pr( tai tai ) = 8 ja Pr() = 8. Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio f on siis: b) Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F : x f(x) = Pr(X = x) /8 /8 /8 /8 x F(x) = Pr(X x) x < x < /8 x < 4/8 x < 7/8 x c) Pr(X =.) =, koska. / S

3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin d) Pistetodennäköisyysfunktiosta: Pr(X > ) = Pr(X = ) + Pr(X = ) Kertymäfunktiosta: = = Pr(X > ) = Pr(X ) = F() = 4 8 = D. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa { x + b, kun x f(x) =, muulloin a) Määrää vakion b arvo. b) Määrää tapahtuman X =. todennäköisyys. c) Määrää tapahtuman X. todennäköisyys. d) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. a) Koska tehtävän tiheysfunktiolle f(x) pätee: saadaan b = f(x)dx = (x + b)dx = / ( x + bx) = + b b) Koska jatkuvassa jakaumassa jokaisen yksittäisen pisteen tn. on nolla: Pr(X =.) = c) Välin [,.] todennäköisyys saadaan integroimalla: Pr( X.) =. (x + )dx = 8

4 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin d) Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio välillä [, ]: F(x) = x f(t)dt = x (t + )dt = (x + x) ja kaikkiaan:, x F(x) = (x + x), x x P4. iedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja ja, mutta numero vastaanotetaan virheellisesti numerona todennäköisyydellä /. Luotettavuuden parantamiseksi numero koodataan lähetettäessä jonoksi ja numero jonoksi. Vastaanotettaessa suoritetaan koodinpurku, jossa jonot,, ja tulkitaan numeroksi. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty numero vastaanotetaan numerona? Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa. p. Rakennetaan tulosvaihtoehdoista puuverkko: Puu on rakennettu lähettämällä numero koodattussa muodossaan () yksi luku kerrallaan. Pyydetty todennäköisyys on nyt: Pr( lähetetty vastaanotetaan oikein ) = Pr() + Pr() + Pr() + Pr() = =.896

5 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin P. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on muotoa, x F(x) = x + x, x x p. a) Määrää tapahtuman X =. todennäköisyys. b) Määrää tapahtuman X. todennäköisyys. c) Määrää satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. d) Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvo ja standardipoikkeama. a) Koska jatkuvassa jakaumassa jokaisen yksittäisen pisteen tn. on nolla: Pr(X =.) = b) apahtuman X. todennäköisyys saadaan kertymäfunktion avulla: Pr( X.) = F(.) F() =.7 c) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio välillä [, ] saadaan derivoimalla kertymäfunktio: ja kaikkiaan f(x) = d dx F(x) = d dx ( x + x) = x + f(x) = { x +, kun x, muulloin d) Määritelmän mukaan odotusarvo:. momentti: ja edelleen varianssi: E(X) = E(X ) = xf(x)dx = x f(x)dx = x( x + )dx = x ( x + )dx = 6 D (X) = E(X ) [E(X)] = 8 josta saadaan standardipoikkeama: D(X) =.7

6 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin P6. Määrää tehtävän D todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama. p. Määritelmän mukaan odotusarvo:. momentti: ja edelleen varianssi: E(X) = E(X ) = xf(x)dx = x f(x)dx = x(x + )dx = 7 x (x + )dx = D (X) = E(X ) [E(X)] = = 44 josta saadaan standardipoikkeama: D(X) =.764 L7. Seuraava kuva esittää verkkoa, jossa on komponenttia, joista jokaisen toimintatodennäköisyys on p. Lisäksi oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi? Kuvan verkko muodostuu kolmesta sarjaan kytketystä osasta: Rinnan kytketyt komponentit ja, komponentti sekä rinnan kytketyt komponentit 4 ja. Kumpikin rinnan kytkentä toimii todennäköisyydellä: p + p p = p p Koko verkko toimii siten tödennäköisyydellä: Pr( Verkkotoimii ) = (p p ) p (p p ) = p 4p 4 + 4p L8. Osallistut rahapeliin, jossa heitetään kolmea harhatonta rahaa (vrt. tehtävä D). Peliin osallistumisesta pitää maksaa panos ja pelaaja saa voittona kruunien lukumäärän euroja. a) Mikä on korkein panos, joka kannattaa maksaa peliin osallistumisesta? Ohje: Määrää ko. satunnaismuuttujan odotusarvo. b) Mikä on voittosumman standardipoikkeama?

7 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin a) Odotusarvo: E(X) = xpr(x = x) = = x= Näin ollen peliin osallistumisesta kannatta maksaa korkeintaan. euroa. b) oinen momentti: E(X ) = x Pr(X = x) = = x= Varianssi: D (X) = E(X ) [E(X)] = 9 4 = 4 josta saadaan standardipoikkeama: D(X) =